ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE EIXOS - APLICADA A UM PROTÓTIPO DE MINI BAJA

ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE EIXOS - APLICADA A UM PROTÓTIPO DE MINI BAJA

Rafael A. C. Laranja, Eder A. de Á. Martins, André Cervieri e Alberto Tamagna. Departamento de Engenharia Mecânica, Grupo de Mecânica Aplicada, Escola de Engenharia Universidade Federal do Rio Grande do Sul Rua Sarmento Leite, 425 - Porto Alegre, RS, CEP 90050-170 Brasil RESUMO O trabalho apresenta a comparação entre as análises numérica e experimental de um eixo traseiro de um protótipo de um veículo automotor do tipo mini baja. O protótipo foi desenvolvido utilizando o sistema de eixo rígido na suspensão traseira, sendo ideal para o uso em terrenos pouco acidentados. A análise dinâmica foi desenvolvida sobre o último eixo da transmissão determinando suas primeiras freqüências naturais. Também foram adquiridos experimentalmente todas as características necessárias para a realização tanto da análise numérica como experimental, tais como rigidez dos pneus, rigidez da suspensão traseira, massas, etc. O experimento para obtenção da resposta em freqüência foi realizado com o uso de acelerômetros piezoelétricos colados ao eixo e conectados a uma placa de aquisição via microcomputador. A análise numérica foi realizada utilizando o Método da Matriz de Transferência. Sendo os resultados de ambas as análises comparados.

1- INTRODUÇÃO: Na indústria automobilística, hoje em dia, existe uma crescente necessidade de testes em componentes ainda na fase de projeto a fim de prever seu desempenho quando em condições de operação. Fenômenos vibratórios como a ressonância de componentes automotivos em relação às velocidades de rotação do motor e tipos de terreno devem ser levados em consideração, pois podem levar a estrutura a esforços e desgastes excessivos diminuindo sua vida útil ou aumentando o desconforto do usuário. Atualmente, conforme o relato de Coutinho (1994), o procedimento utilizado pela indústria para testes sobre o comportamento vibracional é basicamente experimental, o que envolve um alto custo no desenvolvimento do produto. Assim, é necessária a implantação de métodos numéricos simples e precisos de forma a predizer as frequências naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. Para tanto, o Método das Matrizes de Transferência oferece não só rapidez e precisão, como simplicidade e versatilidade conforme nos dizem Pestel e Leckie (1963), Thomson (1978), Coutinho (1994) e Matos (1997). O presente trabalho apresenta a comparação entre os resultados de análises dinâmicas experimentais e numéricas. A comparação é feita sobre o último eixo da transmissão de um protótipo de um veículo automotor do tipo mini baja, levando-se em conta toda a complexidade do problema.

2 - ANÁLISE NUMÉRICA:

vetores de estado e Matrizes de Transferências de campo ou de ponto. Resumidamente: é um vetor coluna cujas Vetor de Estado (z): componentes são os deslocamentos (vertical e giro) e as forças internas (momento fletor e esforço cortante), em um determinado ponto da estrutura. Matriz de Transferência de Campo (C): tem a função de transferir o efeito da rigidez ou de massas distribuídas de um ponto a outro da estrutura. Matriz de Transferência de Ponto (P): representa forças concentradas num dado ponto, podendo ser de inércia (massas concentradas) ou forças resultantes de molas ou amortecedores. A facilidade de utilização do Método de Matriz de Transferência esta na seguinte propriedade, segundo Pestel e Leckie, (1963) : Seja a estrutura composta pelas matrizes de transferência A1, A2, A3, ..., An e os vetores de estado z0, z1, z2, z3, ... ,zn Onde: z1 = A1.z0 (1) z2 = A2.z1 (2) z3 = A3.z2 (3) . : zn-1 = An-1.zn-2 (4) zn = An.zn-1 (5) Substituindo z1 da equação (1) na equação (2), e o resultado desta substituição na equação (3) e assim sucessivamente, tem-se: zn=An.An-1. ... A3.A2.A1.z0

A análise numérica para a determinação das frequências naturais foi realizada utilizando-se o Método de Matriz de Transferência que consiste em dividir o sistema a ser analisado em subsistemas com propriedades elásticas e dinâmicas simples. Tais subsistemas são representados por

Podendo ser escrita como: zn=G.z0 Onde: G = An.An-1. ... A3.A2.A1

(6) (7) (8)

A matriz G é denominada Matriz de Transferência Global, pois representa as propriedades de toda a estrutura e tem como incógnita as frequências naturais. Aplicando-se as condições de contorno aos vetores de estado z0 e zn tem-se um sistema de equações cujas soluções são as frequências naturais da estrutura. Para a obtenção dos modos de vibração correspondentes às frequências naturais, substitui-se cada frequência obtida nas equações de 1 a 5 e isolando-se a componente de deslocamento destes vetores tem-se então os modos naturais de vibração. Para o modelo do sistema do eixo na análise numérica, utilizou-se as seguintes matrizes de transferência: a) Matriz de transferência para viga de Timoshenko (massa distribuída).   c 0 − σc 2   β4 c3  "   β4 c2   4 a β  a" (c1 − σc 3 ) 

[

" ⋅ c1 − (σ + τ)c 3

]

ac 2 a

c 0 − τc 2 "

a

[− τc

+ (β + τ )c 3 4

1

β4 a

2

c2

]

"

a" β4

(c1 − τc 3 ) c 0 − τc 2 β4 "

c3

[− σc

]

 + (β 4 + σ 2 )c 3    ac 2    "[c1 − (σ + τ)c 3 ]    c 0 − τc 2   1

τ=

µω2 2 " GA s

µi 2y ω 2 " 2

(11)

EJ y

β4 =

a=

(10)

µω2" 4 EJ y "2

E*J y

Λ=

1 λ21 + λ22

  1 1 λ1 = +  β 4 + (σ − τ) 2  − (σ + τ)   4   2

(12)

− I t ω2 0

0 0  0 0 1 0  0 1 

(20)

Onde: m é a massa concentrada; I é o momento de Inércia; ω é a frequência natural, conforme elemento 6 da figura 4. c)

Matriz de Transferência de apoio elástico  1   0  0  2 − mω

0 0 0  1 0 0 k 1 0  0 0 1 

(21)

Onde: m é a massa concentrada; I é o momento de Inércia; ω é a frequência natural; k é a constante de mola, conforme elemento 2 da figura 4.

(9)

      − m 1ω 2 

1 0 0 −

k.m 2 ω 2

k − m 2 ω2

0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1 

(22)

Onde: m1 é a massa concentrada solidária ao eixo; m2 é a massa concentrada suspensa; I é o momento de Inércia; ω é a frequência natural; k é a constante de mola, conforme elemento 4 da figura 4. 2.1. Determinação de Constantes para Análise Numérica: A fim de solucionar-se um problema prático, algumas características foram levantadas experimentalmente para a sua resolução numérica. Características como os coeficientes de rigidez de alguns componentes do veículo foram analisados. Já os momentos de inércia dos elementos da figura 3, foram calculados algebricamente, conforme Beer e Johnston, (1991).

(13)

2.1.1. Determinação do Coeficiente de Rigidez dos Pneus:

(14)

Para a determinação do coeficiente de rigidez dos pneus, foi utilizado um método simples, mas eficaz. Levando-se em conta que o veículo é normalmente utilizado com uma pressão específica nos pneus, optou-se por medir-se a deformação do pneu com uma variação do carregamento. O que para pequenas variações da pressão do pneu não acarretam variações significativas no coeficiente de rigidez do mesmo. A título de exemplo, a figura 1, mostra a curva típica referente à força aplicada pelo pneu em relação ao solo e sua respectiva média de deslocamentos para uma pressão de 5 103,4 kPa (15 psi), que resultou no coeficiente de 2,13 x 10 N/m.

(15)

  1 1 λ 2 = +  β4 + (σ − τ) 2  + (σ + τ)   4   2

(16)

c0 = Λ ⋅ (λ22 ⋅ cosh λ1 + λ21 ⋅ cos λ 2 )

(17)

λ2 λ2 c1 = Λ ⋅ ( 2 ⋅ sinhλ1 + 1 ⋅ sinλ 2 ) λ1 λ2

(18)

c 2 = Λ ⋅ (cosh λ1 − cos λ 2 )

0 1

d) Matriz de Transferência de massa - mola acoplada

Onde: E é módulo de Elasticidade; σ é o parâmetro de frequência para deformação por corte; τ é o parâmetro de frequência para inércia rotacional; a é o parâmetro de rigidez; Λ é o inverso da soma das raízes características; λ1, λ2 são as raízes características; c0 , c1 e c2 são coeficientes da equação característica; ω frequência natural σ=

 1   0  0  2  − mω

(19)

b) Matriz de transferência de Massa Concentrada

3 .2

um representado por um tipo de matriz de transferência. A figura 4 mostra as dimensões principais e a figura 5 o modelo utilizado.

3 .1

3 .0 2 .9

D eslocam ento M édio [x E -3 m ]

2 .8 2 .7

2 .6 2 .5

2 .4 2 .3

2 .2 2 .1

2 .0 1 .9

1 .8 1 .7

1 .6 1 .5

1 .4 1 .3

1 .2 5 5 0 .0

5 0 0.0

6 5 0 .0

7 5 0 .0

60 0 .0

70 0 .0

8 5 0 .0

8 00 .0

9 5 0 .0

9 0 0.0

F orça A plicada [N ]

Figura 1: Curva característica dos dados referentes à força aplicada pelo pneu sobre o solo e seu deslocamento médio. 2.1.2. Determinação do Coeficiente de Rigidez da Suspensão Traseira: A determinação do coeficiente de rigidez da suspensão traseira, foi realizada pelo seguinte método: Suspendeu-se o veículo (suspensão sem carregamento) e provocou-se, por meio de esticadores, um deslocamento conhecido registrando a força de tração correspondente medida por uma célula de carga conectada ao esticador . A curva da figura 2 mostra os valores adquiridos referentes aos deslocamentos aplicados em cada lado da suspensão e suas respectivas forças de tração nos esticadores resultando 4 no coeficiente de 3,038 x 10 N/m para o lado esquerdo e 3,03 4 x 10 N/m para o lado direito.

Figura 3: Desenho do eixo com seus principais componentes: 1) cubo de rodas; 2) mancais de fixação do eixo na balança; 3) coroa de acionamento e seu suporte; 4) disco de freio com suporte.

1

14 00.0

10

4 2

3

5

6

7

8

9

11 12 13

1 3 0 0 .0

12 00.0

F o rça A p lica d a [N ]

1 1 0 0 .0

10 00.0

Figura 4: Desenho esquemático do eixo traseiro de transmissão analisado com suas principais dimensões e o modelo simplificado(incluindo a suspensão), onde estão numerados os elementos para a análise pelo método de Matriz de Transferência.

9 0 0 .0

8 00.0

7 0 0 .0

6 00.0

A tabela 1, mostra a seguir, a listagem dos elementos utilizados e propriedades físicas.

5 0 0 .0

4 00.0 1 .0

1 .5

2 .0

2 .5

3 .0

3 .5

4 .0

4 .5

5 .0

D e slo cam e n to M é d io [x E -2 m ]

Figura 2: Força aplicada na suspensão traseira do lado esquerdo (curva em azul) e lado direito (curva em vermelho) pelo deslocamento vertical. 2.2. Modelo do Eixo Traseiro do Veículo para Análise Dinâmica pelo Método da Matriz de Transferência: O modelo aplicado foi montado da seguinte forma: o eixo representado pela figura 3 foi dividido em 13 elementos, cada

Sendo: L o comprimento [m]; µ a massa distribuída [kg]; m a massa concentrada [kg]; E o módulo de elasticidade [Pa]; I o 4 momento de inércia [m ]; G o módulo de cisalhamento [Pa]; A 2 a área da seção [m ]; k o coeficiente de rigidez [N/m]; It o 2 momento transversal de inércia [kg.m ]; Ip o momento polar de 2 inércia [kg.m ].

Tabela 1: Propriedades utilizadas para os elementos do modelo. Elemento N°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

L [m]

Propriedades E 11

[x 10

Pa]

G

11

[x 10

I Pa]

-8

4

A

-4

µ

2

[x 10 m ]

[x 10 m ]

0,1182

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,1317

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,1123

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,3532

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,1536

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,1242

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

0,1079

2,11

0,84

3,98

7,07

6,18

• •

• • • • • •

2

Elemento 1 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 2 (representa o conjunto roda e pneu lado direito): Matriz de Transferência: Apoio elástico com massa concentrada. Elemento 3 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 4 (representa o efeito do peso da balança sobre o eixo, a mola equivalente da suspensão e o efeito do peso do chassi sobre tal mola): Matriz de Transferência: massamola sobre eixo. Elemento 5 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 6 (representa a coroa de transmissão): Matriz de Transferência: massa concentrada com momentos de inércia polar e transversal. Elemento 7 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 8 (representa o disco de freio): Matriz de Transferência: massa concentrada com momentos de inércia polar e transversal. Elemento 9 (segmento de eixo) Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 10 (representa o efeito do peso da balança sobre o eixo, a mola equivalente da suspensão e o efeito do chassi sobre tal mola): Matriz de Transferência: massamola sobre eixo:

• •

K

msup

minf

[x 10 N/m]

[kg]

[kg]

3,038

49,03

5,25

3,03

38,67

5,25

4

21,3

3,45

4,5

3,16

5,56

6,52

•

•

It

-3

[x 10 kg.m ]

6,52

Cuja descrição de cada elemento utilizado é: •

m [kg]

21,3

Elemento 11 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento. Elemento 12 (representa o conjunto roda e pneu lado direito): Matriz de Transferência: Apoio elástico com massa concentrada. Elemento 13 (segmento de eixo): Matriz de Transferência: eixo elástico com massa distribuída e efeito do cisalhamento.

2.3. Resultados Numéricos: Da análise numérica, obteve-se os resultados mostrados na tabela 2. Tabela 2: Resultados obtidos numericamente. Modo Frequência [Hz] 1 17,82 2 22,52 3 62,09 A título de ilustração, um dos modos resultantes pode ser observado na figura 5, que mostra a tela do programa desenvolvido para o cálculo pelo método da matriz de transferência.

Figura 7: Detalhe da balança dianteira e fixação do acelerômetro piezoelétrico de monitoramento do sinal de entrada.

Figura 5: Tela do programa, desenvolvido e utilizado para o cálculo com o Método de Matriz de Transferência.

3 - ANÁLISE EXPERIMENTAL: Para a aquisição das frequências naturais experimentalmente foi utilizado o método da resposta proveniente de um ruído branco. O sinal foi gerado por um gerador de funções em uma mesa vibratória onde uma das rodas dianteiras do veículo servia de entrada do sinal, sendo este transmitido até o último eixo da transmissão. O veículo foi suspenso através de apoios como mostra a figura 6. O sinal originário da mesa vibratória entra através do pneu dianteiro esquerdo sendo o mesmo constantemente monitorado através de um acelerômetro piezoelétrico fixo na junta da balança, figura 7, e transmitido pelo chassi para o eixo traseiro da transmissão, figura 8. Para se verificar os resultados obtidos, após se excitar o veículo com um ruído branco, realizou-se uma “varredura” senoidal nas frequências encontradas com o procedimento anterior.

Figura 8: Detalhe da suspensão traseira, a setas destacam a posição de fixação dos acelerômetros no último eixo da transmissão. Os sinais foram adquiridos por meio de acelerômetros de 0,4 gramas ligados a condicionadores de sinal e esse a uma placa de aquisição A/D ligada por sua vez a um microcomputador. Posteriormente os sinais foram submetidos a Transformada Rápida de Fourier e Densidade Espectral de Potência para a verificação das frequências, conforme Bendat e Piersol, 1971.

3.1. Resultados Experimentais Utilizando a Densidade Espectral de Potência de um sinal gerado de um ruído branco encontrou-se as frequências naturais para os primeiros modos de vibração listados na tabela 3. Tabela 3: Listagem das frequências obtidas de um ruído branco como sinal de excitação. Modo Frequência [Hz] 1 8,0 2 21,0 3 63,5 Figura 6: Vista lateral do veículo com a roda dianteira esquerda apoiada sobre a mesa vibratória.

Da “varredura” senoidal encontrou-se as frequências naturais listadas na tabela 4.

Tabela 4: Listagem das frequências obtidas da “varredura” senoidal. Modo Frequência [Hz] 1 8,0 2 21,5 3 64,4

Que podem ser observados pelos gráficos das figuras 9 e

pelo fato da impossibilidade de levar-se em conta o grande amortecimento do sistema, coincidindo apenas o segundo e terceiro modo. Assim, a utilização do Método de Matriz de Transferência comprovou sua simplicidade, precisão e versatilidade, mesmo em análises de casos complexos como o analisado.

5 - BIBLIOGRAFIA:

10: Pestel, E. C., Leckie, F. A. ,1963, “Matrix Methods in Elastomechanics”, McGraw-Hill, New York. Bendat, J.S., Piersol, A. G., 1971, “Random Data: Analysis and Measurement Procedures”, Wiley-Interscience, New York. Thomson, W. T., 1978, “Teoria da Vibração com Aplicações”, Interciência, Rio de Janeiro. Rao, J. S., 1983, “Rotor Dinamics”, Wiley Eastern, New Delhi,, pp 224. Beer, F. P., Johnston Jr, E. R., 1991, Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática”, Makron Books, São Paulo, pp. 604 707. Figura 9: Densidade Espectral de Potência do eixo traseiro para um ruído branco como sinal de excitação.

Coutinho,L. F. , 1994, “Análise de vibrações por flexão de semi-eixos homocinéticos” . Dissertação, M. Eng., PROMECUFRGS. Rao, S. S., 1995, “Mechanical Vibrations”, Addison-Wesley, New York. Matos, D. F., 1997, “Matriz de Transferência na Análise Dinâmica de Eixos Elásticos considerando o Efeito Giroscópico” . Dissertação, M. Eng., PROMEC-UFRGS.

Figura 10: Densidade Espectral de Potência do eixo traseiro para uma senoide de 20 Hz como sinal de excitação.

4 - CONCLUSÕES: A diferença encontrada entre as análises numérica e experimental ocorre principalmente devido a complexidade do problema. Devido a impossibilidade de se isolar o componente a ser analisado de todo o conjunto sem que ocorram alterações nos resultados se faz necessária a correta observação e interpretação do fenômeno físico. Entretanto a diferença não invalida o uso da análise numérica, se levarmos em conta a análise específica do eixo traseiro onde ambas coincidiram com os resultados. A frequência de 8 Hz encontrada experimentalmente e que não aparece na análise numérica é o modo de vibração entre o chassi e a suspensão traseira. O primeiro modo obtido numericamente não representa adequadamente a realidade