Derivada de f(x)^g(x)

Notas sobre derivadas Gustavo Viana de Alencar 14 de setembro de 2015

Sumário 1

Derivadas

1.1 Regra da cadeia para derivação de função composta . . . . . 1.2 Derivada de f (x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1.1

1

1 2

Derivadas Regra da cadeia para derivação de função composta

Sejam y = f (x) e x = g(t) duas funções deriváveis, com Img ⊂ Df , e h(t) = f (g(t)), temos que: h0 (t) = f 0 (g(t))g 0 t, t ∈ Dg

E é evidente que: dy dy dx = dt dx dt Exemplos.

Calcule as derivadas.

a)y = e3x b)y = sen(t2 ) c)y = esen(t)

y 0 = e3x (3x)0 = 3e3x y 0 = (cos(t2 ))(t2 )0 = 2t(cos(t2 )) y 0 = esen(t) (sen(t))0 = esen(t) (cos(t))

1

d)y =

q 3

1 y = 3 0

x−1 x+1



x−1 x+1

=

x−1 x+1


13

 31 −1 

x−1 x+1 1 = 3

0



1 = 3

x−1 x+1



x−1 x+1

− 23 

− 23 

2 (x + 1)2

1(x + 1) − (x − 1)1 (x + 1)2

 =



e)y = ln(x2 + 3x + 9) y0 = 1.2

2x + 3 1 (2x + 3) = x2 + 3x + 9 x2 + 3x + 9

Derivada de

f (x)g(x)

Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto A, com F (x) > 0 para todo x ∈ A. Consideremos a função denida em A e dada por y = f (x)g(x)

Aplicando ln aos dois membros obtemos ln y = g(x) ln f (x) ⇔ eg(x) ln f (x) = y | {z } Por denição de log

Ou seja,

f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)

Então,

[f (x)g(x) ]0 = eg(x) ln f (x) [g(x) ln f (x)]0

Lembrando que:

Logo

d f (x) e = ef (x) .f 0 (x) dx 0 (f.g) (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)

d g(x) ln f (x) = g 0 (x) ln f (x) + g(x)[ln f (x)]0 dx d f 0 (x) ⇒ g(x) ln f (x) = g 0 (x) ln f (x) + g(x) dx f (x)

Ou seja g(x) 0

[f (x)

g(x) ln f (x)

] =e



 f 0 (x) g (x) ln f (x) + g(x) = eg(x) ln f (x) f (x) 0

2

Observações: y = ln x ⇒ y 0 =

1 x

y = f (g(x)) ⇒ y 0 = f 0 (g(x))g 0 (x) | {z } Regra da cadeia

Então, temos que: 1 0 f 0 (x) d ln f (x) = f (x) = dx f (x) f (x) → Resultado importante: [f (x)g(x) ]0 = f (x)g(x) [g(x) ln f (x)]0 Exemplo 1.

a.1) y = xx

Calcule as derivadas 1 y 0 = xx (x ln x)0 = xx (1 ln x + x ) = xx (1 + ln x) x

b) y = 3x

y 0 = 3x (x ln 3)0 = 3x (1 ln 3 + x.0) = 3x ln 3

a.2) Método caso esqueça a fórmula(resultado importante) y = xx ⇔ ln y = ln xx ⇔ ln y ⇔ x ln x ⇔ y = ex ln x

Como consequência temos y 0 = ex ln x (x ln x)0 | {z }

consultar derivada de

3

ef (x)