Curso de Extensão: Teoria da Decisão e Modelagem Matemática: Teoria dos Jogos

TEORIA DA DECISÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA NO CONTEXTO GERENCIAL

Teoria dos Jogos Prof. M.Sc. Marcos dos Santos Email: marcosdossantos_doutorado_uff@yahoo.com.br

“Você pode descobrir mais sobre uma pessoa em uma hora de jogo do que em um ano de conversa.” Platão, Filósofo grego (427 a.C.)

SUMÁRIO •  Introdução; •  Pressuposto da Racionalidade; •  Lógica Situacional; •  Dilema do Prisioneiro; •  Tragédia dos Comuns; • 

Jogos de Soma-Zero;

• 

Ponto de Equilíbrio de Nash;

• 

Exercícios.





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INTRODUÇÃO Veremos que em nossa linguagem coWdiana, com frequência tratamos

como se fossem “jogos” aWvidades bem mais sérias do que aquelas que praWcamos nos momentos de lazer. Isso fica evidente quando empregamos expressões do Wpo “o jogo da políWca internacional”, “o jogo da livre concorrência” etc. O que parece sugerir que há algo em comum entre negociações internacionais, decisões estratégicas de execuWvos de empresas compeWdores e uma parWda de xadrez.

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INTRODUÇÃO A Teoria dos Jogos é uma teoria matemáWca que trata os aspectos gerais de situações compeWWvas, dando ênfase ao processo de tomada de decisão dos adversários. A Teoria dos Jogos desenvolve critérios racionais para a seleção de uma estratégia. A Teoria dos Jogos está inserida na Pesquisa Operacional e na Economia, pretendendo descrever e prever o comportamento decisório e/ou econômico uWlizando modelos matemáWcos, visando à análise e à coordenação de situações de conflito. O decisor disputa um jogo com um oponente não passivo, pois os jogadores tentam aWvamente promover as respecWvas prosperidades, em oposição ao outro. Um jogo pode ser definido como uma interação entre agentes regulados por um conjunto de regras que especificam os movimentos possíveis de cada parKcipante e por um conjunto de resultados para cada possível combinação de movimentos.



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INTRODUÇÃO A Teoria dos Jogos é um prolongamento da Teoria da Decisão. Na Teoria da Decisão a escolha de um rumo para as ações não está propriamente subordinada à possibilidade de vários resultados, mas condicionada às possíveis alternaWvas de um adversário que parWcipa do mesmo jogo.

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PRESSUPOSTO DA RACIONALIDADE A Teoria dos Jogos não deve ser aplicada a qualquer

situação de interação estratégica, mas somente às situações em que os agentes buscam agir de forma racional.

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INTERAÇÃO ESTRATÉGICA Uma situação de interação estratégica é aquela em que parWcipantes, sejam indivíduos ou organizações, reconhecem a interdependência mútua de suas decisões.

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LÓGICA SITUACIONAL Foi o filósofo Karl Popper (1902 – 1994)

que cunhou a expressão lógica situacional, ao se referir ao método das ciências sociais. Em sua opinião, as ciências sociais d e v e r i a m b u s c a r c o m p r e e n d e r o b j e 4 v a m e n t e a l ó g i c a d e u m a determinada situação de interação entre indivíduos, ou organizações, a parWr dos dados obje4vos dessa situação, sem analisar a subje4vidade dos indivíduos envolvidos, ou seja, sem invesWgar os senWmentos, as expectaWvas e desejos dos indivíduos que parWcipam das interações.

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DILEMA DO PRISIONEIRO Este exemplo de jogo é um clássico da Teoria dos Jogos. Dois suspeitos são tomados em custódia e separados. O promotor tem certeza que eles são culpados mas não posui as provas adequadas para levá-los ao julgamento. Ele diz para cada um dos prisioneiros que eles possuem duas alternaWvas: confessar o crime que a polícia tem certeza que eles cometeram, ou não confessar. Se ambos confessarem, ficarão 8 anos na cadeia cada um. Se nenhum dos dois confessarem, eles terão uma pena leve, ficando presos durante 1 ano cada um. Entretanto, se um confessar e o outro não, o que confessou receberá uma pena de 3 meses, e o segundo receberá tratamento pesado, ficando 10 anos em detenção. Prof. M.Sc. Marcos dos Santos

DILEMA DO PRISIONEIRO Na tabela abaixo apresentamos a matriz de resultados para o problema, cujo resultado é a pena em anos. Examinando o jogo do ponto de vista do jogador 1, se o jogador 2 escolher confessar ou não confessar, o resultado da primeira estratégia, confessar, é melhor para o suspeito 1. Os valores para não confessar (1 e 10) são maiores que os de não confessar (0,25 e 8). Logo, confessar é a melhor alternaWva para o suspeito 1. Da mesma forma, para o segundo jogador, o mesmo ocorre.

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DILEMA DO PRISIONEIRO Desejando maximizar o seu nível de segurança os jogadores tomam as escolhas racionais de ambos confessarem e cumprem a pena de 8 anos cada, quando poderiam alcançar a pena de 1 ano apenas. Não há solução para este problema, e por isso ele é descrito como um “dilema”. Se houver possibilidade de cooperação, os jogadores podem escolher por não confessarem. O moWvo de não ser esta a estratégia escolhida é que se um dos jogadores trair o outro e confessar, ele melhora o seu resultado no jogo.

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TRAGÉDIA DOS COMUNS Uma interpretação alternaWva do “Dilema do Prisioneiro” é o caso de n fazendeiros onde cada um possui duas alternaWvas: produção restrita e produção total. Se todos os fazendeiros uWlizarem a produção restrita, o preço subirá e individualmente todos ficarão bem. Se todos uWlizarem a produção total, o preço cairá muito e individualmente a situação é muito ruim. A estratégia de um único fazendeiro, entretanto, não possui influência sobre o todo, pois não afetará o preço de mercado. Assim, a produção total domina a produção restrita e todos os fazendeiros estão condenados à ruína.

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TRAGÉDIA DOS COMUNS Para maximizar os resultados, há quem lance mão de recursos

necessários a outros setores, como se não houvesse qualquer interdependência, provocando desequilíbrios que trazem prejuízos para todos.

Obs: Assim como o “Dilema do Prisioneiro”, isso ocorre porque não é possível garanKr que o potencial oponente assumirá uma conduta colaboraKva. Então cada um tenta maximizar os seus resultados.

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TRAGÉDIA DOS COMUNS

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TRAGÉDIA DOS COMUNS

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Adam Smith – A Riqueza das Nações

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Adam Smith – A Riqueza das Nações Todo indivíduo necessariamente trabalha no senKdo de fazer com que o rendimento anual da sociedade seja o maior possível. Na verdade, ele geralmente não tem intenção de promover o interesse público, nem sabe o quanto o promove. Ao preferir dar sustento mais à aKvidade domésKca que à exterior, ele tem em vista apenas sua própria segurança; e, ao dirigir essa aKvidade de maneira que sua produção seja de maior valor possível, ele tem em vista apenas seu próprio lucro, e neste caso, como em muitos outros, ele é guiado por uma mão invisível a promover um fim que não fazia parte de sua intenção. E o fato de este fim não fazer parte de sua intenção nem sempre é o pior para a sociedade. Ao buscar seu próprio interesse, freqüentemente ele promove o da sociedade de maneira mais eficiente do que quando realmente tem a intenção de promovê-lo. Prof. M.Sc. Marcos dos Santos

ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES a) 

b)  c)  d)  e)  f) 

Jogadores – pessoas, insWtuições, centros de decisões, países, etc., envolvidos, supondo-se que sejam racionais, agindo na forma de maximizar as suas uWlidades. Regras – como jogar, como se comportar, o que “o outro” pode fazer. Conjunto de ações – são as diversas sequências de ações que podem ser adotadas ao longo do tempo pelos jogadores envolvidos. Resultados – para cada conjunto de ações dos jogadores, tem-se o “resultado do jogo”. Payoffs ou retornos – quais são as preferências dos jogadores e qual é a uWlidade que cada jogador obtém de cada resultado possível. Estratégia – uma estratégia é a lista de opções óWmas para cada jogador, em qualquer momento do jogo.

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JOGOS ESTRITAMENTE COMPETITIVOS OU DE SOMA-ZERO



Até aqui esWvemos supondo que os jogadores se preocupam exclusivamente com suas próprias recompensas, que resultam de um processo de interação estratégica. Mas e se os jogadores na verdade esKverem preocupados em inflingir o maior dano possível uns aos outros, de forma que o que for perda para um dos jogadores represente ganho para o outro? Esse pode ser o caso de duas empresas esWverem disputando, por exemplo, para aumentar suas parWcipações em um dado mercado: o aumento de parWcipação de uma empresa somente se dará à custa da redução na parWcipação da outra.

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BATALHA DO MAR DE BISMARCK Os japoneses reuniram 8 destroieres, 8 transportadores de tropas e mais 100 aviões de escolta, a fim de transferir um maciço reforço militar do Japão e da China para Nova Guiné. Um dado importante da situação era o fato de que o comboio japonês dispunha de duas rotas alternaWvas: a rota sul, que apresentava tempo bom e boa visibilidade, e a rota pelo norte, que apresentava tempo ruim e baixa visibilidade. As forças aliadas, por outro lado, somente possuíam aviões de reconhecimento para pesquisar uma rota por vez, sendo que a busca em qualquer uma das rotas consumia um dia inteiro.

Destroier Shirayuki

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BATALHA DO MAR DE BISMARCK Dessa forma, se as forças aliadas enviassem seus aviões de reconhecimento para a rota certa, poderiam começar o ataque em seguida. Porém, se mandassem os aviões para a rota errada, perderiam um dia de bombardeios. Os aliados t a m b é m s a b i a m q u e s e o s j a p o n e s e s escolhessem o sul e fossem localizados de imediato, o bom tempo garanWria três dias de bombardeio. Todavia, se os japoneses Wvessem escolhido a rota norte, mesmo que os aliados os localizassem logo no primeiro dia de buscas, o mau tempo permiWria apenas dois dias de bombardeio.

North American B-25 Mitchell

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BATALHA DO MAR DE BISMARCK

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BATALHA DO MAR DE BISMARCK Pode-se verificar imediatamente que a tabela tem exatamente as caracterísWcas de um modelo: ela omite inúmeros detalhes da batalha para se concentrar apenas naquilo que parece essencial – para onde os aliados mandariam seus aviões de reconhecimento no primeiro dia e por onde os japoneses escolheram enviar seu comboio. Assim os aliados “adivinharam” por onde os japoneses viriam simplesmente considerando: (1) que os japoneses agiriam racionalmente (não se exporiam a perdas desnecessárias); e (2) os dados da situação, ou seja, o número de dias de bombardeio que o tempo em cada rota permiWria. Prof. M.Sc. Marcos dos Santos

JOGOS ESTRITAMENTE COMPETITIVOS OU DE SOMA-ZERO O jogo apresentado abaixo, pode ser classificado como um jogo estritamente competitivo?

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OBSERVANDO A TEORIA DOS JOGOS NA NATUREZA...

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PONTO DE EQUILÍBRIO DE NASH Diz-se que uma combinação de estratégias consWtui um Equilíbrio de Nash quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores. Para melhor compreender esta definição, suponha que há um jogo com n parWcipantes. No decorrer deste jogo, cada um dos n parWcipantes seleciona sua melhor estratégia, ou seja, aquela que lhe traz o maior beneocio. Então, se cada jogador chegar à conclusão que ele não tem como melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários (estratégias dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias escolhidas pelos parWcipantes deste jogo definem um “Equilíbrio de Nash". Sugestão: filme “Uma Mente Brilhante”.

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EXERCÍCIO 1 O método mais simples para se analisar o resultado de um jogo simultâneo é a

chamada Eliminação IteraKva de Estratégias Estritamente Dominadas. Para entender como esse método é aplicado, considere a seguinte situação hipotéWca: duas empresas, a Carro Novo e a Novo Auto, competem no mercado automobilísWco. A empresa Carro Novo já tem seu modelo de uWlitário, que é um sucesso, enquanto a Novo Auto ainda não oferece nenhum modelo de uWlitário. A Novo Auto tem três opções: importar o uWlitário de sua matriz estrangeira; produzir o uWlitário nacionalmente; ou simplesmente permanecer fora do segmento de uWlitários, decidindo não compeWr com a Carro Novo. A empresa Carro Novo pode responder às escolhas da Novo Auto de três formas: mantendo o preço do seu modelo; diminuindo o preço do seu modelo; ou lançando uma nova versão do seu modelo. Vamos supor que ambas as empresas tomam suas decisões ao mesmo tempo, no momento de finalizar seu planejamento anual, sem conhecer as decisões uma da outra. Contudo, como são empresas experientes no mercado e que já compeWram entre si em outras oportunidades, conhecem o comportamento dos consumidores e fazem uma esWmaWva bastante razoável dos seus lucros e dos lucros da rival em cada situação.

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EXERCÍCIO 1

A forma estratégica na matriz seguinte apresenta as esWmaWvas de lucros (em milhões) de cada combinação de ações das duas empresas, que resultam tanto dos custos de cada opção quanto da reação da demanda a novidades dos produtos e aos preços:

Encontre o Ponto de Equilíbrio de Nash, caso exista.

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EXERCÍCIO 2

Determine o ponto de equilíbrio de Nash a parWr das estratégias dos jogadores A (linhas) e B (colunas) a seguir.

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•  Pressuposto da Racionalidade; •  Lógica Situacional; •  Dilema do Prisioneiro; •  Tragédia dos Comuns; •  Jogos de Soma-Zero; •  Ponto de Equilíbrio de Nash; •  Exercícios.





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DÚVIDAS

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