Categoria C B A Extra

INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA Departamento de Matemática

Exercícios de Apoio às Aulas Práticas da disciplina Estatística (com algumas soluções)

2005/2006

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1. Numa turma há 6 raparigas e 12 rapazes. Quantas maneiras diferentes existem de formar uma comissão de 6 pessoas que tenha no máximo duas raparigas e que, entrando uma rapariga ela seja a mais nova da turma. 2. De um baralho com 40 cartas tiram-se, com reposição, 6 cartas. Qual a probabilidade de que saiam exactamente três figuras? 3. Num saco estão sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dez vezes, com reposição. Qual a probabilidade do acontecimento “A bola com o número 5 não sai mais de duas vezes”? 4. O Vitor dispõe de um saco com 10 bolas pretas e quer introduzir certo número de bolas brancas de tal forma que, ao tirar uma bola, a probabilidade de ela ser branca seja maior do que 0.1. Quantas bolas brancas se deve introduzir na urna? 5. Colocaram-se três pares de sapatos diferentes só na cor, dentro de uma caixa. A Sara tem os olhos vendados e vai retirar dois sapatos da caixa. Qual a probabilidade de tirar um par? 6. O José está indeciso quanto à compra de três discos. Resolveu fazer o seguinte: para cada um atira uma moeda ao ar e se sair “face” compra o disco. Determine a probabilidade de: (a) não comprar nenhum; (b) comprar pelo menos um; (c) comprar pelo menos dois. 7. O João tem 20 pares de meias e o José tem 16. Se escolhermos ao acaso um par de meias de cada um, a probabilidade de ambas serem brancas é 0.25. Se o João tem 10 pares de meias brancas quantas meias brancas tem o José? 8. Fez-se uma aposta simples no totoloto (selecção de 6 números em 49). Determine a probabilidade de: (a) acertar nos seis números; (b) acertar em cinco números; (c) acertar em três números. 9. Cinco amigos vão dar um passeio num automóvel de 5 lugares. Sabendo que só três deles podem conduzir, qual o número de formas diferentes que eles têm de ocupar os lugares durante o passeio. 1

10. Os medicamentos em ensaio num determinado laboratório são identificados por códigos que obedecem às seguintes regras: – têm 5 letras seguidas de 2 algarismos; – começam por vogal; – não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas; – o último algarismo é 0 ou 1. (a) Qual o número máximo de códigos diferentes. (b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenha letras nem algarismos repetidos. (Nota: Considere 23 letras e 10 algarismos) 11. Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigas e 80 rapazes, que vão ser distribuidos por 20 mesas de seis lugares. Sabendo que em cada mesa ficarão 2 raparigas e 4 rapazes, (a) Determine de quantas formas distintas pode a organização constituir o grupo que ficará na mesma mesa que o rapaz e a rapariga vencedores do torneio. (b) De cada uma das vinte mesas vai escolher-se ao acaso um representante. Determine a probabilidade de que, nos 20 representantes, haja exactamente 5 raparigas. 12. Considere seis mil milhões de habitantes na Terra e suponha que cada um recebe um cartão de identificação com uma sequência de letras. Qual tem de ser o número mínimo de letras a usar em cada cartão, para garantir que as sequências são todas diferentes? Indique quando será necessário aumentar esse número mínimo de uma unidade. (Nota: Considere o alfabeto com 26 letras e que todas as sequências têm o mesmo número de letras.) 13. Um comerciante foi informado que tem 4 embalagens premiadas de entre as 20 que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20 embalagens em fila na montra por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila? 14. Dos ouvintes de uma estação radiofónica 37% ouvem o programa X, 53% ouvem o programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente um ouvinte desta estação qual a probabilidade de que i) ouça apenas um dos referidos programas; ii) não ouça nenhum destes dois programas. 15. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12 rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco raparigas e cinco rapazes. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? 2

16. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natação, 250 praticam futebol e 700 não praticam nenhuma destas modalidades. Escolhendo ao acaso 20 destes alunos, qual é a probabilidade de que só 4 pratiquem pelo menos uma das modalidades. 17. Num aquário existem 5 peixes vermelhos, 3 dourados e 2 azuis. Retiram-se sucessivamente 3 peixes. (a) Qual a probabilidade de saírem 2 da mesma cor e um de cor diferente? (b) Qual a probabilidade de o terceiro peixe a ser retirado ser azul? 18. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidade de os números saídos nos 4 lançamentos serem todos diferentes. 19. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler nesse período. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Breyner Andresen e três de Carl Sagan. (a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha? (b) Admita agora que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa da avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos, qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? 20. Uma nova marca de gelados, oferece em cada gelado, um de três bonecos: rato Mickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um. Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabilidade de o Rato Mickey sair exactamente a dois dos sete amigos?

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Soluções dos Exercícios de revisão

1. 5 × C412 + C512 + C612 2. C36 (3/10)3(7/10)3 3.

P2

i=0

Ci10 (1/7)i (6/7)10−i

4. Pelo menos 2 bolas. 5. 1/5 6. a) 1/8;

b)7/8;

c) 1/2

7. Tem 8. 8. a)1/(C649 )

b)

C56 C143 ; C649

c)

C36 C343 C649

9. 72 10. a) 810000;

b) 0.408

11. a)C139 C379

b) p ≃ 0.15

12. n = 7 13. ≃ 0.0004 14. i) 0.60

ii) 0.25

15. C512 C58 16.

700 C4300 C16 1000 C20

17. a) ≃ 0.66;

b)0.20

18. 1/3 19. a) 120; b) 1/3. 20. C27 (1/3)2(2/3)5

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EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES

1. Lança-se um dado de seis faces, perfeito. Qual a probabilidade de o resultado ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 2. Lançam-se dois dados de seis faces, perfeitos. Qual a probabilidade de a soma dos resultados do lançamento ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 3. Considere o tempo de vida de uma lâmpada em centenas de horas. Seja Ω = {t : t > 0} o espaço de resultados associado à duração de vida da lâmpada. Considere os acontecimentos: A = {t : t > 15} B = {t : 2 < t < 10} C = {t : t < 12} Caracterize os seguintes acontecimentos: A∪B

A∩C

(A ∪ B) ∩ C

A∩B

A ∪ (B ∩ C)

4. Sejam A, B e C acontecimentos aleatórios tais que 1 1 P (A) = P (B) = P (C) = , P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0 e P (A ∩ C) = . 4 8 Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C. 5. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios. Mostre que: a) P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B); (Exame 17/7/90) P (A)[1 − P (B|A)] , supondo P (A) 6= 0 e P (B) 6= 1; 1 − P (B) (Exame 10/7/91)

b) P (A|B) =

c) P [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B); (Exame 23/7/91)

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d) P (B) = P (A)P (B|A) − P (A)P (B|A) + P (B|A), supondo 0 < P (A) < 1; (Exame 13/9/91) e) max{0, P (A) + P (B) − 1} ≤ P (A ∩ B) ≤ min{P (A), P (B)} (desigualdade de Boole). 6. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios tais que P (A) = 0.4, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0.7. Para que valores de p, os acontecimentos A e B: a) podem ser mutuamente exclusivos? b) são independentes? 7. Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são de folha caduca, de fruto e de fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso: a) não ser árvore de fruto; b) ser árvore de fruto ou de folha caduca; c) ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. 8. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios tais que P (A) = P (B) = p e P (C) = 0.5p. Sabendo que A e B são independentes, determine, em função de p, a probabilidade de pelo menos um dos três acontecimentos se realizar e indique os valores possíveis de p, quando: a) C é mutuamente exclusivo de A e de B; b) C é mutuamente exclusivo de A e independente de B; c) A, B e C são independentes. 9. As probabilidades de três corredores de velocidade percorrerem 100 metros em menos de 10 segundos são respectivamente: 1/3, 1/5 e 1/10. Considerando que os tempos dos três atletas são independentes, calcule a probabilidade de, uma corrida em que participam apenas os três atletas, ser ganha em menos de 10 segundos. 10. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que: P (AC|BC) = P (A|BC) = (Exame de 16.9.1994) 6

P (AB|C) . P (B|C)

11. Sejam A e B acontecimentos aleatórios. (a) Prove que se A e B são independentes, então: i. A e B são independentes; ii. A e B são independentes; iii. A e B são independentes. (b) Prove que se P (B) 6= 0, então P (A|B) = 1 − P (A|B).

(c) Se P (B) 6∈ {0, 1}, será verdade que P (A|B) = 1 − P (A|B)? Justifique.

12. Considere três acontecimentos A, B e C tais que P (C) = 0.3, P (B|C) = 0.4, P (B|C) = 0.8, P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) = 0.2. a) Calcule P (C|B). b) Calcule P [(B ∩ C)|A].

c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes.

(Exame de 29.10.2001) 13. Considere um espaço de resultados formado por N acontecimentos elementares {ai } e por M acontecimentos elementares {bj }. Os elementos ai são equiprováveis, o mesmo acontecendo com os elementos bj . Por outro lado P [{bj }] = 2P [{ai }] ∀i, j. Prove que um acontecimento E formado por n(≤ N) elementos ai e por m(≤ M) elementos bj tem probabilidade P [E] =

n + 2m . N + 2M

(Exame 17/9/92) 14. Um vendedor de bolbos prepara encomendas a partir de 3 lotes de bolbos que, por terem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação. A probabilidade de germinação de um bolbo é de 0.80 se pertence ao lote A, de 0.85 se pertence ao lote B e de 0.90 se pertence ao lote C. a)

i) Qual a probabilidade de germinação de um bolbo retirado ao acaso de um lote escolhido ao acaso? ii) Retirou-se um bolbo ao acaso de um lote escolhido ao acaso e verificouse que não germinava. Qual a probabilidade de o bolbo ter sido retirado do lote C?

b) Se uma encomenda for constituída por um bolbo (retirado ao acaso) de cada lote, qual a probabilidade de pelo menos dois bolbos germinarem, admitindo a independência de germinação entre os bolbos retirados de lotes diferentes?

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15. Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O aluno ou sabe a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno saber a resposta. Admita que as probabilidades de o aluno responder correctamente à pergunta se souber a resposta e de o aluno responder correctamente à pergunta se responder ao acaso são 1 e 1/n, respectivamente. a) Verifique que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se np . respondeu correctamente é 1 + (n − 1)p b) Supondo n = 5 e p = 0.2, calcule a probabilidade de um aluno não responder correctamente à pergunta. 16. Três amigos A, B e C almoçam juntos. Só um deles pagará a despesa total de acordo com o seguinte jogo: A lança uma moeda de 1 Euro suposta equilibrada, se sair “face euro” paga a despesa; caso contrário B lança a moeda. Se sair “face euro” B paga; caso contrário B joga mais uma vez a moeda e conforme obtém “face euro” ou “face país” assim é ele ou C a pagar a despesa (sem que C chegue a fazer algum lançamento). (a) Calcule, para cada um, a probabilidade de pagar a despesa. (b) Determine a probabilidade de B pagar sabendo que A não pagou. (c) (*) Estes três amigos decidem fazer uma série consecutiva de almoços nos quais a despesa é paga sempre de acordo com o jogo descrito acima. Quantos almoços deverão combinar no máximo por forma a que a probabilidade de B não pagar mais de 5 almoços seja superior a 0.90? (Sugestão: se não resolveu a alínea (a) considere a probabilidade de B pagar o almoço igual a 0.4). ((*) A resolução desta alínea necessita de matéria leccionada mais tarde - distribuições.) (Exame de 21/7/92) 17. Considere quatro urnas U1 , U2 , U3 e U4 . Suponha que em cada uma há bolas brancas e pretas, assim distribuídas:

brancas pretas

U1 3 1

U2 5 1

U3 1 5

U4 0 6

a) Calcule a probabilidade de, tendo sido escolhida uma urna ao acaso e nessa urna uma bola ao acaso: i) a bola escolhida ser branca, sabendo que foi escolhida a urna U2 ; ii) a bola escolhida ser branca; iii) ter sido escolhida a urna U2 , sabendo que a bola escolhida foi branca. 8

b) Diga, justificando, se os acontecimentos “escolher a urna U2 ” e “escolher bola branca” são independentes. 18. As famílias de uma certa cidade escolhem uma das três alternativas para fazer férias: praia, campo ou ficar em casa. Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respectivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está relacionada com a alternativa escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. a) Qual a probabilidade de uma família daquela cidade descansar durante as férias? b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alternativa mais provável de ter sido escolhida por esta família? 19. Um determinado tipo de peças é produzido pelas fábricas F1 , F2 e F3 . Durante um certo período de tempo, F1 produziu o dobro das peças de F2 enquanto F2 e F3 produziram o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2%, 2% e 4% das peças produzidas por F1 , F2 e F3 , respectivamente, são defeituosas. Todas as peças produzidas nesse período de tempo foram colocadas num depósito. a) Qual a percentagem de peças defeituosas provenientes a fábrica F2 ? b) Qual a percentagem de peças defeituosas armazenadas? c) Foi encontrada uma peça defeituosa no depósito. Qual a origem(fábrica) menos provável dessa peça? (Adaptado do exame de 14/11/97) 20. Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado um teste que dá resultado positivo: – com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave; – com probabilidade 0.75 para um indivíduo com doença na forma moderada; – com probabilidade 0.05 para um indivíduo não doente. a) Efectuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença? c) Será que existe independência entre ter a doença na forma moderada e na forma grave? Justifique.

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21. Uma estação agrária levou a cabo um estudo para avaliar a precisão da previsão do estado do tempo para uma dada região. Com base num grande número de registos, fornecidos pelo Serviço de Meteorologia, obtiveram-se as seguintes conclusões: – Probabilidade de, para um dia chuvoso, ter sido prevista chuva = 0.85; – Probabilidade de, para um dia sem chuva, ter sido prevista chuva = 0.40; – Probabilidade de um dia chuvoso = 0.20. Calcule as seguintes probabilidades: a) Previsão de um dia sem chuva; b) Chover sabendo que a previsão foi chuva; c) Previsão correcta. (Exame de 23/7/91) 22. Um dado tipo de barómetro está preparado para prever chuva ou prever “não chuva”. Tem-se verificado que ele prevê “não chuva” em 10% dos dias chuvosos, chuva em 20% dos dias com sol e quando um dia não tem sol nem chuva ele prevê “não chuva” com probabilidade igual a 0.05. Num país em que se tem verificado nos últimos anos que “faz sol” em cerca de 60% dos dias e “ faz chuva” em 30% dos dias, responda às seguintes questões (considere que “dia com sol”, “dia com chuva” e “dia sem sol e sem chuva” constituem uma partição do espaço de resultados associado à classificação dos dias quanto ao estado do tempo): . a) Qual a probabilidade de o barómetro prever chuva? b) Qual a probabilidade de “fazer sol” num dia para o qual a previsão seja de chuva? c) Qual a probabilidade de o barómetro errar? (Exame de 13.07.2001) 23. Seja X uma variável aleatória discreta que toma valores em IN com a seguinte função probabilidade: P (X = j) =

1 , 2j

∀j ∈ IN.

Calcule: a) P (X par); b) P (X > 5); c) P (X divisível por 3). 24. Considere a variável aleatória discreta X que toma valores em IN0 com a seguinte função probabilidade: P (X = j) = (1 − a)aj ,

∀j ∈ IN0 ,

em que a é uma constante desconhecida, não nula. 10

a) Indique o(s) valor(es) possível(eis) para a. b) Mostre que, para quaisquer inteiros não negativos s e t, se verifica: P (X ≥ s + t|X ≥ s) = P (X ≥ t). 25. Três bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Seja X a variável aleatória que representa o total de bolas vermelhas retiradas. a) Construa a distribuição de probabilidades de X. b) Represente graficamente a distribuição obtida na alínea a). c) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a graficamente. d) Calcule P (1 ≤ X ≤ 3). 26. Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 5 com reposição: a) Sendo X o número de iogurtes estragados determine a função massa de probabilidade de X. b) Determine a função distribuição cumulativa de X. Represente-a graficamente. c) Calcule P [1 ≤ X ≤ 3]. 27. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades: xi P (X = xi )

-2 -1 0 0.1 0.3 0.1

1 2 0.2 0.3

a) Calcule E(X) e V (X). b) Determine a função distribuição cumulativa de X. c) Calcule P (X ≥ 0|X < 2).

d) Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = X 2 . 28. Seja X uma variável aleatória discreta que toma os valores x = 1, 2, ..., n, ...2n−1, n ∈ IN, com probabilidades p(x). Considere p(n + k) = p(n − k), k ∈ IN. Mostre que: a) E(X) = n; b) Todos os momentos de ordem ímpar em torno do valor médio se anulam.

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29. O número de televisores encomendados mensalmente em determinada loja é bem descrito por uma variável aleatória X com a seguinte função distribuição cumulativa:   0 se x < 0      0.1 se 0 ≤ x < 1  F (x) = 0.3 se 1 ≤ x < 2    0.6 se 2 ≤ x < 3     1 se x ≥ 3 a) Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X.

b) Quantos televisores deve ter a loja em stock, por mês, para que a probabilidade de satisfazer todas as encomendas seja superior a 0.95? c) Se num dado mês a loja só tiver 2 televisores em stock , determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória que representa a diferença, em valor absoluto, entre as encomendas e o stock . 30. O peso, em Kg, de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses é a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:     

a) Calcule k.

0 x−1 f (x) =  3 −x    0

se se se se

x≤1 1 0.

k − c3 /x3 0

a) Determine o valor de k. b) Determine a função densidade de X. c) Calcule o primeiro quartil da distribuição de X. d) Determine o valor médio e a mediana de X. e) Calcule P [c < X < 3c | X < 4c].

f) O que pode dizer quanto ao valor do terceiro momento de X? E do quarto momento?

g) Determine a função densidade da v.a. Y = X 2 . 35. A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: f (x) =

(

20x3 (1 − x) 0

0 15]. c) Calcule a probabilidade de haver mais êxitos do que fracassos. d) Mostre que o custo total C das 20 experiências pode ser expresso como C = 200 − 5X. e) Calcule E(C).

f) Calcule P [C < 125]. (Exame 4/7/88) 50. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a referida experiência, uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia. Sabendo que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos, calcule: a) A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver 10 cobaias. b) O número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessos seja 24. c) O número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0.95. (Exame de 18/7/88) 51. Uma pessoa planta 6 bolbos, escolhidos ao acaso de uma caixa que contém 5 bolbos de túlipa e 4 bolbos de junquilho. Qual a probabilidade de essa pessoa plantar 2 bolbos de junquilho e 4 de túlipa? 18

52. Numa escola, vai realizar-se um exame de uma dada disciplina num determinado dia. Está prevista uma greve às avaliações para este dia à qual 75% dos docentes vão aderir. Dos 20 docentes existentes, 8 são convocados para a vigilância daquele exame. Sabendo que os alunos vão ser distribuídos por duas salas e que se admite a possibilidade de o exame se realizar com um docente por sala, qual a probabilidade de o referido exame se realizar para todos os alunos? (Exame 25/9/95) 53. Um método frequentemente utilizado para estimar o número de animais de uma dada espécie num certo habitat é o da captura-recaptura. O método pode ser exemplificado pela seguinte situação: Num lago são capturados, marcados e devolvidos à água 5 peixes de uma certa espécie. Passado algum tempo (a fim de permitir que os peixes marcados se distribuam aleatoriamente pelo lago, embora não convenha deixar passar demasiado tempo, para se poder admitir que a dimensão da população permaneceu constante) são pescados 4 peixes dessa mesma espécie e conta-se quantos de entre eles estão marcados, o que será representado pela variável aleatória X. a) Qual a probabilidade de nenhum dos 5 peixes marcados ser recapturado, se existirem 10 peixes da referida espécie no lago? E se existirem 100? b) A ideia do método de captura-recaptura consiste em considerar o tamanho da população como sendo aquele que torna mais provável o valor de X que resultou de uma experiência deste tipo. Assim, por exemplo, qual dos 4 valores N = 10, N = 20, N = 100 ou N = 1000, considera mais plausível para o tamanho da população se: i) da experiência resultou X = 1; ii) da experiência resultou X = 2. 54. Na época natalícia, certa pastelaria fabrica 3 tamanhos de bolo-rei: de 500g, de 750g e de 1000g. Nem todos os bolos fabricados contêm brinde. Este é colocado de tal forma que 20% dos bolos de 500g ficam sem brinde, o mesmo sucedendo com 10% dos bolos de 1000g e com 30% dos bolos de 750g. 25% dos bolos fabricados são de 500g e outros 25% de 1000g. a) Qual a probabilidade de um bolo sem brinde ser de 750g? b) A filha de um casal seu amigo apareceu-lhe com um brinde que lhe saíu no bolo-rei comprado na referida pastelaria. Qual dos bolos (tamanho) tem maior probabilidade de ter sido comprado pelo casal? c) A referida pastelaria tem uma produção diária de 1000 bolos. Qual a probabilidade de uma pessoa que compra 10 desses bolos ter pelo menos 2 com brinde? (Exame 7/12/90) 19

55. Um agricultor tem na sua cave duas categorias de vinhos engarrafados: garrafas de vinho tinto e garrafas de vinho branco. Supõe-se que nesta cave só há vinhos de três anos (1968, 1969 e 1970) e que há o mesmo número de garrafas de cada ano. A percentagem de garrafas de vinho tinto entre as engarrafadas em cada um daqueles anos ( 1968, 1969 e 1970) é de 70%, 50% e 90%, respectivamente. a) Um ladrão leva uma garrafa ao acaso que verifica ser de vinho branco. Qual é o ano mais provável de engarrafamento desse vinho? b) Depois de ter provado o vinho branco, o referido ladrão achou que ele era muito bom. Decide então fazer nova ‘visita’ à cave com o objectivo de levar consigo pelo menos três garrafas de vinho branco. Considerando que a escolha é feita ao acaso, quantas garrafas deverá o ladrão levar para que a probabilidade de atingir o seu objectivo seja superior ou igual a 0.6? 56. Considere uma empresa agrícola que produz uvas e melões nas quantidades (em toneladas) X e Y , respectivamente. Devido às instáveis condições atmosféricas o valor das produções é aleatório com f.d.p. conjunta dada por: f (x, y) = a) Calcule k.

  

k(1 − x)(2 − y)

0

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 outros valores.

b) Se num dado momento a produção de melões for de 1 ton, qual será a f.d.p. da produção de uvas? c) Será que as quantidades produzidas de cada fruta são independentes? Justifique. d) Escolhendo ao acaso 20 empresas nas condições anteriores, qual será a probabilidade de, em pelo menos 5 delas, a produção de uvas ser superior a 800 kg? 57. Um laboratório exporta um certo produto químico para o mercado europeu. Este mercado exige que o produto fornecido tenha entre outras características, uma determinada coloração. Da produção do laboratório, 60% tem a coloração adequada, mas apenas metade desta quantidade satisfaz também as outras condições exigidas pelo referido mercado. a) Qual a percentagem da produção do laboratório que satisfaz as condições exigidas pelo referido mercado ? b) De um lote de 100 produtos em que 30 não estão em condições de exportação, retirou-se uma amostra de 10, sem reposição. Calcule a probabilidade de aparecer pelo menos um produto que não seja exportável. (Exame 17/9/90)

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58. Seja X uma variável aleatória com distribuição B(n; p) e Y a variável aleatória X definida por Y = . Calcule: n a) E[Y ] , V ar[Y ] e E[Y 2 ]; b) A função geradora de momentos de Y . c) E [1/(X + 1)]; 59. Numa linha de fabrico de uma determinada componente electrónica pode ocorrer um defeito muito raro mas causador de grandes prejuizos. Seja 0.01 a probabilidade de ocorrência desse defeito. Um teste muito simples é realizado para detecção do defeito. Apresenta, no entanto, probabilidades significativas de conduzir a conclusões erradas. Assim, cerca de 5% das vezes o teste indica a existência de defeito se não houver defeito e cerca de 3% das vezes indica ausência de defeito se houver defeito. (a) Qual a probabilidade de se ter uma conclusão incorrecta? (b) Determine a probabilidade de o teste indicar a existência de defeito. (c) São comercializadas embalagens contendo 80 daquelas componentes. Qual a probabilidade de, numa determinada embalagem, duas componentes apresentarem defeito? (d) A venda de cada embalagem referida na alínea anterior para o mercado é feita com um lucro Y , que é função de vários factores entre os quais o número de componentes defeituosas. Com o objectivo de simplificar os cálculos considere constante o efeito de todos os outros factores, sendo o lucro dado pela relação Y = 0.02 − 0.1X

onde X é o número de componentes defeituosas em cada embalagem. Qual é nessa situação, a probabilidade de uma embalagem não dar prejuizo? (Exame de 17/7/92) 60. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição binomial de parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. a) Prove que X1 + X2 tem distribuição binomial de parâmetros (n + m, p). b) Prove que X1 |(X1 + X2 = k), k = 0, 1, 2, · · · , m + n tem distribuição hipergeométrica e indique os parâmetros da distribuição. 61. A probabilidade de um atirador acertar num alvo é p = 1/4. a) Seja X a variável aleatória que conta o número de tiros necessários até acertar, pela primeira vez, no alvo. Determine n tal que P [X ≤ n] > 0.8.

b) Quantos tiros espera o atirador dar até acertar pela primeira vez no alvo? 21

c) Qual a probabilidade de ter de atirar 5 vezes até acertar duas vezes no alvo? 62. O Duarte vai posicionar-se na linha de lançamento livre num campo de basquetebol e atirar até fazer um cesto. Se admitirmos que os lançamentos são independentes e de probabilidade de acertar constante e igual a 0.8, determine: a) a probabilidade de necessitar de menos de 5 lançamentos para acertar; b) o número esperado de lançamentos que tem que efectuar para acertar. 63. Se X é uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p, exprima P [a ≤ X ≤ b] como função de p, a e b. 64. Suponha que, de cada vez que conduz o carro em excesso de velocidade, tem uma probabilidade 0.001 de vir a ser multado e que ao fim de três multas perde a carta. Identifique e caracterize a distribuição da variável aleatória que indica o número de vezes que conduz em excesso de velocidade até perder a carta (admita ocorrências de multa independentes). 65. Admita quer 5% da população possui um dado tipo de sangue. Como a população é suficientemente grande a selecção aleatória de indivíduos pode considerar-se satisfazendo as condições de provas i.i.d. a) Qual o número esperado de testes necessários para localizar três pessoas com aquele tipo de sangue. b) Qual a probabilidade de que seja necessário realizar pelo menos 8 testes para localizar duas pessoas com aquele tipo de sangue? 66. Uma empresa de aluguer de autocarros para excursões de longo curso dispõe de 5 veículos. Sabe-se, pela análise do seu comportamento, que a procura semanal de veículos segue uma distribuição de Poisson de média 4. a) Determine a probabilidade de, em certa semana, um dos autocarros não ser alugado. b) Qual a probabilidade de, em duas semanas, serem procurados 6 veículos? c) Determine o valor esperado do número de clientes que em certa semana não podem ser atendidos por já estarem alugados todos os autocarros. (Exame de 16/2/91) 67. O número de petroleiros que chega a uma certa refinaria, em cada dia, é uma v.a. X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 2. As actuais instalações portuárias da refinaria podem atender até 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são enviados para outro porto. a) Qual a probabilidade de, num dado dia, a refinaria ter de recusar petroleiros?

22

b) Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinaria para permitir o acolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos dias? c) Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia? d) Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia? e) Qual a probabilidade de em dois dias chegarem 5 petroleiros? f) Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia? g) Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia? 68. O número de automóveis que em cada dia passa num certo troço de estrada pode considerar-se uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 10. Nesse troço de estrada existe um posto de venda de melões. O número de automobilistas que param no referido posto de venda, num dado dia, é uma variável aleatória Y . Sabe-se que P (Y = m|X = r) =

r m

!

(0.1)m (0.9)r−m

, m = 0, 1, 2, ..., r.

NOTA: P (Y = m|X = r) =0 se r < m. a) Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y . b) Determine a função de probabilidade marginal de Y . c) Sabendo que pararam 3 automobilistas no posto de venda num dado dia, qual a probabilidade de o número de carros que passaram na estrada nesse dia ter sido no máximo 6? 69. Em certo bairro recentemente construído e constituído por prédios de duas, três ou quatro assoalhadas, verificou-se que em 37% dos apartamentos os moradores não têm filhos. A distribuição dos apartamentos por número de assoalhadas é a seguinte: No¯de assoalhadas Percentagem

2 30%

3 4 40% 30%

(a) Determine a média e a variância do número de assoalhadas de um apartamento. (b) Admitindo que o número de filhos por apartamento tem uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de num certo apartamento haver pelo menos cinco filhos. (c) Sabendo que dos moradores em apartamentos de duas assoalhadas apenas 20% têm pelo menos um filho e que nos de três assoalhadas 30% não têm filhos, qual a probabilidade de num apartamento de 4 assoalhadas escolhido ao acaso haver pelo menos um filho. (Exame de 10/7/92) 23

70. Duas máquinas A e B produzem 10% e 90% da produção total de um dado artigo, respectivamente. Suponha que 5% dos artigos fabricados por cada uma das máquinas são defeituosos. a) Qual a probabilidade de um artigo defeituoso ter sido fabricado pela máquina A? b) De um lote bastante grande do referido artigo, é retirada uma amostra aleatória de 50 artigos. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 artigos defeituosos? E 5? c) Qual o número máximo de artigos que deverá tirar ao acaso da produção total para que a probabilidade de não encontrar defeituosos seja superior a 0.80? 71. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias com distribuição de Poisson de parâmetros λ1 e λ2 , respectivamente. Prove que se X1 e X2 forem independentes, a distribuição de X1 |(X1 + X2 = k), k ∈ IN, é binomial. 72. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição uniforme no intevrvalo (−0.5, 1.0),i.e., com função densidade de probabilidade assim definida: f (x) =

(

−0.5 < x < 1.0 x ∈] / − 0.5, 1.0[

2/3 0

a) Determine a função distribuição cumulativa de X. b) Calcule, justificando convenientemente todos os seus cálculos: i) P (X > 0.5); ii) P (X 2 < 0.25); c) Deduza: i) A função distribuição cumulativa da variável aleatória Y = X 3 ; ii) A função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = X 3 . (Exame 21/6/99) 73. Uma análise estatística sobre 1000 chamadas de longa distância indica que a duração de uma chamada pode considerar-se uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com parâmetros µ = 240 s e σ = 40 s. a) Qual a percentagem destas chamadas com duração inferior a 180 s? b) Qual a probabilidade de uma dada chamada durar entre 180 e 300 s? c) Sabe-se que apenas 1% das chamadas tem duração inferior a uma dada chamada. Determine a duração desta chamada. 74. Uma empresa agro-química fabrica mensalmente 90 toneladas de um dado produto. Sabendo que a procura mensal deste produto é uma variável aleatória aproximadamente normal de parâmetros µ =80 ton e σ =10 ton, calcule: 24

a) A probabilidade de a procura mensal do produto se situar entre 68 e 90 toneladas; b) A probabilidade de haver num mês procura excedentária; c) A produção necessária para que a probabilidade de haver procura mensal insatisfeita seja 0.025. (Exame 18/7/88) 75. O erro aleatório cometido numa dada medição segue uma lei normal de desvio padrão σ =1 mm e média µ =0 mm. Calcule a probabilidade de, em duas medições independentes, o erro cometido pelo menos numa delas não ultrapassar, em valor absoluto, 1.28mm. (Exame 12/9/88) 76. Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros µ =10 anos e σ =2 anos. A fábrica quer criar um período de garantia para os motores de forma a que não mais de 3% tenham de ser substituídos. Qual deverá ser o período de garantia máximo oferecido pela fábrica? 77. Cada um de 20 postos de trabalho nas linhas de montagem de uma fábrica consome diariamente peças do tipo A a um ritmo dado por uma variável aleatória com distribuição N (50, 3.2). Se os stocks de peças forem renovados todos os dias úteis, qual deverá ser o stock mínimo no início de cada dia de forma a que a probabilidade de ruptura dos stocks não exceda 20% ? Admita que o consumo em cada posto de trabalho é independente do consumo nos restantes postos de trabalho. (Exame 23/7/91) 78. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função geradora de momentos: 2 MY (t) = e3t+8t , t ∈ IR a) Calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X =

Y −3 . 4

b) Determine o valor médio e a variância de X. c) Se W ∩ N(µ, σ) então a função geradora de momentos de W é definida por 1 2 2 σ

MW (t) = eµt+ 2 t

,

t ∈ IR.

Identifique as distribuições de X e Y . (Exame 22/6/98) 79. Numa fábrica de pesticidas, o peso em kg de certo tipo de embalagens de fungicidas é uma v. a. normal com média 2 kg. Tem-se verificado que 1.5% das embalagens são rejeitadas por conterem menos de 1.870 kg. (a) Qual a percentagem de embalagens cujo peso difere do peso médio mais de 150g? 25

(b) Enviado um lote de 60 embalagens para um fornecedor, qual a probabilidade de o peso total dessas embalagens ser superior a 121 kg? E a 120? (c) Qual a probabilidade de, em 100 embalagens, serem aceites pelo menos 80, se for feita a seguinte alteração do critério: rejeita-se as embalagens que têm menos de 1.950 kg. (Exame 10/7/92) 80. Um grossista de distribuição de fruta recebe do produtor pêssegos de quatro categorias: extra, A, B e C. Da experiência anterior, sabe-se que o diâmetro de um pêssego é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 64 mm e desvio padrão 3 mm. A classificação do referido fruto em função do seu diâmetro é a seguinte: Categoria C B A Extra

Diâmetro (x) em mm x ≤ 60 60 < x ≤ 65 65 < x ≤ 70 x > 70

Atendendo aos custos de armazenamento e de distribuição, admite-se que o lucro líquido por tonelada é de 80 contos para a categoria extra, 50 contos para a categoria A, 10 contos para a categoria B e -5 contos para a categoria C. Qual o lucro líquido esperado de um fornecimento constituído por uma tonelada de pêssegos? (Exame 14/7/88) 81. Um produto pesa em média 10g com desvio padrão de 2g. Este produto é embalado em caixas com 50 unidades cada. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média 500g com desvio padrão de 25g. Admita que as variáveis peso do produto e da caixa vazia são independentes com distribuição normal. a) Qual é a probabilidade de numa caixa encontrar no máximo 40 unidades do referido produto com peso inferior a 8g cada? b) Qual é a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais do que 1050g? (Exame 10/7/98) 82. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se que 40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade de líquido menor do que a indicada no rótulo. Calcule a probabilidade de em 100 garrafas existentes numa grande loja: a) haver 30 com menos de 1 litro; b) haver não mais de 30 com menos de 1 litro; 26

c) haver mais de 45 com menos de 1 litro; d) haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro. 83. Um determinado modelo de avião pode transportar uma carga máxima (passageiros e bagagens) de 9000kg. Admita que o peso da bagagem de um passageiro é uma variável aleatória com distribuição N(18, 5), que o peso de um passageirohomem é uma variável aleatória com distribuição N(70, 10) e que o peso de um passageiro-mulher é uma variável aleatória com distribuição N(60, 10). a) Qual é o peso da bagagem de um passageiro que não é ultrapassado por mais de 20% dos passageiros? b) Considere um casal (homem e mulher) que entra no avião. Qual a probabilidade de o peso da mulher ser superior ao do homem? Que hipóteses tem de admitir para responder a esta questão? c) Num determinado vôo a lotação do avião está completa com 80 homens e 20 mulheres, que levam a respectiva bagagem. Qual a probabilidade de o avião não poder partir por excesso de carga? d) A companhia pratica a cobrança de uma taxa para bagagens com peso superior a 20kg. Havendo 60 passageiros num vôo, qual é a probabilidade de que mais de 10 passageiros paguem a referida taxa. (Exame 11/10/95) 84. Suponha que os elos de uma corrente de bicicleta têm comprimentos aleatórios com distribuição normal de média 0.5 cm e desvio padrão 0.04cm. As normas de um fabricante de bicicletas exigem que o comprimento de uma corrente esteja compreendido entre 49 e 50 cm . (a) Qual a percentagem de elos cujo comprimento excede 0.6cm? (b) Se uma corrente tiver 100 elos, qual a proporção de correntes a satisfazer as normas exigidas? (c) Utilizando apenas 99 elos, que valor deverá assumir o desvio padrão para que 90% das correntes satisfaça as normas do fabricante? (Exame 21/7/92) 85. O diâmetro de um certo tipo de peças é uma variável aleatória com distribuição normal. As peças são consideradas defeituosas se o seu diâmetro diferir do valor médio µ mais do que 1.25 mm. Sabe-se que 2.28% das peças possuem um diâmetro superior a 7 mm, sendo também esta percentagem a das peças com um diâmetro inferior a 5 mm. Tendo-se extraído uma amostra de 100 peças de um grande lote, qual a probabilidade de aparecerem pelo menos 5 peças defeituosas.

27

86. Para efeitos de comercialização, um dado fruto é classificado de acordo com o seu tamanho. Considera-se que o diâmetro de uma peça deste fruto é uma variável aleatória com distribuição normal de desvio padrão igual a 5 cm e média µ cm. A classificação, em categorias, do referido fruto é a seguinte: Categoria C1 C2 C3

Diâmetro (x) em cm x≤6 6 < x < 12 x ≥ 12

a) Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C3, calcule o diâmetro médio dos frutos e a percentagem dos frutos das outras categorias. b) Se os frutos forem vendidos em embalagens de 6 unidades, qual a probabilidade de uma embalagem ter pelo menos 2 frutos da categoria C3? c) Sabendo que 10%, 8% e 2% dos frutos pertencentes respectivamente às categorias C1,C2 e C3 se apresentam em más condições, qual a probabilidade de um fruto retirado ao acaso não estar em condições de ser consumido? 87. Uma máquina deve ensacar sacos com 500g de turfa para plantações. O peso de cada saco de turfa é uma v.a. normal com σ=20 gramas. A média da distribuição pode ser regulada na máquina pelo operador. (a) Qual deverá ser a média calibrada na máquina, de modo que apenas 5% dos sacos tenha peso inferior ao desejado? (b) Enquanto aguardam em armazém a saída para o campo, os sacos são colocados numa prateleira que, por ser pouco resistente, apenas consegue suportar 300 kg. Qual o risco de a prateleira desabar no caso de serem empilhados 610 sacos? (Exame 17/9/92) 88. Num edifício funcionam 7 elevadores. A carga máxima de cada elevador é de 320 kg. A dada altura entra um grupo de 4 pessoas em cada um dos elevadores. Calcule a probabilidade de no máximo 3 elevadores não funcionarem se o peso de uma pessoa for considerado uma variável aleatória com distribuição normal de média 71,75 kg e desvio padrão 10 kg. 89. O João vai entrar para a Universidade e foi informado de que há 30% de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa, a probabilidade de se licenciar é de 0.80, enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0.50. a) Diga ao João qual a probabilidade de ele não se licenciar. b) Se daqui a uns anos encontrar o João já licenciado, qual a probabilidade de ele ter recebido a bolsa de estudo? 28

c) Considere toda a população estudantil que se encontra nas mesmas condições do João relativamente à possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. c1) Se for retirada uma amostra de 100 estudantes ao acaso, qual a probabilidade de se licenciarem entre 50 e 60 (inclusivé)? c2) Se for retirada uma amostra de 20 estudantes ao acaso dos que vierem a licenciar-se, qual a probabilidade de nenhum ter recebido bolsa de estudo. (Exame 13/9/91) 90. Uma fábrica de derivados de cortiça produz lotes de 10000 rolhas para exportação. Por cada lote, 100 rolhas são retiradas sem reposição para analisar. Se não existirem mais de 3 rolhas defeituosas, o lote está em condições de ser exportado. a) Determine a função probabilidade da variável aleatória que indica o número de rolhas defeituosas na amostra retirada de um lote com y rolhas defeituosas. b) Calcule a probabilidade de um lote com 600 rolhas defeituosas estar em condições de ser exportado. c) Qual deveria ser o critério a adoptar para que a probabilidade de exportar o lote referido na alínea anterior fosse inferior a 0.05? (Exame 7/7/89) 91. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por uma máquina A é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [5, 7]. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por outra máquina B é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [6, 9]. A máquina A produz o dobro das peças da máquina B. a) Uma peça é retirada ao acaso da produção total das duas máquinas. i) Qual é a probabilidade da peça ter um comprimento superior a 6.5 cm? ii) Sabendo que a peça tem um comprimento superior a 6.5 cm , qual é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A? b) Recolheu-se uma amostra aleatória de 100 peças produzidas pela máquina A. Qual é a probabilidade aproximada de o comprimento médio das peças ser superior a 6.5 cm? Justifique. (Exame 10/7/98) 92. O número de avarias por mês nos comboios da linha de Sintra que provocam a interrupção da circulação é uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 3.5. O número de avarias num dado mês é independente do número de avarias nos outros meses. Por outro lado, o tempo necessário para restabelecer a circulação ferroviária após 29

uma avaria é uma variável aleatória Y com distribuição N (2.5 ,0.75) (em horas), e também aqui, o tempo de reparação após uma avaria é independente dos tempos de reparação após outras avarias. a) Qual o número esperado de avarias num dado mês? E num ano? b) Qual a probabilidade de a interrupção da circulação após uma avaria exceder 4.5 horas? c) Qual a probabilidade de o tempo total de interrupção da circulação na linha de Sintra exceder 8 horas, se houver 2 avarias num mês? d) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória que conta o tempo total de interrupção da circulação num mês, se houver r avarias ? Qual o seu valor esperado? 93. O tempo de duração T , em minutos, de uma chamada telefónica é uma variável aleatória com distribuição exponencial padrão. O custo, em euros, de cada chamada C(T ), função da duração, é dado por C(T ) =

  

0.2 0.2 + 0.6(T − 3)

03

.

Determine o custo médio de cada chamada. 94. O tempo de espera para uma pessoa ser atendida numa dada pastelaria é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 4 minutos. Qual a probabilidade de uma pessoa ser atendida em menos de três minutos, em pelo menos 4 dias de uma semana (considere uma semana com 7 dias)? 95. Considere três componentes colocadas em série de tal modo que a avaria de qualquer uma determina uma avaria no sistema. Admita que os tempos de vida (Xi , i = 1, 2, 3) das componentes são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com parâmetros β1 , β2 e β3 , sendo βi > 0, ∀i ∈ {1, 2, 3}. Deduza a função de distribuição cumulativa do tempo de vida dos sistema, Y = min{X1 , X2 , X3 }. (Exame 17/9/92)

96. Determine: a) O quantil de ordem 0.99 numa distribuição χ2(4) ; b) q 0.99 numa distribuição χ2(18) ; c) q 0.9 numa distribuição t-Student com 3 graus de liberdade; d) q 0.1 numa t(3) ; e) q 0.9 numa t(23) ; f) q 0.9 numa t(10000) ; 30

g) o quantil de ordem 0.95 numa distribuição F (7,15) ; h) q 0.05 numa F (15,7) . 97. Sejam X1 , X2 , ..., X80 80 variáveis aleatórias independentes com distribuição nor2 mal reduzida. Calcule P (X12 + X22 + ... + X80 > 107). 98. Sejam X, X1 , X2 , ..., X10 11 variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de valor médio nulo e desvio padrão 2. Considere X T =v u 10 uX t

. Xi2

i=1

a) Calcule P (|T | < 0.4339). b) Determine k tal que P (T > k) = 0.5. c) Calcule P (T 2 > 0.496). 99. Considere uma amostra aleatória de dimensão 25, (X1 , X2 , ..., X25 ) , em que Xi , (i = 1, 2, ..., 25) tem distribuição N (0, 0.3). a) Qual a probabilidade do estimador X tomar um valor inferior a -0.05? b) Seja Y =

25 X

Xi2 . Calcule:

i=1

b1) P (Y > 1); b2) P (Y > 0|Y < 1). 100. Sejam Z1 , Z2 e Z3 variáveis aleatórias independentes com distribuição normal reduzida. Calcule as seguintes probabilidades: a) P (Z1 < 1.5); b) P (Z1 + Z2 < 1.5); c) P (Z12 < 3.84); ! Z12 + Z22 < 400 ; d) P Z32 



Z1

> 7 ; e) P  q 2 2 Z2 + Z3

f) P (Z12 + 2 Z1 Z2 + Z22 < 10).

101. Sejam V1 , V2 , ..., V9 variáveis aleatórias normais reduzidas independentes. Considere as variáveis aleatórias seguintes: V = Calcule:

9 X

V2 V1 − V2 Vi , X = P 9 1 2 e Y = q . i=2 Vi V32 + V42 + V52 i=1 31

a) P (|V | < 0.25);

b) P (X > 0.014); c) P (Y < 1.9). (Exame 7/12/90)

32

Soluções de alguns Exercícios de Probabilidades

2.

a) 0.5. b) 1/3. c) 2/3.

4. 5/8. 6.

a) 0.3. b) 0.5.

7.

a) 0.25. b) 0.85. c) 5/6.

8.

a) [0, 0.5]. b) [0, 2/3] ∪ {1}. c) [0, 1].

9. A- Acontecimento “atleta 1 percorre 100 m em menos de 10 s” B- Acontecimento “atleta 2 percorre 100 m em menos de 10 s” C- Acontecimento “atleta 3 percorre 100 m em menos de 10 s”

Pede-se P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+ P (A ∩ B ∩ C)





ou P (A ∪ B ∪ C) = 1 − P A ∩ B ∩ C =

78 150

= 0.52

14.

a) i) P (G) = P (G ∩ A) + P (G ∩ B) + P (G ∩ C) = 0.85. ii) P (C|G) = 2/9. ¯ ¯ b) P (G|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C)+ ¯ +P (G|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C) =0.941.

15.

b) 0.64.

21.

a) 0.51. b) 17/49. c) 0.65.

22. Consideremos os seguintes acontecimentos: 



C - ”dia chuvoso”

-

P (C) = 0.3

P P C|C = 0.10

S - ”dia sol”

- P (S) = 0.6

P (P C|S) = 0.20

N - ”dia S/sol e S/chuva” - P (N) = 0.1

P C - ”prever chuva” P C - ” prever não chuva ” 33





P P C|N = 0.05















a) P P C = P P C ∩ S + P P C ∩ C + P P C ∩ N 

↓ Teorema da probabilidade total 







 

= P P C|S · P (S) + P P C|C · P (C) + P P C|N · P (N ) = 0.52 b) P (S|P C) =

P (P C|S)·P (S) P (P C)



0.20×06 1−0.52

=

= 0.25







c) P (erro) = P P C ∩ C + P (P C ∩ S) + P P C ∩ N + P (P C ∩ N ) = 0.25

23.

∞ X 1

a) P (X = 2j) =

j=1

b) P (X > 5) =

22j

∞ X 1

j≥6

2j

j=1

{z

P (N ) = 0.1

= 1/3.

= 1/32.

∞ X 1

c) P (X = 3j) =

|

23j

= 1/7.

24.

a) a ∈]0, 1[.

31.

a) Se X é v.a. contínua então terá que ter-se F (x) contínua limx→0+ F (x) = 0 e limx→π− F (x) = 1 , isto ´e, 1 a.0 + b = 0 e aπ + b = 1 ⇒ b = 0 e a = π  1  0 45) = 1 − P (X ≤ 45) ∼ 1 − P (X ≤ 45.5) = 0.1314.

d) P (44 ≤ X ≤ 50) ∼ P (43.5 ≤ X ≤ 50.5) = 0.2227. 85. 0.008. 86.

a) Diâmetro médio dos frutos: 9.4 cm; 24.8% e 45.2% de frutos C1 e C2, respectivamente. b) 0.58. c) Categorias C1 C2 C3

P (Ci ) 0.25 0.45 0.30

P (Mau/Ci ) 0.10 0.08 0.02.

Então P (Mau)= 0.067. 88. 0.9998. 90.

a) H(10000, 100, y) ∼ B(100;

y ). 10000

37

b) ≃ 0.145.

c) Se não existir mais de 1 rolha defeituosa na amostra então o lote está em condições de ser exportado.

92.

a) 3.5 e 42. b) 0.0039. c) 0.0023. d) A v.a. tem distribuição N (2.5r; 0.75

97. 0.025. 98.

a) 0.8. b) k = 0. c) 0.05.

38

√ r) . O seu valor esperado é 2.5r.