Concepções e representação de relações entre quantidades

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: http://www.researchgate.net/publication/269764668

Concepções e representação de relações entre quantidades THESIS · OCTOBER 1995 DOI: 10.13140/2.1.3567.5209

1 AUTHOR: Alex Sandro Gomes Federal University of Pernambuco 183 PUBLICATIONS 96 CITATIONS SEE PROFILE

Available from: Alex Sandro Gomes Retrieved on: 21 August 2015

Universidade Federal de Pernambuco Curso de Mestrado em Psicologia

Concepções e representação de relações entre quantidades

Alex Sandro Gomes

Dissertação  de  Mestrado   Área de concentração: Psicologia Cognitiva

Recife,  1995  

ii

ORIENTADORES:

Dr. Luciano de Lemos Meira (1º Orientador) Dr. David William Carraher (2º Orientador)

BANCA EXAMINADORA:

Dr. Luciano de Lemos Meira (Presidente) Dr. Jorge Tarcísio da Rocha Falcão Dr. Paulo Figueiredo

COORDENADORA DO MESTRADO:

Dra. Lúcia Browne Rego

iii

In memoriam: Hildevânio Gomes de Lima

iv

Agradecimentos Sem dúvida devemos muito a muitas pessoas. No entanto, há determinadas ações de nossos amigos, familiares, colegas ou conhecidos que têm o poder de nos tocar de forma mais significativa que outras. Esses detalhes nos fazem encontrar respostas muito importantes. Todas as pessoas que vou citar a seguir foram importantes e isso de uma forma genérica. No entanto, referindo-me a cada um deles eu gostaria de destacar o aspecto de nossas relações que é mais significativo, os quais eu tomo como ‘marcos teóricos de apoio’ para continuar a fazer esse Mestrado, enquanto pensava sobre o assunto que irei apresentar, enquanto escrevia esse documento, enquanto vivia. A minha mãe. Dessa mulher fantástica, gostaria de registrar a confiança madura que ela depositou em mim e em meus sonhos (mesmo quando esses pareciam não ter sentido). Lembro bem do momento quando tive o insight do caminho profissional que eu iria tomar. Ainda me recordo do local e o que estava lendo. Ela estava lá, ela está aqui e em ambas as situações há apenas um invariante1, uma frase: “Faça aquilo que o seu coração mandar”, e eu estou fazendo. E você, pai. Você soube, como ninguém, respeitar-me e aos meus sonhos, mesmo vendo que poderia ser mais útil, de forma imediata, se agisse de outras formas. E como se não bastasse, ainda me mostrou como analisar um momento presente e como projetar um futuro. A minha irmã, assim como para qualquer pessoa com menos idade do que eu, não quero apenas agradecer, mas além disso, quero deixar um exemplo e uma frase: “Acredite em seus sonhos.” Ao amigo Artur... não sei se há teorias sobre o funcionamento das amizades. Caso não haja, gostaria de sugerir que as investigações começassem a partir do seguinte modelo teórico: o follow up. O estudo seria basicamente voltado a investigação do conjunto de comportamentos cooperativos e seus respectivos retornos ou feedbacks. A metodologia... bem, a metodologia fica a cargo dos interessados. O que gostaria de significar com essa ‘sugestão de estudo’ é o meu

1Qualquer

referência a termos de uso técnico terá sido apenas ‘mera coincidência’.

v

profundo agradecimento a todo o apoio logístico e estratégico, e de caráter providencial que sempre dele recebi. Ao meu Professor Luciano Meira. A literatura no campo da Metodologia Científica destaca diferentes tipos de relações que existem entre orientando e orientador. Em um dos tipos, destaca-se a exploração do primeiro pelo segundo, que tende a forçar o aluno a engajar-se no seu projeto atual de pesquisa. Nesse caso, o aluno torna-se apenas um trabalhador intelectual e o seu direito de ser criativo encontra-se sob controle alheio. Em outros casos, o orientador exerce o papel de educador, no sentido amplo da palavra, orientado o estudante no desenvolvimento de meta-conhecimento a respeito do labor intelectual. Luciano soube orientar-me e respeitar-me a partir do meu ponto de vista teórico, das minhas limitações técnicas e da minha maneira de trabalhar. Portanto, no meu caso particular, eu contei com um verdadeiro educador como orientador. Ao Professor David Carraher. Houve momentos em minha vida, geralmente antes de fazer alguma escolha importante, nos quais procurei identificar a melhor pessoa para me orientar. Quando terminei a graduação em Engenharia, eu já sabia que queria criar brinquedos educativos (“a escolha”), e portanto procurei identificar a pessoa que melhor me orientaria nessa passagem. Hoje, iniciado no labor de criar instrumentos didáticos, tenho a convicção que fui feliz na escolha dessa pessoa. Todo profissional teve alguém que o ensinou os primeiros passos. Com cientistas também é assim. Foi com o Professor João Pereira de Brito que tive minha iniciação. Sob sua orientação fiz minha primeira revisão bibliográfica e escrevi meu primeiro artigo. Ao todo, vivo a 9 anos no ambiente universitário. Conheci muitos colegas, fui orientado por diversos professores e fiz duas amigas. Cláudia, pessoa do mesmo signo que eu; e Maria, pessoa de uma enorme visão. Com cada uma delas aprendi um pouco mais sobre carinho e solidariedade. Ao CNPq e ao povo brasileiro, agradeço todo o apoio financeiro que permitiu realizar este estudo. A todos os professores do mestrado: Alina, Jorge, Profa. Lúcia, Analúcia, gostaria de agradecer todo o apoio moral e conceitual que sempre pude dispor.

vi

À Vera, Elaine e Irani gostaria de agradecer o acesso e a simpatia com os quais me acolhem sempre que preciso. À diretoria da Escola Recanto Infantil, em nome da Professora Maria de Fátima Morais e das coordenadoras Maria Inês Pires e Regina agradeço o carinho com o qual me acolheram durante a coleta de dados deste estudo. Aos alunos que participaram do mesmo, agradeço o tempo e a paciência dispensados. A todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho, cujos nomes tenho receio de enunciar para evitar omissões, obrigado! A Deus agradeço o fato de ter conhecido essas pessoas.

vii

Resumo No presente estudo investigou-se a natureza da relação existente entre os conhecimentos empregados por adolescentes de primeiro grau maior e segundo grau ao resolver problemas de comparação entre taxas de variação, apresentados em diferentes tipos de fenômenos, a maneira como os alunos criam e utilizam sistemas de representações autênticos, e ainda como essas representações são utilizadas durante tratamentos cognitivos de determinados invariantes. Participaram do estudo 18 alunos de 5ª e 7ª séries do primeiro grau e do 1º ano do segundo grau de uma escola particular da cidade do Recife. Os dados foram coletados através de entrevistas clínicas que incluíram: tarefas de produção de desenhos e tarefas de interpretação de gráficos cartesianos. Nas tarefas do primeiro tipoo, descreviam-se duas ou mais etapas de um fenômeno físico. Pedia-se os sujeitos que desenhassem algo que representasse cada um dos fenômenos descritos. No segundo grupo de tarefas, foram apresentados aos sujeitos gráficos cartesianos que representavam fenômenos físicos. Pedia-se aos sujeitos que interpretassem as relações quantitativas expressas nesses gráficos. A análise das produções dos alunos mostrou que esses, mesmo aqueles que ainda não foram introduzidos às representações gráficas cartesianas, são capazes de criar desenhos adequados à representação de fenômenos descritos verbalmente. Além disso, há muitos aspectos geométricos em seus desenhos que os tornam instrumentos potenciais à resolução dos problemas. Foram identificados três categorias de produções em observando os dois seguintes critérios: a presença de silhuetas de objetos físicos nos desenho e a utilização de regras escolares na construção dos desenhos. A análise qualitativa do uso desses mostrou que todos os três tipos desenhos são igualmente práticos à representação de fenômenos físicos e igualmente úteis à resolução dos problemas de comparar taxas.

viii

Abstract The present study investigated the nature of the relations between the competencies of adolescents to solve rates comparison’ problems, involving different kinds of phenomenon, and the way how students created and used paper and pencil representation that can serve as instruments in the cognitive treatment of diverse invariantes. Eighteen students of 5th, 7th and 9th grades from a Brazilian private school, in Recife, participated of the study. Data was collected throughout clinical interviews, that included production and graphs interpretation tasks. In the first group, there were described two or more phases of a physical phenomenon and asked to the students to draw one representation to them. In the second group of tasks, there were presented Cartesian graphs and asked to them about the quantitative relations graphed. The results showed that the students, as those who never had been instructed about graphs systems, were capable to create adequate draws to represent the phenomenons. There were many geometrical aspects in those draws that transform then into potential instruments to the problems solving. There were identified three groups of draws concerning the following criteria’s: the representation of physical objects in the draws e the utilization’s of school rules to the creation of those draws. The analyses showed that all kinds of draws were equally practical to the phenomenons’ representation and useful to problems solving involving rate’s comparisons.

ix

Índice AGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... iv RESUMO ............................................................................................................................................. vii ABSTRACT ........................................................................................................................................ viii ÍNDICE ................................................................................................................................................. ix ÍNDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................ xi ÍNDICE DE PROTOCOLOS ............................................................................................................ xiii ÍNDICE DE TABELAS .......................................................................................................................xv CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO ............................................................................................................1 1 O CONCEITO DE TAXA E AS RELAÇÕES COM OS CONCEITOS DE RAZÃO E PROPORÇÃO .................2 1.1 O conceito de taxa .......................................................................................................2 1.2 Os conhecimentos sobre razão e proporção ...............................................................4 1.3 Conclusões .................................................................................................................11 2 O PROCESSO DE REPRESENTAÇÃO .............................................................................................11 2.1 O conceito Vygotskiano de mediação ........................................................................12 2.2 A relação entre invariante e representação ..............................................................13 3 FORMAS E FUNÇÕES DA REPRESENTAÇÃO .................................................................................15 3.1 As Funções da representação ....................................................................................16 3.2 Interpretar gráficos e o conceito de taxa ..................................................................21 3.3 As competências dos alunos para representar ..........................................................26 3.4 Conclusões .................................................................................................................33 CAPÍTULO 2: MÉTODO ...................................................................................................................34 1 SUJEITOS ...................................................................................................................................34 2 MATERIAL ................................................................................................................................35 2.1 Tarefas .......................................................................................................................35 3 PROCEDIMENTOS ......................................................................................................................39 CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE DADOS ..............................................................................................42 1 CARACTERÍSTICAS DOS DESENHOS E AS RELAÇÃO COM OS CONHECIMENTO SOBRE TAXA........44 1.1 Os tipos básicos de desenhos ....................................................................................44 1.2 Análise e discussão ....................................................................................................79

x

2 OS CONHECIMENTOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE QUANTIDADES E SUA REPRESENTAÇÃO ............87 2.1 Estratégia 1: Ênfase em Δq ou Δt ..............................................................................89 2.2 Estratégia 2: Relaciona Δq, Δt, Δq’ e Δt’ através de desigualdades ........................91 2.3 Estratégia 3: Solução aditiva ....................................................................................97 2.4 Estratégia 4: Ênfase na relação Δq/Δt ....................................................................106 2.5 Estratégia 5: Ênfase na relação Δt/Δq ....................................................................116 2.6 Estratégia 6: Não considera as variações Δq, nem as Δt, nem as razões ...............125 2.7 Análise .....................................................................................................................126 CAPÍTULO 4: CONCLUSÕES E IMPLICAÇÕES DIDÁTICAS ...............................................130 1 CONCLUSÕES ..........................................................................................................................130 2 IMPLICAÇÕES ..........................................................................................................................136 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................138 ANEXO I - A DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DO CONCEITO DE TAXA E AFINS ................146 1 UM POUCO DA HISTÓRIA DO CONCEITO ...................................................................................146 2 A TAXA DE VARIAÇÃO E A DERIVADA .....................................................................................148 2.1 Um exemplo da aplicação da derivada à Física - O conceito de velocidade .........152 ANEXO II - AS TAREFAS ...............................................................................................................154 1 SIMPLES ..................................................................................................................................154 2 DUPLAS ...................................................................................................................................157 3 TABELAS .................................................................................................................................159 4 GRÁFICOS ...............................................................................................................................160

xi

Índice de figuras FIGURA 1 - DIAGRAMA DAS TRANSFORMAÇÕES SIMULTÂNEAS OCORRIDAS NUM PROBLEMA ENVOLVENDO O CONCEITO DE TAXA, TENDO COMO CONTEÚDO A DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE ...... 3

FIGURA 2 - EXEMPLO DA APRESENTAÇÃO DE UMA TAXA POR MEIO DO USO DE UM GRÁFICO CARTESIANO4 FIGURA 3 - EXEMPLOS DE MATERIAIS USADOS POR SPINILLO & BRYANT (1991). (A) AS DUAS FIGURAS ONDE A COMPARAÇÃO OCORRE COM REFERENCIAIS DE METADE, (B) FIGURAS ONDE A COMPARAÇÃO ATRAVESSA O REFERENCIAL DE METADE (UM RETÂNGULO TEM A>B E O OUTRO

A’B e A’B e o outro A’B (ou AB e o outro A’>B’; (4) um retângulo tinha A> 16/24), uma estratégia que relacione as quantidades através de desigualdades permite ao aluno encontrar a relação entre as variações. Da mesma forma, um outro tipo de estratégia poderia ter sido usada como base para o seu desenho, pois o mesmo dispõe de aspectos geométricos que o tornam um meio provável através do qual ocorre a identificação das relações entre as quantidades.

 

Figura M - Desenho criado pelo aluno I para representar a contagem de ondas numa praia A segunda representação criada pelo aluno encontra-se no canto superior direito da figura m. Trata-se de um inscrição em forma de tabela onde são organizadas as variações das quantidades de ondas contadas e de tempo. A coluna da esquerda corresponde às variações de quantidades de ondas. A coluna da direita corresponde às durações dos intervalos de tempo. Essa pequena tabela organiza os

52

desenho de aspectos observáveis

número que, na descrição da tarefa, encontram-se separados. Essa tabela também permite que se identifique a relação entre as variações (36/7 > 16/24). Durante a entrevista, o examinador deliberadamente pediu para que o aluno comparasse as taxas antes de desenhar. O desenho dos palitos foi criado após o aluno ter encontrado a relação entre essas. Observe o diálogo transcrito no protocolo c abaixo. Protocolo C - Explicação da representação do aluno I na tarefa mardecrescente Sujeito Tarefa 1ª etapa 2ª etapa

I Idade Mar-decrescente 36 ondas em 7 min 16 ondas em 24 min

15

Série Sequência

7ª BCA

Ent: O terceiro problema com mar, certo? • O examinador pede para que o aluno Você teria que fazer uma representação. resolva o problema de encontrar a Agora, antes de fazer a representação, dá relação entre as taxas antes do aluno para saber em qual intervalo o mar está fazer o desenho. mais agitado? I: Dá... Na, na primeira, na primeira etapa está mais agitado.

• O aluno encontra a relação correta.

Ent: Por quê? I: Porque foi mais ondas em menos tempo. • O sujeito relaciona as variações através de desigualdades como Δq’>Δq e Δt’Δq’ e ΔtΔq’ e Δt