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O TEOREMA DE PIERRE DANDELIN E A PERSPECTIVA LINEAR DA CAVIDADE DE UM NICHO ILUMINADO POR UMA LUZ DIRECTA. DETERMINAÇÃO DAS SOMBRAS INTERIORES ANTÓNIO ORIOL TRINDADE Pintor e Professor Auxiliar na Faculdade de Belas Artes da Universidade de Lisboa, Portugal (
[email protected])
ABSTRACT This paper describes the phases of a complex and new problem, whereupon the double orthogonal projection system has been used by the several authors who have dwelled on it, trough out history to the present day. We address here the determining of the discernible contour lines and the interior shade lines from a niche’s cavity composite form, which require some tracing complexity, once the problem is rendered in plane linear perspective. The following steps and descriptions are enounced according to that representation system. KEYWORDS: Linear Perspective; Shadows; Pierre Dandelin’s Theorem RESUMO O presente artigo descreve de modo faseado um problema inédito, de alguma forma complexo e que no legado histórico, até ao presente, os autores que nele se detiveram, apenas utilizaram o sistema de dupla projecção ortogonal para o resolver. Referimo-nos à determinação das linhas de contorno aparente e das linhas de sombra interior, da forma composta da cavidade de um nicho, que requerem alguma complexidade de traçados, uma vez traduzido o problema em perspectiva linear plana. É neste sistema que enunciamos e descrevemos as etapas e as descrições que se seguem. PALAVRAS-CHAVE: Perspectiva linear; Sombras; Teorema de Pierre Dandelin INTRODUÇÃO O artigo descreve um problema e um exercício que resultou da curiosidade do autor, após ter observado vários modelos semelhantes observados do real apa69
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rente em pormenores arquitectónicos de cavidades de nichos iluminados pela luz directa solar. Interrogámo-nos sobre a razão de ser das formas dessas belíssimas e curiosas linhas de separatriz de contorno das sombras próprias interiores projectadas, ou autoprojectas que cobrem e escondem na totalidade as linhas de separatriz de contorno da sombra própria interior. Esta curiosidade motivou-nos e foi assim que desenvolvemos o presente texto, cujo objectivo principal foi essencialmente descrever o rigor da construção das linhas desses contornos. Por outro lado, como a perspectiva linear da superfície esférica apresenta deformações e vários tipos de contornos, verificámos também a aplicabilidade do teorema de Pierre Dandelin. A maioria dos desenhos foram realizados pelo autor utilizando o software Autosketch 9. O TEOREMA DE PIERRE DANDELIN E A PERSPECTIVA DO CONTORNO APARENTE Na forma composta, a perspectiva das linhas principais foi obtida inicialmente partindo da dupla projecção ortogonal do conjunto e sua posição relativa face a um determinado perspectógrafo, caracterizado por uma altura e uma distância de visão (Fig. 1). Omitimos no presente texto os dados de resolução do problema e os métodos simples, tal como as respectivas descrições, para a determinação dessas linhas principais (Fig. 2). Para a determinação rigorosa do arco de elipse que constitui a linha de contorno aparente do quarto de superfície esférica côncava envolvente às duas semicircunferências, a de nível de concordância e a [c] de abertura, recorreu-se ao teorema de Pierre Dandelin (Fig. 3), referido por Borges de Sequeira, que diz que qualquer “cónica pode ser considerada como uma secção feita por um plano, num cone de revolução, sendo focos os pontos onde as esferas inscritas no cone e tangentes ao plano secante tocam este plano” [1]. No exercício proposto, a cónica em causa é um arco de elipse e o plano secante o Fig. 1 - Vistas frontal e posterior do conjunto e sua relação com o dispositivo perspéctico. plano vertical do quadro perspéctico, pelo 70
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Fig. 2 - Perspectiva das três semicircunferências e da região cilíndrica que integram o conjunto do nicho.
que o problema resume-se a determinar a secção resultante, com o quadro, da superfície cónica concordante com a porção esférica. Para esse efeito, considerou-se um plano secante auxiliar e projectante g, que contém o centro O do quarto de
Fig. 3 - O teorema de Pierre Dandelin ilustrado em imagens 3D e aplicado respectivamente às secções da elipse, parábola e hipérbole. Fonte: http:// www.pandd.demon.nl/dandelin.htm 71
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superfície esférica e que é, ao mesmo tempo, perpendicular ao quadro. Este plano g, sendo perpendicular ao quadro e contendo ao mesmo tempo o centro L do quarto de superfície esférica é, por essa razão, um plano de simetria, ou seja, divide a superfície cónica concordante, determinada pelas projectantes e pelo vértice, em duas regiões distintas. Também por estas razões, contém as duas rectas normais que intersectam o plano secante vertical do quadro perspéctico, nos pontos de contacto das duas esferas inscritas, ou seja, nos focos que permitiram determinar com rigor e posteriormente a elipse-secção onde se encontra o arco de elipse procurado (Fig. 5). Estes focos podem-se determinar com o auxílio de um diâmetro ngR da esfera, perpendicular ao quadro perspéctico e pertencente ao plano de simetria g (Fig. 4).
Fig. 4 - Verificação das secções [m] e [n] e dos respectivos centros das superfícies esféricas inscritas e concordantes com o cone visual – cuja secção está representada pelas geratrizes q e q1 concorrentes no vértice O que é o próprio centro de projecção –, tangentes ao plano secante do quadro perspéctico nos focos Foco 1 e Foco 2, que se determinam, também, pela intersecção, com o plano secante do quadro perspéctico, das normais que passam pelos centros X e Z dessas secções das duas superfícies esféricas inscritas 72
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Assim, bastou para o efeito ter considerado o plano g e a sua intersecção com a superfície esférica total que contém a porção esférica que modela a abóbada esférica da testa do nicho. Desta intersecção, resultou o meridiano de secção [c1], de centro L, que se rebateu. Rebateu-se para além do meridiano [c1], o centro de projecção O que está contido no plano. Em rebatimento conduziram-se a partir do centro de projecção O, duas tangentes ao meridiano referido e cujo raio é 7. Estas tangentes são, pois, dois raios ou rectas visuais que intersectam o quadro no traço vertical do plano nos dois pontos R e S. O segmento de recta determinado por estes dois pontos define o eixo maior da elipse-secção (Fig. 4). Para determinar os focos que possibilitaram traçar a elipse, considerou-se a partir de LR (centro da superfície esférica rebatido) o segmento normal perpendicular ao quadro e que é um diâmetro daquela superfície e do meridiano [c1]. Este diâmetro ng, normal ao quadro, em rebatimento projecta-se perpendicularmente ao traço vertical vg e à recta de fuga fg, o que, também por esta razão, este segmento ng é ao mesmo tempo uma recta de maior inclinação do plano g. A intersecção deste segmento ng com o meridiano [c1] pertencente ao plano g determinou os pontos Foco R e Foco 1R; esta operação efectuou-se no rebatimento, onde considerámos ngR (Fig. 4). De seguida, a intersecção, com o quadro, das rectas determinadas pelo centro de projecção O e por aqueles focos rebatidos, permitiram determinar a perspectiva da elipse ou do arco de elipse. No entanto, o Foco 1 determinou-se considerando a mesma distância do Foco ao centro da elipse-secção e que corresponde ao ponto médio do eixo maior, ponto M (Fig. 4) [2]. De notar que, segundo Pierre Dandelin, como já referimos, os focos da elipse, determinados pelo diâmetro ng, correspondem aos pontos de contacto, com o quadro perspéctico vertical, das duas superfícies esféricas inscritas ao cone visual de revolução concordante com a esfera considerada. Podemos verificar as secções [m] e [n], respectivamente de centros X e Z, dessas duas superfícies esféricas inscritas ao cone visual concordante com a superfície esférica total que modela a parte esférica do nicho (Fig. 4). Posteriormente, sabendo que numa elipse o eixo maior é perpendicular ao eixo menor, considerou-se a recta que passa no ponto médio M perpendicular ao eixo maior e que vai conter o eixo menor. E finalmente, com o auxilio e com centro nos focos, Foco e Foco 1, e dos comprimentos dos semieixos do eixo maior, determinaram-se os pontos T e U que constituem o segmento de recta que é o eixo menor da elipse e que, assim, possibilitaram determinar as projecções centrais directa da elipse que contém o arco de elipse procurado (Fig. 4). Note-se que, da totalidade desta elipse, apenas uma parte integra as projecções ou 73
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n R OR Fc Fig. 5 - Construção auxiliar da perspectiva linear da superfície esférica que completa o arco de elipse que corresponde à linha de contorno aparente do quarto de superfície esférica, partindo do Teorema de Pierre Dandelin.
a perspectiva da linha de contorno aparente. Essa pequena parte, que corresponde ao arco referido, fica delimitada pela linha envolvente ao equador de nível, de concordância do semicilindro vertical com o quarto de superfície esférica e, também, ao meridiano [c] de abertura da porção esférica que pertence ao plano vertical de abertura do nicho (Fig. 5). DETERMINAÇÃO DAS LINHAS DE SEPARATRIZ DOS CONTORNOS DAS SOMBRAS PRÓPRIAS INTERIOR E AUTOPROJECTADA A PARTIR DA DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL Para a determinação das linhas de separatriz dos contornos das sombras própria interior e autoprojectada e ainda parcialmente sobre o Geometral, consideraram74
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Fig.6 - Representação axonométrica do conjunto e das sombras da cavidade do nicho com indicação dos planos tangentes e secantes e das duas superfícies concordantes luz-sombra, que determinam as linhas dos contornos da sombra própria interior e da sombra autoprojectada no interior do conjunto.
Fig.7 – Representação perspéctica da cavidade do nicho e das respectivas sombras, que corresponde à solução final do exercício.
-se para além da direcção luminosa convencional, que corresponde à direcção da diagonal de um cubo, o método das superfícies concordantes e secantes e, também, com ele associado, o método dos planos tangentes e secantes luz-sombra. É fácil perceber que a sombra própria interior é coberta na totalidade pela sombra que o conjunto projecta sobre ele próprio, ou seja, pela sua sombra autoprojectada (Fig. 6 e Fig. 7). A linha de sombra própria interior é resultante da concordância das superfícies cilíndricas luz-sombra com a superfície do conjunto. Ela compõe-se de duas linhas: uma vertical, que pertence à região cilíndrica do conjunto; e outra curva, que corresponde a um arco de circunferência que se projecta segundo um arco de elipse em perspectiva e que contém o centro da semisuperfície esférica que integra o conjunto da cavidade do nicho. Para a sua determinação, considerámos na região cilíndrica um plano tangente luz-sombra p, determinado pelas direcções luminosa e vertical, onde a geratriz de contacto é a linha de separatriz do contorno de sombra própria respeitante a essa superfície. A determinação da outra parte da linha curva de separatriz do contorno pertencente à parte esférica do nicho obteve-se através de três pontos: do ponto T, ponto comum com a sombra autoprojectada, cuja determinação descrevemos mais adiante; do ponto mais alto da sepatriz da 75
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superfície cilíndrica, não designado, que é comum com a região esférica; e também com o auxílio de um ponto RS, cuja perspectiva se determinou através da dupla projecção ortogonal e da rotação do raio luminoso, mais especificamente considerando um plano vertical luz sombra, que secciona a região esférica segundo um arco de circunferência. Rodámos, utilizando o eixo e, para o plano vertical de projecção essa secção do arco de circunferência e considerámos o raio luminoso rodado e tangente a esse arco, obtendo o ponto RSr, onde por último se determinou a perspectiva RS (Fig. 8). Por outro lado, a sombra autoprojectada compõe-se de quatro partes distintas mas concordantes e contínuas entre si: uma parte da linha de separatriz é recta, resultante da intersecção do plano secante luz-sombra que é vertical (determinado pela recta vertical situada mais à esquerda do nicho e pela direcção luminosa), com a base horizontal do nicho que pertence ao Geometral; outra parte da linha, contínua àquela, é uma curva plana correspondente à intersecção do cilindro de luz determinado pelo semimeridiano de entrada da testa do nicho com o Geometral; outra parte da linha, contínua àquela última, é torsa e resulta da intersecção do cilindro luz-sombra que fica determinado pela direcção luminosa e por parte do mesmo semimeridiano de entrada da testa do nicho com o semicilindro vertical que compõe o nicho; e, finalmente, a quarta e última parte, é novamente uma linha curva plana, constituída pela intersecção da mesma superfície cilíndrica secante luz-sombra referida com a superfície esférica, ou, mais especificamente, com o quarto de superfície esférica. Esta última linha é, na realidade, um arco de circunferência que se projecta segundo um arco de elipse. Para a determinação gráfica do ponto duplo T, ponto mais alto da linha de separatriz do contorno da sombra autoprojectada e que pertence ao semi-meridiano de entrada do nicho, na região esférica1, podemos utilizar e considerar a superfície cilíndrica concordante luz-sombra à parte esférica do nicho [3]. O arco de circunferência integrante do contorno da sombra autoprojectada nasce no ponto T pertencente ao meridiano [c] do quarto de superfície esférica. Este ponto T resulta de um caso particular de intersecção de duas superfícies, do quarto de superfície esférica com a superfície cilíndrica luz- sombra. Estas duas superfícies do segundo grau, na sua intersecção, admitem dois planos tangentes comuns, 1 Na realidade, como sabemos, existiriam dois pontos duplos, se considerássemos a totalidade das duas superfícies que contêm as porções de superfícies intervenientes e que determinam parte da linha de separatriz do nicho: da esférica, que compõe a parte esférica do nicho, e da cilíndrica luz-sombra concordante e secante com aquela. Como sabemos da ciência da Geometria Descritiva, este tipo de intersecção tem o nome de beijamento simples, ou penetração tangencial simples. 76
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precisamente nos referidos pontos duplos. Estes surgem sempre quando numa intersecção de duas superfícies de revolução, todas as geratrizes de uma superfície intersectarem todas as geratrizes ou linhas da outra superfície, intersecção a que se dá o nome de penetração tangencial dupla. Nestes casos, a linha de intersecção de duas superfícies é sempre plana, como aliás refere Jean Jules Pillet [4]. Depois de determinarmos o ponto de fuga Fl dos raios luminosos, cujas projecções, fazem 45º (abertura à esquerda) e 45º (abertura à direita) com a Linha de Terra LT, considerou-se, em primeiro lugar, a determinação da linha de separatriz de sombra própria interior correspondente ao quarto de superfície esférica (Fig. 8). Essa linha inicia-se, superiormente, no meridiano [c] com o ponto duplo T. Para a determinação deste ponto T, considerou-se a superfície auxiliar cilíndrica de nível, concordante com o quarto de superfície esférica no meridiano [c] do plano vertical d. Sendo
Fig. 8 - Perspectiva da cavidade do nicho com a determinação das linhas que compõem a separatriz dos contornos da sombra própria interior. No interior, as zonas para a esquerda da separatriz estão em sombra e cuja mancha não representámos. 77
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de nível e concordante com o meridiano, esta superfície tem as suas geratrizes perpendiculares ao plano δ, o que, por esta razão, fugam em F1. Sendo esta superfície cilíndrica concordante com o quarto de superfície esférica naquele meridiano, significa que o plano tangente luz-sombra w, determinado pelas direcções das geratrizes de nível da superfície cilíndrica concordante à calote esférica e pela direcção dos raios luminosos, é tangente simultaneamente à superfície cilíndrica e ao quarto de superfície esférica que modela a abóbada de testa do nicho. Deste modo, o ponto de contacto deste plano tangente luz-sombra determina o ponto duplo de nascença T. Este ponto determinou-se considerando a orientação luminosa fw de um plano tangente w arbitrário, que se determinou unindo os pontos de fuga das referidas geratrizes de nível F1 com o ponto de fuga da direcção luminosa Fl. Definida a orientação luminosa fw, escolheu-se um plano arbitrário w com aquela orientação fw, no caso, o que passa no centro L da calote esférica. Na intersecção deste plano luz-sombra w com o plano do meridiano de concordância [c], resultou a recta i que determinou a direcção da tangente tT ao meridiano. Desta forma, a tangente tT permitiu encontrar o ponto duplo de nascença T, operação feita após o rebatimento do plano d, da tangente tT e de metade do semimeridiano [c] (Fig. 8). Importa referir que o ponto duplo real T determinado, admite uma tangente t1T particularmente importante, à linha de separatriz de sombra própria interior e permite traçar, com maior segurança, o rigor da respectiva linha que na realidade é um arco de circunferência. Para a determinação gráfica desta tangente, recorremos à intersecção do plano b da separatriz da linha curva de sombra autoprojectada com o plano luz-sombra w1, tangente no ponto T à superfície cilíndrica de luz-sombra e que é concordante com a porção de calote esférica. Este último plano, w1, que tem a mesma orientação fw do plano w anteriormente referido, fica determinado pelo raio luminoso l e pela geratriz g da superfície cilíndrica concordante à calote esférica, ambas concorrentes precisamente no ponto T. Esta segunda tangente imprescindível t1T, no ponto T à linha de separatriz interior de sombra pertencente à parte esférica do nicho, determinou-se depois de se terem determinado os traços dos planos w1 e b (Fig. 9). Mas antes da determinação dos traços daqueles dois últimos planos, importa referir que para a determinação gráfica desta parte da linha de separatriz interior procurada e dos traços do respectivo plano b houve a necessidade da determinação de mais um ponto, onde recorremos à representação por dupla projecção ortogonal. Deste modo, considerou-se o plano auxiliar, vertical e secante luz-sombra, plano q, que 78
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Fig. 9 - Determinação da perspectiva dos troços de linhas que compõem a linha de separatriz de contorno da sombra autoprojectada.
comporta a direcção luminosa dada, onde após o respectivo rebatimento e contrarrebatimento incluindo o da secção resultante de centro K e do raio luminoso, se determinou o ponto Ss, cujo processo gráfico se ilustra na Fig. 9. Para concluir a determinação da porção de linha de separatriz de sombra própria no interior da porção de superfície esférica, bastou determinar o ponto Qs que pertence ao equador de concordância do quarto de superfície esférica com o semicilindro vertical. Por ser 79
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um ponto de encontro de duas curvas distintas que inflectem nesse ponto é, por essa razão, um ponto de inflexão. Neste ponto Qs, há grande vantagem em determinar a respectiva tangente permitindo posteriormente desenhar com rigor a curva total de separatriz do contorno da sombra autoprojectada. Para a determinação deste ponto de inflexão Qs e da respectiva tangente tQ, considerou-se a intersecção com o equador de concordância do plano da linha de separatriz já referido, plano b. Esta linha curva plana, que se projecta segundo um arco de elipse é, na realidade, um arco de circunferência. O centro L do quarto de superfície esférica é, ao mesmo tempo, o centro da referida linha. Considerou-se o plano b que contém essa linha e se determinou com o auxilio dos pontos já determinados L, T e Ss e das respectivas rectas a e b determinadas por esses três pontos (Fig. 9). Como o ponto Qs pertence ao semi-equador de concordância do nicho bastou, de seguida, proceder à intersecção do plano n1 de nível do equador referido, com o plano b, resultando a recta i1. A intersecção desta recta com o equador de concordância, determina com rigor o ponto de inflexão procurado Qs. A respectiva tangente tQ nesse ponto resultou da intersecção do plano b referido com o plano vertical q1, tangente ao nicho ao longo da geratriz vertical que contém o ponto Qs. Bastam o ponto Qs e o traço horizontal HtQ, resultante da intersecção de hb com hq1, para determinar a respectiva tangente tQ. Determinados que foram os pontos T, Ss e Qs, e as tangentes nos pontos T e Qs, procedeu-se ao traçado rigoroso da porção de linha de separatriz do contorno da sombra autoprojectada da região esférica (Fig. 9). Entretanto, com os traços do plano b determinados, podemos agora determinar os traços do plano w1, que intersecta o primeiro na importante tangente t1T no já referido ponto T. Este plano w1 fica determinado pelo raio luminoso l e pela geratriz g, da superfície cilíndrica concordante com a porção de superfície esférica, concorrentes no ponto T. Para a determinação da referida tangente, bastou intersectar as rectas de fuga fw e fβ, determinando o respectivo ponto de fuga que com o ponto T permitem o respectivo traçado (Fig. 9). Para a determinação do troço da linha recta e curva de separatriz do contorno de sombra projectada no Geometral, considerámos a sombra da recta determinada pelos pontos 1 e 11, originando os pontos 1s e 11s, e a determinação da linha correspondente à intersecção do cilindro de sombra com o semicilindro vertical no Geometral. Para tal, utilizámos o método das sombras virtuais. O ponto As determinou-se considerando a intersecção com o semicilindro vertical do raio ou recta de sombra que partiu do ponto A, pertencente ao meridiano principal [c] da porção de superfície esférica. O ponto Q1s, de quebra com a linha de base do 80
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nicho, determinou-se recorrendo às sombras virtuais ou projecções oblíquas dos pontos 1, A e B, originando os pontos 1S, Av e Bv. De 1s a Q1s o arco é real e de Q1s a Bv o arco é virtual (Fig. 9). CONCLUSÕES O presente texto descreve com ilustrações não apenas a aplicação do teorema de Pierre Dandelin à perspectiva esférica, de uma parte da cavidade da forma de um nicho, mas sobretudo a construção das linhas de separatriz do contorno da sombra própria interior e da belíssima forma curiosa do contorno da sombra autoprojectada, que cobre aquela na totalidade. As teorias do respectivo problema, descritas anteriormente no sistema de dupla projecção ortogonal, foram por nós agora aplicadas ao sistema de perspectiva linear de quadro plano. Apesar do auxílio do desenho assistido por computador, foi fácil perceber que o software utilizado apenas foi uma ferramenta de desenho rigoroso, pois os botões, os teclados e os resultados digitais de forma nenhuma substituíram as teorias descritas e aplicadas, que não se confundem com o domínio próprio sobre determinados software de desenho digital, que num click, digamos assim, mostram os resultados finais, nem sempre isentos de erros. Deixamos também aqui um alerta para que os futuros geómetras não se viciem apenas nas novas tecnologias, mas que as utilizem em parceria com o conhecimento profundo adquirido nas bibliotecas e no legado histórico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Borges de Sequeira, Luís Guilherme (1940), Lições de Geometria Descritiva, Livro 1, Lisboa, Scientia editora, 3ª edição, p.131; Dandelin, Pierre (1827), Sur L ‘Emploi des projection stereographique en Géometrie, Gand; Oriol Trindade, António (1999), Luz e Sombras nas Superfícies Regradas Planificáveis, Cónica e Cilíndrica e nas Superfícies não Regradas, Superfície Esférica. Formas Compostas com estas Superfícies, Lisboa, FBAUL. Trabalho de Síntese no âmbito das Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica, apresentadas na FBAUL em Maio de 2000, texto policopiado, pp. 131-132. [2] Moutinho, José Manuel Patrício de Sousa (1991), Perspectiva Cónica Linear, Tese de Agregação no âmbito das provas prestadas para Professor Auxiliar, texto policopiado, Lisboa, Esbal, pp. 272-276. [3] Borges de Sequeira, Luís Guilherme (1928), Resumo das Lições de Geometria Descritiva do Prof. Borges de Sequeira da Faculdade de Sciências de Lisboa e do Instituto Superior Técnico, Livro. II, 2ª edição, Lisboa, pp. 57-58. [4] Pillet, Jean Jules (1887), Cours de Gèometrie Descriptive, Paris, Librairie CH. Delagrave, p.80. 81
