Até que altura é possível enxergar um foguete, como um corpo extenso, presenciando-se um lançamento espacial?

Até que altura é possível enxergar um foguete, como um corpo extenso, presenciando-se um lançamento espacial? Neri Luiz von Holleben 1 de novembro de 2015

Resumo Neste artigo, investigou-se qual a altura máxima é possível ainda ver um certo foguete espacial após ser lançado, à partir de uma distância segura, tendo como critério a acuidade visual humana de um minuto de arco. Após a solução analítica, aplicou-se o resultado ao caso particular do lançamento do foguete Atlas V 401, através de um observador à uma distância segura de 3700 metros. Tal problema poderá ser trabalhado em uma aula de trigonometria em que a metodologia seja o Método ABP (Aprendizagem Baseada em Problemas). Além disso, o problema possui a virtude de ter um caráter interdisciplinar por envolver a fisiologia da visão e a engenharia aeroespacial. Tudo isso pode ser explorado conforme o envolvimento dos alunos no problema. Palavras-chaves: acuidade visual, alcance visual, trigonometria, interdiciplinaridade, ABP.

Introdução

será atingido.

Uma cálculo preciso para se determinar até que altura é possivel enxergar um foguete em uma situação real seria de alta complexidade, pois teríamos que conhecer as condições atmosféricas locais, de luminosidade, brilho do jato, etc. A proposta, nesta artigo, é conhecer o alcance visual considerando somente a acuidade visual normal humana de um minuto de arco. Isso quer dizer que dois pontos não podem ser distinguidos quando o ângulo entre os pontos com o vértice no olho do observador não deve ser menor do que 1 minuto de arco conforme a Fig. (1). Esse limite acontece devido ao distanciamento físico existente entre as células fotorreceptoras de nossa retina. Propomos, com isso, atribuir os tais pontos distinguíveis como sendo o topo e a cauda do foguete na situação inicial e após um certa altura do solo, indistinguíveis

Figura 1 – Acuidade visual. Fonte:

na situação final. Em outras palavras, quando o foguete se tornar um ponto o limite máximo que poderemos enxergar

1

Resultados e discussão

Resolvendo (6) para h, temos:

O problema consiste em determinar qual a altura máxima h é possível ainda ver um certo foguete espacial de altura a à partir de uma distância segura D. Começamos, então, definindo a configuração inicial conforme a Fig.(2a) e, em seguida,

( tg 10 )h2 + ( tg 10 a)h + (D2 tg 10 − aD) = 0 r   aD a2 − 4 D2 − tg −a 10 , h= 2

(7)

a configuração final, com o objeto no limite da acuidade visual, onde desprezamos a solução negativa para o h. Assim, temos duas condições para o conjunto verdade de h: conforme a Fig.(2b).   aD 2 2 a >4 D − tg 10 s   aD a 2 2 >a a −4 D − tg 10 α

Podemos, contudo, reescrever a solução (7) em função do

D

ângulo inicial α dado pela equação (1) para obtermos q 1 − tg42 α + tg α4 tg 10 − 1 h= . 2/a

(a) Configuração inicial.

a

Neste caso, obtemos as seguintes condições para o conjunto verdade de h: 4 4 + tg 2 α tg α tg 10 r 4 4 1− + >1 2 tg α tg α tg 10 1>

h α = 1′

(8)

Tomando-se como exemplo o lançamento do foguete Atlas V 401 1 , obtemos os seguintes dados:

θ1

θ2 D

(b) Configuração final no limite da acuidade visual.

Altura

a = 58, 3 m

(9)

Distância segura

D = 3, 7 km

(10)

Figura 2 – Configuração inicial e final do problema do lançamento.

Da Fig.(2a) temos a seguinte relação: tg α =

a , D

(1)

e da Fig.(2b) h D h+a tg θ2 = . D tg θ1 =

(2) (3)

Para resolvermos deveremos utilizar a condição do problema: θ2 − θ1 = 10 .

(4)

Empregamos, então, a identidade trigonométrica da tangente da diferença de arcos: tg (θ2 − θ1 ) =

tg θ2 − tg θ1 . 1 + tg θ1 tg θ2

(5)

Substituindo (4), (2) e (3) na equação (5), temos que: tg 10 = 1

h+a D

1+

h D h h+a D D

−

.

(6)

Figura 3 – Lançamento de um Atlas V 401. Fonte:

Substituindo os dados (9) e (10) em (7), obtemos: r   85.3 3700 58, 32 − 4 37002 − 2,9088810 − 58, 3 −4 h= 2 h = 27 km

Local de lançamento: Kennedy Space Center Launch Complex 39 da NASA, em Merritt Island, Flórida, EUA

(11) (12)