XXVII CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA LIMA, PERÚ, SEPTIEMBRE 2016
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DISEÑO DE REDES DE AGUA USANDO MEDIAS Dr.-Ing. Over Díaz-Onofre Consultor en Hidráulica y Recursos Hidricos, Consulting Engineers Salzgitter, Braunschweig, Alemanía
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Introducción Las redes de agua se calculan resolviendo un sistema de ecuaciones que a su vez está compuesto por 2 tipos de ecuaciones: 1) ecuaciones de continuidad y 2) ecuaciones de energía. Las ecuaciones de continuidad son del tipo lineal (variables con exponente 1) y las ecuaciones de energía son del tipo no lineal (variables con exponentes mayores a 1). Como el sistema de ecuaciones involucra ecuaciones de tipo no lineal normalmente se califica al sistema de ecuaciones como no lineal también. Un ejemplo típico de un sistema de ecuaciones para resolver una red hidráulica, como la que se muestra en la figura 1, es el siguiente: 1) Q – q1 – q4 = 0 2) q1 – A – q2 – q5 = 0 3) q5 - B – q6 = 0 4) q6 – C + q7 = 0 5) q2 – D + q3 – q7= 0 6) k1.q12 +k2.q22 – k4.q42 – k3.q32= 0 7) k5.q52 +k6.q62 – k2.q22 – k7.q72= 0 En el sistema mostrado aquí arriba las ecuaciones 1) al 5) son las ecuaciones de continuidad en los nodos y son del tipo lineal. Las ecuaciones 6) y 7) son las ecuaciones de energía en los circuitos y son del tipo no lineal y a la vez cuadráticas debido a usar como ecuación de pérdida de energía a la ley de Darcy. En el sistema de ecuaciones y en el grafico mostrado, k1 a k7 son coeficientes de resistencia hidráulica, q1 a q7 son los caudales en los tramos de la red, A a D son las demandas y Q es el caudal de entrada a la red de agua.
Fig. 1 Red de agua de 2 circuitos
Para resolver un sistema de ecuaciones de tipo no lineal, como el mostrado en el ejemplo típico de aquí arriba, desde el punto de vista matemático se hace uso normalmente de métodos numéricos para, primeramente, linearizar las ecuaciones no lineales. Una vez linearizada las ecuaciones no lineales del sistema de ecuaciones, este sistema se transforma en un sistema puro de ecuaciones lineales, las cuales pueden resolverse fácilmente utilizando por ejemplo el método de la matriz inversa. En el ámbito dela ingeniería hidráulica algunos investigadores han hecho también uso de algunos métodos numéricos para linearizar la ecuación de energía y de esa manera poder resolver el sistema de ecuaciones no lineales mencionado (ver tabla 1). Como se puede apreciar de la tabla 1, todos los métodos de cálculo de redes de agua tienen en común la linearizacion de las ecuaciones de energía de una red de agua. Al igual como con los investigadores mencionados en la tabla 1, en este trabajo se plantea también la linearización de las ecuaciones de energía de la red de agua pero en este caso utilizando la teoría de desigualdades, en concreto, la media aritmética, la media cuadrática y la media geométrica.
Objetivos El presente trabajo tiene por objetivo principal la presentación de un nuevo método para el cálculo de redes de agua. El nuevo método está basado aquí en la linearización de la ecuación de energía por medio de la aplicación de conocidas relaciones de desigualdad como son: la media aritmética, la media cuadrática y la media geométrica. Después de la presentación del nuevo método se hace una comparación con los métodos más conocidos para el cálculo de redes para así poder evaluar la rapidez del
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método presentado.
No. 1
Tabla 1 Métodos para el cálculo de redes de agua Publicación Características
Método Hardy Cross
Cross, H., (1936). “Analysis of Flow in Networks of Conduits or Conductors”. University of Illinois, Bulletin No. 286, 34, 1–29.
Utiliza la serie de aproximación de Taylor para calcular el error promedio de caudal de cada tramo de un circuito, el cálculo se realiza linearizando la ecuación de energía de un circuito. El cálculo no requiere la solución del sistema de ecuaciones de continuidad y energía. Utiliza el método numérico de Newton en todas las ec. de continuidad y energía Sistema de ecuaciones lineales, en función de los errores de caudal de cada tramo, es resuelto matricialmente.
2
3
4
Newton
Teoría Lineal
Gradiente
Martin, D. W. and Peters, G.,(1963). “The application of Newton method to network analysis by digital computer”, Institution of Water Engineers Journal, Volume 17, 1963, pp. 115-129. Wood, D. J. and Charles, C. O. A., (1972). “Hydraulic Network Analysis Using Linear Theory”. Journal of the Hydraulics Division, Vol. 98, No. 7, July 1972, pp. 1157-1170. Todini, E., Pilati, S., (1987) "A Gradient Method for the Analysis of Pipe Networks,"International Conference on Computer Applications for Water Supply and Distribution 1987, Leicester Polytechnic, U.K., 8-10 September, 1987.
Linearización de ec. de energía usando k.q2i+1=k.qi.qi+1 Nueva iteración con qi+1=(qi+qi+1)/2 a partir de la segunda iteración para evitar oscilaciones. Sistema de ecuaciones lineales son resueltas matricialmente.
Utiliza optimización, el método de Newton y el algoritmo del Gradiente conjugado modificado para linearizar las ecuaciones no lineales Sistema de ecuaciones en función de la altura de presión en los nodos y los caudales de los tramos Sistema de ecuaciones lineales son resueltas matricialmente Usado por EPANET (ver Rossman (2000)).
Método propuesto Como se ha mencionado aquí arriba, para resolver el sistema de ecuaciones no lineales de la red de agua se necesita primero linearizar las ecuaciones de energía para transformar el sistema de ecuaciónes no lineales en uno lineal. En lo que sigue se pretende linearizar la ecuación de energía de un circuito de una red de agua. Media aritmética (AM, Arithmetic Mean) La media aritmética se puede utilizar como un algoritmo de aproximación de la siguiente manera: Si se tuviera una ecuación objetivo Eo, tal como Eo = 0 y además una ecuación aproximada de la ecuación objetivo tal como Ea = M, donde M es un valor conocido, luego la ecuación Em más próxima a la ecuación objetivo Eo podría estar dada por la media aritmética de Eo y Ea: (1) Media cuadrática y media geométrica (QM, quadratic mean; GM, arithmetic mean) Por la teoría de desigualdades se conoce que: (2) Dónde QM, AM y GM son las conocidas siglas en ingles que significan: quadratic mean (media cuadrática), arithmetic mean (media aritmética) y geometric mean (media geométrica). Aquí podríamos usar solo la relación: (3) Si se tuvieran 2 valores de una variable tales como q1 y q2 luego reemplazando estos valores en la relacion anterior se obtendría: (
[ ] Aquí por simplicidad se podría utilizar mejor la siguiente relación: [
]
(
)
)
(4)
(5)
La igualdad de la anterior expresión se cumple solo cuando los valores q1 y q2 son muy próximos, o sea cuando: (6) Suponiendo luego que q1 es casi igual que q2 entonces la siguiente igualdad sería válida:
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[
]
(
)
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(7)
Esta relación será usada más adelante. Linearización de la ecuación de energía Supongamos que se tiene la siguiente ecuación de energía de un circuito de una red hidráulica: (8) En donde k1, k2 y k3 son coeficientes de resistencia hidráulica y q1, q2 y q3 son los caudales en los tramos de un circuito. Luego si le diéramos los valores iniciales qo1, qo2 y qo3 a las variables q1, q2 y q3 respectivamente, la ecuación (8) no sería 0 y otorgaría algún valor. Para fines de deducir una ecuación linearizada de la ecuación (8) pondremos esta ecuación con los valores iniciales de esta forma: (9) Si sacamos ahora la media aritmética de las ecuaciones (8) y (9) y después reordenamos y simplificamos obtendríamos esta nueva ecuación: [
]
[
]
[
]
(10)
Los valores entre corchetes al lado izquierdo de la ecuación (10) representan medias cuadráticas que pueden ser transformadas en medias geométricas por medio de la relación (7). La ecuación (10) podría obtener finalmente la siguiente forma: (11) La última relación es la ecuación linearizada aproximada de la ecuación de energía (ver también Díaz-Onofre (2014)). En la ecuación linearizada (11) qo1, qo2 y qo3 son valores iniciales de iteración y q1, q2 y q3 son los valores iterados. Para seudo-circuitos es también válida la siguiente ecuación linearizada de un circuito: (12) En donde H es un valor constante de la ecuación de energía de un seudo-circuito.
Resultados y discusión Para probar la bondad del método propuesto se ha resuelto 2 ejemplos de redes de agua. El primer ejemplo es la red mostrada en la figura 1 y el segundo ejemplo es una variación del ejemplo 1 conteniendo este un seudo-circuito (ver figura 2). El sistema de ecuaciones del primer ejemplo se puede transformar en un sistema de ecuaciones lineales por medio de la relación (11). El nuevo sistema de ecuaciones, con las ecuaciones de energía linearizadas sería el siguiente: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Q – q1 – q4 = 0 q1 – A – q2 – q5 = 0 q5 - B – q6 = 0 q6 – C + q7 = 0 q2 – D + q3 – q7= 0 k1.qo1.q1 +k2.qo2.q2 – k4.qo4.q4 – k3.qo3.q3= (k1.qo12 +k2.qo22 – k4.qo42 – k3.qo32)/2 k5.qo5.q5 +k6.qo6.q6 – k2.qo2.q2 – k7.qo7.q7= (k5.qo52 +k6.qo62 – k2.qo22 – k7.qo72)/2
Los valores de los coeficientes y caudales en este sistema de ecuaciones son: k1=k7=2s²/m5; k2=k6=3s²/m5; k3=k5=5s²/m5; k4=7s²/m5 y Q=1m3/s; A=C=0.3m3/s; B=0.2m3/s; D=E=0.1 m3/s. qo1 al qo7 son valores de iteración. q1 al q7 son las incógnitas a hallar. Usando el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones y permitiendo además un error de aproximación de 10-6, el método propuesto ha resuelto la red del ejemplo 1 en 6 iteraciones (ver tabla 2). Es interesante notar en este ejemplo que la aproximación de los caudales es casi la misma ya a partir de la 3ra iteración, mejor dicho, el método produce una rápida velocidad de convergencia. Es también interesante notar que este método no produce oscilaciones y además establece una convergencia notoria de los valores iterados. El segundo ejemplo resuelto contiene un seudo-circuito (ver figura 2). En este ejemplo los valores de los coeficientes y caudales han sido los siguientes: k1=k5=40s²/m5; k2=k6=20s²/m5; k3=10s²/m5;k4=30s²/m5; k5=40s²/m5; k7=50s²/m5 y A=0.4m3/s; B=0.2m3/s; C=0.1m3/s; E=0.3m3/s. Las presiones P1 y P5 son como los mostrados en la figura 2 y son 100 y 95 metros de columna de agua. Este segundo ejemplo fue tomado de Bhave y Gupta (2006).
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Procediendo como en el ejemplo 1 se obtuvo un sistema de ecuaciones lineales usando en este caso la relación (12). La letra H de la relación (12) llega a ser en este ejemplo P1-P5. En este segundo ejemplo, además de resolver la red de agua se hizo también el cálculo de la misma red por medio de los métodos mencionados en la tabla 1. La idea, al calcular la red con otros métodos, era el de poder comparar los resultados de los otros métodos con el nuevo método propuesto aquí. Cuatro son los métodos a comparar y estos son el de Cross, Lineal, Newton y Gradiente (ver tabla 1). Asumiendo como en el ejemplo 1 un error de aproximación de 10-6, los resultados alcanzados, por el método propuesto y el de los otros investigadores, se pueden ver en la tabla 3. Los resultados mostrados en la tabla 3 muestran en primer lugar que los métodos de Newton, Gradiente y el método propuesto, llamado aquí el “método de la media” otorgan el mismo resultado y el mismo número de iteraciones. El método lineal presenta casi el doble del número de iteraciones que los métodos de Newton, Gradiente y Media. El método de Cross es demasiado lento consiguiendo llegar a la solución solo después de 49 iteraciones. Es interesante notar de este ejemplo que mientras que los métodos Lineal, Newton, Gradiente y Media llegan al mismo resultado, el método de Cross llega a un resultado casi diferente en la mayoría de los caudales. La tabla 3 muestra valores de partida que son iguales a 1 en todos los métodos salvo en el caso del método de Cross el cual necesita valores iniciales que resuelvan primero las ecuaciones de continuidad en los nodos de la red de agua, de ahí la diferencia en los valores de partida. Tabla 2 Resultados del ejemplo 1 Número de iteración Caudal
Valor de partida
1
2
3
4
5
6
0.676165 0.172892 0.223835
0.675665 0.158685 0.224335
0.675595 0.158750 0.224405
0.675595 0.158750 0.224405
0.675595 0.158750 0.224405
0.323835 0.203273 0.003273 0.296727
0.324335 0.216980 0.016980 0.283020
0.324405 0.216845 0.016845 0.283155
0.324405 0.216844 0.016844 0.283156
0.324405 0.216844 0.016844 0.283156
q 1 [m3/s] q 2 [m3/s]
1 1
q 3 [m3/s]
1
0.576887 -0.025472 0.323113
q 4 [m3/s] q 5 [m3/s] q 6 [m3/s] q 7 [m3/s]
1 1 1 1
0.423113 0.302358 0.102358 0.197642
Método
Tabla 3 Resultados del ejemplo 2 y comparación con otros métodos Cross Lineal Newton Gradiente
Iteraciones
Valor inicial
Resultados
qo1 [m3/s] qo2 [m3/s] qo3 [m3/s] qo4 [m3/s] qo5 [m3/s] qo6 [m3/s] qo7 [m3/s] q1 [m3/s] q2 [m3/s] q3 [m3/s] q4 [m3/s] q5 [m3/s] q6 [m3/s] q7 [m3/s]
49 -1 0 -0.7 -0.2 0 -0.5 -0.4 -0.352575 0.496559 -0.052575 0.047812 -0.047812 0.248747 -0.251252
11 1 1 1 1 1 1 1 0.352575 0.505500 0.052575 -0.060717 0.244783 0.255217 0.155217
6 1 1 1 1 1 1 1 0.352575 0.505500 0.052575 -0.060717 0.244783 0.255217 0.155217
Fig. 2 Red de agua de 2 circuitos con seudo-circuito
6 1 1 1 1 1 1 1 0.352575 0.505500 0.052575 -0.060717 0.244783 0.255217 0.155217
Media 6 1 1 1 1 1 1 1 0.352575 0.505500 0.052575 -0.060717 0.244783 0.255217 0.155217
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Conclusiones El método presentado, denominado aquí como el método de la media, otorga resultados comparables al método de Newton y el del Gradiente. Los métodos de Newton y especialmente el del Gradiente son considerados hoy en día los mejores métodos para el cálculo de redes de agua. El método presentado aquí es también igual de rápido que los métodos mencionados pero con la gran diferencia que es sencillo de aplicar y no necesita de cálculos diferenciales como es el caso de los métodos de Newton y del Gradiente. La deducción del método es también sumamente sencilla y solo se necesita métodos algebraicos a diferencia de los otros métodos mencionados que solo pueden ser deducibles por medio de matemáticas más complejas.
Referencias Bibliográficas Bhave, P.R. and Gupta, R., (2006). “Analysis of Water Distribution Networks”. Alpha Science International. Cross, H., (1936). “Analysis of Flow in Networks of Conduits or Conductors”. University of Illinois, Bulletin No. 286, 34, 1–29. Díaz-Onofre, Over (2014). “Análisis de redes de agua usando el método de la Media”, II Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica de Fluidos, Lima, Perú. Martin, D. W. and Peters, G.,(1963). “The application of Newton method to network analysis by digital computer”, Institution of Water Engineers Journal, Volume 17, 1963, pp. 115-129. Rossman, L. A., (2000). Epanet 2, User’s manual. EPA, Environmental Protection Agency, September 2000. Todini, E., Pilati, S., (1987). "A Gradient Method for the Analysis of Pipe Networks,"International Conference on Computer Applications for Water Supply and Distribution 1987, Leicester Polytechnic, U.K., 8-10 September, 1987. Wood, D. J. and Charles, C. O. A., (1972). “Hydraulic Network Analysis Using Linear Theory”. Journal of the Hydraulics Division, Vol. 98, No. 7, July 1972, pp. 1157-1170.
