Dinâmica de crescimento de corpos esféricos e sua relação com a minimização da energia do universo.

Página 12 de 12


Essa velocidade tem origem no conceito de expansão escalar, uma melhor compreensão pode ser obtida em https://expansaoescalar.wordpress.com/ Parte I – Conceitos Básicos.
A velocidade vem do conceito de expansão escalar, uma melhor compreensão pode ser obtida em https://expansaoescalar.wordpress.com/ Parte I – Conceitos Básicos




DINÂMICA DE CRESCIMENTO DE CORPOS ESFÉRICOS E SUA RELAÇÃO COM A MINIMIZAÇÃO DA ENERGIA DO UNIVERSO.
BAUMGRATZ, Leonardo Lucas
SP/Piracicaba, 1º maio de 2015.
Resumo
A teoria da expansão escalar (BAUMGRATZ, 2003) defendeu a concepção de um universo onde todos os corpos estariam em crescimento constante, comprovando esse fato através de trabalhos sobre anomalias gravimétricas publicados por outros autores. O presente artigo analisa a energia cinética de crescimento dos corpos esféricos. O resultado obtido comprova que o adensamento dos corpos, e a sua união, têm como consequência a minimização da energia cinética de expansão. Pode-se inferir que a gravitação é um processo que favorece a minimização da energia de crescimento do universo.
Ressalta-se que, antes de ler esse artigo, o leitor deve ter conhecimento da cinemática da expansão escalar indicada nas referências.
Palavra-chave: Cosmologia; minimização da energia do universo; dinâmica de expansão; gravitação; criação contínua de matéria.
Introdução.
Desde as evidências apresentadas por Hubble (1929) admite-se que existe uma expansão do universo. É certo inferir que a expansão carrega e espalha energia através do universo. A teoria cosmológica do estado estacionário (BONDI; GOLD; HOYLE, 1948) propôs a criação contínua de matéria no universo. Segundo Guth (1981) o universo passou por uma fase de crescimento exponencial no início de sua criação. No sistema expansivo proposto por Baumgratz (2003) a expansão seria o resultado da criação de matéria onde já existe matéria, fazendo os corpos crescerem. Esse termo, "expansão escalar", justifica-se porque os corpos crescem mantendo entre si a mesma escala de proporção. Com base nos conceitos da dinâmica é possível verificar que o modelo de expansão escalar possui energia cinética, produzida pelo crescimento dos corpos, e provavelmente interfere no equilíbrio energético do sistema de corpos.
Esse trabalho demonstra que, para os conceitos de "expansão escalar", a energia cinética de um sistema de corpos depende da distribuição de suas massas. A energia de expansão de dois corpos, com massa M cada um, é maior do que a energia de um único corpo de massa 2M, tanto para a densidade constante como variável.
Material e métodos
Sabe-se que o nosso universo tende naturalmente ao aumento da entropia e a um mínimo de energia. Se for possível comprovar que dois corpos separados, de massa M cada um, possuem energia de expansão maior que a energia de um único corpo de massa 2M, a ação gravitacional poderá ser entendida como uma "tendência" de aproximação entre os corpos, com a finalidade de minimizar a energia gerada pela expansão. A gravitação seria a solução encontrada pelo universo para minimizar a energia dos seus sistemas em expansão escalar. Isso significa dizer que a força gravitacional não é simplesmente uma força. Ela é consequência da tendência do universo ao mínimo de energia. Em um sistema em expansão a ação gravitacional estaria favorecendo a minimização da energia do sistema.
Admite-se por premissa que:
"A força gravitacional é consequência da tendência natural à minimização da energia do sistema em expansão. A atração entre os corpos, e sua "aglomeração", é um processo que altera a distribuição de massas do sistema para favorecer o crescimento com um mínimo de energia de expansão".
É necessário comprovar matematicamente que a energia de expansão de dois corpos distintos é maior do que a energia de um único corpo de massa igual à soma da massa dos dois (mantida a densidade constante).
Os conceitos propostos pela "expansão escalar" estabeleceram que o crescimento dos corpos tem características de movimento, com aceleração e velocidade, implicando na existência de força (F), de energia cinética (Ec) e de trabalho (τ).
Para estudar a relevância da distribuição da massa sobre a minimização da Ec e do τ deve-se comparar o sistema inicial com o final. É bom lembrar que a diferença entre as energias cinéticas final e inicial de um movimento é o trabalho realizado. Admite-se o sistema inicial formado por dois corpos distintos e encostados, e o sistema final consiste de um único corpo resultante da união dos dois anteriores, sendo assim tem-se:
Para o sistema inicial deve-se: calcular a energia do crescimento e do empuxo entre os dois corpos distintos e encostados.
Para o sistema final deve-se: calcular a energia de um único corpo com massa igual à soma dos dois corpos anteriores. O raio será maior e a densidade permanece constante.
Essas situações representam a energia em dois casos diferentes; quando dois corpos distintos estão encostados (estado inicial), e após a união deles formando um único corpo esférico com a mesma densidade (estado final). Este estudo baseia-se na união ou aglomeração das massas de corpos massivos. Corpos que podem ser moldados em um único, como se fossem feitos de barro macio. É evidente que na realidade todos os corpos são feitos de várias partículas, que não são "macias", e a aglomeração resultaria em diferentes microestados de posicionamento. A quantidade de resultados possíveis dependeria do número de partículas, mas mesmo assim deve existir um microestado que satisfaça a minimização da energia.
Seguem abaixo os estudos dos dois casos, inicial e final, de expansão de corpos, e a comparação entre suas energias. Estão exemplificados nas Figuras 1 e 2.
Resultados e discussão.
Energia cinética da expansão de dois corpos encostados (posição inicial).
Admite-se que a posição inicial é composta de dois corpos esféricos e distintos, com massas e densidades iguais e raio ri, encostados conforme a Figura 1.

Figura 1- Duas esferas encostadas e em expansão produzirão um empuxo entre elas.
O empuxo de um corpo sobre o outro, produzido pela expansão, pode ser estudado com base na representação em um plano cartesiano conforme a Figura 1. Uma fatia desse corpo pode ser obtida por dois planos ortogonais ao eixo x. Se esses planos forem relativamente próximos formarão um cilindro, onde f(x) será o raio da base do cilindro, e sua área será {4.π. [f(x)]2}. Considerando que Δx é a altura do cilindro circular reto, circunscrito à esfera no ponto x, pode-se obter seu volume multiplicando a área pela altura. Quanto menor for Δx mais próximo o volume do cilindro estará do volume da seção da esfera.
Admitindo que o ponto de contato entre os dois corpos esféricos está nas coordenadas (0;0;0), e que o corpo tem n fatias de espessura Δx pode-se obter a massa aproximada de cada fatia pela a eq. (1).

eq. (1)
O raio dessa seção é f(x), sendo dado na eq. (2). Ela é válida para o intervalo de 0 até 2ri e foi obtida da relação do triângulo retângulo.

eq. (2)
Com base nos conceitos de expansão escalar obtém-se a velocidade de cada fatia como sendo aproximadamente,

eq. (3)
Como a massa é dada pela eq. (1), e a velocidade pela eq. (3), a energia cinética de cada fatia será aproximadamente,

eq. (4)
A energia cinética total das esferas pode ser conhecida fazendo Δx tender a 0 e calculando sua integral de 0 até 2ri. O resultado é multiplicado por dois pois são dois corpos. A integral é dada pela eq. (5).

eq. (5)
A eq. (6) é a solução da eq. (5). Ela representa a energia cinética da expansão e do empuxo quando se tem dois corpos encostados.

eq. (6)

Energia cinética de expansão de uma esfera de massa 2M (posição final).

Admite-se que a posição final consiste em um único corpo com massa equivalente à dos dois corpos anteriores conforme a Figura 2. Como a massa da esfera final é igual ao dobro da esfera inicial, pode-se obter a relação entre seus raios dada na eq. (7).

Figura 2- Uma esfera com massa igual à soma das duas esferas anteriores e mesma densidade.


eq.(7)
Dessa forma é possível escrever as próximas equações em função do raio da esfera inicial. Uma superfície esférica de espessura Δr, com densidade d constante e raio rf terá, aproximadamente, sua massa m dada por


eq. (8)
Essa massa tem sua velocidade dada pela primeira derivada da equação de expansão dessa superfície, sendo


eq. (9)
Sabe-se, com base na dinâmica, que a energia cinética é a metade da massa multiplicada pela velocidade ao quadrado. Como massa é a eq. (8) e a velocidade é a eq. (9) a energia cinética da superfície esférica será aproximadamente

eq. (10)
A energia cinética exata, de toda a esfera, será a integral de 0 até r quando Δr tende a 0, dada na eq. (11).

eq. (11)
Calculando a integral e substituindo a relação entre os raios dada na eq. (7) obtém-se a eq. (12).

eq. (12)
A diferença entre a energia cinética da posição final e a inicial é dada pela eq. (13). Os conceitos básicos da dinâmica permitem dizer que essa diferença é também o trabalho "τ" realizado entre as duas posições.

eq. (13)
Verifica-se que esse trabalho é negativo, significando que a energia cinética final é menor que a energia cinética inicial. Conclui-se que a energia cinética causada pela expansão diminui quando dois corpos distintos são unidos formando um único corpo de massa maior e de mesma densidade. Quando se trabalha com a expansão é preciso considerar que a distribuição de massas do sistema de corpos interfere na energia cinética total do sistema. Em um sistema estático e sem expansão não existe essa dinâmica. A união de corpos esféricos em um único corpo diminui a energia do novo sistema formado. Da relação Ei / Ef verifica-se que a energia final é 79% da energia inicial, portanto a união é uma condição que favorece a minimização da energia do sistema em expansão.
Sabe-se que ao dividir trabalho pelo deslocamento realizado obtém-se a força relacionada. Ao dividir a eq. (13) por um deslocamento "s" encontra-se a força relacionada à minimização da energia.

eq. (14)
A Figura 1 mostra que os corpos estão encostados e não existe espaço entre eles para o deslocamento de um em direção ao outro, portanto pode-se inferir que a eq. (14) não mostra um espaço de deslocamento linear no sentido estrito. Seria melhor considerar que a ela expressa a força mínima que o sistema poderia utilizar para alterar a distribuição de massas com a finalidade de diminuir a energia de expansão. Semelhantemente pode-se considerar que a eq. (13) expressa a energia que o sistema economizaria com a união dos corpos, por essa razão seu valor é negativo.
Pela definição de Newton, dois corpos esféricos de mesma massa e densidade apresentam uma força de atração entre eles. Se colocados encostado terão a distância entre seus centros igual a (2.ri)2 e a força de Newton será dada pela eq. (15).

eq. (15)
Igualando a eq. (14) e eq. (15) encontra-se que

eq. (16)
A equação acima permite calcular o deslocamento s para qualquer substância, basta isolar s. Abaixo está a Tabela 1 com os valores da força de Newton, a economia de energia, de trabalho e de força, e o deslocamento s para 1 kg. de substâncias de diferentes densidades. O valor obtido para s é negativo porque o trabalho é negativo e representa a energia que o sistema ganhará, ou economizará, se passar do sistema inicial para o final. Verifica-se também que o módulo de s não é igual a (2.ri)2.


Tabela 1 - Cálculo do deslocamento equivalente "s" para corpos com 1 kg de massa.
Substância
Raio inicial
Densidade
Força Newton FN
Trabalho expansão (economia)
Deslocamento s
Força expansão (economia) Fξ
 
(m)
(kg/m³)

(τ)
(m)
(τ/s)
Lítio
0,0767
530
2,84E-09
-7,64E-11
-2,69E-02
2,84E-09
Silício
0,0468
2330
7,62E-09
-2,85E-11
-3,74E-03
7,62E-09
Ferro
0,0312
7874
1,72E-08
-1,26E-11
-7,37E-04
1,72E-08
Chumbo
0,0276
11340
2,19E-08
-9,91E-12
-4,53E-04
2,19E-08
Ouro
0,0231
19300
3,12E-08
-6,95E-12
-2,23E-04
3,12E-08
Platina
0,0225
21090
3,31E-08
-6,56E-12
-1,98E-04
3,31E-08
A eq. (14) assemelha-se a uma questão comum na área das ciências econômicas que é o custo marginal. Se um empresário descobre que trabalha com dois custos de produção diferentes, ele vai querer saber quanto pode economizar e, principalmente, quanto pode investir para mudar seu sistema de produção do mais dispendioso para o mais econômico.
A solução encontrada não comprova de forma efetiva a premissa inicial, mas serve para demonstrar que a união dos corpos favorece a minimização da energia de expansão do universo. É verdade que a força de expansão (Fξ) e a força newtoniana gravitacional (FN) têm significados diferentes na sua essência. Ao igualá-las, não existe a intenção de dizer que são a mesma coisa. O objetivo é encontrar alguma equivalência entre suas intensidades de força, que justificaria uma relação entre esses fenômenos e convalidasse a premissa inicial.
O resultado obtido não foi o ideal, entretanto não é discrepante e não contradiz, de maneira contundente, o conceito de expansão. É um resultado promissor, haja vista que se trabalhou com corpos grandes, usando conceitos da mecânica clássica.
Poder-se-ia contra argumentar que a compatibilização encontrada entre a energia de expansão e a força de Newton, mostrada na eq. (16), é consequência da forma como foi obtida a constante de expansão. No trabalho de Baumgratz (2003) a constante de expansão foi calculada com base em trabalhos de outros autores sobre anomalias gravitacionais. Entretanto esse argumento não tem sustentabilidade porque a aceleração de expansão encontrada representou somente 3% da aceleração gravitacional.
Quando se trabalha com a física clássica (como foi feito) é possível estimar corpos perfeitamente esféricos; densidade homogênea (ou com variação conhecida); limite definido de superfície dos corpos e a possibilidade de encostá-los um ao outro. Essas condições permitem soluções matematicamente integráveis e exatas. Com partículas elementares é muito diferente; não se pode falar claramente em um formato esférico; raio preciso; densidade constante; e muito menos "encostar" as superfícies de duas partículas. As equações da mecânica clássica utilizadas com a expansão do nosso universo visível revelam-se extremamente limitadas para o mundo subatômico. Gravitação e expansão devem ter origem no microcosmo. São fenômenos que devem ser estudados com partículas, no âmbito da física quântica. Muito importante, também, é considerar a minimização da energia desse sistema de corpos em expansão. Estudar a entropia desse sistema deve levar em consideração que a produção de trabalho de expansão não sofre restrição espacial.
As equações desenvolvidas até aqui admitiram a densidade constante, portanto uma variação de massa implica na variação do raio. Dessa forma foi necessário adotar para a massa um valor aleatório, que foi de 1 kg, e fixar o valor da densidade, somente assim foi possível calcular o raio correspondente. Essas equações permitiram estudar a energia de substâncias com diferentes densidades conforme a Tabela 1 acima. Nela pode-se ver na segunda coluna os raios para uma massa constante de 1 kg.
Pode-se chegar a mesma conclusão sobre a tendência à minimização considerando a densidade variável e a massa constate. Para isso deve-se proceder da seguinte forma: isolar a densidade na equação da massa de uma esfera de raio r conforme eq. (17).

eq. (17)
Considerando um corpo de raio r e massa M, e as condições de massa e velocidade dadas pelas eq. (8) e (9), pode-se calcular a energia cinética pela integral abaixo.

eq. (18)
Depois de calculada a integral, substituir a eq. (17) na densidade. A energia cinética para uma densidade variável está na eq. (19). Nessa equação a diminuição do raio implica no aumento da densidade.

eq. (19)
A eq. (19) mostra que para uma massa determinada quando o raio decresce a energia cinética também irá decrescer. Essa equação enfatiza a concepção da minimização da energia cinética, mesmo existindo o aumento da densidade. Talvez não houvesse necessidade de fazer todos os cálculos anteriores sobre posição inicial e final, pois a equação acima deixa muito claro que a energia será menor se o raio diminuir, ou em outras palavras: quanto mais compacto for o corpo, menor a energia cinética de expansão. Da eq. (19) infere-se que a existência de uma força de atração gravitacional favorece a minimização da energia do sistema. Deve-se considerar que expansão e gravitação estão de alguma forma relacionadas.
Conclusões
O resultado obtido apresentou argumentos que permitem chegar as seguintes conclusões:
Existe uma minimização da energia cinética de expansão quando dois corpos esféricos e distintos são unidos passando a formar um único corpo esférico com a mesma densidade dos anteriores.
Existe uma minimização da energia cinética de expansão quando o raio de um corpo esférico diminui tornando-o mais denso.
Não contradisse, de forma categórica, o conceito de expansão proposto porque os resultados obtidos não são absurdamente discrepantes. Foi possível compatibilizar a energia de expansão com a intensidade da força gravitacional.
Em função das conclusões pode-se inferir que a gravitação favorece a minimização da energia do sistema em expansão escalar e corrobora com a premissa inicial de que:
"A força gravitacional é consequência da tendência natural à minimização da energia do sistema em expansão. A atração entre os corpos, e sua "aglomeração", é um processo que altera a distribuição de massas do sistema para favorecer o crescimento com um mínimo de energia de expansão".
REFERÊNCIAS
BAUMGRATZ, L.L. Os Padrões em um universo surrealista: Uma introdução à teoria da expansão. Piracicaba SP: Editora De Gaspari, 2003. 162
BAUMGRATZ, L.L. Expansão escalar - O universo em inflação. 2013. Disponível em: https://independent.academia.edu/LeonardoBaumgratz/ Acesso em: fevereiro 2015. Acesso em: 7 outubro 2013.
BAUMGRATZ, L.L. Scalar expansion - The universe in inflation. 2013. Available in: Acesso em: 26 abril 2015.
BONDI, Hermann e GOLD, Thomas. The Steady-State Theory of the Expanding Universe. Royal Astronomical Society v.198, p. 252–270, 1948. Provided by the NASA Astrophysics Data System. Disponível em:
GUTH, A. H. O Universo Inflacionário: um relato irresistível de uma das maiores ideias cosmológicas do século. Tradução de Ricardo Inojosa. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1997. 294 p.
HUBBLE, E. A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae. Astronomy, v. 15 nº 3 p. 168-173, Jan. 1929.