Dissertação de Mestrado: \"Efeitos de Polarização nas Pinças Óticas\"

Efeitos de Polariza¸c˜ao nas Pin¸cas ´ Oticas Rafael de Sousa Dutra Orientador: Dr. Paulo Am´erico Maia Neto Co-orientador: Dr. Nathan Bessa Viana

´ Efeitos de Polariza¸ca˜o nas Pin¸cas Oticas

Rafael de Sousa Dutra

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸ca˜o em F´ısica, Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸ca˜o do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica).

Orientador: Paulo Am´erico Maia Neto Co-orientador: Nathan Bessa Viana

Rio de Janeiro Mar¸co de 2007

i

Dutra, Rafael de Sousa. ´ D978 Efeitos de Polariza¸ca˜o nas Pin¸cas Oticas/ Rafael de Sousa Dutra.-Rio de Janeiro: UFRJ/IF, 2007. xi, 152f.: il. ; 29,7cm. Orientador: Paulo Am´erico Maia Neto Co-orientador: Nathan Bessa Viana Disserta¸c˜ao (mestrado) - UFRJ/ Instituto de F´ısica/ Programa de p´os-gradua¸ca˜o em F´ısica , 2007. Referˆencias Bibliogr´aficas: f. 146-152. ´ 1. Pin¸cas Opticas. 2. Espalhamento Mie. 3. Press˜ao de Radia¸ca˜o. 4. Constante El´astica Transversa. 5. Aberra¸ca˜o Esf´erica. 6. Ressonˆancias de Mie I. Neto, Paulo Am´erico Maia. II. Viana, Nathan Bessa. III. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de F´ısica, Programa de p´os-gradua¸ca˜o em F´ısica. IV. T´ıtulo.

ii

Resumo

´ Efeitos de Polariza¸c˜ao nas Pin¸cas Oticas

Rafael de Sousa Dutra. Orientador: Paulo Am´erico Maia Neto. Co-orientador: Nathan Bessa Viana.

Resumo da Disserta¸c˜ ao de Mestrado submetida ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em F´ısica, Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´ arios ` a obten¸ca ˜o do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica).

Neste trabalho estudamos a influˆencia da polariza¸ca˜o do feixe incidente na entrada da objetiva nas for¸cas de armadilhamento em uma pin¸ca ´optica. Para tal fim, partimos da representa¸ca˜o integral do tipo Debye para o feixe focalizado por uma lente de grande abertura num´erica, onde derivamos uma representa¸ca˜o expl´ıcita em ondas parciais para a for¸ca ´optica exercida sobre uma esfera diel´etrica de raio a, posi¸ca˜o e ´ındice de refra¸c˜ao arbitr´arios, levando em conta o efeito da aberra¸ca˜o esf´erica produzida pela interface entre o vidro e o meio em que hospeda as microesferas. Com o objetivo de verificar a validade do modelo, tomamos o limite de grandes comprimentos de onda λ desta expans˜ao em multipolos, onde reobtemos um resultado j´a conhecido na literatura. Tamb´em demonstramos que o aumento da for¸ca ´optica na dire¸ca˜o perpendicular `a polariza¸ca˜o, no limite de esferas pequenas (Limite Rayleigh), ´e uma conseq¨ uˆencia do achatamento da regi˜ao focal nesta dire¸ca˜o. Resultados num´ericos confrontando os modelos de ondas parciais e de ´optica geom´etrica, no limite de pequenos comprimentos de onda, s˜ao obtidos na ausˆencia e na presen¸ca das ressonˆancias de Mie, onde demostramos a inerˆencia deste fenˆomeno ao modelo ondulat´orio de ondas parciais. Al´em disso, demonstramos que

iii as ressonˆancias de Mie funcionam como um mecanismo de aumento da assimetria do potencial ´optico na regi˜ao exterior `a esfera, ρ/a > 1. E por fim confrontamos o modelo te´orico com resultados experimentais, onde apesar do acordo entre ambos no limite de esferas grandes, temos encontrado uma certa discrepˆancia no limite intermedi´ario, λ ∼ a, em que as aberra¸co˜es produzidas pela lente do microsc´opio, n˜ao inclu´ıdas no modelo, podem ser importantes.

´ Palavras-chave: Pin¸cas Opticas, Espalhamento Mie, Press˜ao de Radia¸ca˜o, Constante El´astica Transversa, Aberra¸ca˜o Esf´erica, Ressonˆancias de Mie.

Rio de Janeiro Mar¸co de 2007

iv

Abstract

Polarization Effects in Optical Tweezers

Rafael de Sousa Dutra. Orientador: Paulo Am´erico Maia Neto. Co-orientador: Nathan Bessa Viana.

Abstract da Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em F´ısica, Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´ arios ` a obten¸ca ˜o do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica)

In this work we investigate the influence of polarization of the incident beam in the objective entrance, on the trapping forces of an optical tweezers. We start from a Debye-type integral representation for the laser beam focused trough a high numerical aperture objective and derive an explicit representation partial-wave for the optical force exerted on a dielectric sphere of arbitrary radius a, position and refractive index, taking into account the spherical aberration effect produced by the interface between the glass and the medium containing the microspheres. To verify the model validity, we consider the limit of large wavelengths λ (or small spheres radius) and compare with results already known in the literature. In this limit the optical force is larger along the perpendicular to beam polarization direction, since the laser spot in the focal plane is elongated along the polarization direction. Numerical results comparing partial waves and geometric optics models, in the small wave limit, are obtained in the absence and in the presence of Mie resonances. The Mie resonances enhance the asymmetry of the optical potential at distances from the focal point slightly larger then the sphere radius. Theoretical and experimental

v results agree in the GO limit, but a significant discrepancy is found in the intermediate range, λ ∼ a, where the aberrations produced by the microscope objective, not included in the model, may be important.

Key-words: Optical Tweezers, Mie Scattering, Radiation Pressure, Trapping Stiffness, Spherical Aberration, Mie Resonances.

Rio de Janeiro Mar¸co de 2007

vi

Aos meus pais, Manoel Fernandes Dutra e Raimunda de Sousa Dutra.

vii

Agradecimentos Em primeiro lugar gostaria de agradecer a Deus, por ter me dado a oportunidade de desenvolver este trabalho e aos meus pais que sempre lutaram para me oferecer a melhor forma¸ca˜o poss´ıvel, e por me apoiaram nos meus estudos em f´ısica. Eu sempre serei grato, meus pais! Gostaria de agradecer ao meu orientador Dr. Paulo Am´erico Maia Neto, pela paciˆencia, competˆencia e aten¸ca˜o com que conduziu a orienta¸ca˜o deste trabalho, sempre se disponibilizando para sanar as minhas d´ uvidas em f´ısica. Muito obrigado, Paulo! Ao meu co-orientador professor Dr. ´ Nathan Bessa Viana pelo treinamento oferecido no Laborat´orio de Pin¸cas Opticas, que foi de fundamental importˆancia para o enriquecimento deste trabalho. Ao Dr. Alexander Mazolli Lisboa por disponibilizar os seus programas par que pudessem ` infraestrutura oferecida pelo grupo de ser adaptados para os fins deste trabalho. A ´ Optica Quˆantica, que disponibilizou recursos computacionais, para que a pesquisa pudesse ser realizada no prazo. A todos os professores que ministraram os cursos em que cursei, tanto na P´os-Gradua¸c˜ao do IF-UFRJ quanto na gradua¸ca˜o do departamento de f´ısica da UFRRJ, que foram de fundamental importˆancia para a minha forma¸ca˜o, fazendo com que eu pudesse me interessar e compreender um pouco desse mundo t˜ao vasto e fascinante que ´e a F´ısica. Ao professor Dr. Luiz Carlos Sampaio Lima do grupo de magnetismo do CBPF que me iniciou na pesquisa, na minha inicia¸ca˜o cient´ıfica. Aos meus colegas de sala: Gustavo(Guga), Juracy(Jujubete) e Alan(Peruano), pelo clima descontra´ıdo e pelas piadas nos momentos de distra¸c˜ao, e ao trio da secretaria: Cas´e, Cristina e Felipe, que sempre se mostraram sol´ıcitos nos momentos em que precisei. Em especial gostaria de agradecer a minha namorada Christiane por todo apoio, carinho e afeto oferecidos ao longo desta empreitada. Valeu Chris! E por fim gostaria de agradecer ao suporte financeiro oferecido pela Capes, Cnpq, Faperj e Cederj, atrav´es das bolsas disponibilizadas.

Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao

1

1.1 Antecedentes Hist´oricos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

´ 1.2 A Origem da For¸ca Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Objetivo do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

´ 2 A For¸ ca Optica

10

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Caracteriza¸ca˜o do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Equa¸ca˜o de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Potenciais de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1

Onda Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2

Rota¸c˜ao dos Vetores de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3

Casca Cˆonica de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.4

Posi¸ca˜o do Foco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.5

S´olido Cˆonico de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Campos Eletromagn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1

Campos eletromagn´eticos Incidentes

. . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2

Campos Eletromagn´eticos Espalhados e Interiores . . . . . . . 28

2.5.3

Campos Totais Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

´ 2.6 C´alculo da For¸ca Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Fator de Eficiˆencia Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Aberra¸ c˜ ao Esf´ erica

45

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

viii

ix ´ 3.2 Diferen¸ca de Caminho Optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Potˆencia Total Dispon´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Procedimentos Experimentais

60

4.1 Aparato Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 Medida da Constante El´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5 Resultados Num´ ericos e Discuss˜ ao

66

5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 Componentes da For¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3 Ressonˆancias de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.4 Constante El´astica Transversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5 Ressonˆancias de Mie versus Aberra¸ca˜o Esf´erica . . . . . . . . . . . . . 93 6 Conclus˜ ao

95

A C´ alculo do Termo Incidente-Espalhado(EIN · E∗S )

98

ˆ B Integra¸ c˜ ao no Angulo S´ olido

107

C C´ alculo do Termo Espalhado-Espalhado

114

D C´ alculo da Constante El´ astica Transversa kρ

123

E Limites Assint´ oticos

127

E.1 Limite Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ´ E.2 Optica Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 E.2.1 C´alculo das Componentes da For¸ca . . . . . . . . . . . . . . . 135 E.2.2 C´alculo da Refletividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao 1.1

Antecedentes Hist´ oricos

Desde a sua invens˜ao em 1986 por Arthur Ashkin, as pin¸cas ´opticas tˆem despertado grande interesse em diversas ´areas da f´ısica e em outros ramos da ciˆencia, principalmente em biologia. Entretanto, se n˜ao fossem as indaga¸co˜es do astrˆonomo alem˜ao Johannes Kepler, relacionando o fato das caudas dos cometas apontarem na dire¸ca˜o contr´aria ao sol com a press˜ao de radia¸ca˜o exercida pela radia¸ca˜o solar sobre as mesmas [1], provavelmente esta inven¸ca˜o jamais poderia ter sido concretizada. Apenas com a formaliza¸ca˜o do eletromagnetismo por James Clerk Maxwell atrav´es das quatro famosas equa¸co˜es, foi poss´ıvel prever que a luz exercia uma press˜ao de radia¸ca˜o sobre os objetos. Por´em, n˜ao se tinha qualquer comprova¸ca˜o experimental at´e o momento, j´a que, as fontes de luz daquela ´epoca n˜ao possuiam as propriedades necess´arias para se observar o efeito da press˜ao de radia¸ca˜o. Tal comprova¸ca˜o experimental, s´o ocorreu em 1901, quando P.Lebedev e (E.F. Nichols & G.F. Hull), demonstraram independentemente, a press˜ao de radia¸ca˜o exercida sobre espelhos suspensos por fibras de tors˜ao no v´acuo, eliminando assim os efeitos radiom´etricos e de correntes de convec¸ca˜o [2]. Com a inven¸ca˜o do laser, nos anos 60, tornouse poss´ıvel produzir feixes de luz cada vez mais colimados, possibilitando desta maneira, a realiza¸c˜ao da levita¸ca˜o ´optica a partir da press˜ao de radia¸ca˜o, sendo realizado pela primeira vez por Arthur Ashkin nos laborat´orios da AT&T(Bell). Por outro lado, o primeiro esquema b´asico de uma armadilha ´optica, s´o foi proposto em 1

2 1978, utilizando-se de um feixe de laser focalizado por uma objetiva de microsc´opio, sendo demonstrado pela primeira vez em 1986. O grande sucesso das pin¸cas ´opticas na ´area da biologia se deve ao seu poder de manipular esp´ecimes biol´ogicas sem causar quaisquer danos para as mesmas, onde um feixe de laser focalizado por uma objetiva de microsc´opio pode exercer for¸cas na escala de 0.1pN − 100pN . Como conseq¨ uˆencia, for¸cas exercidas por pin¸cas ´opticas s˜ao significantes na escala celular, tornando-se uma ferramenta poderosa na manipula¸ca˜o de macromol´eculas tais como DNA e RNA, componentes do citoesqueleto e no estudo das propriedades mecˆanicas de prote´ınas motoras tais como a miosina e a cinesina [3], que produzem for¸cas na escala de atua¸c˜ao da pin¸ca ´optica. Diversos experimentos em biologia celular, utilizando-se desta ferramenta, tˆem sido realizados ao longo dos u ´ltimos anos. Ashkin & Dzeidzic utilizaram a for¸ca ´optica para esticar membranas celulares, transformando-as em filamentos [4]. Gra¸cas `a utiliza¸c˜ao de um feixe de laser infra-vermelho armadilhador, juntamente com outro ultra-violeta, funcionando como bistur´ı ´optico, foi poss´ıvel realizar micro-cirurgias na escala celular [5]. No ramo da gen´etica, a micro-cirurgia ´optica, tem sido empregada para isolar cromossomos para a realiza¸ca˜o de sequenciamento gen´etico [6, 7]. Na f´ısica, as pin¸cas ´opticas tˆem se destacado no ramo da nanotecnologia, onde est˜ao sendo utilizadas na organiza¸ca˜o da mat´eria na escala nanosc´opica. Para tal fim, uma pin¸ca ´optica hologr´afica [8] ´e utilizada para gerar uma rede de pin¸cas ´opticas, dando origem a diversos potenciais armadilhadores em uma regi˜ao limitadada do espa¸co. Utilizando-se deste aparato, ´e poss´ıvel armadilhar esferas nanom´etricas, de silica e poliestireno, gerando configura¸co˜es 2-D e 3-D com as mesmas. Na pesquisa fundamental, elas tˆem sido utilizadas no estudo das viola¸co˜es transientes da 2a lei da termodinˆamica [9], tal como, no estudo das atra¸co˜es anˆomalas entre part´ıculas coloidais carregadas [10].

1.2

´ A Origem da For¸ ca Optica

Sabemos a partir das observa¸co˜es experimentais e das previs˜oes te´oricas que a luz exerce uma press˜ao de radia¸ca˜o sobre os corpos. Fisicamente a press˜ao de radia¸ca˜o

3 emerge da escala quˆantica, a partir da an´alise da varia¸ca˜o dos momentos dos f´otons quando os mesmos interagem com a mat´eria. Na figura abaixo consideramos um f´oton incidindo sobre um material n˜ao transparente, por exemplo um condutor.

Pfinal

Condutor

Pinicial

Figura 1.2.1: F´oton espalhado por um material condutor.

Como o sistema f´oton+condutor est´a livre de for¸cas externas, segue que o momento linear total do sistema ser´a conservado. Incialmente o f´oton incide no material com momento

Pinicial = ~kinicial .

(1.2.1)

Logo ap´os a colis˜ao, o f´oton ser´a defletido e passar´a a ter um momento dado por

Pf inal = ~kf inal .

(1.2.2)

A conserva¸ca˜o do momento linear prevˆe que o material sofrer´a uma varia¸ca˜o de momento igual a menos a varia¸ca˜o do momento sofrido pelo f´oton

4

δPcondutor = −~(kf inal − kinicial ).

(1.2.3)

Desta forma, se incidirmos luz intensa sobre a mat´eria, verificamos que a mesma ser´a propelida, gra¸cas `a varia¸ca˜o dos momentos dos f´otons individuais que comp˜oem o feixe de luz. Nos dias atuais, gra¸cas a inven¸ca˜o do laser, tal fato n˜ao causa qualquer espanto dentro da comunidade cient´ıfica. Entretanto, podemos imaginar a repercuss˜ao que ele gerou dentro da mesma, quando Maxwell o previu. J´a que naquela ´epoca as fontes de luz n˜ao possu´ıam as propriedades necess´arias para se observar este tipo de fenˆomeno. Apesar da press˜ao de radia¸ca˜o estar presente na for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica, esta n˜ao ´e a u ´nica. At´e por que, se assim fosse, seria imposs´ıvel armadilhar part´ıculas com a mesma. Na maioria das montagens experimentais, de uma pin¸ca ´optica, uma microesfera transparente ´e armadilhada e utilizada como manipulador [1], onde o material biol´ogico a ser estudado ´e fixado sobre o mesmo. Desta maneira, consideramos na figura (1.2.2), um feixe de laser de raios paralelos incidindo sobre uma microesfera transparente, imersa em um meio cujo ´ındice de refra¸ca˜o ´e menor que o seu. A partir da mesma figura, percebemos que a varia¸ca˜o do momento dos f´otons individuais provoca uma varia¸ca˜o do momento total do feixe na dire¸ca˜o vertical, no sentido de baixo para cima. Como uma conseq¨ uˆencia da conserva¸ca˜o do momento linear, a esfera ser´a empurrada por este feixe, ao inv´es de ser aprisionada. Por outro lado, na figura (1.2.3), consideramos a situa¸c˜ao em que um feixe focalizado por uma determinada lente, incide sobre a microesfera.

5

Variação do momento do Feixe

Figura 1.2.2: Varia¸c˜ao do momento total de um feixe de raios paralelos.

Foco

Variação do momento do Feixe Figura 1.2.3: Varia¸c˜ao do momento total do feixe incidente focalizado.

6 Neste caso, percebemos que a varia¸ca˜o do momento do feixe muda de sentido, e diferente da situa¸c˜ao anterior, a esfera passa a ser puxada para cima em dire¸ca˜o ao foco da lente. Entretanto como sabemos, a press˜ao de radia¸ca˜o apenas empurra os corpos. Sendo assim, podemos concluir que existe um outro tipo de for¸ca competindo com a press˜ao de radia¸c˜ao, que tende a puxar a esfera. Antes de prosseguirmos ´e importante notar que a discuss˜ao qualitativa realizada, com base nas figuras (1.2.2) e ´ (1.2.3) ´e v´alida no limite de Optica Geom´etrica [11] a  λ, onde podemos substituir o feixe de laser focalizado por diversos raios ´opticos interceptando a microesfera. Todavia, uma melhor compreens˜ao da for¸ca que compete com a press˜ao de radia¸ca˜o ´e dada no limite de pequenos centros espalhadores a  λ, conhecido como limite Rayleigh. De acordo com a figura (1.2.4), esta for¸ca ´e oriunda da intera¸ca˜o do momento de dip´olo el´etrico p com um campo el´etrico n˜ao uniforme incidente E, onde este por sua vez ´e o respons´avel pelo dip´olo induzido na esfera.

+ p

a

E

− Figura 1.2.4: Limite Rayleigh.

Esta intera¸ca˜o ´e a mesma que atua na atra¸ca˜o de pedacinhos de papel, inicialmente neutros, por um pente eletrizado. Quando aproximamos um pente eletrizado dos pedacinhos de papel, o campo el´etrico gerado pelo pente, induz dip´olos el´etricos como uma conseq¨ uˆencia das cargas de polariza¸ca˜o induzidas nos mesmos. Assim os dipolos induzidos interagir˜ao com o campo el´etrico do pente e ser˜ao atra´ıdos pelo

7 mesmo. A teoria eletromagn´etica prevˆe que esta for¸ca ´e diretamente proporcional ao gradiente de intensidade do campo. Para uma esfera diel´etrica de raio a e de permissividade el´etrica ε, exposta a um campo el´etrico n˜ao uniforme, imersa no v´acuo temos [12]:

F = 4πε0

ε−1 3 a ∇E 2 . ε+2

(1.2.4)

Por outro lado, no caso da pin¸ca ´optica, n˜ao temos um campo incidente est´atico, mas sim oscilante. Entretanto, se este campo for quase est´atico, ou seja, ω  c/a, segue que o momento de dip´olo el´etrico induzido oscilar´a em fase com campo externo e como conseq¨ uˆencia a for¸ca sobre a microesfera ser´a dada pela ´ importante salientar, que no limite Rayleigh, a press˜ao de express˜ao (1.2.4). E radia¸ca˜o ´e diretamente proporcional a se¸c˜ao de choque de espalhamento, onde esta por sua vez ´e diretamente proporcional a sexta potˆencia do raio da microesfera [12]. Portanto, o efeito do gradiente de intensidade, neste limite, sempre prevalecer´a sobre a press˜ao de radia¸ca˜o, tal que, podemos desprezar este u ´ ltimo. Assim no limite de dip´olo el´etrico ou Rayleigh, λ  a, onde λ ´e o comprimento de onda do feixe incidente, a u ´nica for¸ca que atuar´a sobre a microesfera ser´a oriunda do gradiente de intensidade do campo el´etrico. E como conseq¨ uˆencia, a microesfera ser´a empurrada para o ponto de maior intensidade, ou seja, para o foco da pin¸ca ´optica. A partir da discuss˜ao realizada com base na figura (1.2.3) podemos tirar uma conclus˜ao importante. Uma condi¸ca˜o necess´aria, mas n˜ao suficiente para que haja armadilhamento, ´e a focaliza¸c˜ao do feixe incidente por uma lente. Para se criar condi¸co˜es reais de armadilhamento, o que se faz ´e utilizar lentes de grande abertura num´erica, tipicamente N.A ≥ 1.0 [1]. Quanto maior a abertura num´erica, maior ser´a o ˆangulo de abertura do feixe cˆonico que atravessa a lente objetiva, proporcionando desta forma um aumento da for¸ca de gradiente de intensidade do campo, fazendo com que esta supere a press˜ao de radia¸c˜ao, que pode, assim, ser desprezada. Temos at´e o momento discutido qualitativamente a origem da for¸ca ´optica ´ nos limites extremos de Opica Geom´etrica a  λ e de Rayleigh a  λ. Entretanto na maioria das aplica¸co˜es pr´aticas, principalmente em biologia, as dimens˜oes dos materiais biol´ogicos a serem manipulados s˜ao da ordem do comprimento de onda do

8 laser, λ ∼ a, onde ambos os limites falham na hora de descrever quantitativamente a for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica. Este ´e o principal motivo pelo qual diversas teorias [13, 14, 15] tˆem sido desenvolvidas nos u ´ltimos anos para o c´alculo da for¸ca exercida por uma pin¸ca ´otica sobre centros espalhadores de dimens˜oes arbitr´arias, sendo este um dos ingredientes b´asicos deste trabalho.

1.3

Objetivo do Trabalho

Este trabalho tem como objetivo, estudar a influˆencia da polariza¸ca˜o do feixe incidente, na entrada da objetiva, sobre a for¸ca produzida por uma pin¸ca ´optica. A teoria de Mie-Debye apresentada nas Refs. [13, 14], sup˜oe, por simplicidade, que o feixe de laser aprisionador possui um estado de polariza¸ca˜o circular, quando este incide na entrada da objetiva. De fato, nesse caso existe simetria de rota¸c˜ao em torno do eixo ´optico (eixo de simetria do feixe e da objetiva), tornando o c´alculo mais simples. Entretanto, o feixe de laser em experimentos reais ´e em geral linearmente polarizado. Assim, para tornar o modelo te´orico mais u ´til e realista para as montagens experimentais mais usualmente empregadas, ´e importante incluir o efeito da polariza¸ca˜o linear. Para tal fim, derivaremos no cap´ıtulo 2 deste compˆendio express˜oes anal´ıticas para as componentes da for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica sobre uma esfera diel´etrica de raio e posi¸c˜ao arbitr´arios, para um feixe de laser incidente linearmente polarizado, em termos de uma expans˜ao em s´erie de ondas parciais. Diversos modelos, incluindo o efeito da polariza¸c˜ao linear, j´a foram propostos. Na Ref. [16], ´e utilizada a teoria de Mie-Debye para o c´alculo das componentes da for¸ca, onde al´em do efeito da polariza¸c˜ao linear, ´e levado em conta a aberra¸ca˜o esf´erica [17, 18] produzida pela interface vidro-´agua. Entretanto, express˜oes anal´ıticas para as componentes da for¸ca n˜ao foram derivadas nessa referˆencia. Os modelos de Rayleigh ´ [19] e de Optica Geom´etrica [20], tˆem sido extensivamente utilizados ao longo dos u ´ltimos anos, por´em, eles s˜ao casos limites do modelo mais geral de Mie-Debye. ´ Apesar do modelo de Optica Geom´etrica ser um caso limite do modelo de ondas

9 parciais, quando a  λ, o mesmo falha na previ˜ao da for¸ca ´optica, mesmo no limite em quest˜ao, quando um campo com uma determinada freq¨ uˆencia, excita modos TE e TM do campo eletromagn´etico no interior da esfera, produzindo as chamadas ressonˆancias de Mie [21, 22]. No cap´ıtulo 3, levamos em conta o efeito da aberra¸ca˜o esf´erica, produzida pela interface vidro-´agua para uma objetiva de imers˜ao em ´oleo, onde estudamos o efeito da mesma, sobre a fase do campo incidente focalizado e na fra¸ca˜o da energia total dispon´ıvel que atravessa a lam´ınula, derivando desta forma as componentes da for¸ca para o caso em quest˜ao. J´a no cap´ıtulo 4, apresentamos o aparato experimental b´asico utilizado na realiza¸ca˜o das medidas experimentais e discutimos o processo de medida da constante el´astica transversa de uma pin¸ca ´optica. Os resultados num´ericos s˜ao apresentados, discutidos e comparados com resultados experimentais, no cap´ıtulo 5. Nele discutimos o efeito da polariza¸ca˜o, no c´alculo das componentes da for¸ca e da constante el´astica transversa do laser derivada anal´ıticamente no apˆendice D. E por u ´ltimo, no cap´ıtulo 6, apresentamos a conclus˜ao deste trabalho.

Cap´ıtulo 2 ´ A For¸ ca Optica 2.1

Introdu¸ c˜ ao

De acordo com a discuss˜ao realizada no cap´ıtulo 1, a competi¸ca˜o entre duas classes de for¸ca, a press˜ao de radia¸c˜ao e o gradiente de intensidade, determinam a for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica. Neste cap´ıtulo apresentamos uma deriva¸ca˜o, a partir de primeiros princ´ıpios, da for¸ca produzida por uma pin¸ca ´optica sobre uma microesfera homogˆenea e diel´etrica de posi¸ca˜o e raio arbitr´arios, para um feixe de laser incidente linearmente polarizado.

2.2

Caracteriza¸ c˜ ao do Problema

Temos visto que pin¸cas ´opticas s˜ao constitu´ıdas por um feixe de laser altamente focalizado por uma lente de grande abertura num´erica. O feixe incidente ser´a refratado na entrada da objetiva e passar´a a ter a forma, no espa¸co de momento ou de Fourier, de um cone formado por diversas ondas planas com vetores de onda pertencendo a extens˜ao do cone. Para obtermos o campo gerado pelo feixe focalizado, no espa¸co de posi¸ca˜o, devemos tomar a transformada de Fourier do respectivo cone de ondas planas, no espa¸co de momento, representado pela figura 2.2.1. A transformada de Fourier do cone de ondas ´e dada pelo modelo de (Richards & Wolf) [31, 32], representando o campo el´etrico Ein (r) gerado pelo feixe focalizado, no espa¸co de posi¸c˜ao: 10

11

Ein (r) = E0

Z

2π

dφk 0

Z

θ0

dθk sin θk

p 2 2 cos θk e−γ sin θk eik·(r−q) xˆ0 (θk , φk ).

(2.2.1)

0

Sendo assim consideramos um feixe de laser, de comprimento de onda λ, linearmente polarizado na dire¸ca˜o x ˆ, se propagando na dire¸ca˜o ˆ z, e que logo ap´os a sua refra¸c˜ao pela lente da objetiva ser´a focalizado na origem do sistema de coordenadas, formando um cone de ondas planas de abertura angular θ0 no espa¸co de momento. Al´em disso, a esfera de ´ındice de refra¸ca˜o n2 e raio a se encontra imersa em um meio material de ´ındice de refra¸ca˜o n1 em uma posi¸ca˜o arbitr´aria representada pelo vetor R no espa¸co de posi¸ca˜o. Para obtermos a for¸ca exercida por este feixe de laser focalizado, utilizaremos a t´ecnica de resolvermos problemas menores que ir˜ao compor a solu¸ca˜o do problema em quest˜ao [23].

Kx 0

Ky

Kz

Figura 2.2.1: Feixe cˆonico de ondas planas no espa¸co de momento.

Como veremos mais adiante, os campos eletromagn´eticos incidentes e espalhados pela microesfera s˜ao de fundamental importˆancia no c´alculo da for¸ca ´optica.

12 Tendo isto em mente, e sabendo que o feixe ´e composto de diversas ondas planas, obteremos mais adiante uma maneira sistem´atica de obter os campos espalhados totais atrav´es da superposi¸ca˜o dos campos espalhados das diversas ondas planas que comp˜oem o cone de ondas.

2.3

Equa¸ c˜ ao de Ondas

Para a obten¸ca˜o dos campos espalhados por uma microesfera diel´etrica neutra, hospedada em um meio material de constante diel´etrica ε e permeabilidade magn´etica µ, consideremos as equa¸c˜oes de Maxwell na ausˆencia de cargas e correntes livres dadas por:

∇·D = 0

(2.3.1)

∇·B=0

(2.3.2)

∂B ∂t

(2.3.3)

∂D . ∂t

(2.3.4)

∇×E=−

∇×H=

Aplicando o rotacional em ambos os lados da equa¸ca˜o (2.3.3) e utilizando o fato de que

∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E,

(2.3.5)

temos

∇(∇ · E) − ∇2 E = −

∂∇ × B . ∂t

(2.3.6)

Para um meio linear hospedeiro, podemos lan¸car m˜ao das rela¸co˜es constitutivas:

D = εE,

(2.3.7)

13

B = µH,

(2.3.8)

tal que, substituindo a lei de Amp`ere (2.3.4) na rela¸c˜ao (2.3.6) obtemos

∇(∇ · E) − ∇2 E = −µε

∂2E . ∂t2

(2.3.9)

Utilizando a lei de Gauss na ausˆencia de cargas livres (2.3.1), na rela¸ca˜o acima, obtemos a equa¸ca˜o de ondas homogˆenea obedecida pelo vetor campo el´etrico

∇2 E − µε

∂2E = 0. ∂t2

(2.3.10)

Uma equa¸ca˜o de ondas an´aloga pode ser encontrada para o vetor campo magn´etico, atrav´es da aplica¸ca˜o do rotacional na lei de Amp`ere-Maxwell. Desta forma temos que

∇2 H − µε

∂2H = 0. ∂t2

(2.3.11)

∇2 V − µε

∂2V = 0. ∂t2

(2.3.12)

Genericamente:

Tomando solu¸c˜oes monocrom´aticas, do tipo:

V = V0 (r)e−iωt ,

(2.3.13)

que satisfazem a equa¸ca˜o (2.3.12), sabendo-se que ∂2V = −ω 2 V, ∂t2

(2.3.14)

e subtituindo este resultado na equa¸ca˜o (2.3.12), obtemos a conhecida equa¸ca˜o de Helmholtz, obedecida pela parte espacial das solu¸c˜oes (2.3.13), ou seja,

∇2 V + ω 2 µεV = 0,

(2.3.15)

√ tal que, |k|2 = ω 2 /v 2 , onde v = 1/ µε ´e a velocidade de propaga¸ca˜o da onda plana no meio material que hospeda a microesfera.

14 Suponhamos que uma determinada fun¸ca˜o escalar ψ, seja a solu¸ca˜o de uma das componentes vetoriais da equa¸ca˜o de Helmholtz (2.3.15). Podemos utilizar o fato de que os operadores L = −ir × ∇, ∇ × L e ∇ comutam com o operador laplacino ∇2 , para construir solu¸co˜es vetoriais da equa¸ca˜o de Helmoltz, atrav´es da atua¸ca˜o destes operadores na solu¸ca˜o escalar, ou seja, Lψ, ∇ × Lψ e ∇ψ. Apesar destas trˆes fun¸co˜es vetoriais satisfazerem a equa¸ca˜o de Helmholtz, apenas as duas primeiras tˆem divergˆencia nula 1 . Dessa forma, descartaremos a solu¸ca˜o ∇ψ. Resta-nos agora obter qual deve ser a fun¸ca˜o escalar que satisfaz a equa¸ca˜o de Helmholtz. Para tal fim, utilizaremos a seguinte propriedade do operador laplaciano [24]:

∇2 (r · V) = r · (∇2 V) + 2∇ · V.

(2.3.16)

Para campos vetoriais com divergˆencia nula temos que

∇2 (r · V) = r · (∇2 V).

(2.3.17)

Multiplicando ambos os lados da equa¸ca˜o de Helmholtz (2.3.15) por r e utilizando a propriedade (2.3.17), obtemos:

[∇2 + ω 2 µε]r · V = 0,

(2.3.18)

ou seja, a solu¸c˜ao escalar da equa¸ca˜o de Helmholtz ´e dada por r · V. Para o caso do campo eletromagn´etico, as solu¸co˜es escalares s˜ao dadas por r · E e r · H. Veremos na pr´oxima se¸ca˜o, que estas duas solu¸co˜es escalares s˜ao dadas exatamente pelos chamados potenciais de Debye el´etrico e magn´etico. Sendo assim, seguiremos as seguintes etapas com o objetivo de obtermos os campos eletromagn´eticos espalhados: • Obten¸ca˜o das solu¸co˜es escalares r·E e r·H relacionadas aos campos incidentes sobre a microesfera. 1

As solu¸c˜ oes da equa¸ca ˜o de Helmholtz para os campos eletromagn´eticos devem ter divergˆencia

nula, j´ a que, os v´ınculos ∇ · E = 0 e ∇ · B = 0 devem ser respeitados na situa¸c˜ ao em quest˜ ao.

15 • A partir das solu¸co˜es escalares relacionadas aos campos eletromagn´eticos incidentes obteremos os campos eletromagn´eticos associados a estas solu¸co˜es atrav´es da atua¸ca˜o dos operadores vetoriais L e ∇ × L. • E por fim, a partir dos campos eletromagn´eticos incidentes e das condi¸c˜oes de contorno obedecidas pelos campos na superf´ıcie da esfera, derivaremos os campos espalhados e interiores `a microesfera.

2.4 2.4.1

Potenciais de Debye Onda Plana

Nesta subse¸c˜ao, derivaremos os potenciais de Debye associados a uma onda plana linearmente polarizada ao longo da dire¸ca˜o x ˆ e que se propaga ao longo da dire¸ca˜o ˆ z. Para tirarmos proveito da simetria esf´erica do problema em quest˜ao, faremos uma expans˜ao em ondas esf´ericas, para a respectiva onda plana. E a partir da´ı, ser´a obtida uma expans˜ao em ondas parciais, parametrizadas pelo momento angular total j, para os potenciais de Debye. Ou seja, faremos uma expans˜ao do tipo:

ΠE =

X

ΠE j ,

(2.4.1)

ΠM j .

(2.4.2)

j

ΠM =

X j

M Onde ΠE ao, respectivamente, os potenciais de Debye el´etrico e magn´etico j e Πj s˜

de ordem j. Eles s˜ao definidos como [25]:

ΠE j =

(r · E)j j(j + 1)

(2.4.3)

ΠM j =

(r · H)j . j(j + 1)

(2.4.4)

e

16 De acordo com as defini¸co˜es (2.4.3) e (2.4.4), os potenciais de Debye el´etrico e magn´etico de j-´esima ordem s˜ao, respectivamente, diretamente proporcionais aos termos de ordem j da expans˜ao em ondas parciais das solu¸co˜es escalares da equa¸ca˜o de Helmholtz (2.3.15), dadas por: r · E e r · H. Como j´a era de se esperar, estas defini¸co˜es para os potenciais de Debye el´etrico e magn´etico est˜ao em pleno acordo com a discuss˜ao realizada na se¸ca˜o anterior, j´a que ambos satisfazem a equa¸c˜ao de Helmholtz. Para a situa¸c˜ao de interesse de uma onda linearmente polarizada na dire¸ca˜o x ˆ:

ˆ E = E0 ei(|k|z−ωt) x

(2.4.5)

ˆ, H = H0 ei(|k|z−ωt) y

(2.4.6)

e

onde H0 = E0 n1 /µc. A partir da onda plana (2.4.5) temos:

r·E=r·x ˆE0 ei(|k|z−ωt) .

(2.4.7)

Escrevendo o vetor r em coordenadas esf´ericas,

r · E = rE0 sin θ cos φei(|k|r cos θ−ωt) .

(2.4.8)

  ∂ i i(|k|r cos θ−ωt) E0 cos φ e . r·E= |k| ∂θ

(2.4.9)

De forma compacta:

Expandindo eik|r cos θ em ondas parciais [26]:

i|k|r cos θ

e

=

∞ X

(i)j (2j + 1)jj (|k|r)Pj (cos θ),

(2.4.10)

j=0

onde jj (|k|r) ´e a fun¸ca˜o esf´erica de Bessel de ordem j e Pj (cos θ) ´e o polinˆomio de Legendre de grau j. Substituindo a expans˜ao em ondas parciais (2.4.10) na rela¸ca˜o (2.4.9) obtemos:

17

  ∞ X i ∂ −iωt j r·E = E0 cos φe Pj (cos θ) . (i) (2j + 1)jj (|k|r) |k| ∂θ j=0

(2.4.11)

Utilizando as propriedades das fun¸co˜es geradoras das fun¸c˜oes de Bessel [27]:

Pjm (x)

  dm = (−1) (1 − x ) Pj (x) . dxm m

2

m 2

(2.4.12)

Para m = 1 temos,   ∂ Pj (cos θ) = Pj1 . ∂θ

(2.4.13)

Substituindo a rela¸ca˜o (2.4.13) na equa¸ca˜o (2.4.11), podemos escrever:

X i r·E= E0 cos φe−iωt (i)j (2j + 1)jj (|k|r)Pj1 (cos θ) |k| j=1 ∞

(2.4.14)

Onde ´ltima soma, j´a que P0 (cos θ) = 1, e portanto  j = 0 foi eliminado da u  o termo ∂ P0 (cos θ) = 0, j´a que n˜ao existe radia¸ca˜o de monop´olo. ∂θ Por quest˜oes de praticidade costuma-se reescrever as fun¸co˜es geradores de Legendre em termos de harmˆonicos esf´ericos [28], a partir da seguinte rela¸ca˜o:

Yj,m (θ, φ) =

s

(2j + 1)(j − m)! m Pj (cos θ)eimφ , 4π(j + m)!

(2.4.15)

onde

∗ Yj,−m (θ, φ) = (−1)m Yj,m (θ, φ).

(2.4.16)

Tomando m = 1 e m = −1, obtemos:

cos φPj1 (cos θ) =

s

πj(j + 1) (Yj,1 (θ, φ) − Yj,−1 (θ, φ)) 2j + 1

(2.4.17)

Substituindo a rela¸ca˜o (2.4.17) na equa¸ca˜o (2.4.14) temos que: p E0 −iωt X j+1 e (i) jj (|k|r) πj(j + 1)(2j + 1)(Yj,1 (θ, φ) − Yj,−1(θ, φ)). r·E = |k| j=1 ∞

(2.4.18)

18 Ou seja,

(r · E)j =

p E0 −iωt j+1 e (i) jj (|k|r) πj(j + 1)(2j + 1)(Yj,1 (θ, φ) − Yj,−1 (θ, φ)). (2.4.19) |k|

Substituindo o resultado (2.4.19) na equa¸ca˜o (2.4.3) e somando sobre todo o espectro de momento angular total, obtemos finalmente o potencial de Debye el´etrico para um onda plana propagante e linearmente polarizada:

ΠE =

E0 −iωt e |k|

∞ X

(i)j+1 jj (|k|r)

s

j=1

π(2j + 1) (Yj,1 (θ, φ) − Yj,−1 (θ, φ)). j(j + 1)

(2.4.20)

O potencial de Debye magn´etico pode ser obtido atrav´es da repeti¸ca˜o dos mesmos procedimentos anteriores. Portanto:

H0 −iωt X j e = (i) jj (|k|r) |k| j=1 ∞

ΠM

s

π(2j + 1) (Yj,1 (θ, φ) + Yj,−1 (θ, φ)). j(j + 1)

(2.4.21)

Acabamos de derivar os potenciais de Debye para uma onda plana, monocrom´atica. Para obtermos os potenciais de Debye correspondentes ao feixe cˆonico de laser, devemos superpor as contribui¸c˜oes das diversas ondas planas componentes logo ap´os a passagem pela lente. O efeito da lente sobre cada uma das ondas planas que comp˜oem o cone de ondas, ser´a a rota¸ca˜o dos seus respectivos vetores de onda k. Dessa maneira, o pr´oximo passo ser´a a obten¸ca˜o dos potenciais de Debye para uma onda plana quando seu vetor de onda sofre uma rota¸ca˜o devido a sua passagem pela lente da objetiva.

2.4.2

Rota¸ c˜ ao dos Vetores de Onda

Temos at´e o momento derivado os potenciais de Debye para a situa¸c˜ao mais simples em que a dire¸ca˜o de propaga¸ca˜o ´e ao longo do eixo z. Para obtermos os potenciais de um feixe focalizado, precisamos inicialmente analizar o caso de uma onda plana com vetor de onda k em um dire¸ca˜o arbitr´aria. Para obtermos os potenciais de Debye correspondentes a esta situa¸ca˜o, utilizaremos o jarg˜ao da mecˆanica quˆantica de bras

19 e kets para escrever os vetores k em um dire¸ca˜o arbitr´aria [23]. Desta forma, seja |jmi um ket que ´e auto-estado simultˆaneo de J 2 e Jz , e que |ni descreve o sistema de eixos coordenados em rela¸ca˜o aos quais faremos nossas medidas. Se realizarmos uma rota¸c˜ao no estado |jmi atrav´es da aplica¸ca˜o de um operador unit´ario D(R), temos que,

|jm, Ri = D(R)|jmi.

(2.4.22)

Projetando esta rota¸ca˜o no espa¸co dos eixos coordenados obtemos

hn|jm, Ri = hn|D(R)|jmi.

(2.4.23)

Inserindo a rela¸ca˜o de completeza no lado direito da equa¸ca˜o acima temos que

hn|jm, Ri = hn|

j X

|jm0 ihjm0 |D(R)|jmi,

m0 =−j

ou seja,

hn|jm, Ri =

j X

hn|jm0 iD(R)jm0 ,m ,

(2.4.24)

m0 =−j

onde

hjm0 |D(R)|jmi = D(R)jm0 ,m

(2.4.25)

representa um elemento de matriz do operador de rota¸ca˜o D(R) na base de momento angular. Sabendo que

hn|jm0 i = Yjm0 (θ, φ)

(2.4.26)

´e a representa¸ca˜o do estado |jmi nas coordenadas (x,y,z), temos que

hn|jm, Ri =

j X

Yjm0 (θ, φ)D(R)jm0 ,m .

(2.4.27)

m0 =−j

Definindo |n0 i como um ket descrevendo um outro conjunto de eixos coordenados (x’,y’,z’), rotacionados em rela¸ca˜o a (x,y,z), temos

20

hn|jm, Ri = hn|D(R)|jmi = hn0 |jmi,

(2.4.28)

hn0 | = hn|D(R).

(2.4.29)

onde

Tomando o complexo adjunto da rela¸ca˜o anterior:

|n0 i = D(R)† |ni.

(2.4.30)

Como o operador D(R) ´e unit´ario, segue que D(R)† = D(R)−1 . Conseq¨ uˆentemente:

|n0 i = D(R)−1 |ni.

(2.4.31)

A equa¸ca˜o (2.4.31) expressa fisicamente a rota¸ca˜o dos eixos coordenados em rela¸ca˜o ao referencial (x’,y’,z’) em que o vetor de onda se encontra fixo. De fato, temos:

hn0 |jmi = Yjm (θ0 , φ0 ),

(2.4.32)

onde os ˆangulos θ0 e φ0 se referem ao referencial |n0 i. Levando em conta as rela¸co˜es (2.4.32), (2.4.28) e (2.4.27), obtemos

Yjm (θ0 , φ0 ) =

j X

Yjm0 (θ, φ)D(R)jm0 ,m ,

(2.4.33)

m0 =−j

onde temos expresso na u ´ltima equa¸ca˜o, o harmˆonico esf´erico Yjm (θ0 , φ0 ) no referencial (x’,y’,z’) em termos dos harmˆonicos esf´ericos Yjm0 (θ, φ) escritos no referencial (x,y,z). Escrevendo o operador de rota¸c˜ao D(R) em termos dos ˆangulos de Euler, α, β e γ [29], temos que

D(R) = e−iαJz e−iβJy e−iγJz

(2.4.34)

Substituindo a rela¸c˜ao (2.4.34) na equa¸ca˜o (2.4.25) podemos escrever para o elemento de matriz de rota¸ca˜o:

21

0

j −i(αm +γm) j dm0 m (β), Dm 0 ,m = e

(2.4.35)

dm0 m (β) = hjm0 |e−iβJy |jmi

(2.4.36)

onde

´e um elemento de matriz que descreve uma rota¸ca˜o em torno do eixo y . Substituindo o resultado (2.4.35) na equa¸ca˜o (2.4.33) obtemos j X

Yjm (θ0 , φ0 ) =

0

Yjm (θ, φ)e−i(αm +γm) djm0 m (β).

(2.4.37)

m0 =−j

Escolhendo o eixo z’, do sistema de eixos rodados, ao longo do vetor de onda k temos de acordo com as equa¸co˜es (2.4.20) e (2.4.21) que os potenciais de Debye para uma onda plana podem ser escritos em termos dos harmˆonicos esf´ericos Yj,±1 (θ0 , φ0 ) como:

E0 −iωt X j+1 e (i) jj (|k|r) ΠE = |k| j=1 ∞

s

π(2j + 1) (Yj,1 (θ0 , φ0 ) − Yj,−1 (θ0 , φ0 )) j(j + 1)

(2.4.38)

π(2j + 1) (Yj,1 (θ0 , φ0 ) + Yj,−1 (θ0 , φ0 )), j(j + 1)

(2.4.39)

e

H0 −iωt X j e = (i) jj (|k|r) |k| j=1 ∞

ΠM

s

tal que,

β = θk

α = φk

γ = −φk ,

onde α = φk e β = θk est˜ao relacionados com a fixa¸c˜ao de k, e γ = −φk est´a relacionado com a determina¸ca˜o da dire¸ca˜o de polariza¸ca˜o [30]. Portanto podemos reescrever a express˜ao para o harmˆonico esf´erico Yj,±1 da seguinte maneira:

0

0

Yj,±1 (θ , φ ) =

j X m0 =−j

0

Yjm0 (θ, φ)e−iφk (m ∓1) dm0 ,±1 (θk ).

(2.4.40)

22 Substuindo o resultado (2.4.40), nos potenciais de Debye dados pelas equa¸co˜es (2.4.38) e (2.4.39), obtemos E0 −iωt X j+1 e (i) jj (|k|r) ΠE = |k| j=1 ∞

s

π(2j + 1) × j(j + 1)

  j X −iφk (m0 −1) j −iφk (m0 +1) j × dm0 ,+1 (θk ) − e dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ). e

(2.4.41)

m0 =−j

e

ΠM =

E0 −iωt e |k|

∞ X j=1

(i)j jj (|k|r)

s

π(2j + 1) × j(j + 1)

  j X −iφk (m0 −1) j −iφk (m0 +1) j × dm0 ,+1 (θk ) + e dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ). e

(2.4.42)

m0 =−j

As express˜oes (2.4.41) e (2.4.42) representam, respectivamente, os potenciais de Debye el´etrico e magn´etico para uma onda plana com vetor de onda k(θk , φk ).

2.4.3

Casca Cˆ onica de Ondas Planas

Nesta subse¸ca˜o derivaremos os potenciais de Debye de uma casca cˆonica composta por todas as ondas planas cujos vetores de onda formam um determinado ˆangulo θk com o eixo z. Isto ser´a feito somando os potenciais de Debye, obtidos na subse¸ca˜o anterior, ao longo do ˆangulo azimutal φk definido no intervalo 0 ≤ φk ≤ 2π para um θk fixo. Como foi visto de acordo com o modelo de (Richards & Wolf) [31, 32] (2.2.1), o campo el´etrico gerado pelo feixe focalizado ´e dado pela transformada de Fourier do cone de ondas planas representado na figura (2.2.1). Onde q representa a posi¸ca˜o focal que n˜ao necessariamente coincide com a origem do sistema de eixos coordenados ˆ pela rota¸ca˜o com ˆangulos de Euler (φk , θk , −φk ), como e xˆ0 (θk , φk ) ´e obtido de x vimos na u ´ltima subse¸ca˜o. √ J´a o fator cos θk leva em conta a redu¸ca˜o da amplitude do feixe cˆonico, logo ap´os a passagem pela lente da objetiva, pois consideramos que o nosso sistema ´optico obedece a chamada condi¸ca˜o seno de Abbe. A condi¸ca˜o seno garante a inexistˆencia de coma quando n˜ao h´a aberra¸ca˜o esf´erica [33]. Portanto, multiplicando

23 os potenciais de Debye (2.4.41) e (2.4.42) pelo fator de redu¸ca˜o

√

cos θk e efetuando

a soma sobre o ˆangulo azimutal φk , temos os potenciais de Debye de uma casca cˆonica com semi-ˆangulo de abertura θk dados por ∞ X E0 −iωt p E e cos θk (i)j+1 jj (|k|r) Π = |k| j=1

×

Z j X

2π

−iφk (m0 −1)

e

Z  j dφk dm0 ,+1 (θk )−

0

m0 =−j

2π

s

π(2j + 1) × j(j + 1)

−iφk (m0 +1)

e

  j dφk dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ)

0

(2.4.43) e

ΠM

×

Z j X m0 =−j

2π

∞ X E0 −iωt p e = cos θk (i)j jj (|k|r) |k| j=1

−iφk (m0 −1)

e

Z  j dφk dm0 ,+1 (θk )+

0

2π

s

π(2j + 1) × j(j + 1)

−iφk (m0 +1)

e

  j dφk dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ).

0

(2.4.44)

2.4.4

Posi¸ c˜ ao do Foco

At´e o momento temos considerado a esfera alinhada com o eixo ´optico da pin¸ca. Entretanto, experimentalmente a microesfera sofre a a¸c˜ao de arrasto hidrodinˆamico atrav´es do meio hospedeiro, onde a for¸ca de arrasto contrabalanceada pela for¸ca exercida pela pin¸ca ´optica nos permite medir a for¸ca de armadilhamento [15]. Quando a esfera ´e arrastada, ela sofre um deslocamento transverso tal que a sua posi¸ca˜o de equil´ıbrio n˜ao se encontra mais ao longo do eixo ´optico. Desta forma ´e importante levarmos tal fato em conta no nosso modelo te´orico. Para tal fim, ao inv´es de tomarmos a origem do sistema de coordenadas no foco da pin¸ca, consideramos que este estar´a localizado no centro da esfera. Sendo assim, para simular a situa¸ca˜o em que a posi¸ca˜o de equil´ıbrio da microesfera se encontra fora do eixo ´optico, basta deslocarmos o foco da pin¸ca em rela¸ca˜o ao centro da microesfera 2 . De acordo com o modelo de Richards & Wolf, dado pela equa¸ca˜o (2.2.1), a posi¸ca˜o do foco ´e levada em conta atrav´es do fator exponencial e−ik·q . Sendo assim, para incluirmos o efeito 2

Tal artif´ıcio, como ser´ a visto ao longo deste compˆendio, facilitar´ a o c´ alculo da for¸ca ´ optica.

24 do deslocamento do foco nos potenciais de Debye, basta multiplic´a-los pelo mesmo fator exponencial, onde q, ´e o vetor posi¸ca˜o do foco em rela¸ca˜o ao centro da esfera. Portanto: s j ∞ X p E0 −iωt π(2j + 1) X E j+1 e cos θk (i) jj (|k|r) × Π = |k| j(j + 1) 0 j=1 m =−j   Z 2π Z 2π  j j −ik·q −iφk (m0 −1) −ik·q −iφk (m0 +1) × e e dφk dm0 ,+1 (θk )− e e dφk dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ) 0

0

(2.4.45) e s j ∞ X p π(2j + 1) X E 0 −iωt e cos θk (i)j jj (|k|r) × ΠM = |k| j(j + 1) 0 j=1 m =−j Z 2π Z 2π    j j −ik·q −iφk (m0 −1) −ik·q −iφk (m0 +1) × e e dφk dm0 ,+1 (θk )+ e e dφk dm0 ,−1 (θk ) Yjm0 (θ, φ). 0

0

(2.4.46) As integrais azimutais em φk , foram calculadas anal´ıticamente em [34], cujo valor ´e dado por Z

2π

−ik·q −iφk (M 0 ∓1)

e

e

−i|k|qz cos θk

dφk = e

2π(−i)

m0 ∓1

  q 0 2 2 Jm0 ∓1 |k| sin θk qx + qy e−i(m ∓1)φ ,

0

(2.4.47) onde qx , qy e qz s˜ao as componentes cartesianas da posi¸ca˜o do foco, tal que, 

qy φ = arctan qx



(2.4.48)

´e o ˆangulo de azimute de localiza¸ca˜o do foco. Substituindo o resultado (2.4.47), nos potenciais de Debye (2.4.43) e (2.4.44), obtemos os potenciais de Debye associados `a casca cˆonica:

25 X p E0 = 2π e−iωt cos θk (i)j+1 |k| j=1 ∞

ΠE θk

s

j π(2j + 1) X jj (|k|r)Yjm0 (θ, φ)e−i|k|qz cos θk j(j + 1) 0 m =−j

   q 0 0 j (m0 −1) 2 2 Jm0 −1 |k| sin θk qx + qy e−i(m −1)φ − djm0 ,−1 (θk )(−i)(m +1) × dm0 ,+1 (θk )(−i)    q −i(m0 +1)φ 2 2 ×Jm0 +1 |k| sin θk qx + qy e

(2.4.49)

e

X p E0 = 2π e−iωt cos θk (i)j |k| j=1 ∞

ΠM θk

s

j π(2j + 1) X jj (|k|r)Yjm0 (θ, φ)e−i|k|qz cos θk j(j + 1) m0 =−j

   q 0 0 j (m0 −1) Jm0 −1 |k| sin θk qx2 + qy2 e−i(m −1)φ + djm0 ,−1 (θk )(−i)(m +1) × dm0 ,+1 (θk )(−i) ×Jm0 +1

2.4.5



  q 0 +1)φ −i(m |k| sin θk qx2 + qy2 e .

(2.4.50)

S´ olido Cˆ onico de Ondas Planas

Na u ´ltima subse¸ca˜o derivamos os potenciais de Debye para uma casca cˆonica com semi-ˆangulo de abertura θk , na situa¸c˜ao em que o foco est´a desalinhado em rela¸ca˜o ao eixo ´optico. Entretanto, de acordo com o modelo de Richards & Wolf, o feixe incidente na microesfera pode ser modelado como uma superposi¸ca˜o dessas diversas cascas cˆonicas. Tal superposi¸ca˜o, resultar´a em um feixe de luz cˆonico de semiabertura angular θ0 . Integrando os potenciais de Debye obtidos anteriormente, ao longo do ˆangulo θk : E

Π =

Z

θ0 0

dθk sin θk ΠE θk

(2.4.51)

dθk sin θk ΠM θk ,

(2.4.52)

e

M

Π

=

Z

θ0 0

temos que

ΠE =

E0 −iωt X E e (i)γjm jj (|k|r)Yjm(θ, φ) |k| jm

(2.4.53)

26 e

ΠM =

H0 −iωt X M e γjm jj (|k|r)Yjm (θ, φ) |k| jm

(2.4.54)

com

E γjm

=

s

 Z θ0 p π(2j + 1) j m−1 −i(m−1)φ (i) 2π (−i) e dθk sin θk cos θk djm,+1 (θk )Jm−1 (|k|ρ sin θk )× j(j + 1) 0

−i|k|qz cos θk

×e

−(−i)

m+1 −i(m+1)φ

e

Z

θ0

 p j −i|k|qz cos θk dθk sin θk cos θk dm,−1 (θk )Jm+1 (|k|ρ sin θk )e

0

(2.4.55) e

M γjm

=

s

 Z θ0 p π(2j + 1) j m−1 −i(m−1)φ (i) 2π (−i) e dθk sin θk cos θk djm,+1 (θk )Jm−1 (|k|ρ sin θk )× j(j + 1) 0

−i|k|qz cos θk

×e

+(−i)

m+1 −i(m+1)φ

e

Z

θ0

 p j −i|k|qz cos θk dθk cos θk dm,−1 (θk )Jm+1 (|k|ρ sin θk )e .

0

P

Onde

jm

=

P∞ Pj j=1

m=−j

(2.4.56) p 2 e ρ = qx + qy2 representa a distˆancia tranversa entre a

esfera e o eixo ´optico . Notamos que os potenciais de Debye podem ser reescritos da seguinte maneira +

ΠE,σ + ΠE,σ Π = 2

−

E

(2.4.57)

e +

ΠM =

−

ΠM,σ + ΠM,σ , 2

(2.4.58)

±

onde Πα,σ s˜ao os potenciais de Debye eletromagn´eticos para a situa¸ca˜o em que o feixe incidente possui um estado de polariza¸c˜ao circular σ + ou σ − [35], sendo:

E,σ ±

Π

E0 −iωt X e = |k| jm

s

4π(2j + 1) j+1 (i) 2π(−i)m∓1 e−i(m∓1)φ j(j + 1)

Z

θ0

dθk sin θk × 0

p × cos θk djm,±1 (θk )Jm∓1 (|k|ρ sin θk )e−i|k|qz cos θk jj (|k|r)Yjm(θ, φ)

(2.4.59)

27 e

M,σ ±

Π

H0 −iωt X e = |k| jm

s

4π(2j + 1) j (i) 2π(−i)m∓1 e−i(m∓1)φ j(j + 1)

Z

θ0

dθk sin θk × 0

p × cos θk djm,±1 (θk )Jm∓1 (|k|ρ sin θk )e−i|k|qz cos θk jj (|k|r)Yjm (θ, φ).

(2.4.60)

Ou seja, os potenciais de Debye eletromagn´eticos para um feixe incidente linearmente polarizado podem ser escritos como uma combina¸ca˜o linear dos potenciais de Debye para o caso em que o feixe incidente ´e circularmente polarizado. Isto ´e uma conseq¨ uˆencia da linearidade das equa¸co˜es de Maxwell associada ao fato de que qualquer onda plana linearmente polarizada pode ser escrita como uma combina¸ca˜o linear de ondas circularmente polarizadas σ + e σ − . Como os potenciais de Debye ±

eletromagn´eticos Πα,σ s˜ao solu¸co˜es escalares da equa¸ca˜o de Helmholtz, segue que uma combina¸c˜ao linear destes tamb´em ser´a uma poss´ıvel solu¸ca˜o desta equa¸ca˜o. Dessa forma, acabamos de derivar os potenciais de Debye para um feixe de luz cˆonico focado em uma posi¸ca˜o arbitr´aria q, com rela¸ca˜o ao centro da microesfera. O pr´oximo passo ser´a obter os campos eletromagn´eticos incidentes, interiores e espalhados pela esfera atrav´es da atua¸ca˜o dos devidos operadores vetoriais, como foi discutido na se¸ca˜o 2.3 deste cap´ıtulo.

2.5

Campos Eletromagn´ eticos

Finalmente de posse dos potenciais de Debye referentes ao feixe cˆonico incidente, o objetivo desta se¸ca˜o ser´a a obten¸ca˜o dos campos eletromagn´eticos incidentes e espalhados pela esfera, escritos em termos dos seus respectivos potenciais de Debye eletromagn´eticos.

2.5.1

Campos eletromagn´ eticos Incidentes

Atuando os operadores L e ∇×L, descritos na se¸ca˜o 2.3, sobre os potenciais de Debye obtidos na se¸ca˜o anterior e utilizando o fato de que estes campos devem satisfazer as equa¸c˜oes de Maxwell (2.3.1-2.3.4), temos para os campos eletromagn´eticos incidentes [36]:

28

E EE IN = −(i)∇ × L{ΠIN },

HE IN = (−i

EM IN = (i

c|k| ε)(−i)L{ΠE IN }, n1

c|k| µ)(−i)L{ΠM IN } n1

(2.5.1)

(2.5.2)

(2.5.3)

e

M HM IN = −(i)∇ × L{ΠIN },

(2.5.4)

onde os ´ındices {E, M} se referem, respectivamente, as polariza¸co˜es TM e TE, tal que, os potenciais de Debye incidentes s˜ao dados por

ΠE IN =

E0 −iωt X E e (i)γjm jj (|k|r)Yjm(θ, φ) |k| jm

(2.5.5)

H0 −iωt X M e γjm jj (|k|r)Yjm(θ, φ). |k| jm

(2.5.6)

e

ΠM IN =

2.5.2

Campos Eletromagn´ eticos Espalhados e Interiores

Para obtermos os campos eletromagn´eticos espalhados e interiores `a microesfera, devemos em primeiro lugar escrever as express˜oes para os potenciais de Debye eletromagn´eticos espalhados e interiores `a mesma. Sendo assim, temos

ΠE S =

E0 −iωt X E (1) e (i)(−aj )γjm hj (|k|r)Yjm(θ, φ), |k| jM

(2.5.7)

H0 −iωt X M (1) e (−bj )γjm hj (|k|r)Yjm (θ, φ), |k| jm

(2.5.8)

E0 −iωt X E e (i)(Ncj )γjm jj (|k|r)Yjm (θ, φ) N |k| jm

(2.5.9)

ΠM S =

ΠE W = e

29

ΠM W =

H0 −iωt X M e (Ndj )γjm jj (|k|r)Yjm (θ, φ), N |k| jm

(2.5.10)

onde ΠαS e ΠαW s˜ao, respectivamente, os potenciais de Debye associados aos campos espalhados e interiores, e N =

n2 . n1

Os coeficientes de Mie aj , bj , cj e dj s˜ao obtidos

em [37], a partir das condi¸co˜es de contorno dos campos na superf´ıcie da esfera, representando fisicamente as amplitudes dos campos espalhados e interiores `a esfera. (1)

Os potenciais de Debye espalhados cont´em fun¸co˜es de Hankel esf´ericas hj (|k|r) [38], que d˜ao conta do comportamento assint´otico dos campos eletromagn´eticos `a grandes distˆancias do centro espalhador (campo de radia¸ca˜o). Analogamente, os campos espalhados e interiores podem ser obtidos atrav´es da atua¸ca˜o dos operadores L e ∇ × L, nos potenciais de Debye associados a estes campos. Onde os potenciais interiores cont´em fun¸co˜es de Bessel jj (|k|r) que garantem a continuidade dos campos na origem.

2.5.3

Campos Totais Exteriores

Como veremos mais adiante, a quantidade f´ısica relevante para o c´alculo da for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica s˜ao os campos totais exteriores `a microesfera, compostos pela superposi¸ca˜o dos campos incidentes e espalhados, ou seja,

ET = EIN + ES

HT = HIN + HS ,

(2.5.11)

M HIN = HE IN + HIN

(2.5.12)

onde

M EIN = EE IN + EIN

e

M ES = EE S + ES

M HIN = HE IN + HIN .

(2.5.13)

Escrevendo os campos eletromagn´eticos com polariza¸co˜es TE e TM em termos dos seus respectivos potenciais de Debye eletromagn´eticos, temos que

M EIN = (−i)∇ × L(ΠE IN ) + (iωµ)(−i)L(ΠIN ),

(2.5.14)

30

M ES = (−i)∇ × L(ΠE S ) + (iωµ)(−i)L(ΠS ),

(2.5.15)

E HIN = (−i)∇ × L(ΠM IN ) + (−iωµ)(−i)L(ΠIN )

(2.5.16)

E HS = (−i)∇ × L(ΠM S ) + (−iωµ)(−i)L(ΠS ).

(2.5.17)

e

Dessa forma temos que os campos eletromagn´eticos totais podem ser escritos como

E M M ET = (−i)∇ × L(ΠE IN + ΠS ) + (iωµ)(−i)L(ΠIN + ΠS )

(2.5.18)

M E E HT = (−i)∇ × L(ΠM IN + ΠS ) + (−iωµ)(−i)L(ΠIN + ΠS ).

(2.5.19)

e

Onde os potenciais de Debye totais exteriores `a esfera s˜ao dados por

ΠE T

=

ΠE IN

+

ΠE S

  E0 −iωt X (1) E e = (i)γjm jj (|k|r) − aj hj (|k|r) YjM (θ, φ) (2.5.20) |k| jm

e

ΠM T

=

ΠM IN

+

ΠM S

  H0 −iωt X M (1) e = γjm jj (|k|r) − bj hj (|k|r) Yjm (θ, φ). |k| jm

(2.5.21)

Os campos eletromagn´eticos totais exteriores s˜ao escritos mais compactamente da seguinte maneira:

M ET = (−i)∇ × L(ΠE T ) + (iωµ)(−i)L(ΠT )

(2.5.22)

E HT = (−i)∇ × L(ΠM T ) + (−iωµ)(−i)L(ΠT ).

(2.5.23)

e

31

2.6

´ C´ alculo da For¸ ca Optica

De posse dos campos eletromagn´eticos totais exteriores `a esfera, estamos prontos para efetivar o c´alculo da for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica. A conserva¸ca˜o do momento eletromagn´etico implica que a for¸ca ´optica ´e dada por Ref. [39] I

d F= n ˆ · T dS − µε dt S ↔

Z

SdV,

(2.6.1)

V

onde ↔ I T= ED + HB − (E · D + H · B) 2

(2.6.2)

´e conhecido como tensor das tens˜oes de Maxwell, S ´e o vetor de Poynting associado ao fluxo de energia eletromagn´etica que atravessa uma esfera de raio infinito3 , que envolve o centro espalhador e I ´e uma matriz indentidade 3X3. As altas freq¨ uˆencias ´opticas t´ıpicas de oscila¸ca˜o dos campos eletromagn´eticos, nos permite tomar uma m´edia temporal , representada por h·i, da equa¸ca˜o (2.6.1), onde a for¸ca passa a ser expressa como I

d hFi = h n ˆ · T dSi − µεh dt S ↔

Z

SdV i.

(2.6.3)

V

Utilizando o fato de que o vetor de Poynting envolve um produto vetorial entre os campos el´etrico e magn´etico, juntamente com o de que os campos eletromagn´eticos oscilam com cos ωt, segue que a for¸ca ´optica passa a ser escrita da seguinte maneira 4 : 1 hFi = 2

I

↔

n ˆ · T dS.

(2.6.4)

S

Fisicamente, a extin¸c˜ao do termo envolvendo o vetor de Poynting S est´a associada ao fato do espalhamento se dar em regime estacion´ario j´a que o laser ´e cw. 3

A conserva¸ca ˜o do momento eletromagn´etico nos permite tomar uma esfera matem´ atica de raio

infinito envolvendo o centro espalhador. 4 A m´edia temporal da varia¸c˜ ao do momento eletromagn´etico armazenado no campo, R d µεh dt SdV i, ´e identicamente nula, j´ a que este termo ´e diretamente proporcional a cos ωt sin ωt, V cuja m´edia temporal ´e zero. Enquanto que a m´edia do fluxo de momento eletromagn´etico, H ↔ ˆ · T dSi, que atravessa a esfera, contribuir´ a com um fator meio, j´ a que hcos2 ωti = 12 . h Sn

32 Dessa forma, segue que a for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica pode ser obtida atrav´es da integra¸ca˜o do tensor de Maxwell ao longo de uma superf´ıcie esf´erica matem´atica ´ importante ressaltar o fato de que os campos eletromagn´eticos que de raio infinito. E aparecem na express˜ao (2.6.2), se referem aos campos totais exteriores `a microesfera, j´a que estamos avaliando o fluxo do tensor de Maxwell por uma esfera de raio infinito. Substituindo a express˜ao (2.6.2) na equa¸ca˜o (2.6.4), temos

1 hFi = 2

 I  1 r(εE · E + µH · H) r2 dΩ, εE(E · ˆ r) + µ(H(H · ˆ r) − ˆ 2 S

(2.6.5)

onde utilizamos o fato de que n ˆ =ˆ r e dS = r2 sin θdθdφ = r2 dΩ. Como estamos realizando uma integra¸ca˜o ao longo de uma esfera de raio infinito r → ∞, segue que os campos tamb´em dever˜ao ser avaliados neste limite. Pode-se mostrar que as componentes tangenciais de E e H caem com 1/r neste limite, enquanto que as componente radiais caem com 1/r2 . Portanto, o termo εE(E · ˆ r) + µ(H(H · ˆ r) contribuir´a na melhor das hip´oteses com 1/r3 . Tal fato nos permite concluir que este n˜ao contribuir´a para o c´alculo da for¸ca, j´a que o elemento de ´area ´e diretamente proporcional a r2 . Al´em disso, nos termos εE · E e µH · H, apenas as componentes tangenciais contribuir˜ao para o c´alculo da for¸ca, j´a que os termos radiais contribuir˜ao com 1/r4 . Assim, temos 1 hFi = − 4

  2 2 dΩ ε(rEtan ) + µ(rHtan ) .

I

(2.6.6)

S

Podemos concluir que apenas as componentes tangenciais dos campos eletromagn´eticos contribuir˜ao para a for¸ca ´optica. Com o intuito de tornar os c´alculos mais simples, utilizaremos os seguintes vetores auxiliares [40]:

IξX = (i)L(Πξ )

(2.6.7)

e

IξZ =

i (i)∇ × L(Πξ ), |k|

(2.6.8)

33 onde ξ = E, M representa, respectivamente, os multip´olos el´etrico e magn´etico. Substituindo as defini¸co˜es destes vetores nas express˜oes (2.5.22) e (2.5.23), obtemos para as componentes totais dos campos:   c M E E = i|k| IZ − µIX n1

(2.6.9)

  c E M H = i|k| i εIX + IZ . n1

(2.6.10)

e

Vale lembrar que apenas as componentes tangenciais contribuir˜ao para o c´alculo da for¸ca, ou seja,

Etan

  c M E = i|k| IZt − µIXt n1

(2.6.11)

Htan

  c E M = i|k| i εIXt + IZt , n1

(2.6.12)

e

onde IξZt e IξXt representam as componentes tangenciais dos vetores auxiliares. Escrevendo estes em coordenadas esf´ericas, temos ∂Πξ ˆ 1 ∂Πξ −θ , IξX = φˆ ∂θ sin θ ∂φ

IξZ

(2.6.13)

      ξ 1 ∂Πξ ∂ 1 ∂Πξ 1 ∂ ∂Π i ˆ r sin θ + −θˆ r = |k|r r sin θ ∂θ ∂φ sin θ ∂φ r ∂r ∂θ   1 ∂Πξ 1 ∂ ˆ r . (2.6.14) −φ r ∂r sin θ ∂φ

Separando os potenciais de Debye em uma parte radial e a outra, em uma parte angular, temos

Πξ = R(r)Θ(θ, φ).

(2.6.15)

Substituindo a separa¸ca˜o de vari´aveis (2.6.15), na equa¸ca˜o (2.6.14), obtemos

34

IξZt

     1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ i ˆ ˆ θ r [R(r)Θ(θ, φ)] +φ r [R(r)Θ(θ, φ)] . =− |k|r r ∂r ∂θ r ∂r sin θ ∂φ   i ∂ ∂ 1 ∂ = [rR(r)]ˆ r × φˆ [Θ(θ, φ)] − θˆ [Θ(θ, φ)] |k|r ∂r ∂θ sin θ φ    i ∂ = [rR(r)](i) ˆ r × L Θ(θ, φ) . (2.6.16) |k|r ∂r Substituindo as express˜oes para as componentes tangenciais dos campos to-

tais, dadas pelas equa¸co˜es (2.6.11) e (2.6.12), na express˜ao (2.6.6), obtemos para a for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica:    I 1 c2 2 M ∗ M c 2 E∗ E E∗ M E M∗ hFi = − r|k| ε dΩr IZt · IZt + 2 µ IX · IX − µ IZt · IX + IZt · IX 4 n1 n1    I c2 2 E ∗ E cε M ∗ E 1 2 M∗ M M E∗ I · IX + IZt · IX . (2.6.17) − r|k| µ dΩr IZt · IZt + 2 ε IX · IX + 4 n1 n1 Zt Utilizando o fato de que a integral do campo magn´etico obedece a seguinte igualdade: I

 I    2 2 dΩ ε(rEtan ) = dΩ µ(rHtan ) ,

(2.6.18)

onde esta u ´ltima, ´e uma conseq¨ uˆencia da igualdade entre as densidades de energia el´etrica e magn´etica de uma u ´nica onda plana [41], segue que a for¸ca de uma pin¸ca ´optica pode ser expressa como uma u ´ nica integral ao longo de um ˆangulo s´olido, cujo integrando envolve termos quadr´aticos nas componentes tangenciais dos campos. Dessa forma a for¸ca expressa pela equa¸ca˜o (2.6.17), pode ser reescrita como

1 hFi = − r|k|2 ε 2

I

   c2 2 M ∗ M c E∗ E E∗ M E M∗ dΩr IZt ·IZt + 2 µ IX ·IX − µ IZt ·IX +IZt ·IX . (2.6.19) n1 n1

Os detalhes do c´alculo da integral (2.6.19), ser˜ao apresentados no apˆendice B. Para uma melhor compreens˜ao f´ısica do problema, ´e importante notar que a for¸ca ´optica pode ser expressa atrav´es das componentes tangenciais dos campos el´etricos incidente e espalhado, j´a que o campo el´etrico total exterior `a esfera ´e escrito como a soma de ambos, ou seja,

35

Etan = EIN,tan + ES,tan .

(2.6.20)

Desta forma, analogamente a express˜ao (2.6.19), temos, substituindo (2.6.20) na equa¸c˜ao (2.6.6) e utilizando o resultado (2.6.18),

1 hFi = − rε 2

I

  ∗ ∗ ∗ dΩr EIN,tan ·EIN,tan +ES,tan ·ES,tan +2 1, quando um modo TM do campo eletromagn´etico ´e excitado, subestimando o m´odulo da for¸ca ´optica nesta regi˜ao. Por outro lado, notamos, a partir da figura 5.3.6, um melhor acordo entre a aproxima¸ca˜o de ´optica geom´etrica e a teoria de ondas parciais, para o comprimento de onda λ = 0.785 µm, que ´e n˜ao ressonante. Portanto, podemos concluir que as ressonˆancias de Mie s˜ao um aspecto ondulat´orio, inerente `a teoria de ondas parciais, n˜ao podendo ser previsto pela ´optica geom´etrica.

82

Figura 5.3.6: Gr´afico comparativo, para a for¸ca transversa, entre os modelos de ´optica geom´etrica e de ondas parciais na ausˆencia de ressonˆancia, para um comprimento de onda λ = 0.785µm, quando a esfera, de raio a = 4.5µm, ´e deslocada na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o. Linha s´olida: Modelo de Ondas Parciais, C´ırculos: Modelo ´ de Optica Geom´etrica.

Na figura 5.3.7, temos o gr´afico das somas parciais, do fator de eficiˆencia transverso para um feixe incidente linearmente polarizado na dire¸ca˜o φ = 0, em fun¸ca˜o do momento angular j, para uma microesfera cujo raio vale 4.5 µm e se encontra localizada em ρ/a = 1.14. Na legenda temos os triˆangulos representando a situa¸ca˜o em que o feixe incidente possui um comprimento de onda λ = 0.785 µm, encontrando-se fora da ressonˆancia, como indica a figura 5.3.3, comparado com a situa¸ca˜o em que o feixe incidente de comprimento de onda λ = 0.789 µm excita os modos TM no interior da microesfera. Notamos que para pequenos valores do momento angular, h´a uma superposi¸ca˜o de ambas as curvas. Por´em, conforme o mesmo aumenta, ocorre um salto abrupto da soma parcial referente ao comprimento de onda λ = 0.789 µm em contraste com o crescimento mais suave para λ = 0.785 µm. Notamos, a partir da curva referente ao modo TM excitado, que o multip´olo j = 48 ser´a

83 o que contribuir´a significantemente para o c´alculo da for¸ca ´optica, onde ka ≈ 47 ´e uma unidade menor que o mesmo. Tal fato n˜ao ´e mera coincidˆencia, pois a transi¸ca˜o entre o modelo ondulat´orio e de ´optica geom´etrica ocorre atrav´es da troca das somas ao longo do momento angular j por somas ao longo dos raios ´opticos, de tal forma que o princ´ıpio de localiza¸ca˜o [57, 58] prevˆe uma conex˜ao direta entre os dois regimes atrav´es da correspondˆencia j + 1/2 = kb, onde b ´e o parˆametro de impacto de um dado raio. De acordo com este princ´ıpio , os raios que contribuem significativamente para a ocorrˆencia das ressonˆancias de Mie s˜ao aqueles que incidem um pouco al´em da borda da esfera, ou seja, s˜ao aqueles para os quais j + 1/2 = kb > ka. Sendo assim j = 48 > 47 corrobora o resultado previsto pelo princ´ıpio de localiza¸ca˜o. Portanto, podemos concluir que o salto brusco da soma parcial para o caso ressonante, pode ser interpretado como uma assinatura das ressonˆancias de Mie quando um feixe incidente, um pouco al´em da borda da esfera, excita modos TE ou TM no interior da mesma.

Figura 5.3.7: Somas parciais do fator de eficiˆencia transverso em fun¸ca˜o do momento angular j, para a esfera sendo deslocada na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o. Triˆangulos: excita¸c˜ao de comprimento λ = 0.785 µm. C´ırculos: excita¸ca˜o de comprimento de onda λ = 0.789 µm.

84

5.4

Constante El´ astica Transversa

Nesta se¸ca˜o discutiremos a influˆencia do estado de polariza¸ca˜o do feixe incidente no c´alculo num´erico da constante el´astica transversa do laser, derivada analiticamente no apˆendice D.

Figura 5.4.1: Constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do raio da microesfera.Linha pontilhada: deslocamento na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o, linha tracejada: deslocamento na dire¸ca˜o perpendicular `a polariza¸ca˜o e linha s´olida: feixe incidente circularmente polarizado.

Na figura (5.4.1), estudamos a varia¸ca˜o da constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do raio da microesfera, para trˆes diferentes estados de polariza¸ca˜o para o feixe incidente, como indica a legenda. Neste c´alculo, tomamos uma objetiva de imers˜ao em ´oleo, deslocando o carrossel do microsc´opio de uma distˆancia de 3 µm. Nesta se¸ca˜o utilizaremos os mesmos parˆametros f´ısicos das simula¸co˜es das figuras 5.2.2 e 5.2.3. Especificamente, nesta aplica¸c˜ao, utilizamos para a largura do feixe o valor de 4.2 mm e uma pupila de raio de 3.5 mm. A simula¸ca˜o dos experimentos ´e realizada da seguinte maneira: A partir da figura (5.4.2), iniciamos a simula¸ca˜o com

85 a situa¸ca˜o em que a esfera est´a encostada na superf´ıcie da lam´ınula do microsc´opio. Impondo a condi¸ca˜o de que a for¸ca axial deva se anular, nesta situa¸ca˜o, obtemos o valor para a distˆancia L entre o foco paraxial e a lam´ınula:

Água

} }L Vidro

Figura 5.4.2: Esfera encostada na lam´ınula

}

Água

}

,

, L

Vidro

Figura 5.4.3: Esfera levitando ap´os o deslocamento da objetiva

86

Qz (ρ = 0, qz ) = 0 ⇒ Qz (ρ = 0, a − L) = 0,

(5.4.1)

onde de acordo com a mesma figura

qz = a − L.

(5.4.2)

Ap´os encontrarmos o valor de L a partir da equa¸ca˜o 5.4.1, substituimos o seu valor na equa¸ca˜o 5.4.2 e obtemos desta maneira a posi¸ca˜o de equil´ıbrio do centro da microesfera com rela¸c˜ao ao foco paraxial. Quando o carrossel do microsc´opio ´e deslocado de um valor s, a lei de Snell prevˆe um deslocamento do foco paraxial d dado por

d = Na s.

(5.4.3)

A posi¸c˜ao do foco passa a ser dada por

L0 = L + Na s.

(5.4.4)

Caso a esfera venha atingir uma nova posi¸ca˜o de equil´ıbrio, como indicado pela figura 5.4.3, esta ser´a dada mais uma vez procurando as poss´ıveis ra´ızes da componente axial:

Qz (ρ = 0, qz0 ) = 0.

(5.4.5)

´ imEstes passos foram repetidos para cada valor do raio da microesfera. E portante salientar que para s = 0, a microesfera se encontra encostada na lam´ınula. Sendo assim s representar´a nos resultados num´ericos e experimentais posteriores, deslocamentos acumulados do carrossel. Notamos a partir do gr´afico (5.4.1), uma dependˆencia mais acentuada da constante el´astica transversa, com o estado de polariza¸ca˜o do campo incidente na entrada da objetiva, para valores de raio em torno do pico da curva, como j´a era previsto a partir da figura 5.2.2, como uma conseq¨ uˆencia da assimetria do potencial armadilhador em torno do eixo ´optico para esta faixa de raios.

87

Figura 5.4.4: Fator de eficiˆencia transverso em fun¸ca˜o do deslocamemto radial cal´ culado atrav´es da aproxima¸ca˜o de Optica Geom´etrica descrita no apˆendice E. Linha pontilhada: deslocamento na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o, linha tracejada: deslocamento na dire¸ca˜o perpendicular `a polariza¸ca˜o.

Por outro lado, percebemos que a constante el´astica independe do estado de polariza¸c˜ao do feixe incidente para valores de raio a  λ (limite de ´optica geom´etrica). Tal fato pode ser confirmado pela figura 5.4.4, mostrando que a for¸ca ´optica independe do estado de polariza¸ca˜o `a distˆancias ρ  a do eixo ´optico. Na figura 5.4.5 comparamos os dados experimentais [15] medidos atrav´es do aparato esquematizado no cap´ıtulo 4 com a teoria apresentada no cap´ıtulo 3, onde o carrossel do microsc´opio ´e deslocado de 3 µm e utilizamos a mesma largura do feixe e do raio da pupila utilizados no gr´afico 5.4.1. Al´em disso, anexamos ao ´ gr´afico as curvas representando os limites Rayleigh: linha pontilhada e de Optica Geom´etrica: linha tracejada, mostrando que a teoria derivada no cap´ıtulo 3 est´a de acordo com os limites assint´oticos. Notamos uma excelente concordˆancia entre os

88 dados experimentais e a teoria no limite de ´optica geom´etrica. Entretanto notamos <

uma discrepˆancia entre ambos na regi˜ao a ∼ λ, mais precisamente em torno do pico.

Figura 5.4.5: linha s´olida: Formalismo de Mie-Debye com a esfera sendo deslocada na dire¸c˜ao da polariza¸c˜ao, Linha pontilhada: Limite Rayleigh, linha tracejada: ´ Limite de Optica Geom´etrica, pontos: Dados Experimentais medidos na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o.

Um outro tipo de medida experimental interessante ´e a da constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do deslocamento do carrossel do microsc´opio, para uma microesfera de raio fixo. Na figura 5.4.6, estudamos a influˆencia da polariza¸ca˜o do feixe no comportamento dessa fun¸ca˜o, para uma esfera de raio a = 1.52 µm. Utilizamos neste c´alculo os valores de 4.6 mm para a largura do feixe e de 3.0 mm para o raio da pupila da objetiva. Notamos que para esse valor de raio, a constante el´astica transversa, em fun¸ca˜o da profundidade, tem uma sensibilidade maior `a polariza¸ca˜o do feixe incidente do que na situa¸ca˜o em que variamos o raio da microesfera e fixamos um valor para o deslocamento do carrossel. De fato, temos um aumento da assimetria do potencial ´optico `a distˆancias ρ  a do eixo ´optico, para deslocamentos do carrossel na faixa 10 − 20 µm. Al´em disso verificamos a partir da mesma

89 figura, um comportamento oscilat´orio da constante el´astica, conforme variamos a profundidade deslocada.

Figura 5.4.6: Influˆencia da polariza¸ca˜o na constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do deslocamento do carrossel.

Na figura 5.4.7, comparamos resultados te´oricos e experimentais, onde realizamos uma polidispers˜ao te´orica de microesferas compreendidas na faixa de raios: 1.46 − 1.57 µm, como indica a legenda. A partir deste c´alculo em diante voltamos a utilizar os valores de 4.2 mm para a largura do feixe e de 3.5 mm para o raio da pupila da objetiva. Cada uma das duas seq¨ uˆencias de medidas experimentais, realizadas deslocando o carrossel do microsc´opio, foram efetuadas com uma u ´ nica microesfera de raio nominal a = 1.52 µm, deslocando-a na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o φ = 0. Notamos que a oscila¸ca˜o presente na figura 5.4.6, persiste para esta polidispers˜ao de microesferas compreedidas na faixa de raios j´a citada. Percebemos que a partir de um determinado valor para o deslocamento do carrossel, a constante el´astica transversa decai rapidamente, devido a diminui¸ca˜o de intensidade ao longo do eixo ´optico provocada pela aberra¸ca˜o esf´erica da interface vidro-´agua. Al´em disso nota-

90 mos um acordo qualitativo entre teoria e experiˆencia, no que diz respeito a medida das oscila¸co˜es previstas pela teoria, apesar do desacordo quantitativo entre ambos.

Figura 5.4.7: Constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do deslocamento do carrossel. Compara¸ca˜o entre medidas experimentais, deslocando a esfera na dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o, representadas por pontos e uma polidispers˜ao te´orica de microesferas compreendidas numa faixa de raios representada na legenda.

Na figura 5.4.8, confrontamos as medidas experimentais com os c´alculos te´oricos da constante el´astica transversa em fun¸ca˜o do deslocamento do carrossel, ´ importante para deslocamentos da microesfera nas dire¸co˜es ortogonais x e y. E ressaltar o fato de que as medidas foram realizadas utilizando-se uma u ´ nica microesfera de raio igual a 1.067µm. Mais uma vez as medidas nos d˜ao uma indica¸ca˜o do car´ater oscilat´orio da curva te´orica, apesar da discrepˆancia de quase 50% entre ambas. Tais discrepˆancias indicadas pela figura (5.4.7-5.4.8), podem ser atribu´ıdas a outras poss´ıveis aberra¸c˜oes de ordens mais altas, al´em da aberra¸ca˜o esf´erica da interface vidro-´agua, n˜ao inclu´ıdas no modelo. Como ´e sabido, as aberra¸c˜oes em sistemas ´opticos degradam os gradientes de intensidade. Esta justificativa para a discrepˆancia encontrada, ´e refor¸cada pelo fato de a objetiva utilizada ser projetada

91 para corrigir aberra¸co˜es esf´ericas na faixa do vis´ıvel, enquanto que o comprimento de onda utilizado ´e infra-vermelho. Acreditamos que as medidas das oscila¸co˜es das curvas te´oricas, indicadas nas figuras (5.4.6-5.4.8), s´o foram poss´ıveis gra¸cas a utiliza¸ca˜o de uma u ´nica microesfera para a medida da constante el´astica. Tal procedimento nos garante que estamos sempre utilizando uma microesfera de mesmo tamanho, aumentando desta maneira a precis˜ao experimental. Por outro lado, este m´etodo vai se tornando complicado conforme deslocamos o carrossel do microsc´opio, posicionando a microesfera longe da lam´ınula, j´a que ela tende a escapar da armadilha devido `as colis˜oes com as outras microesferas e tamb´em ao efeito da aberra¸ca˜o esf´erica que produz diminui¸ca˜o da intensidade ao longo do eixo ´optico.

Figura 5.4.8: Constante el´astica transversa medida e calculada deslocando a microesfera nas dire¸co˜es paralela (φ = 0) e perpendicular (φ = π/2) `a dire¸ca˜o da polariza¸ca˜o, para uma microesfera de raio a = 1.067µm.

92 Nossos resultados experimentais nos permite concluir que a constante el´astica transversa possui uma fraca dependˆencia com o estado de polariza¸ca˜o do campo incidente, estando de acordo com o resultado te´orico, uma vez que a diferen¸ca entre os resultados para os dois deslocamentos perpendiculares (φ = 0) e (φ = π/2), compreendidos entre s = 3µm e s = 15µm, ´e menor que a barra de erro de 10 %. Apesar de recentemente (Vermeulen et.al 2006) [17] ter verificado experimentalmente o decr´escimo da constante el´astica transversa em fun¸ca˜o da profundidade, para uma objetiva de imers˜ao em ´oleo, as poss´ıveis oscila¸co˜es experimentais n˜ao foram detectadas, j´a que possivelmente diversas microesferas de raios nominais iguais foram utilizadas ao longo das medidas, tendo como conseq¨ uˆencia a extin¸ca˜o das oscila¸co˜es previstas pela teoria em decorrˆencia de uma m´edia realizada sobre os diversos raios das microesferas de mesmos raios nominais utilizadas. Nesta mesma referˆencia, ´e estudada a varia¸ca˜o da constante el´astica em fun¸ca˜o do deslocamento do carrossel para uma objetiva de imers˜ao em ´agua. E como j´a era de se esperar eles verificam que a mesma permanece constante, conforme a microesfera ´e deslocada, devido a ausˆencia da aberra¸ca˜o esf´erica nesta situa¸c˜ao.

93

5.5

Ressonˆ ancias de Mie versus Aberra¸ c˜ ao Esf´ erica

Para finalizarmos este cap´ıtulo analizaremos a influˆencia da aberra¸c˜ao esf´erica no efeito das ressonˆancias de Mie. Para tal fim, simularemos uma objetiva de imers˜ao em ´oleo cuja abertura num´erica e raio de entrada da pupila valem, respectivamente, N.A = 1.25 e 3.5mm, e um feixe gaussiano de 5.0 mm de largura. Assim como na se¸ca˜o 5.3, levaremos em conta a dispers˜ao da ´agua e da microesfera armadilhada, cujos ´ındices de refra¸ca˜o valem, respectivamente, n1 = 1.324 + 3.046X10−3 /λ2 e n2 = 1.5683+10.087X10−3/λ2 . Tamb´em consideramos que a microesfera de raio a = 4.5 µm, sempre estar´a localizada no plano focal qz = 0, e a uma distˆancia transversal ρ/a = 1.14 do eixo ´optico, ou seja, o feixe ser´a focalizado em um ponto exterior `a microesfera. Nas figuras 5.5.1 e 5.5.2 estudamos o comportamento do campo de for¸ca ´optico em fun¸c˜ao do parˆametro de aberra¸ca˜o L (distˆancia entre o foco paraxial e a lam´ınula do microsc´opio). Notamos que a assimetria azimutal do potencial armadilhador exibe uma forte dependˆencia com o parˆametro de aberra¸ca˜o L quando o feixe incidente possui um comprimento de onda ressonante λ = 0.789 µm, em compara¸ca˜o com a situa¸ca˜o em que o feixe incidente possui um comprimento de onda n˜ao ressonante λ = 0.785 µm. Al´em disso constatamos a partir das mesmas figuras um aumento da for¸ca ´optica de quase 70%, em decorrˆencia das ressonˆancias de Mie, e conseq¨ uentemente um aumento da assimetria do potencial armadilhador, quando a microesfera ´e deslocada na dire¸c˜ao da polariza¸ca˜o, para um parˆametro de aberra¸ca˜o L/a ' 1.13.

94

Figura 5.5.1: Fator de eficiˆencia transverso em fun¸ca˜o do parˆametro de aberra¸ca˜o para uma microesfera de raio a = 4.5 µm e para um feixe de comprimento de onda n˜ao ressonante λ = 0.785µm. Linha pontilhada: deslocamento na dire¸ca˜o da polari¸ca˜o, linha tracejada: deslocamento na dire¸ca˜o perpendicular `a polariza¸ca˜o.

Figura 5.5.2: Fator de eficiˆencia transverso em fun¸ca˜o do parˆametro de aberra¸ca˜o para uma microesfera de raio a = 4.5 µm e para um feixe de comprimento de onda ressonante λ = 0.789µm. Linha pontilhada: deslocamento na dire¸ca˜o da polari¸c˜ao, linha tracejada: deslocamento na dire¸ca˜o perpendicular `a polariza¸ca˜o.

Cap´ıtulo 6 Conclus˜ ao Nos cap´ıtulos 2 e 3 derivamos express˜oes anal´ıticas para a for¸ca exercida por um feixe de laser incidente linearmente polarizado sobre uma esfera diel´etrica de raio e posi¸ca˜o arbitr´arios, em termos de uma expans˜ao em ondas parciais, atrav´es da utiliza¸ca˜o do modelo de Mie-Debye para o feixe focalizado, na ausˆencia e na presen¸ca de aberra¸ca˜o esf´erica. Recuperamos o resultado da Ref. [13], tomando o limite assint´otico, ρ → 0 , em que a esfera se encontra alinhada com o eixo ´optico, mostrando que nesta situa¸ca˜o a for¸ca independe do estado de polariza¸ca˜o do feixe incidente. No apˆendice E, recuperamos as componentes da for¸ca no limite Rayleigh, tomando o devido limite assint´otico das express˜oes derivadas no c´ap´ıtulo 2, demonstrando que a mesma ´e diretamente proporcional ao gradiente de intensidade do campo incidente, recuperando desta forma um resultado j´a conhecido na literatura. Tamb´em constatamos que as componentes ρ e z da for¸ca, para a situa¸c˜ao de luz n˜ao polarizadada, s˜ao identicamente iguais `as respectivas componentes para o caso de polariza¸ca˜o circular. Para valores grandes de raio (a = 4.5 µm) encontramos pleno acordo entre os modelos de ondas parciais e de ´optica geom´etrica na regi˜ao ρ/a ≤ 1 e um desacordo entre ambos para distˆancias do eixo ρ/a ≥ 1, na situa¸ca˜o em que o feixe incidente excita modos de galeria no interior da esfera [59](ressonˆancias de Mie). Tamb´em conclu´ımos que a assimetria azimutal do potencial ´optico a distˆancias ρ/a ≤ 1, ´e mais proeminente para uma pequena faixa de raios, compreendendo a regi˜ao em torno do pico da curva de constante el´astica, ou seja, para microesferas de 95

96 raios pequenos. Sendo esta, uma conseq¨ uˆencia do achatamento da regi˜ao focal na dire¸ca˜o φ = π/2. Por outro lado, no regime de ´optica geom´etrica a  λ, conclu´ımos que o potencial ´optico exibe uma forte simetria azimutal, em torno do eixo da pin¸ca. Tal car´ater sim´etrico surge pelo fato, de que neste regime, a refletividade R em cada plano local na superf´ıcie da esfera, no limite ρ/a → 0, n˜ao depende mais do ˆangulo de azimute de localiza¸ca˜o φ da mesma. Constantamos que o potencial ´optico para distˆanciais ρ/a  1 do eixo, n˜ao exibe uma forte dependˆencia com o estado de polariza¸ca˜o do feixe incidente. Entretanto na presen¸ca das ressonˆancias de Mie, esta dependˆencia ´e intensificada e a for¸ca ´optica pode ser aumentada em mais de 50% do seu valor fora da ressonˆancia. Tamb´em verificamos que as ressonˆancias de Mie ocorrem quando o feixe incide em um ponto exterior um pouco al´em da borda da esfera, sendo este o principal motivo pelo qual este fenˆomeno pode ser interpretado, semi-classicamente, em termos de um tunelamento do feixe por uma barreira de potencial centr´ıfugo [60]. No que diz respeito `a influˆencia da aberra¸ca˜o esf´erica no efeito das ressonˆancias de Mie, conclu´ımos que o controle experimental do parˆametro de aberra¸ca˜o L pode levar a um aumento da assimetria do potencial armadilhador na regi˜ao exterior a microesfera, ρ/a > 1, na situa¸ca˜o em que modos TE ou TM do campo eletromagn´etico s˜ao excitados no interior da mesma. Uma forte dependˆencia da posi¸ca˜o de equil´ıbrio com a polariza¸ca˜o do feixe incidente, foi verificada, onde esta dependˆencia aparenta aumentar monotonicamente conforme a esfera se afasta do eixo ´optico. No que diz respeito `a transferˆencia de momento angular para a esfera, podemos concluir que a mesma ´e quase nula para um feixe incidente linearmente polarizado. Apesar do pleno acordo entre os dados experimentais e a curva te´orica para raios a  λ, encontramos um desacordo entre ambos, para valores de raios a

< ∼

λ,

onde a discrepˆancia ´e dada aproximadamente por um fator dois. Como j´a foi dito, as aberra¸co˜es em sistemas ´opticos provocam a redistribui¸c˜ao da energia em cada ponto do espa¸co, tendo como conseq¨ uˆencia a diminui¸c˜ao da constante el´astica transversa. ´ importante salientar o fato de que a u E ´nica aberra¸ca˜o levada em conta em nosso modelo foi a aberra¸c˜ao esf´erica produzida pela lam´ınula do microsc´opio. N˜ao leva-

97 mos em conta as outras poss´ıveis aberra¸co˜es que podem estar sendo causadas pela objetiva do microsc´opio, que ´e corrigida para comprimentos de onda apenas na faixa do vis´ıvel. As aberra¸c˜oes provocadas pela lente da objetiva podem ser inclu´ıdas no modelo te´orico, atrav´es de uma fase adicional no modelo de Mie-Debye, para o feixe focalizado. A partir da´ı a fun¸ca˜o de aberra¸ca˜o contida na fase adicional, representando as deforma¸co˜es das frentes de ondas esf´ericas, poder´a ser expandida em termos dos polinˆomios ortogonais de Zernike [61], onde a ordem de cada polinˆomio est´a ligada com um tipo de aberra¸ca˜o espec´ıfica. De fato estas outras poss´ıveis aberra¸co˜es existentes, devem ser influentes para microesferas cujos raios est˜ao compreendidos em torno do pico da curva de constante el´astica. Tal fato j´a era esperado, j´a que a transi¸c˜ao entre o limite ondulat´orio e de ´optica geom´etrica ´e marcado pela extin¸ca˜o de qualquer fase existente, atrav´es do formalismo WKB [14]. Como perspectiva futura, pretendemos realizar um n´ umero maior de medidas utilizando microesferas compreendidas na faixa de raios em que as aberra¸co˜es s˜ao mais influentes, logo ap´os a inclus˜ao, em nosso modelo, das outras poss´ıveis aberra¸co˜es produzidas pela objetiva do microsc´opio.

Apˆ endice A C´ alculo do Termo Incidente-Espalhado(EIN · E∗S ) Neste apˆendice nos concentraremos no c´alculo do termo incidente-espalhado da for¸ca exercida por uma pin¸ca ´optica sobre uma esfera diel´etrica. Para tal fim, utilizaremos duas abordagens diferentes para expressar os campos incidente e espalhado. Expressaremos o campo incidente em termos de uma expans˜ao em ondas planas e o espalhado em termos de uma expans˜ao em multip´olos.

Campo Incidente Antes de atravessar a objetiva, o feixe incidente propagando-se na dire¸ca˜o ˆ z e polarizado na dire¸ca˜o x ˆ, poder´a ser decomposto em diversas ondas planas dadas por

ˆ. EkIN = E0 ei(kz−ωt) x

(A.0.1)

Ap´os atravessar a lente, cada uma das componentes do campo incidente sofrer´a uma rota¸ca˜o. Portanto:

ˆ, , EkIN = E0 ei(k·r−ωt) x onde 98

(A.0.2)

99

1 x ˆ, = (eiφk (θˆk + iφˆk ) + e−iφk (θˆk − iφˆk )), 2

(A.0.3)

´e o vetor de polariza¸ca˜o das diversas componentes no referencial (x0 , y 0 , z 0 ), com θk e φk parametrizando a dire¸ca˜o do vetor de onda k, de cada uma das componentes refratadas, referente ao sistema de coordenadas (x, y, z). Al´em disso, devemos levar em conta o deslocamento do foco em rela¸ca˜o `a origem, dado pelo fator e−ik·q , tal que,

ˆ, , EkIN = E0 ei(k·r−ωt) e−ik·q x

(A.0.4)

com k e q escritos no sistema de referˆencia (x, y, z), da seguinte maneira

k = kx x ˆ + ky y ˆ + kz ˆ z,

kx = k sin θk cos φk

ky = k sin θk sin φk

(A.0.5)

kz = k cos θk ,

ˆ + qy y ˆ + qz ˆ z. q = qx x

(A.0.6)

(A.0.7)

Como sabemos a objetiva focalizar´a o feixe incidente formando um cone de luz. Para obtermos o campo gerado por este cone devemos superpor as ondas planas dadas pela eq. (A.0.4), ou seja, EIN =

Z

dΩk

p cos θk E0 e−ik·q ei(k·r−ωt) x ˆ, .

(A.0.8)

Onde a integra¸c˜ao ´e realizada sobre toda a exten¸ca˜o do cone de abertura θ0 , e o √ fator cos θk , como j´a foi comentado, vem da condi¸ca˜o seno de Abbe.

Campo Espalhado Para o campo espalhado realizaremos a sua expans˜ao multipolar em termos dos coeficientes de Mie a serem determinados pelas condi¸co˜es de contorno. Na se¸ca˜o

100 2.6, realizamos a expans˜ao em multip´olos do campo eletromagn´etico, escrevendo-os em termos dos vetores auxiliares I0 s, definidos na mesma se¸ca˜o. Portanto, para o campo espalhado temos

E∗S = −i|k|(IE∗ z −

c m∗ I ), n1 x

(A.0.9)

onde

IM x =

H0 −iωt X m (1) e γjm (−bj )hj (i)L(Yjm ) |k| jm

(A.0.10)

e

IE zt = E0

−1 −iωt X d (1) e [(kr)hj ](i)[ˆ (−aj ) r × L(Yjm )], 2 |k| r d(|k|r) jm

(A.0.11)

  1 ∂Y ∂Y jm jm − θˆ (i)L(Yjm ) = φˆ ∂θ sin θ ∂φ

(A.0.12)

  1 ∂Y ∂Y jm jm (i)[ˆ r × L(Yjm )] = −θˆ − φˆ . ∂θ sin θ ∂φ

(A.0.13)

sendo

e

101

R

C´alculo da Integral( dΩr(EIN · E∗S )) Substituindo as equa¸co˜es (A.0.8) e (A.0.9), na integral

R

dΩr(EIN ·E∗S ), obte-

mos Z 

dΩr(EIN ·

E∗S )

1 = 2

Z

dΩr(

Z

dΩk

p cos θk E0 eik·r e−ik·q e−iωt )(−i|k|)×

    E0 iωt X E∗ ∗ (1)0 ∗ iφk ˆ −iφ ∗ ∗ e γjm (−aj )ζ e (θk + iφˆk ) + e k (θˆk − iφˆk ) ·(i) ˆr × L (Yjm ) |k|2 r jm    cµH0 eiωt X M ∗ ∗ (1)∗ iφk ˆ −iφk ˆ ∗ ∗ ˆ ˆ γjm bj hj (θk − iφk ) ·(i)L (Yjm ) , e (θk + iφk ) + e − |k| jm

onde 0

ζ (1) =

d (1) [(|k|r)hj ]. d(|k|r)

(A.0.14)

Utilizando as equa¸co˜es (A.0.12) e (A.0.13) temos que

(θˆk ± θˆk ) · (i)L

∗

∗ (Yjm )

 ∗ ∗  ∂Yjm 1 ∂Yj,m =− − ±i sin θk ∂φk ∂θk

(A.0.15)

e  ∗ ∗  ∂Yjm i ∂Yjm ∗ ∗ ˆ ˆ ∓ . (θk ± θk ) · (i)[ˆr × L (Yjm )] = − − ∂θk sin θk ∂φk

(A.0.16)

Sendo assim: Z 

dΩr(EIN ·

E∗S )

(−i)E02 = 2

Z

dΩr

Z

(1)0 ∗ X p ik·r −ik·q E∗ ∗ ζ dΩk cos θk e e eiφk × γj,m aj |k|r jm

 ∗ ∗  ∗ ∗  (1)0 ∗ ∂Yjm ∂Yjm i ∂Yjm i ∂Yjm E∗ ∗ ζ −iφk M ∗ ∗ (1)∗ iφk e − + bj hj e × +γj,m aj − +γj,m − ∂θk sin θk ∂φk |k|r ∂θk sin θk ∂φk   ∗ ∗  ∗ ∗  ∂Yjm ∂Yjm i ∂Yjm i ∂Yjm M ∗ ∗ (1)∗ −iφk + − +γj,m bj hj e − . (A.0.17) − ∂θk sin θk ∂φk ∂θk sin θk ∂φk

102 Usando o fato de que estamos calculando o fluxo de momento atrav´es de uma superf´ıcie esf´erica de raio infinito, isto nos permite tomar o limite assint´otico da fun¸ca˜o (1)

de Hankel hj : (1)∗

hj

→ (i)j+1

e−i|k|r , |k|r

(A.0.18)

0

−i|k|r d ζ (1) ∗ (1) je = [(|k|r)hj ] → (i) . kr d(|k|r) |k|r

(A.0.19)

Logo: Z

dΩr(EIN ·

E∗S )

(−i)E02 = 2

Z

dΩr

Z

dΩk

X p e−i|k|r × cos θk eik·r e−ik·q ij+1 |k|r jm

     ∗ ∗   ∗ ∗  ∂Yjm ∂Yjm 1 ∂Yjm 1 ∂Yjm E∗ ∗ M∗ ∗ iφk E∗ ∗ M∗ ∗ −iφk γjm aj +γjm bj e − + i + γjm aj −γjm bj e i . ∂θk sin θk ∂φk ∂θk sin θk ∂φk Na Ref.[62], foi encontrada uma express˜ao em termos das matrizes de rota¸ca˜o, djm,±1 (θk ), para a combina¸ca˜o das derivadas dos harmˆonicos esf´ericos: 

r ∗ ∗  p ∂Yjm 2j + 1 −imφk j 1 ∂Yjm − e ±i dm,±1 (θk ). = −i j(j + 1) sin θk ∂φk ∂θk 4π

(A.0.20)

Na mesma referˆencia ´e calculada uma express˜ao anal´ıtica para a integral radial, sendo o seu resultado dado por Z

  i|k|rπ 2 1 − ˆ 2 = 2πrk(−i) 1−e . |k|r (|k|r)2

−i|k|r ik·r e

dΩre

(A.0.21)

Portanto: Z

dΩr(EIN

r   2 i|k|rπ 2 X p 1 2j + 1 j (−i)E 0 i× · E∗S ) = 2πr(−i) 1 − e− 2 j(j + 1) 2 2 (|k|r) 4π jm

 Z p E∗ ∗ M∗ ∗ ˆ −ik·q e−i(m−1)φk dj (θk ) − (γ E∗ a∗ − γ M ∗ b∗ )× (γjm aj + γjm bj ) dΩk cos θk ke m,+1 jm j jm j Z

 p j −ik·q −i(m+1)φ k ˆ dΩk cos θk ke e dm,−1 (θk ) .

O resultado da integral no ˆangulo s´olido ´e dado por [63]:

(A.0.22)

103

Z

   p 1 j −ik·q −i(m∓1)φ ∓ ∓ k ˆ ˆ hsin θk λm+1 i + hsin θk λm−1 i + x e dm,±1 = dΩk cos θk ke 2    ∓ ∓ ∓ ˆ (i) hsin θk λm+1 i − hsin θk λm−1 i +ˆ z2hcos θk λm i , (A.0.23) y

onde

0

−i|k|qz λ∓ 2π(−i)m ∓1 Jm0 ∓1 (|k| sin θk m0 = e

q 0 qx2 + qy2 )e−i(m ∓1)φ .

(A.0.24)

Substituindo a eq. (A.0.23) em (A.0.22), obtemos Z

dΩr(EIN · E∗S )

r   i|k|rπ 2 X p (−i)E02 1 2πr(−i) 2j + 1 j − 2 1−e i× = j(j + 1) 2 2 (|k|r) 2 4π jm

  E∗ ∗ M∗ ∗ − − ˆ (hsin θk λ− (γjm aj +γjm bj ) x y(i)(hsin θk λ− m+1 i+hsin θk λm−1 i)+ˆ m+1 i−hsin θk λm−1 i)+ ˆz2hcos θk λ− mi

  E∗ ∗ M∗ ∗ + ˆ (hsin θk λ+ −(γjm aj − γjm bj ) x m+1 i + hsin θk λm−1 i)+

ˆ (i)(hsin θk λ+ y m+1 i

−

hsin θk λ+ m−1 i)

+

ˆz2hcos θk λ+ mi

 ,

(A.0.25)

onde:

m∓1 −i(m∓1)φ C hcos θk λ∓ e Gj,∓m , m i = 2π(−i)

(A.0.26)

−iφ hsin θk λ∓ 2π(−i)m∓1 e−i(m∓1)φ [±G∓ m+1 i = (−i)e j,±(m+1) ],

(A.0.27)

iφ m∓1 −i(m∓1)φ hsin θk λ∓ e [±G± m−1 i = (i)e 2π(−i) j,±(m−1) ].

(A.0.28)

Sendo

GC j,±m

=

Z

θ0

  q p j −ikqz cos θk 2 2 dθk sin θk cos θk dm,±1 (θk ) cos θk e Jm∓1 (|k| sin θk qx + qy )

0

(A.0.29)

104 e

G± j,m

=

Z

θ0

dθk sin2 θk

q p cos θk djm±1,1 (θk )Jm−1 (|k| sin θk qx2 + qy2 )e−iqz cos θk .

0

(A.0.30) E,M foram definidas na subse¸ca˜o 2.4.5. Visando escrevˆe-las de uma As fun¸co˜es γjm

forma mais compacta, iremos definir a fun¸ca˜o Gj,m :

Gj,m =

Z

θ0

sin θk

q p cos θk djm,+1 [e−ikqz cos θk Jm−1 (|k| sin θk qx2 + qy2 )].

(A.0.31)

0

Utilizando as propriedades para as fun¸co˜es de Bessel e matrizes de rota¸ca˜o dadas , respectivamente, por [64, 65]:

J−m = (−1)m Jm

(A.0.32)

djm,1 (θk ) = (−1)m−1 dj−m,−1 (θk ),

(A.0.33)

e

temos

Gj,−m =

Z

θ0

  q p j −ikqz cos θk 2 2 sin θk cos θk dm,−1 e Jm+1 (|k| sin θk qx + qy ) .

(A.0.34)

0

Sendo assim, as fun¸c˜oes γ 0 s, passam a ser reescritas da seguinte maneira:

E γjm

=

s

  π(2j + 1) j m−1 −imφ iφ −iφ (i) 2π(−i) e e Gj,m + e Gj,−m j(j + 1

(A.0.35)

  π(2j + 1) j m−1 −imφ iφ −iφ (i) 2π(−i) e e Gj,m − e Gj,−m , j(j + 1

(A.0.36)

e

M γjm

tal que,

=

s

105

E∗ ∗ M∗ ∗ aj +γjm bj γjm

=

s

  π(2j + 1) j m−1 imφ −iφ ∗ ∗ ∗ iφ ∗ ∗ ∗ (−i) 2π(i) e e Gj,m (aj +bj )+e Gj,−m (aj −bj ) j(j + 1) (A.0.37)

s

  π(2j + 1) j m−1 imφ −iφ ∗ ∗ ∗ iφ ∗ ∗ ∗ (−i) 2π(i) e e Gj,m (aj −bj )+e Gj,−m (aj +bj ) . j(j + 1) (A.0.38)

e

E∗ ∗ M∗ ∗ γjm aj −γjm bj

=

Substituindo as fun¸co˜es (A.0.26-A.0.28) e as rela¸co˜es (A.0.37) e (A.0.38) na integral (A.0.25), e utilizando o fato de que

1 hFe i = − rε 2

Z

    Z ∗ ∗ ∗ dΩr EIN · ES + EIN · ES = −r< ε dΩr(EIN · ES ) , (A.0.39)

obtemos para as componentes da for¸ca em coordenadas cartesianas, logo ap´os tomar o limite r → ∞:  2π 3 E02 ε X ∗ − hFe ix = − = (2j + 1) (a∗j + b∗j )(G∗j,m G+ j,m − Gj,m Gj,m+1 ) cos φ+ |k|2 jm (a∗j

−

b∗j )(G∗jm G+ j,−(m+1)

cos 3φ −

G∗j,m G− j,−(m−1)

 cos φ) ,

(A.0.40)

 2π 3 E02 ε X ∗ − hFe iy = − = (2j + 1) (a∗j + b∗j )(G∗j,m G+ j,m − Gj,m Gj,m+1 ) sin φ+ 2 |k| jm  − + ∗ ∗ ∗ ∗ (aj − bj )(Gjm Gj,−(m−1) sin φ + Gj,m Gj,−(m+1) sin 3φ) , (A.0.41)   4π 3 E02 ε X ∗ ∗ ∗ C ∗ ∗ ∗ C < (2j + 1) (aj + bj )Gj,m Gj,m + (aj − bj )Gj,m Gj,−m cos 2φ . hFe iz = |k|2 jm (A.0.42) Escrevendo-as em coordenadas cil´ındricas, temos:

hFe iρ = −

2π 3 E02 X ∗ − ∗ ∗ ε= (2j + 1){(a∗j + b∗j )(G∗j,m G+ j,m−1 − Gj,m Gj,m+1 ) + (aj − bj )× |k|2 jm ∗ − (G∗j,m G+ j,−(m+1) − Gj,m Gj,−(m−1) ) cos 2φ},

(A.0.43)

106

hFe iφ = −

2π 3 E02 ε X ∗ + = (2j + 1)(a∗j − b∗j )(G∗j,m G− j,−(m−1) + Gj,m Gj,−(m+1) ) sin 2φ, |k|2 jm (A.0.44)

hFe iz =

4π 3 E02 ε X ∗ ∗ ∗ C < (2j + 1){(a∗j + b∗j )G∗j,m GC j,m + (aj − bj )Gj,m Gj,−m cos 2φ}. |k|2 jm (A.0.45)

Onde

GC j,m = −

∂Gj,m . ∂(i|k|qz )

(A.0.46)

Apˆ endice B ˆ Integra¸ c˜ ao no Angulo S´ olido Separando os potenciais de Debye 2.5.20 e 2.5.21, exteriores totais `a esfera, em partes radial e angular como foi feito na se¸ca˜o 2.6, e substituindo-os nas express˜oes para os vetores auxiliares I0 s, obtemos:

Iξx =

X

γjm fjξ (i)L(Yjm )

(B.0.1)

jm

e

Iξzt =

(i) ξ X ξ ξ0 C γjm fj (i)[ˆ r × L(Yjm )], |k|r jm

(B.0.2)

sendo

Cξ =

  

iE0 −iωt e |k|

if ξ = E;

H0 −iωt e |k|

if ξ = M .

(B.0.3)

Onde temos definido fun¸co˜es radiais dadas por   j (|k|r) − a h(1) (|k|r) if ξ = E; j j j fjξ =  j (|k|r) − b h(1) (|k|r) if ξ = M , j j j 0

fjξ =

d [(|k|r)fjξ . d(|k|r)

(B.0.4)

(B.0.5)

Como vimos na se¸ca˜o 2.6, a for¸ca ´optica pode ser calculada expressando os campos uˆencia, apareeletromagn´eticos em termos dos vetores auxiliares I0 s. Em conseq¨ H H ∗ ∗ E M cem no c´alculo da for¸ca, as seguintes integrais: dΩr(IE dΩr(IM Zt · IZt ), X · IX ) e 107

108 H

∗

M dΩr(IE alculo Zt · IX ). A seguir apresentamos os principais passos envolvidos no c´

das mesmas.

Z

C´alculo da Integral

R

Substituindo a eq. (B.0.1) na integral

R

dΩr(Iξ∗ x

·

Iξx )

ξ 2

= |C |

XX

ξ γjξ∗0 m0 γjm fjξ∗0 fjξ

ξ∗

ξ

dΩr(Ix · Ix)

ξ dΩr(Iξ∗ x · Ix ), temos

Z

dΩ[L(Yj 0 m0 )∗ ] · [L(Yjm )]r. (B.0.6)

j 0 m0 jm

Utilizando os artif´ıcios da ´algebra linear, reescreveremos a integral acima da seguinte maneira: Z

ξ ξ 2 dΩr(Iξ∗ x · Ix ) = |C |

XX j 0 m0

ξ γjξ∗0 m0 γjm fjξ∗0 fjξ hj 0 m0 |Li rLi |jmi,

(B.0.7)

jm

onde foi usado o fato de que Z

dΩ[L(Yj 0 m0 )∗ ] · [L(Yjm )]r = (hYj 0 m0 |L)i (rL|Yjm i)i = hj 0 m0 |L · (rL)|jmi = hj 0 m0 |Li rLi |jmi.

(B.0.8)

De acordo com a Ref.[66], temos para o valor esperado do operador Li rLi :   r ˆ −j(j + 2)fj+1,m+1 δj+1,m+1 + j(j + 2)fj+1,−(m+1) δj+1,m−1 hj m |Li rLi |jmi = x 2   2 2 +(j − 1)fj,−m δj−1,m+1 − (j − 1)fj,m +ˆ y(i) j(j + 2)fj+1,m+1 δj+1,m+1 + j(j + 2)× 0

0

  z 2j(j + 2)× ×fj+1,−(m−1) δj+1,m−1 − (j − 1)fj+1,−m δj−1,m+1 − (j − 1)fj,m δj−1,m−1 +ˆ 2

2

 ×bj+1,m δj+1,m + 2(j − 1)bj,m δj−1,m , 2

(B.0.9)

onde a nota¸ca˜o compacta δj+1,m−1 , representa o produto de fun¸co˜es delta de Kroenicker δj+1,m−1 = δj 0 ,j+1 δm0 ,m−1 . Substituindo (B.0.9) na equa¸ca˜o (B.0.7), obtemos

109

Z

ξ dΩr(Iξ∗ x ·Ix )

ξ∗ +fj−1

ξ 2r

= |C |

2

X

ξ γjm fjξ

    ξ∗ ξ∗ ∗ ˆ fj+1 −j(j+2)fj+1,m+1 γj+1,m+1 +j(j+2)fj+1,−(m−1) x

jm

    ξ∗ ξ∗ ξ∗ ξ∗ 2 2 (j −1)fj,−m γj−1,m+1 −(j −1)fj,m γj−1,m−1 +ˆ y(i) fj+1 j(j+2)fj+1,m+1 γj+1,m+1

ξ∗ +j(j + 2)fj+1,−(m−1) γj+1,m−1



ξ∗ +fj−1



−(j

2

ξ∗ ξ∗ − 1)fj,−m γj−1,m+1 − (j 2 − 1)fj,m γj−1,m−1

  ξ∗ ξ∗ ξ∗ ξ∗ 2 +ˆ z fj+1 2j(j + 2)bj+1,m γj+1,m + fj−1 2(j − 1)bj,m γj−1,m .



(B.0.10)

Onde as seguintes fun¸co˜es foram definidas: s (j + m)(j + m − 1) fjm = (2j − 1)(2j + 1) p (j − m)(j + m + 1) s (j − m)(j + m) . = (2j − 1)(2j + 1)

gjm = bjm

C´alculo da Integral

Substituindo (B.0.2) na integral Z

ξ dΩr(Iξ∗ zt ·Izt )

R R

(B.0.11)

ξ∗

ξ

dΩr(Izt · Izt) ξ dΩr(Iξ∗ zt · Izt ),temos

X X ξ∗ ξ ξ∗ ξ 1 1 ξ 2 = |C | γj 0 m0 γjm fj 0 fj 2 (|k|r)2 r 0 0 jm

Z

dΩ[r×L(Yjm )]∗ ·[r×L(Yjm )]r

jm

(B.0.12) Reescrevendo a integral do termo da direita como Z

dΩ[r × L(Yjm )]∗ · [r × L(Yjm )]r = (hYj 0 m0 |[r × L])i (r[r × L]|Yjm i)i =

hj 0 m0 |[r × L] · (r[r × L])|jmi = hj 0 m0 |(r × L)i r(r × L)i |jmi,

(B.0.13)

e utilizando as propriedades do operador momento angular, ver Ref.[67], temos

110

hj 0 m0 |(r × L)i r(r × L)i |jmi = r2 hj 0 m0 |Li rLi |jmi.

(B.0.14)

Substituindo (B.0.13), (B.0.14) e (B.0.9) em (B.0.12), extra´ımos o seguinte resultado para a integral: Z

dΩr(Iξ∗ zt

+j(j +

·

Iξzt )

X ξ ξ0   ξ0  1 ξ∗ ξ 2r = |C | γ f x ˆ fj+1 −j(j + 2)fj+1,m+1 γj+1,m+1 (|k|r)2 2 jm jm j

ξ∗ 2)fj+1,−(m−1) γj+1,m−1

   ξ0 ∗ ξ∗ ξ∗ 2 2 +fj−1 (j − 1)fj,−m γj−1,m+1 − (j − 1)fj,m γj−1,m−1

   ξ0 ∗ ξ∗ ξ∗ ξ0∗ +ˆ y(i) fj+1 j(j + 2)fj+1,m+1 γj+1,m+1 + j(j + 2)fj+1,−(m−1) γj+1,m+1 +fj−1 ×    ξ∗ ξ∗ ξ0 ∗ ξ∗ 2 2 2j(j + 2)bj+1,m γj+1,m z fj+1 −(j − 1)fj,−m γj−1,m+1 − (j − 1)fj,m γj−1,m−1 +ˆ ξ0 ∗ +fj−1 2(j 2

−

ξ∗ 1)bj,m γj−1,m

C´alculo da Integral

R

Substituindo (B.0.1) e (B.0.2) na integral Z

σ dΩr(Iξ∗ zt ·Ix )

 .

(B.0.15)

ξ∗ σ dΩr(Izt · Ix ) R

σ dΩr(Iξ∗ zt · Ix ), temos que

Z X X ξ∗ i ξ0 ∗ σ 1 ξ∗ σ σ C C dΩ[(r×L)(Yj 0 m0 )]∗ ·[L(Yjm )]r. =− γj 0 m0 γjm fj 0 fj |k|r r j 0 m0 jm (B.0.16)

Reescrevendo o termo da direita como Z

dΩ[(r × L)(Yj 0 m0 )]∗ · [L(Yjm )]r = (hj 0 m0 |r × L)i (rL|jmi)i = hj 0 m0 |(r × L)i rLi |jmi,

(B.0.17)

e utilizando a propriedade do operador momento angular [68]:

(r × L)i rLi = r2 [(i)L],

(B.0.18)

111 onde

1 x{gj,m δj,m+1 +gj,−m δj,m−1 }+y(−i){gj,m δj,m+1 −gj,−m δj,m−1 }+ˆ z2mδj,m ], hj 0 m0 |L|jmi = [ˆ 2 (B.0.19) temos, substituindo as equa¸c˜oes (B.0.19), (B.0.18), (B.0.17) em (B.0.16): Z

dΩr(Iξ∗ zt

·

Iσx )

   1 ξ∗ σ r X σ ξ0 ∗ σ ξ∗ ξ∗ C C = γ f f x ˆ gjm γj,m+1 + gj,−m γj,m−1 +ˆ y |k|r 2 jm jm j j     ξ∗ ξ∗ ξ∗ (−i) gj,m γj,m+1 − gj,−m γj,m−1 +ˆ z 2mγjm .

(B.0.20)

112

C´alculo da Integral

R

2 ) dΩε(rEtan

Reunindo os resultados (B.0.10), (B.0.15) e (B.0.20), encontramos finalmente: Z

2 ) dΩε(rEtan

+j(j +

E∗ E 2)fj+1,−(m−1) γj+1,m−1 γjm

+j(j + −(j

2

  E0 E0∗  fj fj+1 r 2X E E∗ −j(j + 2)fj+1,m+1 γjm = εE0 γj+1,m+1 x ˆ 2 |k|r |k|r jm 

M M∗ 2)fj+1,−(m−1) γjm γj+1,m−1

E E∗ −1)fjm γjm γj−1,m−1

M∗ +fjM fj+1

 M M∗ γj+1,m+1 −j(j + 2)fj+1,m+1 γjm

 0 E0∗  fjE fj−1 E E∗ (j 2 − 1)fj,−m γjm γj−1,m+1 + |k|r |k|r

   M M∗ 2 M M∗ 2 M M∗ +fj fj−1 (j −1)fj,−m γjm γj−1,m+1 −(j −1)fjm γjm γj−1,m−1

0 E 0∗  fjE fj+1 E E∗ E E∗ M∗ j(j+2)fj+1,m+1 γjm γj+1,m+1 +j(j+2)fj+1,−(m−1) γjm γj+1,m−1 )+fjM fj+1 × y ˆ(i) |k|r |k|r  0 E 0∗ fjE fj−1 M M∗ M M∗ × (j(j + 2)fj+1,m+1 γjm γj+1,m+1 + j(j + 2)fj+1,−(m−1) γjm γj+1,m−1 + |k|r |k|r    2 E 2 E E∗ M M∗ M m∗ γj−1,m+1 −(j −1)fj,−m γjm γj−1,m+1 −(j −1)fjm γjm γj−1,m−1 +fj fj−1 −(j 2 −1)fj,−m γjm



  E 0 E 0 ∗ fj fj+1 E E∗ M∗ 2j(j+2)bj+1,m γjm −(j γj+1,m +fjM fj+1 2j(j+2)bj+1,m × +ˆ z |k|r |k|r  0 E 0∗ fjE fj−1 M M 2 E E∗ M M∗ 2 M M∗ 2(j − 1)bj,m γjm γj−1,m + fj fj−1 2(j − 1)bj,m γjm γj−1,m +2