Detecção de Esteira de Vórtice em um Escoamento Laminar em Torno de uma Esfera, Utilizando Método de Galerkin.

Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Pós Graduação em Engenharia Mecânica

IM458 - Tópicos em Métodos Numéricos: Métodos Numéricos em Mecânica dos Fluidos

Alfredo Hugo Valença Morillo

Detecção de Esteira de Vórtice em um Escoamento Laminar em Torno de uma Esfera, Utilizando Método de Galerkin.

CAMPINAS 2015

SUMÁRIO

SUMÁRIO 1 Introdução

1

2 Escoamento em Torno de uma Esfera

2

3 Método de Galerkin 3.1 Variando número de Reinolds até 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

4 Resultados 4.1 Para número de Reynolds maiores que 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 8

5 Conclusão

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6 Referências

12

1

Introdução

Quando tem-se um escoamento laminar em torno de uma esfera, ocorre o que chama-se esteira de vórtice. Por conta do comportamento deste escoamento não ser linear, não é possível identificar esta esteira utilizando de solução analítica. Para solucionar este problema, um método comum é o de resíduos ponderados, que é normalmente usado para equacionar a formulação fraca de elementos finitos. Neste trabalho, foi utilizado o resíduo ponderado de Galerkin, onde escreve-se a função resíduo em igual a aproximação que descreve o problema. Para simplificar o trabalho, não foi utilizado elementos finitos, o resido ponderado foi aplicado para todo o domínio do problema. A função de corrente normalmente são aproximadas para polinômios de primeira ou segunda ordem, pois o mesmo descreveria bem o comportamento de pequenos elementos. Porém por ser utilizar uma função para descrever todo o domínio, será utilizado um polinômio de 4ª ordem.

1

2

Escoamento em Torno de uma Esfera

Considerando uma escoamento em uma esfera de raio a, e assumindo que longe da esfera, a velocidade de escoamento é constante U ao longo do eixo x e por ser axial, pode-se resolver o problema para um caso de 2 dimensões, pode-se simplificar a equação de Navier-Stokes para: )︂ ]︂ (︂ 𝜕⃗𝑣 1 2 ⃗ ×∇ ⃗ × ⃗𝑣 ⃗ ⃗ 𝜌 − ⃗𝑣 × (∇ × ⃗𝑣 ) = −∇ 𝑝 + 𝜌⃗𝑣 − 𝜇∇ 𝜕𝑡 2 [︂

onde: ⃗𝑣 =

𝑟2

1 𝜕𝜓 1 𝜕𝜓 ˆ 𝜃 𝑟ˆ − sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑟

(2.1)

(2.2)

Para simplificar as operações, determina-se a variável 𝜉: 𝜉 = cos 𝜃

(2.3)

Substituindo as Eq. 2.2 e 2.3 na Eq. 2.1 e aplicando o conceito do número de Reynolds, obtêm-se: )︂ (︂ 2 4 1 𝜕𝜓 𝜕 𝜕𝜓 𝜕 2𝜉 𝜕𝜓 2 𝜕𝜓 − 𝐷 𝜓 2 − − − 𝐷2 𝜓 = 0 (2.4) 𝑅𝑒 𝑟 𝜕𝜉 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜉 1 − 𝜉 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜉 sendo: 𝐷2 =

1 − 𝜉2 𝜕2 𝜕2 + 𝜕𝑟2 𝑟2 𝜕𝜉 2

(2.5)

As condições de contornos são: 𝜓(𝑟,𝜃) → 𝜓(𝑎,𝜃) = 0 𝜕𝜓 (𝑎,𝜃) 𝜕𝑟

(2.6)

=0

𝜓(𝑟,𝜃) = 12 𝑟2 (1 − 𝜉 2 )

2

com

𝑟→∞

3

3.1

Método de Galerkin

Variando número de Reinolds até 100

Primeiro passo para solucionar a Eq. 2.4 é determinar uma equação que possa descrever o problema de forma satisfatória. Para aproximar a função de corrente, foi utilizado o polinômio de Legendre, assumindo a seguinte aproximação.

(︂ 𝜑=

1 2 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑟 + + 2 + 3 + 4 2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟

)︂

2

(1 − 𝜉 ) +

(︂

𝐵1 𝐵2 𝐵3 𝐵4 + 2 + 3 + 4 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟

)︂

𝜉(1 − 𝜉 2 )

(3.1)

Segundo passo é aplicar a aproximação escolhida nas condições de contorno (Eq. 2.6), e verificar se a equação satisfaz as mesmas. Fazendo isto, obtêm-se as seguintes relações: 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 = − 21 𝐴1 + 2𝐴2 + 3𝐴3 + 4𝐴4 = 1 𝐵1 + 𝐵2 + 𝐵3 + 𝐵4 = 0 𝐵1 + 2𝐵2 + 3𝐵3 + 4𝐵4 = 0

(3.2)

Desta forma têm-se 8 incógnitas e 4 equações. É possível descrever mais duas equações quando aplica-se a Eq. 3.1 na Eq. 2.1. Deve-se fazer isto no ponto 𝑟 = 1, sendo este r adimensional onde 1 representa o raio da esfera.

9𝐴2 + 35𝐴3 + 90𝐴4 = 0 𝐵1 − 6𝐵3 − 21𝐵4 = 0

(3.3)

Sabendo que serão necessárias mais 2 equações, aplica-se dois resíduos de Galerkin, sendo o primeiro (1 − 𝜉 2 ) e o segundo 𝜉(1 − 𝜉 2 ). O método de resíduo ponderado a multiplicação resíduo pela equação diferencial que des3

creve o problema e fazendo a integral em todo o domínio sendo igualado a zero. Isto é feito para que a média do erro seja zero, reduzindo assim ao máximo o erro que existirá no problema. ∫︁ 𝑢(𝜉)𝑤𝑖 (𝜉).𝑑𝐷 = 0

(3.4)

𝐷

neste caso, 𝑢(𝜉) representa a equação de Navier-Stokes e 𝑤𝑖 (𝜉) é cada uma das funções resíduos. As duas equações obtidas foram: 0.050148𝐴1 +

2.201058 𝐵1 𝑅𝑒

+ 0.002421𝐴21 − 0.000376𝐵12 + 0.379018 = 0 (3.5)

9.931035 𝐴1 𝑅𝑒

+ 0.011713𝐵1 − 0.002546𝐴1 𝐵1 +

44.689656 𝑅𝑒

=0

Com as 8 equações que estão descritas em Eqs. 3.2, 3.3 e 3.5 é possível resolver as constantes da aproximação feita na Eq. 3.1. Na literatura consta que esta aproximação trás bons resultados para problemas de Reynolds entre 10 e 80. No próximo capítulo constam alguns testes que foram realizados.

4

4

Resultados

Para teste do método numérico, foi aplicado um número de Reynolds de 70 e aplicado isto nas 8 equações determinadas no capítulo anterior. Com isto foi possível obter as seguintes constantes: Tabela 4.1: Constantes obtidas ao ser aplicado 𝑅𝑒 = 70 na solução das Eqs. 3.2, 3.3 e 3.5. Constante 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐵1 𝐵2 𝐵3 𝐵4

Valor -3.5037 4.9235 -2.3357 0.41599 -6.8500 17.506 -0.14461 3.8056

Este valor de 𝑅𝑒 = 70 está dentro da tolerância que a literatura determina para esta aproximação. Na Fig. 4.1 está apresentado o gráfico que descreve este escoamento.

Figura 4.1: Gráfico que apresenta escoamento onde 𝑅𝑒 = 70 em torno de uma esfera. 5

Verifica-se na Fig. 4.1 que ocorre a formação da esteira de vórtice já para um valor de Reynolds baixo. Outra dado interessante que pode-se tirar, é o coeficiente de arrasto do problema, que conforme apostila, é descrito pela equação: 𝐶𝑑 =

32 64 (8𝐴2 + 25𝐴3 + 54𝐴4 ) + (2𝐴2 + 5𝐴3 + 9𝐴4 ) 3𝑅𝑒 3𝑅𝑒

(4.1)

O valor do coeficiente de arrasto para um caso de 𝑅𝑒 = 70 é de 1.1097. Segue na Fig. 4.2 um gráfico que descreve como varia o 𝐶𝑑 quando variado o número de Reynolds, dentro da faixa de 1 até 100.

Figura 4.2: Gráfico que demonstra comportamento do coeficiente de arrasto em função ao número de Reynolds. Percebe-se na Fig. 4.2 que após aproximadamente 40 Reynolds, o coeficiente de arrasto fica 6

próximo a 1, de forma quase constante. Novamente utilizando o número de Reynolds de 70, é possível identificar neste trabalho o tamanho desta esteira de vórtice, de forma adimensional para 1 sendo igual ao raio da esfera. Utilizando da Eq. 4.2 apresentada a seguir, conclui-se que o tamanho da esteira foi de 1.3813, ou seja, 38.13% do tamanho da esfera.

1 𝐴1 + 𝐵1 𝐴2 + 𝐵2 𝐴3 + 𝐵3 𝐴4 + 𝐵4 + + + + =0 (4.2) 2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 esta equação foi obtida utilizando da Eq. 3.1 igualando a 0 quando 𝜉 for igual a 1. Isto acontece devido a 𝜉 ser igual a 1 quando 𝜃 for 0, obtendo assim a distância onde a linha de corrente estiver no mesmo eixo do centro da esfera. Como feito para o coeficiente de arrasto, a distância adimensional da esteira de vórtice varia conforme a Fig. 4.3 quando variado o número de Reynolds de 1 à 100.

Figura 4.3: Gráfico que demonstra comportamento do comprimento da esteira de vórtice em função ao número de Reynolds. 7

Na Fig. 4.3 é possível perceber que não existe esteira de vórtice até aproximadamente 40 Re.

4.1

Para número de Reynolds maiores que 100

Quando variasse o número de Reynolds de 101 até 1100, não se percebe problemas ao plotar gráficos de coeficiente de arrasto e de comprimento da esteira de vórtice, isto pois os gráficos apresentam uma continuidade que aparentemente faz sentido. Segue na Figs. 4.4 e 4.5 gráficos que apresentam coeficiente de arrasto e comprimento da esteira respectivamente.

Figura 4.4: Gráfico que demonstra comportamento do coeficiente de arrasto em função ao número de Reynolds.

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Figura 4.5: Gráfico que demonstra comportamento do comprimento da esteira de vórtice em função ao número de Reynolds. Observa-se no gráfico da Fig 4.4 que aparentemente o valor do coeficiente irá variar até um valor próximo de 0.29. Na Fig. 4.5 o comprimento ira estacionar em 2.95. O que de fato acontece quando utiliza-se deste método. Fazendo comparações com varores obtidos para 2000 Re ou 3000 Re, valores não mudaram muito dos obtidos no final das Figs. 4.4 e 4.5. Porém ao plotar o escoamento para estes valores de Reynolds, é possível tirar algumas conclusões. Na Fig. 4.6 conta o gráfico de escoamento em tonro de uma esfera para número de Reynolds de 500.

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Figura 4.6: Gráfico que apresenta escoamento onde 𝑅𝑒 = 500 em torno de uma esfera. Na Fig 4.6 é possível identificar um desprendimento da esteira de vórtice, o modelo desenvolvido não foi feito para captar este tipo de fenômeno, isto acaba sendo um limitador de número de Reynolds para aplicação deste modelo. Ouro fator importante, é que mesmo aumentando drasticamente o número de Reynolds, o gráfico praticamente não muda, o que explica a não variação do coeficiente de arrasto e do comprimento da esteira. O modelo não consegue captar mudança de escoamento laminar para turbulento de forma alguma, como também não capta com precisão o que ocorreria em uma caso de escoamento laminar com número de Reynolds maiores do que 100, como o apresentado na Fig. 4.6.

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Conclusão

Conforme apresentado pela literatura, é possível concluir que este modelo é válido para uma faixa de baixo número de Reynolds, muitos algumas referências aceitam este modelo para valores de até 80 Re, mas é possível perceber que valores de 100 Re ou pouco maiores, obtêm-se resultados satisfatórios. Outra conclusão importante é a variação do comprimento da esteira de vórtice, até 40 Re, ela manteve-se quase não existia e após este valor ela surgiu e aumentou de maneira brusca, chegando próximo ao raio da esfera. De maneira contrária foi a variação do coeficiente de arrasto, para valores de Reynolds muito baixos, ele possui valores enormes, somente a partir de 40 Re o coeficiente se estabiliza em valores próximos a 1. Por fim, conclui-se que este método resulta em valores satisfatórios quando varia-se o número de Reynolda de 40 até 100. Podendo ser aceitas pequenas extrapolações destes limites.

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Referências

BIRINGEN, S. e CHOW, C.Y. An introduction to computational fluid mechanics by example. John Wiley & Sons, 2011.

ISMAIL, K.A.R. e MOURA, L.F.M. Métodos numéricos em mecânica dos fluidos, 2012. Apostila desenvolvida junto à Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP.

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