ASPECTOS ESTETICOS DE UNA NUEVA FIGURA GEOMETRICA ELEMENTAL

Aspectos estéticos de una nueva figura geométrica elemental

ASPECTOS ESTETICOS DE UNA NUEVA FIGURA GEOMETRICA ELEMENTAL Doria Iriarte J.J. Dto .Expr. Gráfica y Proyectos de Ingeniería Martín Zorraquino J.V. Dto. Máquinas y Motores Térmicos Granero Rodríguez F. Dto. Matemática Aplicada Leonardo Lucarini Gobantes. Artista Escultor. Palabras clave: GEOMETRIA, CONICAS Código UNESCO:120408

RESUMEN Presentamos algunos aspectos estéticos de una nueva figura geométrica elemental. Con el fin de facilitar su más amplia utilización por parte del ingeniero, arquitecto o artista, ofrecemos algunos datos geométricos elementales, así como una breve reseña acerca de su descubrimiento casual, pues puede suscitar curiosidad la posibilidad de que desde EUCLIDES (450-380 a.J.C.) y ARQUIMEDES (287-212 a.J.C.) no data la descripción de ninguna FIGURA GEOMÉTRICA ELEMENTAL, que tan profusamente utilizamos. Aunque realmente se trata de una familia de figuras geométricas generadas a partir de una “Propiedad General de las Cónicas” descubierta y publicada por nosotros, nos centraremos aquí en el caso más sencillo y útil relativo a la figura reglada, alabeada, generada con la elipse. Presentamos algunas de sus posibilidades para la construcción de cerramientos, graderíos, atirantado de puentes o como escultura artística. 1- INTRODUCCION Nos complace aprovechar la oportunidad del número especial de DYNA para presentar los logros del equipo investigador, dando lugar a una patente de la UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO [1]. Exponemos en este trabajo una NUEVA FIGURA GEOMÉTRICA que destaca por su carácter de ELEMENTAL. Hemos presentado en publicaciones y congresos una desconocida propiedad general de las cónicas y un conjunto de familias de nuevas figuras geométricas elementales, descubierta con base en la propiedad general, por la que es posible generar a partir de una elipse, hipérbola o parábola un número ilimitado de cónicas de la misma familia, que dispuestas espacialmente con una ley de apilamiento lineal, sinusoidal, elíptica, etc., genera figuras geométricas muy interesantes, destacando por su carácter elemental una superficie reglada de secciones elipses, con notables aplicaciones en Ingeniería, Arquitectura y Escultura. La citada Propiedad General de las Cónicas, es descubierta casualmente investigando la aerodinámica de un perfil elíptico, hecho que describiremos como curiosidad.

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Fig.1- Nueva figura geométrica reglada de secciones rectas elípticas. 2- LA GEOMETRIA Y LA FISICA Es lógico encontrar que señalados ingenieros o arquitectos (en su denominación actual) hayan estado ligados a la historia de la Geometría, pero es muy curioso y posiblemente no casual, que además exista una ligazón de la Geometría con la Física y especialmente con la Mecánica de Fluidos. Sería mucha coincidencia que ARQUIMEDES, LEONARDO, NEWTON, GAUSS, EIFFEL y EINSTEIN, ligados históricamente a ambas disciplinas, hayan interrelacionado innecesariamente ambos conocimientos. En nuestro caso esto ha sucedido al investigar la Paradoja de D’Alembert y aplicar una hipotética solución en un perfil elíptico (fig.2). Asimismo, de esta investigación surge otro hallazgo en Geometría relativo a un Perfil Aerodinámico de Geometría Sencilla [2] del que existe una licencia de explotación concedida por la UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO a la empresa multinacional SAUNIER DUVAL. 3- LA GEOMETRIA EN LA HISTORIA La Geometría es una de las ramas más antiguas de las Matemáticas, que etimológicamente sería “Medición de la Tierra”. Inicialmente se trataría de Geometría Plana, posteriormente trataría los sólidos, para avanzar a términos abstractos sobre imágenes representables geométricamente.

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Antiguo Egipto y Mesopotamia (1000 a.J.C.).Primeras referencias PITAGORAS (500 a.J.C) Primer autor reconocido. EUCLIDES (450-380 a.J.C.) Codifica la Geometría existente (áreas y volúmenes) en “Elementos”, con axiomas y postulados basados en la figura. Es incuestionable hasta finales del s XIX.

Fig.2- Perfil elíptico con fuselaje de geometría sencilla ARQUIMEDES (287-212 a.J.C.) Analiza el triángulo, círculo, cono, cilindro, esfera, paraboloide, elipsoide, hiperboloide. Centros de gravedad. Propone _=8/7. Investiga en Mecánica y Optica. APOLONIO DE PERGA (s III a J.C.) En Tangencias describe problemas complejos todavía hoy y en Cónicas (8 tomos) prácticamente todas sus propiedades conocidas actualmente. Hasta el s.XVII con Descartes y Newton no aparece el Cálculo numérico y la Geometría Analítica, Cálculo diferencial e integral. dando lugar a la moderna Geometría. L.EULER (1707-1783) Aplica el avance a las cónicas y curvas en general. G.MONGE (1746-1818) Elabora la Geometría Descriptiva y el Dibujo Industrial mediante tres proyecciones que hoy utilizamos. C.F.GAUSS (1777-1855) Aplica la Geometría Analítica a todo tipo de curvas y superficies. Basado en el Cálculo numérico generaliza la construcción de polígonos regulares en lo que es considerado como el siguiente descubrimiento en Geometría desde Euclides. G.F.RIEMMAN (1826-1866), alumno de Gauss, es considerado fundador de la Geometría no Euclidiana. La generaliza a espacios de cualquier número de dimensiones.

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A.EINSTEIN (1879-1955). Los conceptos geométricos de Riemman los utiliza para exponer su Teoría General de la Relatividad. L.E.J.BROUWER Introduce en 1911 las bases de la Topología, la rama más sofisticada de la Geometría. 4- LA GEOMETRIA EN LA INGENIERIA Y EL ARTE Modernamente, la Geometría y el Arte fueron artísticamente conjugados por el recientemente fallecido Viktor Vasarely (1908-1997), pero están presentes en la Cultura Egipcia y permanentemente en la escultura monumental de todos los tiempos.

Fig.3- Nueva figura geométrica versus construcción con segmentos equidistantemente apoyados, La Arquitectura y la Ingeniería han utilizado casi exclusivamente las figuras geométricas elementales, como el cono, esfera, cilindro y los poliedros, combinándolos entre sí, para diseñar cerramientos y elementos mecánicos. La preferencia por estas soluciones viene justificada por su carácter elemental en cuanto a su tratamiento analítico y gráfico, así como por su carácter estético, dada la belleza natural de las figuras geométricas. No obstante, la creatividad va imponiendo soluciones más complejas. Así aparecen las figuras geométricas alabeadas en construcción de edificios singulares y monumentos (esculturas). En un nivel más complejo estaría la auténtica escultura aplicada a la edificación. En esta línea vemos el Arte y

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la Ingeniería presentes en casos como la Estatua de la Libertad de A.Gustave Eiffel (18321923) y el Arte, inseparable, en la Arquitectura, cuyo exponente más actual (1997) de edificio escultórico es el Museo Guggenheim de Frank O. Gehry en Bilbao. El Arte es igualmente inseparable de la Ingeniería de Puentes. A medio camino entre las figuras geométricas de extrema simplicidad (cono, cilindro y esfera) y las alabeadas como paraboloide hiperbólico o el hiperboloide de una hoja, se encuentran las NUEVAS FIGURAS GEOMETRICAS REGLADAS generadas por cónicas. Como prueba de la belleza propia de esta nueva figura geométrica, hemos realizado el acuerdo entre dos segmentos de recta que se cruzan ortogonalmente con mediatriz común (fig.3), mediante segmentos rectilíneos apoyados equidistantemente en uno de sus extremos y dispuestos conforme a la Nueva Figura Reglada y se confronta esta geometría con un acuerdo mediante segmentos rectilíneos apoyados en ambos extremos en forma equidistante. Resulta evidente que las secciones elípticas del primer caso no coinciden en el segundo. El equilibrio de formas no es semejante en ambos casos.

Fig.4- Nueva Figura Geométrica con apilamiento elíptico

5- NUEVA FIGURA GEOMETRICA REGLADA Si el cono recto es la solución universal para realizar una superficie reglada de acuerdo entre una circunferencia y un punto (sobre su centro), o dos circunferencias, esta Nueva Figura resuelve de forma similar el acuerdo entre una circunferencia (elipse como caso general) y un segmento recto de cualquier longitud relativa, o bien entre dos elipses. El cono circular sería, consecuentemente, un caso particular. Asimismo, permite un acuerdo entre dos segmentos de recta ortogonales con mediatriz común, siempre con secciones elípticas. En la figura 1 se ha representado la figura mediante rectas y elipses. 6- EN REALIDAD ES UN CONJUNTO DE FAMILIAS

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Efectivamente, existen varias ramas familiares: Por su origen: Según el género de la cónica matriz, pueden ser de secciones elípticas, hiperbólicas o parabólicas, generalizándose a la hipérbola y parábola el apartado anterior. Por su disposición espacial: Dependiendo de la Ley de Apilamiento que utilicemos para disponer en el espacio los puntos imagen de cada punto matriz, obtendremos líneas rectas (superficies regladas), elipses, sinusoides, etc. Teniendo aplicaciones prácticas cuando menos las disposiciones citadas. En la figura 4 se ha representado una Nueva Figura con apilamiento elíptico, mediante elipses y 2 segmentos rectos en los vértices. Por sencillez nos referiremos en lo sucesivo al caso más elemental de superficie reglada de secciones elípticas. 7- LA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS Para conocer el proceso de generación de la figura, explicaremos la Propiedad General de las Cónicas descubierta por nosotros. La Propiedad General es la siguiente: Para un k ∈ R dado, el lugar geométrico de los puntos P’ imágenes de los P ∈ E , es a su vez otra elipse E’. (fig.5) En la familia infinita de elipses que resultan para los distintos valores reales del parámetro k, existen cuatro casos particulares: Dos circunferencias y dos elipses con un

Fig.5- Propiedad General de las cónicas semieje nulo, es decir, dos segmentos rectilíneos. Consecuentemente, es posible definir cada elipse (fig.4) y cada punto de las mismas en función de la elipse que denominamos “matriz” de semiejes a,b.

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x2 ⎡ a 2 + k .b 2 ⎤ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦

2

+

y2 =1 [(1 + k ).b]2

(1)

Que con una Ley de Apilamiento lineal resulta la Ecuación de la Nueva Figura: x2

y2 S≡ + =1 2 2 ⎡ a 2 − z .b 2 ⎤ 1 − z .b c c ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦

( )

[( ( )) ]

(2)

8- APLICACIONES EN INGENIERIA Y ARTE Presentamos (fig.6) una interesante aplicación de la Nueva Figura Reglada como superficie autoportante para cubrición de un estadio, única en su género, así como dos

Fig.6- Estadio con dos graderíos y cubierta autoportantes

graderíos superpuestos, igualmente autoportantes. La cubierta podría cerrarse totalmente. En la figura 8 se ha dibujado una pasarela peatonal cubierta, atirantada superior e inferiormente mediante cables que configuran la Nueva Figura Reglada de secciones elípticas. El atirantado superior supone un acuerdo entre dos rectas: La viga superior del pórtico y el tablero o túnel del puente. El atirantado inferior colabora a arriostrar el tablero entre una recta y una circunferencia: El tablero del puente y unos anclajes dispuestos en círculo sobre ambas riberas. riberas.

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En el otro extremo, exponemos una aplicación artística como monumento presentado a un concurso urbanístico (fig.7). La escultura está constituida por una peana de hormigón y una parte superior construida con tubos de acero inoxidable soldados a otros dos tubos horizontales, uno de los cuales es la recta vértice de la peana de hormigón. La parte tubular y la peana de hormigón constituyen los sectores inferior y medio representados en la figura 1.

fig.7 Figura reglada como escultura 1 9- TERMINOLOGIA Y DEFINICIONES NUEVA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS: El lugar geométrico resultante de multiplicar por una constante “k” el segmento de radio de curvatura en cada punto de una cónica comprendido entre este punto y uno de sus ejes, es otra cónica del mismo género. CONICA MATRIZ: Cónica que genera un número ilimitado de cónicas del mismo género, caracterizada cada una de ellas por un único parámetro “k”, al aplicarle la NUEVA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS. NUEVA FIGURA GEOMETRICA REGLADA: Figura geométrica reglada y alabeada, resultante de apilar en planos paralelos al XY, las cónicas generadas por una cónica matriz, según una ley de apilamiento linealmente proporcional a “k”, z=m.k.

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FAMILIA DE NUEVAS FIGURAS GEOMETRICAS CON CONICAS: Figuras geométricas resultantes de apilar en planos paralelos al XY las cónicas transformadas de una cónica matriz, según funciones tales que sus coordenadas z respondan a una ecuación z=f(k)

Fig 8.- Pasarela peatonal cubierta, atirantada superior e inferiormente

10- BIBLIOGRAFIA: [1] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ:SUPERFICIES TRIDIMENSIONALES DE SECCIONES CONICAS.P.Invenc.P9301662 1993 [2] Doria J.J.:PERFILES AERODINAMICOS DE GEOMETRIA SENCILLA P.Invención P9301663 1993 [3] Doria J.J.:FUSELAJE ESTABILIZADOR DE TORBELLINOS P.Invención P930372 1993 [4] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: NUEVO TEOREMA EN LA GEOMETRIA DE LAS CONICAS. DISEÑO CON SUPERFICIES DE SECCIONES ELIPTICAS, HIPERBOLICAS Y PARABOLICAS. Anales de Ingeniería Gráfica.INGEGRAF vol III nº2 abril diciembre 1994. [5] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: DEFINICION DE UNA NUEVA FAMILIA DE SUPERFICIES REGLADAS. Actas VII Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. VIGO.1.995 [6] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: SOLUCION INNOVADORA PARA LA INGENIERIA QUE PRECISE DE SUPERFICIES ALABEADAS DE GEOMETRIA ELEMENTAL. Actas II Congreso Internacional de Ingeniería de Proyectos. BILBAO.1.995 [7] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: TEORIA INNOVADORA EN AERODINAMICA. PROTOTIPOS Y PATENTES. Actas III Congreso Internacional de Ingeniería de Proyectos. BARCELONA.1.996 [8] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: OTRAS APORTACIONES Y RESULTADOS SOBRE LA NUEVA FAMILIA DE FIGURAS GEOMETRICAS ELEMENTALES CON CONICAS. Actas IX Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. BILBAO.1.997

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