Casos Resolvidos de Teoria dos Jogos com Recurso ao Python
Carlos Pedro Gonçalves Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas (ISCSP), Universidade de Lisboa
[email protected]
Janeiro de 2016
1
Índice Introdução ......................................................................................................................... 3 Caso 1. Unidade de Investigação e Desenvolvimento ...................................................... 4 Caso 2. Emboscada e Contra-Emboscada ........................................................................ 5 Caso 3. Dois Lobbyists ..................................................................................................... 7 Caso 4. Jogo da Coligação................................................................................................ 7 Caso 5. Avança ou Recua (Chicken: versão modificada) ................................................. 8 Caso 6. Avança ou Recua Sequencial (Chicken: versão modificada) .............................. 8 Caso 7. Jogo da Coligação Modificado ............................................................................ 8 Caso 8. Jogo de Preços ..................................................................................................... 9 Caso 9. Jogo das Posições ................................................................................................ 9 Caso 10. Oferta Pública de Aquisição ............................................................................ 10 RESOLUÇÃO DOS CASOS ......................................................................................... 13 Resolução do Caso 1. ................................................................................................. 13 Resolução do Caso 2. ................................................................................................. 15 Resolução do Caso 3. ................................................................................................. 17 Resolução do Caso 4. ................................................................................................. 20 Resolução do Caso 5. ................................................................................................. 21 Resolução do Caso 6. ................................................................................................. 22 Resolução do Caso 7. ................................................................................................. 28 Resolução do Caso 8. ................................................................................................. 29 Resolução do Caso 9. ................................................................................................. 31 Resolução do Caso 10. ............................................................................................... 31
2
Introdução O presente texto pedagógico contém uma colecção de dez casos resolvidos de teoria dos jogos, o objectivo central do texto é servir de apoio à aprendizagem da teoria dos jogos, assim como exemplificar o uso de ferramentas informáticas no suporte à tomada de decisão estratégica. Nos casos apresentados ilustramos o uso do Gameplayer: um simulador de jogos finitos para suporte à tomada de decisão escrito em Python. O Gameplayer foi desenvolvido pelo autor do presente texto como ferramenta de suporte à tomada de decisão com aplicação da teoria dos jogos e como material pedagógico sobre Inteligência Artificial aplicada Tomada de Decisão em Python. O simulador pode ser aplicado a jogos simultâneos calculando automaticamente os equilíbrios de Nash em estratégias puras, ou a jogos sequenciais. O manual de utilizador, contendo uma descrição completa do simulador e exemplos de utilização com uma descrição detalhada dos algoritmos, pode ser obtido na seguinte página: https://sites.google.com/site/autonomouscomputingsystems/game-player A página principal do Gameplayer é: http://cpgoncalves.github.io/gameplayer/ Os utilizadores que não tenham o Python instalado no computador poderão resolver os exercícios online no seguinte link que exemplifica o código para o dilema do prisioneiro simultâneo e sequencial: https://trinket.io/python/7c9b7b7348 Em alternativa ao site acima também a janela de código também se encontra disponível no seguinte site: https://sites.google.com/site/autonomouscomputingsystems/game-player/prisonersdilemma Nos diferentes exercícios, ilustramos a utilização da linguagem, juntamente com a implementação à mão dos algoritmos de resolução dos jogos. Os casos ilustram diferentes aplicações e conceitos centrais da teoria dos jogos.
3
Caso 1. Unidade de Investigação e Desenvolvimento A empresa ARK, S.A. considera a possibilidade de autonomizar a sua Unidade de Investigação e Desenvolvimento (I&D) criando uma nova empresa integrando os recursos humanos da unidade de I&D e que prestaria serviços ligados a projectos de inovação à ARK e a clientes externos. Em termos de estrutura do capital existem três alternativas consideradas pela ARK:
Poderia constituir a nova empresa de I&D assumindo uma participação controladora de 60% do capital, ficando os restantes 40% sob o controlo dos recursos humanos presentemente afectos à Unidade de I&D; Poderia assumir uma participação de 50% do capital, ficando os restantes 50% sob o controlo dos recursos humanos da Unidade de I&D; Poderia assumir uma participação minoritária de 40% do capital, ficando os restantes 60% sob controlo dos recursos humanos da Unidade de I&D.
Na avaliação desta decisão, a empresa considera os seguintes factores:
Existe o risco associado à possibilidade de a nova empresa poder desenvolver projectos para outros clientes que conflituem, em termos de orçamento e timing, com os projectos da ARK; As prioridades da nova empresa poderão mudar com o evoluir do negócio; A motivação da parte dos recursos humanos para encontrar soluções inovadoras poderá depender fortemente do grau de controlo que venham a ter sobre a nova empresa.
A avaliação da decisão baseou-se numa avaliação financeira estratégica que teve em conta, para a ARK, o valor financeiro esperado (num horizonte previsional de 5 anos) obtido pela ARK, valor decorrente de:
Suporte aos projectos da ARK pela nova empresa; Valor obtido decorrente da participação financeira na nova empresa.
Teve-se, ainda, em atenção o modo como as alternativas de estrutura de participação de capitais e, logo, de influência sobre a governance da nova empresa, poderão afectar a performance e o desenvolvimento autónomo da mesma. Assim, também se realizou uma análise previsional do valor financeiro esperado da nova empresa decorrente das diferentes estruturas de capital e da decisão de dar prioridade sempre aos projectos da ARK ou, em alternativa, dar prioridade aos projectos em função do orçamento e timing. O resultado da análise, em forma de árvore de decisão, é apresentado abaixo (payoffs em milhares de euros).
4
Valor Financeiro Esperado (milhares de Euros) - Horizonte de 5 anos
ARK
Nova Empresa
Participação de 60%
Dá sempre prioridade a projectos da ARK
(4000,2000)
Dá sempre prioridade a projectos da ARK
(3500,2000)
Dá prioridade a projectos em função do orçamento e timing
(3000,3500)
Dá sempre prioridade a projectos da ARK
(4000,1500)
Dá prioridade a projectos em função do orçamento e timing
(3000,4000)
Participação de 50% Jogo
Participação de 40%
Face aos elementos acima fornecidos, responda às seguintes questões:
1. Caracterize o tipo de jogo associado a este problema estratégico. 2. Formule o jogo em linguagem Python. 3. Qual seria a solução do jogo encontrada pela inteligência artificial incorporada no simulador Gameplayer? 4. Interprete a solução final face ao problema decisional.
Caso 2. Emboscada e Contra-Emboscada Durante o Período dos Estados em Guerra no Japão (Período Sengoku, 戦国時代, (14671573 d.C.)), uma táctica militar frequentemente implementada consistia em atacar durante a noite o acampamento do inimigo com uma força mais fraca que perderia a batalha e recuaria para uma região estrategicamente escolhida, deixando pistas ou estimulando o inimigo a seguir essa força mais fraca para cair numa emboscada. Na perspectiva do atacado, o problema fundamental que se colocava face a um ataque nocturno consistia em saber se deveria seguir o inimigo procurando explorar a oportunidade de obter uma victória total sobre a força atacante, arriscando uma 5
emboscada nocturna, ou, pelo contrário, se deveria permanecer no acampamento não seguindo a força adversária. Tendo em atenção este contexto, assuma-se o seguinte caso exemplar: O acampamento de Fudoshin Nishida foi atacado numa noite de lua cheia, sem nuvens, tendo o exército de Nishida vencido a força atacante, este pretende avançar atrás da força inimiga ponderando entre duas opções alternativas:
Enviar o seu exército atrás da força inimiga em retirada, assumindo que não existirá emboscada; Dividir o seu exército em duas forças, uma que seguiria de perto a força inimiga e outra que deixaria um espaço suficiente, seguindo posteriormente para ganhar vantagem em caso de emboscada, montando assim uma contra-emboscada.
Quanto ao atacante, tem também duas alternativas:
Montar uma emboscada com ordens para atacar de imediato; Montar uma emboscada com ordens de esperar para ver se existe uma segunda força adversária e só então atacar.
Tendo em atenção este contexto estratégico, o treino militar e o tamanho de ambos os exércitos temos os seguintes resultados:
Se Nishida enviar um exército único atrás do adversário em fuga e a força inimiga oculta atacar de imediato, o inimigo tem vantagem em termos de timing e de efeito surpresa, caso em que Nishida perde e o inimigo ganha; Se Nishida enviar um exército único atrás do adversário em fuga e a força inimiga esperar para atacar, neste caso, Nishida poderá vencer a força inimiga em retirada, resultando num equilíbrio maior ao nível de forças militares em confronto, tal que ambas as forças sofrem perdas sem que nenhuma ganhe vantagem sobre a outra (resultado nulo para ambos os lados); Se Nishida enviar duas forças militares montando uma contra-emboscada e a força inimiga atacar de imediato, então a força inimiga será surpreendida por uma contra-emboscada da parte de Nishida, perdendo o confronto, cenário em que Nishida ganhará e a força inimiga perderá; Se Nishida enviar duas forças militares montando uma contra-emboscada e a força inimiga esperar, então, haverá uma vez mais equilíbrio de forças (resultado nulo para ambos os lados).
Face aos elementos acima fornecidos, responda às seguintes questões: 1. 2. 3. 4.
Caracterize o tipo de jogo associado a este problema estratégico. Construa a matriz do jogo. Formule o jogo em linguagem Python. Qual seria a solução do jogo encontrada pela inteligência artificial incorporada no Gameplayer? 5. Interprete a solução final face ao problema decisional.
6
Caso 3. Dois Lobbyists Um lobbyist procura influenciar o Senado dos EUA a discutir e aprovar uma proposta de lei, um segundo lobbyist procura influenciar o mesmo Senado contra essa proposta. Prevê-se uma divisão do Senado, em relação à proposta. Ambos os lobbyists estão a considerar contactar um Senador que poderá influenciar o processo. Se um dos lobbyists contactar o Senador e o outro não, então aquele que contactar o Senador poderá conseguir vantagem para o seu lado. Se ambos contactarem o Senador prevê-se que se anulem mutuamente, mantendo-se a incerteza em relação à aprovação da lei, cenário que também se verifica caso nenhum dos lobbyists contacte o Senador. Face aos elementos acima fornecidos, responda às seguintes questões: 1. 2. 3. 4.
Caracterize o tipo de jogo associado a este problema estratégico. Construa a matriz do jogo. Formule o jogo em linguagem Python. Qual seria a solução do jogo encontrada pela inteligência artificial incorporada no Gameplayer? 5. Interprete a solução final face ao problema decisional. 6. Assuma que o lobbyist que tem interesse em que o Senado aprove a proposta de lei tem um informador no gabinete do lobbyist que tem a posição contrária, apenas contactando o Senador após saber a escolha final deste último. Por seu turno, assuma também que o lobbyist que tem a posição contrária desconfia de uma fuga de informação, sabendo que o que quer que decida, o seu oponente no jogo saberá. Tendo em atenção esta modificação do jogo, responda às seguintes questões: a. Reformule o jogo em linguagem Python. b. Resolva o jogo com esta nova configuração analisando a solução final.
Caso 4. Jogo da Coligação Considere o seguinte jogo escrito em Python, utilizando o simulador Gameplayer.
Tendo em atenção o código acima, responda às seguintes questões: 1. Formule a árvore de decisão correspondente ao código acima representado. 7
2. Calcule a solução do jogo pelo método da poda dos ramos. 3. Analise a solução final do jogo
Caso 5. Avança ou Recua (Chicken: versão modificada) Considere o seguinte jogo simultâneo escrito em Python utilizando o simulador Gameplayer.
Tendo em atenção o código acima, responda às seguintes questões: 1. Calcule o equilíbrio de Nash em estratégias puras. 2. Compare com aquele que seria o resultado no caso do jogo do Chicken em que se considera (-2, -2) em vez de (-1,-1) como o resultado para a configuração estratégica: (Avança, Avança).
Caso 6. Avança ou Recua Sequencial (Chicken: versão modificada) Dado o jogo do caso 5., formule a sua versão sequencial em Python e corra o programa interpretando o resultado final.
Caso 7. Jogo da Coligação Modificado Modifique o jogo da coligação assumindo que:
Os dois jogadores coligados podem ganhar ao atacante; O atacante pode decidir atacar ou não.
Resolva o jogo em Python e corra o programa interpretando o resultado final.
8
Caso 8. Jogo de Preços Três empresas competem pelo mesmo nicho de mercado. Uma das empresas, a líder, tem espaço de manobra em termos de política de preços entre subir, manter ou baixar os preços. Cada uma das rivais pode optar por seguir a líder ou fazer o oposto da líder, nomeadamente:
Se a líder mantiver o preço ou subir as rivais consideram baixar o preço ou, em alternativa, seguir a líder; Se a líder baixar o preço as rivais consideram subir o preço ou, em alternativa, seguir a líder.
Os resultados previstos em termos de lucros para a líder são os seguintes:
Se a líder subir o preço e as duas rivais seguirem a líder, então, a líder tem um lucro previsto de cerca de 3 milhões de Euros. Se a líder subir o preço e apenas uma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 2.5 milhões de Euros. Se a líder subir o preço e nenhuma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 2 milhões de Euros. Se a líder mantiver o preço e as duas rivais seguirem a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 3.5 milhões de euros. Se a líder mantiver o preço e apenas uma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 3 milhões de euros. Se a líder mantiver o preço e nenhuma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 2.5 milhões de euros. Se a líder baixar o preço e as duas rivais seguirem a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 1.6 milhões de euros. Se a líder baixar o preço e apenas uma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto de 2.5 milhões de euros. Se a líder baixar o preço e nenhuma das rivais seguir a líder, então, a líder tem um lucro previsto e 3.5 milhões de euros.
Assumindo que as rivais conseguem suportar uma guerra de preços e que o objectivo estratégico das rivais é que a líder tenha o pior resultado possível, formule o jogo acima em Python e corra o programa, interpretando o resultado final.
Caso 9. Jogo das Posições Dado o código em Python abaixo, corra o código online e interprete os equilíbrios de Nash. 9
Caso 10. Oferta Pública de Aquisição A empresa A está a considerar a possibilidade de realizar uma oferta pública de aquisição (OPA) à empresa B. A empresa B situa-se numa indústria em que existem sinergias em relação ao core business da empresa A, o valor estimado das sinergias situa-se em 2 milhões de euros. A empresa B tem vindo a ter problemas ao nível da sua performance financeira, tendo tido de desinvestir em algumas linhas de negócio e de concentrar a sua actividade no seu core business. Este desinvestimento visa também suprir necessidades financeiras ao nível da capacidade de suportar investimentos estratégicos no seu core business. Caso a empresa A lance a OPA, e a mesma seja bem sucedida, prevê-se que a empresa B seja reestruturada com uma focagem estratégica na valorização das sinergias com a empresa A, contribuindo para uma subida do valor da empresa A após aquisição. A empresa B tem, contudo, 45% do capital disperso nas mãos de pequenos accionistas e 55% do capital concentrado, em iguais partes (27.5%), nas mãos de dois accionistas maioritários, o Director Geral e o Director Financeiro, que constituem o topo da governance da empresa, um dos quais (o Director Geral) se prevê que se pudesse opor à OPA. Não é garantido que a empresa A seja, assim, bem sucedia na OPA, dependendo, o resultado final da OPA, do comportamento da governance da empresa B.
10
Em termos de previsão dos analistas financeiros da Empresa A, o valor de base de uma OPA bem sucedida permitiria à empresa A ter acesso a 51% do capital da empresa B assumindo os 27.5% do director financeiro e 23.5% das acções de pequenos accionistas. Nestas circunstâncias, se não houvesse oposição do Director Geral à OPA, mesmo que este mantivesse a sua participação de 27.5% e a sua posição como Director Geral, a empresa A beneficiaria do ganho máximo de 2 milhões de euros decorrentes das sinergias (ou seja o valor das duas empresas excederia a soma aritmética dos actuais valores das duas empresas em 2 milhões de euros). Contando com a reestruturação da empresa B, a previsão de uma OPA bem sucedida seria de uma subida do valor conjunto das duas empresas que acrescentaria mais 1 milhão de euros em termos de valor actual líquido (VAL) esperado no espaço de um ano aos 2 milhões de euros decorrentes das sinergias. Contudo, os mesmos analistas financeiros da empresa A prevêem que o Director Geral se viesse a opor à OPA pretendendo manter o controlo da empresa, o que significa que tudo dependeria do comportamento do Director Financeiro face a essa oposição. Os custos que a empresa A terá se suportar com a OPA poderão ascender a:
2.5 milhões de euros caso o Director Financeiro se junte ao Director Geral na oposição à OPA, neste cenário a empresa A nunca conseguirá uma participação dominante, nem implementar a reestruturação; 2 milhões de euros caso Director Financeiro não se junte ao Director Geral na oposição à OPA mas mantenha uma posição neutra, neste cenário a empresa A não conseguirá também uma participação dominante, e a reestruturação terá de ter o acordo do Director Financeiro; 2 milhões de euros no cenário em que se torna possível negociar com o Director Financeiro de modo a este estar disposto a vender a sua participação à empresa A, neste cenário conseguirá implementar a reestruturação, sendo a OPA bem sucedida.
Para o Director Financeiro existem três alternativas:
Se se alinhar com o Director Geral contra a OPA, o Director Financeiro da empresa B mantem o controlo da empresa juntamente com este, reforçando a sua posição na liderança da empresa (numa escala de 1 a 5 de importância estratégica para o Director Financeiro este reforço tem um valor de 4, na perspectiva dos analistas da empresa A); Se se mantiver neutro, tem a vantagem de poder servir de ponte entre duas posições fortes na liderança da empresa a do Director Geral e a da empresa A, podendo eventualmente conseguir controlar o processo de reestruturação e assumir um papel chave no futuro da empresa (numa escala de 1 a 5 a importância estratégica para o Director Financeiro neste cenário, segundo os analistas da empresa A, tem um valor de 5); Se for favorável à OPA e estiver disposto a vender a sua participação, o Director Financeiro perderá uma participação dominante na empresa e ficará dependente de uma nova administração, nomeada pela empresa A (o valor estratégico neste caso é avaliado como sendo igual a 3); 11
Uma proposta alternativa para a empresa A, segundo a equipa de analistas, poderia ser: deixar que o Director Financeiro mantivesse a sua participação e procurar um acordo com o mesmo de tal modo que em reunião do Conselho de Administração este fosse eleito como novo Director Geral da empresa B, apoiando a empresa A na OPA e no processo de reestruturação (o valor estratégico para o Director Financeiro seria, segundo os analistas, de 5, caso este aceitasse), contudo, existe também o risco das negociações falharem e o Director Financeiro se alinhar com o Director Geral contra a OPA cimentando ainda mais a sua posição na empresa em termos de relação com o Director Geral (os analistas também avaliam neste caso, o resultado final para o Director Financeiro como sendo também igual a 5).
Face a estes dados, deverá a empresa A avançar com a OPA? Justifique a sua resposta.
12
RESOLUÇÃO DOS CASOS Resolução do Caso 1. Comentário inicial: O caso 1 da empresa ARK é um caso muito específico no seio da teoria dos jogos, dado que o segundo jogador é criado pelo primeiro: trata-se de uma nova empresa criada pela primeira, incorporando recursos humanos que trabalham para a primeira empresa e que passarão a incorporar os quadros do pessoal da nova empresa. Estamos perante um caso de decisão estratégica acerca da própria estrutura de governance da nova empresa, e do modo como diferentes estruturas de governance poderão afectar o modo como a nova empresa desenvolve a sua estratégia. Respondendo agora às questões:
1. Estamos perante um jogo sequencial dado que a ARK terá de decidir primeiro acerca da estrutura de capital da nova empresa, dependendo as estratégias escolhidas pela nova empresa dessa mesma estrutura de capital. 2. Dado que estamos perante um jogo sequencial, a formulação do mesmo em Python, utilizando o simulador Gameplayer, face ao enunciado do caso, seria:
No código acima na lista “plays” o “jogador 0” corresponde à ARK enquanto o “jogador 1” corresponde à nova empresa.
3. Utilizando o método da poda dos ramos com o critério MaxMin, incorporado no Gameplayer, teríamos, primeiro, de avaliar as escolhas do jogador 1, trabalhando a árvore do fim para o princípio.
13
Assim, analisando a árvore original e cortando os ramos que não seriam escolhidos pelo jogador 1 obtém-se a seguinte árvore:
Jogo
Valor Financeiro Esperado (milhares de Euros) Horizonte de 5 anos
ARK
Nova Empresa
Participação de 60%
Dá sempre prioridade a projectos da ARK
(4000,2000)
Participação de 50%
Dá prioridade a projectos em função do orçamento e timing
(3000,3500)
Participação de 40%
Dá prioridade a projectos em função do orçamento e timing
(3000,4000)
As escolhas da ARK serão então entre:
Um valor financeiro esperado de 4000, decorrente de uma participação de 60%, caso em que a nova empresa dará sempre prioridade a projectos da ARK; Um valor financeiro esperado de 3000, decorrente de uma participação financeira de 50%, caso em que a nova empresa dará prioridade a projectos em função do orçamento e do timing; Um valor financeiro esperado de 3000, decorrente de uma participação financeira de 40%, caso em que a nova empresa dará prioridade a projectos em função do orçamento e do timing.
Face a estas alternativas, aplicando a poda dos ramos à ARK obteríamos a árvore final:
Jogo
ARK
Nova Empresa
Participação de 60%
Dá sempre prioridade a projectos da ARK
Valor Financeiro Esperado (milhares de Euros) Horizonte de 5 anos
(4000,2000)
Existe, assim, apenas uma solução para o jogo: a ARK assume uma participação de 60% e a nova empresa dá sempre prioridade a projectos da ARK. 4. A configuração final, em termos de governance, implica que a ARK detém o controlo da nova empresa o que significa que a nova empresa trabalha para a ARK como seu principal cliente podendo também aceitar projectos paralelos criadores de valor financeiro, mas esses projectos nunca poderão conflituar com o trabalho para a ARK. A decisão de controlo financeiro dominante implica que os recursos 14
humanos afectos à nova empresa estejam sempre alinhados com os interesses estratégicos da ARK, impedindo uma situação em que a nova empresa pudesse crescer e autonomizar-se em termos estratégicos e financeiros em relação à ARK não conduzindo às sinergias cooperativas pretendidas pela ARK. Por outro lado, a participação dominante impede eventuais tentativas de aquisição hostil da nova empresa (risco que estaria presente principalmente no cenário em que a participação da ARK fosse minoritária).
Resolução do Caso 2. Comentário inicial: O caso 2 permite ilustrar como a teoria dos jogos pode ser aplicada em contextos de análise táctica, trabalhando um caso exemplar retirado dos manuais de táctica militar na transição do período dos Estados em Guerra para o período Edo em que o Japão foi unificado sob o Xogunato Tokugawa. Neste caso, temos, para um mesmo objectivo estratégico, diferentes tácticas. No contexto da estratégia, a táctica corresponde à combinatória dos meios e dinâmica no terreno que permite cumprir com uma determinada estratégia. Respondendo agora às questões: 1. Estamos perante um jogo em que existe incerteza e em que os jogadores têm de decidir o que fazer sem saber as decisões do outro não podendo reverter as suas decisões, logo, o jogo é simultâneo. Face às descrições dos resultados, também estamos perante um jogo de soma nula, no sentido em que ou existe resultado nulo para ambos (ambos ganham e ambos sofrem perdas, compensando-se) ou então se um ganha o outro perde e vice-versa. 2. Face ao enunciado, podemos formular o jogo na forma de matriz como se segue: Nishida
Envia exército único Monta contraemboscada
Inimigo Ataca de imediato -1,+1 +1,-1
Espera 0,0 0,0
3. Em Python, a formulação do jogo é:
15
4. Construindo o diagrama de fluxo de jogo obtemos:
Envia exército único, Ataca de imediato (-1,+1)
Monta contraemboscada,
Envia exército único, Espera
Ataca de imediato (0,0) (+1,-1)
Monta contraemboscada, Espera (0,0)
A configuração “Monta contra-emboscada, Espera” é a única alternativa em que cada jogador não ganha mais mudando unilateralmente a sua escolha. Assim, trata-se do equilíbrio de Nash do jogo. 5. O equilíbrio de Nash corresponde, neste caso, a um equilíbrio táctico, no sentido em que, em termos estratégicos, ambos os jogadores visam a perda máxima do outro, implementando uma estratégia de emboscada. Em termos tácticos, para Nishida, a melhor escolha é enviar duas forças em vez de uma só, dado que ou ganha, tirando partido de uma dinâmica de contra-emboscada, ou fica com ganho nulo. Assim, esta táctica tem, no jogo, uma dominância fraca sobre a alternativa de enviar exército único. Para o inimigo não existe uma estratégia dominante, é mais vantajoso atacar de imediato quando Nishida envia um exército único ou esperar quando Nishida monta contra-emboscada (enviando dois exércitos). Contudo, dado que, no jogo, a táctica das duas forças é dominante para Nishida, 16
a única solução que resta, no contexto deste jogo, para o inimigo é esperar. O que explica o equilíbrio de Nash.
Resolução do Caso 3. 1. Estamos perante um jogo simultâneo dado que quando cada um dos jogadores decide e age não conhece a decisão do outro e de soma nula dado que ou têm ambos ganho nulo ou quando um dos jogadores ganha o outro perde e vice-versa. 2. A matriz de jogo, neste caso, é dada por: Lobbyist a favor do projecto de lei Contacta o Senador Não contacta o Senador
Lobbyist contra o projecto de lei Contacta o Senador 0,0 -1,+1
Não contacta o Senador +1,-1 0,0
3. A formulação do jogo em Python seria, neste caso:
4. Se considerarmos a matriz de jogo podemos verificar que, para qualquer um dos jogadores, contactar o Senador é estritamente dominante em relação à alternativa, Logo, a estratégia final de contactar o Senador é a estratégia escolhida por cada um. Podemos confirmar este resultado no diagrama de fluxo de jogo apresentado na página seguinte.
17
Contacta Senador, Contacta Senador (0,0)
Contacta Senador,
Não contacta Senador,
Não contacta Senador
Contacta Senador
(+1,-1)
(-1,+1)
Não contacta Senador, Não contacta Senador (0,0)
5. Existe, neste jogo, sempre uma vantagem estratégica em contactar o Senador, dado que ou se ganha (se o outro jogador decidir não contactar o Senador) ou se anula a vantagem do oponente. 6. Se o lobbyist a favor do projecto de lei sabe o que o outro decide apenas jogando após a jogada do primeiro, e o outro sabe que é assim (conceito de common knowledge), temos, agora, um jogo sequencial de soma nula em que joga primeiro o lobbyist que é contra a aprovação do projecto de lei e em segundo lugar joga o lobbyist que é a favor. Respondendo então às questões colocadas: a. Em linguagem Python o jogo seria, agora:
18
Neste caso, assumimos que o jogador 0 é o lobbyist contra o projecto de lei e o jogador 1 é o lobbyist a favor do projecto de lei. b. A árvore de jogo correspondente ao código acima é: Lobbyist contra o projecto de lei
Contacta Senador
Lobbyist a favor do projecto de lei
Resultados
Contacta Senador
(0,0)
Não contacta Senador
(+1,-1)
Contacta Senador
(-1,+1)
Não contacta Senador
(0,0)
Jogo Não contacta Senador
A primeira fase da poda dos ramos conduz à árvore: Lobbyist contra o projecto de lei
Lobbyist a favor do projecto de lei
Contacta Senador
Contacta Senador
(0,0)
Não contacta Senador
Contacta Senador
(-1,+1)
Resultados
Jogo
Logo, é, uma vez mais, sempre melhor para o lobbyist que representa interesses a favor do projecto de lei contactar o Senador (estratégia dominante no sentido estrito). Para o lobbyist que representa os interesses contra o projecto de lei é preferível contactar o Senador, anulando a vantagem do seu oponente, logo, a solução final é dada por:
Jogo
Lobbyist contra o projecto de lei
Lobbyist a favor do projecto de lei
Resultados
Contacta Senador
Contacta Senador
(0,0)
Assim, o equilíbrio de Nash em estratégias dominantes do jogo simultâneo corresponde também à solução final para o jogo sequencial.
19
Resolução do Caso 4. 1. Recupere-se o código:
Estamos perante um jogo sequencial com três jogadores. Segundo a lista plays o Jogador 0 tem a primeira jogada, segue-se-lhe o Jogador 1 e no fim o Jogador 2. A árvore tem, assim, três níveis, com a seguinte configuração:
Jogador 0
Propõe coligação Jogo Não propõe coligação
Jogador 1
Jogador 2
Resultados
Aceita coligação
Ataca
(-1,-1,2)
Rejeita coligação
Ataca
(-2,-2,4)
Ataca
(-2,-2,4)
Temos um contexto de interacção estratégica em que o terceiro jogador (Jogador 2) ataca em qualquer circunstância e em qualquer circunstância ganha, pois o seu payoff é sempre positivo e a soma do seu payoff com o dos restantes dois jogadores é sempre igual a zero. Assim, estamos perante uma situação de conflito estrito entre o Jogador 2 e os restantes dois jogadores. Contudo, as escolhas dos restantes dois jogadores poderão condicionar o tipo de vitória para o Jogador 2. Consequentemente, o Jogador 0 poderá optar tomar a iniciativa de propor ao Jogador 1 uma coligação contra o Jogador 2, caso em que o Jogador 1 poderá ou não aceitar coligar-se no conflito contra o Jogador 2. Se o Jogador 0 não propuser uma coligação então não existem opções alternativas para o Jogador 1, logo, segue-se directamente para o ataque do Jogador 2. 2. Dado que o Jogador 2 ataca sempre, da análise das acções do Jogador 2 resulta a árvore original. Considerando as alternativas para o Jogador 1 a árvore após se aplicar o método da poda dos ramos é dada por:
20
Jogador 0
Jogador 1
Jogador 2
Resultados
Propõe coligação
Aceita coligação
Ataca
(-1,-1,2)
Ataca
(-2,-2,4)
Jogo Não propõe coligação
Para o Jogador 0 resta então escolher entre propor a coligação ou não propor, dado que propor a coligação conduz a uma perda menor (e a uma vitória menor para o atacante), a solução final é Jogador 0 propõe coligação, Jogador 1 aceita e Jogador 2 ataca conduzindo a uma perda de -1 para o Jogador 0 e para o Jogador 1 e a uma vitória de 2 para o Jogador 2.
3. Neste caso, estamos perante uma situação em que existe uma relação assimétrica entre os jogadores. Os Jogadores 0 e 1 não se encontram numa relação de conflito estrito. O Jogador 2 encontra-se numa relação de conflito estrito com os restantes dois considerados em conjunto. Estamos perante um atacante mais forte que, logo, tem vantagem. Face à árvore de jogo os Jogadores 0 e 1 sabem à partida que irão perder, trata-se, então, de perder por menos, e perdem por menos se se coligarem, logo, conduzindo a uma vitória menor para o Jogador 2.
Resolução do Caso 5. 1. Construindo o diagrama de fluxo de jogo temos:
Avança, Avança -1,-1
Avança, Recua
Recua, Avança
+1,-1
-1,+1
Recua, Recua 0,0
21
Existem, neste caso, três equilíbrios de Nash em estratégias puras: (Avança, Avança), (Avança, Recua) e (Recua, Avança). 2. Se na configuração (Avança, Avança) ambos os jogadores tivessem um payoff de -2 em vez de -1, então, passariam a haver somente dois equilíbrios de Nash em estratégias puras: (Avança, Recua) e (Recua, Avança), conforme se demonstra no seguinte diagrama de fluxo de jogo:
Avança, Avança -2,-2
Avança, Recua
Recua, Avança
+1,-1
-1,+1
Recua, Recua 0,0
Resolução do Caso 6. Em Python a formulação seria:
Se corrermos este código obtemos como solução final: Avança->Avança: [-1, -1] Avança->Recua: [1, -1]
Podemos confirmar este resultado considerando a análise realizada pelo Gameplayer apresentada nas duas páginas seguintes. 22
Avança->Avança: [-1, -1] Avança->Recua: [1, -1] Recua->Avança: [-1, 1] Recua->Recua: [0, 0] Evaluating Level 1 I'm player 1 playing at level 1 Looking at alternatives: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] For these alternatives my highest payoff is -1 Looking at alternatives: Recua->Avança : [-1, 1] Recua->Recua : [0, 0] For these alternatives my highest payoff is 1 My choices are: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Recua->Avança : [-1, 1] Evaluating Level 0 I'm player 0 playing at level 0 I have the following strategy classes: Class 1 Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Class 2 Recua->Avança : [-1, 1] For these classes, the MaxMin of my payoffs is -1 The alternatives whose lowest payoff is highest Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Recua->Avança : [-1, 1] The above are the preferred alternatives My choices are: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1]
23
Final Choices: Avança->Avança: [-1, -1] Avança->Recua: [1, -1]
Na primeira secção da análise do Gameplayer temos a representação da árvore: Avança->Avança: [-1, -1] Avança->Recua: [1, -1] Recua->Avança: [-1, 1] Recua->Recua: [0, 0]
Em esquema:
Jogador 0
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,-1)
Recua
(+1,-1)
Avança
(-1,+1)
Recua
(0,0)
Avança Jogo Recua
Na parte seguinte, o computador analisa a posição do Jogador 1 que joga no fim da árvore (neste caso, estamos perante uma árvore de dois níveis, logo, a análise refere-se ao nível 1): Evaluating Level 1 I'm player 1 playing at level 1
Analisando as melhores escolhas do Jogador 1 que joga no nível 1, o computador começa por analisar as alternativas: Looking at alternatives: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1]
Estas alternativas correspondem ao subjogo:
24
Jogador 0
Subjogo
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,-1)
Recua
(+1,-1)
Avança
Neste caso o computador afirma: For these alternatives my highest payoff is -1
Esta afirmação significa que o computador selecionou, na análise do subjogo, todas as alternativas com o payoff mais elevado (neste caso -1). Dado que existem apenas duas alternativas, ambas com o payoff de -1, não foram cortados ramos neste subjogo. Após realizar a análise anterior, o computador passa ao segundo subjogo para o Jogador 1 (aquele que resulta dos ramos em que o Jogador 0 selecciona a alternativa “Recua”): Looking at alternatives: Recua->Avança : [-1, 1] Recua->Recua : [0, 0] For these alternatives my highest payoff is 1
Em árvore temos: Jogador 0
Subjogo
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,1)
Recua
(0,0)
Recua
Neste caso, o computador selecciona a alternativa cujo o payoff é igual a 1 (payoff mais elevado).
Não existindo mais subjogos para o Jogador 1, o computador termina a análise desse jogador e reporta a árvore com a poda dos ramos para o Jogador 1 (decorrente das escolhas desse jogador):
25
My choices are: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Recua->Avança : [-1, 1]
Em esquema temos assim: Jogador 0
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,-1)
Recua
(+1,-1)
Avança
(-1,+1)
Avança Jogo Recua
É esta a árvore que o Jogador 0 tem de analisar (a árvore que resulta da antecipação das escolhas do Jogador 1 assumindo o critério de racionalidade adaptativa do Jogador 1). O computador reporta então o início da avaliação do Jogador 0. Evaluating Level 0 I'm player 0 playing at level 0
O computador começa por identificar que tem duas classes de estratégias alternativas correspondentes aos dois subjogos: I have the following strategy classes: Class 1 Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Class 2 Recua->Avança : [-1, 1]
Existe incerteza estratégica para o Jogador 0, pois, quando o Jogador 1 decide avançar, este último pode optar por avançar ou por recuar, conduzindo a diferentes payoffs para o Jogador 0. Neste caso o método de decisão, incorporado na decisão da Inteligência Artificial programada no simulador Gameplayer, minimiza o risco de perda e procura dentro das classes que minimizam esse risco aquela que dá acesso a uma oportunidade de ganho máximo (no caso em que não existe incerteza, este método coincide com a poda dos ramos tradicional), estamos assim perante um método de poda dos ramos com um critério MiniMax incorporado no contexto de decisão em contexto de incerteza estratégica (este método reduz-se à poda dos ramos simples nos casos em que não existe incerteza estratégica). 26
Na Classe 1, o Jogador 0 opta pela alternativa “Avança”, na Classe 2, opta pela alternativa “Recua”. Na Classe 1, os payoffs para o Jogador 0 são -1 (quando o Jogador 1 opta também por avançar) ou 1 (quando o Jogador 1 opta por recuar), o mínimo dos seus payoffs neste caso é -1. No caso da Classe 2, o Jogador 0 não tem incerteza, sabe que vai receber -1, logo, o mínimo da Classe 2 é também -1 (min{-1} = -1). Tendo em atenção este ponto sendo os mínimos -1 para a Classe 1 e -1 para a Classe 2, o máximo dos mínimos (MaxMin) é -1. Assim, temos as seguintes classes cujos mínimos são mais elevados (classes préseleccionadas): Classe 1 e Classe 2 (se houvesse, por exemplo, uma terceira classe com um mínimo de -2, essa classe não teria um mínimo igual ao MaxMin, logo não seria préseleccionada para análise posterior). O computador pré-selecciona as classes MaxMin (as classes de estratégias cujos resultados mínimos são os mais elevados), assim, as perdas para o jogador correspondente são minimizadas. O cálculo do MaxMin e a pré-selecção são comunicadas na parte seguinte do output da análise:
For these classes, the MaxMin of my payoffs is -1 The alternatives whose lowest payoff is highest Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1] Recua->Avança : [-1, 1] The above are the preferred alternatives
Analisando as classes acima, o computador vai, agora, seleccionar a classe que lhe conduz à possibilidade de ganho mais elevado. No caso da Classe 2 existe apenas um resultado possível -1, no caso da Classe 1, existem dois resultados -1 ou 1. Assim, o computador vai seleccionar a Classe 1 pois poderá vir a obter o ganho máximo (ganho de 1). Assim, as escolhas do Jogador 0 são comunicadas como correspondendo às alternativas da Classe 1 (Jogador 0 decide avançar): My choices are: Avança->Avança : [-1, -1] Avança->Recua : [1, -1]
A árvore final (solução do jogo) é, então, comunicada pelo computador: Final Choices: Avança->Avança: [-1, -1] Avança->Recua: [1, -1]
Em esquema:
27
Jogador 0
Jogo
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,-1)
Recua
(+1,-1)
Avança
Temos, assim, explicada a resolução do jogo pelo computador Analisando este resultado final, recupere-se a árvore decorrente da poda dos ramos pelo Jogador 1: Jogador 0
Jogador 1
Resultados
Avança
(-1,-1)
Recua
(+1,-1)
Avança
(-1,+1)
Avança Jogo Recua
Podemos verificar face à árvore acima que resulta da análise das escolhas do Jogador 1, um ponto fundamental: para o Jogador 0 a estratégia Avança é sempre mais vantajosa, pois, ou conduz a um resultado igual ou melhor, logo, temos uma estratégia dominante no sentido fraco. Assim, em situação de indiferença no ramo superior é possível que ambos avancem.
Resolução do Caso 7. A modificação dos payoffs e das estratégias de jogo tem de manter a situação de conflito estrito (logo de soma nula) entre o atacante e os restantes dois jogadores. Neste caso, quando os dois jogadores se coligam, se o terceiro jogador (Jogador 2) atacar perde o jogo, logo, os dois jogadores (Jogador 0 e Jogador 1) ganham (+1 para cada um) e o atacante perde (-2), esta é a primeira modificação que temos de fazer ao jogo da questão 4., a segunda modificação é a possibilidade de escolha do atacante, caso não ataque o resultado é 0 para todos (não chega a haver confronto). O código seguinte em Python sintetiza a árvore de jogo:
28
Correndo o código Python podemos confirmar que o resultado final é a alternativa: [“Propõe coligação”, “Aceita coligação”, “Não ataca”], [0,0,0] Esta alternativa corresponde a um resultado em que a cooperação constitui uma defesa dissuasora do ataque de um agente mais forte do que cada alvo dividido mas mais fraco do que os alvos coligados.
Resolução do Caso 8. O contexto decisional do caso 8 tem uma componente de jogo sequencial e uma componente de jogo simultâneo em contexto de incerteza, dado que as escolhas das duas rivais é posterior à escolha da líder mas as escolhas das duas rivais é simultânea e, logo, independente. Deste modo, temos de dividir o jogo em jogos simultâneos, e no fim trabalhar com os equilíbrios de Nash para a construir a árvore de jogo para a líder. Considerando, então, os diferentes cenários para as rivais, temos três cenários alternativos:
Líder sobe o preço; Líder mantém o preço; Líder baixa o preço.
Assumindo, que o objectivo das rivais é que a líder tenha o menor lucro possível, então, neste jogo, o lucro esperado da líder é uma perda estratégica das rivais. Face ao enunciado, se a líder subir o preço, as rivais têm de jogar o seguinte jogo simultâneo:
29
Se corrermos o código de Python acima, podemos verificar que o equilíbrio de Nash é único: nenhuma das rivais segue a líder. Dado que neste caso têm a perda menor (-2, -2), o que corresponde a um lucro para a líder de 2. No segundo cenário (líder mantém preço), face aos valores do enunciado, o jogo, para as rivais, passa a ser:
O equilíbrio de Nash mantém-se o mesmo neste segundo cenário: nenhuma das rivais segue a líder. Conduzindo a uma perda de -2.5 para ambas as rivais. No terceiro cenário (líder baixa o preço), face aos valores do enunciado, o jogo, para as rivais, passa ser:
Neste terceiro cenário, o equilíbrio de Nash corresponde a ambas as empresas seguirem a líder. Conduzindo a uma perda estratégica de -1.6 para ambas as rivais. Importa relevar que neste caso a estrutura dos jogos simultâneos é a mesma para ambas as rivais, incluindo os payoffs, logo, o resultado da sua acção individual é equivalente ao resultado de um jogador representativo colectivo. Nem sempre é assim, poderíamos ter jogos simultâneos com diferentes estruturas e resultados conflituantes para as rivais, o que teria consequências na estrutura final da árvore de jogo que tem de conter as jogadas alternativas da líder e os equilíbrios de Nash dos jogos simultâneos subsequentes às jogadas da líder. A árvore final, representada em Python, para este jogo é dada por:
30
Se corrermos o código Python acima verificamos que é mais vantajoso para a líder manter o preço. Logo, o subjogo jogado pelas rivais é o do segundo cenário. Assim, a líder mantém o preço e as duas rivais baixam o preço.
Resolução do Caso 9. Estamos perante um jogo de coordenação de movimento de dois agentes. Se corrermos o código em Python, podemos verificar que os equilíbrios de Nash são quatro: The pure ['Toma a ['Toma a ['Toma a ['Toma a
strategies Nash equilibria are: posição Norte', 'Toma a posição Sul'] | payoff: [1, 1] posição Sul', 'Toma a posição Norte'] | payoff: [1, 1] posição Este', 'Toma a posição Oeste'] | payoff: [1, 1] posição Oeste', 'Toma a posição Este'] | payoff: [1, 1]
Assim, os agentes procuram estar sempre nas posições opostas dos quatro pontos cardeais: Norte, Sul, Este, Oeste.
Resolução do Caso 10. No caso 10 estamos perante um problema de uma decisão financeira com consequências ao nível da governance (neste caso, da governance da empresa alvo da OPA). Os payoffs para a empresa A estão avaliados em termos de ganhos e perdas financeiras com a operação. Contudo, os ganhos e perdas dependem do comportamento de um jogador (o Director Financeiro da empresa alvo da OPA) cujos payoffs não correspondem a ganhos ou perdas financeiras mas sim a poder estratégico que este poderá assumir na sequência da OPA. Se a empresa A decidir não avançar com a OPA o seu ganho é nulo sendo o resultado também zero para o Director Financeiro da empresa B (empresa alvo da OPA). O valor financeiro de base da OPA, para a empresa A pode ser calculado em termos das sinergias mais o valor da reestruturação 2 milhões de euros mais 1 milhão de euros, ou seja: 3 milhões de euros. Dependendo do resultado da OPA os custos esperados da OPA podem anular este valor, nomeadamente, assumindo que a OPA é lançada:
Se o Director Financeiro se alinhar com o Director Geral na oposição à OPA, o custo previsto com a OPA corresponde a 2.5 milhões de euros e a empresa nunca conseguiria implementar a reestruturação, logo, 3.5 milhões de euros seria a perda, considerando o valor a OPA, teríamos um valor actual líquido (payoff) negativo para a empresa A de -0.5 milhões de euros (3 – 3.5) e um valor estratégico de 4 (numa escala de 1 a 5) para o Director Financeiro; Se o Director Financeiro se mantiver neutro, então, os custos com a OPA ascenderiam a 2 milhões de euros igual ao valor das sinergias, tudo ficaria dependente da reestruturação, que no máximo, face à análise realizada pelos 31
analistas da empresa A, conduziria a um valor de 1 milhão de euros (se fosse bem sucedida), neste caso, se assumirmos uma probabilidade de 50% associada ao cenário em que a reestruturação é bem sucedida, temos um payoff esperado para a empresa A de 0 × 0.5 + 1 × 0.5 = 0.5 milhões de euros e um valor estratégico de 5 (numa escala de 1 a 5) para o Director Financeiro); Se o Director Financeiro for favorável à OPA e vender a sua participação, a empresa A consegue implementar o seu plano de reestruturação, o custo com a OPA é de 2 milhões de euros mas com o ganho da reestruturação a empresa A conseguiria um valor actual líquido (payoff) de 1 milhão de euros, neste caso o valor estratégico para o Director Financeiro seria de 3.
Uma alternativa a lançar a OPA nos termos acima é lançar a OPA com uma proposta adicional paralela em que se negociaria com o Director Financeiro a possibilidade do mesmo manter a sua participação, apoiando a empresa no processo de reestruturação. Neste caso, o Director Financeiro teria um valor estratégico de 5 e a empresa conseguiria o valor actual líquido de 1 milhão de euros (3 milhões decorrentes das sinergias e reestruturação – 2 decorrente do custo da OPA). Se estas negociações falhassem, a empresa estaria no cenário de alinhamento entre o Director Financeiro e o Director Geral mas com um reforço maior da relação entre o Director Financeiro e o Director Geral, conduzindo a um valor estratégico de 5 para o Director Financeiro e uma perda de 0.5 milhões de euros para a empresa A. Temos, então, a seguinte árvore de decisão:
Empresa A
Lança OPA sem proposta adicional
Jogo Lança OPA com proposta adicional
Não lança OPA
Director Financeiro
Resultados
Opõe-se à OPA
(-0.5,4)
Mantém-se neutro
(0.5,5)
Apoia a OPA
(1,3)
Rejeita proposta e opõe-se à OPA
(-0.5,5)
Aceita a proposta e apoia a OPA
(1,5)
(0,0)
32
O código Python correspondente é o seguinte:
Correndo o código a solução final do jogo sequencial é: Lança OPA sem proposta adicional->Mantém-se neutro: [0.5, 5]
Efectivamente, se aplicarmos o método da poda dos ramos, assumindo que o Director Financeiro é um jogador racional no sentido da teoria dos jogos, ou seja, que maximiza o seu payoff individual, as escolhas do Director Financeiro são: Lança OPA Lança OPA [-0.5, 5] Lança OPA 5] Não lança
sem proposta adicional->Mantém-se neutro : [0.5, 5] com proposta adicional->Rejeita proposta e opõe-se à OPA : com proposta adicional->Aceita proposta e apoia a OPA : [1, OPA->Sem resposta : [0, 0]
Ou seja, em esquema de árvore:
Jogo
Empresa A
Director Financeiro
Resultados
Lança OPA sem proposta adicional
Mantém-se neutro
(0.5,5)
Rejeita proposta e opõe-se à OPA
(-0.5,5)
Aceita a proposta e apoia a OPA
(1,5)
Lança OPA com proposta adicional
Não lança OPA
(0,0)
33
Analisando as escolhas da empresa A, verificamos que as suas escolhas se reduzem a:
Lançar a OPA recebendo um payoff esperado de 0.5; “Arriscar” e lançar a OPA com proposta adicional ao Director Financeiro (podendo ter uma perda: payoff de -0.5. Não lançar OPA (resultado neutro).
Neste caso, a decisão final depende do nível de tolerância ao risco da empresa A. Se a empresa A for apetente por risco, então avança com a OPA e com a proposta adicional pois dá acesso à possibilidade de ter o ganho mais elevado (de 1). Se a empresa A for avessa ao risco, solução programada no software de Python, então, aplicando o critério do MinMax esta escolherá lançar a OPA sem proposta adicional. O método de poda dos ramos com o critério MinMax foi incorporado no Gameplayer, logo, a alternativa em que a empresa A lança a OPA e o Director Financeiro se mantém neutro é a solução fornecida pelo simulador Gameplayer. Existe ainda uma outra alternativa, em termos de método de suporte à tomada de decisão, para este jogo, e que consiste em assumir probabilidades, a partir de intelligence recolhida acerca do Director Financeiro, para este aceitar uma proposta paralela que conduziria a uma posição para Director Geral. Considerando p como a probabilidade de o Director Financeiro aceitar a proposta, o payoff esperado para a empresa A, no ramo em que lança a OPA com proposta adicional, é dada por: 𝑉OPA c/ proposta = (1 − 𝑝) × (−0.5) + 𝑝 × 1 Para que a empresa A estivesse disposta a lançar a OPA com proposta este valor teria de ser no mínimo igual a 0.5 (payoff da alternativa em que lança a OPA sem proposta (seleccionada pelo método da poda dos ramos com o critério MinMax incorporado). Assim, teríamos de ter: 𝑉OPA c/ proposta ≥ 0.5 Resolvendo a inequação acima em ordem a p obtemos a região de probabilidades que conduziria à empresa A lançar a OPA com proposta adicional: (1 − 𝑝) × (−0.5) + 𝑝 × 1 ≥ 0.5 ⟺ −0.5 + 0.5𝑝 + 𝑝 ≥ 0.5 ⇔ 1.5𝑝 ≥ 1 ⇔ 𝑝 ≥ ⟺𝑝≥
2 3
1 1.5
Assim, se a intelligence recolhida acerca do Director Financeiro indicar uma probabilidade de este aceitar a proposta de 2/3, então, a empresa A estaria indiferente entre lançar a OPA sem proposta adicional ou lançar a OPA com proposta adicional, por seu turno, se essa intelligence indicar uma probabilidade superior s 2/3, então, a empresa A teria mais vantagem, em termos de payoff esperado, em lançar a OPA com proposta adicional. Se, pelo contrário, a intelligence indicasse uma probabilidade inferior a 2/3, então, a empresa A lançaria a OPA sem proposta adicional.
34
