Cálculo De Esforços E Deformações Em Lajes Usando Séries De Fourier - FINAL

18





Valores de flecha para cada cenário

Combinação Cenário + Dimensões da placa


Valor da Flecha Máxima (cm)





Centro Universitário de Brasília – UniCEUB
Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas –FATECS
Programa de Iniciação Científica













Cálculo De Esforços E Deformações Em Lajes Usando Séries De Fourier







Thiago Araujo Macedo














Brasília – 2015

Centro Universitário de Brasília – UniCEUB
Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas –FATECS
Programa de Iniciação Científica












Cálculo De Esforços E Deformações Em Lajes Usando Séries De Fourier

Relatório final apresentado à Assessoria de Pós-Graduação e pesquisa pela Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas –FATECS




Thiago Araujo Macedo




Orientação: Jocinez Nogueira Lima








Brasília – 2015
Resumo
Lajes são elementos estruturais do tipo placa e, como qualquer estrutura, ao ser solicitado está sujeito a deformações. As deformações em lajes devem ser devidamente estudadas a fim de um dimensionamento preciso. Atualmente as estruturas são resolvidas com softwares, mas alguns anos atrás tudo era resolvido algebricamente. Estudaram-se neste trabalho os fundamentos da teoria de elasticidade e suas soluções propostas por Navier e Lèvy. Primeiramente a teoria foi estudada e suas equações demonstradas. Em seguida as equações diferenciais parciais que regem o comportamento elástico de placas foram resolvidas utilizando-se séries de Fourier e seus resultados de flecha máxima foram comparados com os valores obtidos com o software SCIA Engineer. Foram delimitados dois estudos principais, com lajes de duas dimensões distintas, dois materiais e seis condições de apoio diferentes variando entre engastes e bordos simplesmente apoiados. Destes estudos, encontraram-se utilizando as séries de Fourier valores de flecha máxima e de esforços de momento fletor, em sequência encontraram-se os valores de flecha máxima computacionalmente. Os valores foram então tabelados e plotados num gráfico para efeitos de comparação. Como resultado, notou-se a precisão dos métodos analíticos, de modo que os valores distaram em média 4% dos valores obtidos com o método dos elementos finitos utilizado pelo software. Notou-se a imprecisão de um resultado específico, este então foi retirado da média e os valores assumidos como corretos distaram de menos de 1,5% dos valores obtidos no SCIA Engineer. Concluiu-se portanto, a validade dos métodos que eram comumente utilizados antes da difusão de softwares no mercado, como os processos de Marcus e Czèrny, comprovando-se sua precisão numérica.

Palavas-chave: Teoria da elasticidade; lajes maciças; Séries de Fourier.



Sumário
3. Introdução 5
4. Referencial Teórico 5
4.1. Espaço vetorial e ortogonalidade 5
4.2. Séries de Fourier 6
4.2.1. Séries de Fourier 1D 6
4.2.2. Forma complexa das séries de Fourier 7
4.2.3. Séries de Fourier 2D 7
4.3. Equação de Laplace 9
4.4. Aplicações no caso de lajes com bordos simplesmente apoiados 10
4.4.1. Carga sinusoidal - Apoio simples 10
4.4.2. Carregamento Qualquer 12
4.4.3. Carregamento Uniforme (Caso real) 12
4.4.4. Carga concentrada 13
4.5. Bordos opostos apoiados 13
5. Metodologia de pesquisa 14
6. Resultados 16
7. Discussão dos resultados 16
8. Considerações finais 17
9. Referências 18







Introdução
Na análise de uma placa, uma carga p(x,y) qualquer pode ser desenvolvida através de uma Série de Fourier, em termos de funções trigonométricas.
Atualmente os métodos analíticos estão em desuso, visto que soluções computacionais com softwares como o SCIA Engineer são muito mais rápidas. Apesar disso, este trabalho procura demonstrar quão precisos são os resultados obtidos pelos métodos analíticos outrora utilizados.
Um dimensionamento preciso é de suma importância em qualquer tipo de construção, uma vez que proporciona segurança, agilidade de execução e menores custos, evitando superdimensionamentos ou subdimensionamentos.
Este trabalho visa elucidar o leitor sobre os fundamentos da análise de estruturas baseada na teoria da elasticidade e mostrar a ele uma comparação de aplicação de metodologias.

Referencial Teórico
Espaço vetorial e ortogonalidade
O processo de Gram-Schmidt demonstra que todo espaço vetorial finito possui pelo menos uma base ortogonal. (Silva, 2005)

μ1=v1"v1"

(1)
Projeção ortogonal de μ1 em v2

μ2=(v2-v2*μ1 μ1)"v2-v2*μ1 μ1"

(2)

Aplicação: Polinômios ortogonais em [-1,1]

ϕ 1x=12

(3)

ϕ 2x=32x

(4)

ϕ 3x=3232 x2-12

(5)
As funções seno e cosseno são ortogonais entre si

Séries de Fourier
Séries de Fourier 1D
Segundo (Figueiredo, 1977), as séries de funções trigonométricas são casos particulares de séries de funções ortogonais. Uma função f(x), contínua, pode ser aproximada tanto quanto se queira por um desenvolvimento em série de funções ortogonais de senos e cossenos.
Condições de fronteira de Dirichlet
[a,b] pode decompor-se num número finito de subintervalos nos quais verifica-se a continuidade de f(x);
Nos pontos xi eventualmente descontínuos em f(x), os limites f(xi+) e f(xi-) existem.
Série de Fourier
Diz-se que f(x), x [0,T], se desenvolvem em séries de Fourier se forem conhecidos os coeficientes ak e bk tais que:


fx=12a0+k=1 ak cos2πκxT+bk sen2πκxT

(6)

ak=2T0Tfx cos2πκxTdx

(7)

bk=2T0Tfx sen2πκxTdx

(8)
Forma complexa das séries de Fourier
Utilizando-se a relação de Euler eiwt=coswt+i senwt ,a série de Fourier pode ser reescrita na forma:

fx=k=- ck eikwx
(9)
Onde,

ck=1T0Tfu e-ikwudu

(10)
Em que x 0,T e, em geral, se estende f(x) de modo a desejar T como o período de f(x).

Séries de Fourier 2D
Admite-se o período nas direções x e y como sendo T=2π para padronizarem-se as equações.
Desenvolvendo-se as séries para a variável x:

fx,y=fx+2π,y=a0y2+n=1 [any cosnx+bny sen(nx)]
(11)

Onde,

ak(y)=1π-ππfx,y cosnxdx
(12)

bk(y)=1π-ππfx,y sennxdx
(13)


E assim como f(x,y), estes coeficientes são continuamente deriváveis em y, podendo também desenvolver-se em séries:

any=12an0m=1 [anm cosmy+bnm sen(my)]
(14)

bny=12cn0m=1 [cnm cosmy+dnm sen(ny)]
(15)

Adicionando todas as equações, obtêm-se:

fx,y=14a00+12m=1 a0m cosmx+b0m senmy+12n=1 an0 cosnx+cn0 sennx+n=1 m=1 anm cosnx cosmy+bnm cosnx senmy+cnm sennx cosmy+dnm sennx senny
(16)




anm=1π2-ππfx,y cos (nx) cosmydxdy

(17)

bnm=1π2-ππfx,y cos (nx) senmydxdy
(18)

cnm=1π2-ππfx,y sen (nx) cosmydxdy
(19)

dnm=1π2-ππfx,y sen (nx) senmydxdy
(20)

Como as funções seno são ímpares e as cosseno são pares, e ambas diferem somente na fase, muitos dos termos da equação obtida serão anulados, o que nos remete a conclusão:

qx,y=m=1 n=1 qmn senmπxa sennπyb

(21)
Função essa válida para todo 0 x a e 0 y b.

Equação de Laplace
Segundo (Timoshenko, 1989), uma laje pode ser aproximada segundo o modelo de placa fina. As placas finas satisfazem a hipótese de love-kirchoff, que são uma série de equações diferenciais parciais modeladoras das placas.
Adotando-se a deformação ω no sentido vertical para baixo, com os carregamentos consequentemente negativos, a equação da deformação sob carregamento transversal tem a forma:

4ω=-q(x,y)D
(22)

Onde:

4ω= 4ω x4+2 4ω x2 y2+ 4ω y4
(23)

E,

D=E h312(1-ν2)
(24)

Os esforços são dados por:

Mx=-D 2ω x2+ν 2ω y2
(25)

My=-Dν 2ω x2+ 2ω y2
(26)

Mxy=Myx=-D1-ν 2ω x y
(27)

Vx=-D x 2ω
(28)

Vy=-D y 2ω
(29)

As reações de apoio:

Rx=Vx+ yMxy
(30)

Ry=Vy+ xMxy
(31)

E a força resultante:

Fr=S (Rx+Ry)dS
(31)



Aplicações no caso de lajes com bordos simplesmente apoiados
Carga sinusoidal - Apoio simples
Para (Silva G. , 2006), o caso de laje estática, plana e maciça com carregamento sinusoidal é o mais simples de ser estudado, como representada na figura 4.4.1.

Figura 4.4.1 – Representação de uma placa no plano cartesiano.
Neste caso, a equação de Laplace será reescrita na forma:

4ω=1D P0 senπxa cosπyb
(32)

E as condições de contorno serão:

x=0 , x=a :ω=0 , 2ω x2=0
(33)

y=0 ,y=b :ω=0 , 2ω y2=0
(34)

A função que satisfaz as condições de contorno é da forma:

ω=c1 senπxa senπyb
(35)

Efetuando-se os devidos cálculos, conclui-se que para o caso em questão, a deformação pode ser devidamente aproximada pela equação:


ω=P0 senπxa senπybπ4 D 1a2+1b22
(36)
Momentos:


Mx=P0 senπxa senπybπ2 1a2+1b22 1a2+νb2
(37)

My=P0 senπxa senπybπ2 1a2+1b22 νa2+1b2
(38)

Mxy=P0 cosπxa cosπybπ2 a b 1a2+1b22 1-ν
(39)



Esforço cortante:


Vx=P0 cosπxa senπybπ2 1a2+1b22 1a2+νb2
(40)

Vy=P0 senπxa senπybπ2 1a2+1b22 1a2+νb2
(41)



Força resultante:


Fr=4P0 a bπ2
(42)



Carregamento Qualquer
Para um carregamento qualquer, a carga aplicada P(x,y) deve ser desenvolvida em uma série dupla de Fourier. Utilizando-se o princípio da sobreposição de efeitos, Claude Louis Navier deduziu uma solução geral (Timoshenko, 1989) de placas como sendo:

ωx,y=1π4D m=1 n=1 amn senmπxasennπybm2a2+n2b22
(43)

amn=4P(x,y)abR senmπxasennπybdxdy
(44)

Carregamento Uniforme (Caso real)
Neste caso, P(x,y) é uma constante de valor P0. O que conduz a solução de Navier à deformação máxima que ocorre na placa em (x,y)=a2,b2.

ωmáx=16P0π6Dm=1 n=1 -1m+n2-1amn m2a2+n2b22
(45)
Este caso é aplicável a qualquer laje, um exemplo de carregamento uniforme é seu peso próprio, como ilustra a figura 1.4.3:

Figura 1.4.3 – Carregamento uniforme em uma placa simplesmente apoiada em todos os bordos
Carga concentrada
As séries de Fourier falham quando se estudam carregamentos pontuais, visto que estes são descontínuos. (Mansfield, 2005) deduziu a seguinte expressão para um carregamento f(x,y) sendo aplicado em x,y=(a0,b0):

fx,y=4Pab senmπa0a sennπb0b
(46)

Bordos opostos apoiados
De acordo com (Timoshenko, 1989), a solução para uma laje com condições de apoio com bordos opostos apoiados, ilustrado na figura 3, foi encontrada por Levy, e tem a forma:

ωx,y=m=1 Υm senmπxa
(47)


Figura 3 – Condições de contorno da solução de Levy
As funções Ym devem satisfazer a equação (22), e as condições de contorno nas bordas y=±b2

Υm=m=1 Y''''-2m2π2a2 Y''y+m4π4a4 Ym(y) D senmπxa
(48)

Desenvolvendo-se P(x,y) com a expressão acima, têm-se:

Px,y=m=1 Pm(y) senmπxaPmy=0aPx,y senmπxadx


(49)



PmyD=Ym''''y-2m2π2a2 Y''y+m4π4a4 Ym(y)
(50)

Onde Υm é a deformação, ou seja:
Υm ωmáx
Ymy ωx,y
Υ' Esforço Cortante
Υ'' Momento Fletor
Υ'''' Carregamento
Metodologia de pesquisa
Foram feitos dois estudos a partir da intersecção de seis cenários de condições de contorno com dois casos de geometria e carga. Em seguida, efetuaram-se todos os cálculos necessários e então comparados os resultados de flecha máxima obtidos das séries com o método dos elementos finitos utilizado pelo software SCIA Engineer 2015.
Os cenários foram delimitados de acordo com a tabela 5.1 e a figura 5.1:
Cenário 1
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4

Cenário 2
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4
Engaste
 
 
 
 

Engaste
 
 
x
 
Livre
x
x
x
x

Livre
x
x
 
x
Balanço
 
 
 
 

Balanço
 
 
 
 











Cenário 3
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4

Cenário 4
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4
Engaste
 
 
x
x

Engaste
x
 
x
 
Livre
x
x
 
 

Livre
 
x
 
x
Balanço
 
 
 
 

Balanço
 
 
 
 











Cenário 5
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4

Cenário 6
Bordo 1
Bordo 2
Bordo 3
Bordo 4
Engaste
 
x
x
x

Engaste
x
x
x
x
Livre
x
 
 
 

Livre
 
 
 
 
Balanço
 
 
 
 

Balanço
 
 
 
 
Tabela 5.1 – Cenários de Cálculo

Figura 5.1 – Cenários de cálculo
Em seguida, foram delimitados dois casos de dimensões para as placas. No software SCIA Engineer , admitiu-se um concreto CA20/25 com Fck=20MPa, coeficiente de Poisson μ=0,15 e módulo de elasticidade E=3 107 kPa de acordo com o representado na tabela 5.2:

Bordo 4 (cm)
Bordo 1 (cm)
Espessura (cm)
P (kg/m³)
E (kn/m²)
Caso 1
800
1600
7
2500
30000000
Caso 2
1000
1000
7
2500
30000000

Tabela 5.2 – Dimensões das placas e Carregamentos
Após os estudos serem devidamente delimitados, procederam-se os cálculos.
Cada combinação Cenário + Dimensões/Carregamento foi resolvida utilizando-se um dos métodos referenciados na seção 4 deste trabalho, com auxílio da ferramenta Microsoft Excel, além de serem resolvidos pelo software SCIA Engineer, disponível nos laboratórios do UniCEUB.
Todos os cálculos tiveram seus valores tabelados, analisados e plotados em gráficos, para efeitos de comparação da acurácia dos diferentes métodos utilizados. Admitiu-se uma acurácia de 100% para o método dos elementos finitos utilizado pelo software e variações positivas e/ou negativas em cada cálculo.





Resultados
Após rigorosa aplicação da metodologia supracitada, os resultados obtidos foram os seguintes na tabela 6.1:
Combinação
Flecha (séries) [cm]
Flecha SCIA [cm]
Variação
Mx (séries) [kNm]
My (séries) [kNm]
Cen1+Dim1
8,1224
8,1285
0,07%
136,0575
272,1150
Cen2+Dim1
7,4256
7,5026
1,03%
124,6622
249,3243
Cen3+Dim1
6,7630
6,7721
0,13%
114,6398
229,2795
Cen4+Dim1
3,7504
3,9070
4,01%
78,2571
156,5142
Cen5+Dim1
3,6069
3,7142
2,89%
75,5112
151,0224
Cen6+Dim1
2,0221
2,0222
0,01%
95,4251
190,8502
Cen1+Dim1
7,9387
7,9553
0,21%
72,5937
72,5937
Cen2+Dim1
3,7525
5,5884
32,85%
34,4949
34,4949
Cen3+Dim1
3,7525
3,7384
-0,38%
34,4949
34,4949
Cen4+Dim1
4,1028
4,3059
4,72%
46,1648
46,1648
Cen5+Dim1
3,0687
3,1257
1,82%
34,6665
34,6665
Cen6+Dim1
2,4850
2,4629
-0,90%
59,4934
59,4934

Tabela 6.1 – Resultados
Discussão dos resultados
O SCIA não devolve valores de Mx e My no ponto de flecha máxima, estes foram calculados somente com as séries. Tendo em vista que as variações nos resultados das flechas foram baixas, admite-se que os momentos terão um comportamento semelhante.
Outro problema é o fato de o SCIA não entender carregamentos pontuais. Atribui-se a esse detalhe o fato de nessa pesquisa somente terem sido utilizados carregamentos uniformemente distribuídos, uma vez que não haveriam parâmetros para se estabelecer a confiança dos cálculos de cargas pontuais e carregamentos distribuídos não uniformes (triangulares, por exemplo).
A partir dos resultados obtidos, propõe-se o gráfico 7.1 a seguir para melhor visualização e discussão dos resultados obtidos.

Gráfico 7.1 – Resultados
A partir da tabela 6.1, extrai-se que os resultados obtidos possuíram uma variação média nos resultados de flecha máxima inferior a 4%. A combinação Cenário 2 + Dimensões/Carregamento 2 foi a que apresentou o resultado que mais distou do resultado obtido pelo SCIA, estando cerca de 30% abaixo do valor esperado. O cálculo com séries de Fourier é um processo bastante complexo e passível de falhas, logo algum erro processual pode ter ocorrido.
Apesar deste valor Cen2+Dim2 ter ficado bastante distante de um valor aceitável, verifica-se que caso ele não seja levado em consideração na média, a variação dos resultados é de 1,24%. Valor que demonstra a precisão das séries quando aplicadas a lajes planas e maciças sob ações de carregamentos distribuídos.

Considerações finais
Antes da utilização de softwares de análise estrutural ser difundida, os engenheiros somente dispunham de métodos algébricos para o dimensionamento de estruturas. Como citado em (CAMELO, M), dentre os mais utilizados encontra-se o Processo de Marcus, que deriva de soluções analíticas obtidas com séries.
Estes métodos, apesar de complexos e passíveis de erros, mostram-se altamente precisos em comparação com os métodos utilizados por softwares como o SCIA. Em virtude desta precisão, construções como o Congresso Nacional foram possíveis e estão em atividade até o dia de hoje.
Mesmo com tamanha precisão, a conjectura dos dias de hoje demanda metodologias que sejam ao mesmo tempo rápidas e eficientes, uma vez que as construções estão cada vez mais arrojadas e os prazos cada vez mais apertados. Logo os métodos analíticos de resolução de estruturas, como as placas, caíram em desuso e os softwares dominam o mercado de análise e dimensionamento de estruturas.

Referências
CAMELO, M. (1976). Placas Cogumelo Retangulares Simplesmente Apoiadas nos Quatro Bordos. RJ: PUC.
FIGUEIREDO, D. G. (1977). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. São Paulo: Edgard Blucher.
SILVA, A. D. (2005). Introdução à álgebra Linear. João Pessoa: UFPB.
SILVA, G. (2006). Notas Sobre Análise de Fourier para Certos Casos de Estática de Lajes. Lisboa
TIMOSHENKO, S. W.-K. (1989). Theory of Plates and Shells. Tokyo: McGraw-Hill