Calculo de integrais 2

Cap´ıtulo 23 Resolvendo Integrais pelo M´ etodo de Substitui¸c˜ ao 23.1

M´ etodos da substitui¸c˜ ao em integrais indefinidas

O teorema fundamental do c´alculo permite que se resolva rapidamente a integral ∫

b

f (x) dx, a

desde que se conhe¸ca uma primitiva F para a fun¸c˜ao f . Como vimos no cap´ıtulo anterior, em alguns casos, achar uma primitiva ´e bastante f´acil: basta olharmos uma tabela de derivadas ao contr´ ario. Assim, conclu´ımos imediatamente que ∫ d cos(x) dx = sen(x) + C , visto que, (sen(x) + C) = cos(x) . dx ∫ Embora a integral cos(2 x) dx seja semelhante `a anterior, neste caso existe uma pequena diferen¸ca. Como d (sen(2 x) + C) = 2 cos(2 x) , dx a primitiva procurada ser´a dada por sen(2 x) +C, 2 e assim,

∫ cos(2 x) dx =

sen(2 x) +C. 2

Repare que para obter este resultado n˜ao foi suficiente usar uma tabela de derivadas ao contr´ario. Para resolver esta u ´ltima integral foi necess´ario perceber que sen(2 x) difere da derivada de cos(2 x) apenas por um fator constante, reduzindo a tarefa de achar uma primitiva para esta u ´ ltima fun¸c˜ao a uma pequena manipula¸c˜ao alg´ebrica. No entanto, a tarefa de achar primitivas e, portanto, de integrar uma fun¸c˜ao nem sempre ´e t˜ao simples como o exemplo acima parece indicar. Ao contr´ ario, na maioria dos casos ´e imposs´ıvel determinar rapidamente, com uma simples olhada, a primitiva de uma fun¸c˜ ao, o que nos leva a estudar m´etodos gerais de integra¸c˜ao. Estes m´etodos, em geral, se originam das regras de deriva¸c˜ao. A regra da cadeia para a derivada de fun¸c˜oes compostas d´a origem ao chamado m´etodo da substitui¸c˜ao ou de mudan¸ca de vari´avel, que ´e um dos m´etodos de integra¸c˜ao mais poderosos. Na introdu¸c˜ao desta se¸c˜ ao, foi poss´ıvel concluir que ∫ sen(2 x) +C, cos(2 x) dx = 2 ∫ ∫porque percebemos que, de alguma maneira, a integral cos(2 x) dx estava relacionada com a integral conhecida cos(x) dx = sen(x) + C. Da mesma forma, parece razo´avel supor que a integral ∫ cos(3 x + 1) dx

316

Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo M´etodo de Substitui¸c˜ao

tamb´em esteja relacionada com a integral da fun¸c˜ao cosseno. Para ver como isto acontece, fazemos u = 3x + 1. Deste modo, cos(3 x + 1) = cos(u) , como quer´ıamos. Repare que se u = 3 x + 1, ent˜ ao a diferencial de u ´e du = 3 dx. Note que se o termo dx que aparece na nota¸c˜ao de integral pudesse ser interpretado como uma diferencial, ter´ıamos u = 3 x + 1 ⇔ du = 3 dx . Assim, formalmente, sem justificar nossos c´alculos, poder´ıamos escrever ∫ ∫ ∫ 1 1 sen(u) sen(3 x + 1) cos(3 x + 1) dx = 3 cos(3 x + 1) dx = cos(u) du = +C = +C. 3 3 3 3 Derivando a fun¸c˜ ao sen(33x+1) + C, podemos verificar, facilmente, que o resultado encontrado acima ´e correto. As manipula¸c˜ oes alg´ebricas feitas no exemplo estudado, s˜ao justificadas pela regra da cadeia. Este m´etodo pode ser interpretado como o inverso desta regra e ´e um caso especial da f´ormula mais geral ∫ ∫ ′ f (g(x)) g (x) dx = f (u) du , onde u = g(x) e du = g ′ (x)dx, como explicamos a seguir. Recorde que se F e g s˜ ao fun¸c˜ oes conhecidas, pela regra da cadeia a derivada da composta F ◦ g ´e (F ◦ g)′ (x) = F ′ (g(x)) g ′ (x) . Assim, podemos escrever ∫

F ′ (g(x)) g ′ (x) dx = (F o g)(x) + C = F (g(x)) + C .

Se F for uma primitiva de f , isto ´e, F ′ = f , teremos (F ◦ g)′ (x) = f (g(x)) g ′ (x)) , isto ´e, ∫

f (g(x)) g ′ (x) dx = F (g(x)) + C .

Por outro lado,

∫ f (u) du = F (u) + C ,

assim, chamando u = g(x) e comparando as duas igualdades acima, conclui-se que du = g ′ (x)dx. Este m´etodo chama-se integra¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao porque depende de uma substitui¸c˜ao ou mudan¸ca de vari´avel para simplificar a integral. O ponto essencial a ser lembrado quando utilizamos este m´etodo ´e que a substitui¸c˜ao u = g(x) implica que du = g ′ (x) dx. Exemplo 1 Calcule

∫

2 x cos(x2 ) dx.

∫ Solu¸ c˜ ao Fazendo u = x2 ⇒ du = 2 x dx e desse modo a integral acima se reduz a cos(u) du. Conseq¨ uentemente, ∫ ∫ 2 x cos(x2 ) dx = cos(u) du = sen(u) + C = sen(x2 ) + C .

Exemplo 2 Calcule as seguintes integrais ∫ √ (a) x3 x4 + 2 dx

W.Bianchini, A.R.Santos

317

Solu¸ c˜ ao Observe que (x4 + 2)′ = 4 x3 . Isto sugere a substitui¸c˜ao u = x4 + 2. Neste caso, du = 4 x3 dx ⇒ x3 dx = Assim, ∫ ∫ 3 √ 1 3 1 1 u( 2 ) 1 x3 x4 + 2 dx = u( 2 ) du = + C = (x4 + 2)( 2 ) + C . 4 4 32 6 ∫ x2 + 1 (b) dx (x3 + 3 x)2 Solu¸ c˜ ao Aqui, fazemos a substitui¸c˜ ao u = x3 + 3 x, obtendo du = (3 x2 + 3) dx , o que acarreta (x2 + 1) dx = Assim, ∫ ∫ x2 + 1 1 du 11 1 +C =− 3 +C. dx = =− (x3 + 3 x)2 3 u2 3u 3 x + 3x

du 4 .

du 3 .

∫ (c)

sen(x) cos(x) dx

Solu¸ c˜ ao Nesta integral, tanto podemos fazer a substitui¸c˜ao u = sen(x) como u = cos(x). Optando pela primeira, temos que du = cos(x) dx . Assim, ∫

∫ sen(x) cos(x) dx =

u du =

u2 sen 2 x +C = +C 2 2

Exerc´ıcio Resolva esta mesma integral, usando a segunda op¸c˜ao e tente chegar ao mesmo resultado. Como os exemplos acima mostram, ´e dif´ıcil, de fato imposs´ıvel, dar uma regra geral dizendo, em cada caso, que substitui¸c˜oes devem ser feitas, isto ´e, como escolher a fun¸c˜ao u de maneira a obter a melhor simplifica¸c˜ao. O sucesso deste m´etodo depende de se ter uma integral em que uma parte do integrando seja a derivada de uma outra parte, a menos de um fator constante (fatores constantes podem ser “ajustados”, como foi feito nos exemplos anteriores). Para resolver uma integral por este m´etodo, vocˆe deve, portanto, procurar partes do integrando que s˜ao derivadas de outras partes, como no primeiro exemplo, onde 2x ´e a derivada de x2 .

23.2

M´ etodo da substitui¸c˜ ao em integrais definidas

Vejamos agora o que acontece quando empregamos o m´etodo da substitui¸c˜ao para calcular ∫ 4 integrais definidas. Vamos examinar um exemplo bem simples e interpret´a-lo geometricamente. Calcular a integral 3 (x − 2)2 dx ´e equivalente a encontrar a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ ao y = (x − 2)2 , limitada pelas retas x = 3 e x = 4.(figura a seguir `a esquerda) Esta ´area ´e igual a ´area sob a curva y = x2 e entre as retas x =1 e x =2. (figura a seguir `a direita) 6

6

5

5

4

4

y3

y3

2

2

1

1

0

1

2

3 x

4

5

0

6

1

2

3 x

4

5

6

Isto ´e verdade porque o gr´afico da fun¸c˜ ao y = (x − 2) pode ser obtido a partir do gr´afico da fun¸c˜ao y = x2 por meio de uma transla¸c˜ ao, 2 unidades para direita. Neste caso, temos que 2

∫

∫

4

2

(x − 2)2 dx = 3

u2 du

(∗)

1

Esta identidade pode ser obtida aplicando-se o m´etodo∫da substitui¸c˜ao∫ para resolver a primeira integral. Assim, seja u = x − 2. Ent˜ ao, du = dx, e, desse modo, temos que (x − 2)2 dx = u2 du. Esta substitui¸c˜ ao, por´em, n˜ao resolve inteiramente o problema proposto. Para calcularmos a integral definida e, portanto, a ´area da regi˜ao representada por esta integral ´e necess´ario calcularmos os novos limites de integra¸c˜ao.

318

Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo M´etodo de Substitui¸c˜ao

Os limites de integra¸c˜ ao na primeira integral significam que queremos calcular a ´area sob o gr´afico da curva y = f (x), para x variando entre as retas x = 3 e x = 4. Mas, como u = x − 2 quando x varia de 3 at´e 4, u varia de 1 at´e 2, e da´ı, segue (*). 3 Neste ponto, observando que uma primitiva da fun¸c˜ao u2 ´e u3 , podemos aplicar o teorema fundamental do c´alculo para resolver a integral transformada e ent˜ ao obter a ´area procurada, como a seguir: ∫

∫

4

(x − 2)2 dx = 3

2

u2 du = 1

2 23 13 7 u3 = − = . 3 1 3 3 3

Um caminho alternativo para resolver este problema ´e usar o m´etodo da substitui¸c˜ao para integrais indefinidas, como foi descrito na se¸c˜ ao anterior, com o objetivo de encontrar uma primitiva da fun¸c˜ao que se quer integrar e, ent˜ao, usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do c´alculo para resolver ∫ o problema proposto. ∫ Assim,∫ como vimos acima, fazendo a substitui¸c˜ao u = x − 2 na integral (x − 2)2 dx obtemos a identidade (x − 2)2 dx = u2 du. Esta u ´ltima integral ´e f´acil de calcular. De fato, ∫ u3 u3 (x − 2)3 u2 du = + C , mas, +C = +C. 3 3 3 Assim, ∫ (x − 2)2 dx =

(x − 2)3 +C, 3

que ´e a primitiva que procur´avamos. ∫4 Para calcular a integral definida 3 (x − 2)2 dx basta, agora, usar esta primitiva e o teorema fundamental do c´alculo para obter ∫

4

4 (x − 2)3 (3 − 2)3 8 1 7 (4 − 2)3 (x − 2) dx = − = − = , = 3 3 3 3 3 3 3 2

3

como antes. Para aplicar o m´etodo da substitui¸c˜ ao para calcular integrais definidas temos, portanto, dois caminhos: 1. Podemos, fazendo uma substitui¸c˜ ao adequada, encontrar o novo integrando e os novos limites de integra¸c˜ao (estes novos limites v˜ao depender da substitui¸c˜ao empregada) e, ent˜ao, resolver o problema encontrando uma primitiva para o novo integrando e aplicando o teorema fundamental do c´alculo tendo em vista os novos limites de integra¸c˜ao. 2. Usar o m´etodo da substitui¸c˜ ao para encontrar uma primitiva da fun¸c˜ao original, isto ´e, resolver a integral indefinida voltando, ap´os a integra¸c˜ ao, `a vari´avel original do problema e, ent˜ao, usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do c´alculo para resolver a integral definida. Ilustramos estes dois caminhos no exemplo a seguir. ∫ 4 √ Exemplo Calcule a integral x x2 + 1 dx . 1

Solu¸ c˜ ao Para resolver esta integral devemos fazer a substitui¸c˜ao u = x2 + 1, obtendo du = 2 x dx . Pelo primeiro caminho, como u = u(x) = x2 + 1, ent˜ao, para x = 1 temos u = 2 e para x = 4, u = 17. Assim, ∫

4 1

( 3 ) 17 ∫ √ 3 3 1 17 √ 1 2 u 2 1 2 u du = x x + 1 dx = = [17( 2 ) − 2( 2 ) ] , 2 2 2 3 3 2

3 √ pois a fun¸c˜ao 2 u3 2 ´e uma primitiva de u. Pelo segundo caminho, temos: ∫ ∫ √ 3 1 √ 1 3 1 2 x x + 1 dx = u du = u( 2 ) + C = (x2 + 1)( 2 ) + C . 2 3 3

Assim,

∫

4

x 1

√

x2 + 1 dx =

3 4 3 3 1 2 1 (x + 1) 2 = [17( 2 ) − 2( 2 ) ] . 3 3 1

W.Bianchini, A.R.Santos

23.3

Exerc´ıcios

Resolva as ∫ (a) ∫ (b) ∫ (c) ∫ (d) ∫ (e)

23.4

319

seguintes integrais por substitui¸c˜ ao e verifique a sua resposta usando o MapleV e a subrotina changevar: ∫ 21 2x 3 ∫ sen(x) cos x dx √ (f) dx √ 2 √ 1−x (l) x2 1 + x dx ∫0 cos( x) ∫ √ dx (g) 8 x3 cos(x4 + 1) dx 4 x2 x √ (m) dx ∫ √ 3 (3 − 4 x3 )4 x ∫ x x2 + 1 dx √ (h) dx 2 + 3x √ 27 − 3 x2 √ 0 √ (n) dx ∫ 3 2 1+ x 1 + 4 x + 3 x 1 ∫ ) ( √ dx √ (i) (x + 1) 2 dx x (o) x2 + x4 dx ∫0 2 x 5 √ dx (j) (3 x + 2) dx x3 + 1

Problemas

1. Explique o aparente paradoxo:

∫ 2 Usando a linearidade da integral, temos que x + 1 dx = x2 + x + C. Resolvendo esta mesma integral usando a ∫ ∫ 2 2 +C. substitui¸c˜ ao u = x + 1, obtemos x + 1 dx = u du = u2 + C = (x+1) 2 ∫π ∫π 2. (a) Mostre que se m ̸= n, ent˜ ao, 0 cos(mx ) cos(nx ) dx = 0 sen(mx ) sen(nx ) dx = 0, por´em se m = n, ent˜ao, cada integral ´e igual a π2 . (b) Mostre que

∫π n i. Se n − m ´e impar, ent˜ ao 0 cos(mx ) sen(nx ) dx = n22−m 2 . ∫π ii. Se n − m ´e par, ent˜ ao 0 cos(mx ) sen(nx ) dx = 0 .

Sugest˜ ao: Use as identidades sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) √ 3. Ache a integral F (x) de x tal que F (9) = 9. ∫4 ∫2 4. (a) Se f ´e cont´ınua e 0 f (x) dx = 10, calcule 0 f (2 x) dx. ∫9 ∫3 (b) Se f ´e cont´ınua e 0 f (x) dx = 16, calcule 0 x f (x2 ) dx. ∫b ∫ −a (c) Se f ´e cont´ınua, mostre que a f (−x) dx = −b f (x) dx. ∫ 2 ∫ (d) Sabendo que f ´e cont´ınua em toda a reta e f (x − c) dx = 5, onde c ´e uma constante, calcule 1

∫

1 2

2−c

f (x) dx.

1−c

√

√ x dx. Sugest˜ ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao x = sen(y) e use identidades trigonom´etricas para 1 − x 0 resolver a integral resultante. ∫ π 6. Considere a integral definida I = x f (sen(x)) dx, onde f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua definida no intervalo [0, 1].

5. Calcule

√

0

Use a ∫substitui¸c˜ ao x = π − y para mostrar que π I = π2 0 f (sen(x)) dx.

23.5

Para vocˆ e meditar: Resolvendo integrais com o aux´ılio do Maple ou por que devo aprender t´ ecnicas de integra¸ c˜ ao?

Vocˆe pode verificar os resultados das integrais dos exemplos e exerc´ıcios apresentados neste cap´ıtulo usando o comando int(f(x),x) do Maple. Por exemplo: > Int(x^3*sqrt(x^4+2),x)=int(x^3*sqrt(x^4+2),x)+C; ∫ √ 1 x3 x4 + 2 dx = (x4 + 2)3/2 + C . 6 Ent˜ao vocˆe deve estar se perguntando: Por que devo aprender m´etodos de integra¸c˜ ao para resolver integrais t˜ ao complicadas, se elas podem ser resolvidas sem nenhum esfor¸co com o aux´ılio do Maple?

320

Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo M´etodo de Substitui¸c˜ao

Primeiro porque conhecer m´etodos gerais de integra¸c˜ao para um aluno de C´alculo ´e como aprender tabuada no ´ u primeiro ano do prim´ario. E ´til e economiza tempo. As m´aquinas devem ser utilizadas rotineiramente para ganhar tempo e facilitar as contas, n˜ao o contr´ ario. J´a imaginou se n˜ao tiv´essemos aprendido tabuada e, desse modo, fosse necess´ario recorrer a m´aquinas para calcular, por exemplo, 9 × 7? Que absurdo, n˜ao? Da mesma maneira, se vocˆe conhece um m´etodo que permita resolver uma integral, rapidamente, sem ser necess´ario ´ claro que, se a integral ´e muito complicada, vocˆe pode e deve utilizar os utilizar uma m´aquina, vocˆe ganha tempo. E recursos existentes. Embora muitos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ebrica tais como o Maple, venham sendo cada vez mais usados no c´alculo de integrais, eles n˜ao fazem milagres e nem substituem, gra¸cas a Deus, a inteligˆencia e a criatividade do homem. Neste texto veremos exemplos de algumas integrais que o Maple n˜ao ´e capaz de resolver. No entanto, podemos usar o Maple, inteligentemente, para executarmos passo a passo o m´etodo da substitui¸c˜ao. Isto ´e poss´ıvel porque o Maple possui uma subrotina, changevar(u = g(x), Int(f(x),x),u), que permite que se calculem integrais usando uma substitui¸c˜ ao de vari´aveis indicada por n´os. Esta sub-rotina pertence ao pacote student. Portanto, antes de utiliz´a-la, vocˆe precisa, primeiro, usar o comando with(student), como fazemos a seguir. > >

>

>

with(student): changevar(u=x^4+2,Int(x^3*sqrt(x^4+2),x),u); ∫ 1√ u du 4 value(%); 1 3/2 u 6 subs(u=x^4+2,%); 1 4 (x + 2)3/2 6

Nos cap´ıtulos seguintes veremos que existem integrais perfeitamente resolv´ıveis por substitui¸c˜ao, mas que o Maple e outros sistemas de computa¸c˜ ao alg´ebrica semelhantes n˜ao conseguem resolver. No entanto, se usarmos a sub-rotina acima, dizendo ao programa que substitui¸c˜ ao deve ser feita, a cada passo, “ensinamos” ao computador como calcular a integral em quest˜ao. Vocˆe poderia se imaginar como um professor de C´alculo do seu computador? Que bom que podemos pensar criativamente!