Curso Completo de Matematica Financeira

JOÃO CANDIDO PEREIRA DE CASTRO NETO

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURITIBA – PR 2002

ÍNDICE ÍNDICE........................................................................................................................................... I LISTA DE TABELAS ................................................................................................................... III 1

INTRODUÇÃO.......................................................................................................................1

2

PERCENTAGENS..................................................................................................................2

3

4

5

6

2.1

ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREÇOS INICIAIS E FINAIS .................................................2

2.2

ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS ...........................................................................6

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................10 3.1

O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA .........................................................................................10

3.2

AS TAXAS DE JUROS .......................................................................................................11

3.3

DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA .......................................................................................12

O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES........................................................................13 4.1

JUROS SIMPLES .............................................................................................................13

4.2

MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................14

4.3

TAXAS ..........................................................................................................................15

4.4

DESCONTOS SIMPLES .....................................................................................................15

4.4.1

Cálculo do Desconto Simples Comercial.................................................................16

4.4.2

Cálculo do Valor Atual Comercial............................................................................17

O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................19 5.1

MONTANTE E JUROS DE UM ÚNICO PAGAMENTO ...................................................................19

5.2

DESCONTO ...................................................................................................................20

5.3

TAXAS DE JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................20

5.4

TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................20

5.5

TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS.............................................................................................21

5.6

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO MISTA.....................................................................................22

5.7

EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ..................................................................................23

SÉRIES UNIFORMES..........................................................................................................26 6.1

CLASSIFICAÇÃO, ELEMENTOS E CÁLCULOS ..........................................................................26

6.2

SÉRIES ANTECIPADAS .....................................................................................................26

6.3

SÉRIES IMEDIATAS ..........................................................................................................28

6.4

SÉRIES DIFERIDAS ..........................................................................................................29

6.5

SÉRIES GRADIENTES ......................................................................................................30

6.6

DECOMPOSIÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA

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i

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7

8

SISTEMAS DE FINANCIAMENTO.......................................................................................33 7.1

SISTEMA DO MONTANTE ..................................................................................................34

7.2

SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS) ...................................................................34

7.3

SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMA PRICE ...............................................................................35

7.4

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES .........................................................................36

ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO ..........................39 8.1

MÉTODOS DE ANÁLISE ....................................................................................................40

8.1.1

Método do Custo Anual .........................................................................................40

8.1.2

Método do Valor Presente Líquido .........................................................................45

8.1.3

Método da Taxa Interna de Retorno.......................................................................50

8.2

CLASSIFICAÇÃO DE ALTERNATIVAS ....................................................................................53

8.2.1

Alternativas Singulares...........................................................................................53

8.2.2

Alternativas Múltiplas .............................................................................................53

8.2.3

Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes ......................................................54

ANEXOS......................................................................................................................................55 BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................................62

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LISTA DE TABELAS

VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO .................................................................................56 VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO .....................................................................................57 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA......................................................58 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA..........................................................59 FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA .........................................60 TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS ..............................................................61

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1

1. Introdução Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operação e parece ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades na obtenção e administração do capital de giro respondem pela quase totalidade dessas baixas. Sabe-se, também, que a maior parte do tempo destinado à administração das empresas brasileiras é dedicada à administração financeira. De fato, o ambiente econômico e financeiro nacional não perdoa os amadores. Altos níveis de concentração de renda, taxas de juros estratosféricas e carga tributária extorsiva constituem entraves seriíssimos à atividade econômica que tornam o dia a dia da gestão empresarial um desafio gigantesco. Nesse contexto, o conhecimento da matemática comercial e financeira, mais que nunca, é fundamental para a administração nas mais diversas áreas. Do cálculo das comissões de vendas, à avaliação de projetos alternativos de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas da matemática comercial e financeira com uma preocupação permanente com a linguagem acessível e com a sua utilidade prática. Sempre que possível, buscou-se utilizar uma nomenclatura idêntica à das calculadoras financeiras, de modo a facilitar a compreensão e o uso daqueles instrumentos. Nos anexos apresentam-se tabelas de índices que têm o objetivo de possibilitar cálculos rápidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela prática para cálculo de prazos entre datas. Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliação e consolidação de seus conhecimentos e na sua evolução profissional.

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2. Percentagens Uma percentagem é um número relativo, que pode ser utilizado para comparar grandezas de qualquer espécie: volume, área, peso, etc. A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida em cem unidades, que chamamos de principal (P). Fazendo uma regra de três, temos: P p = 100 r

p=

P×r r = P× 100 100

p = P×i

Onde i é uma taxa e é igual à percentagem dividida por cem: i=

r 100

Exemplo: Calcular 8% de 560. Comentário: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa. p=

560 × 8 = 44,8 100

ou p = 560 × 0,08 = 44,8

2.1

Acréscimos e abatimentos O valor resultante de um acréscimo é chamado de valor bruto (B) e é igual

ao principal mais a parte que foi acrescida.

B = P+ p Nós já vimos que a parte é igual ao principal multiplicado pela taxa:

p = P×i Substituindo na equação anterior, temos:

B = P + P×i ou B = P × (1 + i ) Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante é o valor líquido (L), que é igual ao principal menos a parte que foi abatida.

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3

L = P− p Como:

p = P×i Substituindo na equação anterior:

L = P − P×i ou L = P × (1 − i ) 2.2

Operações com mercadorias Nos acréscimos como nos abatimentos, podemos considerar como

principal tanto o preço inicial (Po), que é o preço antes da operação ou preço de custo, como o preço final (Pn) que é o preço depois da operação ou preço de venda. Isso costuma gerar muita confusão, pois um mesmo acréscimo ou abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o preço inicial e outra calculada "sobre" o preço final. Assim, se o principal é o preço inicial, o que é mais comum, em um acréscimo o preço final é um valor bruto igual ao preço inicial mais o acréscimo: B = P × (1 + i )

Pn = P0 × (1 + i0 )

Em um abatimento, o preço final é um valor líquido igual ao preço inicial menos o abatimento: L = P × (1 − i )

Pn = P0 × (1 − i0 )

Porém, em certas ocasiões como no cálculo do ICMS, por exemplo, o principal é o preço final, isto é, o cálculo é feito sobre o preço que já inclui a operação. Nesse caso, em um acréscimo, o preço inicial é um valor líquido igual ao preço final menos o acréscimo: L = P × (1 − i )

P0 = Pn × (1 − in )

ou

Pn =

P0 (1 − in )

Em um abatimento, o preço inicial é um valor bruto igual ao preço final mais o abatimento: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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4

B = P × (1 + i )

P0 = Pn × (1 + in )

ou

Pn =

P0 (1 + in )

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EXERCÍCIOS 1) Quanto é 8% de 1.253.897,33? 2) Quanto por cento 1.200 é de 8.000? 3) 1.000,00 são 3% de quanto? 4) A cotação da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variação percentual? 5) A saca de café passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variação percentual? 6) A saca de café passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variação percentual? 7) O preço de venda de certa mercadoria representa um acréscimo de 15% sobre o preço de custo de R$ 5.800,00. Qual é o preço de venda? 8) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e representa um acréscimo de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 9) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00, o que inclui uma margem que representa 25% desse preço de venda. Calcule o preço de custo. 10) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que permite vendê-la com uma margem que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda. 11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi a margem sobre o preço de custo? Qual sobre o de venda? 12) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e resulta de um abatimento de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Calcular o preço de venda. 14) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00 e resulta de um desconto de 25% sobre a venda. Calcule o preço de custo. 15) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda.

RESPOSTAS: 1) 100.311,79 2) 15% 3) 33.333,33 4) 2,15% 5) - 25% 6) 33,33% 7) R$ 6.670,00 8) R$ 1.200,00 9) R$ 5.025,00 10) R$ 10.000,00 11) 33,33% e 25% 12) R$ 2.000,00 13) R$ 6.300,00 14) R$ 8.375,00 15) R$ 6.666,67

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2.3

Acréscimos e abatimentos sucessivos Os acréscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso

quer dizer que, em uma série de Operações, cada operação é realizada de forma acumulada, "sobre" o resultado da operação anterior. Dessa forma, o bruto de cada acréscimo ou o líquido de cada abatimento passa a ser o principal da operação seguinte. Vamos imaginar uma série de acréscimos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O bruto do primeiro acréscimo seria calculado por:

B1 = P × (1 + i1 ) O do segundo, por:

B2 = B1 × (1 + i 2 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) O terceiro, por:

B3 = B2 × (1 + i3 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 ) E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acréscimos, poderíamos escrever que:

Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) E se fossem vários acréscimos iguais, teríamos: Bn = P × (1 + i ) × (1 + i ) × ... × (1 + i )

Bn = P × (1 + i ) n

Como esses acréscimos são realizados sobre principais diferentes, o acréscimo total é sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das taxas. Isto nos leva à busca de uma taxa única que corresponda à aplicação de diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa única de acréscimos (iua) será igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas de acréscimos sucessivos:

Bu = B n sendo:

Bu = P × (1 + iua )

e

Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in )

assim,

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P × (1 + iua ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) 1 + iua = (1 + i1 ) × (1 + i 2 ) × ... × (1 + in ) e, finalmente:

iua = (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) − 1 Se fossem vários acréscimos iguais, teríamos: iua = (1 + i) × (1 + i) × ... × (1 + i) − 1

iua = (1 + i ) n − 1

Vamos imaginar, agora, uma série de abatimentos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O líquido do primeiro abatimento seria:

L1 = P × (1 − i1 ) O do segundo, por:

L2 = L1 × (1 − i 2 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) O terceiro, por:

L3 = L2 × (1 − i3 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × (1 − i3 ) E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos, poderíamos escrever que:

Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) E se fossem vários abatimentos iguais, teríamos: Ln = P × (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i )

Ln = P × (1 − i ) n

Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa única que corresponde à aplicação de diversas taxas de abatimento sucessivas. O valor líquido produzido por essa taxa única de abatimentos, ou taxa única de descontos (iud) será igual ao valor líquido produzido pelas diversas taxas de abatimentos sucessivos:

Lu = Ln sendo:

Lu = P × (1 − iud ) e

Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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Assim,

P × (1 − iud ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) 1 − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in ) − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − i n ) − 1 E, finalmente:

iud = 1 − (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in ) E, se fossem vários abatimentos iguais, teríamos: iud = 1 − (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i )

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iud = 1 − (1 − i) n

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EXERCÍCIOS 1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 1.200,00 por unidade e que sofre os acréscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%. 2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00. 3) Calcular o valor líquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00. 4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 após sofrer os abatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%. 5) Qual a taxa única que corresponde aos acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 6) Qual a taxa única que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 7) Uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva, os acréscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preço final a R$ 21.024,36. Qual a percentagem do o último acréscimo? 8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro. Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preço da etiqueta de R$ 42.016,81. Qual a percentagem do último desconto? 9) O acréscimo total de 27,63% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? 10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas?

RESPOSTAS: 1) R$ 1.388,65 2) R$ 94.108,79 3) R$ 58.140,00 4) R$ 165.343,92 5) 59,39% 6) 41,86% 7) 20,00% 8) 30,00% 9) 5,00% 10) 5,00%

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3. Fundamentos da Matemática Financeira

3.1

O Princípio da Equivalência O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da

equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia, situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor, que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto. A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros:

FV = PV + j

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3.2

As Taxas de Juros O nível de preços dos bens e serviços é função de sua escassez. Da

mesma maneira que as forças de oferta e demanda determinam o preço dos bens e serviços, as forças de oferta de fundos e a procura de crédito determinam o preço do crédito que é representado pela taxa de juros. Na verdade, essas forças de mercado determinam o nível (i0) da taxa de juros pura (ip), correspondente a uma situação de virtual equilíbrio de mercado decorrente da quantidade (Q0) de recursos demandados (Q).

ip D

S

io Q0

Q

O mercado adiciona, a essa taxa pura, um conjunto de outras taxas (spread) que visam cobrir impostos (IOF), comissões (flat) e custos de intermediação financeira e uma taxa correspondente à remuneração do fator risco (iρ), que é variável e visa remunerar o risco específico daquele tipo de operação. O resultado é a taxa real (ir) de juros, que corresponde ao custo real das operações financeiras. Assim, a taxa real é:

ir = ip + IOF + flat + custos + iρ

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ir

ir0 iρ

ip + flat + IOF + custos

ρ0

ρ

À taxa real pode, então, ser acumulada a expectativa de inflação (iη) para constituir a taxa efetiva (ie) de juros, como a seguir:

ie = (1 + ir) . (1 + iη) - 1

Observe que a taxa de inflação acumula-se à taxa real de juros, como nos acréscimos sucessivos (2.3), para formar a taxa efetiva. Não basta, portanto, somar a taxa de inflação à taxa de juros, pois os juros incidem sobre o capital já corrigido monetariamente, i. e., já compensado pelo desgaste da inflação. 3.3

Diagrama de Fluxos de Caixa O Diagrama de Fluxos de Caixa (DFC) é a representação gráfica das

operações financeiras. Como o valor de um fluxo de caixa (pagamento ou recebimento) é função do tempo, necessita ser representado em uma escala cronológica que o situe exatamente na época de sua ocorrência. Assim, o DFC é constituído de um segmento de reta graduado de forma a representar os intervalos de tempo entre os fluxos. Estes são representados por vetores verticais orientados para cima (recebimentos - fluxos positivos) ou para baixo (pagamentos - fluxos

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negativos) com origem na escala cronológica, na graduação correspondente à época de ocorrência. Um Diagrama de Fluxos de Caixa pode ter o seguinte aspecto: 200

200

100

0

1

2

100

3

4

5

6

7

8

9

10

100

11

12

13

14

50 100

100 150 200

4. O Regime de Capitalização Simples

4.1

Juros Simples Juro é o prêmio que se paga pela utilização de um capital por certo tempo. A capitalização simples é um regime de cálculo de juros (j) em que estes

são definidos, em cada período, como uma parte de um mesmo principal. Este principal é o capital (C) da operação financeira. Os juros são, então, obtidos pela aplicação de uma percentagem ou taxa, a taxa de juros (i) sobre este principal. Como sabemos,

p=P.i

Logo,

j=C.i

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Para obter o total de juros produzidos em certo número de períodos (n), fazemos:

j=C.i.n

Exemplo: Calcular os juros simples do capital de R$ 1000,00, a 15% a.a., em cinco meses. Comentário: Para todo o cálculo financeiro, é fundamental que o prazo e a taxa de juros estejam se referindo ao mesmo período de capitalização. No exemplo acima, temos uma taxa ao ano (a.a.) e um prazo expresso em meses. No entanto, esse prazo pode ser expresso como uma fração do período de capitalização anual:

C = 100

j = C.i.n

i = 0,15a.a.

j = 1000.0,15.

n = 5me =

4.2

5 a 12

5 12

j = R$62,50

Montante Simples Montante Simples (M) é o resultado da soma do capital com os juros. Portanto, M=C+j Como vimos anteriormente, j=C.i.n Logo, M = C + C. i. n ou M = C . ( 1 + i . n)

Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me., em 6 meses.

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Comentário: Nesse caso, a taxa e o prazo já se referem ao mesmo período de capitalização (um mês). Podemos, portanto, aplicar a fórmula diretamente:

C = 700 i = 0,10a.me. n = 6me 4.3

M = C .(1 + i.n) M = 700.(1 + 0,10.6) M = R$1.120, 00

Taxas As taxas de juros podem ser classificadas em proporcionais e

equivalentes. Taxas proporcionais são aquelas que se relacionam com os prazos a que se referem formando uma proporção. Assim, a taxa de 24% ao ano é proporcional a 12 % ao semestre, a 2% ao mês, etc. Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo resultado quando aplicadas pelo mesmo prazo. No Regime de Capitalização Simples, as taxas proporcionais são equivalentes. Assim, se aplicarmos um capital a 5% ao mês durante dois anos, iremos obter a mesma quantidade de juros que obteríamos aplicando por dois anos esse capital a 10 % ao bimestre, a 30% ao semestre ou a 60% ao ano. A matemática financeira utiliza duas convenções para contagem do prazo das operações financeiras (período financeiro): o ano comercial, com 360 dias e, portanto, 12 meses com 30 dias cada, e o ano civil, com 365 ou 366 dias quando bissexto e com os 12 meses com a respectiva quantidade de dias. Em geral, quando o contrato não especifica se é juro comercial ou juro civil, utiliza-se a convenção comercial por maior facilidade. No entanto, quando o contrato especifica o contrário, ou quando o prazo é estabelecido entre duas datas, utiliza-se o ano civil. Para a contagem de dias entre duas datas, ver a Tabela nº 4.2 - p.59 . 4.4

Descontos Simples A operação de desconto é inversa à da capitalização e consiste em se

determinar um Valor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em termos práticos, as operações de desconto são realizadas com os títulos de crédito que são os instrumentos de crédito que possuem garantia legal (duplicatas, notas Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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promissórias, etc.). Possuindo garantia legal, esses títulos podem ser negociados livremente, antes de sua data de vencimento. Assim, um título de crédito pode ser convertido em dinheiro ou substituído por outro(s) título(s) anteriormente à data prevista para sua liquidação. A conversão é feita pelo Valor Atual (An) ou Valor Presente do título, que corresponde ao Valor de Face, Valor Nominal (N) ou Valor Futuro do título, menos o desconto (d) que é a compensação em valor pela antecipação do resgate do título. O Regime de Capitalização Simples utiliza duas formas de cálculo para o desconto: o Desconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como apenas a modalidade comercial é praticada, ainda que sua utilização seja restrita a operações de curto prazo, nos ateremos ao seu estudo. 4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial O Desconto Simples Comercial (dc), também chamado Desconto Simples "Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal (F) do título. Da fórmula dos juros simples: j=C.i.n

Tiramos, substituindo j por dc e C por N, dc = N . i . n

Exemplo: Calcular o desconto comercial de um título de R$ 500,00, descontado 27 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês. Comentário: Como o prazo não está em uma unidade de tempo compatível com o período de capitalização da taxa, é necessário expressá-lo em função dessa nova unidade de tempo.

N = 500

dc = N .i.n

i = 0, 05a.me. n = 27 d =

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27 me 30

dc = 500.0, 05.

27 30

d c = R$22, 50

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4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial O Valor Atual é o valor pelo qual o título é resgatado ou negociado antes do seu vencimento e corresponde à diferença entre o Valor Nominal e o Desconto: Anc = N - dc

Porém, como dc = N . i . n,

podemos escrever: Anc = N - N . i . n

=>

Anc = N (1 - i . n)

Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um título de R$ 1100,00, 25 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 8% a.me. Comentário: O exemplo não especifica a modalidade de desconto simples utilizada. Sendo assim, como norma, utilizamos o desconto comercial.

N = 1100

Anc = N (1 − i.n)

i = 0, 08a.me.

Anc = 1100.(1 − 0, 08.

n = 25d =

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25 me 30

25 ) 30

Anc = R$1.026, 67

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EXERCÍCIOS 1) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao mês. 2) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a 14% ao mês. 3) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzirá juros simples de R$ 1.500,00? 4) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzirá o montante a juros simples de R$3.250,00? 5) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Câmbio no dia 15 de janeiro de 1995 e, ao resgatá-las no dia 16 de março do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00. Quanto recebeu de juros? Que taxa mensal remunerou seu capital nesse período? 6) Um empresário pediu um empréstimo de R$ 25.000,00 a uma instituição financeira, por certo período. Na liberação do empréstimo, pagou antecipadamente, como previa o contrato, 22% de juros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantia efetivamente liberada? Considerando a quantia liberada como empréstimo, qual foi a taxa efetiva de juros? 7) Um título foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, à taxa de 7% a.me., por R$ 4.451,67. Calcular o Valor Nominal do título. 8) Uma nota promissória de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seu vencimento, por R$ 5.250,00. Calcular a taxa de desconto. 9) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, três títulos de R$ 20.000,00; R$ 15.000,00 e R$35.000,00, vencíveis, respectivamente, em 27 de junho, 28 de julho e 24 de agosto do mesmo ano. Calcule o valor atual utilizando a taxa de desconto de 15% a.me. 10) Uma empresa devedora de três títulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00, vencíveis em 32, 63 e 90 dias, respectivamente, propõe ao banco credor substituí-los por dois outros, de mesmo valor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule o valor nominal desses títulos a uma taxa de desconto de 15% ao mês.

RESPOSTAS: 1) R$ 101,33 2) R$ 268,33 3) 1a6me 4) 3a 5) R$ 70 500,00; 14,10% a.me. 6) R$ 5.500,00; R$ 19.500,00; 28,21% 7) R$ 5.000,00 8) 15% a.me. 9) R$ 46.325,00 10) R$ 3.057,89

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5. O Regime de Capitalização Composta

5.1

Montante e juros de um único pagamento No Regime de Capitalização Composta, os juros são sempre calculados

sobre o valor bruto do período anterior. Ao contrário do que ocorre no Regime de Capitalização Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o principal muda a cada período de capitalização. O principal é sempre o Montante ou Valor Futuro (FV) do período anterior. É claro que para o primeiro período não temos montante do período anterior. Assim, os juros compostos do primeiro período são iguais aos juros simples, se usarmos a mesma taxa e o mesmo capital e, claro, o montante também é o mesmo. Partindo de um certo Capital Inicial (PV), os juros do primeiro período seriam, como em juros simples:

j = PV . i

e o montante seria: FV1 = PV . (1 + i . 1) = PV . (1 + i)

O montante do segundo período seria: FV2 = FV1 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)2

O montante do terceiro período seria: FV3 = FV2 . (1 + i) = PV . (1 + i)2 . (1 + i) = PV . (1 + i)3

E assim por diante, o que nos permite generalizar assim: FV = PV. (1 + i)n (Ver Tabela 2 - p.64)

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Ao trabalhar com juros compostos, é mais simples obter o montante e depois subtrair o capital inicial para obter o valor dos juros. Assim: j = FV - PV j = PV . (1 + i)n - PV

e, finalmente, j = PV . [(1 + i)n - 1] 5.2

Desconto O desconto é a operação inversa da capitalização. Enquanto a operação

de capitalização agrega, a cada período, os juros ao capital inicial ou Valor Presente para produzir o montante ou Valor Futuro, a operação de desconto retira, a cada período, os juros de um determinado Valor Futuro para produzir o Valor Presente daquele período. Usando a fórmula do montante, basta isolarmos no primeiro membro o Valor Presente: FV = PV . (1 + I)n =>

PV = FV . (1 + i)-n

(Ver Tabela 1 - p. 63) 5.3

Taxas de juros compostos

5.4

Taxas proporcionais e equivalentes A exemplo do que vimos em juros simples, as taxas podem ser

classificadas em proporcionais e equivalentes. Porém, ao contrário do que ocorre nos juros simples, no Regime de Capitalização Composta as taxas proporcionais não são equivalentes. Isso ocorre porque, nesse regime, os juros não são calculados sempre sobre o mesmo principal, mas sim sobre o montante do período anterior. Como as taxas incidem, a cada período, sobre um principal diferente, a taxa equivalente ao fim de um certo número de períodos não pode ser simplesmente o resultado do produto da taxa ao período pelo número de períodos, como uma taxa proporcional.

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Usando a fórmula do valor futuro e um valor presente igual a um, vamos imaginar uma taxa (iq) que produza, no mesmo prazo, o mesmo montante em um número de períodos (1/q) que outra taxa (it) produziria em outro número de períodos (1/t). As fórmulas ficariam assim: FV = PV. (1 + iq)1/q FV = PV . (1 + it)1/t

Como ambas dão como resultado o mesmo FV, podemos igualá-las: PV . (1 + iq)1/q = PV . (1 + it)1/t

e, simplificando PV, temos: (1 + iq)

1/q

= (1 + it)

1/t

1 + iq = (1 + it)q/t iq = (1 + it)q/t - 1 Para facilidade de aplicação, podemos ler esta fórmula desta forma pouco ortodoxa: "A taxa que queremos (iq) é igual a 1 mais a taxa que temos (it), elevado ao número de capitalizações que queremos (q), em um certo prazo, dividido pelo número de capitalizações que temos (t), no mesmo prazo, menos 1." P. Ex. calcular a taxa anual equivalente a 2% a.m.. it = 2% a.m. (a taxa que temos) t

= 1 (número de capitalizações que temos – 1 mês)

q

= 12 (número de capitalizações que queremos – 12 meses)

iq = (1 + it)q/t – 1 iq = (1 + 0,02)12/1 – 1 iq = 1,0212 – 1 iq = 1,2682 – 1 iq = 0,2682 = 26,82% a.a. 5.5

Taxas nominais e efetivas É comum que os contratos financeiros apresentem a taxa de juros relativa

a um período de tempo (geralmente ao ano), chamado de período financeiro, mas

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que os cálculos considerem a incidência dos juros em um período diferente (geralmente ao mês), chamado de período de capitalização. O cálculo, nesses casos, é feito com a utilização da taxa no período de capitalização proporcional à taxa contratada no período financeiro. P. Ex. 10% a.a. capitalizados mensalmente:

taxa contratada:

10% a.a.

capitalização: mensal

período financeiro:

um ano

período de capitalização:

um mês

taxa proporcional no período de capitalização:

10% ÷ 12 = 0,83% a.m.

Sabemos, no entanto, que, por se tratar do regime de capitalização composta, o resultado obtido será diferente do resultado indicado pela taxa contratada.

Assim, a taxa contratada de 10% a.a. é apenas uma taxa anual

proporcional à taxa no período de capitalização, é uma taxa meramente nominal, pois não corresponde ao resultado da operação. A taxa que realmente reflete o custo financeiro anual da operação é a taxa anual equivalente a 0,83% a.m.. Já vimos como calculá-la: iq = (1 + it)q/t – 1 iq = (1 + 0,0083)12/1 – 1 iq = 1,008312 – 1 iq = 1,1043 – 1 iq = 0,1043 = 10,43% a.a. Esta taxa de 10,43% a.a. é a taxa efetiva da operação e corresponde ao custo anual da operação, diferentemente da taxa nominal de 10% a.a.. 5.6

Regime de Capitalização Mista Já

pudemos

verificar que o montante gerado pelo Regime de

Capitalização Composta é maior que o gerado pelo Regime de Capitalização Simples. Porém, isso só ocorre para um número inteiro de períodos. Quando o prazo é uma quantidade não inteira de períodos de capitalização, o montante gerado na parte fracionária do prazo, e apenas nessa parte fracionária, será maior se for calculado a juros simples. Assim, o mercado adota a Convenção Linear, que

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calcula o montante a juros compostos pela parte inteira de períodos de capitalização de um prazo, e o montante desse resultado a juros simples pela sua parte fracionária. Considerando um prazo fracionário, representado pela fração mista np/q, teríamos como valor futuro a juros compostos da parte inteira do prazo, FVn,:

FVn = PV .(1 + i )n E para a parte fracionária do prazo, tomando FVn como valor presente no segundo cálculo, o valor futuro a juros simples, FVnp/q,:

FVn p q = FVn. 1 + i.

p q

Porém, como:

FVn = PV .(1 + i )n , FVn p q = FV .(1 + i) n . 1 + i. 5.7

p q

Equivalência de Fluxos de Caixa Como vimos no item sobre Desconto (2.3.2), as operações de Desconto e

Capitalização são operações inversas. Isso significa que, capitalizando um determinado valor presente (PV) por um certo número de períodos (n) a uma determinada taxa (i), obtendo, assim, um valor futuro (FV), se descontarmos esse valor futuro (FV) à mesma taxa (i), pelo mesmo número de períodos (n), iremos obter o mesmo valor presente (PV). Esse raciocínio ilustra bem o princípio fundamental da matemática financeira: o Princípio da Equivalência. Este princípio nos diz que capitais iguais, situados em épocas diferentes, têm valores diferentes, mesmo no pressuposto de uma economia com moeda constante, ou seja, mesmo com inflação nula. Assim, podemos imaginar um capital situado em uma data futura que, embora diferente, tenha o mesmo valor que outro capital situado no presente; da mesma forma podemos imaginar um capital no presente que, embora diferente, possua o mesmo valor que outro colocado no futuro. Esses capitais diferentes, colocados em datas diferentes, teriam, na mesma data, o mesmo valor, seriam equivalentes. O mecanismo que estabelece o grau de

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equivalência e, portanto, que capital situado em uma determinada data é equivalente a outro em outra data é a taxa de juros. Isso é de extrema valia quando se trata de comparar valores (fluxos de caixa) situados em épocas diferentes, pois podemos, indiferentemente, capitalizar um ou mais fluxos para uma data futura, ou descontar um ou mais fluxos para uma data presente. Como só podemos comparar, operar algebricamente ou trocar fluxos de caixa situados na mesma data, utilizamos os recursos da capitalização e do desconto para "movimentá-los" ao longo do tempo, "atualizando-os" para a mesma data e, então, realizando a operação que desejamos. A equivalência permite, na prática, a troca de um título de crédito (duplicata, nota promissória, etc.) ou de um grupo de títulos situados em uma, ou diversas datas, por outro título ou por outro grupo situados em outra ou em outras datas diferentes. Para isso, é necessário que, em uma data qualquer, os seus valores equivalentes (presentes ou futuros) sejam iguais. Tomando o seguinte conjunto de fluxos de caixa equivalentes:

PV4 FV3 FV2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1000 FV4 PV5

Temos que: PV4 + FV3 + FV2 = 1000 + FV4 + PV5 EXERCÍCIOS 1) Calcular a taxa efetiva anual correspondente a 180% ao ano, capitalizados mensalmente. 2) Qual o tempo necessário para que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40, à taxa de 24% a.a. com capitalizações trimestrais? 3) No fim de quanto tempo os capitais de R$ 5.000,00, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e de R$ 15.000,00 u.m., a 10% a.a. capitalizados semestralmente produzirão juros iguais?

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4) No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00 a 10% a.a. e R$ 400,00 a 12% a.a. produzirão montantes iguais? 5) Qual deve ser a taxa média mensal de inflação para que os preços dupliquem em 3 anos? 6) Qual a taxa anual de juros capitalizada mensalmente que faz com que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40 em 7 meses e meio? 7) O desconto de um título, pagável em 3 meses e 18 dias, é de R$ 2.164,74. Calcular o Valor Nominal do título, sabendo que a taxa empregada foi de 30% a.a. com capitalizações mensais. 8) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00, a 40% a.a. capitalizados mensalmente produzirá R$4.500,00 de juros? 9) Duas notas promissórias, de R$ 5.000,00 para 1 ano e 6 meses e de R$ 8.000,00 para 2 anos e 3 meses, serão substituídas por uma única para 3 anos. Estipulando a taxa de 18% a.a. capitalizados mensalmente para essa operação, calcular o Valor Nominal do título. 10) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200,00 por três anos a 20% a.a. capitalizados mensalmente. Algum tempo após, propõe saldar a dívida com três pagamentos anuais realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos. O primeiro pagamento será de R$ 50,00 e o segundo, de R$ 100,00. Calcular o valor do último pagamento, sabendo que a taxa do desconto real é de 12% a.a. com capitalizações mensais.

RESPOSTAS: 1) 435,03% a.a.; 2) 3a1me19d; 3) 7a1me8d; 4) 12a4me19d; 5) 1,94% a.me.; 6) 122,76% a.a. cap. mens.; 7) R$ 25.450,49; 8) 1a7m18d; 9) R$ 15.683,82; 10) R$ 251,54

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6. Séries Uniformes

6.1

Classificação, elementos e cálculos As séries uniformes são constituídas, tanto nas operações de recuperação

de capital (amortização), como nas de formação de capital (capitalização). Nas operações de amortização (empréstimos, financiamentos, etc.) o valor a ser amortizado é anterior à série, é a sua causa, e recebe o nome de Valor Atual ou Valor Presente (PV) de uma série. Nas operações de capitalização, o capital formado é posterior à série, é a sua conseqüência, e recebe o nome de Montante ou Valor Futuro (FV) da série. Os fluxos de caixa que constituem a série são denominados Termos ou Pagamentos (PMT), o número de termos (n) e a taxa no período (i) são os demais elementos de uma operação com séries uniformes. As

séries

uniformes

classificam-se

em

Antecipadas,

Imediatas

(Postecipadas) e Diferidas em função da época em que ocorrem os seus fluxos. 6.2

Séries Antecipadas Em uma Série Antecipada, os fluxos ocorrem no início dos respectivos

períodos. As séries antecipadas são mais freqüentes nas operações de capitalização, embora sejam utilizadas, também, em operações de amortização. O DFC de uma Série Antecipada tem o seguinte aspecto: 0

1

2

3

4

5

...

n-2

n-1

n

O Valor Presente da uma série Antecipada corresponde à soma dos valores presentes de todos os termos (PMT) iguais que a compõem. Calculando os valores presentes de todos os termos e somando-os temos:

PV (a) = PMT .(1 + i )− n+1 + ... + PMT .(1 + i) −3 + PMT .(1 + i )−2 + PMT .(1 + i )−1 + PMT PV (a) = PMT .[(1 + i)− n+1 + ... + (1 + i )−3 + (1 + i) −2 + (1 + i )−1 + 1]

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Fazendo:

(1 + i ) = u , temos:

PV (a) = PMT .(u − n+1 + ... + u −3 + u −2 + u −1 + 1) Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de uma Progressão Geométrica de razão q = u. A fórmula que permite calcular a soma dos termos de uma P.G. é:

Sn =

an .q − a1 ; q −1

Substituindo os elementos, temos:

Sn =

1.u − u − n+1 u − u − n+1 ; = u −1 i

Multiplicando ambos os termos da fração por un-1:

Sn =

u − u − n+1 u n−1 u.u n −1 − u − n+1.u n −1 u n − 1 . n−1 = = n−1 i u i.u n −1 i.u

PV (a) = PMT .

un −1 i.u n−1

ou

PV (a) = PMT .

(1 + i )n − 1 i.(1 + i )n −1

O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o desenvolvimento das fórmulas para cálculo do Valor Futuro:

FV (a) = PMT .(1 + i )n + ... + PMT .(1 + i)3 + PMT .(1 + i )2 + PMT .(1 + i )1 FV (a) = PMT .[(1 + i) n + ... + (1 + i )3 + (1 + i )2 + (1 + i )1 ] Fazendo:

(1 + i ) = u , temos:

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FV (a) = PMT .(u n + ... + u 3 + u 2 + u1 ) Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de uma Progressão Geométrica Decrescente de razão q = u-1. Substituindo os elementos na fórmula do cálculo da soma dos termos da P.G. decrescente:

Sn =

a1 − an .q 1− q

Sn =

u n − u.u −1 u n − 1 = ; 1 − u −1 1 − u −1

Multiplicando ambos os termos da fração por u: Sn =

u n − 1 u u n .u − 1.u u.(u n − 1) un −1 . = = = . u 1 − u −1 u 1.u − u −1.u u −1 i

FV (a) = PMT .u.

6.3

u n −1 i

FV (a) = PMT .(1 + i ).

ou

(1 + i) n − 1 i

Séries Imediatas Em uma série Imediata, os fluxos ocorrem no final dos respectivos

períodos. As séries Imediatas são mais características das operações de amortização, embora possam ser utilizadas, também, em operações especiais de capitalização na constituição de fundos de reembolso para o resgate de dívidas ou fundos de provisão para a substituição de equipamentos. O DFC de uma série Imediata tem o seguinte aspecto: 0

1

2

3

4

5

6 ...

n-1

n

O Valor Presente da uma série Imediata pode ser obtido pela seguinte fórmula:

PV (i ) = PMT .

un −1 i.u n

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ou

PV (i) = PMT .

(1 + i )n − 1 i.(1 + i )n

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(Ver Tabela 3 - P.65) O Valor Futuro é calculado por:

FV (i ) = PMT .

un −1 i

ou

FV (i) = PMT .

(1 + i )n − 1 i

(Ver Tabela 4 - p.66) 6.4

Séries Diferidas Em uma série Diferida, os fluxos ocorrem no final dos respectivos

períodos, posteriores a um prazo de carência ou diferimento. As séries Diferidas são praticamente exclusivas das operações de amortização, embora sejam utilizadas, ainda que raramente, em operações de capitalização nos mesmos casos previstos nas séries imediatas. As séries diferidas incluem no cálculo um elemento adicional: a carência ou prazo de diferimento (m). O DFC de uma série Diferida tem o seguinte aspecto:

0

1

2 ...

0

1

2

3

m

m+1

m+2

m+3

4

...

m+4 ...

n-1

n

m+n-1

m+ n

O Valor Presente da uma série Diferida pode ser obtido pela seguinte fórmula:

PV (d ) = PMT .

un −1 i.u m + n

ou

PV (d ) = PMT .

(1 + i) n − 1 i.(1 + i)m + n

O Valor Futuro é calculado de forma idêntica ao das séries imediatas, já que o prazo de carência ou diferimento não interfere nesse cálculo:

un −1 (1 + i) n − 1 ou FV (d ) = PMT . i i Todos esses valores podem ser calculados pelas fórmulas acima, pelo

FV (d ) = PMT .

emprego de tábuas financeiras e com as calculadoras financeiras, e, ainda, por decomposição dos fluxos de caixa. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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30

6.5

Séries Gradientes Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos

cujos termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro termo também é igual a G e ocorre no segundo período. O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto: 0

1

2

3

4

5

G

2G

3G

4G

6 ...

5G

n-1

n

n-2G n-1G

Para efeito de cálculo, a Série Gradiente é convertida em uma série imediata equivalente, segundo o fator de conversão:

1 n i − . n i i u −1 (Ver Tabela 5 - p.66) Assim, o valor do termo (PMT) de uma Série Imediata equivalente a uma Série Gradiente em G é:

P M T (i ) = G .

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1 n i − . n i i u −1

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31

EXERCÍCIOS Calcule o valor equivalente das seguintes séries, usando a taxa de 10%: 1)

2)

3)

RESPOSTAS: 1) PV=R$ 1.071,16; 2) FV=R$ 14.024,93; 3) PV=R$ 2.677,23

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32

6.6

Decomposição de Fluxos de Caixa Nem todas as operações financeiras se comportam de forma uniforme. As

operações mais complexas parecem conjuntos desordenados de fluxos de caixa quando traduzidas para um diagrama. No entanto, podemos decompô-las em dois ou mais conjuntos de pagamentos isolados e séries uniformes, simplificando o seu cálculo. A decomposição de fluxos de caixa é feita por "cortes" verticais ou horizontais nos diagramas, que, assim, são decompostos em outros diagramas mais simples e uniformes, como no exemplo a seguir:

Que pode ser decomposto horizontalmente em:

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7. Sistemas de financiamento São vários os sistemas utilizados para o pagamento de um empréstimo ou de um financiamento. Trataremos dos mais freqüentes no nosso mercado. Para exemplificarmos, utilizaremos como exemplo, o empréstimo do capital de R$ 30.000,00, a 10% ao mês, por cinco meses.

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34

7.1

Sistema do Montante É o sistema no qual o devedor restitui ao credor, ao final de um prazo

estipulado, o capital e os juros correspondentes. O cálculo é feito pela fórmula do Valor Futuro de um pagamento único: FV = PV . (1 + i)n FV = 30000 . (1 + 0,10)5 = R$ 48.315,30 7.2

Sistema do Juro Antecipado (Descontos) É o sistema utilizado no cálculo dos penhores e nas operações de

empréstimo com desconto de duplicatas. É, também, a forma utilizada para cálculo de taxas e comissões cobradas antecipadamente (flat), como os seguros de crédito, o IOF, etc. Em geral, o desconto é calculado no regime de capitalização simples. Porém, como os juros são pagos antecipadamente, a taxa de juros efetiva da operação

é

bastante

diferente da taxa de desconto anunciada, o que

freqüentemente conduz a erros de avaliação. Vejamos como ficaria a operação com a taxa de 10% ao mês para o desconto simples:

PV FV = ---------1 - i.n

30000 FV = --------------- = R$ 60.000,00 1 - 0,10 . 5

Assim, para um empréstimo de R$ 30.000,00, temos um Valor Futuro de R$ 60.000,00 em 5 meses. Substituindo esses valores na fórmula do Valor Futuro de um pagamento único a juros compostos, temos: FV = PV . (1 + i)n

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35

60000 = 30000 . (1 + i)5

60000 --------- = (1 + i)5 30000 2 = (1 + i)5 1 + i = 21/5

1 + i = 1,1487

i = 0,1487 => 14,87% a.m.

Sendo 14,87% ao mês, portanto, a taxa efetiva de juros. Essa diferença se acentua à medida que cresce o prazo e a taxa de desconto. 7.3

Sistema Francês ou Sistema Price É o sistema em que o pagamento do empréstimo ou financiamento é feito

através de prestações iguais, a intervalos de tempo constantes, geralmente ao mês. Essas prestações são compostas de duas partes: os juros mensais calculados sobre o saldo devedor e o restante que compõe uma quota destinada a amortizar o principal da dívida. O cálculo das prestações é feito pelas fórmulas das séries uniformes. Utilizando o exemplo para uma série uniforme imediata, temos: (1+i)n - 1 PV(i) = PMT . ------------i . (1+i)n

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36

(1+0,10)5 - 1 30000 = PMT . -------------------0,10 . (1+0,10)5

0,6105 30000 = PMT . ---------0,1611

30000 = PMT . 3,7908

30000 PMT = --------- = R$ 7.913,92 3,7908

Através do seguinte Plano de Amortização, podemos observar a evolução dos principais componentes da operação, período a período.

Plano de Amortização - Sistema Francês Capital : 30.000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. (n)

Pagamento (PMT)

Juros

Quota de Amortização

Fundo de Amortização

Saldo Devedor (PV)

0 1 2 3 4 5

7913,92 7913,92 7913,92 7913,92 7913,92

3000,00 2508,60 1968,07 1373,49 719,44

4913,92 5405,31 5945,84 6540,43 7194,47

4913,92 10319,24 16265,08 22805,52 30000,00

30000,00 25086,07 19680,75 13734,91 7194,47 0,00

7.4

Sistema de Amortizações Constantes É o sistema pelo qual o empréstimo ou financiamento é pago através de

prestações decrescentes. A quota destinada à amortização do principal é fixa e corresponde à divisão do principal pelo número de prestações. A essa quota são

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acrescentados os juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior, para formar a prestação do período. O Plano de Amortização a seguir ilustra bem a solução do nosso exemplo por esse sistema: Plano de Amortização - Sistema de Amortizações Constantes Capital : 30000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. (n)

Pagamento (PMT)

Juros

Quota de Amortização

Fundo de Amortização

Saldo Devedor (PV)

0 1 2 3 4 5

9000,00 8400,00 7800,00 7200,00 6600,00

3000,00 2400,00 1800,00 1200,00 600,00

6000,00 6000,00 6000,00 6000,00 6000,00

6000,00 12000,00 18000,00 24000,00 30000,00

30000,00 24000,00 18000,00 12000,00 6000,00 0,00

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EXERCÍCIOS 1) Uma família decidiu comprar um refrigerador a crédito. O esquema de pagamento oferecido pela loja é o seguinte: 15.03.02 R$ 500,00 15.06.02 R$ 300,00 15.07.02 R$ 300,00 15.08.02 R$ 300,00 15.09.02 R$ 300,00 Sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês, determine o valor do refrigerador em 15.05.02. 2) Qual o valor presente de uma série de oito prestações mensais imediatas de R$ 5.000,00, sabendo-se que a taxa mensal de juros é de 3,0%? 3) Qual o valor da prestação mensal de um fundo de investimentos que capitaliza os depósitos à taxa composta de 10% ao ano capitalizados mensalmente, para se obter, no fim de 20 anos, o montante de R$ 500.000,00? 4) Em quanto tempo duplicará um capital aplicado a uma taxa de juros de 1,25% ao mês? 5) Logo que tenha economizado R$ 10.000,00 em valores de hoje, o Sr. Saddam Sahva pretende instalar uma quitanda. Se economizar R$ 500,00 por mês, investindo-os a 1,0% ao mês, quantos meses serão necessários para que o Sr. Saddam obtenha a importância desejada, sabendo-se que a inflação mensal é de 0,485%? 6) O Sr. Komero Toda Furuta comprou uma Kombi em 10 prestações mensais iguais. Sabendo que a Kombi tem seu preço à vista fixado em R$ 30.000,00 e que a taxa de financiamento é de 1,75% ao mês, determine: a) O valor da prestação. b) O saldo devedor após o pagamento da 5ª parcela.

RESPOSTAS: 1) R$ 1.615,04 2) R$ 35.098,46 3) R$ 658,44 4) 4 anos, 7 meses e 24 dias 5) 20 meses 6) R$ 3.296,26 e R$15.650,17

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8. Análise de alternativas de financiamento e investimento A Análise de Alternativas de Financiamento e Investimento conta com um conjunto de técnicas da Engenharia Econômica que permitem a comparação, de forma científica, entre alternativas diferentes. Ao permitir que essas diferenças sejam explicitadas de forma quantitativa, elas constituem ferramenta da maior utilidade no processo de tomada de decisões em qualquer empresa, de qualquer porte ou ramo de atividade. São exemplos típicos da utilização dessas técnicas as alternativas de investimento financeiro, de distribuição em marketing, de automatização na contabilidade, de planos de carreira em administração de pessoal, de aquisição e substituição de equipamentos na administração da produção, na engenharia de produto, etc. Para ser eficiente, a Análise de Investimentos pressupõe alguns princípios fundamentais: − −

− −

− − − − − −

Não existe decisão com alternativa única, todas as alternativas devem ser consideradas; Somente são comparáveis alternativas homogêneas, não se pode optar entre pouco retorno com pouco investimento e muito retorno com muito investimento, por exemplo; Apenas as diferenças entre as alternativas são relevantes, não perca tempo com o que é comum a elas; Os critérios para decisão entre alternativas econômicas devem levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, o princípio da equivalência é básico; Não devem ser subestimados os problemas relativos ao racionamento de capital, a menos que isso não seja problema para você; Decisões separáveis são tomadas separadamente; As previsões são necessariamente falhas e o seu grau e tipos de incerteza devem ser explicitados; O evento qualitativo não quantificava monetariamente devem ser claramente especificados; A retroalimentação (feedback) de informações é fundamental e é a única maneira de minimizar o impacto dos erros das previsões; Os dados relevantes são os econômicos e gerenciais, os dados contábeis só são importantes na avaliação após o Imposto de Renda. Não importa de um equipamento é depreciado contabilmente em 10 anos, se está obsoleto em 5 anos.

E tem, também, algumas limitações: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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40

−

−

−

− −

−

8.1

A escolha do método, que deve considerar o aspecto mais abrangente do problema, uma vez que é impossível levar em consideração e quantificar todas as variáveis em situações reais. Premissas, restrições e limitações devem ser claramente caracterizadas; Os modelos estudados pressupõem taxas de juros e retorno iguais, embora no mercado as taxas de juros (empréstimos) sejam sempre maiores que as taxas de retorno (aplicação). A taxa de retorno será denominada doravante de Taxa Mínima de Atratividade, ou simplesmente TMA, refletindo a menor taxa de retorno aceitável para um investimento; Os modelos pressupõem taxas constantes, o que recomenda a utilização de uma média das taxas projetadas, ou a explicitação de que a solução está vinculada às circunstâncias presentes; Os modelos pressupõem viabilidade econômica e financeira para o fluxo de caixa real final; Os modelos levam em consideração que os fluxos de caixa ocorrem no final dos respectivos períodos (anos), embora a maioria possa ocorrer durante o período. Nesses casos, esses fluxos de caixa são os valores equivalentes, no final do período, dos demais fluxos ocorridos durante aquele período. A complexidade do modelo deve ser compatível com a confiabilidade dos dados assumidos.

Métodos de Análise As principais técnicas utilizadas pela Análise de Investimentos são os

métodos de análise, também chamados “Métodos Equivalentes Para Avaliação de Alternativas de Financiamento e Investimento”. Em seguida, veremos uma apresentação desses métodos e suas principais características. 8.1.1 Método do Custo Anual Consiste em transformar os fluxos de caixa das alternativas em séries uniformes equivalentes, utilizando uma taxa de juros igual à Taxa Mínima de Atratividade. É possível, então, chegar a um Custo Anual Equivalente, que servirá de parâmetro para comparação entre as alternativas. Cabe ressaltar que, embora chamado de Método do Custo Anual, o método se presta a análises em períodos diferentes do ano. É importante, no entanto que, por ora, as alternativas tenham a mesma duração de tempo, i.e., a mesma Vida Econômica. Vejamos o Exemplo 1, a seguir:

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41

Alternativa A B C

Investimento Inicial

Despesas Anuais

Valor Residual

15000,00 20000,00

10000,00 5000,00 4000,00

2000,00

TMA: 10% ao ano Vida Econômica: 10 anos

Solução: . Alternativa A Custo Anual Dado

= 10000

. Alternativa B Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,10 . 1,1010 PMT(PV) = 15.000 . -----------------

= 2441

1,1010 - 1 Custo Anual Dado

= 5000 -----

Custo Anual Total

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= 7441

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42

. Alternativa C

Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,10 . 1,1010 PMT(PV) = 20000 . ---------------

= 3255

1,1010 - 1 Custo Anual Dado

= 4000

Retorno Anual Equivalente do Valor Residual (FV):

0,10 PMT(FV) = -2000 . ------------

= - 125

1,1010 - 1 ----Custo Anual Total

= 7130

A alternativa C é a mais vantajosa por apresentar os menores custos anuais equivalentes.

Exemplo 2

Uma companhia deseja mecanizar uma operação de movimentação de materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operação é realizada manualmente por uma equipe de operários. Os custos anuais com salários e encargos sociais são de R$ 8000,00. A mecanização será obtida com a aquisição de um equipamento cujo valor é de R$ 20000,00. Espera-se uma redução nos custos com mão-de-obra a R$ 2000,00 ao ano. As despesas anuais de operação são estimadas em R$ 500,00 de energia, R$ 1.500,00 de manutenção e R$ 500,00 de seguro e demais despesas.

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43

O equipamento tem vida econômica de 10 anos e um valor de revenda de R$ 2000,00. A uma TMA de 18% a.a., qual a alternativa mais vantajosa economicamente? Solução:

. Alternativa A Custo Anual Dado

= 8000

. Alternativa B Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,18 . 1,1810 PMT(PV) = 20000 . ---------------

= 4450

1,1810 - 1 Despesas Anuais

= 4500

- Mão-de-Obra

= 2000

- Energia

=

- Manutenção

= 1500

- Seguro, etc.

=

500

500

Retorno Anual Equivalente do Valor de Revenda (FV): 0,18 PMT(FV) = -2000 . ------------

=

- 85

1,1810 - 1 -----Custo Anual Total

= 8865

O maior custo anual da segunda alternativa a desaconselha como decisão econômica.

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EXERCÍCIOS 1) Calcular e comparar os custos anuais dos motores A e B, cuja compra é considerada para 12 anos de serviço a uma TMA de 10%a.a. Item Custo Inicial Valor Residual Estimado Custo Anual de Energia Custo Anual de Reparos CAA = R$ 1.166,91

Motor A 2.500

Motor B 4.000 500 300

1.000 300 220

CAB = 1.060,29 (MELHOR COMPRA)

2) Um serviço de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que se apresentam são as seguintes: Item Tubo 30 cm Tubo 50 cm Custo Inicial 21.000 32.000 Custo Anual de Operação 6.700 3.850 O período de serviço esperado é de sete anos, após os quais o encanamento será removido com Valor Residual previsto de 5% de seu custo. O retorno mínimo exigido é de 8% ao ano. Comparar os custos anuais. CAA = 10.615,84

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CAB = 9.817,00 (MELHOR COMPRA)

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8.1.2 Método do Valor Presente Líquido Consiste em se calcular a soma algébrica dos valores equivalentes de todos os fluxos de caixa no período zero utilizando a Taxa Mínima de Atratividade. A soma desses Valores Presentes resulta no Valor Presente Líquido da alternativa. A alternativa mais indicada é aquela que apresenta o maior retorno em relação a um investimento, ou o menor custo. É fundamental que se observe o sinal dos respectivos fluxos de caixa. Assim, um VPL positivo significa que o Valor Presente dos retornos é maior que o Valor Presente dos investimentos e das despesas. Quanto maior o VPL positivo, maior essa diferença e, portanto, maior a razão entre retorno e investimento. Se VPL=0 (nulo) o projeto oferece a mesma rentabilidade que a alternativa de investimento financeiro remunerada pela TMA. Se VPL 15% 0 --> i - 605 --> 20%

0 - 2146

i - 15%

--------------- = ------------- 605 - 2146

=> i ~ 18,9% a.a.

20% - 15%

Obviamente, esta forma de cálculo, trabalhosa e imperfeita devido à utilização da interpolação linear, pode ser substituída, com vantagens, pela utilização das funções financeiras avançadas encontradas nas calculadoras financeiras mais completas. É importante observar que o conceito de Taxa Interna de Retorno está intimamente vinculado à Vida Econômica do investimento. Assim, o investimento acima possibilita uma TIR de aproximadamente 18,9% ao ano para uma Vida Econômica de sete anos. Isso quer dizer que o capital investido será remunerado a, aproximadamente 18,9% ao ano e que o investimento será totalmente recuperado em sete anos.

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EXERCÍCIOS 1) A respeito de um projeto são conhecidos os seguintes dados: Item Custo Inicial Custo Op. Anual Valor Residual Vida Econômica Receita Anual Calcular a Taxa Interna de Retorno do investimento.

Valor 12.000 1.506 2.000 25 a. 2.590

2) Uma loja vende amplificadores a R$ 2.500 cada um, mas R$ 500 deverão ser pagos de entrada e R$ 500 no fim de cada mês nos próximos quatro meses, "sem cobrança de juros". Discutindo a possível compra, você descobre que pode comprar o amplificador por R$ 2.250 à vista. Você também fica sabendo que, comprando a prazo, haverá a cobrança, no ato da compra, de R$ 50 referentes a serviços e despesas contratuais. Que taxa de juros será realmente paga se a compra for feita em prestações? 3) Duas alternativas estão sendo consideradas para um investimento de R$ 4.000 por dez anos. Os demais dados seguem: Item Alternativa A Custo Op.Anual 1.100 Valor Residual 400 Receita Anual 2.000 Determinar a melhor alternativa.

Alternativa B 1.600 600 2.500

4) Uma bomba de água essencial para um processo industrial pode ser comprada de dois fornecedores. O fornecedor A vende a bomba por R$ 100.000 e a despesa mensal de operação e manutenção é estimada em R$ 12.000. A bomba do fornecedor B custa R$ 170.000 e a despesa mensal de operação e manutenção é estimada em R$ 8.000. Se ambas as bombas serão usadas por cinco anos e a taxa mínima de retorno exigida é de 10% ao mês, qual das bombas deve ser escolhida? Qual seria a resposta do problema se a TMA fosse de 4% a.m.?

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53

8.2

Classificação de Alternativas

8.2.1 Alternativas Singulares Na análise de alternativas singulares pode-se utilizar os métodos do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de Retorno, como fizemos para cada alternativa nos exemplos desses dois métodos. A análise, nesse caso, é simples. O investimento

que

possua Valor Presente Líquido positivo (VPL > 0) é

economicamente viável, pois possibilita um retorno sobre o investimento superior ao propiciado por uma aplicação financeira à taxa Mínima de Atratividade. No caso do método da Taxa Interna de Retorno, a conclusão é a mesma para um investimento que possua a Taxa Interna de Retorno maior que a Taxa Mínima de Atratividade. 8.2.2 Alternativas Múltiplas Na análise de alternativas múltiplas os métodos do Custo Anual e do Valor Presente Líquido aplicam-se como fizemos nos respectivos exemplos. Já o método da Taxa Interna de Retorno, por pressupor investimentos iguais, exige, no caso de investimentos diferentes, a decomposição em fluxos complementares, de modo a ser definido o fluxo de caixa incremental de um projeto em relação a outro. Este seria o fluxo de caixa composto apenas pelas diferenças incrementais de um projeto em relação a outro. Para um conjunto de alternativas com investimentos diferentes, procederíamos da seguinte maneira: Ordenar as alternativas em ordem crescente de investimentos. Determinar a TIR da primeira alternativa e compará-la com a TMA. Se a TIR < TMA, abandonar esta alternativa e repetir a análise para a alternativa seguinte

e,

assim,

sucessivamente

até

a

obtenção

de

uma

alternativa

economicamente viável. A partir da primeira alternativa viável, calcula-se a Taxa de Retorno incremental da próxima alternativa. A Taxa de retorno incremental é a TIR do fluxo de caixa incremental de um projeto me relação a outro com investimento menor. Este fluxo de caixa incremental é o fluxo de caixa composto pelas diferenças algébricas entre os fluxos de caixa da alternativa com investimento maior e a Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

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54

primeira alternativa viável. A Taxa de Retorno incremental é, também, comparada com a Taxa Mínima de Atratividade. A primeira alternativa é remunerada pela sua TIR e a segunda alternativa é remunerada, em parte pela TIR, e na parte incremental, pela Taxa de Retorno incremental. Se a Taxa de Retorno incremental for maior que a TMA, a alternativa é, também, viável. 8.2.3 Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes No caso de se analisar alternativas com diversas vidas econômicas, somente os métodos do Custo Anual e do Valor Presente são aplicáveis. O método do Custo Anual não sofre distorções graves com a diferença de Vidas Econômicas, o que ocorre com o método do Valor Presente Líquido. Em ambos os casos, a diferença pode ser contornada levando-se em consideração a possibilidade de reinvestimento. Define-se assim um prazo que seja o Mínimo Múltiplo Comum entre os prazos das alternativas propostas e repete-se o fluxo de caixa de cada alternativa o número de vezes necessário para preencher o prazo comum. Recai-se então na análise com vidas iguais.

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55

ANEXOS

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56

VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO n

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%

9,0%

10,0%

1

0,990099

0,980392

0,970874

0,961538

0,952381

0,943396

0,934579

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VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO n

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41,44626

46,01845 51,159090

20

22,01900

24,29737

26,87037

29,77807

33,06595

36,78559

40,99549

45,76196

51,16012 57,274999

21

23,23919

25,78331

28,67648

31,96920

35,71925

39,99272

44,86517

50,42292

56,76453 64,002499

22

24,47158

27,29898

30,53678

34,24797

38,50521

43,39229

49,00573

55,45675

62,87333 71,402749

23

25,71630

28,84496

32,45288

36,61788

41,43047

46,99582

53,43614

60,89329

69,53193 79,543024

24

26,97346

30,42186

34,42647

39,08260

44,50199

50,81557

58,17667

66,76475

76,78981 88,497327

25

28,24320

32,03030

36,45926

41,64590

47,72709

54,86451

63,24903

73,10594

84,70089 98,347059

26

29,52563

33,67090

38,55304

44,31174

51,11345

59,15638

68,67647

79,95441

93,32397 109,18176

27

30,82088

35,34432

40,70963

47,08421

54,66912

63,70576

74,48382

87,35076

102,7231 121,09994

28

32,12909

37,05121

42,93092

49,96758

58,40258

68,52811

80,69769

95,33883

112,9682 134,20993

29

33,45038

38,79223

45,21885

52,96628

62,32271

73,63979

87,34652

103,9659

124,1353 148,63093

30

34,78489

40,56807

47,57541

56,08493

66,43884

79,05818

94,46078

113,2832

136,3075 164,49402

31

36,13274

42,37944

50,00267

59,32833

70,76079

84,80167

102,0730

123,3458

149,5752 181,94342

32

37,49406

44,22703

52,50275

62,70146

75,29882

90,88977

110,2181

134,2135

164,0369 201,13776

33

38,86900

46,11157

55,07784

66,20952

80,06377

97,34316

118,9334

145,9506

179,8003 222,25154

34

40,25769

48,03380

57,73017

69,85790

85,06695

104,1837

128,2587

158,6266

196,9823 245,47669

35

41,66027

49,99447

60,46208

73,65222

90,32030

111,4347

138,2368

172,3168

215,7107 271,02436

36

43,07687

51,99436

63,27594

77,59831

95,83632

119,1208

148,9134

187,1021

236,1247 299,12680

42

51,87898

64,86222

82,02319

104,8195

135,2317

175,9505

230,6322

304,2435

403,5281 37,636992

48

61,22260

79,35351

104,4083

139,2632

188,0253

256,5645

353,2700

490,1321

684,2804 960,17233

54

71,14104

95,67307

131,1374

182,8453

258,7739

370,9170

537,3164

785,1140

1155,130 1708,7194

60

81,66967

114,0515

163,0534

237,9906

353,5837

533,1281

813,5203

1253,213

1944,792 3034,8163

Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

Fone /fax: 41 – 339 – 6270 E-mail: [email protected] http://www.fesppr.br/~candido

60

FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA n

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%

9,0%

10,0%

2

0,497512

0,495050

0,492611

0,490196

0,487805

0,485437

0,483092

0,480769

0,478469

0,476190

3

0,993367

0,986799

0,980297

0,973860

0,967486

0,961176

0,954929

0,948743

0,942619

0,936556

4

1,487562

1,475249

1,463061

1,450995

1,439053

1,427234

1,415536

1,403960

1,392504

1,381168

5

1,980100

1,960401

1,940905

1,921611

1,902520

1,883633

1,864950

1,846472

1,828197

1,810126

6

2,470980

2,442256

2,413833

2,385715

2,357904

2,330404

2,303217

2,276346

2,249792

2,223557

7

2,960202

2,920815

2,881851

2,843318

2,805225

2,767581

2,730392

2,693665

2,657404

2,621615

8

3,447766

3,396080

3,344963

3,294434

3,244510

3,195208

3,146541

3,098524

3,051166

3,004479

9

3,933673

3,868053

3,803176

3,739077

3,675786

3,613331

3,551740

3,491033

3,431231

3,372351

10

4,417923

4,336736

4,256498

4,177264

4,099085

4,022007

3,946071

3,871314

3,797768

3,725461

11

4,900517

4,802131

4,704936

4,609014

4,514444

4,421295

4,329629

4,239503

4,150964

4,064054

12

5,381454

5,264242

5,148499

5,034348

4,921902

4,811261

4,702516

4,595747

4,491023

4,388402

13

5,860734

5,723071

5,587198

5,453288

5,321501

5,191977

5,064842

4,940207

4,818164

4,698792

14

6,338360

6,178621

6,021042

5,865859

5,713289

5,563521

5,416727

5,273051

5,132618

4,995529

15

6,814330

6,630896

6,450043

6,272087

6,097314

5,925976

5,758295

5,594460

5,434631

5,278933

16

7,288645

7,079899

6,874214

6,672000

6,473629

6,279428

6,089681

5,904626

5,724460

5,549341

17

7,761306

7,525635

7,293567

7,065628

6,842292

6,623972

6,411025

6,203746

6,002375

5,807097

18

8,232314

7,968108

7,708116

7,453002

7,203360

6,959705

6,722474

6,492028

6,268653

6,052560

19

8,701668

8,407322

8,117876

7,834156

7,556896

7,286728

7,024182

6,769688

6,523580

6,286095

20

9,169370

8,843282

8,522862

8,209125

7,902965

7,605148

7,316307

7,036948

6,767450

6,508075

21

9,635420

9,275993

8,923090

8,577945

8,241635

7,915075

7,599014

7,294034

7,000563

6,718878

22

10,09981

9,705459

9,318577

8,940654

8,572976

8,216625

7,872471

7,541181

7,223224

6,918886

23

10,56256

10,13168

9,709341

9,297292

8,897062

8,509914

8,136853

7,778626

7,435742

7,108483

24

11,02366

10,55468

10,09540

9,647901

9,213968

8,795065

8,392336

8,006612

7,638428

7,288054

25

11,48311

10,97445

10,47677

9,992523

9,523771

9,072201

8,639101

8,225382

7,831597

7,457982

26

11,94091

11,39100

10,85348

10,33120

9,826553

9,341450

8,877332

8,435184

8,015563

7,618650

27

12,39707

11,80433

11,22554

10,66398

10,12239

9,602942

9,107217

8,636268

8,190639

7,770437

28

12,85158

12,21446

11,59298

10,99091

10,41138

9,856809

9,328943

8,828883

8,357141

7,913716

29

13,30444

12,62138

11,95581

11,31204

10,69360

10,10318

9,542701

9,013281

8,515378

8,048858

30

13,75566

13,02511

12,31407

11,62742

10,96913

10,34221

9,748684

9,189712

8,665661

8,176226

31

14,20523

13,42566

12,66777

11,93710

11,23808

10,57402

9,947084

9,358427

8,808293

8,296174

32

14,65316

13,82302

13,01694

12,24112

11,50053

10,79875

10,13809

9,519675

8,943578

8,409051

33

15,09945

14,21722

13,36159

12,53955

11,75657

11,01655

10,32191

9,673702

9,071812

8,515196

34

15,54410

14,60825

13,70177

12,83244

12,00629

11,22755

10,49872

9,820753

9,193286

8,614940

35

15,98711

14,99613

14,03749

13,11984

12,24980

11,43191

10,66873

9,961072

9,308285

8,708603

36

16,42848

15,38086

14,36878

13,40181

12,48719

11,62976

10,83212

10,09489

9,417091

8,796497

42

19,04237

17,62368

16,26499

14,98278

13,78844

12,68827

11,68417

10,77440

9,954645

9,218804

48

21,59759

19,75559

18,00889

16,38322

14,89430

13,54854

12,34466

11,27584

10,33170

9,500090

54

24,09445

21,77889

19,60728

17,61671

15,82647

14,24024

12,85000

11,64025

10,59168

9,683974

60

26,53331

23,69610

21,06741

18,69723

16,60617

14,79094

13,23209

11,90153

10,76831

9,802294

Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 82100 – 010 Curitiba – PR

Fone /fax: 41 – 339 – 6270 E-mail: [email protected] http://www.fesppr.br/~candido

61

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS Dias

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ago

Set

Out

Nov

Dez

Dias

1

1

32

60

91

121

152

182

213

244

274

305

335

1

2

2

33

61

92

122

153

183

214

245

275

306

336

2

3

3

34

62

93

123

154

184

215

246

276

307

337

3

4

4

35

63

94

124

155

185

216

247

277

308

338

4

5

5

36

64

95

125

156

186

217

248

278

309

339

5

6

6

37

65

96

126

157

187

218

249

279

310

340

6

7

7

38

66

97

127

158

188

219

250

280

311

341

7

8

8

39

67

98

128

159

189

220

251

281

312

342

8

9

9

40

68

99

129

160

190

221

252

282

313

343

9

10

10

41

69

100

130

161

191

222

253

283

314

344

10

11

11

42

70

101

131

162

192

223

254

284

315

345

11

12

12

43

71

102

132

163

193

224

255

285

316

346

12

13

13

44

72

103

133

164

194

225

256

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