De bombas y probabilidades

De bombas y probabilidades Gian Carlo Diluvi Estudiante de Actuar´ıa y Matem´ aticas Aplicadas del ITAM

Introducci´ on Alguna vez, hace ya varios a˜ nos, le´ı un chiste que dec´ıa m´as o menos as´ı: Un empresario que viajaba mucho por su trabajo decidi´o investigar cu´al era la probabilidad de que le tocara una bomba en alg´ un avi´ on. Se dio cuenta de que, si bien la probabilidad era peque˜ na, era lo suficientemente grande como para que no pudiera volver a viajar tranquilo. Pero el empresario encontr´ o la forma de solucionar este problema: compr´o una bomba y la empez´ o a llevar a cada viaje de avi´ on que hac´ıa. Y es que, pens´o el empresario, si la probabilidad de que te toque una bomba en el avi´ on es peque˜ na, la probabilidad de que te toquen dos es pr´ acticamente nula. Claro est´ a que el razonamiento del empresario es incorrecto, pero ¿por qu´e exactamente? En el siguiente art´ıculo explicar´e, utilizando conceptos sencillos de la teor´ıa de probabilidad, por qu´e el empresario no deber´ıa sentirse tan seguro de s´ı mismo.

Planteamiento Para entender qu´e est´ a haciendo mal el empresario, necesitamos entender el problema y decidir c´ omo lo vamos a atacar. Procedemos como sigue: supongamos que tenemos un avi´on en el que van n personas (con n ≥ 2, para que el problema tenga sentido). Adem´as, supongamos que cada persona del avi´ on tiene una probabilidad p de llevar una bomba (claramente 0 < p < 1), es decir, que cualquier persona tiene la misma probabilidad de llevar o no una bomba. Finalmente, supondremos que las personas llevan o no bomba de manera independiente. Esto significa que si una persona lleva bomba, las otras siguen teniendo la misma probabilidad de llevar bomba. Ya que tenemos eso claro, definimos la siguiente variable aleatoria: Sea X = n´ umero de personas que llevan bomba en el avi´ on. Por lo dicho anteriormente, es claro que X se distribuye binomialmente, i.e., X ∼ Binom(n, p). Luego, la funci´on de masa de probabilidad de X es   n x fX (x) = P (X = x) = p (1 − p)n−x ∀x ∈ N ∪ {0} x Esto fue lo que el empresario debi´ o haber pensado, y ya se puede ver su error: el empresario se consider´ o a s´ı mismo como otra persona m´ as del avi´on, con probabilidad p de llevar una bomba. En realidad, el empresario debi´ o de haberse considerado como un pasajero “extra”, en el sentido de que ´el no tiene la misma probabilidad de llevar una bomba que los dem´as. El empresario sabe perfectamente si ´el va a llevar bomba o no, por lo que la probabilidad de que ello ocurra deber´ıa ser 1 ´ o 0. De cualquier manera, el empresario decidi´o seguir con este razonamiento. Vamos a hacerlo nosotros tambi´en.

Desarrollo Ahora razonemos a qu´e queremos llegar. El empresario calcul´o la probabilidad de que haya al menos una bomba en el avi´ on. ¿Por qu´e? Pues porque el empresario quer´ıa evitar que hubiera bombas en el avi´ on. Una, dos o m´ as, pues en cualquiera de esos escenarios ´el sale perdiendo. Pero, en t´erminos de nuestro planteamiento, el empresario encontr´o P (X ≥ 1). Veamos cu´ anto es. P (X ≥ 1) =1 − P (X < 1) =1 − P (X = 0) , porque X es discreta =1 − fX (0)   n 0 =1 − p (1 − p)n−0 , sustituyendo en la f.m.p. 0 =1 − (1 − p)n Ahora bien, la soluci´ on del empresario fue comprar una bomba y llevarla al avi´on, pues la probabilidad de que hubiera m´ as bombas disminuir´ıa. Esto significa que, seg´ un ´el, la probabilidad de que haya dos o m´ as bombas en el avi´ on, dado que ya sabemos que hay una, es menor a la probabilidad de que haya una o m´ as bombas. Plante´emoslo en t´erminos de nuestra variable aleatoria. El empresario dice que P (X ≥ 1) ≤ P (X ≥ 2|X ≥ 1) Ahora calculemos la probabilidad condicional, es decir, P (X ≥ 2|X ≥ 1) Observamos que, trivialmente, X ≥ 2 =⇒ X ≥ 1 Adem´ as, an´ alogamente a P (X ≥ 1), se tiene que P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) Juntando esto, tenemos que

P (X ≥ 2|X ≥ 1) =

P (X ≥ 2, X ≥ 1) P (X ≥ 1)

=

P (X ≥ 2) , por la observaci´on P (X ≥ 1)

=

1 − P (X ≤ 1) 1 − P (X = 0)

=

1 − P (X = 0) − P (X = 1) 1 − P (X = 0)


1 − (1 − p)n − n1 p1 (1 − p)n−1 = 1 − (1 − p)n

=

1 − (1 − p)n − np(1 − p)n−1 1 − (1 − p)n

=1 −

np(1 − p)n−1 , separando sumas. 1 − (1 − p)n

Ahora bien, queremos comparar P (X ≥ 1) con P (X ≥ 2|X ≥ 1). Para ello, definimos n−1

1 − np(1−p) P (X ≥ 2|X ≥ 1) 1−(1−p)n Q= = P (X ≥ 1) 1 − (1 − p)n

El empresario afirm´ o que ese cociente es menor a 1. Manipular esa expresi´on no es tarea sencilla, por lo que necesitaremos alg´ un argumento no anal´ıtico para ver si eso es cierto. Pensemos a Q como una funci´ on real multivariable Q(n, p), y fij´emonos s´olo en (n, p) ∈ N ∪ {0} × (0, 1). Lo que queremos es ver c´ omo se comporta ese cociente en la parte en la que hay una cantidad positiva de pasajeros, cada uno con probabilidad p de llevar una bomba. La gr´ afica de Q en ese dominio se ve as´ı:

En ella, p se grafic´ o en el eje de las x, n en el eje de las y, y el cociente Q en el eje de las z, todo esto para que se viera con mayor claridad. Y el resultado es bastante interesante. Pareciera que, en el dominio que nos interesa, el cociente es casi igual al plano z = 1, es decir, el cociente es pr´ acticamente igual a 1. Para ver qu´e tan similar a 1 es, a continuaci´on mostramos la misma gr´ afica, pero con el plano z = 0,999 y luego con el plano z = 1,0000000001, ambos en verde. Veamos.

Se ve que, en pr´ acticamente todo el dominio que nos interesa, Q est´a entre esos dos planos, es decir, 0,999 < Q < 1,0000000001. Eso quiere decir que ese cociente no es m´as que un 1 disfrazado de expresiones complicadas. As´ı pues, tenemos que Q(p, n) ≈ 1 ⇐⇒

P (X ≥ 2|X ≥ 1) ≈ 1 ⇐⇒ P (X ≥ 2|X ≥ 1) ≈ P (X ≥ 1) P (X ≥ 1)

Hay varias observaciones que hacer. Primero, incluso despu´es de seguir el razonamiento del empresario, llegamos a una conclusi´ on distinta a la que ´el lleg´o. Pareciera que, si sabemos que hay una bomba en el avi´ on, es igual de probable que m´as personas lleven bomba a que, en general, alguien lleve bomba al avi´ on. Sin embargo, se puede ver que, si (n, p) → (0, 0), el cociente Q deja de tender a 1. La explicaci´ on es la que se dio al inicio: el empresario no tiene probabilidad p de llevar una bomba. Para solucionar este problema, s´olo habr´ıa que repetir el modelo, pero con los otros n − 1 pasajeros (X ∼ Binom(n − 1, p)), y calculando s´ olo P (X ≥ 1), la probabilidad de que haya al menos una bomba en el avi´on. Es evidente que esta probabilidad depende de los otros pasajeros, y no del empresario. Luego, si el empresario decide llevar una bomba, entonces P (X ≥ 1) sigue sirviendo como la probabilidad de que haya m´ as bombas en el avi´ on, dado que el empresario ya lleva una bomba. As´ı pues, es claro que la decisi´ on del empresario no altera la probabilidad de que alguien m´as lleve una bomba, por lo que se llega al mismo resultado.

Conclusiones En este art´ıculo analizamos y resolvimos a fondo un problema que, a simple vista, parec´ıa trivial, concluyendo que el empresario necesitar´ıa pensar en otra soluci´on, como sonaba l´ogico. Para ello, introdujimos y utilizamos ideas b´ asicas de la teor´ıa de probabilidad. El resultado m´ as interesante que obtuvimos fue que, siguiendo la l´ogica del empresario, llegamos a que P (X ≥ 1) ≈ P (X ≥ 2|X ≥ 1) si n no es chico (como el n´ umero de pasajeros en un vuelo comercial) y p no est´ a cerca de 0. Y esto es interesante porque la distribuci´on binomial, en general, no es una distribuci´ on sin memoria, como la exponencial. Sin embargo, es sensato asumir que p ≈ 0, por lo que el modelo que el empresario us´o (y que llevamos a sus u ´ltimas consecuencias en el presente art´ıculo) no se comporta como dijimos, y habr´ıa entonces que replantear todo como se sugiri´ o al final de la secci´ on anterior (aunque los c´alculos son casi iguales a los ya hechos).

Referencias [1] Ross, Sheldon. 2006. A First Course in Probability Theory. Pearson Prentice Hall. New Jersey. [2] Casella, George y Berger, Roger L. 2002. Statistical Inference. Duxbury. California. [3] Mood, Alexander M., et al. 1974. Introduction to the Theory of Statistics McGraw Hill. Singapore.