APUNTES DE MECANICA NOLINEAL DE VIGAS

APUNTES DE MECANICA NOLINEAL DE VIGAS

RUBENS SAMPAIO DEPTO. ENG. MEC. PUC-RIO BRASIL GABRIEL BARRIENTOS DEPTO. ING. MECANICA - U. DE C. - CHILE ROBERTO RIQUELME DEPTO. ING. MATEMATICA - U. DE C. - CHILE

5 de enero de 2009

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´Indice general 1. Introducci´ on

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2. Definiciones previas 2.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Rotaciones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Movimento general de un cuerpo r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4. Algebra de cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Definici´on de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Representaci´on de rotaciones en t´erminos de cuaterniones 2.4.3. Representaci´on matricial de los cuaterniones . . . . . . . 2.5. Restricciones al movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Valor estacionario de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Soluci´on del sistema con restricciones bilaterales . . . . .

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3. Teor´ıa de vigas geometricamente exacta 3.1. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Rotaciones finitas. Velocidad y aceleraci´on angular . . . . . . . . 3.3. Formulaci´on d´ebil de las ecuaciones de balance . . . . . . . . . . 3.4. Aspectos computacionales de las rotaciones finitas . . . . . . . . 3.4.1. Vector rotaci´on incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Actualizaci´on de las rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Esquema de integraci´on impl´ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Rotaciones finitas en esquema Newmark-Wilson . . . . . . 3.5.2. Linealizaci´on consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Discretizaci´on espacial. Elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Matriz tangente din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Matriz de rigidez tangente y carga de desbalanceamiento 3.6.3. Representaci´on de la ecuaci´on de movimiento . . . . . . . 3.7. Algoritmo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

4 4. Implementaci´ on teor´ıa no lineal de vigas 4.1. Elementos cuadr´aticos . . . . . . . . . . . 4.2. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . 4.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . 4.4. Rutinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Programaci´ on en MATLAB 5.1. Esquema de integraci´on de la ecuaci´on linealizada . . . 5.2. Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Descripci´on de operadores MATLAB . . . . . . . . . . 5.3.1. Rutinas del programa . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Diagrama de bloques del programa. Interacci´on 5.4. Manual de utilizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Introduci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Par´ametros de integraci´on . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Parametros geom´etricos. . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Propriedades materiais . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . 5.4.7. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.8. Cargas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.9. Criterios de parada del programa . . . . . . . .

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6. Ejemplos tipo BENCHMARK 81 6.1. Estudio comparativo del modelo usado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7. Simulaci´ on de vigas curvas 7.1. Viga circular empotrada con carga concentrada en el extremo libre . . . . . . . 7.2. Viga semicircular empotrada con carga concentrada en el extremo libre y grandes desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Viga semicircular empotrada con carga variable de tipo senoidal en el extremo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Viga curva en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Viga tipo caracol en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Problema 1. Viga empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Problema 2. Viga empotradada con cargas tridimensionales . . . . . . . . . . . 7.8. Problema 3. Viga en rotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Problema 4. Grandes rotaciones y gran flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Problema 5. Viga flexible en vuelo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. Problema 6. Viga empotrada con amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12. Problema 7. Barra empotrada con carga seguidora concentrada . . . . . . . . .

91 91 94 96 99 101 105 111 112 113 119 122 122

´INDICE GENERAL 7.13. Problema 7.14. Problema 7.15. Problema 7.16. Problema 7.17. Problema 7.18. Problema

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8. Cargas de origen impulsivas . . . . . . . . . . 9. Brazo de robot. Efectos del amortiguamiento 10. Brazo de robot articulado. . . . . . . . . . . 11. Multicuerpos en vuelo libre. . . . . . . . . . 12. Sistema Biela-Manivela de un motor . . . . 13. P´endulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A. Rutinas MATLAB del programa 155 A.0.1. Algumas rutinas de c´alculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A. Uso del programa A.1. Manejo de la informaci´on . . . . . . . . . . A.1.1. Pre-procesaamiento . . . . . . . . . A.1.2. Procesamiento . . . . . . . . . . . . A.1.3. Post procesamiento . . . . . . . . . . A.2. Cargas, Restricciones y Post procesamiento A.2.1. Cargas puntuales . . . . . . . . . . . A.2.2. Condiciones de contorno . . . . . . . A.2.3. Post procesamiento . . . . . . . . . . A.3. Ejemplo 1. Viga simplemente apoyada . . . A.3.1. Trabajo propuesto al alumno . . . . A.4. Ejemplo 2. Viga flexible en rotaci´on . . . . A.5. Ejemplo 3. Viga flexible en vuelo libre . . .

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´INDICE GENERAL

´Indice de figuras 1.1. Modelos cl´asicos de barras lineales. . . . . . . . . . . 1.2. Comportamiento lineal y no-lineal. Barra empotrada el otro, con carga uniformemente distribuida . . . . . 1.3. Problemas geom´etricamente no-lineales . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . en un extremo y libre en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. Representaci´on de una rotaci´on finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Representaci´on de un cuerpo r´ıgido en el espacio (a) en el instante inicial, (b) despu´es del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

. . . . . . . . . . . . ve. . .

38 40 43 44

4.1. Funciones de forma para los elementos finitos cuadr´aticos . . . . . . . . . . . .

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5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9.

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63 64 74 75 77 78 79 80 80

6.1. Barra empotrada sometida a una carga constante en el extremo libre . . . . . . 6.2. Desplazamiento transversal para el caso est´atico (se impone vectores velocidad y aceleraci´on nulos). Carga que produce peque˜ nos desplazamientos . . . . . . .

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Viga 3D. Configuraciones inicial y deformada . . . . . . . . . . . . . . . . Viga 3D. Configuraciones inicial y deformada . . . . . . . . . . . . . . . . Vector rotaci´on incremental en sus represntaciones material y espacial . . Actualizaci´on iterativa. a)Desplazamiento, b) Rotaciones . . . . . . . . . . Forma espacial de la aproximaci´on de Newmark transporte paralelo de la locidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esquema o proceso de simulaci´on v´ıa MATLAB . . . . . . . . . . . . . Diagrama de flujo del proceso de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques del proceso de integraci´on . . . . . . . . . . . . . Asociaci´on de los grados de libertad por tipo de elemento . . . . . . . Ejemplo de diferentes tipos de materiales y secciones . . . . . . . . . . Tipos de condiciones de contorno implementadas al programa . . . . . Condiciones iniciales implementadas al programa para las velocidades Tipos de cargas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de cargas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE DE FIGURAS 6.3. (a) Desplazamiento transversal para el caso est´atico. Carga grande que produce grandes deformaciones; (b) Distribuci´on de fuerzas y momentos a lo largo de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Comparaci´on entre los desplazamientos te´oricos y los resultados obtenidos por el programa implementado. Carga est´atica transversal . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Comparaci´on entre los desplazamientos te´oricos y los resultados obtenidos por el programa implementado. Cargas est´aticas axial y transversal . . . . . . . . . 6.6. Barra en rotaci´on como cuerpo r´ıgido. Animaci´on del movimiento. (a) soluci´ on dada por el programa, (b) soluci´on obtenida por la teor´ıa linea˜ n de EulerBernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Barra simplemente apoyada en las extremidades con carga variable transversal 6.8. Barra simplemente apoyada en ambos extremos. Diferentes frecuencias de excitaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Estado Inicial Viga Circular empotrada con carga concentrada de 300 N . . . . 7.2. Desplazamientos del extremo libre de la viga en las direcciones e1 , e2 , e3 . . . . 7.3. Estado inicial viga semicircular empotrada con carga concentrada de 294.000 N 7.4. Desplazamientos del nodo del extremo libre de la viga semicircular . . . . . . . 7.5. Momento flector a lo largo de la viga semicircular. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Configuraci´on final de la viga sometida a grandes deformaciones. . . . . . . . . 7.7. Desplazamientos en las direcciones vertical y Horizontal del nodo extremo . . . 7.8. Configuraci´on final de la viga de aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Configuraci´on inicial viga curva espacial de longitud 4pi. . . . . . . . . . . . . . 7.10. Desplazamientos del extremo libre de la viga en las direcciones e1 , e2 , e3 . . . . 7.11. Componentes de la fuerza interna a lo largo de la viga curva. . . . . . . . . . . 7.12. Componentes del momento interno a lo largo de la viga curva. . . . . . . . . . . 7.13. Configuraci´on final viga curva de longitud 4π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.14. Estado Inicial Viga tipo caracol empotrada con carga concentrada de 300 N . . 7.15. Configuraci´on final de la viga caracol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.16. Desplazamiento y velocidad transversal del extremo libre. Carga que produce peque˜ nas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17. Carga que produce grandes deformaciones. Desplazamiento transversal de la extremidad liBre en funci´on del n´ umero de elementos para: (a) elementos lineales, (b)elementos quadr´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.18. Carga din´amica que produce grandes deformaciones. Desplamiento y velocidad transversal del extremo libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.19. Carga din´amica que produce grandes deformaciones. Desplazamiento horizontal del extremo libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.20. Carga que produce grandes deformacioes. (a) Momento en funci´on del tiempo, en el punto de enpotramiento; (b) Distribuci´on de fuerzas y momentos en la direcci´on ti en el instante 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE DE FIGURAS 7.21. Carga din´amica que produce peque˜ nas deformaciones co excitaci´on cerca de la primera y de la segunda frequencia natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.22. Desplazamiento transversal en la extremidad libre da la viga para diferentes pasos de integraci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.23. Barra empotrada, excitada con un motor desbalanceado en la extremidad libre. 7.24. Cargas asociadas a cada caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.25. Desplazamientos en las tres direcciones ortogonales del extremo de la viga para el caso (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.26. Desplazamientos en las tres direcciones ortogonales del extremo de la barra para el caso (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.27. Viga que simula un brazo robot girando con un momento aplicado en la extremidad de apoyo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.28. (a) Movimento del brazo durante la aplicaci´on de la carga. (b) Animaci´on del movimiento del brazo durante la primera revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . 7.29. Barra que simula un brazo robot girando con un momento aplicado en el extremo de apoyo. Datos generales del material y la distribuici´on de la carga aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.30. Animaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.31. Barra libre con movimento en el plano. Datos generales, fuerza y momento aplicado en su extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.32. Animaci´on durante las dos primeras revoluciones. Cada 0.1 s . . . . . . . . . . 7.33. Animaci´on cada 0.5 s. de la barra cuando la rigidez flectora se diminuye dr´asticamente: (a) EI = 250 e (b) EI = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.34. (a) Barra empotrada sometida a una carga variable en su extremo libre. (b) Hist´oria da carga. (c) Propriedades del material de la barra. (c) Animaci´on hasta la m´axima deflexi´on (t=2.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.35. Desplazamiento transversal del extremo libre. Paso de tiempo h=0.05. . . . . . 7.36. (a) Velocidad transversal del extremo libre. (b) Aceleraci´on transversal del extremo libre para un paso h = 0,05. (c) Aceleraci´on transversal del extremo libre para un paso h = 0,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.37. (a) Barra en voladizo con carga seguidora en el extremo libre. (b) Barra en voladizo con carga vertical de direcci´on fija en el extremo libre. . . . . . . . . . 7.38. Posici´on horizontal del extremo libre: linea azul (carga vertical); linea roja (carga seguidora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.39. (a) Viga com distribuci´on de velocidad inicial (τ = 0) (a1) Animaci´on de la viga del caso (a); (b) La misma viga en el caso (a) pero con otro perfil de velocidad inicial; (b1) animaci´on del caso (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.40. (a) Brazo de robot com grandes rotaciones. (b) Rotaci´on pre-establecida en el extremo de apoyo. (c) Propriedades del material da viga. . . . . . . . . . . . . .

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126 127

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´INDICE DE FIGURAS 7.41. (a)Animaci´on de la viga hasta los 6 s. Paso de tempo = 0.01. Las configuraciones son mostradas en cada cinco pasos de tiempo. (b) Animaci´on de la viga desde t > 6s hasta los 9s. Vibraci´on libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.42. (a)Posici´on horizontal (direcci´on e1 ) del extremo libre variando µ (b)Posici´ on horizontal (direcci´on e1 ) variando tipo elemento. µ = 0,01; (c)Velocidad horizontal do extremo libre (direcci´on e1 ) con µ = 0,01 variando tipo de elemento . 129 7.43. Rotaci´on pre-establecida en el extremo apoyado. Sistema multicuerpos unidos por una junta esf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.44. (a) Animaci´on en el primer segundo del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.45. (a) Sistema de multicuerpos en vuelo libre (b) Sistema de cargas aplicadas en el extremo B (c) Datos generales del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.46. Animaci´on para los primeros 4.25 s. Paso de integraci´on de 0.05. Graficado cada 0.05 s. en color rojo y cada 0.25 s. n cor azul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.47. Sistema de multicuerpos Biela-Manivela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.48. Animaci´on del sistema biela-manivela. Primeros 3/4 de revoluci´on de la manivela.135 7.49. P´endulo doble espacial y carga aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.50. Animaci´on del p´endulo doble espacial durante los primeros instantes. . . . . . . 137 7.51. Desplazamientos de la junta con respecto al plano e1 − e3 . . . . . . . . . . . . 138 A.1. Ejemplos generales de la forma como se ingresan las cargas externas para ambos tipos de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Viga simplemente apoyada con carga centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Forma de ordenamiento en columnas de posici´on (rotaci´on), velocidades y aceleraciones. As´ı se genera paso a paso una matriz cuyas columnas son los vectores posici´on, velocidad y aceleraci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Forma en que el programa genera el archivo asdf paso a paso . . . . . . . . . . A.5. Viga simplemente apoyada con carga din´amica centrada . . . . . . . . . . . . . A.6. Viga simplemente apoyada con carga centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. Animaci´on del movimiento de la viga debido a carga din´amica . . . . . . . . . . A.8. Desplazamiento vertical (direcci´on e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9. Animaci´on de la viga en rotaci´on durante la primera vuelta . . . . . . . . . . . A.10.Viga con fuerza y momento aplicado tal que permite vuelolibre en el plano . . A.11.Animaci´on del vuelo libre de una viga flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 192

193 194 194 196 196 197 199 200 200

´Indice de cuadros

11

12

´INDICE DE CUADROS

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on En la sociedad contempor´anea existe una gran demanda por eficiencia y calidad. Por producir mas, mejor, mas r´apido y a menor costo. Estas demandas traducidas en terminos de ingenier´ıa mec´anica implican la utilizaci´on de estruturas mas esbeltas en condiciones din´amicas donde la inercia y las variaciones de geometr´ıa no pueden ser despreciadas. Las teor´ıas cl´asicas de barras, de Euler-Bernouilli y de Timoshenko, resuelven bien problemas est´aticos de ingenier´ıa civil m´as no permiten buenas previsiones para situaciones que involucren grandes desplazamientos o grandes deformaciones. Se puede intentar usar teor´ıas que describan linealmente las deformaciones en torno a un movimiento r´ıgido global. En este caso es necessario usar referencias no inerciales y las teor´ıas son muy complicadas [164, 148]. En este trabajo se presenta una formulaci´on de barras donde son consideradas grandes desplazamientos y grandes deformaciones que son tratadas de la misma forma. En est teor´ıa, una barra es descrita por una curva denominada de centroides que modeliza la curva resultante de la uni´on de todos los centroides de las secciones transversales de la barra. Asociado a cada punto de la curva de centroides hay una triada de vectores ortonormales {t1 , t2 , t3 }, siendo t3 siempre normal a la secci´on transversal que aqu´ı se supone indeformable. Los vectores t1 y t2 determinan el plano de la secci´on y generan informaciones redundantes, m´as convenientes, para la caracterizaci´on de la deformaci´on. Adem´as en cada punto de la curva de centroides tenemos asociado una secci´on plana que representa los puntos materiales de la barra y una densidad de masa. Los puntos de la secci´on son distribuidos de tal forma que el centroide est´a sobre la curva de centroides. En la teor´ıa las variaciones de geometr´ıa son consideradas de modo que ella no es lineal. La inercia rotacional de las secciones, supuestas r´ıgidas, son consideradas. La gran dificuldad es exactamente describir las deformaciones y desplazamientos de la estructura considerando la inercia. A trav´es de algunos ejemplos se muestra que las teor´ıas cl´asicas de barras no tienen esta capacidad. Se construy´o un programa en plataforma Matlab para resolver problemas din´amicos que se revel´o competitivo con versiones en Fortran, siendo por ello m´as vers´atil. Tambi´en se simularon varios ejemplos para mostrar la versatilidad del modelo y para compararlo con las teor´ıas 13

14

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

lineales cuando esto es posible. Esta teor´ıa considera corte, tracci´on=compresi´on, flexi´on y torsi´on de la barra. La triada ti sirve para medir las flexiones y la torsi´on mientras la relaci´on entre t3 y la tangente a la curva de centroides mide extensi´on y corte. Como la teor´ıa es intr´ınsecamente no lineal estas medidas de deformaci´on no son facilmente separadas y es fundamental hacer la distinci´ on entre las configuraciones de referencia necesaria para medir deformaciones y movimiento, y la configuraci´on actual. En este trabajo s´olo consideramos comportamiento material lineal y no daremos ´enfasis a problemas de choques entre parte de cuerpos y con obst´aculos, huelgos, roce, etc. En realidad, la gran motivaci´on de construir un programa en la plataforma MATLAB fue incluir estos aspectos, lo que ya est´a desarrollado y en proceso de optimizaci´on. Varios autores trabajaron en problemas de barras. Los hermanos E. y F. Cosserat [46] fueron los primeros en dar una forma adecuada a la teor´ıa a principios del siglo pasado. Despu´es de ellos, con el desarrollo de la Mec´anica de los medios cont´ınuos, varios trabajos surgieron intentando construir una teor´ıa simple y adecuada a la descripci´on de los fen´omenos. Existen trabajos fundamentales de Truesdell y Ericksen [60, 184], Naghdi [79], Da Silva y Whitman [150, 189], Cohen [43], Antman [6, 5, 7, 8], siendo que este u ´ltimo tiene una buena cantidad de referencias y comentarios sobre el asunto. En la PUC-Rio existen trabajos desde 1982 habiendo ya dado contribuiciones importantes, sobretudo en problemas de cables. Los primeros trabajos fueron te´oricos y solo con el estudio de ejemplos simples fue posible construir una teor´ıa adecuada. Una vez construida la teor´ıa b´asica y descartadas algunas generalizaciones que no se revelan u ´tiles, es que fue posible pasar a la simulaci´on num´erica de la teor´ıa y su comparaci´on con los hechos. Esto se di´o al final de los a˜ nos 80 y a´ un existen controvercias. La escuela francesa tuvo buenas contribuiciones siendo destacable los trabajos de Glowinski y Le Tallec [76], m´as Simo [153, 158, 162, 163, 164] tuvo el m´erito de haber sido uno de los primeros en hacer y, sobretodo, divulgar trabajos explorando aspectos num´ericos que atrayeron la atenci´on para esta ´area. De aqu´ı que hemos adoptado la nomenclatura del modelo de Simo. Algunos trabajos de Almeida [2, 3], Mattos [117, 118, 115, 116], Mamiya [113], Tien [181], Rochinha [131, 132] y Sampaio [116, 113, 2] son anteriores pero no tuvieron la misma influencia de los de Simo. Vale la pena destacar que existe una basta literatura enpleando el m´etodo de los elementos finitos, que aborda problemas con teor´ıa de barras. Estos trabajos usan una teor´ıa tridimensional que no debe ser confundida con la teor´ıa que aqu´ı se presenta, la cual describe el cuerpo con apenas un par´ametro espacial. Evidentemente esta es una simplificaci´on grosera pero, consigue captar buena parte de los fen´omenos relevantes como lo demuestran los ejemplos aqui presentados. Existen b´asicamente dos teor´ıas cl´asicas de barras con comportamiento material lineal : (a) Teor´ıa de Euler-Bernouilli y (b) Teor´ıa de Timoshenko. En la teor´ıa Euler-Bernouilli, una secci´on permanece recta y perpendicular a la linea de centroides, al contrario de la teor´ıa de Timoshenko, donde se permite distorsi´on por corte. La figura 1.1(a) muestra una barra en flexi´on y es analizada una secci´on cualquiera de la figura 1.1(b). En la figura 1.1(c) se

15 muestra el comportamiento del modelo de Euler-Bernouilli y en la figura 1.1(d) el modelo de Timoshenko. El an´alisis del elemento de barra permite obtener las ecuaciones que rigen el comportamiento en el caso est´atico, que es:

Figura 1.1: Modelos cl´asicos de barras lineales. Para el caso de Euler-Bernouilli: d2 d2 ω (EI ) = f (x); dx2 dx2

para 0 < x < L

(1.1)

y para el modelo de Timoshenko se tiene: d dω [GAKS (Ψ + )] + f = 0 dx dx (1.2) d dΨ dω (EI ) − GAKS (Ψ + )=0 dx dx dx ω ei la deflexi´on transversal, E el m´odulo de elasticidad, A el ´area de la secci´on transversal, f la carga transversal, G el m´odulo de cizalle, KS el coeficiente de correcci´on al cizalle, Ψ(x) es una funci´on independiente que denota la rotaci´on con respecto al eje z (ez = ex ∧ eω ). Como ejemplo, en la literatura se puede encontrar comparaciones de c´alculos entre problemas lineares e a soluci´on considerando os efeitos no lineales, tal como pode-se apreciar na figura 1.2, que

16

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.2: Comportamiento lineal y no-lineal. Barra empotrada en un extremo y libre en el otro, con carga uniformemente distribuida

Figura 1.3: Problemas geom´etricamente no-lineales mostra a distribuici´on de cargas em uma barra empotrada en un extremo y libre en el otro, con una carga uniformemente distribuida, con y sin considerar los efectos no lineales. Como se puede apreciar, hay diferencias not´orias en ambos casos. Por ejemplo, la presencia de cargas axiales que en el caso lineal no son obtenidas ya que la configuraci´on deformada es considerada coincidente con la configuraci´on de referencia. El problema a´ un es mas complicado cuando son considerados los t´erminos de inercia en el caso din´amico, o el amortiguamiento externo. Por ejemplo, en este trabajo se hacen comparaciones para una barra simplemente apoyada con una carga concentrada en el extremo libre. En el cap´ıtulo 5 se muestra la variaci´on de la fuerza axial y el momento para casos est´aticos y din´amicos tal que se puede detectar las cargas axiales que en la teor´ıa de Euler-Bernouilli y Timoshenko no aparecen, y la diferencia de los momentos con respecto al caso lineal cuando se tienen grandes deformaciones. Un ejemplo b´asico donde la no linealidad geom´etrica est´a presente se muestra en la figura 1.3. que representa una barra empotrada en un extremo y libre en el otro, cargada con un momento y una fuerza en el extremo libre. Se supone que la barra es esbelta y que su material tiene un comportamiento lineal el´astico. Para peque˜ nas deflexiones la teor´ıa lineal es v´ alida, as´ı por ejemplo el momento en el extremo empotrado es: Mo = P LT + ML ya que el brazo de momento L siempre es independiente de la carga. Para grandes deflexiones la distancia H de la fuerza P es menor que L y Mo = P H + ML , donde H depende de P y de ML . El nombre

17 geom´etricamente no-lineal implica que las grandes deformaciones alteran la localizaci´on o distribuci´on de cargas, tal que las ecuaciones de equilibrio deben ser escritas con respecto a la configuraci´on deformada. As´ı, el uso de elementos estructurales que pueden ser modelados como barras dentro de un sistema de multicuerpos que describen grandes movimientos en el espacio, ultrapas´o los l´ımites de validez de la teor´ıa cl´asica de peque˜ nas deformaciones y peque˜ nas rotaciones. Kane et al. [98] fueron unos de los primeros autores en observar que las soluciones propuestas usando las teor´ıas cl´asicas fallaban pues no consideraban los efectos de rigidez geom´etrica en la formulaci´on. Uno de los principales problemas en todos estos m´etodos proveen de un tratamiento consistente de las rotaciones finitas cuja dificuldad principal est´a originada por su naturaleza no-conmutativa. Muchas son as disciplinas que se interesam por el comportamiento de cuerpos flex´ıbles: proyecto de m´aquinas, mecanismos, din´amica de aviones, din´amica espacial, rob´otica, etc., en las cuales es posible encontrar ejemplos de aplicaci´on en brazos de robot, manipuladores, h´elices de aviones, aspas de helic´opteros, antenas flex´ıbles de sat´elites, biomec´anica, etc. Por ejemplo, en la din´amica de m´aquinas interesa determinar las fuerzas, los esfuerzos en piezas y conexiones; na rob´otica a atenci´on es orientada a los desplazamientos producidos pela flexibilidade dos brazos de robo. Os maiores esforzos dos investigadores son dirigidos al campo de los desplazamientos y rotaciones, las ecuaciones constitutivas, ao modelo de barras e a los esquemas computacionales para la obtenci´on de soluciones. Muchos trabajos con diversas metodologias, pueden ser encontrados en la literatura: [44, 50, 51, 52, 59, 86, 110, 124, 125, 191, 187] El comportamiento no-lineal puede ser debido al comportamiento material o geom´etrico o debido a los v´ınculos. Las no-linealidades del tipo material se debe a no-linealidades el´asticas, pl´asticas, viscoel´asticas, da˜ no, fragilidad, del comportamiento del material de la estructura. Las no-linealidades geom´etricas ocurren cuando las deflexiones son grandes y producen cambios significativos en la geometria de la estructura, de forma que las ecuaciones de equilibrio se deben formular para la configuraci´on deformada. La presencia de v´ınculos, como roce, barreras, huelgos incoporan no-linealidades complejas. El trabajo de Sharf [148] y Boutaghou [29, 30] ofrecen una buena visi´on de los principales modelos de barras que consideran los efectos geom´etricos. Sharf presenta las principales diferencias entre los autores mas mencionados en esta ´area. La misma Sharf [147] presenta una formulaci´on mas reciente sobre mec´anica no lineal aplicada a sistemas multicuerpos. Otro trabajo de inter´es es el presentado por Ider y Amirouche [90], cuya formulaci´on est´a basada en las ecuaciones de Kane [4, 57]. En el mercado se tiene muchos paquetes computacionales ofrecidos, entre los cuales destacan: DISCOS [28], ABAQUS [185], COMPAMM [24], IMP [149], ADAMS [123], MBSPACK [151], etc. Trabajos sobre elementos de barras curvas se pueden encontrar en [58, 64]. Garcia de Jal´on propone un m´etodo basado en coordenadas naturales, y en el uso de coordenadas angulares para definir posici´on e movimento. Este modelo se basa, como otros [73, 131], en usar dos marcos de referencia: uno fijo a la

18

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

secci´on y otro inercial. Esta forma de definir en base a un sistema de coordenadas absoluto, conduce a la obtenci´on de una matriz de inercia mas simple a cambio de una rigidez altamente no-lineal. Una aproximaci´on alternativa es el modelo que usa una deformaci´on el´ astica superimpuesta al movimiento de cuerpo r´ıgido. As´ı, se puede usar la teor´ıa de peque˜ nos desplazamientos que conduce a una expresi´on m´as simple para la rigidez, en cambio los terminos de inercia se tornan m´as complicados. Estos modelos no consigem captar bien as variaciones de rigidez debido a la mudanza de geometr´ıa. La verdad estes modelos son lineales, corresponden a la linearizaci´on en torno de una configuraci´on no retil´ınea. En seguida se entrega un resumen de la forma en que se presentan los cap´ıtulos: En el cap´ıtulo 2 se presenta una parametrizaci´on de las rotaciones usando el ´algebra de los cuaternios, que es la forma con que trabaja el programa implementado. Se describen tambi´en sumariamente en este cap´ıtulo las bases de la teoria usada para incluir las restricciones impuestas al sistema de ecuaciones cuando se usan juntas esf´ericas en la uni´on de barras que servir´ an en el estudio de la din´amica de multicuerpos flexibles de actual utilizaci´on en problemas de rob´otica, y en el futuro, en control activo de elementos flexibles. En el cap´ıtulo 3 se presenta en detalle el modelo programado mostrando la forma matricial que optimiza la programaci´on en Matlab. Este cap´ıtulo trata de temas tales como: el modelo de barras (geom´etricamente exacto), comportamiento del material ( hiper-elastico), esquemas de integraci´on (algoritmo de Newmark asociado al m´etodo de Newton-Raphson, algoritmo HHT), elementos finitos (elementos lineales y cuadr´aticos, integraci´on reducida y completa), cargas no-conservativas y amortegumiento interno . Se presentan los fundamentos de los algoritmos de integraci´on de la ecuaci´on del movimiento que fue usado en este trabajo. En problemas de din´amica de multicuerpos flexibles es com´ un utilizar algoritmos de integraci´on impl´ıcita ya que existe una gran sensibilidad al paso de integraci´on usado en cada problema. Por esto, deben usados algoritmos que sean estables incondicionalmente. Se presenta una forma de programaci´on en Matlab de los algoritmos del modelo. Se presentam en detalle las rutinas programadas aprovechando las vantajas da formulaci´on por elementos finitos, esto es, el uso de operaciones matriciales a nivel de cada elemento. El programa fue implementado para ser usado com dos tipos de elementos: linear y cuadr´atico, incorporando la integraci´on reducida y completa de los algoritmos. Aqui, se usan rutinas internas de Matlab en varias etapas del problema, por ejemplo, en la soluci´on del sistema de ecuaciones algebraico se us´o la descomposici´on LU directamente, lo que en Matlab se traduce a un s´olo comando. A´ un cuando es mas amigable entrar los datos por la pantalla del computador, lo que Matlab hace f´acilmente, debido a la gran cantidade de datos para ingresar en cada problema, es mejor usar archivos de datos. En el post-procesamento de la informaci´on el Matlab tiene inumerables ventajas con respecto a otros lenguajes comunmente usados, ya que con un solo comando es posible usar el potencial gr´afico del programa. As´ı, se consigue una serie de figuras de animaciones e registro de variaveis en el tiempo que son presentadas y comentadas en el cap´ıtulo 5, lo que sirve para validar el programa. Especial ´enfasis fue dado en comparar el modelo con la

19 teor´ıa cl´asica, mostrando las limitaciones de ella y la necesidad de usar modelos mas realistas cuando se tiene grandes deformaciones y grandes rotaciones. Las formulaciones cl´asicas de Euler-Bernouilli y de Timoshenko para barras son incapaces de descrevir estos problemas. Vale destacar que muchos de los problemas simulados en el Cap´ıtulo con ejemplos, usan valores de constantes, materiales y geom´etr´ıcas, sin significado f´ısico. De hecho se trata de pruebas para el programa y no de descripciones de experimentos reales. En este trabajo se usan valores tal cual se encuentran en las referencias citadas a´ un cuando son fisicamente sin sentido.

20

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Cap´ıtulo 2

Definiciones previas 2.1.

Definiciones b´ asicas

Denotemos por SO(3) el grupo de Lie no conmutativo de transformaciones ortogonales, esto es, SO(3) = {Λ ∈ M3×3 (IR)|Λt Λ = 1 ; y

detΛ = 1}

(2.1)

Se puede probar que SO(3) es un grupo compacto. Se define por so(3) el conjunto de todos los tensores antisim´etricos, i.e.: ˜ ∈ M3×3 (IR)|Θ ˜ +Θ ˜ T = 0} so(3) = {Θ ˜ ∈ so(3) es de la forma: 1. Notar que Θ    ˜ = Θ  

 Θ2   0 −Θ1    Θ1 0

(2.2)

0 −Θ3 Θ3 −Θ2

(2.3)

2. Otro hecho importante es que so(3) es isomorfo IR3 , en efecto, se considera el siguiente isomorfismo:

Θ=

          

˜: IR3 → so(3)     Θ1  0 −Θ Θ 3 2        ˜ = Θ Θ2  → Θ 0 −Θ1  3         Θ3 −Θ2 Θ1 0 21

(2.4)

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

22

˜ Para todo h ∈ IR3 se tiene que: 3. El vector Θ es llamado vector axial de la matriz Θ. ˜ =Θ∧h Θh

2.2.

(2.5)

Rotaciones finitas

Sea el operador lineal Λ, representado en la figura 2.1, tal que: x = ΛX

(2.6)

Figura 2.1: Representaci´on de una rotaci´on finita La imagen de X se obtiene a trav´es de una rotaci´on en la cual su m´odulo permanece inalterado cualquiera sea Λ. De modo que podemos escribir Xt X = xt x = Xt Λt ΛX

(2.7)

Λt Λ = I

(2.8)

donde, podemos observar que portanto Λt = Λ−1 , lo que significa que el operador Λ puede ser representado por una matriz ortogonal. Como los vectores Ei forman una base ortonormal o mesmo vale para os vetores ti , temos det(Λ) = 1 (2.9) Cualquier transformaci´on ortogonal no-trivial representando el movimento de rotaci´ on de un cuerpo r´ıgido tiene una y solo un autovalor igual a +1. Esta afirmaci´on puede ser re-escrita atraves del teorema de Euler: el movimiento general de un cuerpo r´ıgido con un punto fijo es equivalente a ua rotaci´ on e torno de alg´ un eje.

2.3. MOVIMENTO GENERAL DE UN CUERPO R´IGIDO

23

Los autovalores {λ1 , λ2 , λ3 } pueden ser escritos de la siguiente forma: λ1 = 1 λ2 = exp(iφ) λ3 = exp(−iφ) (φ arbitr´ario)

(2.10)

El operador Λ posee un autovector n asociado al autovalor λ1 , tal que: Λn = n

(2.11)

y, portanto, permanece inalterado en la transformaci´on. El vector unit´ario n se denomina eje de rotaci´on. Los autovectores asociados a los otros dos autovalores λ2 y λ3 son complejos conjugados,i.e., u + iv y u − iv. Se puede probar que Λu = u cos φ − v sen φ

(2.12)

Λv = u sen φ + v cos φ Este resultado muestra que los vectores u e v representan una rotaci´on plana de un ´angulo φ en el plano perpendicular al eje de rotaci´on. Los u ´ltimos resultados muestran que cualquer rotaci´on R puede ser pensada globalmente como una rotaci´on plana de un angulo φ en torno de un eje n.

2.3.

Movimento general de un cuerpo r´ıgido

En la seci´on anterior, descrebimos el operador rotaci´on a traves de una transformaci´on r´ıgida de un vector, donde eran consideradas s´olo las configuraciones inicial y final. Ahora, deseamos descrebir el movimiento de un cuerpo r´ıgido. Para ello, se considera que el operador rotaci´on es variable en el tiempo. Esto porque el cuerpo r´ıgido puede asumir varias configuraciones, una para cada instante de tiempo. Para descreirr este movimiento son necesarios seis par´ametros, de los cuales tres son para descrebir la translaci´on de un punto del cuerpo y otros tres para descrebir la rotaci´on en torno de un eje que pasa por este punto. Consideremos un cuerpo r´ıgido moviendose en el espacio, como el representado en la Figura 2.2. Sea 0 un punto del cuerpo que donotamos como origen referencial inercial, representado en la Figura 2.2 por la base E. Sean X y xP los vectores posici´on de un punto arbitrario P del cuerpo. Supongamos que el movimiento del cuerpo sea la composici´on de dos movimientos, uno de translaci´on pura y otro de rotaci´on pura. En el primer movimiento, todos los puntos del cuerpo presentan el mismo deslocamento, que representaremos pelo deslocamento x0 do ponto 0. En el segundo movimento, el cuerpo r´ıgido gira en torno de un eje que pasa por el punto 00 . Tal que, el vector-posici´on del punto P , despu´es del movimiento, es xP = x0 + x

(2.13)

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

24

Figura 2.2: Representaci´on de un cuerpo r´ıgido en el espacio (a) en el instante inicial, (b) despu´es del movimiento donde xP = 0P 0 , X = 0P , x0 = 000 es x = 00 P 0 . Como el segundo movimiento es una rotaci´on pura, representada por el operador Λ, el vector x es una imagen del vector X, de modo que podemos reescribir la ecuaci´on (2.13) de la siguiente forma: xP = x0 + ΛX (2.14) Podemos expresar desplazamiento del punto P de su posici´on de referencia en la forma uP = xP − X = u0 + (Λ − I)X

(2.15)

donde u0 = x0 es el desplazamiento del origen. El operador Λ − I tiene por lo menos un autovalor nulo. Por lo tanto, el sistema: u0 + (Λ − I)X = 0 (2.16) en general no tiene soluci´on, lo que significa que, generalmente, ning´ un punto del cuerpo permanece fijo durante la transformaci´on definida en la ecuaci´on (2.13) a no ser que el desplazamiento del origen u0 sea nulo.

2.4.

´ Algebra de cuaterniones

El ´algebra de los cuaterniones genera una forma muy elegante de describir las rotaciones finitas. La regla fundamental de multiplicaci´on de cuaterniones permite una manera eficiente de expresar la velocidad angular y tambi´en, de combinar rotaciones sucesivas.

´ 2.4. ALGEBRA DE CUATERNIONES

2.4.1.

25

Definici´ on de propiedades

Un cuaterni´on es definido como un n´ umero complejo cuadri-dimensional: qˆ = q0 + iq1 + jq2 + kq3

(2.17)

donde i, j y k son s´ımbolos tales que i2 = j 2 = k 2 = −1 jk = −kj = i

(2.18)

ki = −ik = j ij = −ji = k Podemos adoptar tambi´en a notaci´on vectorial: qˆ = q0 + q

(2.19)

donde q0 es la parte escalar y q es la parte vectorial del cuaterni´on. La regla de multiplicaci´on de cuaterni´on es derivada de la propiedad (2.18) de los s´ımbolos ˜q rˆ = pˆqˆ = p0 q0 − p · q + p0 q + q0 p + p

(2.20)

es importante resaltar que la regla de multiplicaci´on no es conmutativa debido a la presencia del producto vectorial en el u ´ltimo t´ermino cuyo signo es contrario al invertirse el orden de pˆ y qˆ. El cuaterni´on conjugado est´a definido como: qˆ∗ = q0 − iq1 − jq2 − kq3 = q0 − q

(2.21)

La norma de un cuaterni´on est´a definida como kˆ q k2 = qˆqˆ∗ = q02 + q · q

(2.22)

Un cuaterni´on est´a definido como unit´ario cuando kˆ qk = 1

(2.23)

Un cuaterni´on vectorial est´a definido como un cuaterni´on cuya parte escalar es nula qˆ = 0 + q

(2.24)

y que, consecuentemente, verifica la siguiente propiedad qˆ + qˆ∗ = 0

(2.25)

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

26

2.4.2.

Representaci´ on de rotaciones en t´ erminos de cuaterniones

ˆ cuaterniones unit´ario y vectorial, respectivamente Sean qˆ y X qˆ = q0 + q onde kˆ qk = 1

(2.26)

ˆ =0+X X podemos verificar que la rotaci´on de un vector X est´a dada por ˆ qˆ∗ x ˆ = qˆX

(2.27)

La prueba se obtiene verificando que ˆ es preservada en la transformaci´on: 1. la norma de X ˆ qˆ∗ )(ˆ ˆ qˆ∗ )∗ kˆ xk2 = x ˆx ˆ∗ = (ˆ qX qX ˆ qˆ∗ qˆX ˆ ∗ qˆ∗ = qˆkXk ˆ 2 qˆ∗ = qˆX

(2.28)

ˆ 2 = kXk 2. el cuaterni´on resultante es tambi´en un cuaterni´on vectorial: ˆ qˆ∗ + (ˆ ˆ qˆ∗ )∗ = qˆX ˆ qˆ∗ + qˆX ˆ ∗ qˆ∗ x ˆ+x ˆ∗ = qˆX qX ˆ +X ˆ ∗ )ˆ = qˆ(X q∗

(2.29)

=0 Consideremos, ahora, dos rotaciones sucesivas qˆ1 y qˆ2 ˆ qˆ∗ x ˆ1 = qˆ1 X 1 x ˆ2 =

qˆ2 x ˆ1 qˆ2∗

(2.30) ˆ q2 qˆ1 )∗ = (ˆ q2 qˆ1 )X(ˆ

ellas originan la siguiente rotaci´on resultante ˆ qˆ∗ onde qˆ = qˆ2 qˆ1 x ˆ = qˆX

(2.31)

Este resultado nos permite afirmar lo siguiente: Dos rotaciones sucesivas pueden ser combinadas multiplicandose los cuaterniones correspondientes en el orden apropriado

2.5. RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO

2.4.3.

27

Representaci´ on matricial de los cuaterniones

Podemos representar los cuaterniones en la forma matricial a trav´es de una matriz columna cuadri-dimensional ˆ = [q0 q1 q2 q3 ]T q (2.32) El producto de dos cuaterniones a ˆ = pˆqˆ

(2.33)

ˆ = Bq p ˆ a ˆ = Ap q

(2.34)

puede ser escrito en la siguiente forma

con las matrices 4 × 4 

−pT



 p0  Ap =   ˜ p p0 I + p

 e

−qT



 q0  Bq =   ˜ q q0 I − q

(2.35)

En la forma matricial, el operador rotaci´on (2.6.113) en un cuaterni´on vectorial puede ser escrito como: ˆ x ˆ = Ap BTq X

(2.36)

donde el producto matricial 

0t



 1  Ap Btq =   0 Λ

(2.37)

De esta forma, podemos extraer el operador Λ ˜ Λ = (2q02 − 1)I + 2qqt + 2q0 q

2.5. 2.5.1.

(2.38)

Restricciones al movimiento Introducci´ on

Un mecanismo es un aparato que sirve para transformar un movimiento. Un an´ alisis cinem´ atico es predecir la posici´on, velocidad y aceleraci´on en un mecanismo cualquiera. Una s´ıntesis cinem´ atica es el proceso de hallar la geometr´ıa del mecanismo asociada a su movimiento. El objetivo de este trabajo ser´a hacer un an´alisis cinem´atico de algunos mecanismos flex´ıbles de inter´es. La cinem´atica de cuerpos flex´ıbles consiste en definir la posici´on de cada punto del

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

28

cuerpo en su estado deformado. Los cuerpos individuales que forman el mecanismo se denominan barras. La combinaci´on de dos barras en contacto constituye un par cinem´ atico o junta. Un conjunto de barras interconectadas se denomina cadena cinem´ atica. Las restricciones son impuestas en las barras para obtener algun prop´osito del mecanismo, diminuyendo su n´ umero de grados de libertad. La ecuaci´on de restricciones asociada al vector de coordenadas generalizadas q de un sistema se puede expresar de la forma: ϕ(q) = 0

(2.39)

Asi presentada la restricci´on llamada estacion´ aria o escleron´ omica. Si la restricci´ on es presentada con dependencia expl´ıcita en el tiempo [53]: ϕ(q, τ ) = 0

(2.40)

es llamada reon´ omica. (2.39) - (2.40) son clasificadas como restricciones holon´ omicas o integrables. En general, se las restricciones contienen relaciones entre las componentes de las velocidades que no son integrables, son llamadas restricciones no-holon´ omicas [130], y representadas de la forma: ˙ q, τ ) = 0 Ψ (q,

(2.41)

El n´ umero de grados de libertad de una cadena cinem´atica se define como el intero correspondiente al m´ınimo n´ umero de coordenadas generalizadas requeridas para especificar la configuraci´on geom´etrica de una cadena. Se el n´ umero de grados de libertad de una cadena es positivo, ´el constituye un mecanismo; si es cero corresponde a una estructura est´aticamente determinada; si es negativo la estrutura es est´aticamente indeterminada.

2.5.2.

Valor estacionario de una funci´ on

Se quiere hallar el valor extremo (m´aximo o m´ınimo) de una funci´on de n variables dada G. Se dice que la funci´on tiene un valor estacionario en un punto, se la raz´on de cambio en cada direcci´on en el punto es cero, o sea: δG =

∂G · δq = 0 ∂q

(2.42)

siendo δq un desplazamiento virtual arbitrario, la condici´on para que G tenga un valor estacionario es: ∂G =0 ∂q

(2.43)

2.5. RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO

29

Eliminaci´ on de las restricciones Suponiendo que el sistema tiene m restricciones del tipo igualdad de la forma (2.39), con las variaciones δq que no son independentes. Al cunplirse ciertas condiciones de regularidad, se puede a partir de los desplazamientos q tener un conjunto de (n − m) coordenadas independientes qI y eliminar el conjunto de m coordenadas qD de q. O sea, s´olo variaciones con respecto a las coordenadas independentes son consideradas en (2.42), y los puntos estacionarios son caracterizados por: δG =

∂G · δqI = 0 ∂q

(2.44)

Las coordenadas dependientes son computadas usando la forma expl´ıcita de qD : qD = ϕ∗ (qI )

(2.45)

Este m´etodo no puede ser usado para resolver problemas con restricciones unilaterales (desigualdades). Teorema de Kuhn-Tucker Considerando el problema general de encontrar el vector q∗ , que hace G estacionario cuando est´a sometido a m restricciones bilaterales ϕi y p restricciones unilaterales ϕuj , o sea: Encontrar

q∗

tal

que G(q∗ ) sea

estacionario

sujeto y

a ϕ=0

ϕu (q∗ )

≥

(2.46)

0

donde son funciones reales del vector q ∈ IR y la desigualdad (2.46-c) se entiende como aplicada en cada componente de ϕu individualmente. La restricci´on unilateral ϕuj se dice activa en la soluci´on si ϕuj (q∗ ) = 0, si no es inactiva. Se tiene r restricciones activas unilaterales y (p − r) inactivas. Si B y Bu son las matrices de los gradientes de las restricciones: B=

∂ϕ ∂q

(2.47) Bu =

∂ ϕu ∂q

Estas matrices pueden depender de q, en cuyo caso se dice tener un conjunto de restricciones no-lineales. Si los vectores (2.47) de las r restricciones activas son linealmente independientes en q∗ , ´el es un punto regular del problema. Entonces, la condici´on de Kuhn-Tucker

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

30

establece que si q∗ es un punto regular y adem´as un punto estacionario, existen λ ∈ IRm llamados multiplicadores de Lagrange y µ ∈ IRp tal que: δG − λBδq − µBu δq = 0

(2.48)

ϕ=0

µ · Bu = 0

;

µ≥0

;

ϕu (q∗ ) ≥ 0

se puede notar que si (m + r) vectores gradientes son linealmente independientes, siempre ser´a pos´ıble hallar m valores de λ y r valores µ, tal que: ∂ϕj ∂ϕuj ∂G − λj − µj =0 ∂qi ∂qi ∂qi

i = 1, ...m + r

(2.49)

Tambi´en existen (n − m − r) coordenadas independientes qi , que pueden fijarse tal que verifiquen: ∂ϕj ∂ϕuj ∂G − λj − µj =0 ∂qi ∂qi ∂qi

i = m + r + 1, ....., n

(2.50)

Las (m + r) coordenadas dependientes qi son determinadas en orden a igualar las (m + r) restricciones activas: ϕj (q∗ ) = 0

;

j = 1, ...m (2.51)

ϕuj (q∗ ) = 0

;

j = 1, ...r

(p − r) multiplicadores correspondientes a las restricciones inactivas son iguales a cero: µi = 0;

i = r + 1, ....p

(2.52)

As´ı, el sistema (2.48) est´a determinado, ya que h´a (n + m + p) ecuaciones con (n + m + p) inc´ognitas, siendo s´olo necesario que q∗ sea punto regular.

2.5.3.

Soluci´ on del sistema con restricciones bilaterales

La minimizaci´on de una funci´on sujeta a un conjunto de restricciones de igualdad es:

2.5. RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO

31

G(q)

m´ın q

(2.53) sujeito a ϕ(q) = 0 Los m´etodos comunes que sirven para resolver el problema son: 1. Eliminaci´on directa, 2. Multiplicadores de Lagrange, 3. De penalizaci´on y 4. Lagrangiano aumentado Para resumir estos m´etodos es preciso definir algunos t´erminos: vetor residual r(q) = matriz jacobiana de las restricciones matriz hessiana de la funci´on G

∂G ∂q

:B :H

(2.54)

tal que tal que

Bmj = Hij =

∂ϕm ∂qj

∂2G ∂qi ∂qj

(2.55) (2.56)

M´ etodo de eliminaci´ on directa de las restricciones Primero se expresa la variaci´on de la restrici´on de la forma: δϕ = Bδq = 0

(2.57)

las coordenadas generalizadas son particionadas en qI variables independientes y qD variables dependientes de forma que se cumpla: BI δqI + BD δqD = 0

(2.58)

siendo BD una matriz no-singular extra´ıda de B. La ecuaci´on (2.58) se resuelve para expresar la variaci´on de las coordenadas generalizadas en t´erminos de las independientes: δqD = −B−1 D BI δqI con la matriz de reducci´on:

=⇒

δq = RδqI

(2.59)

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

32

   R=  

1

−B−1 D BI

     

(2.60)

La minimizaci´on finalmente se resuelve proyectando la condici´on de estacionaridad del funcional en el sub-espacio de coordenadas independientes, dando la ecuaci´on residual proyectada: RT

∂G = RT r(q) = 0 ∂q

(2.61)

M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange Detalles de este m´etodo se puede encontrar en [8]. Un problema equivalente a (2.53) se puede formular como sigue: Existe un conjunto de multiplicadores indeterminados λ ∈ IRm , tal que, δG −

X

λm δϕm

m

n X ∂G X ∂ϕ = [ − λm m ]δqi = 0 ∂qi ∂qi m

(2.62)

i=1

El problema original de n ecuaciones con m restricciones es transformado a un sistema de (m + n) ecuaciones con (m + n) inc´ognitas: ∂G ∗ ∂q

= r(q) − λT B(q) = 0 (2.63)

∂G ∗ ∂λ

= ϕ(q) = 0

Para resolver este sistema por el m´etodo de Newton-Raphson, los desplazamientos y multiplicadores son actualizados:

q(i+1) = q(i) + ∆q (2.64) λ(i+1) = λ(i) + ∆λ

2.5. RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO

33

donde las correcciones son la soluci´on del problema linealizado: 

 H     −B

−BT

0







  ∆q       =       ∆λ

−r(i)

+

BT λ(i)

ϕ(q(i) )

     

(2.65)

Generalmente la contribuci´on de la segunda derivada de la matriz hessiana es despreciada en la evaluaci´on de las correcciones en (2.65). M´ etodo de la funci´ on de penalizaci´ on Consiste en verificar las restricciones en forma aproximada, introduciendo en el funcional original un t´ermino de penalidad cuadr´atico: 1 G ∗∗ = G + pϕT ϕ 2

(2.66)

As´ı, se resuelve el problema no restringido modificado: minq {G ∗∗ } cuando p

∂G ∗∗ =0 ∂q

=⇒

(2.67)

=⇒ ∞, el comportamiento te´orico del m´etodo es tal que : minq {G ∗∗ }

minq {G}

=⇒

(2.68) ϕj (q)

=⇒

0

M´ etodo del Lagrangeano Aumentado ES uma combinaci´on entre el m´etodo de penalizaci´on y el de los multiplicadores de Lagrange. El objetivo es mejorar el condicionamiento num´erico de los multiplicadores de Lagrange al adicionar un t´ermino de penalidad de moderada amplitud y introduciendo un apropiado escalamiento en las restricciones. El funcional aumentado es: 1 G ∗ (q, λ) = G(q) − kλT ϕ + pϕT ϕ 2

(2.69)

con k el factor de escalamiento y p el factor de penalidad. La b´ usqueda del extremo usando el m´etodo de Newton-Raphson genera la ecuaci´on linealizada:

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

34



T T  H + pB B −kB     −kB 0



  (i) (i) T ∆q    −r + B (kλ − pϕ)     =       ∆λ kϕ

     

(2.70)

En el desarrollo del programa computacional, se usa el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, principalmente para obtener la soluci´on para juntas del tipo esf´erica, o sea, aquella uni´on que permite que dos barras se mantengam unidas en el espacio con torque nulo en el punto de uni´on. Para esto se us´o directamente los multiplicadores en el sistema algebraico de ecuaciones (cap´ıtulo 4) obtenida para el sistema global que escribimos de la forma KIJ ∆q = rI , siendo transformado de la forma siguiente [126]: Se escriben las restricciones que ligan los nodos que se mueven solidarios en el espacio de la forma: Sea K la matriz de rigidez que liga los grados de liberdad q, asociados a los nodos 1 y 2 que se mueven solidarios en el espacio, y r las fuerzas generalizadas de estos grados de liberdad, su relaci´on est´a dada por: K1 q1 = r1 (2.71) K2 q2 = r2 La separaci´on de los grados de liberdad que pertenecen al dom´ınio, y los grados de liberdad asociados a los multiplicadores de Lagrange (dom´ınio Γ∗ ) generan el siguiente sistema asociado al sistema global: 

 K11 K     KΓ∗1 1 KΓ∗1 Γ∗1 1Γ∗1



  q1     qΓ∗1





  r1   =     rΓ∗1

      (2.72)



∗ ∗  KΓ2 Γ2     K2Γ∗2



KΓ∗2 2   qΓ∗2     q2 K22





∗   rΓ2   =     r2

     

Las conexiones entre los grados de liberdad que son solidarios en el movimiento se pueden expresar en general de la forma:

2.5. RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO

35

L1 qΓ∗1 = L2 qΓ∗2

(2.73)

donde L1 y L2 son las matrices que ligan las conexiones de los dominios 1 y 2. (nodos 1 y 2). Para la junta esf´erica en que los nodos se mueven solidarios, las matrices Li ∈ IR3×3 ; i = 1, 2 son iguales a la identidad. Estas matrices est´an ligando s´olo los grados de libertad translacionales. Al incluir los grados de libertad de los multiplicadores de Lagrange, los sistemas (2.72) quedan ligados de la forma: 

K11

K1Γ∗1

       KΓ∗1 1 KΓ∗1 Γ∗1        0 L1        0 0      0 0

0

0

0

LT1

0

0

0

−L2

0

−LT2

KΓ∗2 Γ∗2

KΓ∗2 2

0

K2Γ∗2

K22



q1

        qΓ∗1        λ         qΓ∗ 2      q2





r1

              rΓ∗1             = 0               rΓ∗   2         r2

                          

(2.74)

As´ı, en cada junta existente, deber´a incluirse los multiplicadores de Lagrange en base a este tipo de sistema. Ya que los multiplicadores de Lagrange se asocian a los grados de libertad translacionales, ellos, por su definici´on, representan directamente las fuerzas de ligaz´on en las juntas de los elementos respectivos.

36

CAP´ITULO 2. DEFINICIONES PREVIAS

Cap´ıtulo 3

Teor´ıa de vigas geometricamente exacta Se estudia el comportamiento din´amico de una viga curva 3D las cuales pueden ser extensivas a otros modelos estructurasles como porejemplo las placas y los elementos s´olidos 3-D. Los grandes movimientos de rotaci´on son tratados en base a un marco fijo a la secci´on el cual es permanentemente comparado con un marco fijo inercial. As´ı planteada la teor´ıa, la energ´ıa cin´etica asociada al movimiento de la viga toma una forma cuadr´atica. Con esta teor´ıa se puede definir las medidas de la deformaci´on directamente de los desplazamientos y/o rotaciones. Desde este punto de vista se trata de una teor´ıa basada en la teor´ıa de vigas de Reissner [129]. Si bien es cierto la energ´ıa de deformaci´on de la viga puede escribirse en forma cuadr´atica, pero escrita en t´erminos de las medidas de deformaci´on finita que son funciones altamente nolineales. Las rotaciones finitas de car´acter no conmutativo agregan un factor de dificultad adicional, donde juega un rol importante el usar el tensor de dos puntos respecto a la teor´ıa de rotaciones nolineal. Los integradores que comunmente pueden ser usados cuando s´olo est´an presentes grados de libertad para los desplazamientos, en este caso debido a las rotaciones son de mucho m´as dificil tratamiento. Varios trabajos previos han parametrizado las rotaciones finitas por un tensor ortogonal asociado a un vector axial de rotaci´on incremntal

3.1.

Ecuaciones del movimiento

La secciones transversales de la viga son mapeadas respecto a las secciones deformadas consideradas planas. Fijo a cada secci´on pernanece un marco fijo, conteniendo un vector unitario siempre perpendicular a la secci´on. Estas traslaciones quedan definidas por el vector posici´on x definido seg´ un lo mostrado en la figura 3.1: xϕ = ϕ(x) 37

(3.1)

38

CAP´ITULO 3. TEOR´IA DE VIGAS GEOMETRICAMENTE EXACTA

Figura 3.1: Viga 3D. Configuraciones inicial y deformada con la transformaci´on isom´etrica de la secci´on normal E seg´ un: t = ΛE

(3.2)

con ktk = kEk y Λ el tensor ortogonal de dos puntos. As´ı definida la viga las correspondientes medidas de las deformaciones ser´an: 0

γϕ = ϕ − t

(3.3)

κϕ = ω

(3.4)

y donde el factor prima denota la diferenciaci´on con respecto a la longitud de arco s. Las deformaciones por flexi´on est´an representadas por el vector axial ω del tensor antisim´etrico Ω, es decir: Ωv = ω × v; para todo v ∈