Determinação de tempos de residência em reactores tubulares com enchimento.

Universidade de Coimbra, Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Engenharia Química Laboratórios de Engenharia Química II Ano letivo 2015/2016

Trabalho Laboratorial 10 – Distribuição de Tempos de Residência

Grupo 2.4 Cláudia Grilo Jéssica Ferreira João Miranda

Docente Rui Martins

Coimbra, 30 de março de 2016

Resumo O presente trabalho laboratorial tem como objetivo estudar o ajuste dos modelos de reatores em cascata (MRC) e de pistão dispersivo (MPD) de modo a analisar os dados recolhidos relativamente ao escoamento não ideal, recorrendo para isso à distribuição de tempos de residência (DTR) obtidos nos sistemas experimentais. Para a realização deste estudo foram usados dois reatores tubulares com diferentes tipos de enchimento, assim como dois caudais volumétricos distintos. Efetuando o tratamento de dados para este tipo de reatores, foi possível concluir que nos ensaios efetuados, os desvios à idealidade ocorreram por curto-circuito. Relativamente à aplicação destes modelos, concluiu-se que o ajuste destes depende fortemente da velocidade de escoamento, sendo que para velocidades baixas os modelos não se conseguem ajustar corretamente à curva obtida experimentalmente, enquanto que para caudais mais elevados, revelou-se um desempenho muito satisfatório do modelo de pistão dispersivo. No entanto, para o modelo de reatores em cascata, devido à forma como este modelo se encontra formulado, para picos mais achatados não foi possível obter um ajuste.

Introdução Teórica A distribuição de tempos de residência possibilita compreender e antever o comportamento de sistemas contínuos reais, recorrendo para isso a expressões matemáticas que descrevem o comportamento das partículas dentro do sistema em estudo. Neste tipo de sistemas, geralmente, ocorrem desvios à idealidade, tais como a existência de zonas de escoamento preferencial que fazem com que algumas partículas do sistema levem menos tempo para o atravessar do que as restantes, originando aquilo a que se chama de curto-circuitos. Outra anomalia que pode surgir é a formação de zonas mortas ou de estagnação no reator. Num sistema ideal estas anomalias não estariam presentes, mas no sistema real elas acontecem e têm que ser tidas em conta pois originam uma distribuição tempos de residência para as partículas. A figura 1 ilustra estas dois desvios da idealidade. Existem dois tipos de reatores contínuos ideais: o reator contínuo perfeitamente agitado (RCPA), onde o tempo de residência das moléculas pode ser qualquer um entre zero e infinito, e o reator pistão ou tubular (RP), em que todas as moléculas têm o mesmo tempo de residência.

Figura 1 – Ilustração do escoamento não ideal em reatores: reator tubular com curto-circuito, à esquerda; RCPA com curto-circuito e zonas mortas, à direita.[1] 2

A determinação da distribuição de tempos de residência, como demonstra a figura 2, recorre à injeção de um tracer no instante inicial seguido de um estudo da composição da corrente de saída que permite o conhecimento da concentração deste no efluente ao longo do tempo. O tracer é um marcador que não pode modificar as propriedades físicas da mistura nem alterar a dinâmica do escoamento, este também tem que ter propriedades que o permitam ser detetado facilmente. A técnica de estímulo/resposta pode utilizar estímulos de diferentes naturezas, sendo os mais comuns as perturbações em impulso e em degrau. Neste estudo recorreu-se à perturbação em impulso por ser mais fácil em termos de tratamento matemático e mais barata, sendo também a mais usada na indústria.

Figura 2 – Aplicação da técnica estímulo/resposta para conhecer a distribuição de tempos de residência. [1]

Num sistema atravessado por um caudal constante e partindo dos valores da concentração de tracer no efluente registados, Cs, determina-se a função E(t) que é a função densidade de tempos de residência e que traduz a probabilidade de um tempo de residência estar compreendido entre t e t + dt. A função E(t) é descrita pela equação 1. 𝐸(𝑡) =

𝐶𝑠(𝑡) +∞

∫0

𝐶𝑠(𝑡) 𝑑𝑡

=

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 (𝑡) +∞

∫0

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜(𝑡)

(1)

O integral presente no denominador da equação 1 evidência a área abaixo da curva Cs(t), sendo diretamente proporcional à quantidade de tracer inserida. Na determinação da distribuição de tempos de residência, o tempo de residência médio, tres, é o tempo médio que as moléculas que abandonam o sistema aí ficaram, sendo este um critério importante e podendo-se calcular através da equação 2. ∞

𝑡𝑟𝑒𝑠 = ∫0 𝑡 × 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡

(2)

Para determinar o tempo de passagem no sistema recorre-se à equação 3. 𝑉

𝜏 = 𝑄̇

𝑣

(3)

Por comparação do tempo de residência médio com o tempo de passagem no sistema pode concluir-se que, se:

3

  

τ = tres, então o escoamento é ideal; τ < tres, então o escoamento não é ideal, havendo um desvio à idealidade do tipo curto-circuito; τ > tres, então o escoamento não é ideal, havendo um desvio à idealidade do tipo formação de zonas mortas.

Com o valor do tempo de residência médio, é possível determinar a variância da distribuição, σ2, que possibilita conhecer a dispersão da distribuição em redor do seu valor médio, a partir da equação 4. ∞

𝜎 2 = ∫0 (𝑡 − 𝑡𝑟𝑒𝑠 )2 × 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡

(4)

A relação existente na equação 1 é válida para a condutividade elétrica dado que as duas grandezas (concentração e condutividade elétrica) são diretamente proporcionais, como mostra a equação 5. 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝑡) = 𝑘 𝐶𝑆 (𝑡)

(5)

As funções de distribuição de tempos de residência são normalmente apresentadas na sua forma normalizada, como referido anteriormente. Assim, a função densidade de tempos de residência adimensional, E(θ), é apresentada na equação 6. 𝐸 (𝜃) = 𝜏 × 𝐸(𝑡) = 𝜏 × 𝐸(𝜃𝜏)

(6)

Onde θ é dado por: 𝜃=

𝑡

(7)

𝑡𝑟𝑒𝑠

De modo a determinar as correlações da distribuição de tempos de residência existem diversos modelos mecanísticos, dos quais se destacam: 

Modelo de Reatores em Cascata (MRC), onde o escoamento real corresponde a uma bateria de N reatores contínuos perfeitamente agitados (RCPA’s) e em série, todos com volume igual. A DTR permite determinar o número N de tanques em série em que o sistema deve ser subdividido, fazendo um ajuste aos valores de E(θ) calculados através dos valores experimentais de condutividade elétrica anotados para os diferentes ensaios. Este modelo é definido a partir das equações 8 e 9. 𝐸(𝑡) =

𝑡 𝑁+1 (𝑁−1)!

τ ( )𝑁 𝑁

𝑁𝑁

exp(−

𝑡 𝜏 𝑁

)

( )

𝐸 (𝜃) = (𝑁−1)! 𝜃 𝑁−1 exp(−𝑁𝜃)

(8) (9)

Para determinar o valor de N recorreu-se a uma regressão não linear da equação 9 usando como condição inicial a equação 10.

4

𝜎𝜃2 = 

𝜎2 𝜏2

1

=𝑁

(10)

Modelo de pistão dispersivo (MPD), que refere que para além do transporte por convecção ao longo do sistema, existe um fenómeno de dispersão axial do fluido, originando assim uma mistura. Caso o impulso inserido no instante inicial seja colorido, irá atentar-se o seu alargamento progressivo até à saída do reator, ver figura 3, quantificado pelo coeficiente de dispersão axial, DL.

Figura 3- Demonstração do alargamento progressivo do tracer no reator.

A correlação que corresponde à relação entre a convecção e a dispersão axial do fluido é o número de Peclet (Pe).

Para determinar o valor de Pe recorreu-se a uma regressão linear da equação E(θ), usando como condição inicial a equação de fronteiras “abertas” à dispersão como demonstra a equação 13. 𝜎𝜃2 =

𝜎2 𝜏2

2

8

= 𝑃𝑒 + 𝑃𝑒 2

(13)

Se o valor de Pe tender para infinito significa que a convecção no sistema é bastante superior à difusão, ou seja, o escoamento aproxima-se ao de um reator pistão. No entanto, se o valor de Pe tender para zero significa que a dispersão axial do fluido no sistema é muito superior à convecção e o escoamento aproximar-se-á ao de um RCPA. Nesta atividade laboratorial apenas foram utilizados reatores tubulares, assim sendo o valor de Pe será muito elevado, podendo-se então simplicar a expressão da seguinte forma: 8 𝑃𝑒 2

≈0

Ficando então apenas: 𝜎𝜃2 =

𝜎2 2 = 2 𝜏 𝑃𝑒

(14)

De modo a determinar DL, recorre-se finalmente à equação 15. 𝑃𝑒 =

𝑢𝐿 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜 = 𝐷𝐿 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟çã𝑜

(15)

5

Para facilitar a interpelação, consideram-se condições fronteira “abertas” à dispersão axial de fluido, visto que esta gera resultados satisfatórios quando o transporte por dispersão não é muito significativo. Assim, para condições de fronteira “abertas” nos dois extremos do sistema, tem-se as equações 16 e17: 𝑃𝑒

𝐸 (𝑡) = √4𝜋 𝑡 𝜏 exp (− 1

𝑃𝑒

𝑃𝑒 (𝑡−𝜏)2 4𝑡𝜏

−𝑃𝑒(1−𝜃)2

𝐸 (𝜃) = 2 √𝜋𝜃 exp(

4𝜃

)

(16)

)

(17)

Este modelo irá realizar o ajuste necessário aos valores de E(θ) obtidos experimentalmente e irá estimar o valor de Peclet para os diferentes ensaios efetuados. [1]

Procedimento experimental Para realizar esta atividade experimental foram necessários os seguintes materiais e substâncias:        

Reatores tubulares (L= 2 m; D=2,2 cm) com diferentes enchimentos; o Porosidade do leito de cilindro ocos: ℰ ≈ 0,57 o Porosidade do leito de esferas de vidro: ℰ ≈ 0,41 1 Condutivímetro; 1 Seringa; Solução de KCl (1 M) Solução de K2MnO4; 1 Cronómetro; 1 Rotâmetro; 1 Proveta de 1L.

Em primeiro lugar verificou-se as ligações dos tubos de água ao sistema, que para os dois primeiros ensaios foi o reator tubular com enchimento de cilindros ocos. Encheu-se o tanque de água, ligando-se de seguida a bomba para que o sistema tivesse tempo de estabilizar. Regulou-se o caudal de água para o desejado, que para o primeiro ensaio foi de 1 L/min através de um rotâmetro e retirou-se uma amostra de 1 L utilizando uma proveta, medindo o tempo que esta demorava a encher, para poder comparar o caudal lido no rotâmetro e o medido experimentalmente de modo a perceber se estavam em consonância. Entretanto ligou-se o condutivímetro, e confirmou-se se as ligações elétricas entre o sensor, o condutivímetro e o computador estavam corretas. No computador em que estava instalado o software LABTECH, iniciou-se então o programa Build Time e abriu-se a versão atualizada do ficheiro tubular1.ltc que se destinava, evidentemente, a ensaios com reator tubular. Deu-se um nome ao ficheiro aberto, correspondente ao ensaio. De seguida preparou-se o tracer a usar, misturando-se 1 mL de uma solução de KCl (1 M) com 1 mL de uma solução cor-de-rosa de K2MnO4 que permitiu observar o escoamento do fluido ao longo do sistema, resultando num tracer com 2 mL.

6

Após o sistema ter estabilizado, introduziu-se os 2 mL de tracer numa seringa e injetouse no sistema no mesmo instante em que se carregou no bloco RUN para correr o programa VISION, que fazia a interface entre o computador e o utilizador. Quando se deixou de observar a cor rosada no sistema encerrou-se o programa VISION, pois já não existia tracer no sistema. No final, confirmou-se se a aquisição dos sinais, e se a representação da variável estava bem definida. E finalmente desligou-se a bomba. Realizou-se um segundo ensaio, repetindo todo o procedimento anterior, mas para um caudal de 2,5 mL de água. Após o segundo ensaio, trocaram-se as tubagens de água, retirando-as do reator com enchimento de cilindros ocos e ligando-as ao reator com enchimento de esferas de vidro. Efetuaram-se mais dois ensaios, repetindo novamente todo o processo anteriormente descrito, mas agora com este novo reator com enchimento de esferas de vidro, sendo que no terceiro ensaio o caudal foi de 1 mL e no quarto ensaio foi de 2,5 mL de água. Depois do quarto ensaio, gravou-se os dados adquiridos numa disquete e desligou-se todo o equipamento utilizado.

Resultados experimentais Durante a atividade laboratorial obtiveram-se os dados apresentados na tabela 1 e ilustrados nas figuras 1, 2 e 3.

Tabela 1 - Caudais volumétricos medidos pelo rotâmetro e à saída do reator tubular, e volume de tracer usado em cada ensaio. Sistema

Ensaio

Qrot /(L s-1)

Qreal / (L s-1)

Vtracer × 𝟏𝟎𝟑 / L

1

0,0167

0,0144

2

2

0,0417

3,9200

2

3

0,0167

0,0147

2

4

0,0417

3,8800

2

Leito de cilindros ocos

Leito de esferas de vidro

7

Relativamente ao reator com enchimento de cilindros ocos os resultados obtidos estão representados na figura 1. 42

42

41

41

40

40

39

Cs(t)

Cs(t)

39 38

38 37

Cs(t) ensaio 1 37

36

34

Cs(t) ensaio 2

36

35

0

10

20

30 40 tempo / s

50

60

70

35 0

5

10

15

20

25

tempo / s

Figura 1 - Concentrações de tracer detetado no reator com enchimento de cilindros ocos para os ensaios 1 e 2.

Para o caso do reator com enchimento de esferas de vidro, os resultados são apresentados na figura 2.

25

30

25

20

20 15

Cs(t)

Cs(t)

15 10

10 5 5 0

0 Cs(t) ensaio 3

-5

0

5

10

15

20

25 30 tempo / s

35

40

45

Cs(t) ensaio 4 50

-5

0

2

4

6

8 10 tempo / s

12

14

16

18

Figura 2 - Concentrações de tracer detetado no reator com enchimento de esferas de vidro para os ensaios 3 e 4.

Como se pode observar através da figura 1, os resultados alcançados para os ensaios efetuados ao reator com enchimento de cilindros ocos não permitem efetuar o estudo desejado para esta atividade laboratorial. Em relação aos ensaios 3 e 4, correspondentes ao reator com enchimento de esferas de vidro, a representação gráfica obtida presente na figura 2, antes de qualquer tratamento dos dados, carece de uma normalização afim de diminuir o ruído eletrónico do equipamento. Deste modo, fez-se uma translação das curvas para as normalizar, conseguindose os resultados presentes na figura 3.

8

25

30 Cs(t) ensaio 3

Cs(t) ensaio 4 25

20

20

Cs(t)

Cs(t)

15 15

10 10 5 5

0

0

5

10

15

20

25 30 tempo / s

35

40

45

50

0

0

2

4

6

8 10 tempo / s

12

14

16

18

Figura 3 - Concentrações de tracer detetado no reator com enchimento de esferas de vidro para os ensaios 3 e 4 após normalização.

9

Discussão e tratamento de resultados Para proceder ao tratamento dos dados obtidos experimentalmente recorreu-se ao software Matlab. Primeiramente calculou-se a função E(t) a partir da equação 1 com recurso à Regra dos Trapézios para determinar a integral de Cs, feito isto obteve-se então a representação gráfica apresentada na figura 4.

0.18

0.7

E(t) ensaio 3 0.16 0.6

E(t) ensaio 4

0.14 0.5

0.12 0.4

E(t)

E(t)

0.1 0.08

0.3

0.06 0.2

0.04 0.1

0.02 0

0

5

10

15

20

25 30 tempo / s

35

40

45

50

0

0

2

4

6

8 10 tempo / s

12

14

16

18

Figura 4 - Representação gráfica da função E(t) para os ensaios 3 e 4.

Para comparar as duas funções de distribuição de tempos de residência, é apresentada na figura 5 uma representação gráfica das funções correspondentes aos ensaios 3 e 4 no domínio tempo. 0.7

0.6 E(t) ensaios 3 E(t) ensaios 4

0.5

E(t)

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

5

10

15

20

25 30 tempo / s

35

40

45

50

Figura 5 - Representação gráfica da função de distribuição de tempos de residência para os ensaios 3 e 4.

10

Ao observar a figura 5 constata-se que a curva do ensaio 4 possui maior amplitude e um pico mais estreito, apresentando também um tempo de retenção menor do que a curva pertencente ao ensaio 3.

Uma vez determinada a função E(t), pode-se agora calcular o tempo de residência médio recorrendo à equação 2, e novamente à Regra dos Trapézios. Este novo valor equivale ao tempo de permanência médio das moléculas no sistema. Assim, compara-se o valor desta variável, com o tempo de passagem no sistema obtido pela equação 3. Desta forma consegue-se averiguar o tipo de desvios à idealidade. O tempo de residência médio também possibilita determinar a variância através da equação 4, sendo que esta permite conhecer a dispersão em torno do seu valor médio. Obtendo-se assim, os resultados presentes na tabela 2.

Tabela 2 - Valores obtidos para o tempo de passagem no sistema, tempo de residência médio e variância para os ensaios 3 e 4. Sistema

Ensaio

τ / (s)

tres / (s)

σ2

3

21,19

29,24

6,47

4

8,00

10,66

0,57

Leito de esferas de vidro

Como se pode verificar o tempo de residência médio é maior que o tempo de passagem no sistema, o que significa que nestes ensaios o escoamento não foi ideal, tendo existido predominância de anomalias do tipo curto-circuito. Já para a variância, observa-se que existe uma menor dispersão dos resultados em torno do valor médio para o ensaio 4. Este acontecimento pode dever-se à maior velocidade de escoamento, que fez com que houvesse menos dispersão entre partículas no sistema.

Com os valores obtidos na tabela 2 para o tempo de residência médio, normalizou-se a função de DTR, sendo esta normalização efetuada com recurso à equação 6, obtendo-se então os resultados apresentados na figura 6.

6

5

E(teta) ensaio 4

E(teta) ensaio 3 4.5 5 4 3.5

4

E(teta)

E(teta)

3 2.5

3

2 2 1.5 1

1

0.5 0

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 teta

1.2

1.4

1.6

1.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

teta

Figura 6 - Representação gráfica da função distribuição de tempos de residência normalizada usando o tempo de residência médio, para os ensaios 3 e 4.

11

Tal como já foi referido anteriormente, neste sistema obteve-se um escoamento não ideal com uma permanência de anomalias do tipo curto-circuito. Uma das alternativas para descrever este tipo de escoamento, é recorrer a modelos que podem ser classificados em modelos a um parâmetro e modelos de parâmetros múltiplos. Da literatura foi possível saber que para reatores tubulares não ideais, existem dois modelos que conduzem a resultados muito semelhantes nas nossas condições operatórias, são eles o Modelo de Reatores em Cascata (MRC) e o Modelo de Pistão Dispersivo (MPD). Assim sendo, nesta fase irá testar-se o comportamento destes dois modelos para as condições dos ensaios 3 e 4. Para tal, primeiramente é necessário calcular os parâmetros destes dois modelos, número de andares (N) e o número de Peclet axial (Pe). Para determinar estes parâmetros, é necessário fazer uma regressão não linear das equações 9 e 17, onde os valores iniciais destes parâmetros são obtidos pelas equações 10 e 14, respetivamente. Após conhecer o número de Peclet axial pode determinar-se o coeficiente de dispersão axial pela equação 15. Efetuada esta regressão obtiveram-se os valores indicados na tabela 3.

Tabela 3 - Parâmetros dos modelos usados, número de reatores, número de Peclet axial e coeficiente de dispersão axial. Sistema

Ensaio

N

Pe

DL

3

142

279,33

14,47

4

-

387,75

7,58

Leito de esferas de vidro

Determinados os valores destes parâmetros, pode verificar-se qual é o ajuste resultante dos modelos MRC e MDP para a função de DTR normalizada. As respetivas representações gráficas encontram-se nas figura 7 e 8, e os erros associados a estes ajustes são representados na figura 9.

5

6 E(teta) ensaio 3 E(teta)mrc

4.5

E(teta) ensaio 4 E(teta)mrc 5

4 3.5

4

E(teta)

E(teta)

3 2.5

3

2 2

1.5 1

1

0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 teta

1.2

1.4

1.6

1.8

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

teta

Figura 7 - Ajuste dado pelo Modelo de Reatores em Cascata para os ensaios 3 e 4.

12

5

6

E(teta) ensaio 3 E(teta)mpd

4.5

E(teta) ensaio 4 E(teta)mpd 5

4 3.5

4

E(teta)

E(teta)

3 2.5

3

2 2

1.5 1

1

0.5 0

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

teta

teta

Figura 8 - Ajuste dado pelo Modelo de Pistão Dispersivo para os ensaios 3 e 4.

0.5

0.8 Erro Modelo RC Erro Modelo PD

0.6

Erro Modelo RC Erro Modelo PD

0.4 0.3

0.4

Erro Absoluto

Erro Absoluto

0.2 0.2 0 -0.2

0 -0.1

-0.4

-0.2

-0.6 -0.8

0.1

-0.3 -0.4 0

5

10

15

20

25 30 tempo / s

35

40

45

50

0

2

4

6

8 10 tempo / s

12

14

16

18

Figura 9 - Erros absolutos dos Modelos Reatores em Cascata e Pistão Dispersivo para os ensaios 3 e 4.

Como se pode verificar para o ensaio 3, o Modelo de Reatores em Cascata (MRC) e o Modelo de Pistão Dispersivo (MPD) têm ajustes muito semelhantes e muito próximos do comportamento real, não se tendo obtido valores de erros absolutos muito elevados como se pode constatar na figura 9. Quando o caudal volumétrico aumenta observa-se que o Modelo de Pistão Dispersivo também aumenta a sua eficácia, reproduzindo praticamente o comportamento real da distribuição de tempos de residência normalizada. No entanto, para este ensaio não foi possível arranjar um ajuste para Modelo de Reatores em Cascata. Como já foi referido anteriormente, no ensaio 4 obteve-se um pico mais estreito por se ter aumentado a velocidade de escoamento. Esse efeito terá repercussões ao nível dos parâmetros dos modelos, sendo necessário que estes tenham um valor mais elevado, para conseguirem reproduzir eficientemente as condições reais. Tal facto terá consequências para o MRC, devido à formulação do mesmo. Como se pode verificar na equação 9, um dos parâmetros é NN. Ora ao utilizar o Matlab para calcular este valor, o programa vai crashar [2], ou seja, o programa falha dizendo que o parâmetro tende para infinito, fazendo com que o modelo se torne ineficaz para se ajustar a este tipo de escoamento. Esta falha deve-se ao facto de para valores de velocidade elevada ser necessário um elevado número de reatores. No entanto, com uma reformulação deste modelo, talvez seja possível retificar este erro.

13

Conclusão Através desta atividade laboral, foi possível concluir que de entre os dois modelos usados, MRC e MPD, o do Modelo Pistão Dispersivo (MPD) foi o que apresentou resultados mais consistentes, visto não ter exibido problemas em nenhum dos ensaios efetuados. Devido aos erros de leitura nos dois primeiros ensaios, que correspondem ao reator pistão com enchimento de cilindros ocos, não se pôde estudar as consequências que o tipo de enchimento provocaria na execução dos modelos em questão. Quanto ao desvio à idealidade, como referido anteriormente, deve-se predominantemente a curto-circuito provocado pela multiplicidade de percursos existentes no leito do reator. Para diminuir este efeito pode aumentar-se a velocidade de escoamento, o que conduzirá a uma menor difusão longitudinal. Esse efeito pode verificar-se na tabela 2, onde uma maior velocidade leva a um menor valor de variância e uma menor diferença entre o tempo de residência médio e o tempo de passagem no sistema. Também uma redução do tamanho, assim como alterar a forma geométrica do enchimento, diminuiriam os desvios à idealidade provocados por curto-circuito. Esta alteração irá levar a uma melhor distribuição do material de enchimento ao longo do reator, obtendo-se um menor valor para a difusão de Eddy, devido à redução da multiplicidade de percursos, isto é, diminui o número de trajetos por onde as partículas possam eluir mais rapidamente. Também o material de que é constituído o enchimento influencia o escoamento das partículas de eluente, pois este pode promover interações físico-químicas entre a fase móvel e a estacionária. .

Nomenclatura Cs – Concentração de tracer ; DL – Coeficiente de dispersão axial; E (t) – Função densidade de tempos de residência ; E (𝜃) - Função densidade de tempos de residência adimensional; k – Constante de proprocionalidade para a condutividade elétrica; L – Distância total entre os pontos de injeção e medida [m]; N –Número de reatores; Pe – Número de Peclet axial; Qv – Caudal volumétrico [m3/s]; t – Tempo [s]; tres – Tempo de residência médio [s]; u – Velocidade superficial média do fluido [m/s];

14

V – Volume [m3]; 𝜀 – Porosidade ; 𝜃 – Termo de normalização; 𝜎 2 – Variância; 𝜎𝜃 – Variância normalizada; 𝜏 - Tempo de passagem [s].

Webgrafia 20 de Março de 2016 – 12h40 [1]http://labvirtual.eq.uc.pt/siteJoomla/index.php?option=com_content&task=view&id=163&Itemid =320

23 de Março de 2016 – 16h00 [2] http://www.tecmundo.com.br/video-game-e-jogos/1110-o-que-e-crash-.htm

15

Anexos Script MaTLab. Modelo reactores em cascata. function [ E_teta1 ] = mrc(N,teta) %gamma: função intrepoladora da função factorial %pag - 138 :Determinação de tempos de residencia E_teta1=( (N.^N).*(teta.^(N-1)./(gamma(N))) ) .* exp(-N.*teta); end

Modelos pistão dispersivo. function [ E_teta2 ] = mpd( Pe , teta ) E_teta2=(1/2).*(sqrt(Pe./(pi.*teta))).*(exp(-(Pe.*(1teta).^2)./(4.*teta)));

end

Dados brutos recolhidos. clc; clear all; close all; load Ensaio_I.dat load Ensaio_II.dat dados1=load('Ensaio_I.dat'); texp1 = dados1(:,1); Cs1 = dados1(:,2); figure(1) plot(texp1,Cs1,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 1','Location','Best') dados2=load('Ensaio_II.dat'); texp2 = dados2(:,1); Cs2 = dados2(:,2); figure(2) plot(texp2,Cs2,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 2','Location','Best') dados03=load('Ensaio_III.dat'); texp03 = dados03(:,1); Cs03 = dados03(:,2); 16

figure(3) plot(texp03,Cs03,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 3','Location','Best') dados04=load('Ensaio_IV.dat'); texp04 = dados04(:,1); Cs04 = dados04(:,2); figure(4) plot(texp04,Cs04,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 4','Location','Best') %_____________________________________________________________________ _____ % como se pode verificar só os dados dos ensaios 3 e 4 podem ser tratados % o primeiro passo no tratamento é a normalização da curva obtida, para % essa normalização passamos todos os valores negativos da função para 0

dados3=load('Ensaio_III.dat'); texp3 = dados3(:,1); Cs3 = dados3(:,2); zz = find(Cs3 < 0) ; Cs3(zz) = 0; intCs3 = trapz(texp3, Cs3); E_t3 = Cs3./intCs3; %_____________________________________________________________________ _____ dados4=load('Ensaio_IV.dat'); texp4 = dados4(:,1); Cs4 = dados4(:,2); zz = find(Cs4 < 0) ; Cs4(zz) = 0; intCs4 = trapz(texp4, Cs4); E_t4 = Cs4./intCs4; figure(5) plot(texp3,E_t3,'.'); hold on plot(texp4,E_t4,'+') xlabel('tempo / s') ylabel('E(t)') legend('E(t) ensaios 3','E(t) ensaios 4','Location','Best' ) hold off

17

Script ensaio 3. clc; clear all; close all; % Ensaio 3 dados=load('Ensaio_III.dat'); d=2.2*10^-2; %Normalização dos dados recolhidos texp3 = dados(:,1); Cs3 = dados(:,2); zz = find(Cs3 < 0) ; Cs3(zz) = 0; %Representação gráfica dos resultados obtidos figure(1) plot(texp3,Cs3,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 3','Location','Best') % Calculo da função E(t) intCs3 = trapz(texp3, Cs3); E_t3 = Cs3./intCs3; %Representação gráfica de E(t) figure(2) plot(texp3,E_t3,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('E(t)') legend('E(t) ensaio 3','Location','Best' ) % Caculo do tempo de residencia % a) com recurso a E(t) tr_med3 = trapz (texp3, E_t3.*texp3); % b) com recurso ao caudais medidos na aula laboratorial Ve = 0.311; Qv3=0.014677822; tau3 = Ve/Qv3; %Calculo da variancia dos tempos de distribuição var_3 = trapz (texp3, E_t3.*(texp3-tr_med3).^2); %Calculo de teta e da função normalizada E(teta) teta3 = texp3./tr_med3; E_teta3 = E_t3.*tr_med3; % Representação grafica de E(teta) figure(3) plot(teta3,E_teta3,'.') xlabel('teta') ylabel('E(teta)') legend('E(teta) ensaio 3','Location','Best' ) % Modelos Reactores em cascata e pistão dispersivo

18

%condições iniciasi para o N de reatores e para o Pe N_03 = (tr_med3^2)/var_3; Pe_03 = ((tr_med3^2)*2)/var_3; %Cálculo dos parâmetros por regressão não linear [ N_3 ] = nlinfit (teta3, E_teta3, @mrc, N_03); Pe3 = nlinfit (teta3, E_teta3, @mpd, Pe_03); Dl3 = Pe3/(Qv3/(pi*(d)^2/4))*2; % Representação gráfica dos modelos e comparação com os resultados reais figure (4)

[ E_teta1 ] = mrc( N_3, teta3 ); hold on; plot (teta3, E_teta3, teta3, E_teta1, ':' ); legend ('E(teta) ensaio 3', 'E(teta)mrc'); xlabel('teta') ylabel('E(teta)') figure(5) [ E_teta2 ] = mpd( Pe3 , teta3 ); hold on; plot (teta3, E_teta3, teta3, E_teta2,':' ); legend ('E(teta) ensaio 3', 'E(teta)mpd'); xlabel('teta ') ylabel('E(teta)')

% Calculo do erro dos modelos Erro_rel1=(E_teta3-E_teta1); val_min_er1=-min(Erro_rel1); val_max_er1=max(Erro_rel1); Erro_rel2=(E_teta3-E_teta2); val_min_er2=-min(Erro_rel2); val_max_er12=max(Erro_rel2);

figure(6) plot (texp3, Erro_rel1, texp3, Erro_rel2,':' ); legend ('Erro Modelo RC', 'Erro Modelo PD'); xlabel('tempo / s') ylabel('Erro Absoluto') valmaxeteta=max(E_teta3) valmaxetetampd=max(E_teta2) valmaxetetamrc=max(E_teta1)

Script ensaio 4. clc; clear all; close all;

% Ensaio 4 19

dados=load('Ensaio_IV.dat'); d=2.2*10^-2; texp4 = dados(:,1); Cs4 = dados(:,2); zz = find(Cs4 < 0) ; Cs4(zz) = 0; figure(1) plot(texp4,Cs4,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('Cs(t) ') legend('Cs(t) ensaio 4','Location','Best') Ve = 0.311; Qv4=0.038880249; intCs4 = trapz(texp4, Cs4); E_t4 = Cs4./intCs4; figure(2) plot(texp4,E_t4,'.') xlabel('tempo / s') ylabel('E(t)') legend('E(t) ensaio 4','Location','Best' ) tr_med4 = trapz (texp4, E_t4.*texp4); tau4 = Ve/Qv4; var_4 = trapz (texp4, E_t4.*(texp4-tr_med4).^2); teta4 = texp4./tr_med4; E_teta4 = E_t4.*tr_med4; figure(3) plot(teta4,E_teta4,'.') xlabel('teta') ylabel('E(teta)') legend('E(teta) ensaio 4','Location','Best' ) N_04 = (tr_med4^2)/var_4; Pe_04 = ((tr_med4^2)*2)/var_4;

[ N_4 ] = nlinfit (teta4, E_teta4, @mrc, N_04); Pe4 = nlinfit (teta4, E_teta4, @mpd, Pe_04); Dl4 = Pe4/(Qv4/(pi*(d)^2/4))*2;

figure (4) [ LNET ] = mrc( N_4, teta4 ); hold on; E_teta1=exp(LNET); plot (teta4, E_teta4, teta4, E_teta1, ':' ); legend ('E(teta) ensaio 4', 'E(teta)mrc'); xlabel('teta') 20

ylabel('E(teta)') figure(5) [ E_teta2 ] = mpd( Pe4 , teta4 ); hold on; plot (teta4, E_teta4, teta4, E_teta2, ':' ); legend ('E(teta) ensaio 4', 'E(teta)mpd'); xlabel('teta') ylabel('E(teta)') % Calculo do erro dos modelos Erro_rel1=(E_teta4-E_teta1); val_min_er1=-min(Erro_rel1); val_max_er1=max(Erro_rel1); Erro_rel2=(E_teta4-E_teta2); val_min_er2=-min(Erro_rel2); val_max_er12=max(Erro_rel2); figure(6) plot (texp4, Erro_rel1, texp4, Erro_rel2,':' ); legend ('Erro Modelo RC', 'Erro Modelo PD'); xlabel('tempo / s') ylabel('Erro Absoluto') valmaxeteta=max(E_teta4) valmaxetetampd=max(E_teta2) valmaxetetamrc=max(E_teta1)

21

Dados obtidos pelo script. Tabela 4 – Dados referentes ao terceiro ensaio.

t/s

Cs

E (t)

E (𝛉)

E (𝛉)MRC

E (𝛉)MDP

0

0

0

0

0

NaN

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

1,27E-237

4

0

0

0

0

8,04E-165

5

0

0

0

0

1,45E-121

6

0

0

0

0

4,42E-93

7

0

0

0

0

4,90E-73

8

0

0

0

1,51E-34

2,88E-58

9

0

0

0

1,84E-29

5,18E-47

10

0

0

0

3,97E-25

3,22E-38

11

0

0

0

2,09E-21

3,25E-31

12

0

0

0

3,41E-18

1,49E-25

13

0

0

0

2,09E-15

6,38E-21

14

0

0

0

5,55E-13

4,21E-17

15

0

0

0

7,17E-11

6,24E-14

16

0

0

0

4,96E-09

2,75E-11

17

0

0

0

1,97E-07

4,46E-09

18

0

0

0

4,83E-06

3,14E-07

19

0

0

0

7,65E-05

1,10E-05

20

0

0

0

8,19E-04

2,12E-04

21

0

0

0

6,17E-03

2,46E-03

22

0

0

0

3,38E-02

1,83E-02

23

0

0

0

1,38E-01

9,31E-02

24

9,46E-01

7,07E-03

2,07E-01

4,33E-01

3,38E-01

25

4,70E+00

3,51E-02

1,03E+00

1,06E+00

9,14E-01

26

1,11E+01

8,27E-02

2,42E+00

2,08E+00

1,90E+00

27

1,80E+01

1,34E-01

3,93E+00

3,31E+00

3,15E+00

22

Continuação da tabela 4.

t/s

Cs

E (t)

E (𝛉)

E (𝛉)MRC

E (𝛉)MDP

28

2,21E+01

1,65E-01

4,83E+00

4,35E+00

4,22E+00

29

2,20E+01

1,65E-01

4,81E+00

4,76E+00

4,71E+00

30

1,85E+01

1,38E-01

4,05E+00

4,41E+00

4,45E+00

31

1,39E+01

1,03E-01

3,03E+00

3,50E+00

3,61E+00

33

5,52E+00

4,13E-02

1,21E+00

1,43E+00

1,60E+00

34

3,27E+00

2,44E-02

7,13E-01

7,49E-01

8,91E-01

35

2,11E+00

1,57E-02

4,60E-01

3,48E-01

4,48E-01

36

1,22E+00

9,12E-03

2,67E-01

1,44E-01

2,05E-01

37

1,07E+00

7,98E-03

2,33E-01

5,34E-02

8,61E-02

38

3,97E-01

2,97E-03

8,67E-02

1,79E-02

3,33E-02

39

0

0

0

5,44E-03

1,20E-02

40

3,05E-01

2,28E-03

6,66E-02

1,51E-03

4,02E-03

41

0

0

0

3,82E-04

1,27E-03

42

0

0

0

8,91E-05

3,76E-04

43

0

0

0

1,92E-05

1,06E-04

44

0

0

0

3,83E-06

2,82E-05

45

0

0

0

7,10E-07

7,18E-06

46

0

0

0

1,23E-07

1,75E-06

47

0

0

0

1,99E-08

4,08E-07

48

0

0

0

3,03E-09

9,17E-08

23

Tabela 5 – Dados referentes ao quarto ensaio.

t/s

Cs

E (t)

E (θ)

E (θ)MRC

E (θ)MDP

0

0

0

0

-

NaN

1

0

0

0

-

0

2

0

0

0

-

1,32E-147

3

0

0

0

-

6,96E-77

4

0

0

0

-

1,62E-43

5

0

0

0

-

4,35E-25

6

0

0

0

-

3,98E-14

7

0

0

0

-

1,97E-07

8

0

0

0

-

0,002116

9

1,9230

0,0369

0,3936

-

0,379179

10

20,8740

0,4009

4,2720

-

3,880848

11

23,0710

0,4431

4,7216

-

4,954503

12

5,7980

0,1114

1,1866

-

1,328103

13

0,4880

0,0094

0,0999

-

0,107195

14

0

0

0

-

0,00337

15

0

0

0

-

4,98E-05

16

0

0

0

-

3,99E-07

17

0

0

0

-

1,93E-09

24