Dimensão Fractal

DIMENSÃO FRACTAL

Rodrigo Ferraz Nunes1, Rafael Monteiro Bizarro1 1

Universidade de São Paulo (USP), São Paulo, Brasil

RESUMO Dimensão fractal é a razão proporcionada por um índice estatístico de paridade complexa do quantitativo alterado no detalhamento de um modelo com a escala, em que o mesmo é medido. Também é evidenciada como uma medida capacitiva do preenchimento da extensão de um modelo em diferentes escalas e não, necessariamente,é um número inteiro. A ideia principal de dimensões "fraturadas" possui uma vasta e importante trajetória na matemática.Trazida à tona por Benoit Mandelbrot, em trabalho sobre autossimilaridade, as dimensões fracionárias são aludidas aos trabalhos anteriores de Lewis Fry Richardson, no qual descreve a noção de contraintuitiva, onde observou-se que as medidas de dimensão de um litoral se alteram com o comprimento da régua empregada. Segue abaixo o exemplo do perímetro da costa da GrãBretanha.

Costa da Grã-Bretanha Em termos, a dimensão fractal de um litoral quantifica o número de réguas necessárias para medi-lo, mudando de acordo com a escala aplicada. Inúmeras interpretações matemáticas formais de dimensão fractal são fundadas por meio deste conceito básico em detalhamento com a mudança de escala. Um exemplo não trivial é a dimensão fractal do chamado floco de neve de Koch, que será explicado posteriormente. Ele tem uma dimensão topológica de 1, porém não pode ser considerado uma curva facilmente medida: sua dimensão entre dois pontos quaisquer no floco de neve é infinita. Nenhum pequeno pedaço dele é semelhante a uma linha, mas é composto de segmentos infinitos unidos em diversos ângulos. Além disso, a dimensão fractal de uma curva pode ser explicada intuitivamente usando a analogia de uma curva

fractal como um objeto muito detalhado para ser unidimensional, mas muito simples para ser bidimensional. Portanto, a sua dimensão pode ser melhor descrita não pela sua topologia habitual de dimensão de 1, mas pela sua dimensão fractal, que neste caso é um número entre 1 e 2. INTRODUÇÃO A dimensão fractal é um índice para caracterizar conjuntos ou modelos, quantificando a sua complexidade por meio de uma proporção em detalhamento para a mudança de escala. Múltiplas dimensões fractais são medidas empiricamente e teoricamente. Também caracterizam uma ampla amostra de objetos que vão desde o abstrato a fenômenos práticos, sem deixar de citar a turbulência, as redes fluviais, o crescimento urbano, a fisiologia humana, a medicina e o estudo das tendências de mercado. Primeiramente, as dimensões fractais foram aplicadas como um índice, evidenciando complexas formas geométricas para as quais o detalhamento era mais importante do que a imagem bruta. Para conjuntos ou formas geométricas comuns, a dimensão fractal teórica é igual à Euclidiana. Assim, são consideradas 0 para conjuntos de pontos que descrevem (conjuntos 0-dimensional); 1 para as quais que descrevem conjuntos de linhas (apenas comprimento); 2 para os conjuntos que descrevem superfícies (comprimento e largura); e 3 para os demais conjuntos que descrevem volumes (comprimento, largura e altura). Entretanto, isso muda para conjuntos fractais, pois se a dimensão teórica fractal de um conjunto ultrapassa a sua dimensão topológica, o conjunto é considerado de geometria fractal. Ao contrário das dimensões topológicas, o índice fractal pode assumir valores não inteiros, o que indica que um conjunto preenche o seu espaço qualitativa e quantitativamente, diferente do modo como um conjunto geométrico comum faz. Como exemplo, tem-se uma curva com dimensão fractal muito perto de 1, aproximadamente 1.10, que se comporta quase como uma curva comum, porém uma curva com dimensão fractal 1,9 apresenta comportamento no espaço quase como uma superfície. Analogamente, uma superfície com dimensão fractal de 2,1 preenche o espaço de modo similar a uma superfície comum, mas com uma dimensão fractal de 2,9 esta "dobra" e "flui" para preencher o espaço quase que como um volume. Desse modo, a complexidade da medição de uma dimensão fractal está relacionada a certos conceitos fundamentais: a autossimilaridade e o detalhamento, mais conhecido como irregularidade.

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Ilustração da autossimilaridade Estas características são evidentes nos dois exemplos de curvas fractais. Ambas as curvas exemplificadas têm dimensão topológica de 1, logo, é esperado poder medir o seu comprimento ou declividade, como em outras curvas comuns. Porém, isso não é possível, uma vez que as curvas fractais possuem uma complexidade na forma de autossimilaridade e irregularidades das quais as curvas comuns não têm. A autossimilaridade existe numa escala infinita e a irregularidade está relacionada aos elementos que definem a forma. Além disso, a distância entre dois pontos quaisquer dessas curvas é indefinida, já que elas são estruturas que nunca param de se repetir. Cada pequeno pedaço é composto por um número infinito de segmentos que parecem exatamente como da primeira iteração realizada. Essas não são curvas retificadas, já que não podem ser medidas dividindo-as em diversos segmentos. Desse modo,elas não podem ser caracterizadas por seus comprimentos ou declividades. No entanto, as suas dimensões fractais podem sim ser determinadas, pela comparação de suas formas no preenchimento do espaço; sendo mais do que curvas comuns, porém menos do que superfícies.

Curva de Koch. Uma clássica iteração de curva fractal

apresentada a autossimilaridade num modelo de escala aproximada. Geralmente, no entanto, os fractais mostram inúmeros tipos e graus de autossimilaridade e irregularidades, que não são facilmente visualizados. Dessa maneira, temos como exemplo: os atratores estranhos, em que a irregularidade é sua essência; o conjunto de Julia, que pode ser entendido como complexos vórtices sobre vórtices; os batimentos cardíacos, vistos como sucessões de picos irregulares, que são repetidos e escalados no tempo, etc. A complexidade do fractal não deve ser sempre modelada utilizando unidades de fácil medição das irregularidades em escala sem utilizar métodos analíticos complexos, mas ainda é satisfeita através da aplicação de dimensões fractais. HISTÓRIA Os termos de dimensão fractal e fractais foram cunhados por Mandelbrot em 1975. Cerca de uma década depois, ele publicou seu trabalho sobre autossimilaridade na costa da Grã-Bretanha. Numerosas autoridades históricas creditam a ele o fato de sintetizar séculos de complexa teoria matemática e de engenharia e aplicá-las em uma nova maneira de estudar geometrias complexas que desafiavam sua descrição nos termos lineares usuais. As primeiras fontes de Mandelbrot, sintetizadas como a dimensão fractal, foram encontradas em escritos antigos sobre funções não diferenciáveis e infinitamente autossimilares, que são importantes na definição matemática dos fractais. Isso em meados de 1600, na época em que foi descoberto o cálculo. Depois houve um hiato nas pesquisas publicadas sobre o assunto. Voltando à tona no final dos anos 1800, com a publicação de funções matemáticas e conjuntos que são chamados hoje fractais canônicos, mas no momento da sua formulação, seus autores foram muitas vezes considerados antiéticos e "monstros" matemáticos. Esses trabalhos foram acompanhados pelo provável principal ponto no desenvolvimento do conceito de dimensão fractal e adotados por meio do trabalho de Hausdorff no início de 1900. Este definiu o que passou a ser chamada de dimensão "fracionária" e é desfrutada na definição dos modernos fractais. CONCEITO DE DIMENSÃO O conceito de dimensão fractal se apoia em uma visão não convencional de escala e dimensão. Na figura abaixo são ilustradas as noções tradicionais de geometria. As formas da escala são previsíveis assim como as ideias intuitivas sobre o espaço que essas formas estão contidas.

Também podemos observar que nas duas curvas fractais descritas acima apresentam um tipo de autossimilaridade que é exata com uma unidade de repetição das irregularidades facilmente visualizada. Esse tipo de estrutura pode ser ampliada a outros espaços (por exemplo, um fractal que se estende a curva de Koch para o espaço 3D possui uma dimensão teórica por exemplo de D = 2,5849). No entanto, o fato de tal complexidade ser contável é apenas um exemplo da autossimilaridade e irregularidade que estão presentes em fractais. No exemplo da linha da costa da Grã-Bretanha, é

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Por exemplo, ao medir uma linha, aplicando primeiramente uma régua de medida 1 depois outra de 1/3 do seu tamanho, o resultado da segunda régua será um total de 3 vezes o número inicial. Isto é válido em duas dimensões também. Se medir a área de um quadrado e em seguida medir de uma caixa de lado com comprimento de 1/3 do tamanho da original, será encontrado um valor 9 vezes comparativamente com o número de quadrados que com a primeira medida. Tais relações de dimensionamento familiares podem ser definidas matematicamente pela regra de dimensionamento geral na equação abaixo, em que a variável N é o número de novos segmentos, 𝝐 o fator de escala e D a dimensão fractal: 𝑁 ∝ 𝜖 −𝐷 Esta regra de dimensionamento tipifica regras convencionais sobre a geometria e dimensão.Por exemplo, retas são quantificadas como N = 3, 𝝐 = 1/3, como no exemplo acima,logo D = 1. Já para quadrados, N = 9,𝝐 = 1/3, D = 2. A mesma regra se aplica à geometria fractal, porém menos intuitiva. Elaboramos uma curva fractal medida para um comprimento e quando redimensionamos a curva utilizando uma nova régua escalada para 1/3 da anterior, obtemos 4 vezes e não o esperado 3. Nesse caso, quando N = 4, 𝝐 = 1/3, e o valor de D pode ser encontrado por meio do rearranjo na equação: log ϵ 𝐷 = −𝐷 =

log 𝑁 log 𝜖

6 iterações do floco de neve de Koch Para um fractal descrito por N = 4,𝝐 = 1/3 e D = 1,2619. Uma dimensão não inteira sugere que o fractal tem uma

dimensão que não é igual ao espaço que reside. A escala usada nesse exemplo é a mesma escala da curva do floco de neve de Koch e a curva de Koch. A formulação de dimensão fractal descrita nesse paper é uma visão básica de uma estrutura complexa. Os exemplos aqui aludidos foram escolhidos para maior clareza da unidade de escala e proporções conhecidas. Na prática, as dimensões fractais podem ser determinadas utilizando técnicas de dimensionamento e aproximação das irregularidades nos limites estimados a partir de curvas de regressão nas plotagens de log x log emtamanho x escala. Existem múltiplas definições matemáticas formais de diferentes tipos de dimensão fractal. Exemplificamos aqui método de contagem de caixas, no qual D é estimado como o expoente de uma lei de potência: 𝐷0 = lim

𝐷→∞

log 𝑁(𝜖) log 1⁄𝜖

Embora, para alguns fractais clássicos todas estas dimensões coincidam, em geral, elas não são equivalentes, sendo utilizados métodos diferentes. CONCLUSÃO Numerosos fenômenos do mundo real evidenciam propriedades fractais e estão em dimensões fractais por ponderações feitas a partir de dados revelados, utilizando computação baseada em técnicas de análise fractal. Na prática, mensurações da dimensão fractal são afetadas por diversas imperfeições da metodologia e são extremamente sensíveis a"ruídos", limitações em cálculos numéricos e experimentais pela grande quantidade de dados. No entanto, o campo aflora rapidamente para estimativa sem fenômenos estatisticamente autossimilares e podem ter muitas aplicações práticas, englobando diagnóstico por imagem, fisiologia, neurociência, medicina, física, análise, acústica,processos eletroquímicosetc. Como alternativa para uma medição satisfatória,seria a conjectura de um modelo matemático que se assemelha a estrutura de um objeto fractal do mundo real. Em tal caso, a validação poderá ser feita por meio da confrontação a outras propriedades fractais implicadas no modelo. REFERÊNCIAS Falconer, Kenneth. Fractal Geometry. New York: Wiley, 2003. Gordon, Nigel. Introducing fractal geometry.Duxford: Icon, 2000. Mandelbrot, B. How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science 156 (3775): 636–638, 1967. Mandelbrot, Benoit. The fractal geometry of nature.New York: W.H. Freeman and Company, 1982. Mandelbrot, Benoit. Fractals and Chaos:The Mandelbrot Set and Beyond.Berlin: Springer, 2004. Savi, Marcelo Amorim. Dinâmica Não-Linear e Caos. Rio de Janeiro, 2006.

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