An´alisis Din´amico De Droide BB-8 Laura Victoria Trujillo Taborda
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Paula Andrea Waltero Angarita
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25 de Noviembre de 2016 Resumen En el actual informe se presenta el modelo din´amico del droide BB-8, personaje de la saga Star Wars: Episode VII ’The Force Awakens’, como un robot esf´erico mediante la formulaci´ on de Lagrange, obteniendo las ecuaciones de movimiento en la forma tradicional Euler-Lagrange. Tales ecuaciones fueron simplificadas desacoplando el Lagrangiano en dos grados de libertad bajo consideraciones validadas experimentalmente en investigaciones anteriores. Adem´as, se lleva a cabo simulaciones que describen su comportamiento din´ amico.
1.
Introducci´ on
Un robot esf´erico es un tipo de robot m´ovil que ha recibido particular atenci´on en los u ´ltimos a˜ nos, ya que su morfolog´ıa conlleva ventajas significativas en comparaci´on a la rob´otica tradicional como: (i) El cascar´on esf´erico protege todo el sistema; (ii) el movimiento se asemeja al de las ruedas pero con gran eficiencia; (iii) el movimiento puede ser omnidireccional, es decir en cualquier direcci´on y sentido, debido a su naturaleza intr´ınseca de simetr´ıa geom´etrica; (iv) La envoltura exterior, es decir el cascar´on esf´erico, permite la r´apida recuperaci´on de colisiones y el contacto autom´atico se adapta a terrenos tanto regulares como irregulares. Debido al inter´es creciente en el campo cient´ıfico y tecnol´ogico ´este robot ha sido trabajado experimentalmente utilizando diferentes mecanismos de accionamiento, los cuales se dividen en tres categor´ıas: m´etodo de acci´on directa, por gravedad o por momento angular [6]. El m´etodo de acci´on directa, introducido en 1996 por Halme [7], consiste en transmitir directamente el torque producido por un motor al sistema esf´erico siendo este, en u ´ltimas, la fuerza de accionamiento del robot. Por otro lado, el m´etodo de acci´on por gravedad manipula la posici´on del centro de masa del robot mediante el torque realizado respecto a un punto de contacto con la superficie en la que se ubica el sistema, permiti´endole desplazarse. El tercer m´etodo hace uso de la conservaci´on de momento angular por medio de un volante (Flywheel ) instalado dentro del robot esf´erico, en donde si ´este gira, el sistema rotar´a en la direcci´on opuesta debido al balance de momento angular [6]. Las caracter´ısticas del robot esf´erico bajo estas diferentes configuraciones se muestran en Figura 1.
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Figura 1: Caracter´ısticas de diseo robot esf´erico. ”V¨ındica que el robot es capaz de realizar determinado movimiento. En ’Design and implementation of a ball-driven omnidirectional spherical robot’ por Wei-Hsi Chen 2013, ”Mechanism and Machine Theory”.
Claramente, como se detalla en tales referencias, cada m´etodo tiene ventajas y desventajas en cuesti´on de movilidad. Por decir, el m´etodo de acci´on directa permite obtener una fuerza de propulsi´on controlable que puede extenderse a una escala mayor obteniendo como resultado un movimiento no s´olo m´as r´apido, sino que tambi´en supera mayores obst´aculos que el que ofrece la acci´on por gravedad. Por tanto, el dise˜ no de un robot esf´erico depende de la configuraci´on que se tome para su elaboraci´on y de las consideraciones apropiadas bajo las cuales se pretende trabajar. No obstante, las ventajas de un robot esf´erico indican que ´estos ser´ıan apropiados para muchas aplicaciones de rob´otica m´ovil tales como vigilancia, reconocimiento, evaluaci´on de ambiente peligroso, b´ usqueda y rescate, as´ı como tambi´en exploraci´on planetaria debido a su versatilidad en ambientes hostiles y es por ello, que el estudio y an´alisis del comportamiento de estos sistemas es de gran inter´es actual. As´ı pues, con el fin de analizar el comportamiento de BB-8, que en u ´ltimas es un robot esf´erico (Ver Figura 2), es necesario partir de consideraciones apropiadas que faciliten la din´amica de ´este y, adem´as como se mencion´o anteriormente, de una configuraci´on adecuada para el control de ´este. Basados en investigaciones anteriores [2, 3, 6] se pretende simular el posible comportamiento del droide creado en la saga de Star Wars. Tales trabajos presentan no slo un modelo din´amico utilizando el m´etodo de acci´on directa, sino que a su vez sustentan la validez de robot esf´erico experimentalmente.
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(b) Prototipo Robot Esf´erico.En The EulerPoincar´e equations for a spherical robot actuated by a pendulum por Sneha Gajbhiye & Ravi Banavar
(a) Esquema BB-8. En ’BB-8 Datasheet’ por ADAM Techologies Inc.
Figura 2: BB-8
2.
Modelo Matem´ atico
Din´ amica Del Sistema Debido a la complejidad del sistema, se tendr´an en cuenta las siguientes consideraciones para un modelo simplificado, El sistema se mueve sin deslizarse sobre una superficie horizontal. No existe fuerza de fricci´on interna o externa. El centro de masa del cascar´on esf´erico coincide con el centro de masa de todo el sistema. El p´endulo se encuentra en posici´on vertical (hacia abajo) cuando la esfera est´a en equilibrio. El p´endulo est´a compuesto por una masa particular (mp ) atada a una barra con masa despreciable y de longitud no variable. Bajo estas suposiciones, se utiliza la formulaci´on de Lagrange teniendo como energ´ıa cin´etica total T , T = TT E + TRE + TP 1 1 1 T = mE x˙E 2 + IE ϕ˙ 2 + mP (x˙P 2 + y˙P 2 ) 2 2 2 3
(1)
Siendo TT E la energ´ıa cin´etica traslacional de la esfera, TRE la rotacional de la esfera y TP la energ´ıa cin´etica del p´endulo. Conociendo el momento de inercia I para un cascar´on esf´erico y teniendo en cuenta el desplazamiento de una esfera dado por xE = Rϕ, se llega a, 1 5 T = mE R2 ϕ˙ 2 + mP (l2 α˙ 2 + R2 ϕ˙ 2 ) + mP lRϕ˙ α˙ cos(α) 6 2 Y la energ´ıa potencial del sistema viene dada por, V = mP gl cos(α)
(2)
(3)
Con ello, el lagrangiano L queda definido como, 1 5 L = mE R2 ϕ˙ 2 + mP (l2 α˙ 2 + R2 ϕ˙ 2 ) + mP lRϕ˙ α˙ cos(α) − mP gl cos(α) 6 2
(4)
Por tanto, a partir de la forma tradicional Euler-Lagrange, se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento del sistema, 5 u ( mE + mP )Rϕ¨ + (mP l cos α)¨ α − (mP lR sin α)α˙ 2 = 3 R
(5)
mP l 2 α ¨ + (mP l cos α)ϕ¨ − mp gl sin α = −u
(6)
Donde u es la fuerza de entrada o fuerza generalizada externa aplicada al sistema, mP , mE es la masa del p´endulo y esfera, respectivamente; g la aceleraci´on de la gravedad tomada como 9,8ms−2 y l la longitud del p´endulo.
Figura 3: Modelo del sistema simplificado. En Design and Development of a Spherical Robot por Dip Narayan Ray [2]
4
Espacio de Estados Con el fin de analizar la din´amica de cada una de las variables del sistema se busca obtener una representaci´on en el espacio de estados. Se tiene que, u B β cos(α) 2 βg sin(α) − u − + βg sin(α)α˙ ϕ¨ = Aβ cos2 (α) − kB β cos(α) R u k A cos(α) 2 2 + β sin (α)α˙ + (βg sin(α) − u) α ¨= Aβ cos2 (α) − kB R A cos(α)
(7)
(8)
Donde, 5 k = ( mE + mP )R 3 A = mP lR B = mP l2 β = mP l
(9)
Haciendo las siguientes transformaciones, x1 x˙1 x˙2 x3 x˙3 x˙4
=α = x2 = α˙ =α ¨ =ϕ = x4 = ϕ˙ = ϕ¨
(10)
Se obtiene una representaci´on en el espacio de estados no lineal, tal y como lo muestra ecuaci´on 11. x˙1 = x2 u k A cos(x1 ) 2 2 + β sin (x1 )x2 + (βg sin(x1 ) − u) x˙2 = Aβ cos2 (x1 ) − kB R A cos(x1 ) x˙3 = x4 u β cos(x1 ) B 2 x˙4 = βg sin(x1 ) − u − + βg sin(x1 )x2 Aβ cos2 (x1 ) − kB β cos(x1 ) R
5
(11)
3.
Resultados
En esta secci´on se muestran los resultados obtenidos de simulaciones realizadas en base al sistema de ecuaciones 11. Estas simulaciones fueron realizadas en Matlab-software of MathWorks Inc. (Version 9.1.0.441655, R2016b), utilizando la funci´on ode45 para la soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales.
Figura 4: Simulaci´on 1 Gr´afica de movimiento de BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
Los posibles puntos de equilibrio del sistema se sit´ uan en los m´ ultiplos de π, es decir, se podr´ıa afirmar que est´an en nπ con n = 1, 2, 3, ... debido a las funciones sinusoidales presentes en las ecuaciones de estado. Como se muestra en la Figura 4, sin una fuerza externa que impulse el sistema y teniendo el p´endulo con un a´ngulo inicial de π es de esperarse que el movimiento sea insignificante respecto a la esfera y que se presenten oscilaciones en el p´endulo entorno a este valor como se muestra en Figura 4(a). Cabe apreciar que estas oscilaciones no se ven fuertemente amortiguadas a medida que transcurre el tiempo debido a que no se considera una fuerza de fricci´on en el sistema.
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Figura 5: Simulaci´on Gr´afica de movimiento de BB-8 Con condiciones iniciales x1 = 2π, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
Sin embargo, para observar con mayor claridad si los puntos de equilibrio se sit´ uan en nπ en ausencia de un impulso inicial, se da un ´angulo inicial al p´endulo de 2π, es decir, la misma posici´on que en 0 y como se muestra en Figura 5 el movimiento permanece acotado en valores cercanos a x3 = 0 y x1 = 2π; adem´as de que sus respectivas velocidades son cercanas a 0, lo que quiere decir que el sistema no se est´a movimiento y con ello, se puede afirmar que est´a en un punto de equilibrio. Es posible a˜ nadir, que las oscilaciones respecto a este punto de equilibrio puedan ser producto del m´etodo num´erico llevado a cabo. Por otro lado, para una posici´on inicial diferente a nπ se observa que en ausencia de una fuerza impulsadora, el sistema no presenta mayores cambios traslacionales a pesar de que sus velocidades cambian considerablemente respecto con las de los puntos de equilibrio. En pocas palabras, esto quiere decir que pese a que el cascar´on esf´erico no se est´a moviendo progresivamente sobre la superficie, el sistema est´a oscilando, dando como respuesta una velocidad tanto del p´endulo como del cascar´on. Figura 6 y 7 muestran claramente este comportamiento.
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Figura 6: Simulaci´on 3 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π2 , x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
Es evidente que el p´endulo oscila dentro del cascar´on y su velocidad es diferente de 0. F´ısicamente, esto representa que el robot esf´erico se est´a moviendo hacia adelante y atr´as (Fig 7(c)) ´o se est´a desplazando despreciablemente hacia atr´as (Fig 6(c)).
Figura 7: Simulaci´on 4 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 =
π 12 ,
x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
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Figura 8: Simulaci´on 5 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = 0, x˙1 = 1, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
Para el caso en el que el p´endulo empieza a oscilar debido a una velocidad inicial aplicada estando en su posici´on de equilibrio, Figura 8, se aprecia que para el caso ideal en el que no existe fuerza de fricci´on, el sistema avanzar´a traslacionalmente (Fig 8(c)) con cierto vaiv´en.
Figura 9: Simulaci´on 6 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π, x˙1 = 1, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
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Si se adiciona una posici´on inicial al p´endulo (Figura 9) como un punto de equilibrio en este caso π, se observa cierta inestabilidad pasados los primeros 5 segundos y posteriormente cierta estabilidad alrededor de 0 tanto para x1 como x2 .
Figura 10: Simulaci´on 7 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π2 , x˙1 = 1, x2 = 0, x˙2 = 0 y entrada u = 0.
Si se tiene una posici´on inicial en el p´endulo diferente a los puntos de equilibrio como se muestra en Figura 10 es posible afirmar que el sistema retrocede respecto a la superficie horizontal con una velocidad peque˜ na (Fig 10 (c),(d)). Por ello, es v´alido decir que a pesar de que el movimiento no es precisamente r´apido es posible obtener un avance/retroceso en la posici´on de un robot esf´erico con un sistema esferap´endulo. Adem´as, cabe notar que tal desplazamiento no es constante, sino que conlleva cierto vaiv´en en el movimiento. Es decir, cada que el sistema avance tendr´a en su desplazamiento cierto retroceso, esto se ve en Figura 10 (c). Por tal raz´on se desea a˜ nadir un controlador que permita el progreso en el desplazamiento y elimine el vaiv´en que se presenta. En base a ello, se har´a uso de un controlador-P con compesaci´on gravitatoria propuesto por Ylikorpi [8], el cual ajusta el torque del p´endulo para obtener una velocidad constante de ´este. Para una velocidad deseada de p´endulo θ˙p se observa tanto para Figura 11 y 12 que se logra eliminar el vaiv´en del movimiento que se ten´ıa anteriormente. Sin embargo, se aprecia en Figura 11(c) que primero se retrocede para posteriormente avanzar. Como se observa en Fig 11(b), el control de la velocidad de p´endulo es satisfactorio pues permanece constante respecto al valor deseado.
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Figura 11: Simulaci´on 8 Gr´afica Movimiento BB-8 CI x1 = 0, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0, θ˙p = 10 y entrada u = 10(θ˙p − x2 ) + (mp gl sin(x1 + x3 )).
Se aprecia que a mayor velocidad deseada de p´endulo θ˙p mejor control de esta, pues en Figura 12(b) se ve que tiene un rango mayor de oscilaci´on al de Figura 11(b).
Figura 12: Simulaci´on 9 Gr´afica Movimiento BB-8 CI x1 = 0, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0, θ˙p = 1 y entrada u = 10(θ˙p − x2 ) + (mp gl sin(x1 + x3 )).
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Figura 13: Simulaci´on 10 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0, θ˙p = 4 y entrada u = 10(θ˙p − x2 ) + (mp gl sin(x1 + x3 ).
Como se ve en Figura 13(b) a mayor velocidad de p´endulo deseado se puede obtener una permanencia en esta velocidad, pues en contraste con la Figura 14(b) vemos que la oscilaci´on se hace mayor para un tiempo mayor a 8 segundos, mientras que en la Figura 13 la oscilaci´on empieza a ser apreciable a partir de los 2 segundos. Adem´as, el vaiv´en se ve reducido en la Figura 14(c) en comparaci´on con la Figura 13(c); esto es debido al control en el manejo de la velocidad de p´endulo deseado.
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Figura 14: Simulaci´on 11 Gr´afica Movimiento BB-8 Con condiciones iniciales x1 = π, x˙1 = 0, x2 = 0, x˙2 = 0, θ˙p = 10 y entrada u = 10(θ˙p − x2 ) + (mp gl sin(x1 + x3 ).
4.
Conclusiones
A partir del formalismo Lagrangiano se encontraron las ecuaciones que describen el movimiento del sistema, lo cual representa la base fundamental de su comportamiento. Posteriormente teniendo en cuenta par´ametros y condiciones iniciales se efectuaron simulaciones variando ´estas y se procedi´o a analizar la respuesta del sistema tras realizar las modificaciones. Se pudo observar que al darle valores al ´angulo de desplazamiento del p´endulo que sean m´ ultiplos enteros de n, no se presenta desplazamiento significativo con respecto a la esfera, permaneciendo pr´acticamente inm´ovil, lo cual es un indicio de la presencia de puntos de equilibrio bajo esas condiciones. Se puede concluir que en base a los resultados obtenidos es posible a˜ nadir un control al sistema para as´ı manipular variables y obtener un movimiento menos inestable. Adem´as, debido a la complejidad que acarrea analizar este tipo de sistemas no-lineales no fue posible un estudio de mayor profundidad en el control de ´este, sin embargo se concluye que es posible llevarlo a cabo en base a investigaciones anteriores.
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Referencias [1] Jonsson, R. (2015).Lagrangian Mechanics Applied To A Spherical Rolling Robot. Karlstad University. [2] Pokhrel, D., Luitel, N. R., Das, S., Ray, D. N. (n.d.). Design and Development of a Spherical Robot (SpheRobot)(Publication). [3] Gajbhiye, S., Banavar, R. N. (2007). The Euler- Poincar equations for a spherical robot actuated by a pendulum (Publication No. SR/S3/MERC-083/2007). Bombai, India. [4] How STAR WARS BB-8 Droid (Probably) Works.Nerdist. Retrieved November 10, 2016, from http://nerdist.com/how-star-wars-bb-8-droid-probably-works/ [5] F. Michaud and S. Caron. Roball: the rolling robot. In: Autonomous Robot 12 (Mar. 2002), pp. 211 222. issn: 0929-5593. doi: 10.1023/A:1014005728519. [6] Chen, W. H., Chen, C. P., Tsai, J. S., Yang, J., Lin, P. C. (2013). Design and implementation of a ball-driven omnidirectional spherical robot. Mechanism and Machine Theory, 68, 35-48 [7] A. Halme, T. Schnberg, Y. Wang, Motion control of a spherical mobile robot, Proceedings.,4th International Workshop on Advanced Motion Control (AMC’96-MIE), vol. 1, 1996, pp. 259264. [8] Ylikorpi, T. J., Halme, A. J., Forsman, P. J. (2017). Dynamic modeling and obstaclecrossing capability of flexible pendulum-driven ball-shaped robots. Robotics and Autonomous Systems, 87, 269-280.
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