Conceptos-

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TEMAS DE INVESTIGACIÓN CONCEPTUAL

TEMA II
FUND. DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD














ÍNDICE
Contenido
ÍNDICE 2
INTRODUCCIÓN 4
Definición de conjunto. 5
Notación de conjuntos 5
Conjuntos explícitos e implícitos 6
Conjuntos implícitos: 6
Conjuntos explícitos: 6
Conjuntos Finitos e Infinitos 7
El conjunto Universal 8
Conjunto Vacío 9
Subconjuntos 9
Diagramas de Venn (Concepto grafico ce conjuntos) 9
Operaciones de con conjuntos 10
-Unión: 10
-Diferencia: 11
-Complemento: 11
Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos. 12
Cardinalidad de un conjunto 14
-Propiedades 14
-Preposiciones 14
Métodos para realizar un conteo 16
A) través de diagramas 16
i) Diagramas de Venn 16
ii)Diagramas de árbol. 16
ii) Principio multiplicativo (diagrama de rayitas") 17
b) A través de fórmulas o reglas de conteo. 18
i) K eventos en "n" intentos 18
iii) Para k1, k2,…,kn eventos 18
iv) "n" objetos tomados todos a la vez. 18
v) Permutaciones. 18
vi) Combinaciones 19
Introducción a la probabilidad (Desarrollo Histórico) 19
Conceptos básicos de la probabilidad. 19
Experimento aleatorio y ensayo. 19
Espacio muestral y evento. 20
Tipos de eventos. 20
Evento simple. 20
Evento compuesto. 20
Eventos mutuamente excluyentes. 20
Eventos colectivamente exhaustivos. 21
Eventos complementarios 21
Definiciones de probabilidad. 22
Enfoque clásico (a priori) 22
Enfoque Empírico o frecuencial (a posteriori) 22
Axiomas básicos de la probabilidad. 23
Probabilidad subjetiva. 23
Cálculo de probabilidades 24
Tablas de contingencia 24
Tablas de probabilidad 25
Probabilidad simple. 25
Probabilidad conjunta. 26
Regla general de la adición. 26
Probabilidad condicional. 27
Regla de la multiplicación e independencia estadística 27
Teorema de Bayes 27
BIBLIOGRAFÍA 29
WEBGRAFIA 29





INTRODUCCIÓN

En este documento se hablara sobre los conceptos de la teoría de la probabilidad, donde en la misma se incluye los conjuntos, los tipos de eventos, tablas de contingencias, tablas de probabilidad, conceptos básicos de la probabilidad, fórmulas de conteo, definiciones etc…






Definición de conjunto.

Un conjunto es una lista de objetos bien definidos que pueden ser números personas, letras, etc., estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto
Por ejemplo:
a) Los números 1,3,7 y 10.
b) Las personas que habitan en la tierra.
c) Las manzanas de la mesa.
Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas A,B,X,Y.
Los elementos de los conjuntos se representan con letra minúscula, a,b,x,y.
Se separan con comas los elementos y en cerrándolos entre llaves. esta es la llamada tabular de un conjunto
Ejemplo: A={a,b,c}
Notación de conjuntos
Notación conjunto es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra generalmente con una mayúscula como esto:

A = {definición del conjunto}1
La definición del conjunto está dentro de las llaves: {}. Hay dos estilos de la definición del conjunto que pueden estar en llaves.
Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos:
B = {libro, lápiz, borrador}2
En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos: libro, lápiz, y borrador.
Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los símbolos de las matemáticas se utilizan típicamente:
C = { x " x , x < 20 }3
Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20.

Conjuntos explícitos e implícitos

Conjuntos implícitos:
Se pueden escribir en forma implícita (por descripción) cuando no se enumeran o enlistan todos sus elementos Los conjuntos dados en los ejemplos 2, 3, 4 y S también se pueden escribir en forma implícita y en forma explícita:

Según la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos, los que tienen un número conocido de elementos, y los conjuntos infinitos, los que tienen un número ilimitado de elementos.
Conjuntos explícitos:
En forma explícita (por enumeración) cuando se enlistan todos sus elementos; por ejemplo, el conjunto de los días de la semana se puede escribir en forma implícita así: es un día de la semana}
Este se lee, S es el conjunto de los x tales que x es un día de la semana.
También podemos escribirlo en forma explícita S = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}

Conjuntos Finitos e Infinitos

Los conjuntos finitos son aquellos cuyos elementos se pueden "contar", es decir que se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales.
Los siguientes son ejemplos de conjuntos finitos:

Los conjuntos infinitos son aquellos en los que el proceso de conteo de sus elementos, no termina.

En este caso, los elementos del conjunto no se pueden contar, pues "entre dos números reales, siempre existe otro número real".
El concepto de un conjunto finito e infinito incluye la idea de "contar", o de encontrar la cardinalidad de un conjunto.
La cardinalidad de un conjunto (#) se define como el número de elementos de un conjunto.
De esta forma:

# (C) =1 debido a que solamente existe un elemento.

# (P) =11
De esta operación se desprende la siguiente definición:
Un conjunto se llama contable si entre éste y el conjunto de los números naturales o el conjunto con algunos elementos del conjunto de los números naturales, existe una correspondencia biunívoca.
Cabe mencionar que aun cuando un conjunto sea infinito, se puede contar, pues el conjunto de los números naturales también es infinito.


El conjunto Universal

Los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.
Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado apropiados para definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los múltiplos de 10.
Solución
(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ´o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y 1} ´o B = {x : x = 2y 1, y 2 Z+}
(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y 2 Z}

Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamífero}
B={x/x es un reptil}



Conjunto Vacío
El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como , ={ }, o { }. También, se puede definir con el uso de la notación {x"x x}, se lee "el conjunto de las x tal que x es diferentes de x".
Un conjunto que no tenga elementos se llama conjunto vacío y se representa por el símbolo Ø .
Así, por ejemplo, el conjunto formado por todos los números mayores que seis, que se pueden obtener al lanzar un dado, es vacío.
Muchas veces, en matemáticas, para indicar que un objeto no existe se representa simbólicamente por x ϵ Ø.

Subconjuntos
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B. La notación A B se lee "A es subconjunto de B". La notación A B se lee "A no es subconjunto de B".
Si A no es subconjunto de B, A B, significa que por lo menos un elemento de A no está en B.
El conjunto de los seres vivos es muy grande: tiene muchos subconjuntos, por ejemplo:
Las plantas son un subconjunto de los seres vivos
Los animales son un subconjunto de los seres vivos
Los seres humanos son un subconjunto de los animales

Diagramas de Venn (Concepto grafico ce conjuntos)
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Operaciones de con conjuntos
-Unión:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: .
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 
Ejemplo 2.
 
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 

-Intersección:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente:
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 


-Diferencia:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 

-Complemento:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 




Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos.













Propiedades de unión
– Propiedades asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.
R S T=(R S) T
R S T=R (S T)
– Propiedades conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía.
R S T=S R T
R S T=T R S
Propiedades de la intersección
– Propiedad asociativa, si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo.
R S T=(R S) T
R S T=R (S T)
– Propiedad conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no se altera.
R S T=R T S
R S T=T R S
– Propiedad distributiva
La unión es distributiva con respecto a la intersección.
(R S) T=(R T) (S T)
La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.
(R S) T=(R T) (S T)
Propiedades de la diferencia
La diferencia de conjuntos no es asociativa, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Ejemplo:
C= {x/x es el alumno que debe rendir español}
M={x/x es alumno que debe rendir matemáticas}
– 1° paso: Representación gráfica
– 2° paso: Ubicar en el conjunto C M los alumnos que deben rendir español pero no matemáticas.
– 3° paso: 20 alumnos deben rendir español, de acuerdo con los datos, y 10 rinden sólo esta materia; entonces, los 10 restantes adeudan ambas materias y se tienen que ubicar en C M
La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de conjuntos.
– (R S)-T=(R-T) (S-T)
– (R S)-T=(R-T) (S-T

Cardinalidad de un conjunto
-Propiedades
El Cardinal de un conjunto se usa básicamente en la determinación de cuantos elementos o individuos hacen parte de una operación entre conjuntos. Por ejemplo: el conjunto A está formado por 7 individuos que consumen gaseosas y el conjunto B está formado por 4 individuos que consumen jugos. El cardinal del (AuB) me indicará el total de individuos que consumen bebidas refrescantes, es decir 11
-Preposiciones

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa 
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir 
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de 
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. 
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: 

 
p
p'
1
0
0
1
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q :
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q". 
 Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "p o q".
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q". 
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, 
y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p entonces q". 

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
. 





Métodos para realizar un conteo
través de diagramas
Diagramas de Venn

Un diagrama de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.
Los diagramas de Venn en ningún momento constituyen una prueba matemática, sin embargo, permiten tener una visión intuitiva de la relación que puede existir entre Dos conjuntos.
Ejemplo:
Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {2, 3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

ii)Diagramas de árbol.

Una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad:

EJEMPLO 1: 
Una universidad tiene de tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.


¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

 
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?



Principio multiplicativo (diagrama de rayitas")
Se van a realizar: entrada y salida, colocamos dos rayas, en una colocamos el número de posibilidades que hay de entrar (4) y en la otra el número de posibilidades que hay de salir por otra puerta diferente a la de la entrada (3), por lo tanto, tenemos: 4 x 3 = 12.
tenemos que si queremos los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no se pueden repetir los dígitos, procedemos, colocando 5 "rayitas". En la última rayita (en el lugar de las unidades) sabemos que solo pueden ir el 0 y el S para que sean múltiplos de 5; estas son dos posi b i l i d a d e s ; por otro lado, una vez colocado uno de estos dos d í g i t o s , para el siguiente lugar, (el de las decenas) podemos colocar cualquiera de los 9 d í g i t o s que no hemos usado, es decir:

b) A través de fórmulas o reglas de conteo.
i) K eventos en "n" intentos
Si cualquiera de k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n intentos, el número de resultados posibles es igual a kn.
Para k1, k2,…,kn eventos
Si hay k1 eventos del primer intento, k2 eventos del segundo intento,…, y kn eventos del n ésimo intento entonces el número de resultados posibles es (k1)( k2)---( kn)
"n" objetos tomados todos a la vez.
El número de formas en los que n objetos pueden ordenarse n! = n(n-1)…(1). Donde n! se denomina n factorial y 0! Se define como 1.
Involucra el cálculo del número de formas en que un conjunto de objetos puede ordenarse.
Permutaciones.
El número de modos de ordenar X objetos seleccionados de n objetos es n!n-X!

Combinaciones
El numero de modos de seleccionar X objetos de n objetos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a
n!X!n-X!
Esta expresión puede denotarse mediante el símbolo Xn.
Comparando esta regla con la anterior, vemos que difiere sólo en la inclusión de un término X! en el denominador. Esto se debe a que cuando contamos permutaciones, todos los arreglos de X objetos eran distinguibles, con las combinaciones.
Introducción a la probabilidad (Desarrollo Histórico)

La palabra estadística se origina, en las técnicas de recolección, organización, conservación, y tratamiento de los datos propios de un estado, con que los antiguos gobernantes controlaban sus súbditos y dominios económicos. Estas técnicas evolucionaron a la par con el desarrollo de las matemáticas, utilizando sus herramientas en el proceso del análisis e interpretación de la información. Para mediados del siglo XVII en Europa, los juegos de azar eran frecuentes, aunque sin mayores restricciones legales. El febril jugador De Méré consultó al famoso matemático y filósofo Blaise Pascal (1623-1662) para que le revelara las leyes que controlan el juego de los dados, el cual, interesado en el tema, sostuvo una correspondencia epistolar con el tímido Pierre de Fermat (1601-1665, funcionario público apasionado por las matemáticas; célebre porque no publicaba sus hallazgos) dando origen a la teoría de la probabilidad, la cual se ha venido desarrollando y constituyéndose en la base primordial de la estadística.
Conceptos básicos de la probabilidad.
Experimento aleatorio y ensayo.
Un experimento aleatorio es un proceso que tiene las siguientes propiedades:
1) El proceso se efectúa de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas.
2) Es de naturaleza tal que se repite o puede concebirse la repetición del mismo.
3) El resultado de cada ejecución depende de "la casualidad" y, por lo tanto, no se puede predecir un resultado único.
Una sola ejecución del experimento se llama ENSAYO.
Espacio muestral y evento.
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama ESPACIO MUESTRA o ESPACIO MUESTRAL, del experimento, y se denota por S.
A cada resultado del experimento se le llama elemento o punto de S. Se dice que un espacio muestra es finito o infinito, cuando el conjunto S tiene un número finito o infinito de elementos, respectivamente. En muchos problemas prácticos no estamos tan interesados en los resultados individuales, del experimento sino en el hecho de que un resultado se encuentre contenido en un cierto conjunto de resultados. Es claro que cada conjunto de este tipo es un subconjunto del espacio muestra S, Este subconjunto se llama EVENTO.
Tipos de eventos.
Evento simple.

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.

Evento compuesto.
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Eventos mutuamente excluyentes.
Dos eventos A y B que no ocurren simultáneamente o que no tienen elementos en común, es decir se les llama eventos mutuamente exclusivos o mutuamente excluyentes.
Eventos colectivamente exhaustivos.
Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
Colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
En el EJEMPLO, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos.
En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).
Eventos complementarios
Dos eventos A y B son complementarios sí y a B se le denota por A .
54
El espacio muestra es el conjunto de las formas en que se pueden sacar dos fusibles de los cinco.
Sea el experimento de sacar dos fusibles ambos a la vez de una caja que contiene 5 fusibles (supongamos que están marcados con las letras a, b, c, d, y e) y de los cuales 3 están defectuosos (supongamos que los defectuosos son b, c, y d).
Ejemplo 3.23:.
S = {ab, ac, ad, ae, be, bd, be, cd, ce, de}
Algunos eventos son:
1) El evento A en que ninguno de los dos fusibles sean defectuosos.
2) El evento B, en que uno de los dos fusibles es defectuoso.
3) El evento C, en que uno o más fusibles son defectuosos
4) El evento D, en que los dos fusibles son defectuosos
Estos se pueden escribir asi:
A = {ae}
B = {ab, ac, ad, be, ce, de}
C = {ab, ac, ad, be, bd, be, cd, ce, de}
D = {be, bd, cd}
Los eventos A y B; A y D; B y D; A y C son mutuamente exclusivos,
es decir,
Los eventos A y C son además complementarios, o sea,

Definiciones de probabilidad.
Enfoque clásico (a priori)
El enfoque clásico o "a priori" proveniente de los juegos de azar o definición clásica de Laplace que se emplea cuando los espacios muéstrales son finitos y tienen resultados igualmente probables.

Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las dos siguientes condiciones:
i)El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.
ii) Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.
Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces P(A)


Enfoque Empírico o frecuencial (a posteriori)
La definición empírica, "a posteriori" o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos repetidos y por último la definición de Kolmogorov o definición axiomática o matemática de la probabilidad.
La frecuencia relativa del evento es o sea,
Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada ciertonúmero de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas
Correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística, o estabilidad de las frecuencias relativas. Esto se ilustra en la siguiente tabla, de una moneda lanzada al aire 1000 veces.

Axiomas básicos de la probabilidad.
AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor que uno.

AXIOMA 2: P(S) = 1
AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos -- ………………… Entonces
Toda la teoría elemental de la probabilidad está construida sobre las bases de estos tres simples axiomas.
Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar el axioma 3 por el AXIOMA 3*: Si A1, A2 son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que:


Probabilidad subjetiva.
Se basan en la creencias e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basándose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia).
La probabilidad subjetiva puede tener forma de frecuencia relativa de ocurrencia anterior o simplemente puede consistir en una conjetura inteligente N.
Para clarificar lo antes dicho un ejemplo muy común es el pronóstico del tiempo, muchos individuos como nosotros realizamos una predicción personal de como seran las condiciones climáticas para el día, basadas más en nuestra experiencia personal pero que muchas veces sustentamos en experiencia de eventos pasados.
La asignación de probabilidad subjetiva se dan generalmente cuando los eventos ocurren solo 1 vez y a lo máximo unas cuantas veces más.

Cálculo de probabilidades
Tablas de contingencia
Tablas de dos direcciones de clasificación se conocen como tablas de contingencias
La tabla de contingencia es un medio particular de representar simultáneamente dos carácteres observados en una misma población, si son discretos o continuos reagrupados en clases. Los dos carácteres son e , el tamaño de la muestra es . Las modalidades o clases de se escribirán , las de , . Se denota:

 el efectivo conjunto de y : es el número de individuos para los cuales toma el valor e el valor ,

 el efectivo marginal de : es el número de individuos para los cuales toma el valor ,

 el efectivo marginal de : es el número de individuos para los cuales toma el valor .

.
Tablas de probabilidad
Esquema que representa la distribución de probabilidades
La probabilidad conjunta se refiere a fenómenos que contienen dos o mas eventos, como la probabilidad de un as negro, una reina roja o un empleado que este satisfecho con el trabajo y haya progresado dentro de la organización.
P (A)= P ( A y B1 ) + P ( A y B2 ) + .....+ P ( A y Bk )
donde B1, B2, ... Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
Dos eventos son mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Dos eventos son colectivamente exhaustivos si uno de los eventos debe ocurrir.
Por ejemplo, ser hombre y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Nadie es ambos ( son mutuamente excluyentes ) y todos son uno u otro ( son colectivamente exhaustivos ).
Probabilidad simple.
a posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.

Ejemplo Probabilidad simple
" Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder "
Probabilidad = " "
" Cantidad total de posibles resultados "

Probabilidad conjunta.
La probabilidad de que los eventos A y B sucedan al mismo tiempo se expresa como P(A & B). Para eventos A y B independientes, P(A & B)=P(A)P(B). P(A & B) también se conoce como la probabilidad de la intersección de los eventos A y B, según la descripción del diagrama de Venn.
Probabilidad Conjunta
Si quisiéramos conocer cuál es la probabilidad de sacar 5 al tirar dos veces un dado, estamos hablando de sucesos independientes; pues los tiros son distintos.
Para estos casos la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos simultáneamente será igual al producto de las probabilidades individuales.
P(M y N)=P(M)*P(N)
Regla general de la adición.
(Regla de la adición para eventos mutuamente exclusivos).
Si son eventos mutuamente exclusivos, entonces

Demostración:







En general si agrupamos los eventos y luego aplicamos el
En general si agrupamos los eventos y luego aplicamos el axioma 3 repetidas veces, tenemos:




Probabilidad condicional.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.
Condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.

Regla de la multiplicación e independencia estadística
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Teorema de Bayes

La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa
El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai..



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