Conjunto de Russell: ¿Paradoja o error gramatical?

El conjunto de Russell:
¿Paradoja o error gramatical?


1. Hay autoreferencias inocuas, y paradójicas.

Ejemplo del primer caso:
"la palabra 'esdrújula' es esdrújula".

Otro ejemplo del primer caso:
"el predicado 'autoaplicable' no es autoplicable"

Ejemplo del segundo caso:
"el predicado 'no-autoaplicable' es no-autoaplicable".

Si eso es verdad, entonces es autoaplicable:
"el predicado 'no-autoaplicable' es autoaplicable"
... contradicción...

Supongamos que es verdad la última sentencia: pero entonces es no-autoaplicable, con lo cual volvemos a comenzar desde el principio:
... doble contradicción...

El problema surge de dos fuentes:
1) Incorporar al predicado la partícula negativa, y formar un nuevo predicado.
2) El predicado tiene dos argumentos, y sólo aparece uno, por el uso de la autoaplicación, imitando el resultado matemático (x) F(x,x) g(x) (una función de dos argumentos, cuando los dos son iguales, puede formar una función de un solo argumento).



Definición original de Russell en la carta a Frege, junio 16 de 1902:

"Let w the predicate: to be a predicate that cannot be predicated of itself".

Encapsula y blinda la negación en el definiendum, como parte del predicado, de tal modo que si se niega ese predicado negativo, ya no puede aplicarse la ley de la doble negación.

Enteramente análoga es la paradoja de Grelling.

Para el caso de conjuntos, Russell usó el principio de abstracción, de la teoría intuitiva de conjuntos de Cantor y Frege, que sostiene que, si existe una fórmula bien formada del lenguaje propio del sistema, ella denota un conjunto:

(Ey) (x) x y Fml(x)

No pone otra condición sobre la fórmula, que la de estar bien formada sintácticamente.

Entonces lanza la bomba: "Sea w el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, ¿es miembro de sí mismo?"

Si decimos que sí, entonces no es miembro de sí mismo, porque ese conjunto sólo tiene elementos que no lo son. Si decimos que no, entonces debería serlo, porque ese conjunto debe contener a todos los conjuntos miembros de sí mismos.

Parece que estamos frente a una complicación mucho mayor que en el caso de los predicados.

Sin embargo, como la noción de conjunto se cronstruye con base en la lógica, que un objeto "pertenezca a un conjunto" no es más que satisfacer ese objeto a la fórmula lógica que le sirve como definición.

Entonces, ¿qué podría significar x x, o su negación? Si F.x(y) es la fórmula lógica que caracteriza a x, no puede significar que F.x(x), pues se necesita hablar de todos los objetos que componen x, no un solo individuo. Tendría que ser algo así como F.x( [ (y)F.x(y) ] ), fórmula no gramatical, pero en la época Frege admitía con una extraña notación una noción semejante. Él llamaba a esto "hablar un conjunto de su propia extensión".

Entonces:

x ¬ x ¬F.x( [ (y)F.x(y) ] )


Suponiendo que, por estar negada la fórmula, aceptáramos su agramaticalidad, como una "façon de parler", o un abuso de lenguaje, ningún conjunto satisfaría la misma, por lo tanto, todos satisfarían su negación. Por lo que, otro conjunto definido en base a ella:

(Ez) x z x ¬ x

...agrega a la fórmula no gramatical el encapsulamiento o encriptación de la negación, por lo que no es aplicable la ley de la afirmación de lo doble negado.

De modo que estamos en el mismo caso de la "paradoja" de Grelling, sólo que un lenguaje más críptico, y supuestamente más sofisticado.

Entonces,

z ¬ z

que en el caso sencillo de Grelling se hubiera resuelto diciendo: si no es el caso que no es aplicable, entonces es aplicable, aquí estamos en el caso "paradójico" de ser el predicado no-aplicable no-aplicable, pero sin el beneficio de la doble negación como partícula separada del predicado.

Lo que pretendo implicar, más allá de la mera anécdota histórica, es que la teoría ingenua de conjuntos no es inconsistente, puesto que viene siendo usada desde el comienzo de los lenguajes con cantidades, y explícitamente desde los griegos, y especialmente, Aristóteles, con sus insustituibles categorías. Y de hecho, la usamos todos los días. Que una formulación especial (la de Cantor-Frege) haya resultado problemática no nos ha impulsado masivamente hacia la teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección, sino que seguimos usando versiones intuitivas que no conllevan ninguna paradoja, porque han sido reformuladas en un lenguaje que pone en evidencia los errores gramaticales de una manera más fácil y rápida. Lo que propongo como tema de investigación y debate es que los sistemas axiomáticos surgidos en el siglo XX para la teoría de conjuntos (Zermelo-Fraenkel, von Neumann-Bernays-Gödel, New Foundations de Quine, etc.) pueden ser necesarios para tratar el infinito actual, pero no para asegurar la consistencia.

Y el impetuoso desafío de Cantor, Hilbert y Zermelo al infinito actual no nos hace abandonar el viejo, querido y útil infinito potencial de Aristóteles.

Incluso los límites entre la teoría de conjuntos y la lógica de orden superior quedan en cuestión si abandonamos los prejuicios anti intuitivos, fomentados desde hace 114 años por la supuesta "paradoja".

Lo curioso es que en un párrafo posterior a aquel en que se lamenta por la pérdida de su sistema completo, Frege corrige atinadamente a Russell por su error gramatical, y parece estar en la pista del problema que causa su simbolismo demasiado rico, que permite hablar a un predicado acerca "de su propia extensión".

Tal vez no era necesario reconstruirlo todo, como de hecho hicieron Whitehead y Russell, Zermelo, et alter, sino sólo aligerar el lenguaje...

Nos debemos una reflexión profunda y un debate desprejuiciado respecto de las diferencias entre paradojas, errores gramaticales, e incoherencia de reglas y definiciones.

Por último, cabe aclarar (por si fuera necesario…) que, si se tratara de un error gramatical, no es atribuible sólo a Russell, sino a la gramática de Frege y la heredada por él de otros pioneros, y los defectos de esa gramática son totalmente comprensibles en el contexto de un esfuerzo titánico por trasladar algo de la exactitud de las matemáticas a la lógica.


Las versiones populares de la "paradoja"

El barbero: el tema es si realmente se puede deducir "el barbero se afeita a sí mismo ssi no se afeita a sí mismo". En realidad, sólo se puede deducir que si se afeita a sí mismo contradice la consigna, pero si no se afeita a sí mismo el conjunto de la gente afeitada queda incompleto. Esto es un dilema, pero no una paradoja, y está lejos de la espectacularidad originalmente prevista.
Igualmente para el catálogo de catálogos: es un dilema, porque o incumple la consigna (si incluye su mención) o falla la completitud (si no se incluye), pero no es paradójica. Pero no hay nada tan drástico como "el catálogo se incluye a sí mismo ssi no se incluye a sí mismo".
El argumento de Russell contra la omnipotencia: Si un ser es omnipotente, puede crear piedras tan grandes que ni él pueda mover. La conclusión es un poco pedestre : no puede no poder. Supone que es una falta, pero en realidad está olvidando de nuevo la ley de la doble negación: si no puede no poder entonces puede.







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