Conjuntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

MATEMÁTICAS

CONJUNTOS José Antonio Rivera Colmenero

Facultad de Ingeniería Programa de Posgrado Departamento de Sistemas

1. CONJUNTOS La teoría de los conjuntos es hoy día, básica en el estudio de casi todas las ramas de las matemáticas: teoría de probabilidades, análisis matemático, circuitos eléctricos, lógica matemática, etc. El establecimiento de la teoría de los conjuntos se atribuye a Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918). El concepto de “conjunto” no se define en forma precisa. Para explicar lo que se entiende por conjunto, se da la idea intuitiva: Un conjunto es una colección o agregado de objetos, bien definidos, los cuales deben poseer una propiedad o atributo característico que no deje lugar a duda si dicho objeto pertenece o no a la colección. Ejemplos: Los expresidentes de la República Mexicana; otro ejemplo de conjunto, podría ser el de los números primos mayores que 18 y menores que 211, etc. Obsérvese que no se exige homogeneidad. Cada objeto definido en un conjunto dado se denomina “elemento” del conjunto. Los elementos de un conjunto pueden quedar definidos al enumerar éstos; por ejemplo: el conjunto constituido por los tres números: 2, 5, 9; etc. Puede, en otros casos, distinguirse los elementos de un conjunto, citando una propiedad común a todos ellos; por ejemplo: el conjunto de los números pares. De lo anterior se infiere que los conjuntos pueden tener un número finito ó infinito de elementos. Notación: Se acostumbra designar los conjuntos con letras mayúsculas. Los elementos de un conjunto se distinguen con letras minúsculas. Cuando un conjunto queda definido al enumerar sus elementos, se escribe: A = { a, e, i, o, u } = { e, u, a, o, i } B = { 2, 5, 9 } = { 2, 9, 5 } = { 9, 5, 2 } ; etc. Para indicar que el elemento 5 está en el conjunto B se anota: 5  B. Si un elemento no está en el conjunto dado, se anota: 8  B. Cuando el conjunto se define expresando una propiedad común de todos sus elementos, se emplea una línea vertical “|” ( ó a veces “:” ) cuyo significado es “tal que”.

1

Ejemplos:

C = { x | x > 25 } D = {  |  es un libro de la biblioteca nacional }

1.1. Diagramas de Venn (o de Euler) y sus aplicaciones Son esquemas en los cuales los conjuntos se representan como áreas planas.

U

A

Conjunto Universal

A

B

Conjunto A

A

B

Complemento de A = A'

AA’=U AA' = U

A

B AB

A1

A1

A2

A'

Conjunto B

AB AB

A B AB

A

B

A3 33

A i 1

A2

A3 33

i

A i 1

i

Dentro del estudio de la teoría de la probabilidad los conjuntos juegan un papel preponderante, ya que el objeto de estudio es una colección de hechos cuya característica común es el ser posibles resultados de un mismo experimento.

2

Aunque el estudio de los conjuntos no es propiamente del área de la probabilidad, sino más bien le corresponde al álgebra, se consideró conveniente hacer un repaso breve de algunos conceptos de la teoría de conjuntos, los cuales serán de utilidad en nuestro estudio futuro.

1.2. Álgebra y operaciones con conjuntos DEFINICIÓN: Un conjunto es una colección de objetos que tienen alguna característica en común1.

Ejemplo 1

Considere el conjunto de las personas mexicanas mayores de edad. Las características comunes de los elementos de este conjunto son: a. Todos son personas. b. Todos son mexicanos. c. Todos tienen 18 o más años de edad. Ejemplo 2

El conjunto de los vertebrados. Las características comunes de los objetos de este conjunto son: a. Todos pertenecen al reino animal. b. Todos tienen vértebras Nótese que pueden ser animales irracionales o seres humanos.

DEFINICIÓN: Un objeto que tiene las características que definen al conjunto A se llama elemento de A2.

Ejemplo 3

Considere el conjunto A que consta de todos los colores básicos del espectro de colores. El verde no es elemento de A ( verde  A ) y el azul sí es elemento de A, esto es azul  A . 1

Es común denotar a los conjuntos mediante letras mayúsculas. Se acostumbra denotar a los elementos de un conjunto, mediante letras minúsculas. Así, si x es un elemento de un conjunto A, este hecho se denota por x  A. Por el contrario, si x no es elemento de A, se denota por x  A. 2

3

Existen dos formas de definir un conjunto: 1.

Por extensión: enumera, entre llaves, todos los elementos del conjunto.

2. Por comprensión: define la(s) propiedad(es) que caracteriza(n) a los elementos del conjunto.

Ejemplo 4

Definamos el conjunto A como sigue: Por comprensión: A = { Las cualidades deseables en una persona }. Por extensión: A = { presencia, inteligencia, capacidad de trabajo, buenos sentimientos, gracia, carácter agradable, responsable}. Sin embargo, no siempre es posible utilizar ambas formas de definición de un conjunto. En ese caso, se utiliza la que sea posible.

Ejemplo 5

Sea el conjunto P que contiene a todos los puntos en 2 que pertenecen al círculo de radio 1 y centro en el origen. Por extensión:

No es posible definir al conjunto de esta manera, ya que tiene una infinidad de elementos.

Por comprensión: P =

x, y  

2



x2 + y2  1

Ejemplo 6

Sea N el conjunto de los números reales 1/3, 0, 2 y 10/4. Por extensión:

N = { 0, 1/3, 2, 10/4 }

Por comprensión: No se puede definir al conjunto de esta manera, ya que no existe una característica matemática que los distinga completamente a todos. Existen algunos conjuntos que, por sus características reciben un nombre propio. Estos son el conjunto vacío y el conjunto universal.

4

DEFINICIÓN: Se llama conjunto universal o conjunto universo al conjunto que contiene como elementos a todos los objetos bajo consideración, y se acostumbra denotarlo por U.

DEFINICIÓN: Se llama conjunto vacío al conjunto que no posee ningún elemento. Se acostumbra denotar a este conjunto como , {}, o bien { }.

Es común y de gran utilidad identificar relaciones o establecer vínculos entre conjuntos. Estas relaciones o vínculos se conocen como operaciones entre conjuntos. Algunas de ellas, así como las principales propiedades que poseen, se mencionan a continuación.

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos definidos dentro del conjunto universal U. La intersección entre A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen, tanto a A como a B, y se denota como A  B. Esto es,

A B  { x  U  x  A y x  B }

Ejemplo 7

Considere el conjunto A de todas las personas asegurables y el conjunto B de todas las personas mayores de 18 años. A = { x x tiene 12 años o más } B = { x x tiene 18 años o más } Entonces, A  B = { x x tiene 18 años o más }

5

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos definidos dentro del conjunto universo U. La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos de U que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A o B. Se acostumbra denotar a la unión de A y B como A  B. Es decir, A  B = { x  U  x  A o x  B o ambos }

Ejemplo 8

Sean los siguientes conjuntos: A={xx5} ;

B = { 2, 3, 4, 6, 7, 10 }

Entonces, A  B 0 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 } Nótese que 2, 3 y 4 son elementos tanto de A como de B, esto es, 2, 3 y 4 son elementos, tanto de A  B como de A  B. DEFINICIÓN: Si A es un conjunto definido dentro del conjunto universal U, se define el complemento de A (con respecto a U) como el conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A, y se denota como Ac , o bien, como A'. Esto es, Ac = A' = { x  U  x  A }

Ejemplo 9

Considere el conjunto universal U =  y sea A = + entonces Ac =  En muchas ocasiones la visualización gráfica del objeto que se define o se describe facilita la comprensión. El caso de los conjuntos no es la excepción. En muchas ocasiones la representación gráfica de los conjuntos permite identificar con claridad aquellos elementos que nos interesan. La forma gráfica más generalizada para representar a los conjuntos son los diagramas de Venn o de Venn-Euler, los cuales deben su nombre a los matemáticos que desarrollaron este tipo de gráficos. En un diagrama de Venn- Euler se representa al conjunto Universal mediante un rectángulo dentro del cual se acostumbra indicar ya sea por extensión o por comprensión, a los elementos de dicho conjunto. Aquellos elementos que satisfacen la condición que define al conjunto A se agrupan

6

dentro de una curva cerrada. Todos los elementos que quedan fuera de dicha curva pertenecen a Ac . Ejemplo 10

Sean los conjuntos: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } y A = { 2, 4, 6, 8, 10 }. La representación en diagramas de Venn-Euler, de este conjunto es la siguiente:

U 1

2

3

4 8

A 6

10

7

5

9

A continuación se muestra la representación gráfica de las diferentes operaciones y relaciones entre conjuntos.

Representación en Diagramas de Venn-Euler de: (a) la unión de dos conjuntos, (b) la intersección de dos conjuntos, y (c) el complemento de un conjunto.

U

U A

A

B

B

(a) A  B

(b) A  B

U A

(c) Ac

7

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento de B. Este hecho se denota como A  B. Note que no se dice A  B, sino A  B. Ejemplo 11

Considere los siguientes conjuntos: A = { todas las personas casadas } B = { todos los hombres casados } Entonces, B  A.

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A y B son iguales sí y sólo sí coinciden en todos sus elementos. Esto es, A = B  A  B y también B  A.

DEFINICIÓN: Sean los conjuntos: A y B. Se dice que A y B son mutuamente excluyentes, si y sólo si: A  B = . Con base en la definición de conjuntos iguales se puede distinguir entre dos tipos de subconjuntos: los propios y los impropios.

DEFINICIÓN: Un conjunto A es un subconjunto propio de B, si existe al menos un elemento en B que no es elemento de A. Se acostumbra denotar este hecho como A  B.

DEFINICIÓN: Un conjunto A es un subconjunto impropio de B, si no se cumple que A sea un subconjunto propio de B, pero A  B. Se denota a los subconjuntos impropios como A  B.

8

Ejemplo 12

Considere los conjuntos : A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } ; B = { 2, 4 } ; C{ 2, 4 }. Se cumple que

B  A , C  A , B = C , B  C , C  B.

Gráficamente, el hecho de que un conjunto sea subconjunto de otro, se muestra en la Figura 1.2 .

U

Representación gráfica de un subconjunto propio.

A B

B A

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS a. Para cualquier conjunto A se cumple que   A. b. Para un conjunto universal U y un conjunto A definido sobre U, se tiene que A  U. c. Para cualquier conjunto A, se cumple la propiedad reflexiva A  A. d. Si A, B y C son conjuntos definidos en el mismo conjunto universal U, se tiene que si A  B y B  C , entonces A  C . Esta propiedad se conoce como propiedad transitiva. También es posible demostrar que las operaciones entre conjuntos satisfacen las propiedades que se enuncian en el teorema siguiente.

9

TEOREMA: Sean A, B y C tres conjuntos definidos en el mismo conjunto universal U. Se cumplen las siguientes propiedades: Reglas de identidad 1. A   = A , A  U = A. 2. A  U = U , A   =  Leyes de De Morgan 3. (A  B )C = AC  BC 4. (A  B )C = AC  BC Propiedades asociativas 5. A  ( B  C ) = ( A  B )  C 6. A  ( B  C ) = ( A  B )  C Propiedades distributivas 7. A  ( B  C ) = ( A  B )  ( C  A ) 8. A  ( B  C ) = ( A  B )  ( C  A )

Ejemplo 13.

Considere un conjunto universal que consiste de los enteros del 1 al 10. Sean los conjuntos: A = { 2, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 7 }. Describa por extensión los siguientes conjuntos: a. b. c. d. e.

AB AC  B (AC  BC ) C [ A  ( B  C ) ]C [ A  ( B  C ) ]C

10

Solución:

a. A  B = { 3, 4 }. b.

Ac  B = { 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, pues Ac = { 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.

c.

(Ac  Bc ) c = ( Ac ) c  ( B c ) c = A  B

por Leyes de DeMorgan

= { 2, 3, 4, 5 } d.

[ A  ( B  C ) ] C =  C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, pues, B  C = { 5 } ; A  ( B  C ) = 

e.

[ A  ( B  C ) ]C =[ ( A  B )  ( A  C ) ]C

por propiedades de distributividad

= ( A  B )C  ( A  C )C

por Leyes de DeMorgan

= (AC  B C )  (AC  C C )

por Leyes de DeMorgan

= { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ya que AC = { 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } BC = { 1, 2, 6, 7, 8, 9, 10 } CC = { 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10 } AC  B C = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } AC  C C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

DEFINICIÓN: Si A y B son conjuntos, se define el producto cartesiano de A y B ( A  B ) como el conjunto de todos los pares ordenados ( a, b) tales que a A y b  B. Es decir, A  B = { (a, b)  a A y b  B }. Se puede demostrar que el producto cartesiano es asociativo, es decir, ABC=(AB)C=A(BC), Aunque no es conmutativo, esto es, A  B  C  A  C  B .

11

1.3 Producto Cartesiano 1.3.1 Pares ordenados y producto cartesiano Dos elementos dados en cierto orden forman un par ordenado. Por ejemplo, un punto geográfico está determinado por las coordenadas latitud y longitud, una fecha en el año está dada por dos números: el mes y el día. En general, si x e y son dos objetos, se puede formar el par ordenado de x e y , y este par se denota como (x, y). De esta manera, la fecha (10,03) significa “3 de octubre”, mientras que (03,10) indica el “10 de marzo”. Como vemos, el orden en que se dan los elementos es relevante. Los elementos que forman un par ordenado pueden o no pertenecer a un mismo conjunto. Por ejemplo, en el caso de las fechas, el primer elemento del par es un número natural entre 1 y 12, mientras que el segundo es un natural entre 1 y 31. Pero también podemos formar los pares ordenados de la forma: (apellido, número de documento), donde el primer elemento del par es un apellido tomado de un conjunto de personas, y el segundo elemento del par es un número. En este caso, los elementos del par son de distinta naturaleza. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El conjunto de todos los pares ordenados tales que el primer miembro del par ordenado es un elemento de A y el segundo miembro es un elemento de B, se llama el producto cartesiano de A por B y se escribe A × B. En símbolos, A × B = {(a, b) | a  A y b  B}. Ejemplo 14

Si A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}, el producto cartesiano de A por B es: A × B = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Ejemplo 15

Si A = {, } y B = {1, 2, 3}, entonces: A × B = {(, 1), (, 2), (, 3), (, 1), (, 2), (, 3)} B × A = {(1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, )} A × A = {(, ), (, ), (, ), (, )} B × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.

12

1.3.2 Tablas de doble entrada Otro procedimiento alternativo para especificar por extensión los elementos de un producto cartesiano de conjuntos, consiste en utilizar tablas de entrada múltiple (doble entrada, tripe entrada, etcétera). Si los conjuntos tienen una cantidad finita de elementos puede resultar útil el uso de una tabla de doble entrada. Para ilustrar el caso del producto cartesiano recurrimos al ejemplo anterior en que A = {, } y B = {1, 2, 3} como la sigue: BA





AB

1

2

3

1

(1, )

(1, )



(, 1)

(, 2)

(, 3)

2

(2, )

(2, )



(, 1)

(, 2)

(, 3)

3

(3, )

(3, )

Si se hace el producto AB, el formato de la tabla de doble entrada se dispone como sigue, indicando los elementos del conjunto A en los renglones y los elementos del conjunto B en las columnas. En el caso en que el producto es BA, en el formato de la tabla de doble entrada se disponen los elementos del conjunto B en los renglones y los elementos del conjunto A en las columnas. Entonces,

Si A y B son conjuntos finitos, entonces el cardinal de A × B es el número de elementos de A por el número de elementos de B.

La definición anterior puede generalizarse para formar productos cartesianos de cualquier número de conjuntos:

A  B  . . .  N   (a, b, . . . , n)

a  A, b  B, . . ., n  N .

1.3.3 Tablas de triple entrada Sean los conjuntos: 𝑺 = {𝟐, 𝟑} ;

𝑻 = {𝒂, 𝒃, 𝒄} ; 𝑽 = {𝟐𝟎, 𝟐𝟑}

Podemos utilizar una tabla de tripe entrada, para determinar los 𝟐 × 𝟑 × 𝟐 = 𝟏𝟐 elementos del producto cartesiano 𝑺 × 𝑻 × 𝑽, como sigue:

13

T

a V

b

c

20

23

20

23

20

23

2

(2, a, 20)

(2, a, 23)

(2, b, 20)

(2, b, 23)

(2, c, 20)

(2, c, 23)

3

(3, a, 20)

(3, a, 23)

(3, b, 20)

(3, b, 23)

(3, c, 20)

(3, c, 23)

S

1.3.4 Conjuntos ordenados Si consideramos los productos cartesianos de tres conjuntos 𝑨 × 𝑩 × 𝑪, se obtienen las ternas ordenadas que se muestran en el siguiente ejemplo. Sean: A   a1 , a2

;

B   b1 , b2 , b3  ; C   c1 , c2  c1

c1

b1

a1

b1 c2

c2

c1

c1

b2

a2

b2

c2

c2

c1

c1

b3

b3 c2

c2

Resultan 12 ternas ordenadas: nA  nB  nC = n(A  B  C) = 12:

A  B  C  (a1 , b1 , c1 ), (a1 , b1 , c2 ), (a1 , b2 , c1 ), (a1 , b2 , c2 ), . . . , (a2 , b3 , c1 ), (a2 , b3 , c2 ).

1.4 Conjunto Potencia Sea A un conjunto constituido por un número n de elementos. El conjunto potencia de A es el conjunto cuyos elementos son precisamente cada uno de los 2n subconjuntos que es factible formar al combinar los n elementos del conjunto A. El conjunto vacío , y el conjunto universal U, deben formar parte de los 2n subconjuntos elementos del conjunto potencia; en efecto:

14

 n Sea: C nr    las combinaciones de n objetos, tomados en subconjuntos de r objetos (r  n) . r 

DEFINICIÓN: Si A es un conjunto, se define su conjunto potencia denotado como { 0, 1 }A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. El número total posible de subconjuntos que resultan es:

 n   +  0

 n  n   +   + . . . + 1  2

 n   n n   +   = 1  1n = 2 .  n 1  n 

 n Donde:   nos da el conjunto vacío  ; en tanto que:  0

 n   da el conjunto universal U.  n

Notación: El conjunto potencia de A se designa: 2 A

Ejemplo 16: Sea: A ={ a, b }:

2A =

, {a}, {b}, {a, b}

Ejemplo 17

Considere el conjunto A = { 0, 10, 20, 30 }. El conjunto potencia de A es: { , { 0 }, { 10 }, { 20 }, { 30 }, { 0, 10 }, { 0, 20 }, { 0, 30 }, { 10, 20 }, { 10, 30 }, { 20, 30 }, { 0, 10, 20 }, { 0, 10, 30 }, { 0, 20, 30 }, { 10, 20, 30 }, { 0, 10, 20, 30 } }. Finalmente, es importante clasificar a los conjuntos de acuerdo con el número de elementos que contienen.

DEFINICIÓN: Un conjunto es un conjunto finito, si tiene una cantidad finita de elementos (cardinalidad finita).

15

DEFINICIÓN: Un conjunto es un conjunto infinito numerable, si tiene una cantidad infinita de elementos, pero estos se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales, es decir, la cardinalidad es infinita, pero los elementos se pueden contar.

DEFINICIÓN: Un conjunto es un conjunto infinito no numerable si posee una cantidad infinita de elementos, y éstos no se pueden contar.

DEFINICIÓN: Un conjunto es un conjunto discreto, si es finito o infinito numerable.

DEFINICIÓN: Un conjunto es un conjunto continuo, si es infinito no numerable.

1.5 Número de elementos de la unión de conjuntos 1.5.1 Unión de dos conjuntos no disjuntos Se designa el símbolo 𝒏(𝑨) para indicar el número de elementos de cualquier conjunto finito A. Es importante el conocimiento del número de elementos de varios conjuntos, para determinar cuántos elementos forman la unión de esos conjuntos. i) Sean los conjuntos A y B. Existen dos casos posibles: a) Los conjuntos son disjuntos. En este caso, el número de elementos de la unión es la suma de los elementos de A y de los elementos de B. En símbolos: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩).

16

b) Tienen elementos en común. Si los conjuntos A y B no son disjuntos (existen elementos comunes a ambos), el número de elementos de la unión es: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩). Comprobar la unión anterior para dos conjuntos que no son disjuntos: A y B: 𝒏(𝑨) =

𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) =

a

b

+

𝒏(𝑩) =

B

A

a

a

+

b b

+

c

2b

+

c

= 𝒂+𝒃+𝒃+𝒄 (estamos sumando 𝒃 dos veces, se debe restar una 𝒃) = (𝒂 + 𝒃) + (𝒃 + 𝒄) − 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

c

𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) El razonamiento es el siguiente: Al sumar el número de elementos en A, 𝒏(𝑨), con los números en B, 𝒏(𝑩), el número de elementos de la intersección se ha contado dos veces (una vez al calcular 𝒏(𝑨) y otra vez al calcular 𝒏(𝑩)). Esto es así, porque los elementos de 𝑨 ∩ 𝑩 pertenecen tanto al conjunto A como al B. Ejemplo 18

Todos los alumnos de una clase de gimnasia, se inscriben para practicar natación (N) o atletismo (A) o ambos. Si hay 200 alumnos en la clase, y en la lista de inscritos en natación hay 104 nombres; en tanto que para atletismo hay inscritos 130. ¿Cuántos alumnos se inscribieron para practicar ambos deportes? Solución:

a)

Empleando la formula: n(N  A) = 200 n(N) = 104; n(A) = 130 Si: n(N  A) = n(N) + n(A)  n(N ∩ A) Entonces, n(N ∩ A) = n(N) + n(A) – n(N  A) = 104 +130 – 200 = 34.

17

b)

Con auxilio de diagramas de Venn:

N

A 104x

(104 – x) + x + (130 – x) = 200 ;

x

130x

234 – x = 200 ; x = 34 = n(N ∩ A). 

1.5.2 Unión de tres conjuntos no disjuntos La fórmula puede ser generalizada para el caso de tres conjuntos, por un razonamiento análogo (que se sigue con facilidad mediante un diagrama de Venn para tres conjuntos). Comprobar, para tres conjuntos: A, B, C, la siguiente fórmula: 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Comprobación: B

A

b a

c g d

e f C

𝒏(𝑨) = a + b + d + g 𝒏(𝑩) = b + c + e + g 𝒏(𝑪) = d + e + f + g 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) = (a + b + d + g) + (b + c + e + g) + (d + e + f + g) = (a + b + c + d + e + f + g) + (b + g) + ( d + g) + e (Sumando y restando g, para completar la intersección (e + g )) 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) =

(a + b + c + d + e + f + g) + (b + g) + ( d + g) + (e + g)  g 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)

18

Ejemplo 19. Al interrogar 500 estudiantes inscritos a uno o más cursos semestrales de Álgebra,

Física y Estadística, se obtuvieron los totales que se indican enseguida junto a las materias correspondientes: Álgebra Física Estadística

329 186 295

Álgebra y Física Álgebra y Estadística Física y Estadística

83 217 63

Calcule el número de estudiantes que cursan: a) b) c) d) e) f)

Las tres materias. Álgebra pero no Estadística. Física pero no Álgebra. Estadística pero no Física. Álgebra o Estadística pero no Física. Álgebra pero no Física ni Estadística.

Solución:

Se desigan con “A”, “F” y “E” a los conjuntos de estudiantes que llevan Álgebra, Física ó Estadística, respectivamente. Los datos del problema pueden expresarse como sigue: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐹 ∪ 𝐸) = 500 𝑛(𝐴) = 329 𝑛(𝐹) = 186 𝑛(𝐸) = 295

𝑛(𝐴 ∩ 𝐹) = 83 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸) = 217 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) = 63

Lo cual permite construir el diagrama de Venn-Euler que se muestra en la Figura (a).

n(A) = 329

A A∩F'∩E'

F

A∩F∩E'

F∩A'∩E'

A∩E∩F

A∩E∩F'

E∩F∩A'

E∩A'∩F' E n(E) = 295

Figura (a)

19

n(F) = 186

a). Se deberán calcular el número de estudiantes que cursan las tres materias: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭). Para ello, es necesario despejarlo de la siguiente expresión: 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐸) + 𝑛(𝐹) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐸 ∪ 𝐹) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐹) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸 ∩ 𝐹) de donde: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸 ∩ 𝐹) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐸 ∪ 𝐹) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐹) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐸) − 𝑛(𝐹) Sustituyendo valores: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐸 ∩ 𝐹) = 500 + 83 + 217 + 63 − 329— 295 − 186 = 863 − 810 = 53 Antes de resolver los siguientes incisos es conveniente construir un diagrama de Venn-Euler que muestre el número de estudiantes que pertenecen a cada uno de los conjuntos de la Figura (a). Este diagrama se muestra en la Figura (b).

n(A) = 329

A

n(F) = 186

F

30

82

93

53 10

164 68 E n(E) = 295

Figura (b)

Las cantidades que aparecen en dicha figura se calcularon como sigue: i)

𝒏(𝑨 ∩ 𝑭) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) = 𝟖𝟑 − 𝟓𝟑 = 𝟑𝟎

ii)

𝒏(𝑨 ∩ 𝑬) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) = 𝟐𝟏𝟕 − 𝟓𝟑 = 𝟏𝟔𝟒

20

iii)

𝒏(𝑭 ∩ 𝑬) = 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) = 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) = 𝟔𝟑 − 𝟓𝟑 = 𝟏𝟎

iv)

𝒏(𝑨) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) = 𝒏(𝑨) − [𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭)] 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) = 𝟑𝟐𝟗 − [𝟑𝟎 + 𝟏𝟔𝟒 + 𝟓𝟑] = 𝟑𝟐𝟗 − 𝟐𝟒𝟕 = 𝟖𝟐

v)

𝒏(𝑭) = 𝒏(𝑭 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑭 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑬′ ) = 𝒏(𝑭) − [𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭)] 𝒏(𝑭 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑬′ ) = 𝟏𝟖𝟔 − [𝟑𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟓𝟑] = 𝟏𝟖𝟔 − 𝟗𝟑 = 𝟗𝟑

vi)

𝒏(𝑬) = 𝒏(𝑬 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑭′) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭) ∴ 𝒏(𝑬 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑭′) = 𝒏(𝑬) − [𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭)] 𝒏(𝑬 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑭′) = 𝟐𝟗𝟓 − [𝟏𝟔𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟓𝟑] = 𝟐𝟗𝟓 − 𝟐𝟐𝟕 = 𝟔𝟖

Entonces: b) Número de estudiantes que toman Álgebra pero no Estadística: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬′ ) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭 ∩ 𝑬′ ) = 𝟖𝟐 + 𝟑𝟎 c) Número de estudiantes que toman Física pero no Álgebra: 𝒏(𝑭 ∩ 𝑨′ ) = 𝒏(𝑭 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭 ∩ 𝑨′ ) = 𝟗𝟑 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟑 d) Número de estudiantes que toman Estadística pero no Física: 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭′ ) = 𝒏(𝑬 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑭′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) = 𝟔𝟖 + 𝟏𝟔𝟒 = 𝟐𝟑𝟐 e) Número de estudiantes que toman Álgebra o Estadística pero no Física: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑬 ∩ 𝑭′ ) + 𝒏(𝑬 ∩ 𝑨′ ∩ 𝑭′ ) = 𝟖𝟐 + 𝟏𝟔𝟒 + 𝟔𝟖 = 𝟑𝟏𝟒 f ) Número de estudiantes que toman Álgebra pero no Física ni Estadística: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑭′ ∩ 𝑬′ ) = 𝟖𝟐

21

Ejemplo 20. Un estudio de 100 estudiantes proporciona la siguiente información:

41 estudiantes llevan español. 29 estudiantes llevan francés. 26 estudiantes llevan ruso.

15 estudiantes llevan Español y Francés. 8 estudiantes llevan Francés y Ruso. 19 estudiantes llevan Español y Ruso 5 estudiantes llevan los tres idiomas.

Determine: a) El número de estudiantes que no llevan ningún idioma. b) El número de estudiantes que llevan un solo idioma. Solución:

Se designa con “E”, “F” y “R” a los conjuntos de esudiantes que llevan Español, Francés o Ruso, respectivamente. Los datos del problema pueden expresarse como sigue: 𝑛(𝐸) = 41 𝑛(𝐹) = 29 𝑛(𝑅) = 26 𝑛(𝑈) = 100

𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) = 15 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅) = 8 𝑛(𝐸 ∩ 𝑅) = 19 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅) = 5

Lo cual permite construir el diagrama de Venn-Euler que se muestra en la Figura (a).

n(E) = 41

E E∩F'∩R'

R

E∩R∩F'

R∩E'∩F'

E∩F∩R

E∩F∩R'

F∩R∩E'

F∩E'∩R' F n(F) = 29

Figura (a)

𝑛(𝐸 ∩ 𝑅 ∩ 𝐹 ′ ) = 𝑛(𝐸 ∩ 𝑅) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅) = 19 − 5 = 14 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅 ′ ) = 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅) = 15 − 5 = 10 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅 ∩ 𝐸 ′ ) = 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅) = 8 − 5 = 3

22

n(R) = 26

𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ′ ∩ 𝑅 ′ ) = 𝑛(𝐸) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝑅) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅 ′ ) = 41 − 19 − 10 = 12 𝑛(𝐹 ∩ 𝐸 ′ ∩ 𝑅 ′ ) = 𝑛(𝐹) − 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅 ′ ) = 29 − 8 − 10 = 11 𝑛(𝑅 ∩ 𝐸 ′ ∩ 𝐹 ′ ) = 𝑛(𝑅) − 𝑛(𝐸 ∩ 𝑅) − 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅 ∩ 𝐸 ′ ) = 26 − 19 − 3 = 4 Antes de resolver los siguientes incisos es conveniente construir un diagrama de Venn-Euler que consigue el número de estudiantes que pertenecen a cada uno de los conjuntos de la Figura (a). Este diagrama se muestra en la Figura (b).

n(E) = 41

E

n(R) = 26

R

14

12

4

5 3

10 11 F n(F) = 29

Figura (b) Además, debemos obtener 𝒏(𝑬 ∪ 𝑭 ∪ 𝑹): 𝑛(𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝑅) = (𝐸) + 𝑛(𝐹) + 𝑛(𝑅) − [𝑛(𝐸 ∩ 𝐹) + 𝑛(𝐹 ∩ 𝑅) + 𝑛(𝐸 ∩ 𝑅)] + 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝑅) = 41 + 29 + 26 − 15 − 8 − 19 + 5 = 101 − 42 = 59 Ahora bien, a) El número de estudiantes que no llevan ningún idioma es: 𝑛(𝑈) − 𝑛(𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝑅) = 100 − 59 = 41 b) El número de estudiantes que llevan un solo idioma es: 𝑛(𝐸 ∩ 𝐹 ′ ∩ 𝑅 ′ ) + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐸 ′ ∩ 𝑅 ′ ) + 𝑛(𝑅 ∩ 𝐸 ′ ∩ 𝐹 ′ ) = 12 + 11 + 4 = 27

23

Ejemplo 21. Un lote tiene 75 autos con las siguientes características: con frenos de potencia (A);

compactos (B) y automáticos (C). Usando la información dada en la Figura (a). Determine: a) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) b) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) c) 𝑛(𝐴′ ∪ 𝐵′ ∪ 𝐶) d) 𝑛[𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)] e) 𝑛[(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ 𝐶)]

n(A) = 28

A

B

n(B) = 40

3 5 9

C n(C) = 30

Figura (a) Solución:

Los datos del problema pueden expresarse como sigue:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 75

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 5

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ′ ) = 3

𝑛(𝐴) = 28

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 8

𝑛(𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴′ ) = 9

𝑛(𝐵) = 40

𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 14

𝑛(𝐶) = 30

24

Se construye el diagrama de Venn-Euler que se muestra a continuación:

n(A) = 28

A

B A∩B∩C'

A∩B'∩C'

n(B) = 40

B∩A'∩C'

A∩B∩C B∩C∩A'

A∩C∩ B'

C∩A'∩B' C n(C) = 30

Figura (b) Primero, se debe obtener 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪), para lo cual: 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Sustituyendo valores: 28 + 40 + 30 = 75 + 8 + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 14 − 5 De donde:

𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 98 − 97 + 5 = 6

Habiendo obtenido esta intersección, lo que sigue resulta sencillo: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ′ ) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 6 − 5 = 1 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ′ ∩ 𝐶 ′ ) = 𝑁(𝐴) − 𝑁(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑁(𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ′ ) = 28 − 8 − 1 = 19 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴′ ∩ 𝐶 ′ ) = 𝑁(𝐵) − 𝑁(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑁(𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴′ ) = 40 − 8 − 9 = 23 𝑛(𝐶 ∩ 𝐴′ ∩ 𝐵′) = 𝑁(𝐶) − 𝑁(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑁(𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ′ ) = 30 − 14 − 1 = 15 Antes de resolver los siguientes incisos es conveniente construir un diagrama de Venn-Euler que consigue el número de autos que pertenecen a cada uno de los conjuntos de la Figura (b). Este diagrama se muestra en la Figura (c).

25

A

n(A) = 28

n(B) = 40

B

3

19

23

5 1

9 15 C n(C) = 30

Figura (c) a) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 28 + 40 − 8 = 60 b) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 28 + 30 − 6 = 52 c) 𝑛(𝐴′ ∪ 𝐵 ′ ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ′ ) = 75 − 3 = 72 d) 𝑛[𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)] = 𝑛[(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)] = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 8 + 14 − 5 = 17 e) 𝑛[(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ 𝐶)] = 𝑛[(𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)] = 𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 56 + 52 − 75 = 33

26

1.6

Fórmula general para relacionar el elementos que existen en m conjuntos: 𝑪𝟏𝒎

𝒎

número

𝑪𝟐𝒎

de

𝑪𝟑𝒎

𝒏 (⋃ 𝑨𝒊 ) = (−𝟏)𝒑+𝟏 ∑ 𝒏(𝑨𝒊 ) + (−𝟏)𝒑+𝟏 ∑ 𝒏(𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 ) + (−𝟏)𝒑+𝟏 ∑ 𝒏 (𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 ∩ 𝑨𝒌 ) 𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊