Derivada Funcs Trigonometricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

4.1.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Derivada de y = Sen ( x ) La derivada de y = Sen(x) se puede obtener como:

dy Sen( x + h) − Sen( x) = Lim dx h→0 h Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente estudiados: • •

Sen(h) Cos (h) − 1 =1 • Lim =0 h→0 h→0 h h Sen( x + h) = Sen( x)Cos (h) + Cos ( x) Sen(h) Lim

Por lo tanto desarrollando el límite se tiene:

dy Sen( x + h) − Sen( x) = Lim dx h→0 h dy Sen( x)Cos (h) + Cos ( x) Sen(h) − Sen( x) = Lim dx h→0 h dy Sen( x)(Cos (h) − 1) + Cos ( x) Sen(h) = Lim h 0 → dx h dy Cos (h) − 1 Sen(h) + Lim Cos ( x) = Lim Sen( x) h 0 h 0 → → dx h h Sen(h) Cos (h) − 1 dy + Cos ( x) Lim = Sen( x) Lim h→0 h→0 h h dx dy = Sen( x) × 0 + Cos ( x) × 1 = Cos ( x) dx De donde:

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

d Sen( x ) = Cos ( x ) dx

Definición de derivada

Aplicando suma de arcos

Factorizando el numerador

Suma de Limites

Sacando las constantes fuera del límite

Por los límites conocidos

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

Si u es una función diferenciable de x, es posible aplicar la regla de la cadena así:

dy dy du = dx du dx en donde y = Sen u para obtener como resultado:

d du ( Sen u ) = Cos u dx dx Ejemplos: 1.

d d ( Sen 2 x ) = Cos 2 x ( 2 x ) = 2Cos 2 x dx dx

2.

d 2 d d x Sen ( x ) ) = x 2 ( Sen ( x ) ) + Sen ( x ) ( x 2 ) = x 2Cos ( x ) + ( 2 x ) Sen ( x ) ( dx dx dx

d d x ( Sen ( x ) ) − Sen ( x ) ( x ) xCos x − Sen x ( ) ( ) d Sen ( x ) dx 3. = dx = 2 2 dx x x x

d d 2 x 2 ( Sen 2 ( x ) ) − Sen 2 ( x ) ( x 2 ) d Sen ( x ) dx dx = = 4. 2 2 dx x2 (x ) =

x 2 ( 2 Sen ( x ) Cos ( x ) ) − ( 2 x ) Sen 2 ( x )

= x4 2 x 2 Sen ( x ) Cos ( x ) − 2 xSen 2 ( x ) = = x4 2 x ( xSen ( x ) Cos ( x ) − Sen 2 ( x ) ) 2 ( xSen ( x ) Cos ( x ) − Sen 2 ( x ) ) = = x3 x4

Derivada de y = Cos ( u ) Para obtener esta derivada hay que tener presente las siguientes identidades:

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

Cos u = sen

π 2

Sen u = Cos

−u

π 2

−u

Luego:

d π π π d d sen − u = cos − u −u = Cos u = dx 2 2 2 dx dx = Sen u

du − du = − Sen u dx dx

De donde se puede concluir:

d (Cos u ) = − Sen u du dx dx Ejemplos:

d d ( Cos 3x ) = −Sen 3x ( 3x ) = −3Sen 3x dx dx d d d 2 x 4 + 3Cos ( x ) ) = ( 2 x 4 ) + ( 3Cos ( x ) ) = 8 x3 − 3Sen ( x ) 2. ( dx dx dx 1.

3.

d 2 d d x Cos ( x ) ) = x 2 ( Cos ( x ) ) + Cos ( x ) ( x 2 ) = − x 2 Sen ( x ) + 2 xCos ( x ) ( dx dx dx

d d 1 − Cos ( x ) ) ( Sen ( x ) ) − ( Sen ( x ) ) (1 − Cos ( x ) ) ( Sen x ( ) d dx dx = = 4. 2 dx 1 − Cos ( x ) 1 − Cos x ( ) ( )

(1 − Cos ( x ) ) ( Cos ( x ) ) − ( Sen ( x ) ) ( Sen ( x ) ) = (1 − Cos ( x ) ) Cos ( x ) − Cos ( x ) − Sen ( x ) ( Cos ( x ) − 1) = = = (1 − Cos ( x ) ) (1 − Cos ( x ) ) ( −1) (1 − Cos ( x ) ) 1 = = (1 − Cos ( x ) ) (1 − Cos ( x ) ) ( Cos ( x ) − 1) =

2

2

2

2

Derivada de y = Tan ( x )

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

2

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

d (Tan x ) = d Sen x dx dx Cos x d d ( Sen x ) − Sen x (Cos x ) d dx dx (Tan x ) = 2 dx Cos x Cos x Cos x − Sen x Sen x d (Tan x ) = dx Cos 2 x 2 2 d (Tan x ) = Cos x − 2Sen x = 1 2 = Sec 2 x dx Cos x Cos x Cos x

Definición función tangente

Derivada de un cociente

Resolviendo la derivada

Agrupando términos

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y = tan u se puede concluir:

d du Tan u = Sec 2 u dx dx Ejemplos : 1.

2.

d d Tan ( 5 x ) = Sec 2 ( 5 x ) 5 x = 5Sec 2 ( 5 x ) dx dx d 2 d d x Tan ( x ) ) = x 2 (Tan ( x ) ) + Tan ( x ) ( x 2 ) = ( dx dx dx 2 2 x Sec ( x ) + Tan ( x )( 2 x ) = x ( xSec 2 ( x ) + 2Tan ( x ) )

3.

d d d − x + Tan ( x ) ) = ( − x ) + (Tan ( x ) ) = −1 + Sec 2 ( x ) ( dx dx dx

4.

d 2 x Tan 1 x dx

(

( )) = x dxd (Tan ( 1 x )) + Tan ( 1 x ) dxd ( x ) = d x Sec ( 1 ) ( 1 ) + Tan ( 1 ) ( 2 x ) = x dx x x 2

2

2

2

( x ) x1 Sec ( 1 x ) + ( 2 x ) Tan ( 1 x ) = Sec ( 1 ) + ( 2 x ) Tan ( 1 ) x x 2

2

2

2

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

5.

d d Tan (π x + 1) ) = Sec 2 (π x + 1) (π x + 1) = ( dx dx 2 Sec (π x + 1) (π ) = π ( Sec 2 (π x + 1) )

Derivada de y = Cot ( u )

d Cos x d Cot x = dx Sen x dx d d Sen x (Cos x ) − Cos x (Sen x ) d dx dx Cot x = dx Sen 2 x − Sen x Sen x − Cos x Cos x d Cot x = dx Sen 2 x 2 2 d (Cot x ) = − Sen x −2 Cos x = − 12 = −Csc 2 x dx Sen x Sen x

Definición de Cotangente

Derivada de un cociente

Resolviendo la derivada

Factorizando y Simplifando

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y = Cot u se puede concluir:

d du Cot u = −Csc 2 u dx dx Ejemplos : 1.

2.

d d Cot 2 ( x ) ) = 2 ( Cot ( x ) ) ( Cot ( x ) ) = 2 ( Cot ( x ) ) ( −Csc 2 ( x ) ) = ( dx dx −2Cot ( x ) Csc 2 ( x ) d d d 5x = Cot 2 ( 5 x ) ) = 2 ( Cot ( 5 x ) ) ( Cot ( 5 x ) ) = 2 ( Cot ( 5 x ) ) ( −Csc 2 ( 5 x ) ) ( dx dx dx

2 ( Cot ( 5 x ) ) ( −Csc 2 ( 5 x ) ) ( 5 ) = −10 Cot ( 5 x ) Csc 2 ( 5 x )

d 1 3. = dx Ctg ( 3x 2 )

Ctg ( 3x

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

2

)

d (1) dx

(

0

− (1)

Ctg ( 3x 2 )

)

(

d Ctg ( 3 x 2 ) dx 2

) =

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

(

− −Csc 2 ( 3 x 2 )

) dxd (3x ) (Csc (3x )) ( 6 x ) 6 x (Csc (3x )) = = 2

Ctg 2 ( 3 x 2 )

2

2

2

Ctg 2 ( 3 x 2 )

Ctg 2 ( 3x 2 )

4.

d d d − x + Ctg ( x ) ) = ( − x ) + ( Ctg ( x ) ) = −1 + ( −Csc 2 ( x ) ) = −1 − Csc 2 ( x ) ( dx dx dx

5.

d 2 x Ctg 1 x dx

(

2

( )) = x dxd (Ctg ( 1 x )) + Ctg ( 1 x ) dxd ( x ) = d d x ( Csc ( 1 ) ) ( 1 ) + Ctg ( 1 ) ( x ) = x dx x x dx + Ctg ( 1 ) ( 2 x ) = x ( Csc ( 1 ) ) −1 x x x Csc ( 1 ) + ( 2 x ) Ctg ( 1 ) x x 2

2

2

2

2

2

2

2

2

Derivada de y = Sec ( u ) d d 1 Sec ( x ) ) = ( dx dx Cos ( x ) d ( Sec ( x ) ) = dx

Cos ( x )

d d (1) − ( 1 ) ( Cos ( x ) dx dx Cos 2 ( x )

−1( − Sen ( x ) d Sec ( x ) ) = ( dx Cos 2 ( x )

Definición de Secante

)

)

Sen ( x ) Sen ( x ) −1 d = = Tan ( x ) Sec ( x ) Sec ( x ) ) = ( dx Cos 2 ( x ) Cos ( x ) Cos ( x )

Derivada de un cociente

Resolviendo la derivada

Simplificando y factorizado

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y = Sec u se puede concluir:

d du Sec ( u ) = Tan ( u ) Sec ( u ) dx dx Ejemplos :

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

1.

2.

d d Sec 2 ( x ) ) = 2 ( Sec ( x ) ) ( Sec ( x ) ) = 2 ( Sec ( x ) ) ( Sec ( x ) Tan ( x ) ) = ( dx dx 2 2Sec ( x ) Tan ( x ) d d Sec 2 ( 5 x ) ) = 2 ( Sec ( 5 x ) ) ( Sec ( 5 x ) ) = ( dx dx

2 ( Sec ( 5 x ) ) ( Sec ( 5 x ) Tan ( 5 x ) )

d 5x = dx 2 ( Sec ( 5 x ) ) ( Sec ( 5 x ) Tan ( 5 x ) ) ( 5 ) =

10 ( Sec 2 ( 5 x ) ) (Tan ( 5 x ) )

1 d 3. = dx Sec ( x 2 )

Sec ( x

2

)

d (1) dx

0

− (1)

( Sec ( x )) 2

(

− Sec ( x 2 ) Tan ( x 2 )

( Sec ( x )) 2

(

(

d Sec ( x 2 ) dx

2

) dxd ( x )

(

(

)

2

)

2

− ( 2x ) Sec ( x 2 ) Tan ( x 2 )

( Sec ( x )) 2

− ( 2x ) Tan ( x 2 ) Sec ( x 2 )

2

=

2

− Sec ( x 2 ) Tan ( x 2 ) ( 2 x ) Sec ( x 2 )

)

=

=

)=

=

4.

d 2 d d x + Sec ( x ) ) = ( x 2 ) + ( Sec ( x ) ) = 2 x + ( Sec ( x ) Tan ( x ) ) ( dx dx dx

5.

d 2 d d x Sec ( 3x ) ) = x 2 ( Sec ( 3x ) ) + Sec ( 3x ) ( x 2 ) = ( dx dx dx

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

x 2 ( Sec ( 3 x ) Tan ( 3 x ) )

d ( 3x ) + Sec ( 3x )( 2 x ) = dx x 2 ( Sec ( 3 x ) Tan ( 3 x ) ) ( 3) + ( 2 x ) Sec ( 3 x ) =

3x 2 ( Sec ( 3 x ) Tan ( 3 x ) ) + ( 2 x ) Sec ( 3 x ) Derivada de y = Csc ( u )

d d 1 Csc ( x ) = dx dx Sen ( x ) d Csc ( x ) = dx

Sen ( x )

d d (1) − 1 ( Sen ( x ) ) dx dx Sen 2 ( x )

−1( Cos ( x ) ) d Csc ( x ) = dx Sen 2 ( x )

Definición de la Cosecante

Derivada de un Cociente

Resolviendo la derivada.

−Cos ( x ) −Cos ( x ) d 1 Csc ( x ) = = = 2 dx Sen ( x ) Sen ( x ) Sen ( x ) d Csc ( x ) = −Cot ( x ) Csc ( x ) dx

Simplificando y factorizando

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y = Csc ( u ) se puede concluir:

d du Csc ( u ) = −Cot ( u ) Csc ( u ) dx dx Ejemplos : 1.

2.

d d Csc 2 ( x ) ) = 2 ( Csc ( x ) ) ( Csc ( x ) ) = 2 ( Csc ( x ) ) ( −Csc ( x ) Ctg ( x ) ) = ( dx dx 2 ( Csc ( x ) ) ( −Csc ( x ) Ctg ( x ) ) = −2 ( Csc 2 ( x ) ) ( Ctg ( x ) )

(

) (

) (

)

d d Csc 2 ( x3 ) = 2 Csc ( x3 ) Csc ( x3 ) = dx dx

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

(

)( ) dxd ( x ) = −2 ( Csc ( x ) ) ( Csc ( x ) Ctg ( x ) ) ( 3 x ) = 2 Csc ( x 3 ) −Csc ( x3 ) Ctg ( x 3 ) 3

(

−6 x Csc 2

−6 x 2

3.

d 1 = dx Csc ( x )

2

3

3

5.

2

( x ) ) ( Ctg ( x ) ) = −6 x 3

3

2

Cos ( x 3 )

1

Cos ( x3 )

Sen 2 ( x3 ) Sen ( x3 )

Sen3 ( x3 )

Csc ( x )

d (1) dx

0

− (1)

d ( Csc ( x ) ) dx

=

( Csc ( x ) ) − (1) ( Csc ( x ) Ctg ( x ) ) − (1) ( Csc ( x ) Ctg ( x ) ) = ( Csc ( x ) ) ( Csc ( x ) ) − ( Ctg ( x ) ) −Cos ( x ) Sen ( x ) = = −Cos ( x ) ( Csc ( x ) ) Sen ( x ) 1 2

2

4.

3

2

d d d x + Csc ( x ) ) = ( x ) + ( Csc ( x ) ) = x + ( Csc ( x ) Ctg ( x ) ) ( dx dx dx d 2 d d x Csc ( 3 x ) ) = x 2 ( Csc ( 3x ) ) + Csc ( 3 x ) ( x 2 ) = ( dx dx dx d x 2 ( −Csc ( 3 x ) Ctg ( 3x ) ) ( 3 x ) + Csc ( 3x )( 2 x ) = dx 2 − x ( Csc ( 3 x ) Ctg ( 3 x ) ) ( 3) + Csc ( 3x )( 2 x ) = − ( 3x 2 ) ( Csc ( 3x ) Ctg ( 3x ) ) + ( 2 x ) Csc ( 3 x ) =

Ejercicios Propuestos : Encontrar la derivada de las siguientes expresiones: 1. 3.

y = x − 3 Sen ( x ) y = t 3Cos ( t )

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

2. 4.

y = Cos ( x ) − 2 Tan ( x ) y = 4 Sec ( t ) + Tan ( t )

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

5.

y=

Tan ( x ) x

6.

y=

7.

y=

x Sen ( x ) + Cos ( x )

8.

y=

Sen ( x ) x2 11. y = x ( Cos ( x ) ) ( Sen ( x ) ) 9.

y=

13. y = Sen 2 ( x ) + Cos 2 ( x )

(

15. y = sen 4 x 2 + 3x

(

17. y = Sen3 Cos ( t ) 19. y = x 2 Sen5 ( 2 x )

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

)

)

sen ( x ) 1 + Cos ( x )

Tan ( x ) − 1 Sec ( x )

Sen 2 ( x ) x 12. y = Sen3 ( 2 x ) 10. y =

14. y =

x2 + 1 xSen ( x )

16. y = xSen 2 ( 2 x )

(

18. y = Sen Cos 2 ( x )

)

20. y = Sec ( x ) Sen ( x )