THE XI LATIN-AMERICAN CONGRESS ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE 2015 "BIOENERGY FOR ELECTRICITY GENERATION AND ECOLOGICAL ISSUES IN POWER PLANTS"
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Reconfiguração Ótima de Sistemas de Distribuição com Representação das Incertezas na Demanda através de Fluxo de Potência Intervalar Felipe. S. Seta, Leonardo W. Oliveira, Member, IEEE, Edimar J. Oliveira, Member, IEEE, Vander M. da Costa, Member, IEEE and Ângelo R. Oliveira, Member, IEEE
Abstract—The present work proposes a methodology to solve the problem of optimal reconfiguration of power distribution systems by using a more realistic representation of load. The proposed methodology is based on the meta-heuristic technique Artificial Immune System. The interval mathematics fundamentals are embedded in an interval power flow that model the uncertainties of load. The input interval variables are the active and reactive loads at the network nodes. The input uncertainties are thus propagated to the output power flow variables. As result, the total energy losses to be minimized are also given in interval form. A methodology for comparing intervals is used to determine the best topology. The main objective of this work is to evaluate the impact of representing the load uncertainties in the optimal network configuration in comparison to traditional deterministic models. The proposed algorithm is tested in systems known in the literature. Index Terms—artificial immune system, interval load flow, load levels, optimal reconfiguration, uncertainties.
∆
, ,
,
,
,
,
∅ ,Ω
,
,∆
,
,∆
, !
#$
Demandas intervalares de potência ativa e reativa na barra , respectivamente; Demandas determinísticas de potência ativa e reativa na barra , respectivamente; Variações percentuais da demanda de potência ativa, reativa e maior variação percentual entre as duas, respectivamente; Intervalos referentes às partes real e imaginária da tensão da barra , respectivamente; Valores determinísticos da parte real e da parte imaginária da tensão da barra , respectivamente; Módulo de tensão, ângulo de fase e corrente injetada intervalares na barra ; Conjunto das barras vizinhas à barra , incluindo a própria barra, e das barras vizinhas excluindo-se , respectivamente;
Os autores deste artigo agradecem o apoio do CNPq, FAPEMIG, CAPES, INERGE e do grupo de pesquisa ‘‘Otimização Heurística e Bio-inspirada” da UFJF. F. S. Seta, L. W. Oliveira, E. J. Oliveira, V. M. da Costa and A. R.Oliveira. são da Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, MG – Brasil (email:
[email protected]).
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I. NOMENCLATURA ,
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%
(
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&, '
Matriz admitância nodal intervalar; Tensão complexa determinística da barra ; Potências intervalares injetadas na barra ativa, reativa e complexa, respectivamente. Resíduos intervalares de potência ativa e reativa da barra , respectivamente; Potências intervalares geradas na barra , ativa e reativa, respectivamente; Diâmetro do intervalo, ou seja, distância entre os limites superior e inferior; Perda de potência determinística, intervalar e acréscimo intervalar de perda no trecho , respectivamente; Perda total de energia intervalar; Números de trechos de distribuição e de níveis de carregamento, respectivamente; Tempo de operação no nível de carga "; Valor associado à chave manobrável do trecho ; Perda de potência determinística e acréscimo intervalar de perda de potência, respectivamente, no trecho e nível "; Gerações de potência ativa e reativa determinísticas, respectivamente, na barra e nível "; Demandas intervalares de potência ativa e reativa, respectivamente, na barra e nível "; Fluxos de potência ativa e reativa intervalares, respectivamente, no trecho e nível "; Módulos de tensão determinística e intervalar, respectivamente, na barra e nível "; Ângulo de fase determinístico entre as barras e no nível "; Limites mínimo e máximo de tensão, respectivamente; Condutância do trecho ; Números de soluções do algoritmo de otimização e de chaves manobráveis do sistema, respectivamente; Parâmetro que controla o processo de clonagem do algoritmo de otimização;
),)* ,)+ ,
∗
.
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Parâmetro de controle do processo de hipermutação somática e valores deste parâmetro em geração de baixa e alta mutação no algoritmo de otimização; Número de anticorpos selecionados no algoritmo de otimização; Número de gerações sem atualização da melhor solução para inicializar uma geração de alta mutação no algoritmo de otimização; Limite inferior de diversidade do conjunto de soluções do algoritmo de otimização para inicializar uma geração de alta mutação. II. INTRODUÇÃO
A
s perdas técnicas em sistemas de distribuição de energia elétrica (SDE) constituem um dos fatores que mais contribuem para o aumento dos custos operacionais desses sistemas [1]. Portanto, sua minimização é de extrema importância para reduzir os custos das distribuidoras. Nesse contexto, há diferentes alternativas para a redução das perdas técnicas, sendo a reconfiguração da rede uma opção amplamente investigada na literatura [2], [3] e [4]. Esta opção consiste na determinação de uma topologia radial e conexa de rede, através da definição dos estados (aberto ou fechado) das chaves manobráveis acopladas aos trechos de distribuição [5]. Esta topologia também deve atender as restrições operacionais [6]. Na maioria dos estudos sobre reconfiguração de redes de distribuição para a redução de perdas técnicas, o fluxo de potência utilizado para a avaliação de cada solução candidata é de natureza determinística. Neste modelo, as variáveis de controle são representadas como constantes durante o processo de cálculo [7]. Sabe-se, no entanto, que a demanda de carga em SDE reais apresenta um grau de incerteza devido, principalmente, a erros de medição e constante variação da carga [8]. Levando em consideração esses fatores, uma maneira eficiente de modelagem de incertezas no problema de fluxo de potência é considerar as gerações, as cargas e os parâmetros de linha passíveis de variações. Consequentemente, os resultados do modelo, tais como as tensões nodais, os fluxos nos trechos e as perdas, são apresentados na forma de uma faixa de possíveis valores. Esta consideração permite uma avaliação mais realista a respeito da operação de um sistema de energia elétrica [9]. Uma teoria capaz de agregar as características descritas e incorporar as incertezas presentes nos dados de entrada de um SDE é a matemática intervalar [10]. Com ela, é possível considerar um conjunto de métodos para a manipulação de intervalos numéricos que aproximam dados incertos [11]. Tais métodos consistem, portanto, em uma maneira de tratar as incertezas inerentes aos sistemas de energia elétrica. A reconfiguração ótima de SDE para a minimização de perdas técnicas trata-se de um problema de programação não linear inteira mista, combinatória, cuja região de solução é não convexa [4], [12]. A garantia da solução ótima global para este tipo de problema somente pode ser dada a partir da análise de
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todas as combinações possíveis, o que é computacionalmente inviável para os requisitos dos SDE [4], [12]. Baseado nessas características, este problema é propício para a aplicação de técnicas meta-heurísticas, que permitem uma análise eficiente do espaço de busca. As referências [2] e [12] propõem a aplicação da técnica meta-heurística denominada sistema imunológico artificial para a resolução do problema de reconfiguração de SDE. No entanto, estas referências utilizam fluxo de potência determinístico que não considera a natureza probabilística da demanda. Seguindo esta linha de pesquisa, o presente trabalho propõe a aplicação da técnica meta-heurística bio-inspirada intitualada Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) ao problema de reconfiguração ótima de SDE utilizando fluxo de potência intervalar. A metodologia proposta contempla aspectos importantes como incertezas na demanda através da modelagem intervalar, diferentes níveis de carga do sistema e limites de tensão. Destaca-se que a metodologia proposta constitui-se em uma ferramenta objetiva e eficiente na demonstração do impacto da representação de incertezas da demanda no problema da reconfiguração. O desenvolvimento deste trabalho foi motivado pela complexidade do problema e a escolha da técnica SIA foi inspirada pelo ineditismo de sua aplicação para ao problema de reconfiguração através de fluxo de potência intervalar. Além disto, a utilização bem sucedida da técnica para reconfiguração determinística em [2] e [12] e para a alocação de geração distribuída em [13] reforçou a decisão pela escolha do método. A metodologia proposta é validada em dois sistemas conhecidos da literatura. III. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Esta seção apresenta a fundamentação teórica associada à matemática intervalar aplicada ao problema de reconfiguração de SDE, envolvendo o método de resolução de sistemas não lineares intervalares, o fluxo de potência intervalar e a metodologia de comparação de intervalos. A. Método de Krawczyk O método de Krawczyk [14] é considerado como um dos mais eficazes para a resolução de sistemas não lineares intervalares. Sua elaboração foi feita a partir do método de Newton e sua aplicação é feita pela resolução de um sistema não linear através de produtos de matrizes. Para a demonstração do método, considera-se a equação /012 = 0, em que / é uma função não linear. Aplicando-se o teorema do valor médio, chega-se a equação formulada a seguir. (1) /052 = /012 + 70'2. 05 − 12 Em que 5 é o valor incremental a partir de 1; ' é um valor entre 1 e 5 e 7 é a matriz jacobiana em 1. Fazendo /052 = 0, tem-se: (2) 70'2. 05 − 12 = −/012 Definindo o intervalo :1; 5< ∈ >, tem-se que: 70>2. 0> − 12 = −/012
(3)
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A expressão apresentada em (3) só é possível porque ' ∈ >. Adicionando o termo 01 − 52 nos dois lados de (3), tem-se: 070>2 −
2. 05 − 12 = −/012 + 1 − 5
(4)
Em que é a matriz identidade intervalar. A equação (4) pode ser reescrita da seguinte forma: (5) 5 = 1 − /012 + ? − 70>2@. 05 − 12
De acordo com a condição :1; 5< ∈ >, 5 pode ser substituído pelo intervalo >. Assim: (6) A01, >2 = 1 − /012 + ? − 70>2@. 0> − 12
A01, >2 é denominado operador Krawczyk e corresponde ao intervalo de solução de (5). A nova solução é encontrada a partir da interseção da solução anterior com esse operador. Introduzindo uma matriz de pré-condicionamento 0#2 para evitar a obtenção de intervalos crescentes na resolução do problema, a equação em (6) é reformulada para a iteração ℎ como: (7) A01 C , > C 2 = 1 C − #. /01 C 2 + D − #. 70> C 2E 0> C − 1 C 2 # = D F ?70> C 2@E
G*
(8)
> CH* = > C ∩ A01 C , > C 2
(9)
De acordo com (8), a matriz de pré-condicionamento # é igual à inversa do ponto médio de 70> C 2. Diferentemente do método de Newton, o método de Krawczyk dispensa o cálculo da inversa da matriz Jacobiana intervalar. B. Fluxo de Potência Intervalar O fluxo de potência intervalar é inicializado após a convergência do fluxo de potência determinístico. O presente trabalho utiliza a formulação polar do fluxo de potência. O fluxo intervalar polar, cujos passos são apresentados na Fig. 1 e resumidos na sequência, é baseado no método de Krawczyk descrito anteriormente. Passo 1: As tensões pontuais, obtidas através do fluxo de potência determinístico, são utilizadas como ponto de partida para o fluxo de potência intervalar e são consideradas como os pontos médios das tensões intervalares iniciais. Passo 2: As variações percentuais de cada demanda são calculadas da seguinte forma: =J =J
. 01 − . ?1 −
2; @;
. 01 + . ?1 +
2L @L
(10) (11)
Passo 3: As tensões intervalares são inicializadas utilizando as respectivas tensões determinísticas como pontos médios e a maior variação percentual da demanda como o raio para os intervalos. Dessa forma, as variações intervalares das tensões são calculadas como: =J =J
. 01 − . 01 −
2; 2;
. 01 + . 01 +
2L 2L
(12) (13)
Fig. 1. Fluxograma do algoritmo de fluxo de potência intervalar polar
Na formulação via coordenadas polares, as tensões inicializadas conforme (12) e (13) são reformuladas como: M M = N? =
@ +?
'O ?
+
⁄
@
@
+
(14) (15)
Passo 4: Neste passo, são calculados os resíduos de potência intervalares. Para tanto, é necessário primeiramente o cálculo das potências ativas e reativas injetadas nas barras. A corrente injetada em uma barra é dada por: (16) = Q . ∈∅R
Portanto, a potência complexa injetada na barra ∗ = .? @ = +S
é:
Logo, os resíduos intervalares de potência na barra calculados por: ∆ ∆
= =
−? −?
− −
@ @
(17) são
(18) (19)
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Estendendo para todas as barras, o vetor /012 é dado por: ∆ /012 = T U ∆
(20)
Os resíduos /012 são calculados apenas uma vez, pois as potências intervalares são constantes no algoritmo de fluxo de potência intervalar. Passo 5: Nesse passo, o operador Krawczyk é aplicado de acordo com (7). A Jacobiana intervalar é calculada utilizando as mesmas equações de cálculo da Jacobiana determinística, porém utilizando-se as tensões e a matriz admitância nodal intervalares. Assim como /012, a matriz de précondicionamento # é calculada uma única vez e permanence constante no algoritmo de fluxo de potência intervalar, pois é a inversa do ponto médio de 70> V 2, que por sua vez, é a matriz Jacobiana no ponto de solução do fluxo determinístico. Passo 6: Neste passo, as tensões intervalares são atualizadas de acordo com (9), em que 1 e > são os pontos médios e os valores intervalares, respectivamente. Passo 7: Neste passo, verifica-se a condição de convergência do algoritmo, dada em função da expressão: |
0> C 2 −
0> CG* 2|⁄2
(21)
=
,
(22)
Se o valor calculado em (21) for menor que uma tolerância pré-especificada igual a 10GY , o algoritmo é encerrado. Caso contrário, o algoritmo retorna para o Passo 5. Passo 8: Neste passo, calcula-se as perdas técnicas na forma intervalar com base em [15]. A perda intervalar em um trecho da rede é função não linear das tensões intervalares das barras terminais, ou seja: ? ,
,
@
A função em (22) é linearizada em torno dos valores de suas variáveis calculados pelo fluxo de potência determinístico através da série de Taylor. Na sequência, o resíduo da perda ∆ é calculado em função dos resíduos intervalares de potência ∆ e ∆ , resultando em: (23) ∆ ∆ = Z[ T U ∆ \ \ \ \ (24) Z[ = T > + + ] + ^U \ \ \ \ Em que > , , ] e ^ são os elementos da matriz Jacobiana inversa conforme formulado em (25), após a convergência do fluxo de potência determinístico. J… ∆
∆
…∆
∆
… L = :… > a
… ] ^ … 0
(31)
A partir disso, pode-se definir a relação de ordem “
