Análisis Estático de Vigas. Mecánica de Materiales.

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Resumen (Abstract)

Este proyecto consiste en analizar cinco tipos de vigas de diferentes geometrías en cinco sistemas de carga igualmente diversos. Al mencionar "sistemas de carga" a lo largo de este texto, se refiere a las configuraciones tanto de posición como magnitud de las fuerzas aplicadas. Las vigas que se utilizarán son: en C, cuadrada hueca, cuadrada sólida, en T y en L.
Para lograr lo anteriormente dicho, en primera instancia se debe diseñar y manufacturar un soporte para vigas de posiciones ajustables. Posteriormente, colocar galgas extensiométricas para medir la deformación real de las vigas, y finalmente compararlo con resultados analíticos. Estos últimos serán obtenidos de dos formas: el método de secciones convencional con ayuda del programa Matlab, y Análisis de Elemento Finito, de Inventor.
Finalmente se concluirá qué viga en la más apta para los sistemas de carga planteados y por qué. Además, se analizará el error porcentual que existe en cada método analítico utilizado, los orígenes de otras posibles fallas y observaciones, para así llegar a una conclusión ingenieril consistente.


Índice
Resumen (Abstract) 1
Introducción 2
Objetivos 2
Desarrollo 2
Resultados 5
Análisis de Resultados 21
Conclusiones 23
Referencias 23
Anexos 23





Introducción

La tensión es la cantidad de deformación de un cuerpo debido a la acción de una fuerza aplicada. Más específicamente, la tensión se define como el cambio fraccional en longitud.
Mientras existen muchos métodos para medir tensión, el método más común utilizado para realizar este tipo de análisis es con un medidor de tensión (o galga extensiométrica), un dispositivo cuya resistencia eléctrica varía en proporción a la cantidad de tensión en el dispositivo.
En la práctica, las mediciones de tensión rara vez involucran cantidades mayores a unas pocas milésimas de tensión (e x 10-3). Por lo tanto, es muy importante que para la medición de tensión, la exactitud en la detección de cambios sea precisa y debido a que son muy pequeños, se utiliza una galga extensiométrica para medirlos en resistencia.
Aunque las galgas extensiométricas puedan utilizarse para medir tensión debemos saber que esta tensión se da en la galga gracias a la flexión mecánica que presentan las vigas, la flexión mecánica es el tipo de deformación que se presenta en un elemento estructural alargado en su sección perpendicular al eje longitudinal de la misma. Estos elementos alargados que soportan cargas de manera perpendicular se denominan vigas.
La precisión de las galgas es muy importante ya que "las cargas aplicadas a las vigas provocan que se desarrolle una fuerza cortante interna y un momento flexionante que, en general, varían de un punto a otro a lo largo del eje de la viga". (Hibbeler,2011)
Para medir tales cambios en la resistencia y poder detectar las modificaciones al fenómeno de torsión y flexión, las galgas extensiométricas casi siempre se emplean en configuraciones de puente con una fuente de excitación de voltaje.

Objetivos
Determinar los esfuerzos de flexión en vigas de diferentes perfiles, mediante los análisis experimental, teórico y electrónico (CAD). Así como analizar el efecto de la sección transversal en la rigidez de la estructura.

Desarrollo

Para realizar el proyecto fue necesario construir una base de acero en PTR de dos pulgadas de ancho y sobre la cual se soldaron los soportes según las especificaciones del proyecto: uno fijo soldado a la base y uno más que se pudiera mover libremente sobre el eje "x" para llevar a cabo los experimentos. Posteriormente, se decidió hacer una coladera en la base para que el hilo (del cual se colgarán las cargas puntuales) no chocara con ésta.







Una vez construida la base y habiendo hecho los cálculos correspondientes al FEM, se procedió a colocar las galgas sobre los perfiles de las vigas especificados en el proyecto y las cuales se muestran a continuación:

(Cabe aclarar que al no encontrar un perfil en forma de "I" el equipo decidió sustituir éste por uno en forma de "L")
Posteriormente se procedió a elaborar un archivo en Matlab con todos los valores analíticos, para lo cual fue necesario analizar las vigas usando el método de secciones siguiendo esta serie de pasos:
1. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de nuestra viga para identificar puntos de reacción y fuerzas.
2. Se realiza el cálculo de reacciones de los puntos de apoyo que pueden ser utilizando estática o por la superposición de causas y efectos. (Nosotros utilizamos las ecuaciones de equilibrio estático: Fx=0 Fy=0 M=0)
3. Se debe proponer el número de cortes o secciones que utilizaremos, siempre tomando en cuenta que se presentaran en cada tipos de apoyo, cambio de trayectorias o por cambios en la carga.
4. Identificamos los límites que utilizaremos en las ecuaciones de cada corte, así́ como la geometría de los brazos de palanca que se presenten.
5. Se empieza a trabajar de sección en sección, de manera continua y cíclica hasta terminar los cortes que se propusieron inicialmente.
6. En cada corte se debe dibujar su diagrama de cuerpo libre representando la sección.
7. Planteamos en función de las ecuaciones de la estática las fórmulas de Fuerza cortante y Momentos.
a. Para vigas, las fuerzas cortantes son verticales, lo que las hace fuerzas en "y", y determinamos nuestras convención de signos para los momentos.
8. Tomando en cuenta las ecuaciones obtenidas del análisis de cuerpo libre, estática y los límites en que trabajan las mismas, obtenemos los valores con los que podemos graficar nuestros resultados.
a. Los límites que utilizamos son los extremos de la distancia que estamos trabajando en el corte o sección y estos cambian para cada caso.
9. Se deben dibujar los diagramas a escala. Para el cálculo de la Flexión se utilizó la siguiente ecuación:

Para calcular la deformación unitaria utilizamos la siguiente formula:
=



Resultados

Resultados Analíticos
La siguiente imagen representa la viga asignada al equipo y los parámetros que se tomaron para resolverla analíticamente. El método de secciones se realizó en términos de variables y no de valores para poder ser resuelta con cualquier valor que se le asigne tanto a la posición como a las cargas en un programa realizado en Matlab específicamente para resolver esta viga. En los anexos se encuentra dicho programa clasificado por cada sistema de cargas.

Se tomó:

Las siguientes ecuaciones se obtuvieron por medio del método de secciones.
Primera sección



Segunda sección


Tercera sección






Cuarta Sección



Estas ecuaciones fueron programadas en Matlab para así obtener las gráficas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante. Como se puede observar en la siguiente imagen, a modo de ejemplo, la gráfica de momento flexionante concuerda perfectamente con la viga estudiada. Posteriormente se presentarán todas las gráficas de los 5 sistemas de cargas diferentes.

Gráfica de Momento flexionante, viga C, sistema 1


Sin embargo, las gráficas finales a reportar requieren que se represente la deformación porcentual de la viga en términos de distancia. Por lo que, de las ecuaciones anteriores, se obtuvo la deformación porcentual por medio de la ley de Hook, que dicta:

Ésta se igualó a la fórmula de Esfuerzo flexionante

Por lo que se obtuvo la siguiente ecuación para la deformación:

Ella se multiplica por 100, para convertirla en deformación porcentual.






Gráficas Analíticas

Sistema 1
Datos






Sistema 2
Datos







Sistema 3
Datos






Sistema 4
Datos






Sistema 5
Datos





Resultados FEM
A continuación se muestran las gráficas de Deformación porcentual vs Distancia para cada uno de los sistemas de cargas. Este análisis se realizó a partir del programa Inventor.
Sistema 1

Sistema 2





Sistema 3

Sistema 4







Sistema 5


Enseguida se muestran las capturas de pantalla realizadas con FEM.
Viga en L

Viga cuadrado solido


Viga en T


Viga en cuadrado hueco

Viga en C




Resultados Experimentales

En las siguientes gráficas se muestran las deformaciones obtenidas mediantes galagas extensiométricas, en la distancia en la que fueron instaladas.










Análisis de Resultados

Después de analizar los resultados obtenidos de manera experimental y compararlos con los obtenidos en la simulación, se procede a determinar las posibles causas de error en las mediciones:
Error debido a instrumentos de medición
Error debido a los operadores.
Error por factores externos.
Error debido a las propiedades geométricas de la pieza.

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN – Un posible error puede ser ocasionado por el uso incorrecto de los instrumentos de medición como el Vernier o el flexómetro, ya que si las medidas reportadas de las vigas no son correctas, significaría que los cálculo de momentos, esfuerzos y deformaciones estarían desviados del valor correcto aunque fuera por una cantidad mínima.

OPERADORES –Un posible error es que los operadores no hayan colocado correctamente las galgas extensiométricas, es decir, que éstas no se encuentren completamente derechas o la soldadura de los cables no sea perfecta, lo que ocasionaría que las lecturas de deformación lineal no fueran reales, afectando así al resto del proyecto ya que las mediciones experimentales son la base de todo el proyecto.

FACTORES EXTERNOS –Los factores externos al momento de realizar las mediciones como humedad, temperatura, polvo y ruido pueden afectar el funcionamiento del circuito eléctrico utilizado para hacer las mediciones y por ende, los resultados obtenidos a partir de estos. Otro factor externo que podría afectar las mediciones son la longitud del cable y el estado físico del mismo al momento de realizar los experimentos, así como el estado físico y funcional del aparato de análisis de esfuerzos y deformaciones utilizado.






PROPIEDADES GEOMÉTRICAS:

ESTADO FÍSICO – La condición en la que se encuentran las vigas puede ser un factor que afecte los resultados experimentales ya que al realizar la simulación se suponen elementos sin abolladuras, raspones, etc., lo que puede ocasionar que al momento de hacer las mediciones, éstas varíen en un pequeño porcentaje.

RIGIDEZ – La rigidez es la capacidad de resistencia de un cuerpo a doblarse o deformarse por la acción de una fuerza o conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre su superficie.
Tomando en cuenta esta propiedad dentro del análisis de las vigas es un factor importante ya que la rigidez varía en cada una de ellas debido a que su área transversal es diferente, lo cual implica que cada una va a tener una reacción distinta al sistema de cargas aplicado y el valor de la deformación que experimenta puede ser más pequeño o más grande al esperado.

MATERIALES – Aunque el aluminio es el material del que estaban fabricadas todas las vigas, es probable que, al no haber comprado todas estas en un mismo lugar, no sean del mismo tipo de aluminio, lo que cambia el valor del módulo de Young entre ellas y el hecho de usar un mismo valor para todas, puede ocasionar que los resultados no sean los esperados.

SOFTWARE:
EXCEL – El software solamente utiliza 16 dígitos, por lo que fue necesario redondear algunos resultados, lo que podría provocar un cambio en los valores finales obtenidos.
ELEMENTO FINITO – Un posible error es el método utilizado para elaborar el análisis de elemento finito ya que se utilizó un software para calcularlo y es posible que este método presente errores en los cálculos ya que el software los realiza de forma predeterminada y puede llegar a omitir valores reales o importantes.
MATLAB – A pesar de que se trata de un programa con fines matemáticos, también puede presentar errores por redondeo o truncamiento por muy mínimos que sean. Sin embargo, es bastante acertado.

Conclusiones

Uno de los factores que más se pueden notar en la variación de resultados entre cada tipo de perfil es la rigidez. Se sabe que es la capacidad de un elemento estructural, por ejemplo vigas, para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones. De este modo, se concluye que entre mayor área transversal tenga la viga, y menor distancia exista entre el eje neutro hasta el punto más alejado de él, mayor será su rigidez y en consecuencia el esfuerzo que realizará la viga para cualquier sistema será menor. Es por esa razón que como se puede observar en las gráficas de los cálculos analíticos, el perfil cuadrado sólido resulta ser el que menos deformación presenta. Por supuesto, las deformaciones dependen tanto de la geometría, como del material en que los perfiles están hechos. En los cálculos se asumió que todos son del mismo tipo de aluminio, sin embargo eso puede no ser así. De tal modo que en cada gráfica se estarían analizando las deformaciones dependiendo exclusivamente de la geometría.
Referencias
Hibbeler, R. (2011). Mecánica de Materiales. México, D.F.: Pearson.

Anexos
Memoria de Cálculo en Matlab
Cálculo de inercias, datos de sistemas y cálculos experimentales