Análisis esructural mediante redes neuronales y algoritmos genéticos

Francisco Casanova del Angel Análisis estructural mediante redes neuronales y algoritmos genéticos

Francisco Casanova del Angel

Análisis estructural mediante redes neuronales y algoritmos genéticos Fractal kalibola

Editorial Académica Española

Prefacio El libro denominado Análisis estructural mediante redes neuronales y algoritmos genéticos que tiene usted en sus manos, en un producto de la investigación realizada desde 1999 en un nuevo campo del diseño arquitectónico; las estructuras fractales. El trabajo de investigación inicia a través de un encuentro personal que tuve con el arquitecto mexicano Juan José Díaz Infante y Núñez, en su casa de la avenida Ámsterdam en la ciudad de México. El primer capítulo parte de una reseña histórica de lo que desde 1975 se conoce como la teoría de los fractales, se deduce la dimensión fractal de la esfera de Kalicosmia o Kalibola y se analiza la dimensionalidad de sus fronteras mostrando la construcción iterativa de la esfera fractal. Se presentan aplicaciones industriales de las estructuras fractales desarrolladas en México. El segundo capítulo está dedicado a la conceptualización matemática del pasado, el presente y el futuro de la arquitectura. Se construyen definiciones para conceptuar el tema, se plantean y demuestran dos lemas: uno sobre la relación que existe entre masa volumétrica y velocidad de construcción, y otro sobre el volumen espacial disponible en un inmueble. Se presenta el cálculo del volumen espacial disponible en un inmueble arquitectónico y el teorema fundamental de la teoría sobre arquitectura fractal. También se estudia la relación que tiene la arquitectura fractal con las estructuras de crecimiento radial, y con la estructura cristalina del carbono, que ha llevado al conocimiento de los Fullerenos cuya geometría está basada en pentágonos y hexágonos. El tercer capítulo presentan las hipótesis teóricas y el desarrollo básico del análisis estructural de la Kalibola fractal. Se muestran los complementos y/o sustituciones de algunos pasos importantes en las aplicaciones a la red neuronal desarrollada del método de rigideces, del cálculo de los elementos mecánicos y del elemento finito. Aquí, la parte fundamental lo hace el análisis neuronal de la Kalibola, incluida la solución del sistema de ecuaciones por medio de la red neuronal tipo Madaline. En el cuarto capítulo se desarrolla un sistema que involucra dos áreas que los actuales sistemas de cálculo estructural no consideran, siendo éstas los algoritmos genéticos y la arquitectura de estructuras fractales. El sistema desarrollado es capaz de obtener los elementos estructurales óptimos de una estructura de tipo fractal en acero, utilizando algoritmos genéticos a partir de la información obtenida de su cálculo estructural mediante una red neuronal artificial. A pesar de que el presente documento se le cataloga como de investigación, se han incluido dos apéndices de teoría conocida. El primero muestra la parte teórica y conceptual de las redes neuronales artificiales; desde la neurona biológica hasta la

informática, sin olvidar a Santiago Ramón y Cajal. En el segundo apéndice se hace lo mismo, pero con el cómputo evolutivo, y sus algoritmos genéticos y estrategias. Es de justicia dejar aquí asentado que gran parte del esfuerzo filosófico, que no matemático, que contiene el presente trabajo, ha sido ampliamente discutido con el creador del concepto Kalicosmia: Juan José Díaz Infante y Núñez. Algunos de los desarrollos informáticos utilizados para probar la factibilidad del análisis estructural mediante redes neuronales informáticas, fue realizado por Francisco Javier Espino Rodríguez. Otros de los desarrollos informáticos que muestran la viabilidad y aplicación a las estructuras del cómputo evolutivo, han sido implementados por Hugo Alberto Xochicale Rojas. A ellos mi agradecimiento por su invaluable y desinteresada ayuda. Parte del contenido de este libro de investigación ha sido desarrollado al interior del Instituto Politécnico Nacional, el apoyo que he recibido ha sido tan solo de tiempo dedicado a mis labores de investigación, y siempre intenté dejar constancia de las publicaciones científicas que fueron utilizadas durante el desarrollo de la investigación.

Francisco Casanova del Angel

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Análisis estructural mediante redes neuronales y algoritmos genéticos Contenido general Pág.

PREFACIO CAPÍTULO 1. La dimensión fractal de las estructuras Introducción La dimensión fractal de la esfera Kalicosmia Dimensionalidad de las fronteras Aplicación industrial

2 6 9 12

CAPÍTULO 2. Conceptualización matemática de la arquitectura fractal Introducción Desarrollo matemático Teorema fundamental de Kalicosmia El concepto de la arquitectura fractal Estructura fractal de la arquitectura Estructuras de crecimiento radial Modelo bidimensional de crecimiento radial Modelo tridimensional de crecimiento radial Efecto de crecimiento Estructura cristalina de Kalicosmia

14 14 22 23 23 26 27 28 31 32

CAPÍTULO 3. Análisis estructural del fractal kalibola mediante redes neuronales informáticas Clasificación del análisis estructural Aplicación al método general de rigideces Aplicación de la red neuronal informática Método general de rigideces Cálculo de desplazamientos Comentarios a los resultados Cálculo de invariantes estructurales para sistemas reales i

34 35 36 36 37 41 41

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Pág. Cálculo de los elementos mecánicos Aplicación al método del elemento finito Elemento finito triangular de deformación constante Análisis neuronal de la Kalibola Descripción de la estructura Solución del sistema de ecuaciones por la red neuronal Madaline

43 47 48 51 51 55

CAPÍTULO 4. Cálculo y diseño de estructuras fractales en acero, empleando cómputo evolutivo y redes neuronales artificiales Introducción Arquitectura de las estructuras fractales en acero Cómputo evolutivo Metodología del sistema Definición del genotipo y del fenotipo Codificación del sistema Aplicación y resultados del sistema Resultados de una estructura tipo armadura con SAP2000 Aplicación del sistema a una estructura de tipo fractal

58 59 60 61 62 66 66 70 72

APÉNDICE A. Redes Neuronales Artificiales (RNA) Introducción La neurona biológica Antecedentes La neurona artificial Elementos procesadores Entradas y salidas Función de transferencia Interconexiones Reglas de aprendizaje Aprendizaje de Hebb El Perceptrón Adaline y Madaline Retropropagación

75 76 77 83 84 85 87 89 90 92 92 93 98

APÉNDICE B. Cómputo evolutivo Introducción Vida artificial Definiciones AG Opciones de un AG Programación genética, evolutiva y estrategias evolutivas ii

107 108 109 110 111 113

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Anexo 1. Programación neuronal Introducción Programa NEURAL Subrutinas de apoyo para el programa NEURAL Programa MATRIZ INVARIANTES Subrutinas de apoyo para el programa MATRIZ INVARIANTES Programa INVARIANTES ESTRUCTURALES Subrutinas de apoyo para el programa INVARIANTES ESTRUCTURALES Subrutina KALIBOLA NEURAL Programa ARMADURAS Subprogramas del programa ARMADURAS

115 115 118 120 122 125 128 131 133 135

Anexo 2. Datos para el análisis de la Kalibola Introducción

141

Bibliografía

147

Contenido de figuras Figura 1.1 Figura 1.2.

Figura 1.3 Figura 2.1 Figura 2.2

Figura 2.3 Figura 2.4 Figura 2.5 Figura 2.6 Figura 2.7 Figura 2.8

Figura 2.9

El universo de objetos fractales Escala del círculo. (a) Un pequeño círculo contenido dentro de 4 unidades cuadradas. (b) Si el radio del círculo se dobla, entonces éste se encuentra dentro de 16 de las unidades cuadradas Construcción de la kalibola Función que relaciona la masa volumétrica y la velocidad de construcción de un inmueble Espacio fundamental de la masa volumétrica, de la velocidad de construcción y el espacio habitable o espacio fundamental de la teoría de Kalicosmia Proyección espacial de la masa volumétrica y la velocidad de construcción Función convergente de la velocidad de construcción Función convergente de la masa volumétrica Volumen espacial disponible acotado por la región k Diseño arquitectónico fractal Formas geométricas con dimensionalidad llamada de Hausdorff-Besicovitch. a) Línea, b) superficie, c) cubo, y d) kalibola Sección longitudinal de una estructura con crecimiento radial iii

5

7 10 16

16 17 18 18 20 23

25 26

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Pág. Figura 2.10 Figura 2.11 Figura 2.12

Figura 3.1 Figura.3.2 Figura 3.3 Figura 3.4 Figura 3.5 Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3 Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6 Figura 4.7 Figura 4.8 Figura A.1 Figura A.2 Figura A.3 Figura A.4 Figura A.5 Figura A.6 Figura A.7 Figura A.8 Figura A.9 Figura A.10 Figura A.11 Figura A.12 Figura A.13 Figura A.14 Figura A.15

Esfera triangulada con crecimiento radial y longitudinal Descripción diagramática del triángulo Tij subdividido en cuatro triángulos pequeños Esquemas de una serie de esferas trianguladas derivadas de un icosaedro (lado izquierdo de la figura), mediante la subdivisión de un triángulo en cuatro nuevos triángulos Viga continua mostrando grados de libertad Estructura sujeta a pruebas de carga Elemento finito triangular lineal de deformación constante Niveles de elementos mecánicos para las barras del poliedro Aprendizaje de la primera neurona para el análisis del poliedro Estructura tipo armadura Función objetivo Algoritmo de inicialización de genes Algoritmos de mutación y cruzamiento de genes Programa principal Resultados comparativos entre SAP2000 y el sistema desarrollado para el elemento b Resultados comparativos entre SAP2000 y el sistema desarrollado para los elementos a y c Esquema del Museo Gota de Agua Esquema de un grupo de neuronas Estructura de un axón Forma de acción de la neurona Mecanismo de propagación del impulso a través del axón Transmisión de la señal en la brecha sináptica por transmisión química Esquema de un elemento procesador Esquema de un Elemento Procesador de la capa de entrada Esquema de un Elemento Procesador de la capa de salida Esquema de un Elemento Procesador de la capa intermedia Topología básica de una Red Neuronal Artificial Gráficas de las funciones de activación Esquemas de interconexión entre EP´s Esquema indicativo del aprendizaje supervisado Esquema indicativo del aprendizaje no supervisado Esquema general de la red tipo a) Adaline y b) Madaline

iv

27 30

31 39 41 48 54 55 63 67 67 67 67 71 72 73 78 79 80 81 82 84 85 85 86 86 88 90 91 92 93

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Pág. Figura A.16 Figura B.1

Vista de la topología de la Red Neuronal considerando el término de bías Conjunto que forma la vida artificial

103 108

Contenido de fotografías Foto 1.1 Foto 1.2 Foto 1.3 Foto 1.4 Foto 2.1

Kalibola fractal de metal Recubrimiento de la kalibola Ensamblado del piso Unión de los elementos estructurales Kalibola fractal de metal

11 11 11 11 32

Contenido de cuadros Cuadro 1.1 Cuadro 3.1 Cuadro 3.2 Cuadro 3.3 Cuadro 3.4 Cuadro 3.5 Cuadro 3.6 Cuadro 3.7 Cuadro 3.8 Cuadro 3.9 Cuadro 3.10 Cuadro 3.11 Cuadro 3.12 Cuadro 3.13

Cuadro 3.14

Más de un siglo de fractales Clasificación del análisis estructural Introducción de datos al sistema, de acuerdo al siguiente orden Resultados del programa para la sub matriz de rigideces; vectores de entrenamiento. Desplazamientos de pisos en pruebas de carga Introducción de datos al sistema, de acuerdo al siguiente orden Resultados del programa para la matriz de vectores columna. Vectores de entrenamiento Introducción de datos al sistema, de acuerdo al orden especificado Resultados del programa para la matriz de vectores columna. Vectores de entrenamiento Valores de los nodos Introducción de datos al sistema, de acuerdo al orden especificado Resultados del programa para la matriz de vectores columna. Vectores de entrenamiento Análisis del poliedro en kg, cm Análisis de la armadura 3D, con 220 barras, 100 nudos y 222 grados de libertad mediante la red neuronal de tipo Madaline construida Comparación de operaciones

v

4 34 39 40 41 42 42 44 44 48 49 49 52

56 56

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Pág. Cuadro 4.1 Cuadro 4.2 Cuadro 4.3 Cuadro 4.4 Cuadro 4.5 Cuadro 4.6

Cuadro 4.7 Cuadro 4.8 Cuadro 4.9 Cuadro 4.10

Cuadro 4.11 Cuadro B.1 Cuadro A2.1 Cuadro A2.2 Cuadro A2.3 Cuadro A2.4 Cuadro A2.5

Definición del fenotipo 1 Definición del fenotipo 2 Uso de variables de la función de adaptación Resultados de la ejecución del sistema de una estructura tipo armadura Datos de las diferentes pruebas del sistema Resultados de las diferentes pruebas. Comportamiento del número de generaciones con sus respectivas probabilidades de mutación y cruza Resumen de salida del sistema Características de los elementos Resultados obtenidos del SAP2000 y de este proyecto Datos de la estructura en análisis. Se manejan tres niveles, cada uno con seis y siete capas, como se muestran en la figura 4.8 Resumen de resultados obtenidos del análisis Se resumen algunas opciones de un AG Datos iniciales Valores de las articulaciones en los 74 nodos Valores de las 216 barras Valores de los siete nodos inferiores. Restricciones de nudos Valores, por nudo, de miembros cargados

vi

62 64 65 68 69

69 70 71 71

72 73 112 141 141 143 145 145

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