C´ Alculo Num´ Erico De Niveles De Energia Excitados Para ´ Atomos De Dos Electrones

REVISTA COLOMBIANA DE F´ISICA, VOL.38, No.1, 2006 ´ ´ CALCULO NUMERICO DE NIVELES DE ENERG´ IA EXCITADOS ´ PARA ATOMOS DE DOS ELECTRONES Angel H. Cruz, Mar´ıa E. Gavil´ an y Carlos J. Quimbay Departamento de F´ısica Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´ a (Recibido 25 de Oct.2005; Aceptado 14 de Feb.2006; Publicado 05 de Abr.2006) RESUMEN

En un segundo curso de mec´ anica cu´ antica de pregrado es usual calcular el nivel de energ´ıa fundamental del ´ atomo de Helio corregido hasta primer orden en teor´ıa de perturbaciones. Este c´ alculo es un ejercicio est´ andar dentro del estudio de sistemas de varias part´ıculas. En este trabajo, tambi´en empleando la aproximaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones a primer orden, calculamos los niveles de energ´ıa excitados para ´ atomos de dos electrones. Los resultados se obtienen mediante el tratamiento num´erico de las integrales de Coulomb y de intercambio. Se puede resaltar que al comparar los resultados obtenidos con los valores experimentales, para el caso de algunos ´ atomos espec´ıficos, se observa que la exactitud de ´ estos resultados aumenta conforme la carga nuclear se incrementa. ´ Palabras claves: Atomo de dos electrones, teor´ıa de perturbaciones, integrales de Coulomb e intercambio, Niveles de energ´ıa excitados.

ABSTRACT

The calculation of the energy of the ground level of the Helium atom corrected until first order in the perturbation theory is an usual exercise in an undergraduate second course of quantum mechanics. This exercise is standard in the study of many particles systems. In this work, we calculate the energy of some excited levels for two-electron atoms also using the approach of the first order perturbation theory. The results are obtained by the numerical treatment of the Coulomb and exchange integrals. When we compare the obtained results respect to the experimental values, for the case of some specific atoms, we observe like the accurate of these results increases as the nuclear charge is larger. Keywords: Ion channels, brownian dynamics, Gramicidin A, ionic transport.

La teor´ıa de perturbaciones es un m´etodo de aproximaci´ on est´ andar, que en particular se puede aplicar al caso de un sistema de dos electrones, como lo es el ´atomo de Helio. Realizando un tratamiento perturbativo para este a´tomo, en este trabajo se aborda en general, a´tomos de dos electrones. Inicialmente calculamos te´oricamente los niveles de energ´ıa de un a´tomo tipo helio, corregido hasta primer orden en teor´ıa de perturbaciones y posteriormente, procedemos a realizar los c´ alculos correspondientes, empleando el programa mathematica
. Se hace el c´alculo para el caso Z = 2 (helio) y despu´es se hace para Z = 26 (i´ on F e24+ ). A continuaci´ on se comparan los resultados obtenidos con respecto a los resultados experimentales. Un a´tomo de dos electrones consiste de dos electrones, cada uno con carga −e y de un n´ ucleo con carga +Ze. Suponiendo que el n´ ucleo es infinitamente pesado, el operador hamiltoniano del sistema es: H =−


2 2 Ze2 Ze2 e2
2 2 ∇1 − ∇2 − − + , 2m 2m r1 r2 r12

(1)

ucleo y r12 la siendo m la masa del electr´on, r1 y r2 las distancias de los electrones al n´ separaci´on espacial entre los dos electrones.[2] Si se considera que el t´ermino de la interacci´on electr´ on-electr´ on es una peque˜ na perturbaci´ on en el sistema, al aplicar teor´ıa de perturbaciones a primer orden, los niveles de energ´ıa son aproximadamente los valores propios para el sistema sin perturbar m´ as 407

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(0)

(1)

la correcci´on a primer orden, es decir En = En + En . Como es usual, esto se hace calculando el valor esperado del operador hamiltoniano, teniendo en cuenta la funci´ on de onda espacial correspondiente a un a´tomo tipo Helio, la cual puede ser sim´etrica o (S,A) antisim´etrica, y est´a dada por Ψ12 (r1 , r2 ) = √12 (ψ(r1 )ψ(r2 ) ± ψ(r2 )ψ(r1 )), donde las ψ son funciones de onda hidrogenoides de la forma ψnlm (r ) = Rnl (r)Ylm (Ω). De esta manera la correcci´on a primer orden a los niveles de energ´ıa es (S,A)

En1 n2 l1 l2 = E (0) + Jn1 l1 ,n2 l2 ± Kn1 l1 ,n2 l2 ,

(2)

donde el signo m´as (menos) corresponde a la funci´on de onda espacial sim´etrica (antisim´etrica), que corresponde al estado singlete (triplete). Los s´ımbolos Jn1 l1 ,n2 l2 y Kn1 l1 ,n2 l2 corresponden a las integrales de Coulomb y de intercambio, las cuales despu´es de utilizar las propiedades de los arm´onicos esf´ericos, se pueden escribir como:
∞
∞ 1 2 2 Jn1 l1 ,n2 l2 = e2 dr1 dr2 R10 (r1 )Rnl (r2 )r12 r22 (3) r > 0 0 Kn1 l1 ,n2 l2 = e2

1 2l + 1







∞

dr1

0

∞ 0

dr2

l r< ∗ R∗ (r )Rnl (r2 )R10 (r2 )r12 Rnl (r1 )r22 l+1 10 1 r>

(4)

Por lo tanto los niveles de energ´ıa corregidos a primer orden son: (0)

(1)

E1s,nl = E1n + E1s,nl = −13,6 eV Z 2 − 13,6 eV

Z2 + J1s,nl ± K1s,nl n2

(5)

A partir de la ecuaci´on anterior vemos que a causa de la indistinguibilidad de los electrones, se presenta un corrimiento en la energ´ıa entre los estados singlete y triplete, teniendo el estado singlete la energ´ıa m´as alta. Ahora se procede a la evaluaci´ on num´erica de las expresiones (3) y (4), reemplazando en ´estas la forma de la funci´on radial. En mathematica esta funci´on se define como:

R[n− , l− , r− , Z− ] = s„ «3 „ «l −Z r −2 r Z −2 r Z (n − l − 1)! 2Z Exp[ ] ] L[ n − l − 1, 2l + 1, na 2 n (n + 1)! na na na

(6)

siendo L[n, l, x] los polinomios de Laguerre. Adicionalmente, para la evaluaci´ on num´erica λ+1 λ es importante el uso de una funci´ on auxiliar F que permita la evaluaci´on de r< /r> , as´ı: „ «l „ «l F[l− , r1− , r2− ] :=

1 r1

r2 r1

UnitStep[r1 − r2]+

1 r2

r1 r2

UnitStep[r2 − r1]

(7)

con UnitStep[x] − > 0 si x < 0, 1 si x >= 0. De esta manera, para cada valor de n y l se calculan las integrales de Coulomb y de intercambio. Primero se hace para el atomo de helio (Z = 2), cuyos resultados se encuentran en la Tabla 1. Luego se realiza ´ el c´alculo para el i´ on F e24+ (Z = 26), cuyos resultados se encuentran en la Tabla 2. En la Tabla 3 se presentan las diferencias porcentuales entre los resultados num´ericos y los valores experimentales, de los niveles excitados de energ´ıa medidos con respecto al nivel base, para los dos casos considerados.

An´ alisis de resultados y conclusiones Al comparar las diferencias porcentuales presentadas en la Tabla 3, se observa que el 408

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c´alculo perturbativo funciona mejor cuando la carga nuclear es grande. Concretamente, las diferencias porcentuales para el caso del F e24+ son menores al 1 % para todos los niveles, mientras que en el caso del He las diferencias son en general mayores al 10 %. El comportamiento que se tiene para el He es de esperarse, debido a que la interacci´on electr´ on-electr´ on es comparable con la interacci´on electr´ on-n´ ucleo, de manera que la perturbaci´ on no es propiamente peque˜ na. En cambio, en el caso del i´ on F e24+ , la presencia de una carga nuclear m´as grande hace que la interacci´on con el n´ ucleo sea mayor que la interacci´on electr´ on-electr´ on, Estados 1s2 1s2s 3 S 1s2s 1 S 1s2p 3 P 1s2p 1 P 1s3s 3 S 1s3s 1 S 1s3p 3 P 1s3p 1 P 1s3d 3 D 1s3d 1 D

E (0) -108.8 -68.0 -68.0 -68.0 -68.0 -60.44438 -60.44438 -60.44438 -60.44438 -60.44438 -60.44438

Jn1 l1 ,n2 l2 34 11.41728 11.41728 13.20824 13.20824 5.41212 5.41212 5.92011 5.92011 6.03965 6.03965

Kn1 l1 ,n2 l2 -1.19396 +1.19396 -0.92864 +0.92864 -0.31377 +0.31377 -0.24653 +0.24653 -0.01345 +0.01345

Etotal -74.8 -57.77671 -55.38872 -55.72029 -53.86307 -55.34601 -54.71851 -54.77074 -54.27787 -54.41822 -54.39130

∆Eteo = En,l − E1s2 17.02339 19.41128 19.07971 20.93692 19.45398 20.08148 20.02926 20.52221 20.38178 20.40870

Tabla 1: Niveles de Energ´ıa del ´ atomo de He, en eV, con el m´etodo perturbativo. Estados

E (0)

Jn1 l1 ,n2 l2

Kn1 l1 ,n2 l2

Etotal

1s2 1s2s 3 S 1s2s 1 S 1s2p 3 P 1s2p 1 P 1s3s 3 S 1s3s 1 S 1s3p 3 P 1s3p 1 P 1s3d 3 D 1s3d 1 D

-18387.2 -11492 -11492 -11492 -11492 -10215.1232 -10215.1232 -10215.1232 -10215.1232 -10215.1232 -10215.1232

442 148.4247 148.4247 171.7071 171.7071 70.3574 70.3574 76.9616 76.9616 78.5155 78.5155

-15.5215 +15.5215 -12.0723 +12.0723 -4.0790 +4.0790 -3.2049 +3.2049 -0.1748 +0.1748

-17945.9 -11359.1008 -11328.0656 -11332.3632 -11308.2096 -10148.8368 -10140.6768 -10141.3568 -10134.9376 -10136.760 -10136.4336

∆Eteo = En,l − E1s2 6586.0992 6617.1344 6612.8368 6636.9904 7796.3632 7804.5232 7803.8432 7810.2624 7808.44 7808.7664

Tabla 2: Niveles de Energ´ıa del i´ on F e24+ , en eV, con el m´etodo perturbativo. Estados 1s2s 3 S 1s2s 1 S 1s2p 3 P 1s2p 1 P 1s3s 3 S 1s3s 1 S 1s3p 3 P 1s3p 1 P 1s3d 3 D 1s3d 1 D

∆Eexp (He)[4] 19.81961 20.61577 20.96409 21.21802 22.71846 22.92032 23.00708 23.08702 23.07365 23.07407

% 14.1 5.8 9.0 1.3 14.4 12.4 12.9 11.1 11.7 11.6 409

∆Eexp (F e24+ )[4] 6636.5960 6668.0223 6665.5488 6700.4144 7863.2881 7871.6323 7871.2727 7881.1543 7880.5219 7882.4809

% 0.76 0.76 0.79 0.95 0.85 0.85 0.86 0.90 0.91 0.93

REFERENCIAS

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Tabla 3: La comparaci´ on con los valores experimentales. cumpli´endose as´ı la condici´ on de perturbaci´ on ”peque˜ na”, de tal forma que la correcci´on a primer orden es una buena aproximaci´ on. Con lo anterior se ve cual es el efecto que tiene el valor de la carga nuclear en el a´tomo de dos electrones.

Referencias [1] M.J. Weida, T.M. Schroeder, L.J. Waxer and B.L. Whitten, Transitions energies for excited states of helium: An evaluation of two simple approximation techniques, Am. J. Phys. 60, 467-473(1992). [2] I.N. Levine, Qu´ımica Cu´ antica (Prentice Hall, Madrid, 2001), 5th edition. [3] M.A. Morrison, T.L Estle and N.F. Lane, Quantum states of Atoms Molecules, and Solids (Prentice Hall, Englewood Clifts, NJ,1976). [4] http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/levels form.html. NIST Atomic Spectra Database. He buscar con ”He I” y F e24+ buscar con ”Fe XXV”.

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