Graciano Paulo Andre
Construção dos conjuntos dos números racionais Licenciatura em ensino de matemática com habilitações em Informática
Universidade Pedagógica Lichinga 2016
2
Graciano Paulo Andre
Construção do conjunto dos números racionais
Trabalho de pesquisa científico apresentado ao Departamento de Ciências Naturais e Matemática, Curso de Ensino Matemática, delegação do Niassa, para fins avaliativos desenvolvido na cadeira de Didáctica de matemática I. Leccionado pela docente: dr. Eduardo Pesuro
Universidade Pedagógica Lichinga 2016
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Índice Introdução ..................................................................................................................... 4 Construção do Conjunto dos Números Racionais ........................................................ 5 Definição da relação que define partição ...................................................................... 5 Operações em ℚ ............................................................................................................ 6 Adição em ℚ ................................................................................................................. 6 Propriedades da adição ................................................................................................. 7 Subtracção em ℚ ........................................................................................................... 7 Propriedades da subtracção ........................................................................................... 8 Multiplicação em ℚ ...................................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação ...................................................................................... 9 Divisão em ℚ .............................................................................................................. 11 Propriedades da divisão em ℚ .................................................................................... 12 Conclusão.................................................................................................................... 13 Bibliografia ................................................................................................................. 14
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Introdução O presente trabalho que tem como tema construção do conjunto dos números racionais e suas generalizações visa estimular nos estudantes o conhecimento de como construir o conjunto. Os conteúdos abordados nesse trabalho são: definição da relação que define partição, definição da adição e multiplicação, propriedades e por último definição da subtracção e da divisão. O objectivo geral do trabalho é construir o conjunto dos números racionais, partindo do conjunto dos números inteiros, ou seja conhecendo o comportamento do conjunto dos números inteiros. Para se efectuar o trabalho usou a metodologia de leitura de fontes bibliográficas, consulta de fontes publicadas e debates em grupo visto que o trabalho foi realizado em grupo. A construção dos racionais é feita a partir do mesmo raciocínio que os inteiros, utilizando o conceito de relação de equivalência, mas esta construção se dão de forma mais rápida do que a dos inteiros, por ter muitas consequências directas deste.
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Construção do Conjunto dos Números Racionais A cada elemento ℤ × ℤ∗ ou seja, a cada classe damos o nome de numero racional e 𝑎
indicamos por 𝑏. O conjunto quociente de ℤ × ℤ∗ por ~ ou seja o conjunto de todas classes de equivalência determinada por ~ sobre ℤ × ℤ∗ , será designado por ℚ. Logo: ℚ={
𝑚 ǀ(𝑚, 𝑛) ∈ ℤ × ℤ∗ } 𝑛
Assim cada 𝑎 ∈ ℚ admite infinitas representações
𝑚 𝑛
(𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ∗ ). Em cada uma delas
𝐦 é o numerador e 𝐧 é o denominador. Definição da relação que define partição Seja ℤ∗ = {𝑚 ∈ ℤǀ𝑚 ≠ 0} e consideremos sobre ℤ × ℤ∗ = {(𝑚, 𝑛)ǀ𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ∗ } a relação ~definida por (𝑚, 𝑛)~(𝑝, 𝑞) se, e somente se, 𝑚𝑞 = 𝑛𝑝. Para ~ valem três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência, ou seja: i.
(𝑚, 𝑛)~(𝑚, 𝑛), para todo (𝑚, 𝑛) ∈ ℤ × ℤ∗ (reflexiva)
ii.
(𝑚, 𝑛)~(𝑝, 𝑞) → (𝑝, 𝑞)~(𝑚, 𝑛) (simétrica)
iii.
(𝑚, 𝑛)~(𝑝, 𝑞) e (𝑝, 𝑞)~(𝑟, 𝑠) → (𝑚, 𝑛)~(𝑟, 𝑠) (transitiva)
Como verificamos em iii que (𝑚, 𝑛)~(𝑟, 𝑠) logo a relação ~ determina sobre ℤ × ℤ∗ uma partição em classes de equivalência. Para cada par (𝑚, 𝑛) ∈ ℤ × ℤ∗ , a classe de equivalência a qual esse elemento pertence será indicado por
𝑚′ 𝑛
ou seja:
𝑚 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ∗ ǀ(𝑥 𝑦)~(𝑚, 𝑛)} = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ∗ ǀ𝒏𝒙 = 𝒎𝒚} 𝑛 1
Exemplo: 2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ∗ ǀ𝑥 = 2𝑦} = {(1, 2); (−1, −2); (2, 4); (−2, −4); … . ; } 𝑚
Devido a propriedade reflexiva é claro que (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑛 , para todo (𝑚, 𝑛) ∈ ℤ × ℤ∗ . Alem disso, como 1
𝑚 𝑛
𝑟
= 𝑠 ↔ (𝑚, 𝑛)~(𝑟, 𝑠). −1
2
−2
Exemplo: 2 = −2 = 4 = −4 = ⋯
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Operações em ℚ 1. Adição em ℚ Definição: sejam 𝑎 =
𝑚
e𝑏=
𝑛
𝑟
números racionais, isto é, elementos de ℚ. Chama-se
𝑠
adição de 𝑎 com 𝑏 o elemento de ℚ definido da seguinte maneira: 𝑎+𝑏 =
𝑚𝑠 𝑛𝑠
𝑛𝑟
+ 𝑛𝑠 =
𝑚𝑠+𝑛𝑟
ou na notação de pares (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑).
𝑛𝑠
Exemplos: 2
i.
3
1
+2=
2
2×2+1×3 6
1
2
+ (− 2) = 3 + 3
ii.
2
iii.
3
4
+6=
7
= 6; −1 2
=
2×6+3×4 24
4+3(−1) 6
1
=6
4
=18 = 3
3×6
Para mostrar que a soma 𝑎 + 𝑏 independente dos pares escolhidos para definir 𝑎 e 𝑏. Temos que se 𝑎 =
𝑚 𝑛
=
𝑚′ 𝑛′
𝑟
𝑟′
e 𝑏 = 𝑠 = 𝑠′, então 𝑚𝑛′ = 𝑛𝑚′ e 𝑟𝑠 ′ = 𝑠𝑟′. Multiplicando a
primeira dessas igualdades por 𝑠𝑠 ′ e a segunda por 𝑛𝑛′ e somando membro a membro as relações obtidas, temos: ′
𝑚𝑠𝑛′ 𝑠 ′ + 𝑟𝑛𝑠 ′ 𝑛′ = 𝑛𝑠𝑚′𝑠 ′ + 𝑠𝑛𝑛′ 𝑟′. Ou seja (𝑚𝑠 + 𝑟𝑛)𝑠 ′ 𝑛′ = 𝑛𝑠(𝑚′𝑠 + 𝑛′ 𝑟 ′ ) o que garante
𝑚𝑠+𝑛𝑟 𝑛𝑠
′
=
𝑚′𝑠 +𝑛′ 𝑟 ′ 𝑠 ′ 𝑛′
portanto a correspondência (𝑎, 𝑏) → 𝑎 + 𝑏.
Da definição podemos obter de imediato algumas regras práticas: 𝑎
𝑏
+1= 1
i.
Seja:
ii.
Seja:𝑚 + 𝑚 =
iii.
Seja: 𝑚 + 𝑏 =
𝑎
𝑏
0
0
𝑎
𝑎+𝑏 1
(imediata);
𝑎×𝑛+𝑏×𝑚 𝑚2 0×𝑏+𝑎×𝑚 𝑚×𝑏
=
𝑚(𝑎+𝑏) 𝑚×𝑚 𝑚×𝑎
=
𝑎+𝑏 𝑚
logo,
𝑎
= 𝑚×𝑏 = 𝑏
0
A classe 𝑚 ou 𝑚 (usual) é elemento neutro da adição de racionais. Teorema: As operações em ℚ então bem definidas, isto é, se 𝑐 𝑑
𝑎′
𝑎 𝑏
𝑎′
𝑐
𝑐′
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑎
= 𝑏′ e 𝑑 = 𝑑′ então, 𝑏 +
𝑐′
= 𝑏′ + 𝑑′.
Demonstração: Por hipótese, 𝑎𝑏 ′ = 𝑏𝑎′ 𝑒 𝑐𝑑 ′ = 𝑑𝑐 ′ . temos:
𝑎 𝑏
+𝑑 =
𝑏𝑑
e
𝑎′ 𝑏′
𝑐′
+ 𝑑′ =
𝑎′ 𝑑′+𝑏′𝑐′ 𝑏′𝑐′
, queremos provar que as duas somas são iguais, ou seja, que (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑏 ′ 𝑑 ′ =
(𝑎′ 𝑑 ′ + 𝑏 ′ 𝑐 ′ )𝑏𝑑, isto é, 𝑎𝑑𝑏 ′ 𝑑′ + 𝑏𝑐𝑏 ′ 𝑑 ′ = 𝑎′ 𝑑 ′ 𝑏𝑑 + 𝑏 ′ 𝑐 ′ 𝑏𝑑, ou ainda, (𝑎𝑏 ′ )(𝑑𝑑 ′ ) + (𝑐𝑑′ )(𝑏𝑏 ′ ) = (𝑎′ 𝑏)(𝑑𝑑′ ) + (𝑏𝑏 ′ )(𝑐 ′ 𝑑), o que é facto, pois, 𝑎𝑏 ′ = 𝑏𝑎′ e 𝑐𝑑 ′ = 𝑑𝑐 ′ .
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Propriedades da adição I.
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
Associativa: ( 𝑏 + 𝑑) + 𝑓 = 𝑏 + (𝑑 + 𝑓), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ. 𝑎
𝑐
𝑒
Demonstração: seja 𝑟 = 𝑏 , 𝑠 = 𝑑 e 𝑡 = 𝑓, temos: 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑒 (𝑎𝑑𝑓 + 𝑏𝑐𝑓) + 𝑏𝑑𝑒 (𝑟 + 𝑠) + 𝑡 = ( + ) + = + = 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏𝑑 𝑓 𝑏𝑑𝑓 = II.
𝑎𝑑𝑓 + (𝑏𝑐𝑓 + 𝑏𝑑𝑒) 𝑎 𝑐𝑓 + 𝑑𝑒 𝑎 𝑐 𝑒 = + = + ( + ) = 𝑟 + (𝑠 + 𝑡) 𝑏𝑑𝑓 𝑏 𝑑𝑓 𝑏 𝑑 𝑓 𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
𝑑
𝑑
Comutativa: + = 𝑎
𝑎
+ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ. 𝑏
𝑐
Demonstração: seja 𝑟 = 𝑏 e 𝑠 = 𝑑, temos: 𝑟+𝑠 =
III.
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑏𝑐 + 𝑑𝑎 𝑐 𝑎 + = = = + = 𝑠 + 𝑟. 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑑𝑏 𝑑 𝑏
Elemento neutro: a classe de equivalência
0 1
0
= 2 = ⋯, é o elemento neutro. De
facto: 𝑚 0 𝑚×1+0×𝑛 𝑚×1 𝑚 + = = = 𝑛 1 𝑛×1 𝑛×1 𝑛 Ou: 𝑟+ IV.
0 𝑎 0 𝑎 × 1 × +0 × 𝑏 𝑎 = + = = =𝑟 1 𝑏 1 𝑏×1 𝑏
Elemento inverso (simétrico): todo 𝑎 ∈ ℚ admite simétrico aditivo (inverso) em 𝑚
ℚ: se 𝑎 = 𝑛 , então −𝑎 =
−𝑚 𝑛
, pois:
𝑚 −𝑚 𝑚𝑛 + (−𝑚)𝑛 0 + = = =0 𝑛 𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2. Subtracção em ℚ Se , 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, denomina-se diferença entrea e b, e indica-se por a − b, o seguinte elemento de ℚ: a − b = 𝑎 + (−𝑏) Como (−𝑏) ∈ ℚ, para todo 𝑏 ∈ ℚ, então: (𝑎, 𝑏) → 𝑎 − 𝑏 é uma operação sobre ℚ, a qual chamamos subtracção em ℚ. Dados dois números racionais quaisquer na forma de fracção, a subtracção é a operação 𝑎 𝑏
que a cada par ordenado ( 𝑐 , 𝑐 ), faz corresponder o número racional Contacto:
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𝑎−𝑏 𝑐
(𝑐𝑜𝑚 𝐶 ≠ 0).
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Observe-se que a subtracção não é fechada em ℚ + 0 , Contrariamente à adição. Com efeito, a diferença entre dois números racionais positivos pode ser um número racional negativo. 2
3
1
Exemplo: 5 − 5 = − 5 Na subtracção (operação inversa da adição), caso as fracções tenham denominadores diferentes, há que, primeiro, obter fracções equivalentes a dados, de tal modo que os denominadores fiquem iguais e se possa aplicar a regra anterior. Nesta operação, como nas outras, ganham se em termos de compreensão com a utilização de diversos modelos, como o de área, o de comprimento ou de tempo. Propriedades da subtracção Tal como ocorre na construção do conjunto ℤ valem em ℚ as seguintes propriedades, envolvendo a ideia de oposto e de subtracção: i.
−(𝑎 + 𝑏) = −𝑎 − 𝑏;
ii.
(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 = 𝑎;
iii.
𝑎 + 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑥 = 𝑏 − 𝑎;
iv.
𝑎+𝑏 =𝑎+𝑐 →𝑏 =𝑐 3. Multiplicação em ℚ 𝑎
𝑐
𝑎𝑐
A multiplicação entre racionais é definida por 𝑏 × 𝑑 = 𝑏𝑑 ou por pares (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐, 𝑏𝑑). Ou ainda se considerarmos 𝑎 =
𝑚 𝑛
𝑟
∈ ℚ e 𝑏 = 𝑠 ∈ ℚ define-se o produto de a
por b, o elemento: 𝑎𝑏 = 𝑎 × 𝑏 =
𝑚𝑟 ∈ℚ 𝑛𝑠
Exemplos: i. ii. iii.
𝟐
𝟐
𝟐×𝟒
1
1
1×1
1
0
2
0×2
0
𝟑
𝟖
𝟒
× 𝟔 = 𝟑×𝟔 = 𝟏𝟖 = 𝟗
× 3 = 2×3 = 6 2 × 3 = 1×3 = 3 = 0 1
Da definição da multiplicação, podemos ter algumas regras: i.
𝑎
𝑏
Seja: 1 × 1 =
𝑎×𝑏 1
2
3
6
exemplo: 1 × 1 = 1
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ii.
Seja a classe
1
1 2 3 −4
={ , , ,
1
, … . , } temos que
1 2 3 −4
1 1
×
𝑎 𝑏
ou
𝑚 𝑛
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
× = ; podemos
1
concluir que a classe 1 é o elemento neutro da operação multiplicação; iii.
0 1
𝑎
×𝑏=
0×𝑏 𝑏
0
0
0
= 𝑏 = 1; a classe 1 é dita elemento anulador.
Propriedades da multiplicação i.
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
Associativa: ( 𝑏 × 𝑑) × 𝑓 = 𝑏 × (𝑑 × 𝑓), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ 𝑎
𝑐
𝑒
Demostração: 𝑟 = 𝑏 , 𝑠 = 𝑑 e 𝑡 = 𝑓, temos: 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎×𝑐 𝑒 𝑎×𝑐×𝑒 𝑎 𝑐×𝑒 𝑎 𝑐×𝑒 (𝑟 × 𝑠) × 𝑡 = ( × ) × = ( )× = = ×( )= ×( ) 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏×𝑑 𝑓 𝑏×𝑑×𝑓 𝑏 𝑑×𝑓 𝑏 𝑑 ×𝑓 = 𝑟 × (𝑠 × 𝑡) ii.
𝑎
𝑐
𝑐
Comutativa: 𝑏 × 𝑑 =
𝑑
𝑎
× 𝑏 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ
𝑎
𝑐
Demonstração: seja 𝑟 = 𝑏 e 𝑠 = 𝑑, temos: 𝑟𝑠 = iii.
𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝑐𝑎 𝑐 𝑎 = = = = 𝑠𝑟 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑑𝑏 𝑑 𝑏
Elemento inverso (simétrico): 0
Existem 𝑟 ′ tal que 𝑟 + 𝑟 ′ = 1, 𝑟 + 𝑟′ = Ou seja todo
𝑚 𝑛
𝑎 −𝑎 𝑎𝑏 + (−𝑎𝑏) 0 0 + = = = . 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 1
∈ ℚ 𝑎 ≠ 0, admite simétrico multiplicativo (inverso): se 𝑎 =
𝑛
𝑚 ≠ 0 e dai 𝑚 ∈ ℚ e portanto
𝑚 𝑛
𝑛
𝑚 𝑛
então
𝑚𝑛
× 𝑚 = 𝑛𝑚 = 1 𝑚
𝑛
Indicando por 𝑎−1 , como é praxe, o inverso de a, então 𝑎 = 𝑛 , 𝑎 ≠ 0 → 𝑎−1 = 𝑚 disso decorre também que se 𝑎 ≠ 0: 𝑛 −1 𝑚 (𝑎−1 )−1 = ( ) = = 𝑎 𝑚 𝑛 Outro facto importante no que refere aos inversos é que se a e b são elementos não nulos: (𝑎𝑏)−1 = 𝑎−1 𝑏 −1 De facto, como (𝑎𝑏)(𝑎−1 𝑏 −1 ) = (𝑎𝑎−1 )(𝑏𝑏 −1 ) = 1 Então efectivamente 𝑎−1 𝑏 −1 é o inverso de 𝑎𝑏. 𝑏
𝑎
𝑎 −1
Como 𝑎 é o inverso de 𝑏 ele é representado por (𝑏)
𝑏
=𝑎
Exemplos: Contacto:
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10 2 −1
a) ( ) 3
1 −1
b) (2)
3
2×3
2
3×2
= , Pois 2
1×2
1
= ; 1
1
= 1, Pois 2×1 = 1;
Observação: a classe
0 1
não possui inverso e por isso dizemos que a propriedade do 0
elemento inverso é valida em ℚ∗ = ℚ − { 1} iv.
Elemento neutro: a classe
1
2
3
= 2 = 3 = ⋯ é o elemento neutro que indicamos 1
simplesmente por 1. 𝑎
Demonstração: 𝑟 = 𝑏; 𝑟×
1 𝑎1 𝑎×1 𝑎 = = = =𝑟 1 𝑏1 𝑏×1 𝑏
De facto: 𝑚 1 𝑚×1 𝑚 × = = 𝑛 1 𝑛×1 𝑛 Para
v.
𝑚 𝑛
∈ℚ
Propriedade distributiva:
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑎
𝑒
× (𝑑 + 𝑓) = (𝑏 × 𝑑) + (𝑏 × 𝑓) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑒, 𝑓 ∈ 𝑏
ℚ. Demonstração: 𝑎 𝑐×𝑓+𝑒×𝑑 𝑎×𝑐 𝑎×𝑒 𝑎×𝑒×𝑑 𝑎×𝑐×𝑓 𝑎×𝑒×𝑓×𝑑×𝑐 ×( )= + = + = 𝑏 𝑑×𝑓 𝑏×𝑑 𝑏×𝑓 𝑏×𝑑×𝑓 𝑏×𝑑×𝑓 𝑏×𝑑×𝑓
Exemplo: 2 1 1 2 1 2 1 ( + )=( × )+( × ) 3 2 5 3 2 3 5 2 7 2 2 × = + 3 10 6 15 14 30 + 12 = 30 90 14 42 = 30 90 7 7 = 15 15
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Nota: (sobre a noção de corpo): suponhamos que sobre um conjunto 𝑘 ≠ {} estejam definidas uma ´´adição`´ e uma ´´multiplicação´´, a primeira, segunda associado a cada par de elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒌 um nico elemento, também de 𝒌, que se indica por 𝑎 + 𝑏 (respectivamente ab ou a. b) chamado soma de a com b (respectivamente, produto de a por b), de modo que: i. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) e (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐); para quaisquer, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘 (valem as propriedades associativas). ii. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 e 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘 (valem as propriedades comutativas). iii. Existem elementos 𝑢, 𝑒 ∈ 𝑘 de modo que 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑘) e 𝑎. 𝑒 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑘), ou seja existem elementos neutros para ambas as operações. Para facilitar a notação é comum fazer 𝑢 = 0 𝑒 = 1. iv. Para todo 𝑎 ∈ 𝑘 existe 𝑎´ ∈ 𝑘, de modo que 𝑎 + 𝑎´ = 0 (todo 𝑎 ∈ 𝑘 admite simétrico aditivo 𝑎´); e para todo 𝑎 ∈ K ∗= 𝐾 − {0} existe 𝑎´´ ∈ K, para o qual se verifica 𝑎´´ = 1 (𝑎´´ é o simétrico multiplicativo de 𝑎). A notação usual para os simétricos é: 𝑎´ = −𝑎 e 𝑎´´ = 𝑎 −1 . v. Para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Convém ainda destacar os seguintes resultados para a multiplicação em ℚ: i. 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 ii. 𝑎 − 0 = 0 iii. 𝑎(−𝑏) = (−𝑏) = (−𝑎) = −(𝑎𝑏) iv. (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏 𝑎
𝑐
𝑎𝑐
𝑎′
𝑐′
𝑎′𝑐′
𝑎𝑐
Temos também: 𝑏 × 𝑑 = 𝑏𝑑 e 𝑏′ × 𝑑′ = 𝑏′𝑑′ da mesma forma, queremos provar que 𝑏𝑑 = 𝑎′𝑐′
, isto é, 𝑎𝑐𝑏 ′ 𝑑′ = 𝑏𝑑𝑎′ 𝑐 ′ , ou, (𝑎𝑏 ′ )(𝑐𝑑 ′ ) = (𝑑𝑐 ′ )(𝑎′ 𝑑), que é verdadeiro, pela
𝑏′𝑑′
hipótese a cima. 4. Divisão em ℚ A divisão de dois números racionais é definida como a multiplicação do primeiro número pelo inverso do segundo ou seja: Entende-se por divisão em ℚ a operação de ℚ × ℚ∗ em ℚ definida por: (𝑎, 𝑏) → 𝑎𝑏 −1 Ou
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𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎𝑑 ÷ = × = 𝑜𝑢 (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑, 𝑏𝑐) 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 O elemento 𝑎𝑏 −1 é chamado quociente de a por b e pode ser indicado por 𝑎 ÷ 𝑏. Exemplos: 2
1
2
5
i. Se 𝑎 = 3, e 𝑏 = 5 , então: 𝑎 ÷ 𝑏 = 3 × 1 = ii.
2 5
10 3
0
÷ 1 =Não é definida
0
3
0
4
0
1
3
1
4
4
iii. 5 ÷ 4 = 5 × 3 = 15 = 0 iv. 1 ÷ 4 = 1 × 3 = 3 Propriedades da divisão em ℚ Para a divisão em ℚ valem as seguintes propriedades: Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ e 𝑐 ≠ 0, entao: i. (𝑎 + 𝑏) ÷ 𝑐 = 𝑎 ÷ 𝑐 + 𝑏 ÷ 𝑐 𝑟
De facto, se 𝑐 = 𝑠 (𝑟, 𝑠 ∈ ℚ), 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑜: (𝑎 + 𝑏) ÷ 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) ×
𝑟 𝑟 𝑠 𝑟 𝑟 =𝑎× +𝑏× =𝑎÷ +𝑏÷ =𝑎÷𝑐+𝑏÷𝑐 𝑠 𝑠 𝑟 𝑠 𝑠
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Conclusão Concluímos que o conjunto quociente de ℤ × ℤ∗ por ~ ou seja o conjunto de todas classes de equivalência determinada por ~ sobre ℤ × ℤ∗ , será designado por ℚ. Para ~ valem três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência. Tanto as operações em ℤ como em ℚ valem quatro operações que são: adição, subtracção, multiplicação e divisão; estas operações são acompanhadas pelas suas propriedades que as definem. O trabalho feito pelo grupo trouxe-nos uma boa relevância no âmbito contextual na aprendizagem, visto que construção do conjunto dos números racionais é conteúdo meramente que parte do conjunto dos inteiros, para efeitos de organização do trabalho foi feito com uso de algumas obras.
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Bibliografia DE MAIO, Walder; Fundamento de matemática: álgebra; S/ed. Ltc editora; Rio de Janeiro. 2007. LEZZI, Gelson; Hygino H. Domingues; álgebra moderna. 4ª Edição reformulada; actual editora; São Paulo. Actual 2003. PALHARES, Pedro et all, Complementos da Matemática para Professores do Ensino Básico, S/ed. Lidel-editora técnica Lda, Lisboa-Porto, Setembro 2011.
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