APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo




ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR




APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS








CAMPINAS
2015

ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS




Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil na área de Estruturas e Geotécnica.






Orientador: Prof. Dr. LEANDRO PALERMO JUNIOR




Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.


Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129


Soares Junior, Romildo Aparecido, 1988-

So11a SoaAplicação do método dos elementos de contorno na análise de instabilidade de placas perfuradas / Romildo Aparecido Soares Junior. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SoaOrientador: Leandro Palermo Junior.

SoaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

Soa1. Placas (Engenharia). 2. Método de elementos de contorno. 3. Flambagem (Mecânica). I. Palermo Junior, Leandro,1960-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.




Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Application of the boundary element method in the instability analysis of perforated plates

Palavras-chave em inglês:

Plates (Engineering)
Boundary element method Buckling (Mechanics)

Área de concentração: Estruturas e Geotécnica Titulação: Mestre em Engenharia Civil
Banca examinadora:

Leandro Palermo Junior [Orientador] Cilmar Donizeti Basaglia
Raul Rosas e Silva

Data de defesa: 15-12-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil



UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO




APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS



ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR




Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:


Prof. Dr. Leandro Palermo Junior
Presidente e Orientador/Universidade Estadual de Campinas


Prof. Dr. Cilmar Donizeti Basaglia
Universidade Estadual de Campinas


Prof. Dr. Raul Rosas e Silva
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro






A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se
no processo de vida acadêmica do aluno.


Campinas, 15 de dezembro de 2015


DEDICATÓRIA





A Deus, À minha família, Pai, Mãe, Irmão e meus amigos por acreditarem na possibilidade do desenvolvimento deste trabalho. À Carla, minha companheira de todos os dias. Também dedico este trabalho ao meu orientador Prof. Dr. Leandro Palermo Junior, pois este trabalho foi possível de ser realizado graças a seus ensinamentos. E aos que utilizarem esta obra como fonte de estudo.















AGRADECIMENTOS





Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Leandro Palermo Junior por ter confiado no meu trabalho e ter estado sempre disposto a ajudar e compartilhar seu conhecimento. Agradeço também a CAPES pela ajuda financeira no desenvolvimento deste trabalho.
















RESUMO




O método dos elementos de contorno é usado no presente trabalho para obter as cargas críticas de placas perfuradas. O efeito da deformação por cortante é incluído no modelo de flexão de placas isotrópicas. O efeito da não linearidade geométrica relacionado com a carga no plano da placa é introduzido com a adição de duas integrais na formulação: uma é aplicada no domínio e a outra no contorno. A equação integral pode ser relacionada a uma das condições naturais de acordo com o problema de valor de contorno. Elementos de contorno quadráticos contínuos e descontínuos foram utilizados. Os pontos de colocação foram posicionados no contorno. A mesma função de mapeamento foi utilizada para as interpolações conformes e não-conformes, isto é, nós nas extremidades de elementos quadráticos continuam nas extremidades quando elementos descontínuos são utilizados, somente o ponto de colocação é movido. A subtração de singularidade e a técnica da transformação de variáveis foram utilizadas para as singularidades de tipo Cauchy e fraca, respectivamente, quando é realizada a integração em elementos contendo o ponto de colocação. Células retangulares foram utilizadas para discretizar a integral de domínio relacionada com o efeito da não linearidade geométrica. Resultados para alguns tipos de condições de contorno foram comparados com os da literatura. Análises de convergência foram feitas em alguns problemas para mostrar o comportamento da formulação de acordo com o número utilizado de células de domínio.


Palavras chave: Placas (Engenharia), Método de elementos de contorno, Flambagem (Mecânica)



ABSTRACT




The boundary element method is used in this study to obtain critical loads of perforated plates. The effect of shear deformation is included in the bending model of isotropic plates. The effect of geometrical non-linearity related to in-plane loading is introduced with two additional integrals in the formulation: one is performed on the domain and other on the boundary. The boundary integral can be related to one of the natural conditions according to the boundary value problem. Quadratic continuous or discontinuous boundary elements were used. Collocation points were always placed on the boundary. The same mapping function was used for conformal and non-conformal interpolations, i.e. nodes at ends of quadratic elements remain at ends when discontinuous elements were employed and collocation points are shifted. The singularity subtraction and the transformation of variable technique were employed for the Cauchy and the weak type singularity, respectively, when integrations were performed on elements containing the collocation points. Rectangular cells were used to discretize the domain integral related to the geometrical non-linearity effect. Results for some types of boundary conditions were compared with those from the literature. Convergence analyses were done in some problems to show the behavior of the formulation according to the number used for domain cells.


Keywords: Plates (Engineering), Boundary element method, Buckling (Mechanics)




LISTA DE ILUSTRAÇÕES




Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido 42
Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa 46
Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal 49
Figura 5.1 – Posicionando o ponto no contorno 60
Figura 5.2 – Discretização de um problema de placa 73
Figura 5.3 – Mudança de coordenadas para o elemento isoparamétrico 74
Figura 5.4 – Plotagem das funções de forma 76
Figura 5.5 – Integração com ponto fonte fora do elemento (placa) 84
Figura 5.6 – Integração com ponto fonte dentro do elemento (placa) 84
Figura 5.7 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas de placas 85
Figura 5.8 – Placa engastada em um dos lados 86
Figura 5.9 – Sistema de equações 87
Figura 5.10 – Sistema de equações com aplicação das condições de contorno 88
Figura 5.11 – Sistema de equações linear 89
Figura 5.12 – Sistema de equações linear com integral da carga 90
Figura 6.1 – Placa com solicitação no plano 93
Figura 6.2 – Placa deformada devido à solicitação no plano 94
Figura 6.3 – Elemento diferencial com solicitação no plano 94
Figura 6.4 – Elemento diferencial deformado 95
Figura 6.5 – Elemento diferencial com forças de cisalhamento no plano 96
Figura 6.6 – Discretização de um problema de instabilidade de placas 100
Figura 6.7 – Discretização de um problema instabilidade de placas com furo 101
Figura 7.1 – Exemplo de problema bidimensional 109
Figura 7.2 – Integração com ponto fonte fora do elemento 113
Figura 7.3 – Integração com ponto fonte dentro do elemento 113
Figura 7.4 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais 118
Figura 9.1 – Tipos de vinculação 139
Figura 9.2 – Vinculação todos os lados simplesmente Apoiados - AAAA 140
Figura 9.3 – Vinculação 2 lados apoiada e engastada em 2 - AEAE 141
Figura 9.4 – Vinculação com quatro lados engastados - EEEE 143
Figura 9.5 – Tipos de vinculação 146
Figura 9.6 – Malha com 10 elementos por lado e 25 células de domínio 147
Figura 9.7 – Malha com 32 elementos por lado e 256 células de dominio 147
Figura 9.8 – Placa verificada quanto à instabilidade - AAAA - HARD 148
Figura 9.9 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAA - HARD 148
Figura 9.10 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAE - HARD 149
Figura 9.11 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAE - HARD 149
Figura 9.12 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAAA – HARD 150
Figura 9.13 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAAA - HARD 150
Figura 9.14 – Placa verificada quanto à instabilidade – AEAE - HARD 151
Figura 9.15 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAE - HARD 151
Figura 9.16 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAEA - HARD 152
Figura 9.17 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAEA - HARD 152
Figura 9.18 – Placa verificada quanto à instabilidade – LAAA - HARD 153
Figura 9.19 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAAA - HARD 153
Figura 9.20 – Placa verificada quanto à instabilidade - LAEA - HARD 154
Figura 9.21 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAEA - HARD 154
Figura 9.22 – Placa verificada quanto à instabilidade – LALA - HARD 155
Figura 9.23 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LALA - HARD 155
Figura 9.24 – Placa verificada quanto à instabilidade - AEAL - HARD 156
Figura 9.25 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAL - HARD 156
Figura 9.26 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAL - HARD 157
Figura 9.27 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAL - HARD 157
Figura 9.28 – Placa verificada quanto à instabilidade - EEEE - HARD 158
Figura 9.29 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EEEE - HARD 158
Figura 9.30 – Placa verificada quanto à instabilidade – ALAL - HARD 159
Figura 9.31 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - ALAL - HARD 159
Figura 9.32 – Placa verificada quanto à instabilidade – carga biaxial - AAAA - HARD 160
Figura 9.33 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAA 160
Figura 9.34 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AEAL - HARD 161
Figura 9.35 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AEAL 161
Figura 9.36 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - AAAL - HARD 162
Figura 9.37 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAL 162
Figura 9.38 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AALL - HARD 163
Figura 9.39 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AALL 163
Figura 9.40 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - ALAL - HARD 164
Figura 9.41 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - ALAL 164
Figura 9.42 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – EEEE - HARD 165
Figura 9.43 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - EEEE 165
Figura 9.44 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento - AAAA 166
Figura 9.45 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - AAAA 166
Figura 9.46 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EEEE 167
Figura 9.47 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - EEEE 167
Figura 9.48 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EAEA 168
Figura 9.49 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento – EAEA 168
Figura 9.50 – Vinculação para placas com furos 171
Figura 9.51 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4) 172
Figura 9.52 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7) 173
Figura 9.53 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1 – Carga Uniaxial 174
Figura 9.54 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,2 – Carga Uniaxial 175
Figura 9.55 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,3 – Carga Uniaxial 176
Figura 9.56 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,4 – Carga Uniaxial 177
Figura 9.57 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,5 – Carga Uniaxial 178
Figura 9.58 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,6 – Carga Uniaxial 179
Figura 9.59 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,7 – Carga Uniaxial 180
Figura 9.60 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 1 182
Figura 9.61 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno 183
Figura 9.62 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno refinada 184
Figura 9.63 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 188
Figura 9.64 – Malha com cg da célula distante do contorno 2 189







LISTA DE TABELAS




Tabela 9.1 – Coeficientes para placas comparadas com a solução analítica 139
Tabela 9.2 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AAAA – HARD 140
Tabela 9.3 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – HARD 141
Tabela 9.4 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – SOFT 141
Tabela 9.5 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AEAE– HARD 142
Tabela 9.6 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – HARD 142
Tabela 9.7 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – SOFT 143
Tabela 9.8 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – EEEE– HARD 143
Tabela 9.9 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – HARD 144
Tabela 9.10 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – SOFT 144
Tabela 9.11 – Coeficientes para problemas de instabilidade 145
Tabela 9.12 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAA – HARD 148
Tabela 9.13 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAE – HARD 149
Tabela 9.14 – Parâmetro crítico de flambagem – EAAA – HARD 150
Tabela 9.15 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAE – HARD 151
Tabela 9.16 – Parâmetro crítico de flambagem – EAEA – HARD 152
Tabela 9.17 – Parâmetro crítico de flambagem LAAA – HARD 153
Tabela 9.18 – Parâmetro crítico de flambagem – LAEA – HARD 154
Tabela 9.19 – Parâmetro crítico de flambagem – LALA – HARD 155
Tabela 9.20 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAL – HARD 156
Tabela 9.21 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAL – HARD 157
Tabela 9.22 – Parâmetro crítico de flambagem – EEEE – HARD 158
Tabela 9.23 – Parâmetro crítico de flambagem – ALAL – HARD 159
Tabela 9.24 –Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAA - HARD 160
Tabela 9.25– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AEAL – HARD 161
Tabela 9.26 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAL – HARD 162
Tabela 9.27 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AALL – HARD 163
Tabela 9.28– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – ALAL – HARD 164
Tabela 9.29 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – EEEE – HARD 165
Tabela 9.30 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – AAAA – HARD 166
Tabela 9.31 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EEEE – HARD 167
Tabela 9.32 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EAEA – HARD 168
Tabela 9.33 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno para placas com furos 170
Tabela 9.34 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0.1 – Malha 1 174
Tabela 9.35 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,2 – Malha 1 175
Tabela 9.36 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,3 – Malha 1 176
Tabela 9.37 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,4 – Malha 1 177
Tabela 9.38 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,5 – Malha 1 178
Tabela 9.39 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,6 – Malha 1 179
Tabela 9.40 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,7 – Malha 1 180
Tabela 9.41 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 1 182
Tabela 9.42 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 185
Tabela 9.43 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 – Comparação 186
Tabela 9.44 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 2, h/L = 0,001 188
Tabela 9.45 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 – Tensão média 190
Tabela 9.46 – Parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 – Tensão média – Comparação 191
Tabela 9.47 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação de todas as malhas, h/L = 0,01 192
Tabela 9.48 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação da malha 2 e tensão média 193






LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS




ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas

MEC – Métdodo dos Elementos de Contorno

MEF – Método dos Elementos Finitos

UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

























LISTA DE SÍMBOLOS




D = Módulo de Rigidez à Flexão

E = Módulo de Young

= Momento Fletor

= Normal

= Cortante

h = Espessura

L = Comprimento de um lado

= Variável intrinsica utilizada na integração

= Variável utilizada na transformação de Telles

= Posição do Ponto Fonte

= Tensão

= função dos deslocamentos

= Delta de Kronecker

= Grafiente de uma função

= Laplaciano

= Deformação

= Coeficientes para ponto no contorno

= Cossenos diretores

= Forças de corpo

= Coeficiente de Reissner
= Soluções fundamentais de força de superfície

= Soluções fundamentais de deslocamento

= Carga uniformemente distribuída

= Deslocamento na direção z










SUMÁRIO




1 INTRODUÇÃO 22
1.1 JUSTIFICATIVA 25
1.2 OBJETIVOS 25
1.2.1 Objetivo Geral: 26
1.2.2 Objetivos Específicos: 26
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 27
2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 27
2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS 33
2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes 33
2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares 34
2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro 34
2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas 35
2.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS 35
2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes 35
2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro 36
2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas 37
2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos 37
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 37
3 REVISÃO MATEMÁTICA 39
3.1 INTRODUÇÃO 39
3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS 39
3.2.1 Notação indicial 39
3.2.2 Vetor Gradiente 40
3.2.3 Laplaciano 40
3.2.4 Delta de Kronecker 41
3.2.5 Delta de Dirac 41
3.2.6 Teorema da Divergência 41
3.3 ELASTICIDADE LINEAR 42
3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS 43
4 TEORIA DE PLACAS 44
4.1 INTRODUÇÃO 44
4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF 44
4.3 TEORIA DE REISSNER 48
5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER 53
5.1 INTRODUÇÃO 53
5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO 53
5.3 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO CONTORNO 60
5.4 ESFORÇOS GENERALIZADOS A PARTIR DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS.. 62
5.5 A APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MEC PARA PLACAS DE REISSNER 73
6 O EFEITO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA 93
6.1 INTRODUÇÃO 93
6.2 AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE 94
6.3 AS EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE 97
6.4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO QUE LEVA EM CONTA A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA 102
7 PROBLEMAS DE ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL 109
8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 121
8.1 INTEGRAÇÃO REGULAR 121
8.2 TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES 121
8.2.1 Singularidade do tipo ln(r) 122
8.2.2 Aplicação de acordo com o posicionamento do ponto fonte 129
8.2.3 Singularidade do tipo 1/r 130
9 RESULTADOS 139
9.1 VALIDAÇÃO DO MÉTODO UTILIZADO - RESULTADOS PARA PROBLEMAS DE FLEXÃO EM PLACAS SEM FUROS 139
9.1.1 Comentários sobre os resultados para problemas de flexão de placas 144
9.2 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS SEM FUROS 145
9.2.1 Exemplo 1 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAA 148
9.2.2 Exemplo 2 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAE 149
9.2.3 Exemplo 3 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAAA 150
9.2.4 Exemplo 4 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAE 151
9.2.5 Exemplo 5 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAEA 152
9.2.6 Exemplo 6 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAAA 153
9.2.7 Exemplo 7 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAEA 154
9.2.8 Exemplo 8 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LALA 155
9.2.9 Exemplo 9 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAL 156
9.2.10 Exemplo 10 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAL 157
9.2.11 Exemplo 11 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EEEE 158
9.2.12 Exemplo 12 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação ALAL 159
9.2.13 Exemplo 13 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAA 160
9.2.14 Exemplo 14 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AEAL 161
9.2.15 Exemplo 15 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAL 162
9.2.16 Exemplo 16 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AALL 163
9.2.17 Exemplo 17 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação ALAL 164
9.2.18 Exemplo 18 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação EEEE 165
9.2.19 Exemplo 19 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação AAAA 166
9.2.20 Exemplo 20 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EEEE 167
9.2.21 Exemplo 21 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EAEA 168
9.2.22 Comentários sobre os problemas de instabilidade de placas sem furos 169
9.3 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 1 - CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO 170
9.3.1 Vinculação para placas com furos 171
9.3.2 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos pequenos
172
9.3.3 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos grandes
173
9.3.4 Exemplo 1 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1 174
9.3.5 Exemplo 2 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,2 175
9.3.6 Exemplo 3 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,3 176
9.3.7 Exemplo 4 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,4 177
9.3.8 Exemplo 5 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,5 178
9.3.9 Exemplo 6 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,6 179
9.3.10 Exemplo 7 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,7 180
9.3.11 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 1 – cg próximo ao contorno 181
9.3.12 Comparação dos resultados para a malha 1 – cg da célula próximo ao contorno 182
9.4 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO 183
9.4.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno 185
9.4.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno 187
9.4.3 Comparação dos resultados – Malha 2 – cg da célula distante do contorno
188
9.5 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO – TENSÃO MÉDIA 189
9.5.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno – Tensão média 190
9.5.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno – Tensão média 192
10 PROGRAMAS DESENVOLVIDOS 194
10.1 PROGRAMA ESTADO PLANO DE TENSÃO/DEFORMAÇÃO 194
10.2 PROGRAMA PARA PROBLEMAS DE PLACAS 194
10.3 MÓDULO – MOD_INP_QP1 194
10.4 MÓDULO – MOD_GEO_QP1 196
10.5 MÓDULO – MOD_MAT_QP1 197
10.6 MÓDULO – MOD_SOL_AUTOVALOR_QP1 198
10.7 MAIN_QP1 199
10.8 PROGRAMA GERADOR DE MALHAS 199
11 CONCLUSÃO 200
11.1 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE FLEXÃO DE PLACAS 200
11.2 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS 200
11.3 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 1 – CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO 201
11.4 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO 202
11.5 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – TENSÃO MÉDIA 202
12 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS 203
REFERÊNCIAS 204



1 INTRODUÇÃO



O presente trabalho trata da aplicação e desenvolvimento de uma solução computacional para utilização do método dos elementos de contorno em problemas de flexão e instabilidade de placas perfuradas utilizando a teoria de REISSNER (1945), obtendo-se os parâmetros críticos de flambagem. A eficácia do método na resolução deste tipo de problema já foi comprovada por diversos trabalhos na literatura como PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005), sendo notáveis as vantagens da utilização do método dos elementos de contorno com relação a outros métodos, como a discretização apenas do contorno do problema, a boa convergência para gradientes e derivadas e a menor utilização de processamento. Apesar destes pontos positivos observa-se algumas desvantagens do método como a necessidade do cálculo de integrais singulares, a necessidade da solução de matrizes cheias e a necessidade da utilização das soluções fundamentais previamente obtidas, conforme descrito por KATSIKADELIS (2002).

Conforme BREBBIA et al. (1991), a precisão dos resultados é de grande dependência do método de integração utilizado, no presente trabalho é abordada a técnica da subtração de singularidade para resolução de integrais singulares do tipo 1/r, as quais são chamadas de fortemente singulares ou do tipo Cauchy, sendo vista nos trabalhos de ALIABADI (2002), PALERMO JR. (2000) e KZAM (2010).

Também é abordada a técnica da transformação de Telles para resolução de integrais singulares do tipo ln(r), as quais são chamadas de fracamente singulares conforme o trabalho de KARAM (1986). Também no presente trabalho são apresentadas as soluções fundamentais obtidas por WEEËN (1982) utilizadas no método dos elementos de contorno para placas de Reissner. A aplicação do método de forma numérica também é analisada demonstrando-se a montagem e cálculo das parcelas de cada solução fundamental. As placas resolvidas serão finas ou moderadamente espessas, isotrópicas, em regime linear para pequenos deslocamentos e em diversos tipos de condições de contorno. Um breve resumo dos capítulos no presente trabalho é encontrado abaixo:

O capítulo 1 inicia o presente trabalho mostrando os objetivos gerais e específicos, juntamente com a justificativa.
O capítulo 2 mostra a revisão da literatura com os principais trabalhos relacionados com placas e o método dos elementos de contorno. Detalhando desde os primeiros passos do método no desenvolvimento das equações integrais até a sua utilização em modelos computacionais.

O capítulo 3 tem uma breve revisão matemática abordando as funções mais utilizadas no método dos elementos de contorno, também é apresentada a notação indicial utilizada no presente trabalho. As equações da teoria da elasticidade são mostradas neste capítulo.

O capítulo 4 é dedicado para a explicação do comportamento de placas de acordo com as teorias de Kirchhoff e Reissner. Primeiramente será abordada a teoria de Kirchhoff ou também chamada de teoria clássica de placas, mostrando-se sua dedução e principais hipóteses. Depois será mostrada a teoria de Reissner, que difere da teoria clássica por considerar a contribuição do esforço cortante na deformação da placa.

O capítulo 5 mostra como é aplicado o método dos elementos de contorno no problema de placas de Reissner. Este capítulo mostra a dedução completa da equação integral de contorno, sendo feita a partir do teorema da reciprocidade de Betti. Será feita a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície a partir das soluções fundamentais de deslocamento, multiplicando-se os momentos pelos cossenos diretores. Também será descrito a aplicação do método de maneira numérica abordando-se a integração das soluções fundamentais, montagem do sistema de equações e solução do problema em nós do contorno e em nós internos.

No capítulo 6 é feita uma breve análise do problema de instabilidade de placas, são desenvolvidas as equações de equilíbrio para este tipo de problema. Depois é apresentada a teoria de instabilidade de placas utilizando-se o método dos elementos de contorno, desenvolvendo-se as equações integrais de contorno e os métodos numéricos para análise. É também mostrada a aplicação do método numérico quociente de Rayleigh para solução do problema de autovalor utilizado para encontrar os parâmetros críticos de flambagem das placas analisadas. É descrito o processo de integração de células de domínio para considerar os efeitos das tensões de domínio da placa.

No capítulo 7 é mostrado o desenvolvimento do método dos elementos de contorno para problemas de elasticidade em duas dimensões, os quais são usados para extrair as tensões nas bordas de furos, a fim de promover uma análise mais precisa dos parâmetros críticos de flambagem. São apresentadas as soluções fundamentais utilizadas no cálculo e também a aplicação numérica, para encontrar as soluções em pontos do contorno e também em pontos internos do domínio.

No capítulo 8 são desenvolvidos os métodos de integração singular utilizados no presente trabalho. É deduzida a técnica da integração de Telles, necessária quando o problema apresente um tipo de singularidade ln(r). É também deduzida a técnica da subtração de singularidade, utilizada quando o problema apresenta o tipo de singularidade 1/r.

No capítulo 9 são apresentados os resultados obtidos para os parâmetros críticos de flambagem avaliados em diversos tipos de exemplos de placas quadradas perfuradas e não perfuradas, utilizando-se vários tipos de condições de contorno diferentes, como borda livre, engastada ou simplesmente apoiada.

No capítulo 10 são apresentados os programas desenvolvidos ao longo do presente trabalho, explicando os módulos utilizados.

No capítulo 11 é feita uma análise dos resultados obtidos, mostrando as conclusões obtidas no decorrer do presente trabalho.

No capítulo 12 são feitas algumas propostas para trabalhos futuros.



1.1 JUSTIFICATIVA



Os trabalhos que apresentam os parâmetros críticos de flambagem para placas perfuradas são muito poucos quando comparados com os problemas de placas não perfuradas. Os resultados da literatura para estes tipos de problemas também são muito limitadas. Devido a complexidade da geometria, observa-se uma maior dificuldade na obtenção de soluções analíticas e muitos trabalhos recorrem a métodos numéricos.
Apesar de existirem trabalhos que avaliam a instabilidade de placas com furos centrais, como é o caso de SABIR e CHOW (1983), BROWN e YETTRAM (1986), EL-SAWY e NAZMY (2001) e DOVAL et al. (2013), estes trabalhos não mostram a influência da espessura da placa no parâmetro crítico de flambagem.
A análise de instabilidade de placas levando em conta o efeito da deformação por cortante, a partir do estado de tensões iniciais na chapa perfurada obtido pela elasticidade plana, pode levar à boa convergência dos parâmetros críticos de flambagem mesmo quando é analisada a influência do tamanho da espessura até placas moderadamente espessas.
O método dos elementos de contorno para resolução de placas pode ser também de grande utilidade para softwares de cálculo de estruturas, devido ao menor uso de processamento e também à melhor precisão das respostas em problemas de placas se comparado ao método dos elementos finitos, conforme mencionado por HARTMANN (1989) e KATSIKADELIS (2002). Uma análise mais precisa dos esforços e cargas críticas das peças delgadas ou de moderada espessura poderão gerar estruturas mais seguras e baratas.

1.2 OBJETIVOS



O principal objetivo do presente trabalho é calcular os parâmetros críticos de flambagem de placas perfuradas e não perfuradas utilizando o método dos elementos de contorno, quando aplicado na teoria de placas que leva em conta o efeito da deformação por cortante. O presente trabalho também visa mostrar a metodologia utilizada para realizar a aplicação do método dos elementos de contorno no problema de instabilidade de placas. Para este propósito foi necessário o desenvolvimento de um código em uma linguagem matemática, a linguagem escolhida foi o FORTRAN 90 devido à sua fácil implementação, velocidade do cálculo e alta precisão. O programa foi desenvolvido no ambiente de programação Visual Studio 2015 Community, integrado ao compilador INTEL FORTRAN 2016 versão para estudantes. Foram obtidos resultados com diversas condições de contorno e comparados com outros trabalhos para diversos tipos de problemas de placas, como problemas de flexão e a obtenção do parâmetro crítico de flambagem.


1.2.1 Objetivo Geral:

Obter os parâmetros críticos de placas perfuradas utilizando elementos de contorno.



1.2.2 Objetivos Específicos:

Desenvolver um programa que resolva os problemas de maneira rápida e precisa;

Demonstrar a aplicação do método numérico passo a passo;
Analisar as equações dos problemas propostos e suas soluções;
Apresentar de maneira completa os métodos de integração singular;
Resolver problemas com diversos tipos de condições de contorno;
Comparar os resultados obtidos com outros autores





2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA



2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO



A aplicação dos métodos numéricos da maneira que se observa nos dias de hoje, utilizando-se softwares de computador para resolver problemas de engenharia, é fruto de anos de progresso da utilização de técnicas matemáticas obtidas por pesquisadores. Muito antes do aparecimento dos computadores utilizados hoje para resolução de problemas, LORD KELVIN (1848) resolveu o problema de um corpo elástico e isotrópico em um espaço em três dimensões solicitado por uma carga concentrada. A solução encontrada para este problema é chamada de Solução Fundamental de Kelvin, a qual ainda é usada para solucionar problemas de elasticidade utilizando-se métodos numéricos, muito anos depois de Kelvin concebê-la. As soluções analíticas para problemas simplificados de placas e instabilidade de placas podem ser encontrados na literatura, exemplos destes trabalhos são dos livros de TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER (1959) e também TIMOSHENKO e GERE (1961), contendo soluções analíticas para problemas simples como placas retangulares ou circulares. Porém, estas soluções podem não ser suficientes para problemas de engenharia práticos, o que levou a busca de métodos numéricos para resolução dos problemas de placas mais complexos, já que estes têm solução analítica de difícil obtenção ou até mesmo impossível. Como já mencionado a aplicação atual do método vem de um somatório de técnicas obtidas ao longo do tempo por diversos pesquisadores, como o artigo de HÖRMANDER (1963) que apresentou os avanços na teoria de operadores diferenciais parciais lineares, este trabalho teve grande uso mais tarde, na obtenção das soluções fundamentais. E também o livro de ABRAMOVITZ e STEGUN (1965), o qual detalha as funções de Bessel modificadas utilizadas em problemas de placas anos depois no trabalho de WEEËN (1982).

A utilização de equações integrais na resolução de problemas de elasticidade linear foi introduzida por FREDHOLM (1903). Posteriormente diversos trabalhos devem ser citados como MUSKHELISHVILI (1953), MIKHLINI (1957) e SMIRNOV (1964), onde tratam problemas de engenharia utilizando-se equações integrais. Porém, a popularidade destes métodos foi pouca, devido a não existência de computadores capazes de processar estas técnicas. KUPRADZE (1965) apresentou os primeiros passos para a utilização da formulação indireta, utilizando-se a solução fundamental de Lord Kelvin.

A primeira aplicação do método dos elementos de contorno em placas utilizando-se a teoria clássica foi observada no trabalho de JASWON et al. (1967) mostrando-se que os problemas demonstrados pela equação bi harmônica podem ser formulados em termos de equações integrais, utilizando-se o método indireto para cálculo. CRUSE (1969) apresentou a resolução de problemas de elasticidade em três dimensões utilizando-se o método dos elementos de contorno e apresentou a solução de uma placa engastada sendo tracionada.

NIWA et al. (1974) descreveram a primeira solução de problemas de instabilidade elástica de placas por meio do auxílio de equações integrais. MAITI e CHAKRABARTY (1974) apresentaram a solução de placas poligonais simplesmente apoiadas utilizando-se equações integrais de contorno.

HANSEN (1976) apresentou a análise de placas infinitas com furos e contorno não carregado utilizando duas equaçoes integrais, uma correspondente a expressao do deslocamento e outra correspondente a sua derivada em relaçao a uma direção qualquer. ALTIERO e SIKARSKIE (1978) sugeriu o tratamento do problema de placas mais geral, baseando-se em um problema em que a função de Green é conhecida, utilizando-se uma placa fictícia.

Os primeiros pesquisadores a utilizar métodos diretos para resolução de placas foram BEZINE (1978), STERN (1979) e DANSON (1979). Essa técnica foi mais tarde generalizada para quaisquer condições de contorno por WU e ALTIERO (1979). TOTTENHAM (1979) discutiu a aplicação de métodos diretos e indiretos em elementos estruturais de cascas e placas. GOSPODINOC e LJUTSKANOV (1982) apresentaram uma formulação direta do método dos elementos de contorno para a teoria clássica, sendo feita também uma análise de instabilidade de placas.

O primeiro pesquisador a aplicar o método dos elementos de contorno na teoria de placas proposta por REISSNER (1945) foi WEEËN (1982). Weeën deduziu as soluções fundamentais para os deslocamentos e trações para aplicação do método, mostrando resultados para placas circulares e retangulares. Weeën propôs para futuros trabalhos uma melhor investigação das quadraturas utilizadas na integração e expansão das capacidades de calculo do programa como cargas transversais não uniformes.

KATAYAMA et al. (1983) apresentaram soluções para placas perfuradas com contorno livre ou engastadas, utilizando-se a teoria clássica e o método dos elementos de contorno. DU et al. (1984) resolveram problemas de placas com furos retangulares utilizando-se elementos de contorno e baseando-se na teoria clássica. BREBBIA et al. (1984) lançam em seu livro diversas técnicas para solução de placas utilizando-se elementos de contorno e a teoria clássica. COSTA e BREBBIA (1985) obtém a formulação geral para os problemas de instabilidade de placas utilizando-se o método dos elementos de contorno. GUO-SHU e MUKHERJEE (1986) resolveram problemas de placas com furos circulares por elementos de contorno baseando-se na teoria clássica.

KARAM (1986) apresentou em sua dissertação de mestrado diversas técnicas para refinamento do método para placas de Reissner, como a transformação quadrática para resolução de integrais singulares. PARIS e LEÓN (1987) apresentaram a solução de placas com apoios internos pelo método dos elementos de contorno baseando-se na teoria clássica. SYNGELLAKIS e KANG (1987) apresentaram a solução de instabilidades de placas utilizando-se elementos de contorno e células de domínio triangulares. LIU (1987) apresentou uma nova formulação para problemas de instabilidade de placas, que envolve apenas dois tipos de equações integrais, sendo estas semelhantes às utilizadas na análise linear dos problemas de flexão de placas pelo método dos elementos de contorno e adequadas para placas com formas arbitrárias no plano. TANAKA e MIYAZAKI (1988) resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método dos elementos de contorno. KARAM e TELLES (1988) analisaram o problema de placas pelo método direto e mostraram que o problema também pode ser aplicado a placas infinitas.

HARTMANN (1989) apresentou em seu livro problemas de placas com furos retangulares utilizando-se a teoria clássica. BREBBIA et al. (1991) lançam um livro introdutório para elementos de contorno contendo a resolução de problemas de potencial e elasticidade. RIBEIRO (1992) resolveu problemas de placas por elementos de contorno submetidos a um gradiente de temperatura. BECKER (1992) lança seu livro com diversos tipos de problemas, disponibilizando o código para um programa de elementos constantes. VENTURINI e PAIVA (1993) apresentou a resolução de diversos tipos de problemas de placas utilizando-se diversas condições de contorno diferentes. KATSIKADELIS e YOTIS (1993) aplicaram o método dos elementos de contorno para placas espessas utilizando-se a teoria de Reissner, a solução é expressa em termos de dois potenciais, um bi harmônico e um de Bessel.

KANE (1994) detalhou em seu livro o método de colocação do ponto fonte, com aplicações em problemas de duas e três dimensões. SYNGELLAKIS e ELZEIN (1994) apresentaram uma formulação para o cálculo de instabilidade placas utilizando-se elementos de contorno, resolvendo diversos tipos de problemas. EL-ZAFRANY et al. (1995) apresentaram uma solução fundamental modificada para análise de placas finas e espessas com formas arbitrárias. MARCZAK (1995) apresentou em seu trabalho uma solução para instabilidade de placas de Reissner utilizando-se o método dos elementos de contorno, mostrando a necessidade de malhas com celulas de domínio refinadas para verificar a convergência dos resultados.

RASHED et al. (1997) apresentaram uma formulação hiper singular para o problema de placas de Reissner utillizando-se elementos de contorno, mostrando o problema da torção em um cubo. FERNANDES (1998) apresentou em seu trabalho a solução de placas pela teoria clássica utilizando-se a técnica de sub-elementos para cálculo das soluções fundamentais de contorno. DUARTE (1999) avaliou a instabilidade de placas pelo método dos elementos de contorno utilizando-se a técnica dos nós duplos e células de domínio triangulares. LIN et al. (1999) resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método dos elementos de contorno, inclusive o problema de a placa circular com carga uniforme ao longo do contorno. FOLTRAN (1999) mostrou que é possível utilizar soluções analíticas para as integrais das soluções fundamentais para problemas de elasticidade planos, utilizando-se elementos lineares.

RASHED (2000) detalhou o processo de cálculo de placas espessas utilizando o método dos elementos de contorno, calculando as soluções fundamentais de singularidade forte de maneira indireta, apresentou também os métodos para cálculo de placas de fundação. ANDRADE (2001) realizou a comparação entre as teorias de Reissner, Mindlin e Kirchhoff quando calculadas utilizando o método dos elementos de contorno. SIMÕES (2001) obteve as cargas críticas em placas utilizando o método dos elementos de contorno baseando-se na teoria clássica.

VENTSEL e KRAUTHAMMER (2001) realizaram em seu livro a comparação entre os métodos direto e indireto da aplicação do método dos elementos de contorno. KATSIKADELIS (2002) publicou em seu livro diversas técnicas para utilização no método dos elementos de contorno, como o tratamento de integrais singulares fortes, podendo ser resolvidas pela técnica dos sub-elementos.

PALERMO JR. (2000) aplicou a integração analítica e elementos lineares para calcular problemas de placas baseando-se nas teorias de Reissner e Mindlin utilizando método dos elementos de contorno. ALIABADI (2002) foi pioneiro em apresentar o método da subtração de singularidade para aplicações em integrais singulares no método dos elementos de contorno. NERANTZAKI e KATSIKADELIS (2003) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas com espessura variável baseado na teoria de Von Karman, utilizando-se o método dos elementos de contorno. CRESCE (2003) realisou a análise não-linear de pavimentos de concreto armado considerando a teoria de Reissner, apresentando diversos tipos de problemas entre eles o problema com carga em linha no centro da placa. PURBOLAKSONO (2003) apresentou em sua tese a análise de instabilidade de placas com fissuras utilizando-se o método dos elementos de contorno. WEN et al. (2005) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas quando baseado na teoria de Reissner.

PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) apresentaram a resolução de problemas de instabilidade em placas utilizando o efeito da deformação por cortante, neste artigo é demonstrado o procedimento de cálculo utilizando o método dos elementos de contorno utilizando-se células de domínio e também da utilização do método da reciprocidade dual, realizando-se então uma comparação entre os dois métodos.

PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas quando baseado na teoria de Reissner utilizando-se de uma formulação hipersingular e também uma função de aproximação para o cálculo dos termos não-lineares.

SAKANAKA (2006) apresentou os métodos para obtenção das frequências naturais de vibração livre e cargas críticas de placas de Reissner pelo método dos elementos de contorno. SANCHES (2009) utilizou pontos de colocação fora do domínio da placa, a fim de não haver a necessidade de cálculo de integrais singulares, para calcular placas de Reissner. ALIABADI e SUPRIYONO (2007) apresentam a resolução de problemas de placas de Reissner considerando os efeitos da não linearidade física e geométrica, utilizando-se do método dos elementos de contorno.

RASHED (2008) propôs uma nova formulação para problemas de placas que levam em conta o efeito da deformação por cortante. Em seu trabalho, ele descreve a técnica utilizada para diminuir integrais hipersingulares para integrais do tipo valor principal de Cauchy, diminuindo assim os recursos computacionais necessários para resolução do problema.

BAIZ e ALIABADI (2009) demonstraram que o problema de instabilidade de placas pelo método dos elementos de contorno pode ser resolvido utilizando-se apenas integrais de contorno, utilizando o método da reciprocidade dual e o método da integração radial. KZAM (2009) apresentou em seu trabalho sobre mecânica da fratura a solução das integrais singulares pelo método da subtração de singularidade. KZAM e CODA (2010) demonstraram em detalhes a aplicação do método da subtração de singularidade utilizando-se a expansão de Taylor em problemas resolvidos pelo método dos elementos de contorno.

DOVAL et al. (2010) apresentaram a análise de instabilidade de placas uma formulação que incorpora a flexão clássica de placas e formulacão para elasticidade plana, apresentando um método puro com apenas integrais de contorno, utilizando-se a integração radial. CHEN e ZHOU (2010) demonstraram a teoria detalhada sobre o cálculo de placas utilizando a teoria de Kirchhoff e apresentaram a relação de que, quanto maior o grau da equação diferencial a ser resolvida no problema de engenharia, maior será a vantagem do método dos elementos de contorno contra o método dos elementos finitos. BUI et al. (2011) apresentaram em seu artigo sobre a resolução de problemas sem a utilização de malhas, comparando os resultados da metodologia apresentada e o método dos elementos de contorno.

OCHIAI e SHIMIZU (2012) apresentam em seu trabalho o método da tripla reciprocidade para problemas de placas utilizando-se a teoria de Kirchhoff. DOVAL (2013) apresentou em sua dissertação a solução dos problemas de estabilidade para placas de materiais compositos laminados, utilizando o método da integração radial.

FENNER (2014) descreveu com detalhes a integração de integrais singulares utilizando a quadratura logaritmica, técnica importante no cálculo das integrais quando o ponto fonte coincide com o elemento a ser integrado. KATSIKADELIS (2014) lança seu livro abordando os diferentes problemas de placas uttilizando o método dos elementos de contorno, entre eles a análise de instabilidade e grandes deslocamentos.

2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS



2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes

BRYAN (1891) apresentou a análise da carga crítica para uma placa retangular infinita simplesmente apoiada ao longo de todas as bordas e submetida a uma carga uniforme de compressão longitudinal. Para problemas de placas de largura finita, podem-se encontrar soluções analíticas no livro de TIMOSHENKO e GERE (1961). HINTON (1978) resolveu o problema utilizando-se o método das faixas finitas. SAKIYAMA e MATSUDA (1987) abordaram diversas condições de contorno para o problema de instabilidade de uma placa, utilizando-se a teoria de Mindlin. THAM e SZETO (1990) resolveu problemas com diversos tipos de cargas, utilizando o método das faixas finitas. MIZUSAWA (1993) apresentou soluções para problemas de instabilidade de placas com diversas espessuras, mostrando a variação da carga crítica de acordo com a espessura da placa, utilizando-se do método das faixas finitas. REDDY (2002) apresentou uma solução para placas com compressão uniforme para diversas condições de contorno. XIANG e WEI (2004) mostrou a solução para placas com variação de espessura. HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008) apresentou uma solução analítica para os problemas de instabilidade de placas espessas, quando considerada a teoria de Mindlin. JALALI e NAEI (2010) resolveu problemas de instabilidade de placas de geometria variada, como placas circulares. BUI et al. (2011) analisou problemas de placas utilizando um método que dispensa a utilização de malhas. GHANNADPOUR et al. (2015) realizou o cálculo do coeficiente de buckling em placas espessas utilizando-se um método das faixas finitas exato.

2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares

LIBOVE et al. (1949) verificou o problema de instabilidade de placas simplesmente apoiadas. GERARD e BECKER (1957) resolveu problemas com diversas condições de contorno. As cargas críticas para placas solicitadas por cargas lineares são dadas por YOSHIZUKA e NARUOKA (1971). BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974) apresentaram uma tabela contendo os valores de carga crítica para diversas condições de contorno com cargas lineares. PEKÖZ (1987) apresentou a solução para várias condições de contorno. KANG e LEISSA (2005) mostrou soluções para placas com vários tipos de cargas lineares.

2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro

Para placas solicitadas por cargas somente de cisalhamento, as soluções analíticas para placas simplesmente apoiadas podem ser encontradas em TIMOSHENKO (1910), BERGMANN e REISSNER (1932). Considerando a placa engastada em dois lados e simplesmente apoiada nos outros, uma solução para este problema foi dada por IGUCHI (1938) para o caso geral, e por LEGGETT (1941) para o caso de a placa quadrada. COOK e ROCKEY (1963) obtiveram soluções considerando o modo de flambagem não simétrico que não foi considerado por IGUCHI (1938). JOHNS (1971) verificou o problema de placas ortotrópicas. XIANG (1993) apresentou soluções para placas de diversas espessuras, quando solicitadas por cargas biaxiais.

2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas

O caso da placa solicitada por forças de cisalhamento combinado com compressão longitudinal, com todos os lados simplesmente apoiado, foi tratada por IGUCHI (1938). BATDORF e STEIN (1947) e também BATDORF e HOUBOLT (1945) analisaram uma série de problemas deste tipo com outras condições de contorno. TIMOSHENKO (1932) obteve as soluções para uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados, solicitada pela combinação de cargas de flexão e cisalhamento. Este problema também foi analisado por STEIN (1936), WAY (1936), CHWALLA (1936) e MCKENZIE (1964). BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974) analisaram o problema quando a placa é solicitada por flexão, compressão e cisalhamento.

PAVLOVIC e BAKER (1989) apresentaram uma solução exata para a estabilidade de uma placa retangular solicitada por compressão biaxial. LIEW et al. (1996) calculou placas com espessuras variadas com cargas biaxiais. SHUFRIN e EISENBERGER (2005) analisaram o problema de placas com cargas biaxiais utilizando teorias que consideram o efeito da deformação por cortande de primeira e segunda ordem. HWANG e LEE (2006) abordaram os problemas de placas com cargas especiais como carga concentrada e senoidal. SHUFRIN e EISENBERGER (2007) resolveram problemas de placas com cargas combinadas de compressão e cisalhamento.

2.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS



2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes

O problema de uma placa quadrada com um furo central e simplesmente apoiada ou engastada no contorno foi abordado por: LEVY et al. (1947), KUMAI (1952), SCHLACK (1964), KAWAI e OHTSUBO (1968) e FUJITA et al. (1969). YANG (1969) mostrou que furos retangulares provocam uma redução maior dos parâmetros críticos de flambagem que furos circulares. VANN (1971) analisou placas com furo circular tanto numericamente quanto de maneira experimental. BROWN e YETTRAM (1986) mostraram que os parâmetros críticos de flambgem diminuem ao se aumentar o tamanho do furo com relação a largura da placa. SHAKERLEY e BROWN (1996) analisaram problemas de placas com furos com excentricidade com relação ao centro da placa.

CHANG-JUN e RONG (1996) trataram placas perfuradas utilizando-se o método dos elementos de contorno. SHANMUGAM et al. (1999) propôs uma fórmula para dimensionamento de placas perfuradas solicitadas por cargas uniformes. EL-SAWY e NAZMY (2001) verificou placas com furo circular e quadrado de diversos tamanhos e em várias posições dentro do domínio da placa, utilizando o método dos elementos finitos, concluindo que à medida com que se aumenta o furo em uma placa quadrada, o seu parâmetro crítico também diminui. EL-SAWY e MARTINI (2007) resolveu problemas de placas retangulares com várias configurações de geometria. KOMUR e SONMEZ (2008) analisou placas retangulares com diversos posicionamentos de um furo circular. MAIORANA et al. (2008) verificou placas perfuradas sujeitas a cargas localizadas. KOMUR et al. (2010) analisou placas com furo central elíptico. NEJAD e SHANMUGAM (2011) resolveram problemas de placas inclinadas com furos. JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2013) analisaram o problema da placa quadrada com furos circulares ou quadrados centrais com diversas espessuras. KOMUR e SONMEZ (2015) resolveram problemas com cargas uniformes parciais.

2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro

SOUTHWELL e SKAN (1924) analisaram placas quando solicitadas por cisalhamento uniforme. O problema de instabilidade de uma placa quadrada com um furo circular central solicitada por cisalhamento puro foi examinado por COOK e ROCKEY (1969). O problema com placas quadradas de furo quadrado foi investigado por GROSSKURTH et al. (1976). NARAYANAN e CHOW (1984) analisaram problemas de placas com furos centrais solicitadas por cisalhamento. CHENG e LI (2012) verificaram o problema de placas quadradas com furo circular central.

2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas

NARAYANAN e CHOW (1984) verificou o coeficiente de flambagem de placas com furos quadrados solicitadas por cargas biaxiais. CHOW e NARAYANAN (1984) apresentaram soluções para problemas com furos com diversos tipos de cargas. O problema de instabilidade de uma placa quadrada com um furo central solicitada por cargas combinadas de flexão, cisalhamento e compressão foi analisado por BROWN e YETTRAM (1986), estes também verificaram as placas solicitadas por cargas biaxiais. SABIR e CHOW (1986) verificou problemas com furos com excentricidade com relação ao centro da placa. BROWN (1990) tratou problemas de placas com furos quando solicitadas por cargas concentradas. PAIK (2008) resolveu o problema da carga perfurada com cargas de cisalhamento e biaxial. MAIORANA et al. (2009) verificou placas perfuradas sujeitas a cargas combinadas.

2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos

A placa quadrada com múltiplos furos solicitada por compressão foi analisada por diversos pesquisadores, como MAY e GANABA (1988), BROWN e YETTRAM (2000), EL-SAWY e NAZMY (2001). A placa quadrada com múltiplos furos solicitada por cisalhamento puro foi analisada por MICHAEL (1960). Os problemas com combinação de cisalhamento e flexão foram abordados por REDWOOD e UENOYA (1979), MOEN e SCHAFER (2008).

2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO



BEZINE et al. (1985) analisou o problema de instabilidade de placas utilizando-se a teoria de Kirchhoff. MANOLIS et al. (1986) tratou o problema de instabilidade de placas e vigas fazendo-se uso do teorema da reciprocidade de Betti, utilizando-se o método direto. LIU (1987) introduziu a resolução do problema utilizando-se células de domínio, resolvendo placas quadradas e circulares. IRSCHIK et al. (1987) utilizou o método dos elementos de contorno para resolver problemas de instabilidade utilizando-se a teoria de Mindlin. SYNGELLAKIS e KANG (1987) resolveu problemas de placas triangulares utilizando-se o método dos elementos de contorno. TANAKA e MIYAZAKI (1988) analisou o problema de instabilidade de placas conjuntas, como o perfil retangular tubular. SHI (1990) tratou o problema de instabilidade de placas ortotrópicas. SYNGELLAKIS et al. (1991) verificou os resultados numéricos do método dos elementos de contorno com ensaios experimentais. ELZEIN e SYNGELLAKIS (1992) aplicou com sucesso o método da reciprocidade dual no problema de instabilidade de placas. SYNGELLAKIS e ELZEIN (1994) resolveu diversos tipos de problemas de instabilidade de placas e comparou os resultados com a literatura.

MARCZAK (1995) resolveu problemas com compressão biaxial e com cisalhamento puro. CHANG-JUN e RONG (1996) resolveu problemas de placas perfuradas de geometria circular com furo central. NERANTZAKI e KATSIKADELIS (1996) avaliou problemas de instabilidade de placas com variação de espessura. LIN et al. (1999) avaliou problemas de instabilidade de placas com cargas lineares. PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) avaliou problemas de instabilidade de placas utilizando-se a teoria de Mindlin. WEN et al (2006) resolveu problemas buckling e pós-buckling de placas utilizando-se a teoria de Reissner.

KATSIKADELIS e BABOUSKOUS (2007) apresentaram um novo método para tratar problemas de pós-buckling, o método da equação análoga. CHINNABOON et al. (2007) apresentaram o método da equação análoga para tratar problemas de buckling. ALBUQUERQUE et al. (2008) resolveram o problema de instabilidade de placas constituídas de materiais compósitos. YIOTIS e KATSIKADELIS (2008) apresentaram o método da equação análoga para tratar problemas de buckling em placas com variação de espessura. BAIZ e ALIABADI (2009) avaliaram problemas de instabilidade de placas conjuntas, como perfis I e U. DOVAL et al. (2011) resolveram problemas de placas constituídas de materiais compósitos solicitadas por cargas não uniformes. DOVAL et al (2012) resolveram problemas de placas quadradas com furos retangulares de materiais compósitos. DOVAL (2013) desenvolveu em sua tese a resolução de problemas de instabilidade de placas com furos retangulares.


3 REVISÃO MATEMÁTICA



3.1 INTRODUÇÃO



Neste capítulo são apresentadas as principais funções matemáticas e regras utilizadas no presente trabalho. São vistos alguns exemplos abordando a notação indicial e sua utilização, as propriedades de algumas funções importantes como o delta de Kronecker e o delta de Dirac. Também é feita uma revisão das equações utilizadas no presente trabalho da teoria da elasticidade, base da análise estrutural com uso de métodos numéricos. São apresentadas as relações básicas entre tensão e deformação, as equações constitutivas e as equações de equilíbrio. No presente trabalho, o material é assumido isotrópico e homogêneo. A teoria da elasticidade gera um sistema de equações independentes com quinze incógnitas para problemas tridimensionais onde três provém das equações de equilíbrio, seis das equações de tensão-deformação e seis das equações constitutivas. Utilizando-se das equações de equilíbrio será possível deduzir uma equação integral de contorno e aplicar o método dos elementos de contorno numericamente.

3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS



3.2.1 Notação indicial

Este trabalho utilizará a notação indicial introduzida por Einstein para facilitar a visualização de grandes expressões. Serão demonstradas algumas regras, as quais fazem parte das formulações mostradas. A conversão para notação indicial pode ser feita em diversas expressões, como a seguinte:




(3.1)

A expressão 3.1 pode ser escrita como:



(3.2)
Em que os índices em latin irão variar de 1 até 3, os índices gregos irão variar de 1 até 2. Quando os índices forem iguais, deve-se realizar o somatório de todas as substituições de índices, como demonstrado em 3.3:




(3.3)

No presente trabalho, as derivadas parciais serão demonstradas conforme a equação 3.4:




(3.4)

3.2.2 Vetor Gradiente

O vetor gradiente pode ser mostrado da seguinte maneira:




(3.5)

3.2.3 Laplaciano

O laplaciano de uma função pode ser escrito como se segue:




(3.6)
3.2.4 Delta de Kronecker

A função delta de Kronecker é definida como se segue:




(3.7)

A função delta de Kronecker é um tensor isotrópico que nos permite converter ou contrair índices. A conversão de índices é feita da seguinte maneira:




(3.8)

A contração de índices é feita como se segue:



(3.9)

3.2.5 Delta de Dirac

A função Delta de Dirac é definida por:




(3.10)

A função delta de Dirac possui uma propriedade importante quando utilizada na obtenção das equações integrais de contorno:



(3.11)

3.2.6 Teorema da Divergência

O teorema da divergência, utilizado para relacionar integrais de domínio com integrais de contorno, é dado por:



(3.12)

3.3 ELASTICIDADE LINEAR



Um corpo sólido e homogêneo, quando é solicitado por alguma ação exterior, sofre deformação quando a distância entre dois pontos em seu interior é alterada. Na figura 3.1 se apresenta um sólido inicialmente indeformado que, quando solicitado, sofre deformação.


Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido

Quando não ocorre a mudança da distância entre dois pontos, é possível observar o movimento de corpo rígido. Observando-se que (a) desloca-se para (a*), (b) desloca-se para (b*), o segmento de linha (ab) alonga-se e gira para (a*b*). Quando a análise do deslocamento levar em conta a não linearidade geométrica, este comportamento é dado pelo tensor Lagrangeano de deformações, sendo definido por:



(3.13)

A equação 3.13 é utilizada na resolução do problema de carga crítica de placas. Na análise de flexão sem o efeito da não linearidade geométrica, neste trabalhosão considerados pequenos deslocamentos e os termos quadráticos da equação 3.13 foram desprezados. A equação 3.13 passa a ser dada por:


(3.14)

3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS



As equações constitutivas são obtidas ao relacionarem-se linearmente as tensões e as deformações, obtendo-se tensor de tensões:



(3.15)

Para um material sólido linear e isotrópico, pode-se deduzir a partir da observação física que só há duas constantes de material independentes que se relacionam com todos os componentes de tensão e deformação. O módulo de Young (E), definido pela taxa de variação da deformação como função da tensão, ou seja, a inclinação da reta parte de um diagrama de tensão-deformação. O coeficiente de Poisson (v) é um coeficiente que relaciona linearmente a deformação transversal em relação à deformação longitudinal, em um material homogêneo e isotrópico. Este coeficiente é uma grandeza adimensional. Assumindo-se a relação linear entre tensão e deformação, pode-se observar:



(3.16)

Onde:



(3.17)

Esta equação pode ser escrita em termos das deformações:



(3.18)


4 TEORIA DE PLACAS



4.1 INTRODUÇÃO



Neste capítulo são apresentadas as bases e fundamentos para a teoria de placas que levam em conta o efeito da deformação por cortante. Placas são elementos estruturais planos, as quais tem sua espessura de ordem menor com relação as outras dimensões. As teorias de placas são extensões das teorias de vigas, buscam reduzir o problema de elasticidade em três dimensões para um problema mais simples, em duas dimensões.
Diversas teorias foram apresentadas para descrever o comportamento de placas, entre as principais pode-se citar a teoria de KIRCHHOFF (1888), que também é chamada de teoria clássica, foi desenvolvida para ser utilizada em problemas de placas finas com pequenos deslocamentos, sem levar em conta o efeito da deformação por cortante, a teoria de VON-KARMAN (1910), desenvolvida para descrever grandes deslocamentos em placas finas e a teoria de REISSNER (1945), sendo esta a teoria de placas que leva em conta o efeito da deformação por cortante. Esta teoria pode ser utilizada tanto para resolver problemas de placas finas quanto para placas moderadamente espessas, sendo de grande utilidade em problemas de engenharia.
Mais tarde MINDLIN (1951) propôs sua teoria similar, mas não idêntica à de Reissner, pois existem diferenças entre os resultados de Reissner e Mindlin, segundo WANG et al. (2001). A partir dos conceitos mostrados neste capítulo será possível deduzir as equações integrais necessárias para aplicação do método dos elementos de contorno.

4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF



Será apresentada a teoria clássica de placas, sendo esta proposta por KIRCHHOFF (1888). A teoria clássica tem como principal característica o cálculo dos deslocamentos e rotações em função do deslocamento transversal, interpretada por uma equação biharmonica.
As principais hipóteses de Kirchhoff são as seguintes, segundo VENTSEL e KRAUTHAMMER (2001):
- Pequenos deslocamentos
- Superfície média indeformável
- A tensão normal ao plano médio, , é pequena em comparação com os outros componentes de tensão e pode ser negligenciada nas relações tensão-deformação
- A teoria não leva em conta o efeito da deformação por cortante
- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece normal após a deformação da placa
- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear

As equações que descrevem o comportamento da teoria clássica são as seguintes :



(4.1)

Nas equações 4.1 é possível observar que as derivadas indicam a variação angular do deslocamento. No eixo médio da placa, as deformações são nulas, mas faz-se necessário calcular as deformações fora do eixo médio, utilizando as seguintes relações :



(4.2)

É possível deduzir as tensões utilizando-se a lei de Hooke generalizada:



(4.3)

Deve-se integrar as tensões ao longo da espessura para encontrar os esforços unitários:



(4.4)

Após a integração os momentos e cortantes são dados por:



(4.5)

Onde D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela equação:



(4.6)

Encontrados os esforços unitários é necessário equilibrar um elemento infinitesimal de placa com relação a cada eixo, a figura 4.1 ilustra as forças atuando na placa:

Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa

Realizando-se o equilíbrio do elemento infinitesimal encontra-se:



(4.7)

Simplificando-se o equilíbrio das forças vertiais:



(4.8)

Fazendo-se o somatório de momento em torno do eixo x1, no ponto 1, desconsiderando-se os resíduos de dx2/2, encontra-se :



(4.9)

Simplificando-se o equilíbrio de momentos encontra-se a seguinte equação:



(4.10)

De maneira análoga, fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao eixo x2, encontra-se :



(4.11)

Em notação indicial estas equações ficam da seguinte maneira:



(4.12)

Substituindo as relações do momento com a cortante, na equação do equilíbrio das forças verticais é possível obter:



(4.13)

Substituindo as relações do momento com os deslocamentos transversais:



(4.14)

Sendo esta chamada equação de Lagrange, podendo ser escrita em notação indicial:



(4.15)

4.3 TEORIA DE REISSNER



A teoria proposta por REISSNER (1945) considera a deformação por efeito de cortante. Segundo TIMOSHENKO (1959), para placas moderadamente espessas, a teoria clássica apresenta um desvio maior em problemas práticos, principalmente aqueles com furos de ordem da espessura da placa, isso mostra a necessidade de uma teoria aperfeiçoada. Nesta teoria, segundo KARAM (1986), obtem-se um problema de integração de sexta ordem, satisfazendo até três condições de contorno, em contraste com a teoria clássica, a qual satisfaz apenas duas condições de contorno. As hipóteses de Reissner são as seguintes:

- Pequenos deslocamentos
- Superfície média indeformável
- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece reta, mas não necessariamente normal após a deformação da placa
- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear

A figura 4.2 ilustra o comportamento de um segmento normal à superfície média após a deformação da placa:


Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal

De acordo com TIMOSHENKO (1959) as tensões nas faces da placa são dadas por:



(4.16)

Reissner admitiu uma variação linear das tensões ao longo da espessura da placa, portanto, as equações que descrevem este comportamento são:



(4.17)

As equações 4.17 coincidem com a teoria clássica, exceto a última equação. Segundo TIMOSHENKO (1959) ao se realizar o equilíbrio das forças no elemento infinitesimal de placa, é possível obter a equação 4.18 (onde é a cortante, é o momento e q é a carga distribuída):


(4.18)

Nesta teoria, os deslocamentos transversais e rotações das seções em x e y são obtidos realizando-se uma média ponderada dos mesmos ao longo da espessura. Reissner admitiu, supondo um material isotrópico e que os deslocamentos sejam pequenos com relação a espessura, as seguintes relações tensão-deformação:



(4.19)

Reissner também indicou que o trabalho realizado pelos esforços solicitantes pode ser igualado a uma média ponderada entre os deslocamentos e as tensões, podendo ser verificado na equação 4.20:



(4.20)

Utilizando-se a equação 4.17 pode-se substituir as tensões pelos esforços solicitantes, chegando a uma equação da seguinte maneira:



(4.21)
Isolando-se os deslocamentos médios, é possível obter as seguintes equações:



(4.22)

Utilizando as equações 4.19 com as relações tensão-deformação é possível expressar as tensões em função dos deslocamentos em cada eixo, ou seja:



(4.23)

Integrando-se as tensões ao longo da espessura, é possível encontrar as equações dos esforços solicitantes.



(4.24)

Substituindo as tensões em função das deformações provenientes das equações 4.23 nas equações 4.24 e observando as equações dos deslocamentos médios encontra-se:



(4.25)
Em que D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela equação 4.6 e é o parâmetro que leva em conta o efeito da deformação por cortante.
Fazendo-se o mesmo para as outras equações de tensões, obtêm-se todas as equações de momento e cortante, conforme a equação 4.26:



(4.26)

Para a teoria de Reissner o parâmetro vale:



(4.27)

Para a teoria de Mindlin ele é dado pela equação 4.28:



(4.28)





5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER



5.1 INTRODUÇÃO



A aplicação numérica do método é feita a partir da equação integral de contorno, a qual é desenvolvida neste capítulo. É também demonstrado como é feita a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície, utilizando-se das soluções fundamentais de deslocamento. É mostrado como é feita a modelagem numérica do problema, desde a utilização das funções de forma até a resolução do sistema final de equações.
Segundo CHEN (2010), com relação ao método dos elementos finitos, o método dos elementos de contorno é de maior viabilidade para cálculo de placas devido a natureza bi harmônica da equação de placas. Como o método dos elementos finitos necessita de uma malha de grande refinamento para garantir a precisão no cálculo de gradientes, este pode necessitar de maior processamento e uma maior quantidade de avaliações de quadraturas de integração. As primeiras aplicações do método dos elementos de contorno em placas de Reissner foram feitas por WEEËN (1982), utilizando o método de HÖRMANDER (1963), ele deduziu as soluções fundamentais e a equação integral de contorno, para aplica-las no cálculo do método dos elementos de contorno.
PALERMO JR. (2000) também obteve uma dedução alternativa para as soluções fundamentais de deslocamento.

5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO



Existem algumas maneiras diferentes para deduzir-se a equação integral de contorno para este problema. Vários autores já demonstraram esta dedução, KARAM (1986) deduziu este problema aplicando o teorema da reciprocidade de Betti e também o método dos resíduos ponderados, RIBEIRO (1992) deduziu esta equação pelo método dos resíduos ponderados. No presente trabalho, será feita a dedução a partir do teorema da reciprocidade de Betti, o qual está escrito na equação 5.1, representado em integrais de volume:



(5.1)

e são as soluções fundamentais de forças de superfície e deformação, respectivamente. Aplicando-se as hipóteses de Reissner, o segundo membro da equação 5.1 passa a ser:



(5.2)

Fazendo-se uso das equações 4.17 que relacionam tensões com os esforços solicitantes e também as equações 4.3 que relacionam as deformações com os deslocamentos médios é possível obter (por conveniência os deslocamentos médios são representados pela variável u):



(5.3)

Integrando-se os dois membros de 5.3 ao longo da espessura:



(5.4)

Realizando-se a integração da equação 5.4 é possível obter a integral de domínio dada pela equação 5.5:



(5.5)
Uma das diferenças entre as teorias de Reissner e Mindlin é a contribuição que contém o valor da carga distribuída (q) nos momentos e . Para elaborar este raciocínio, substituindo-se as relações constitutivas dadas por 4.23, é possível obter:



(5.6)

Expandindo-se as duas primeiras integrais de 5.6 é possível obter:



(5.7)

Tirando os termos que contém a carga distribuída para fora da integral e rearranjando os que sobraram de maneira conveniente é possível obter:



(5.8)

Observando as equações 5.8 é possível verificar que:



(5.9)

Portanto, esta é a uma forma do teorema da reciprocidade de Betti quando consideradas as hipóteses de Reissner. Passando-se o termo da carga distribuída para a direita:



(5.10)

Observando 5.10 na equação obtida 5.5, deve-se proceder com a subtração do termo da carga distribuída (q):



(5.11)

Aplicando-se o teorema da divergência em todas as integrais de 5.11 é possível obter a equação 5.12, que adiciona integrais de contorno:



(5.12)

Agrupando-se os termos da equação 5.12 de maneira conveniente, é possível obter:



(5.13)

Utilizando-se as seguintes propriedades dos esforços de superfície da placa:



(5.14)

Onde são os cossenos diretores. A equação 5.13 torna-se:



(5.15)

Utilizando-se as equações de equilíbrio da placa dadas por 4.12:



(5.76)

Agrupando-se de maneira conveniente e aplicando a notação indicial é possível obter:



(5.17)
Deve-se então aplicar os mesmos passos no primeiro membro da equação 5.1:



(5.18)

De maneira análoga é possível obter:



(5.19)

Aplicando-se as equações de equilíbrio quando consideradas as soluções fundamentais:



(5.20)

Na equação 5.20 a variável F indica as forças de domínio unitárias aplicadas. Aplicando-se a as equações de equilíbrio e as relações das forças de superfície é possível obter:



(5.21)

Aplicando-se a notação indicial:



(5.22)

Do teorema da reciprocidade de Betti:



(5.23)

Substituindo as deduções encontradas:



(5.24)

Posicionando os termos de maneira conveniente:



(5.25)

A equação 5.25 representa o teorema da reciprocidade de Betti generalizado para placas de Reissner. As forças de corpo unitárias concentradas aplicadas em cada uma das três direções de um ponto pertencente ao domínio, que será o ponto fonte utilizado na aplicação numérica.
Estas forças de domínio podem ser representadas pela função Delta de Dirac:



(5.26)

Onde:



(5.27)

são as cargas unitárias utilizadas para calcular um problema de estruturas utilizando o teorema da reciprocidade de Betti. Substituindo as equações 5.26 e 5.27 na equação 5.25 e utilizando a seguinte propriedade da função Delta de Dirac:



(5.28)

A equação 5.21 passa a ser:



(5.29)

Onde e são as soluções fundamentais para os deslocamentos e as forças de superfície respectivamente, é um ponto fonte pertencente ao contorno, é um ponto campo pertencente ao contorno, é um ponto fonte pertencente ao domínio, é um ponto campo pertencente ao contorno.

5.3 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO CONTORNO



Para resolver o problema no contorno torna-se necessário escrever a equação integral para um ponto fonte situado na região do contorno. A figura 5.1 mostra o posicionamento de um ponto fonte no contorno:


Figura 5.1 – Posicionando o ponto no contorno

A equação integral fica da seguinte maneira:


(5.30)

Pode-se estudar separadamente o limite para quando , o limite da segunda integral do lado direito da equação 5.30 é dado por:



(5.31)

A segunda integral do lado direito da equação 5.31 deve ser analisada no sentido do valor principal de Cauchy, cuja existência pode ser demonstrada se o ponto fonte satisfaz a condição de Holder. A primeira integral do lado direito da equação é dada por:



(5.32)

A primeira integral do lado direito da equação 5.32 se anula devido à continuidade no ponto fonte. Já a segunda integral da direita pode ser escrita como:



(5.33)

Utilizando esta propriedade, é possível escrever a equação integral de placas de Reissner para o ponto no contorno, sendo dada a seguir:







(5.34)

Onde e são as variáveis no contorno de deslocamentos e forças de superfície respectivamente. O coeficiente é dado pela equação 5.35:







(5.35)

A integral de domínio de 5.34 pode ser convertida em uma integral de contorno:







(5.36)

A solução fundamental é dada por:







(5.37)

5.4 ESFORÇOS GENERALIZADOS A PARTIR DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS



As soluções fundamentais de deslocamentos encontradas em WEEËN (1982) ou PALERMO JR. (2000) são dadas por:



(5.38)



(5.39)



(5.40)

Onde:



(5.41)

As funções e são funções de Bessel modificadas, para pequenos argumentos estas funções são dadas por:



(5.42)


(5.43)

Onde é a constante de EULER:



(5.44)

É possível encontrar as soluções fundamentais das forças de superfície, multiplicando-se os momentos e cortantes pelos cossenos diretores. A dedução de todas as soluções fundamentais de superfície é feita nas equações abaixo. A solução de força de superfície é definida por:



(5.45)

Verificando as equações 4.27 o valor de é definido por:



(5.46)

Nota-se que o valor do momento da equação 5.46 pode ser descrito com relação às derivadas das soluções fundamentais de deslocamentos, para encontrar as forças de superfície é necessário calcular estas derivadas. Este processo é mostrado abaixo para todas as forças de superfície que precisam ser encontradas. Primeiramente, é necessário calcular as derivadas que fazem parte das soluções fundamentais:



(5.47)

Para encontrar é necessário derivar com relação a :



(5.48)

Apartir desta derivada é possível apenas substituir os índices e para encontrar a próxima derivada do deslocamento:



(5.49)

Para encontrar a ultima derivada do deslocamento basta substituir nos valores de e , observando os valores indiciais que ficarem iguais, pois estes indicam somatórios:



(5.50)

Substituindo-se na equação dos momentos:



(5.51)

Encontrado o momento, basta multiplicar pelo vetor normal :



(5.52)

Portanto, a solução de força de superfície é definida por:



(5.53)


A solução fundamental é dada por:



(5.54)

A solução fundamental de é dada por:



(5.55)

Os deslocamentos para definir a solução da cortante são dados por:



(5.56)

O próximo deslocamento é dado por:



(5.57)

Substituindo-se estes valores na equação 5.55 da cortante é possível obter:



(5.58)

Substituindo-se o valor da cortante na equação 5.54:



(5.59)

Portanto, a solução fundamental é dada por:



(5.60)

A solução fundamental é dada por:



(5.61)

A solução fundamental da cortante é dada por:



(5.62)

Os deslocamentos são dados por:



(5.63)

O próximo deslocamento é dado por:



(5.64)

Substituindo-se na equação 4.27 da cortante:


(5.65)

Substituindo-se o valor da cortante encontrado na equação 5.61 de forças de superfície é possível obter:



(5.66)

Utilizando as propriedades do delta de Kronecker e multiplicando pelos cossenos diretores, a solução fundamental é dada pela equação 5.67 :



(5.67)

A solução fundamental é dada por:



(5.68)

O esforço é dado por pela equação 5.69 (será utilizado um coeficiente auxiliar para o cálculo das derivadas):



(5.69)

Será necessário encontrar todas as derivadas da equação 5.69, a derivada do deslocamento que compõe o momento é dado por:



(5.70)

O deslocamento que compõe o momento é dado por:



(5.71)

O deslocamento é dado por:



(5.72)

Substituindo-se na equação 5.69:



(5.73)

A solução fundamental é dada por:



(5.74)
Substituindo-se o momento temos:



(5.75)

Portanto, solução fundamental é dada por:



(5.76)

Bastando-se apenas substituir por temos:



(5.77)

Deduzidas as expressões, pode-se listar as soluções fundamentais das forças de superfície, conforme WEEËN (1982):



(5.78)



(5.79)



(5.80)



(5.81)

5.5 A APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MEC PARA PLACAS DE REISSNER



Após a determinação da equação integral de contorno e das soluções fundamentais necessárias, o problema deve ser discretizado em diversos elementos de contorno, fazendo-se com que a equação integral de contorno se torne um somatório de todos os elementos, sendo que no presente trabalo são utilizados elementos quadráticos. A figura 5.2 apresenta uma discretização de uma placa com elementos de contorno:


Figura 5.2 – Discretização de um problema de placa

As integrais vistas na equação integral de contorno serão agora calculadas ao longo de cada elemento. Para utilizar os elementos quadráticos será feita uma mudança de variáveis entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas intrínsecas, a fim de facilitar a integração de cada um ao longo do contorno. As integrais das soluções fundamentais serão avaliadas no intervalo de -1 até 1, sendo este o intervalo da coordenada intrínseca. Portanto, serão descritas funções de forma para realizar a mudança de variáveis e também deve ser calculado o jacobiano da transformação. A figura 5.3 ilustra a mudança de coordenadas aplicada:

Figura 5.3 – Mudança de coordenadas para o elemento isoparamétrico

O desenvolvimento da equação (5.34) em soma de integrais estendidas aos elementos de contorno é dada por:



(5.82)

Utilizando-se como exemplo o problema da figura 5.2, a discretização é feita utilizando-se 4 elementos de contorno quadráticos. No presente trabalho está sendo utilizada a técnica abordada por VENTURINNI e PAIVA (1993) e PALERMO JR. (2000), o qual consiste na utilização de nós duplos em cantos com elementos perpendiculares uns aos outros.
Serão utilizados nós duplos nos quatro cantos no exemplo da figura 5.2. Então, o elemento 1 possuirá os nós 1, 2 e 3; o elemento 2 os nós 4, 5 e 6; o elemento 3 os nós 7, 8 e 9 e por fim, o elemento 4 possuirá os nós 10, 11 e 12. A utilização dos nós duplos facilita a manipulação do sistema final de equações pois adiciona mais 3 equações a cada nó duplo adicionado.
Realizada a discretização dos nós e elementos no contorno do problema, faz-se necessário a aplicação do método da colocação do ponto fonte ao longo do contorno, conforme os trabalhos de JASWON (1967), BREBBIA (1992) e KANE (1994). A fim de preencher-se um sistema de equações com incógnitas a serem resolvidas, este método posiciona o ponto fonte em cada nó do contorno, incluindo os nós duplos.
As soluções fundamentais são então calculadas a partir da distância entre o elemento calculado e o ponto fonte, sendo esta distância chamada de raio. O problema de placas de Reissner possui 3 graus de liberdade, portanto, para cada ponto fonte haverá 3 equações com as incógnitas dos elementos. O procedimento do método da colocação do ponto fonte procede-se da seguinte maneira:
Utilizando-se como exemplo a figura 5.2, coloca-se o ponto fonte no nó 1 e, utilizando-se a distância r entre este ponto e o primeiro elemento, integra-se as soluções fundamentais utilizando os nós do primeiro elemento.
Depois, integra-se o as soluções fundamentais a partir da distância entre o nó 1 e o segundo elemento, fazendo-se assim sucessivamente até completar todos os elementos em que foi discretizado o contorno.
Feito isso, obtem-se as primeiras três linhas do sistema de equações principal, a fim de resolver as incógnitas no contorno. Colocando o ponto fonte em todos os nós do contorno obtem-se o sistema final de equações. Cada solução fundamental deve ser calculada a partir das funções de forma estabelecidas. Para elementos quadráticos, são utilizadas as funções de forma da equação 5.83. Uma plotagem das funções de forma é feita na figura 5.4:



(5.83)




Figura 5.4 – Plotagem das funções de forma

Cada coordenada x e y passa então a ser uma função da coordenada intrínseca , sendo expressa pelo somatório das funções de forma vezes as coordenadas do eixo em questão:



(5.84)

Por ser um problema bidimensional são utilizadas apenas as coordenadas x e y, obtendo então as respectivas funções :



(5.85)

Onde x1 é a coordenada em x do ponto 1 do elemento, x2 é a coordenada em x do ponto 2 e x3 é a coordenada em x do ponto 3. De maneira similar y1 é a coordenada em y do ponto 1 do elemento, y2 é a coordenada em y do ponto 2 e y3 é a coordenada em y do ponto 3. Definidas as funções de x() e y() é necessário calcular cada parcela da solução fundamental, as quais são definidas pela distância entre o ponto fonte e o ponto analisado, primeiro em sua componente em x:



(5.86)

Onde xf é a coordenada em x do ponto fonte. A componente em y da distância entre o ponto fonte e o ponto analisado é dada por:



(5.87)

Onde yf é a coordenada em y do ponto fonte. A distância final do ponto fonte ao ponto analisado é definida por:



(5.88)

O qual denomina-se raio, valor que determina a distância entre o ponto fonte e o ponto analisado. Expandindo-se é possível obter:



(5.89)

Encontrado o raio é necessário encontrar suas derivadas, a derivada com relação a x é dada por:



(5.90)

Expandindo a equação 5.90 é possível obter:



(5.91)
Analogamente a derivada com relação a y fica da seguinte maneira:



(5.92)

Expandindo a equação 5.92 é possível obter:



(5.93)

O jacobiano da transformação de coordenadas é definido por :



(5.94)
Substituindo-se os valores de das derivadas de 5.86 e 5.87:



(5.95)

Também é necessário calcular as componentes do vetor normal ao contorno, sendo então a componente em x:



(5.96)



(5.97)

A componente do vetor normal ao contorno com relação a y fica:



(5.98)


(5.99)

Também é necessário calcular a derivada normal com relação ao raio, sendo obtida da seguinte maneira:



(5.100)

Cada contribuição da matriz será então multiplicada pela sua variável correspondente de deslocamento u, no caso da matriz H e pela variável correspondente de força de superfície t quando o caso for a matriz G. Em 5.101 está um exemplo dos termos posicionados no sistema de equações:



(5.101)

Nota-se que se tem 3 linhas para cada elemento e 9 valores de soluções fundamentais para cada nó. Analisando o sistema de equações 5.101, no primeiro membro da equação é possível observar que os 3 primeiros valores são devido à contribuição do primeiro nó do elemento (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N1), os três valores do meio são devido aos valores do segundo nó (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N2), e os valores da direita são devido à contribuição do terceiro nó do elemento (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N3). O mesmo se repete para o membro direito da equação, porém com as soluções fundamentais de deslocamento.



(5.102)

As equações mostradas em 5.102 demonstram apenas a contribuição de um elemento quadrático de placa, com 9 soluções fundamentais por nó. Deve-se então realizar o mesmo procedimento ao longo do contorno, é necessário calcular todos os elementos com relação ao nó do ponto fonte. Como se utiliza no presente trabalho elementos contínuos, deve-se somar a contribuição dos elementos que compartilham o mesmo nó. A contribuição de nós adjacentes é feita nos três últimos termos da matriz, pois estes elementos estão compartilhando as 9 soluções para o terceiro nó do primeiro elemento e para o primeiro nó do elemento seguinte. Deve-se portanto somar a contribuição do ultimo nó do primeiro elemento com a contribuição do primeiro nó do segundo elemento, quando estes compartilham um nó. A exemplo, em 5.103 encontra-se o sistema quando calcula-se dois elementos que compartilham um nó.



(5.103)
Lembrando-se que o sistema 5.103 possui apenas 3 linhas, deve-se observar que as contribuições do ultimo nó do primeiro elemento somaram-se com as contribuições do primeiro nó do segundo. Deve-se realizar este procedimento sempre que elementos compartilharem um nó. Para cada ponto fonte têm-se três linhas do sistema de equações final a ser resolvido. Nas equações das soluções fundamentais o nó do ponto fonte não irá mudar, quem irá variar são os nós de cada elemento, deve-se percorrer todos os elementos para cada ponto fonte. Para cada elemento calculado teremos uma parte da equação do ponto fonte analisado. Ou seja, para calcular H11 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano. Para calcular H12 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T12 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano. O mesmo vale para H13, H21, H22, H23, H31, H32 e H33. Como está se utilizando elementos quadráticos é necessário calcular da mesma maneira utilizando-se a segunda função de forma(contribuições devido ao segundo nó do elemento) e também utilizando-se a terceira função de forma(contribuições devido ao terceiro nó do elemento). Ou seja, para calcular H14 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1,integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela segunda função de forma e o jacobiano. Para calcular H17 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela terceira função de forma e o jacobiano.
Devido à utilização de nós duplos, quando o ponto fonte estiver no primeiro nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para -2/3 na coordenada intrínseca. Quando o ponto fonte estiver no último nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para 2/3 na coordenada intrínseca. Quando os nós extremos do elemento não forem duplos, utilizar -1 para o nó inicial e +1 para o nó final, considerando a coordenada intrínseca. Integradas as 27 integrais de soluções fundamentais para o primeiro elemento, passa-se a integrar o segundo elemento, deixando o ponto fonte ainda no nó 1 e integrando-se novamente todas as soluções fundamentais para o segundo elemento. Lembrando que as contribuições deste segundo elemento para a primeira função de forma somam-se com as contribuições da terceira função de forma do elemento anterior, pois os dois elementos compartilham um mesmo nó. Depois de integrados todos os elementos, obtem-se as primeiras três linhas do sistema de equações. Deve-se então colocar o ponto fonte no nó 2 e prosseguir o cálculo de todos os elementos novamente, agora utilizando as coordenadas do nó 2 como ponto fonte, encontrando-se as próximas três linhas do sistema de equações, ou seja, as linhas 4, 5 e 6 do sistema. E assim sucessivamente até percorrerem-se todos os pontos fonte do problema incluindo-se os de nó duplo, cada nó duplo irá gerar 3 equações para o sistema final. As equações do nó duplo ficam logo após o cálculo do nó de canto. O sistema final encontrado denomina-se a matriz H. A matriz do método de elementos de contorno é cheia e exige uma quantidade de processamento maior que outros métodos numéricos, como o dos elementos finitos. Da mesma maneira em que foram calculadas as soluções fundamentais de forças de superfície, deve-se proceder para as soluções fundamentais de deslocamentos. A matriz que contém as soluções fundamentais de deslocamentos é chamada de matriz G. Depois de calculadas as matrizes H e G, é necessário adicionar a contribuição do coeficiente C da equação integral de contorno nas diagonais da matriz H. Este coeficiente depende do posicionamento do ponto fonte com relação ao problema calculado. O valor da contribuição do coeficiente C é adicionado de acordo com a equação 5.35.
Lembrando-se que as diagonais são as parcelas da matriz H com coeficiente i = j, por exemplo H11, H22, H33 e assim sucessivamente sempre de acordo com o posicionamento do ponto fonte. Se, por exemplo, a contribuição for em H11, H11 = T11 + C. A matriz H assume a seguinte forma, considerando-se a soma das contribuições de elementos que dividem o mesmo nó:



(5.104)

Deve-se observar que para cada ponto fonte existem 3 linhas do sistema total, portanto as três primeiras linhas indicam as contribuições do primeiro ponto fonte, as seis primeiras colunas indicam a contribuição do primeiro e do segundo nó do primeiro elemento a ser integrado. As próximas colunas indicam as contribuições somadas do terceiro nó do primeiro elemento e do primeiro nó do segundo elemento e assim sucessivamente até serem integrados todos os elementos com relação ao primeiro ponto fonte.
As linhas 4, 5 e 6 pertencem à contribuição devido ao ponto fonte situado no nó 2, e seus respectivos elementos integrados. O sistema então continua assim até que o ponto fonte seja posicionado em todos os nós do contorno. No caso de um problema de 4 elementos de contorno, temos 8 nós de contorno mais 4 nós duplos de canto, totalizando 12 nós no contorno, o sistema total então terá 36 linhas.
A matriz G assume a seguinte forma, considerando-se a soma das contribuições de elementos que dividem o mesmo nó:



(5.105)

O processo de integração das soluções fundamentais no método dos elementos de contorno é complexo se comparado com outros métodos numéricos. Como as integrais são avaliadas conforme a distância do elemento ao ponto fonte, estas integrais começam a ter singularidades quando o elemento está muito próximo do ponto fonte. Portanto, deve-se estar atento ao método de integração utilizado para cada caso. Em elementos de ordem menor como elementos lineares, existe a possibilidade da utilização da integração analítica nas soluções fundamentais. Porém, para elementos quadráticos, estas expressões tornam-se demasiadamente grandes e/ou de difícil acesso. Por este motivo, no presente trabalho é utilizada a integração numérica das integrais das soluções fundamentais. Observa-se as duas situações onde se deve utilizar diferentes tipos de integração, a figura 5.5 mostra a integração quando o ponto fonte está fora do elemento a ser integrado:


Figura 5.5 – Integração com ponto fonte fora do elemento (placa)

Quando o ponto fonte está localizado fora do elemento em que está sendo realizada a integração, o raio torna-se maior que zero, portanto, as soluções fundamentais passam a ser funções regulares dentro do intervalo de -1 até 1. Pode-se então utilizar-se a quadratura de Gauss-legendre para realizar a integração sem muita dificuldade. A figura 5.6 mostra a integração quando o ponto fonte está fora do elemento a ser integrado:


Figura 5.6 – Integração com ponto fonte dentro do elemento (placa)

Quando o ponto fonte está localizado dentro do elemento que está sendo integrado, as soluções passam a ter comportamento singular no intervalo de integração, pois o raio está tendendo a 0. Estas integrais singulares necessitam de um tratamento especial para serem calculadas corretamente. No caso das soluções fundamentais de deslocamento a integração é do tipo ln(r), as chamadas de fracamente singulares, estas são resolvidas aplicando-se a transformação de Telles, de acordo com o trabalho de KARAM (1986). As soluções fundamentais de força de superfície têm singularidade do tipo 1/r, estas integrais são do tipo Cauchy, sendo resolvidas aplicando-se o método da subtração de singularidade desenvolvido por ALIABADI (2002). O método da subtração de singularidade é chamado de semi-analitico, pois uma parte será integrada utilizando-se a quadratura de Gauss-legendre e a outra será feita uma integral analítica no sentido do valor principal de Cauchy. Os métodos de integração singulares são desenvolvidos no capítulo 8.
A figura 5.7 demonstra graficamente a matriz de coeficientes :


Figura 5.7 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas de placas

Deve-se observar que como o problema de placas de Reissner tem três graus de liberdade, cada ponto fonte irá gerar três linhas do sistema final.
Outro fator importante é observar o compartilhamento dos nós entre os elementos, onde as contribuições devem ser somadas para se obter o valor do nó, um exemplo é o caso de H17, H18, H19, H27, H28, H29, H37, H38, H39, os quais precisam da contribuição do terceiro nó do elemento 1 e a contribuição do primeiro nó do elemento 2. Deve-se encontrar uma matriz da mesma forma para os coeficientes da matriz G. O sistema de matrizes fica da seguinte maneira: ( a matriz F será abordada mais adiante ).



(5.106)

Após a montagem das matrizes H e G observa-se necessária a aplicação das condições de contorno do problema. Cada nó terá três condições de contorno, sendo a rotação com relação ao eixo x, rotação com relação ao eixo y e o deslocamento em z. Para exemplificar a aplicação das condições de contorno nas matrizes, pode-se observar a figura 5.8:


Figura 5.8 – Placa engastada em um dos lados

Levando-se em consideração que o nó inicial seja posicionado no canto esquerdo superior, como o lado esquerdo está engastado, os nós iniciais terão deslocamento e rotações prescritos, com valor nulo.
De maneira numérica isto significa que deve-se trocar as colunas nulas da matriz H com as colunas de G, pois estas terão as incógnitas das reações de apoio do engaste. O sistema de equações assume a forma da figura 5.9:


Figura 5.9 – Sistema de equações

Se for adotado apenas um elemento de contorno no lado esquerdo da placa, as condições de contorno se aplicariam até o final deste elemento, ou seja, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8 e u9 serão nulos. Todos os coeficientes da matriz H que são multiplicados por estes deslocamentos nulos, serão substituídos pelos coeficientes de mesma posição da matriz G. Se o problema tiver uma condição de contorno com solicitação de uma força ou momento, os coeficientes da matriz G que sejam relacionados serão multiplicados pelo valor da solicitação conhecida, no caso momento em x, momento em y e força em z. Aplicadas as condições de contorno, o sistema assume a forma da figura 5.10:


Figura 5.10 – Sistema de equações com aplicação das condições de contorno

Observa-se necessário realizar o somatório dos coeficientes das linhas de G já multiplicados pelos valores conhecidos das forças de solicitação, a fim de obter-se um sistema de equações linear do tipo:



(5.107)

O sistema fica da maneira ilustrada pela figura 5.11:

Figura 5.11 – Sistema de equações linear

Deve-se somar na matriz B a contribuição da carga distribuída prevista na equação integral. Para cada elemento, a contribuição no primeiro nó é dada por:



(5.108)

A contribuição do segundo termo é dada por:



(5.109)

A contribuição do terceiro termo é dada por:



(5.110)
Cada elemento contribuirá com três termos no vetor de cargas, a exemplo, o elemento 1 contribuirá com F1, F2 e F3, já o elemento 2 contribuirá com F4, F5, F6 e assim por diante. Ao se completar a integração de todos os elementos para apenas um ponto fonte o vetor é dado da seguinte maneira:



(5.111)

Quando a integração passar para o próximo ponto fonte deve-se realizar o somatório das contribuições dos elementos integrados no primeiro ponto fonte com este novo ponto fonte. Passando-se por todos os pontos fonte o vetor de cargas é dado por:



(5.112)

Deve-se então, somar as contribuições da carga distribuída com o vetor de variáveis conhecidas, obtendo-se um sistema ilustrado pela figura 5.12:


Figura 5.12 – Sistema de equações linear com integral da carga
Realizada a soma encontra-se um sistema linear que pode ser resolvido utilizando-se o método da decomposição LU. As incógnitas obtidas resolvendo este sistema são os esforços e deslocamentos desconhecidos no contorno.
As soluções fundamentais para pontos internos são dadas por:



(5.113)



(5.114)

Onde e são dados por ALIABADI (2002):



(5.115)



(5.116)



(5.117)



(5.118)



(5.119)



(5.120)



(5.121)



(5.122)



(5.123)



(5.124)



6 O EFEITO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA



6.1 INTRODUÇÃO



Neste capítulo são deduzidas as equações de equilíbrio utilizadas no problema de instabilidade de placas. Após esta dedução, é mostrado como é feita a aplicação deste problema com o método dos elementos de contorno, deduzindo a equação integral de contorno. Também é mostrado neste capítulo como é feita a aplicação numérica do problema, demonstrando quais são as soluções fundamentais utilizadas e como são montadas as matrizes finais. O processo numérico para a solução de autovalor para obtenção da carga crítica e o parâmetro crítico de flambagem também é efetuado neste capítulo.
A análise de instabilidade de placas é importante em diversos aspectos da engenharia, podendo-se citar a análise de estruturas delgadas e elementos estruturais utilizados na engenharia aeroespacial, segundo PURBOLAKSONO (2003). A capacidade de análise deste comportamento pode gerar menores custos com estruturas mais seguras, devido à uma mais precisa análise do modelo estrutural. Estes elementos estruturais são solicitados por esforços no plano da placa, como na figura a 6.1:


Figura 6.1 – Placa com solicitação no plano



6.2 AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE



Em um problema de instabilidade as cargas no plano da placa podem causar deslocamentos, assim como demonstrado na figura 6.2:


Figura 6.2 – Placa deformada devido à solicitação no plano

Observando-se um elemento de placa sendo solicitado por tensões no plano e de cisalhamento na superfície do plano, a figura 6.3 mostra o sistema de forças:


Figura 6.3 – Elemento diferencial com solicitação no plano

Realizando-se um corte no eixo x, é possível decompor as forças de tração para encontrar suas componentes em z, levando em consideração sua dependência do deslocamento em z. A figura 6.4 mostra o corte e as forças expostas:


Figura 6.4 – Elemento diferencial deformado

Encontrando-se as componentes em z das forças e fazendo-se um somatório em z, encontra-se a seguinte equação que indica o somatório das componentes por unidade de área:




(6.1)

Expandindo-se:



(6.2)

Desprezando-se os termos diferenciais elevados ao quadrado por serem muito pequenos, encontra-se a força em z por unidade de área com relação a x:



(6.3)

Análogamente encontra-se a força em z por unidade de área com relação a y:



(6.4)

Observando-se as forças de cisalhamento no plano, é possível verificar suas componentes em z. A figura 6.5 demonstra as forças de cisalhamento:


Figura 6.5 – Elemento diferencial com forças de cisalhamento no plano

Decompondo-se as forças de cisalhamento e realizando-se o somatório em z, tem-se que o somatório de forças em z por unidade de área é:



(6.5)
Desprezando-se os termos diferenciais elevados ao quadrado por serem muito pequenos, encontra-se a força em z por unidade de área:



(6.6)

Realizando-se o somatório de todas as forças encontradas e considerando também a carga no plano da placa é possível determinar uma das equações de equilíbrio do problema:


(6.7)

A segunda equação deste tipo de problema é a mesma do equilíbrio de placas a flexão:



(6.8)

Portanto, o sistema de equações de equilíbrio para o problema de placas levando em conta o efeito da não linearidade geométrica é dado por:



(6.9)

6.3 AS EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE



Para o tratamento do problema de instabilidade por elementos de contorno, é necessário obter-se uma equação integral de contorno. Uma abordagem mais detalhada desta dedução pode ser vista no trabalho de PALERMO JR. e SOARES JR. (2015), utilizando-se o cálculo variacional pode-se escrever o funcional da energia potencial para o problema de instabilidade de placas espessas:



(6.10)

Considerando-se o funcional como uma função F obtém-se:



(6.11)

Pode-se minimizar a função F utilizando-se as equações de Euler:



(6.12)

Aplicando-se as seguintes condições no funcional minimizado:



(6.13)

É possível obter a equação integral de contorno para placas de Reissner, quando é levado em conta o efeito da não linearidade geométrica. Utilizando-se a notação de WEEËN (1982):



(6.14)

Aplicando o teorema da divergência na integral de domínio:



(6.15)

A equação integral de contorno então fica:



(6.16)

Observando-se que:



(6.17)

A integração no domínio e feita utilizando-se células de domínio constantes, conforme o trabalho de SIMÕES (1992). A integração é feita ao longo do contorno de todas as células de domínio, portanto a integral que relaciona a influência da carga transversal no domínio será dada por:



(6.18)

A equação integral de contorno para o problema de instabilidade de placas de Reissner quando levado em consideração o efeito da não linearidade geométrica passa a ser:



(6.19)

Onde é um ponto fonte pertencente ao contorno, é um ponto campo pertencente ao contorno, é um ponto fonte pertencente ao domínio e é um ponto campo pertencente ao domínio. Observa-se a presença de duas integrais iguais, uma no contorno da célula e outra no contorno do domínio. A fim de otimizar o cálculo, foi adotado que quando os deslocamentos são prescritos no contorno (condição simplesmente apoiada, por exemplo), o efeito da não linearidade geométrica é calculado somente nos lados das células dentro do domínio, excluindo-se os lados presentes no contorno. Quando os deslocamentos não são prescritos no contorno (como um lado livre, por exemplo) o efeito da não linearidade geométrica é computado para todos os lados das células e também para o contorno no domínio.
Os fatores críticos de instabilidade são calculados utilizando-se o quociente de Rayleigh, método numérico abordado com detalhes em PALERMO JR. (1985):



(6.20)

Uma ilustração da discretização (com baixo refinamento para facilitar a visualização) utilizada para placas sem furos pode ser vista na figura 6.6:


Figura 6.6 – Discretização de um problema de instabilidade de placas

Deve-se observar na figura 6.6 que, o contorno foi descrito utilizando-se nós duplos em cada canto. A contagem dos nós começa primeiramente contando os nós de contorno e depois, os nós de domínio são contados. As células de domínio utilizam-se quando necessário de nós de contorno e domínio.
Abaixo pode-se observar a figura 6.7 ilustrando a discretização de um problema de placas com furo:


Figura 6.7 – Discretização de um problema instabilidade de placas com furo

As células de domínio podem ser de geometria quadrática (para problemas de furos com geometria complexa) onde a mudança de variáveis para integração é feita da mesma forma da equação 5.85 em diante. Para células de geometria linear (para problemas de geometria simplificada) apenas as funções de forma são modificadas para:



(6.21)

O cálculo das componentes das soluções fundamentais é feito da mesma maneira conforme escrito no capítulo 5, somente as funções de forma são modificadas e cada lado de célula possui apenas dois nós, no caso da célula linear. As células de domínio podem possuir geometria linear ou quadrática, mas a aplicação das forças é calculada como constante, ou seja, as tensões em x, tensões em y e tensões de cisalhamento são aplicadas no centro de gravidade das células.

6.4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO QUE LEVA EM CONTA A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA



Deve-se resolver as soluções fundamentais da equação 6.19 ao longo do contorno e das bordas das células de domínio, formando-se os coeficientes do sistema de equações usado para resolver o problema de autovalor. Primeiramente deve-se resolver as duas últimas integrais da equação 6.19:



(6.22)

Para realizar a integração 6.22 deve-se posicionar o ponto fonte em todos os pontos de contorno, para cada ponto, uma linha na matriz CDP será criada. Também, para cada ponto no contorno, deve-se calcular a integração ao longo das bordas de cada célula. A geometria das células é linear, por isso, deve-se somar as contribuições da integração dos quatro lados das células de domínio. Como demonstrado na equação 6.23:



(6.23)

Condensando-se os quatro lados e multiplicando pelas tensões no centro de gravidade da célula a matriz passa a ser:



(6.24)

A matriz de 6.24 representa a contribuição de uma célula quando consideradas as integrais da equação 6.22. Passando-se o ponto fonte por todos os pontos no contorno e calculando-se as soluções fundamentais em todas as células, obtém-se a matriz CDP:



(6.25)

Cada ponto fonte irá criar três linhas na matriz CDP, cada célula integrada irá criar duas colunas, as contribuições das células na matriz CDP não podem ser sobrepostas. Quando um canto de célula coincide com um ponto fonte situado no contorno deve-se utilizar a técnica de integração singular transformação quadrática de Telles, podendo ser encontrada em KARAM (1986) e também no capítulo de integração numérica do presente trabalho.
A incógnita do problema de autovalor receberá um chute inicial com o valor de 1, iniciando-se então um processo iterativo, este será o valor do vetor DWI (de tamanho duas vezes o número de células):



(6.26)

Multiplica-se a matriz CDP pelo vetor DWI, encontrando-se a contribuição do vetor de carga:



(6.27)
Esta matriz TPI significa a contribuição da equação integral 6.22. Voltando-se para as integrais principais, estas são as mesmas do problema de flexão:



(6.28)

Estas devem ser calculadas da mesma maneira como foi explicado no capítulo 5, montadas as matrizes H e G, deve-se realizar a troca entre as incógnitas e não incógnitas do contorno, assim como demonstrado na figura 5.9. A matriz G agora com somente os termos conhecidos deve ter suas colunas somadas formando-se o vetor das cargas e deslocamentos conhecidos, assim como na figura 5.10. Utilizando-se este vetor, deve-se multiplica-lo pelo vetor de cargas nos nós de contorno (as forças aplicadas de compressão ou tração na borda da placa) :



(6.29)

A matriz H agora com somente os valores que multiplicam as incógnitas deve ser processada realizando-se a decomposição LU, resultando-se na matriz Hd. Para resolver o sistema de equções resultante, deve-se antes realizar a soma dos vetores de carga TP e TPI:



(6.30)

O sistema resultante fica da seguinte maneira:



(6.31)

Resolvendo-se o sistema da equação 6.31 encontra-se o vetor com os deslocamentos no contorno já com a influência o autovalor inicial. Os valores dos deslocamentos devem ser armazenados em uma matriz DS e os valores das forças devem ser armazenados em uma matriz FICI.
Para resolver o problema de autovalor ainda é necessário cálcular as contribuições do somatório das rotações, . A primeira parte desta integração é dada por:



(6.32)

Para integrar esta parte basta calcular as mesmas soluções fundamentais das matrizes H e G. Na montagem das matrizes a diferença é que coloca-se o ponto fonte no centro de gravidade de uma célula e integra-se ao longo dos elementos de contorno obtendo-se as 9 soluções fundamentais por nó. Se o ultimo nó do elemento for um nó duplo, não se deve sobrepor as contribuições do último nó , se o último nó do elemento for um nó simples, deve-se realizar a sobreposição das soluções fundamentais do último nó do elemento com as soluções do primeiro nó do próximo elemento.
Cada ponto fonte gera uma nova linha na matriz, assim como na figura 5.6. Realizada a integração de todos os elementos, para todos os pontos fonte, formam-se as matrizes IH e IG. Apesar da utilização das mesmas soluções fundamentais que as matrizes H e G, as matrizes IH e IG tem sinal invertido e devem ter seus coeficientes multiplicados por -1. Observando a equação integral 6.32, pode-se notar que os termos estão sendo multiplicados pelos resultados de forças e deslocamentos, portanto, deve-se multiplicar as matrizes IH e IG pelos vetores de solução no contorno de forças e deslocamentos.



(6.33)

A última parte da derivada das rotações é dada por:



(6.34)
A contribuição é feita de maneira similar à matriz MD, integra-se as soluções fundamentais colocando-se o ponto fonte no centro de gravidade da célula e integra-se ao longo do contorno de cada célula. A montagem da matriz é dada por:



(6.35)

As soluções fundamentais para as derivadas são dadas por:



(6.36)

Por fim, as matrizes MD2 de cada ponto fonte e cada célula de domínio são montadas de maneira similar à montagem de CDP em uma matriz de nome IDPD:



(6.37)

Multiplicando-se IDPD pelo autovalor encontra-se:



(6.38)

Realizando-se a soma da contribuição de IR1, IR2 e IR3 obtém-se:



(6.39)

Extraindo-se do vetor IRT (vetor utilizado para a próxima iteração) somente os valores correspondentes às duas primeiras solicitações de cada célula, obtêm-se:



(6.40)

O vetor DWA corresponde ao próximo autovalor da iteração, a carga crítica é então calculada utilizando o quociente de Rayleigh:



(6.41)

Este problema é considerado um problema de raiz dupla, sendo necessário um tratamento especialmente quando se considera problemas com solicitação de cisalhamento puro. Este tratamento é dado por (quando já se passou a primeira iteração):



(6.42)

O valor de AUX1 é dado por:



(6.43)
O valor de AUX2 é o mesmo de AUX1, mas quando calculado na iteração anterior do problema de autovalor, se o programa estiver na primeira iteração o valor de N1crit é 0. O valor de DWA é então dividido pela sua norma:



(6.44)

Deve-se então ir para a segunda iteração, o cálculo deve prosseguir da mesma maneira começando-se pela equação 1.1, recalculando todos os coeficientes ( as matrizes de soluções fundamentais não são recalculadas, apenas os vetores que dependem do autovalor DWI ) serão feitas as seguintes substituições:



(6.45)

São recalculadas as matrizes TPI, FICI, DS, IR1, IR2, IR3 utilizando-se o novo valor de DWI da iteração anterior, obtendo-se então um novo valor para as cargas críticas Ncrit e N1crit. A condição de parada é definida de acordo com os recursos computacionais, no caso do presente trabalho a condição é quando o erro relativo entre os valores da carga crítica e da carga crítica anterior for menor que 10-4. Utilizando-se o valor da carga crítica final é possível encontrar o valor do parâmetro crítico, sendo dado por:



(6.46)

Em problemas de raiz dupla (como placas solicitadas à apenas carga de cisalhamento), a segunda carga crítica se torna necessária para calcular o parâmetro crítico:



(6.47)


7 PROBLEMAS DE ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL



Em uma placa quadrada sem furos a distribuição das tensões é constante, porém, em uma placa com furos a distribuição das tensões passa a ter grandes variações principalmente perto da borda dos furos. Isto mostra a necessidade da utilização de um método que calcule estas tensões ao longo do domínio perfurado, a fim de gerar cargas críticas com menores desvios. O método dos elementos de contorno pode ser aplicado a problemas de elasticidade linear em duas ou mais dimensões com grande precisão nos resultados. Será então descrito, conforme o procedimento encontrado em KANE (1994) e FOLTRAN (1999) como é aplicado o método dos elementos de contorno para problemas de elasticidade bidimensionais. Seja o problema dado pela figura 7.1:


Figura 7.1 – Exemplo de problema bidimensional

A figura 7.1 consiste em um problema de elasticidade bidimensional pois ele tem deslocamentos prescritos e trações prescritas. Para resolver este problema por elementos de contorno é necessário discretizar o contorno em diversos elementos. Na figura 7.1, o problema está discretizado em 4 elementos de contorno quadráticos, que possuem 3 nós por elemento. No caso temos então 8 nós de contorno. Serão utilizados nós duplos nos quatro cantos do problema, serão adicionados 4 nós duplos. O elemento 1 possuirá os nós 1, 2 e 3; o elemento 2 os nós 4, 5 e 6; o elemento 3 os nós 7, 8 e 9 e por fim, o elemento 4 possuirá os nós 10, 11 e 12. A utilização dos nós duplos facilita a manipulação do sistema final de equações e também proporciona respostas únicas para cada elemento, separando respostas de força e deslocamento.
É possível resolver o problema não utilizando os nós duplos, conforme KANE (1994), mas esta solução não será abordada no presente trabalho. As coordenadas dos nós de cada elemento definem os valores utilizados na integração das soluções fundamentais. Considerando que o domínio do problema seja um quadrado de lado 2, o elemento 1 portanto, terá as coordenadas em x: x1 = 0, x2 = 1 e x3 = 2. As coordenadas em y serão: y1 = 0, y2 = 0 e y3 = 0; o elemento 2 terá as coordenadas em x: x1 = 2, x2 = 2 e x3 = 2. As coordenadas em y serão: y1 = 0, y2 = 1 e y3 = 2; o elemento 3 terá as coordenadas em x: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 0. As coordenadas em y serão: y1 = 2, y2 = 2 e y3 = 2; o elemento 4 terá as coordenadas em x: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0. As coordenadas em y serão: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 0.
Obtidas as informações do problema como condições de contorno, coordenadas do contorno e propriedades do material, o problema é então dividido em diversos elementos de contorno. Ao se descrever cada elemento e suas informações deve-se começar o processo de integração dos elementos. As soluções fundamentais para elasticidade bidimensional são deduzidas apartir da solução fundamental obtida por LORD KELVIN (1848). A equação integral de contorno para os problemas bidimensionais pode ser encontrada em BECKER (1992):



(7.1)

A solução do problema por elementos de contorno exige o cálculo das soluções fundamentais ao longo de todos os elementos com relação a cada ponto fonte. O segundo termo da parte esquerda da equação determina a integral das soluções fundamentais de forças de superfície que multiplicam a incógnitas de deslocamento u. O termo da direita da equação determina a integral das soluções fundamentais de deslocamento que multiplicam a incógnitas de forças de superfície. Em um problema de elasticidade bidimensional ou se tem incógnitas de força ou incógnitas de deslocamento. De acordo com uma determinada força, haverá um determinado deslocamento ou vice versa. Estas determinações devem aparecer no sistema final como condições de contorno do problema. O parâmetro Cij indica uma contribuição na matriz final devido ao posicionamento do ponto no contorno, esta contribuição aparece sempre nas diagonais da matriz com as soluções de força de superfície. Esta contribuição é somada ao valor da solução fundamental que multiplica a incógnita do ponto fonte avaliado. Os valores de Cij são os mesmos dados pela equação 5.35. As soluções fundamentais são calculadas em função do raio que por sua vez está um função da variável . As soluções fundamentais devem ser integradas ao longo do domínio intrínseco, ou seja, de -1 até 1. As soluções fundamentais para problemas bidimensionais de elasticidade estão descritas abaixo :



(7.2)



(7.3)



(7.4)

Em notação indicial estas equações podem ser escritas por:



(7.5)

As soluções fundamentais de forças de superfície são as seguintes:



(7.6)



(7.7)



(7.8)


(7.9)

Em notação indicial estas equações podem ser escritas por:



(7.10)

Cada parcela das soluções fundamentais deve ser calculada a partir das funções de forma estabelecidas, no caso serão utilizadas as funções de forma para elementos quadráticos. Portanto, as coordenadas cartesianas serão convertidas para um sistema de coordenadas isoparamétrico e passa a ter domínio de -1 a 1. As definições de funções de forma, raio, jacobiano e componentes das soluções fundamentais são os mesmos das equações 5.76 até 5.93. Para calcular cada solução fundamental, deve-se atentar-se que agora integração está sobre o domínio da coordenada , então deve-se aplicar na integração o valor do jacobiano e da função de forma do nó do elemento :



(7.11)

Encontradas todas as componentes, será necessário calcular, para cada ponto fonte e para cada elemento, as soluções fundamentais de 7.10. No presente trabalho será utilizado o método da colocação do ponto fonte, conforme KANE (1994), isto significa montar um sistema de equações que obtêm uma equação para cada ponto fonte.
Este método consiste em situar um ponto fonte em cada nó do contorno, incluindo os nós duplos. Situando o ponto fonte no nó 1 do problema por exemplo, todas as soluções fundamentais serão calculadas com relação a distância do ponto dentro do elemento analisado e o ponto fonte. Esta distância definida por r é utilizada para calcular as soluções fundamentais, todas as soluções são calculadas em função de r. Por este motivo, no método dos elementos de contorno ocorre a necessidade da utilização de métodos de tratamento para integrais singulares. Se o ponto fonte está fora do elemento analisado, a integração é não singular, podendo ser calculada por métodos de integração numérica como método de Gauss-Legendre, assim como na figura 7.2 :


Figura 7.2 – Integração com ponto fonte fora do elemento

Quando o ponto fonte encontra-se no elemento que está sendo calculado, as integrais passam a se tornar singulares, exigindo métodos específicos de cálculo. A figura 7.3 mostra o ponto fonte dentro do elemento a ser integrado:


Figura 7.3 – Integração com ponto fonte dentro do elemento

Na solução de problemas de elasticidade bidimensionais é necessário resolver integrais singulares do tipo 1/r, encontradas nas soluções fundamentais de forças de superfície. As integrais singulares do tipo ln(r) são encontradas nas soluções fundamentais de deslocamentos. Os métodos de integração para integrais singulares são abordados com detalhes no capítulo de integração numérica. Voltando-se ao processo de cálculo do método dos elementos de contorno, situado então o ponto fonte no nó 1 e calculando-se as soluções fundamentais para todos os elementos com relação a sua distância com o ponto fonte, obtém-se a primeira e a segunda linha do sistema de equações do método da colocação do ponto fonte. Para este propósito, é necessário somar a contribuição de cada nó de cada elemento, a contribuição de cada nó é definida pela multiplicação da integral pela função de forma respectiva ao nó. A contribuição de 1 elemento fica da seguinte maneira no sistema de equações principal, considerando as soluções fundamentais de força de superfície:



(7.12)

Cada contribuição da matriz será então multiplicada pela sua variável correspondente de deslocamento, no caso da matriz H e pela variável correspondente de força quando o caso for a matriz G:



(7.13)

Nota-se que temos 2 linhas para cada elemento e 6 valores de soluções fundamentais. Analisando o sistema de equações 7.13, no primeiro termo temos que os valores da esquerda são devido à contribuição do primeiro nó do elemento (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N1), os valores do meio são devido aos valores do segundo nó (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N2), e os valores da direita são devido à contribuição do terceiro nó do elemento (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N3)
Obtêm-se duas linhas para cada ponto fonte porque o problema de elasticidade bidimensional contém dois graus de liberdade, no caso, deslocamentos e trações. Na equação 7.13, encontra-se a contribuição de apenas 1 elemento. Mas é necessário calcular a contribuição de todos os elementos com relação ao ponto fonte em questão. A contribuição de nós adjacentes é feita nos dois últimos termos da matriz, pois estes elementos estão compartilhando as 4 soluções para o terceiro nó do primeiro elemento e para o primeiro nó do elemento adjacente. Deve-se então somar a contribuição do ultimo nó do primeiro elemento com a contribuição do primeiro nó do segundo elemento, quando estes compartilham um nó. A exemplo, abaixo encontra-se o sistema quando calcula-se dois elementos que compartilham um nó.



(7.14)

No problema da figura 7.1, observa-se apenas 4 elementos, portanto seria necessário realizar este mesmo procedimento para todos os elementos em qual o problema foi discretizado. Calculadas todas as contribuições dos elementos para o ponto fonte no nó 1, deve-se mover o ponto fonte para o nó 2 e realizar o mesmo procedimento, agora posicionando as equações logo abaixo das duas obtidas no ponto fonte situado no nó dois. Após o cálculo das contribuições do nó dois, haverá 4 linhas no sistema de equações.
No presente trabalho está sendo abordada a técnica da utilização de nós duplos para cantos com ângulos retos. Em alguns problemas pode-se encontrar faces que têm uma condição de contorno de deslocamento, enquanto que na face perpendicular tem-se uma condição de força. A utilização do nó duplo faz com que a separação das duas variáveis seja mais simples. Quando temos uma situação de nó de canto com outra face perpendicular utiliza-se o nó duplo, quando se tem uma junção de dois elementos em uma linha de mesma angulação, não se utiliza o nó duplo. A consequência do nó duplo no sistema de equações é que é adicionada uma linha a mais correspondente ao nó duplo criado. Então haverá 8 nós de contorno mais 4 duplos, um para cada nó de canto. Então como tem-se 12 nós no total, será encontrado um sistema de equações com um total de 24 linhas, considerando-se que para cada ponto fonte será necessário 2 linhas devido ao número de graus de liberdade, que também é 2.
Para cada ponto fonte tem-se duas linhas do sistema de equações final a ser resolvido, para encontrar essas linhas deve-se localizar o ponto fonte no nó inicial e calcular então as soluções fundamentais para cada elemento. Nas equações das soluções fundamentais os nós do ponto fonte não irão mudar, quem irá variar são os nós de cada elemento, deve-se percorrer todos os elementos para cada ponto fonte.
Devido à utilização de nós duplos, quando o ponto fonte estiver no primeiro nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para -2/3 na coordenada intrínseca. Quando o ponto fonte estiver no último nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para 2/3 na coordenada intrínseca. Quando os nós extremos do elemento não forem duplos, utilizar -1 para o nó inicial e +1 para o nó final, considerando a coordenada intrínseca. Para cada elemento calculado teremos uma parte da equação do ponto fonte analisado. Ou seja, para calcular H11 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano. Para calcular H12 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T12 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano, multiplicando a integral pela primeira função de forma. Para calcular H21 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T21 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano. Para calcular H22 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T22 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano. Com isso são calculadas as soluções fundamentais para a primeira função de forma. Como está se utilizando elementos quadráticos é necessário calcular da mesma forma para a segunda função de forma e também para a terceira função de forma. Ou seja, para calcular H13 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1,integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela segunda função de forma e o jacobiano.
Para calcular H15 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela terceira função de forma e o jacobiano. Integradas as 12 integrais de soluções fundamentais para o primeiro elemento, passa-se a integrar o segundo elemento, deixando o ponto fonte ainda no nó 1 e integrando-se novamente todas as soluções fundamentais para o segundo elemento. Lembrando que as contribuições deste segundo elemento para a primeira função de forma somam-se com as contribuições da terceira função de forma do elemento anterior, pois os dois elementos compartilham um mesmo nó.
Depois de integrados todos os elementos, obtem-se as primeiras 2 linhas do sistema de equações da matriz H. Deve-se então colocar o ponto fonte no nó 2 e prosseguir o cálculo de todos os elementos novamente, agora utilizando as coordenadas do nó 2 como ponto fonte, encontrando-se a próxima linha do sistema de equações. E assim sucessivamente até percorrer-se todos os pontos fonte do problema incluindo-se os de nó duplo. Este sistema encontrado denomina-se a matriz H do sistema de equações para soluções de problemas de elasticidade bidimensionais. A matriz do método de elementos de contorno é cheia e é mais complexa para ser resolvida quando comparada à outros métodos como o dos elementos finitos. A matriz H assume a seguinte forma levando-se em consideração a contribuição diagonal de acordo com o posicionamento do ponto fonte e também a sobreposição de elementos adjacentes :



(7.15)

Deve-se então aplicar o coeficiente Cij dado pela equação 5.35 nos termos diagonais da matriz Hij, encontrando-se um sistema da seguinte maneira :


(7.16)

A matriz G assume a seguinte forma levando-se em consideração a contribuição diagonal de acordo com o posicionamento do ponto fonte e também a sobreposição de elementos adjacentes :



(7.17)

Demonstrando-se graficamente, a matriz com os coeficientes fica similar ao que está na figura 7.4:


Figura 7.4 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais
Deve-se observar que como o problema de elasticidade bidimensional tem dois graus de liberdade, cada ponto fonte irá gerar duas linhas do sistema final. Outro fator importante é observar o compartilhamento dos nós entre os elementos, onde as contribuições devem ser somadas para se obter o valor do nó, um exemplo é o caso de H15, H16, H25 e H27, os quais precisam da contribuição do terceiro nó do elemento 1 e a contribuição do primeiro nó do elemento 2. Deve-se encontrar uma matriz da mesma forma para os coeficientes da matriz G. Calculando-se todas as soluções fundamentais para todas as matrizes, obtêm-se um sistema de equações linear, do qual a solução indica os deslocamentos e trações desconhecidos no contorno :



(7.18)

Ainda não deve-se resolver este sistema, pois ainda não foram aplicadas as condições de contorno do problema. Deve-se alternar os valores de quais variáveis são conhecidas e quais são desconhecidas. Se por exemplo o deslocamento conhecido u1 = 0, todos os valores que multiplicam u1 no sistema serão multiplicados por 0. Se a força conhecida t1 = 10, todos os valores que multiplicam t1 no sistema serão multiplicados por 10.
Feito este passo, ainda numericamente falando, não se pode resolver o sistema. Deve-se adequá-lo para que possa ser resolvido por algum método conhecido, ele deve ficar da seguinte maneira :



(7.19)

Para que o sistema fique desta maneira, deve-se, para cada condição de contorno de deslocamento conhecida, troca-la com a respectiva condição de força. Por exemplo, se u2 = 0 e t2 for desconhecido, deve-se trocar u2 na matriz H por t2 da matriz G, também trocar t2 na matriz G por u2 da matriz H.
Da mesma forma, se t3 = 10 e u3 for desconhecido, deve-se trocar t3 na matriz G por u3 da matriz H e também trocar u3 na matriz H por t3 da matriz G. Formando então o sistema linear que pode ser resolvido pelo método da decomposição LU.
As matrizes do método dos elementos de contorno são cheias e necessitam de maior cautela na seleção do método de resolução, visto que são mais populosas que as de outros métodos (como o dos elementos finitos), as matrizes do método dos elementos de contorno necessitam de mais processamento para serem resolvidas.
Resolvido este sistema final de equações, são encontradas as soluções de força e deslocamento para cada variável desconhecida. Para encontrar as tensões em um ponto interno qualquer, basta resolver a seguinte equação integral:



(7.20)

As soluções fundamentais e são dadas por:



(7.21)

Lembrando-se que e são as soluções para deslocamentos e forças no contorno.


8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA



8.1 INTEGRAÇÃO REGULAR



Quando o ponto fonte está fora do elemento integrado, as integrais de contorno tornam-se integrais regulares. No presente trabalho, a integração de integrais regulares foi feita utilizando-se a quadratura de Gauss-Legendre. Este tipo de integração pode ser definido como o processo de aproximação da integral definida de uma determinada função.
O resultado deste método tem a forma do somatório entre as avaliações da função nos pontos de gauss, vezes os seus respectivos pesos de gauss, sendo então definida por:



(8.1)

Para computação dos pontos de Gauss utilizou-se a rotina da biblioteca VISUAL NUMERICS IMSL chamada DGRUL, garantindo-se os pontos e pesos com dupla precisão nos resultados.

8.2 TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES



O tratamento das integrais singulares de ordem (1/r) as quais são do tipo Cauchy e as de ordem ln(r) as quais são chamadas de fracamente singulares necessitam de uma formulação adequada para serem calculadas com bons resultados. A integração numérica simples utilizando pontos de Gauss já não é suficiente para garantir a precisão destas integrais.
As integrais singulares se originam quando o ponto fonte está dentro do elemento analisado. No presente trabalho está se utilizando elementos quadráticos, o ponto fonte está em cima de um dos três nós do elemento.
As equações se tornam singulares porque o raio (a distância entre o ponto fonte e o ponto analisado) tende a 0, gerando as singularidades acima citadas.


8.2.1 Singularidade do tipo ln(r)

O tratamento das integrais singulares de ordem ln(r) são feitas utilizando uma transformação quadrática da variável isoparamétrica utilizada, esta técnica foi descrita por KARAM (1986) e é chamada de transformação de Telles. Sendo desenvolvida abaixo, inicialmente integra-se em função de :



(8.2)

Será utilizada uma equação quadrática para realizar a transformação de coordenadas, como a equação 8.3:



(8.3)

Será feita uma transformação linear de para impondo as seguintes condições para a equação quadrática:




(8.4)


(8.5)




(8.6)
Utilizando a condição 8.5:



(8.7)

Aplicando na equação 8.3:





(8.8)
Utilizando a condição 8.6:



(8.9)

Aplicando na equação 8.3:





(8.10)
Utilizando 8.8 e 8.10 encontra-se o sistema de equações:




(8.11)

Resolvendo o sistema de equações 8.11, observa-se que:




(8.12)

Aplicando a condição 8.4:



(8.13)

Observa-se que :





(8.14)
Resolvendo 8.14 para :





(8.15)

Tendo os valores de b=1, e é possível substituir (a) por (–c) na equação 8.15 para encontrar o coeficiente que está faltando:



(8.16)

Devido a primeira condição 8.4, a derivada de é 0, então basta agora substituir os valores de ou na derivada da equação quadrática adotada, obtendo-se:



(8.17)

Observa-se que :



(8.18)

Substituindo os valores de a e b em 8.18:



(8.19)

Simplificando 8.19 é possível obter:



(8.20)
Resolvendo para c:






(8.21)
Deve-se utilizar somente a parte real dos coeficientes, devido ao intervalo de -1 a 1, o coeficiente (c) fica:



(8.22)

Da equação 8.12 observa-se que a = -c, portanto:



(8.23)

Substituindo os coeficientes na equação quadrática 8.3, é possível obter:







(8.24)



(8.25)

Substituindo o valor de na equação 8.2, é possível obter:



(8.26)

Esta equação é somente válida para = -1 e = 1. Para encontrar uma formulação para qualquer entre -1 e 1 deve-se dividir a integral 8.26 em duas:



(8.27)

Cada integral deve ser transformada em uma integral com domínio de -1 até 1, quando os limites de integração são [a, b] em vez de [-1, +1], deve-se realizar as seguintes transformações:




(8.28)
Será feita a solução desta transformação, primeiramente para a integral da esquerda no segundo termo da equação (8.27). Assumindo que existe uma variável que está linearmente relacionada com tal que:



(8.29)

Se = a, corresponde à -1 e se = b, corresponde à 1, então



(8.30)

Resolvendo as duas equações em 8.30 é possível obter:



(8.31)
Simplificando a equação 8.31:



(8.32)

Que dá a mudança de variáveis:



(8.33)

Chamando-se de para a integral da esquerda teremos:



(8.34)





(8.35)

Então a integral da esquerda de (8.27) convertida para -1 até 1 fica :



(8.36)



De maneira análoga é possível obter para a integral da direita no segundo termo da equação, assumindo que existe uma variável que está linearmente relacionada com tal que:



(8.37)

Se = a, corresponde à -1 e se = b, corresponde à 1, então:



(8.38)

Resolvendo essas duas equações temos:



(8.39)

Que dá a mudança de variáveis:



(8.40)



(8.41)

Chamando-se de para a integral da direita de (8.27):



(8.42)



(8.43)

E então a integral da direita de 8.27 fica com limite convertido para -1 a 1:



(8.44)

Substituímos então essa transformação na equação 8.27, obtendo duas integrais com domínio de -1 até 1:


(8.45)

Deve-se lembrar que já passou por uma primeira transformação, então deve-se substituir pela primeira transformação de (eq. 8.24) e aplicando o ponto fonte como +1:



(8.46)



(8.47)

Substituindo-se pela equação 8.24 e o ponto fonte como -1:



(8.48)



(8.49)

Substituindo-se estes novos valores de e na equação das integrais 8.45, chegando então na transformação final, sendo esta válida para -1