AVANCE PROYECTO CALCULO

1-. INTRODUCCIÓN:



La optimización matemática es la selección del mejor elemento con respecto a algún criterio de un conjunto de elementos disponibles. A nivel general la optimización puede realizarse en distintos ámbitos, pero siempre con el mismo objetivo: mejorar el desarrollo de un proyecto a través de una gestión perfeccionada de los recursos.

Un problema de optimización es aquel que consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

Se debe tener presente que la variable que se desea maximizar o minimizar debe estar expresada como una función de otras de las variables mencionadas en el problema.
En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que estas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere maximizar o minimizar.

Con estos tipos de problemas podemos definir la ecuación que deberá ser minimizada o maximizada, como también podremos dar origen a al menos una ecuación que será auxiliar para lograr expresar la función deseada precisamente como una función de una variable













2.- PROBLEMA:

¿De qué manera podemos reducir el costo de un proyecto usando la optimización?








4.- HIPÓTESIS:

El concepto de optimización permite maximizar o minimizar las variables de un problema, siendo en este caso el costo de un proyecto queriendo economizar todo lo que se pueda haciendo uso de las funciones.

3.- OBJETIVOS:

3.1.- Objetivo General:

Aplicar la optimización para poder minimizar el costo de la realización de un proyecto.

3.2.- Objetivos Específicos:

Caracterizar el concepto de Extremos Relativos como objeto matemático de enseñanza y aprendizaje.

Utilizar las tecinas propias de la optimización para manipular funciones, puntos críticos, derivadas y resolver problemas que involucren estos conceptos.

4.- DESARROLLO DEL PROYECTO:

Costeño Alimentos S.A.C... Desea construir un silo para almacenar arroz. Debido a las características de almacenamiento del cereal, la empresa requiere que el silo tenga una capacidad de 110 m3 y la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. La empresa desea crear el diseño más económico (incluyendo el piso). Después de analizar el problema, la empresa negoció con la constructora y logró que el costo sea el mismo para cualquier parte del silo; por ello, llegó a la conclusión de que necesita construir un silo cuya superficie sea la más pequeña posible.




Pregunta:

1.- ¿Cómo hallar las dimensiones del silo requerido, y que éste resulte ser el más económico?
Solución:

Optimización de un silo: (Superficie mínima)

Condiciones :
Capacidad =110m3
Costo del piso, pared lateral y techo son iguales =$C
Superficie mínima

1° Caso:
Se asume un silo cilíndrico de base cuyo radio es "r" y altura "h"; y el techo es un semiesfera de radio "R" según se muestra en el gráfico.

Dónde :

VT = volúmen total

VC = volúmen del cilindro

VE = volúmen de la esfera

ST = superficie total

SL = superficie lateral del cilindro

SB = superficie de la base del cilindro

C = costo por m2




Cilindro
Esfera

VC = πR2H

AT = 2πRH+πR2


VE = 43πR3

AE = 4πR2










Tenemos: Calculo del volumen

VT = VC+ 12 VE

VT = πR2+12×43πR3 VT = πR2(H+23 R)

PERO: VT = 110 m3

LUEGO: πR2(H+32R) = 110 (1)

Además: Calculo de la superficie

ST = SL +SB +12 SE

ST = 2πRH+πR2+12×4πR2

ST = πR(2H+3R) (2)

Calculo del costo total

CT = πR2H+3R×c

CT = πRC2H+3R 3

En la ecuación (2) observamos que la superficie total esta expresada en términos de dos derivadas "r" y "h"; tenemos que expresarla en términos de una sola variable; luego:

De (1): πR2(H+32R)=110

H+23R=110πR2 H=110πR2-23R 4






(4) en (2) :

ST = πR220πR2-43R+3R ST=πR(220πR2+53R)

ST=π220πR+53R2


Obtenemos la función superficie total en términos de una sola variable "r"


STR=π220πR+53R2 5


Puesto que tenemos que optimizar bajo la condición de superficie mínima; utilizamos los criterios de la primera y segunda derivada de una función.

Primera derivada:

Puntos críticos: ST'R=0

ST'R=π-220πR2+103R 6; π220πR2+103R=0 R3=66π

R=366π

Tenemos un punto crítico (extremo relativo); debemos de determinar si este nos genera un máximo o un mínimo; luego utilizamos el criterio de la segunda derivada.

Segunda derivada:

Si: ST''R>0 TENEMOS UN MÍNIMO

Si: ST''R0 ES UN MINIMO

Las dimensiones serán:
R=366π 2,76m ;EN 4 H 2,76m



Costo total:
CT=πRC2H+3R

CT=119,6×C DONDE C=COSTO ×m2





























FACULTAD DE INGENIERÍA

TRABAJO DE APLICACIÓN

TEMA DE APLICACIÓN: Optimización de un silo


Profesor:
RODRIGUEZ CARRANZA ALEXIS


Curso:

CACLCUO 1

Año académico

2016-1

Integrantes
PULIDO VAZQUES FRANCO
SALIRROSAS TELLO KEVIN
SANCHEZ PIMINCHUMO PAOLO
VEGA ANDIA LONG CRISTOPHER
1