Análisis Dimensional

ANALISIS DIMENSIONAL (Andr´es L. Granados M., Mayo/96) Teorema Π Teorema. Teorema Π o Teorema de Buckingham (el nombre de Edgar Buckingham(1867-1940) es usualmente asociado a este teorema) [Buckingham,(1914-15)]. Aunque se sabe que varios investigadores m´as temprano, incluyendo el nombre de Lord Rayleigh (1842-1919), contribuyeron al desarrollo del an´ alisis dimensional. Se conoce que el teorema fu´e primeramente demostrado por Joseph Bertrand [Bertrand,(1878)] y luego vino el trabajo de Aim´e Vaschy [Vaschy,(1892)]. Dado un fen´ omeno medible, donde intervienen n variables f´ısicas o factores V1 , V2 , V3 , . . . , Vn , en la forma f (V1 , V2 , V3 , . . . , Vn ) = 0

(1)

y donde existen m unidades fundamentales o dimensiones U1 , U2 , U3 , . . . , Um , con m < n, tales que la dimensiones [Vj ] de la variables Vj (j = 1, 2, 3, . . . , n) son αm1 [V1 ] = U1α11 U2α21 U3α31 . . . Um αm2 [V2 ] = U1α12 U2α22 U3α32 . . . Um αm3 [V3 ] = U1α13 U2α23 U3α33 . . . Um

.. .

.. .

.. .

.. .

(2)

.. .

αmn [Vn ] = U1α1n U2α2n U3α3n . . . Um

con rango de la matriz [αij ] igual a m. Es decir, el determinante de la mayor matriz cuadrada [A], con m filas/columnas, que se puede construir a partir de las columnas de la matriz no cuadrada horizontal [αij ] con m filas y n columnas, es no nulo (|A|
= 0). La matriz [A] no singular recibe el nombre de matriz base, la cual se procura colocar en el extremo izquierdo intercambiando el orden de las variables Vj (j = 1, 2, 3, . . . , n). Entonces existen (n − m) par´ ametros adimensionales Π1 , Π2 , Π3 , . . . , Πn−m , no necesariamente independientes entre s´ı, obtenidos con el siguiente procedimiento:  Πk = V1x1 V2x2 V3x3 . . . Vmxm Vm+k k = 1, 2, 3, . . . , n − m

    

α11 α21 α31 .. .

α12 α22 α32 .. .

α13 α23 α33 .. .

··· ··· ··· .. .

αm1

αm2

αm3

· · · αmm

α1m α2m α3m .. .

                

x1 x2 x3 .. . xm

           k

  α1,m+k          α2,m+k  (3) = − α3,m+k   ..     .     αm,m+k

donde el sistema de ecuaciones lineales A.xk = bk permite obtener los exponentes de las variables Vj (j = 1, 2, 3, . . . , m) en los par´ ametros adimensionales Πk , siendo las componentes del vector bk los elementos opuesto de la columna (m + k) en la matriz [αij ] ampliada. Los par´ ametros adimensionales Π1 , Π2 , Π3 , . . . , Πn−m se relacionan en la forma F (Π1 , Π2 , Π3 , . . . , Πn−m ) = 0

(4)

donde el n´ umero de variables independientes que definen el fen´ omeno se ha reducido en m respecto a la funci´ on f en (1). Las primeras variables V1 , V2 , V3 , . . . , Vm deben relacionarse, de forma que la matriz [A] tenga rango m, y, por lo tanto, tenga inversa, y los sistemas de ecuaciones lineales A.xk = bk tengan soluci´ on.

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Corolario Se dicen que los par´ametros adimensionales son independientes entre s´ı, en el sentido de que cada uno de ellos no puede ser obtenido mediante el producto de potencias de los restantes. O sea, β

n−m Πβ1 1 Πβ2 2 Πβ3 3 . . . Πn−m =1

(5)

implica que todos los βk (k = 1, 2, 3, . . . , n−m) deben ser nulos, u ´ nicamente, para garantizar la independencia de los par´ ametros. Obviamente, el rec´ıproco de esta implicaci´on, es decir, todos los βk nulos implica (5), siempre es v´alido en cualquier caso. Definamos las matrices x 11  x21  x31 [X] =   .  . .

x12 x22 x32 .. .

x13 x23 x33 .. .

··· ··· ··· .. .

xm1

xm2

xm3

· · · xm,n−m

x1,n−m x2,n−m x3,n−m .. .

     

α 1,m+1  α2,m+1  α3,m+1 [B] =   ..  .

α1,m+2 α2,m+2 α3,m+2 .. .

α1,m+3 α2,m+3 α3,m+3 .. .

··· ··· ··· .. .

αm,m+1

αm,m+2

αm,m+3

· · · αmn

α1n α2n α3n .. .

    (6)  

Entonces, se tiene que el sistema (3) se puede escribir como A.xk − bk = 0

(7)

La combinaci´ on lineal de cada uno de estos vectores nulos para k = 1, 2, 3, . . . , n − m es tambi´en nulo n−m 

βk (A.xk − bk ) = 0

A.

k=1

n−m 

βk xk −

k=1

n−m 

βk bk = 0

(8)

k=1

Combinando esta expresi´on para todos los xk y los bk se obtiene A.X.β + B.β = 0

(A.X + B).β = 0

(9)

donde las componentes de β son los valores βk , con k = 1, 2, 3, . . . , n − m. Corolario. Dependencia de los Par´ ametros [Brand,(1957)]. Sea [A] una matriz base de rango m, por lo tanto tiene inversa [A]−1 . Bajo las condiciones del Teorema Π se cumplen cualquiera de las siguientes afirmaciones: • Si los vectores bk son linealmente dependientes, entonces los vectores xk = A−1 .bk tambi´en lo son, y viceversa. • Si los vectores xk y bk son en cada uno de sus conjuntos correspondientes linealmente independientes, entonces βk = 0 para k = 1, 2, 3, . . . , n − m. • Si bl es linealmente dependiente de los restantes bk , los cuales son linealmente independientes entre s´ı, entonces, asumiendo βl = 0, se tiene que βk = 0 para k
= l. El par´ ametro adimensional Πl se obtiene entonces como el producto de potencias de los Πk restantes. • Si la matriz [A.X + B] tiene rango r, entonces existen al menos r par´ ametros adimensionales Πk independientes entre s´ı. BIBLIOGRAFIA [1] Bertrand, Jh. “Sur lhomog´en´eit´e dans les formules de physique”. Comptes Rendus, Vol.86, No.15, pp.916-920, (1878). 2

[2] Brand, L. “The Pi Theorem of Dimensional Analysis”. Arch. Rational Mech. Anal., Vol.1, pp.35-45, (1957). [3] Buckingham, E. “On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Equations”. Phys. Rev., Vol.4, No.4, pp.345-376, (1914). [4] Buckingham, E. “Model Experiments and the Form of Empirical Equations”. Trans. ASME, Vol.37, pp.263-296, (1915). [5] Kunes, J. Dimensionless Physical Quantities in Science and Engineering. Elsevier (London), 2012. [6] Land, N. S. A Compilation of Nondimensional Numbers. NASA Report No. SP-274, National Aeronautics and Space Administration (Washington), 1972. [7] Vaschy, A. “Sur les lois de similitude en physique”.Annales T´ el´ egraphiques, Vol.19,janvier-f´evrier, pp.25-28, (1892).

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