Criterios de convergencia para algunas series

Criterios para determinar la convergencia de algunas series Bernardo Mondrag´on Brozon Mayo de 2015

Criterio de comparaci´ on directa o t´ ermino a t´ ermino • Teorema: Sean

∞ X

an y

n=1

i) Si

ii) Si

∞ X n=1 ∞ X

∞ X

bn dos series. Si 0 ≤ an ≤ bn

∀n ∈ N, entonces

n=1

bn converge, entonces an diverge, entonces

n=1

∞ X

an converge.

n=1 ∞ X

bn diverge.

n=1



Criterio de comparaci´ on en el l´ımite • Teorema: Sean

∞ X

an y

n=1

a l ∈ (0, ∞), entonces diverge, si y s´ olo si

∞ X

∞ X

 bn series de t´erminos positivos. Si lim

n→∞

n=1

an converge, si y s´olo si

n=1 ∞ X

∞ X

an bn

 existe y es igual

bn converge, o equivalentemente,

n=1

∞ X

an

n=1

bn diverge.

n=1



Anticriterio • El siguinete teorema sirve para saber si una serie diverge, si es aplicado correctamente. • Teorema: Sea

∞ X

an una serie de n´ umeros reales, es decir, an ∈ R

∀n ∈ N. Si la serie

n=1

converge, entonces lim an = 0. Equivalentemente, si lim an 6= 0, entonces n→∞

n→∞

∞ X

an diverge.

n=1



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Criterio de la integral • Teorema: Sea f : [a, ∞) −→ R una funcion. Si i) f positiva. ii) f es decreciente. iii) lim f (x) = 0. x→∞

entonces,

∞ X

Z

∞

f (x) dx.

f (n) converge, si y s´olo si a

n=a

 • Teorema: Sea r > 0 fijo, entonces  ∞  Converge X 1 =  nr n=1 Diverge

si r > 1 si 0 < r ≤ 1

• Por ejemplo: a)

b)

c)

∞ X 1 es una serie arm´ onica y diverge. n n=1 ∞ X 1 1

n=1 ∞ X

n2

es una serie sub arm´onica y diverge.

1 es una serie super arm´onica y converge. n2 n=1

• El teorema se demuestra utilizando el criterio de la integral. 

Criterio de la raz´ on (Ratio test) • Teorema: Sea

∞ X

an una seria de t´erminos positivos, es decir an > 0

∀n ∈ N

n=1

 an+1 < 1. i) La serie converge si lim n→∞ an   an+1 ii) La serie diverge si lim > 1. n→∞ an   an+1 iii) Si lim = 1, entonces el criterio no es concluyente. n→∞ an 



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Criterio de Leibniz o criterio para series divergentes • Teorema: Sea

∞ X

n+1

(−1)

an ´ o

n=1

∞ X

(−1)n an series, si se tiene que

n=1

i) an > an+1 > 0

∀n ∈ N

ii) lim an = 0 n→∞

entonces la serie converge.  • Definici´ on: Sea ∞ X

∞ X

cn una serie de n´ umeros reales, es decir, cn ∈ R

∀n ∈ N. Decimos que

n=1

cn converge absolutamente si la serie de n´ umeros reales no negativos definida por

n=1

∞ X

|cn |

n=1

es convergente.

 • Definici´ on: Sea ∞ X

∞ X

cn una serie de n´ umeros reales, es decir, cn ∈ R

∀n ∈ N. Decimos que

n=1

cn converge condicionalmente si

n=1

i)

ii)

∞ X n=1 ∞ X

cn es convergente. |cn | es divergente.

n=1

• Por ejemplo: La sub arm´ onica alternante

∞ X

(−1)n+1

n=1

1 tal que 0 < r < 1 converge condinr

cionalmente.  • Teorema: Sea ∞ X

∞ X

an una serie de n´ umeros reales. Si

n=1

∞ X

an converge absolutamente, entonces

n=1

an converge.

n=1



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