Control Digital - Español

Juan Luis Orrego Henao – A01206140
Christian Uriel Galindo Olvera – A01205766
Control Digital
Tarea Extra – Periodo Final
Dr. Aarón Sariñana


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COntrol digitalJuan Luis Orrego Henao - a01206140Christian uriel galindo - A01205766COntrol digitalJuan Luis Orrego Henao - a01206140Christian uriel galindo - A01205766Tarea Extra: Controlador PI digital usando el proceso de JURYTarea Extra: Controlador PI digital usando el proceso de JURY20152015

COntrol digital


Juan Luis Orrego Henao - a01206140
Christian uriel galindo - A01205766
COntrol digital


Juan Luis Orrego Henao - a01206140
Christian uriel galindo - A01205766
Tarea Extra: Controlador PI digital usando el proceso de JURY
Tarea Extra: Controlador PI digital usando el proceso de JURY
2015
2015
Instrucciones
El objetivo consiste en diseñar controlador PI digitales aplicando El criterio de Jury para el siguiente proceso.
Graficar todos los posibles valores que pueden tomar las ganancias del controlador PI digital.
Obtener un controlador PI que garantice un buen tiempo de estabilización comparado con la dinámica del proceso.
Analizar y comentar el error en estado estacionario que se presenta en el diseño del proceso.
Proceso
Gps=10s2+s+1 T=0.1 seg.
La ecuación del polinomio característico es la siguiente:
Pz=1+Gcz*HGpz=0
En primer lugar se debe de obtener HGp(z), pero al ver el proceso se puede observar que no es de primer orden. Al querer desarrollar el proceso de manera manual se presentaron una serie de términos que iban a representar un reto en los pasos posteriores. Es por esto que optó por calcular HGp(z) por medio de la herramienta computacional MatLab:
HGpz=0.04833z+0.04675z2-1.895z+0.9048
Al conocer HGp(z), se puede aplicar la estructura de un controlador PI.
Gcz=Kp+Ki(zz-1)
Sustituyendo en la ecuación inicial se obtiene lo siguiente:
Pz=1+Kp+Kizz-1*0.04833z+0.04675z2-1.895z+0.9048 =0
Desarrollando la ecuación
1+ Kpz-1+Kiz*0.0483z+0.04675 z3-2.895z2+2.7998z+0.9048 =0
z3-2.895z2+2.7998z+0.9048+ Kpz-1+Kiz*0.0483z+0.04675=0
El polinomio característico final queda representado de la siguiente manera:
z3+z2-2.895+0.04833Kp+0.04833Ki+z2.7998-0.00158Kp+0.04675Ki+(-0.9048-0.04675Kp)
El siguiente proceso consiste en obtener los coeficientes de a0, a1, a2, a3.
a0=1
a1=-2.895+0.04833Kp+0.04833Ki
a2=2.7998-0.00158Kp+0.04675Ki
a3=-0.9048-0.04675Kp
Lo que sigue es aplicar los criterios de estabilidad
El primer criterio es el siguiente:
"an"0 cuando es par
0
-13-12-2.895+0.04833Kp+0.04833Ki-12.7998-0.00158Kp+0.04675Ki+(-0.9048-0.04675Kp)>0
-7.5996+3.16x10-3Kp+1.58x10-3Ki" bo"
Entonces, primero se obtienen las ecuaciones de bo y b2
bo="a3ao a2a1 "=a3 a1-a2 a0
b2="a3ao a0a3 "=a3 2-a02
Para el caso de bo:
b0=-0.9048-0.04675Kp-2.895-0.04833Kp+0.04833Ki-(2.7998-0.00158Kp+0.04675Ki)(1)
bo=-0.180404+0.093192266Kp-0.090478984Ki-2.26x10-3KpKi-2.26x10-3Kp2
Para el caso de b2:
b2=-0.9048-0.04675Kp2-12
b2=0.0021855625*Kp2 + 0.0845988*Kp - 0.18133696
El cuarto criterio de estabilidad quedaría definido de la siguiente manera:
0.0021855625*Kp2 + 0.0845988*Kp - 0.18133696
>
"-0.180404+0.093192266Kp-0.090478984Ki-2.26x10-3KpKi-2.26x10-3Kp2"

Con este nuevo criterio, la zona de selección se vuelve mucho más pequeña en comparación con la anterior. Los puntos rojos muestran 3 criterios de estabilidad y los puntos azules muestran las zonas con 4 criterios de estabilidad.

Se pueden observar dos zonas azules: una con Kp y Ki muy grandes y negativos y otra con Kp y Ki muy bajos. Para hacer un buen análisis, se comprobarán ambas zonas.

Para evaluar esta región de estabilidad, se tomó un punto aleatorio dentro de la misma que tiene una Kp=-40.74 y una Ki=4850.
1° Criterio
2.036>Kp>-40.74438
2.036>-40.74>-40.74438
CUMPLE

2° Criterio
Ki>0
4850>0
CUMPLE


3° Criterio
-7.5996+3.16x10-3Kp+1.58x10-3Ki7.0636
CUMPLE
Ahora se comprobará la segunda región de estabilidad, marcada en esta ocasión por un color verde

Para este caso se tomará un punto con Kp=0.5 y Ki=0.01 que se encuentra dentro de la región estable.
1° Criterio
2.036>0.5>-40.74438
2.036>0.5>-40.74438
CUMPLE

2° Criterio
0.01>0
0.01>0
CUMPLE

3° Criterio
-7.5996+3.16x10-3Kp+1.58x10-3Ki0.1353
CUMPLE

El proceso en lazo abierto con un escalón unitario como referencia, se comporta de la siguiente manera

El controlador con Kp=0.5 y Ki=0.01 tiene el siguiente comportamiento, en unión con el proceso, con un escalón unitario como referencia:

Se puede observar que, obviamente, la retroalimentación le permite al sistema ajustarse al valor de referencia, en diferencia al sistema en lazo abierto. Igualmente se puede observar que el tiempo de estabilización en lazo cerrado es muy similar al tiempo de estabilización en lazo abierto, lo que permite inferir que es un "buen tiempo de estabilización en comparación con la dinámica del proceso".
Evaluando el error que tiene todo el sistema a lo largo del tiempo, se obtiene la siguiente información:


A primera vista, el error en estado estacionario parece ser cero, lo cual suena lógico ya que el controlador cuenta con una parte integral. Pero analizando un poco más a fondo la gráfica dada por MatLab y ampliando la zona estacionaria, se determina que el error es de 0.0028946, lo que es equivalente al 0.3% del valor final de estabilización del sistema, por lo cual se puede inferir que es cero.