Distribuições Discretas de Poisson - Professor Paulo Vieira Neto - Estácio Uniradial de São Paulo

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PAULO VIEIRA NETO

Distribuições Discretas de Probabilidade  Poisson  Hipergeométrica

São Paulo, Setembro/2009

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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. Tal processo, chamado de processo de Poisson, é similar ao processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou observações fixadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de chamadas em uma central telefônica. Tal como no caso de Bernoulli, supõe-se que os são independentes e que o processo é estacionário. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequeno com a relação à probabilidade de sucesso. Seja X o número de sucessos no intervalo, então:

P(X  k) 

e λ  λ k k!

 O número médio  é geralmente representado pela letra grega  (lambda) ou por .  A constante e é a base utilizada nos logaritmos naturais, número de Euler, 2,7182818. A variável X definida acima, tem distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é bastante utilizada na distribuição de número de: a) Chamadas telefônicas recebidas em uma central; b) Número de e-mails recebidos por um provedor; c) erros tipográficos impressos em um livro; d) Mortes por ataque de coração por ano,numa cidade; e) Carros que passam um farol etc. Exemplo: 1. Em uma central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: I) num minuto não haja nenhum chamado; II) em dois minutos haja duas chamadas;

I) X: número de chamas por minuto 

P(X  k) 

eλ



λ 

300 5 60

λk

k! e 5  50 2,7182818  5  1 0,0067379  1 P(X  0)   P(X  0)   P(X  0)  0! 1 1 P(X  0)  0,0067379 II) Em dois minutos   = 2 x 5 = 10 [ = 10]

e λ



λk

k! e 10  10 2 2,7182818 10  100 0,0000454  100  P(X  2)   P(X  2)  2! 2x1 2 0,00454 P(X  2)   P(X  2)  0,002270 2 P(X  2) 

Resolução utilizando a calculadora HP-12C X

1ge

 10 CHS  yX  100 X  2   0,002270  Resultado;

Resolução utilizando uma calculadora Científica: X 1 2ndF LN  y 10 [+/-] = x 100 =   2 = 0,002270  Resultado. X

Lembrando e  é a base do logaritmo neperiano [LN]  logaritmo natural. X X Quando teclamos na HP-12C  1 g e  quando X = 1, e = 2,718281828; obtemos a base 2,71828.... Quando teclamos na Calculadora Científica  SHIFT LN 1=, quando X = 1, eX = 2,718281828,  obtemos a base 2,71828... 2) Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por hora. A probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente três chamadas é:

3

A média foi fornecida:  = 5. P( X = 3)  e = 2,7182818.

P(X  k)  P(X  3) 

e λ



λk

k! e

5



53

 P(X  3) 

2,7182818  5  125 0,00673795  125  P(X  3)  3x2x1 6

3! 0,84224338 P(X  3)   P(X  3)  0,140374  P(X  3)  0,1404 6

Bibliografia utilizada - Retirado de: KAZMIER, Leonard J.Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo : Makron Books, 1982. pp. 94-6.

Distribuição de Poisson Na Distribuição Binomial, a variável definida era o número de sucessos em um certo intervalo discreto (repetição do experimento). Entretanto, em muitas situações, poderemos estar interessados no número de sucessos em um certo intervalo contínuo, intervalo este que pode ser: comprimento, tempo, superfície etc. Como exemplo podemos citar: a) Número de defeitos por metro em determinado tecido; b) Número de defeitos na impressão de certo livro; c) Número de partículas emitidas por fonte radioativa em certo intervalo de tempo; d) Número de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de tempo de 3 minutos e) Número de carros que passam por um pedágio no intervalo de tempo de 30 minutos etc. Assim como os exemplos acima, podemos enumerar "n" exemplos. Mas se observamos, em todos os exemplos citados foi introduzida a variável "t", que é o comprimento do intervalo de observação. O que buscamos é construir a distribuição de probabilidade da variável; número de sucessos em um intervalo = t = de observação, o que será possível sob certas condições expressas a seguir. Primeiramente, vamos dividir nosso intervalo de tempo "t" de observações em "n" pequenos intervalos, sendo que estes terão comprimentos ( t/n). Diante dessas condições- vamos admitir as seguintes hipóteses para a construção do modele a) Em intervalos muito pequenos, a probabilidade da ocorrência de um sucesso deve ser proporcional ao tamanho do intervalo. H -,,-»,, b) Ainda em intervalos muito pequenos, temos que admitir que a probabilidade da ocorrência de mais de um sucesso deve ser desprezada. c) A probabilidade da ocorrência de um sucesso é igual em intervalos de mesmo comprimento. d) As ocorrências de sucesso em intervalos mutuamente exclusivos devem ser independentes. Diante dessas hipóteses, podemos descrever uma expressão analítica para a função: P [(X = x)], e, para melhor entendimento, vamos definir os parâmetros da função por meio de um exemplo prático. Vamos admitir que, em determinado processo de impressão, apareça, em média, um erro em cada 400 páginas impressas, ou seja, 0,0025 falhas por página. Podemos dizer que esta é a freqüência média do fenômeno e vamos denotar por , ( = t). Agora vamos supor que desejamos analisar a distribuição do número de falhas possíveis que aparecerão a cada 1.000 páginas impressas. Sob estas condições citadas, vamos escrever a função de probabilidade dessa [ VA ] variável aleatória, cuja média será 0,0025 falhas por página impressa. Logo, temos 0,0025 falhas por página impressa. Logo, temos 0,0025 x 1.000 – 2,5 falhas, ou seja, 2,5 falhas para cada 1.000 páginas impressa. Logo,

 = t

[, lâmbda]

Sendo a média da variável já conhecida, vamos calcular a probabilidade de obtermos “x” sucessos em um intervalo t, podendo agora ser considerada como probabilidade de ocorrer 1 (um) sucesso em “x” intervalo de tamanho (t/n), sendo que este pode ser obtido por meio da distribuição binomial, ou seja,

  x n! n  x [1] P [( X  x )]   p X p x !( n  x )!  

ou como conhecemos 

n  P(X  k )   p k qn  k k 

Fazendo assim, vamos associar a cada pequeno intervalo de tamanho (t/n), uma variável do tipo Bernoulli, na qual o sucesso será a ocorrência de um sucesso nesse intervalo (t/n). Logo, a média dessa variável será expressa por cada intervalo, ou seja:

μ 

λt n

 p

 λt    , que é igual à probabilidade “p” de ocorrência de sucesso para n

4

A expressão [1] só será válida quando o número de intervalos n tender a infinito (  ) . Logo, temos: x

 n   t     n    x  n  desenvolvendo esse limite, chega-se a: P [( X  x )]



lim

PX  x  

e- x x!

t   1   n  

nx

,

X

Lembrando  e = 2,718281828 [Número de Euler]  Base de LN  Logaritmo Neperiano. X X Para se obter o e = 2,718281828 na HP, tecle 1 g e  esta em azul na tecla 1/x.  nas calculadoras científicas, tecle 1 2ndF ln [LN].  Vamos precisar de uma calculadora científica. Bibliografia utilizada  Extraído de: FERREIRA, Wilson & TANAKA, Osvaldo K. Elementos de Estatística. São Paulo : McGraw-Hill, s/d. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Uma [ VA ]  variável aleatória x admite distribuição de Poisson se: 1. x = 0, 1, 2, 3, 4, ... k

e-   2. p(X  k )  k! 3.   E(x)    [Média, esperança de x] 4.

σ 2 (x)  

Uma aplicação imediata deste modelo ocorre quando uma variável aleatória x admite distribuição binomial com o número n de repetições do experimento muito grande (n > 30) e com probabilidade p de sucesso muito pequena (p < 0,05). Nesta situação, o cálculo numérico da expressão:

 n  k n k  p q , k 

se torna praticamente inviável.

Nestas condições, o valor de: k

e-   n  k n k   p q k! k  onde   n . p, isto é, selecionamos

como aproximação para a binomial uma distribuição de Poisson com a

mesma média da distribuição binomial. Exemplos 1. Uma máquina produz nove peças defeituosas a cada 1.000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que cada lote que contém: a. 200 peças, sejam encontradas oito peças defeituosas; b. 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa. Solução:

1. E; observação de uma peça:

9  D  p(D)  0,009  P(D)  1000  0,009   N  p(N)  1  p(D)  1 - 0,009  0,991  

2. No item a, o experimento E será repetido independentemente 200 vezes; 3. Estamos interessados na ocorrência de dois sucessos (D = peça defeituosa) e 192 fracassos independentes da ordem de ocorrência. A [VA] variável aleatória admite distribuição binomial e:

8 192  200  p[x  8]   0,009  0,009   0,00042 8 

Com a ajuda do Excel, ou outro software, pode-se chegar ao resultado. O Cálculo correspondente com aproximação pelo modelo de Poisson é: Média 

  n . p,   = 200 x 0,009 = 1,8;

5

8

p (X  8) 

e -1,8 1,8   0,00045 8!

p (X  8) 

2,71828182 8-1,8 110,1996058  18,21587233 40.320

Solução utilizando o

EXCEL:

40,320

 0,00045

X = 8, Média = 1,8

POISSON(8;1,8;FALSO)  0,000451783  = POISSON(8;1,8;FALSO) X = Média Cumulativo

8 X: é o número de eventos 1,8 Média: é o valor numérico esperado, um número positivo Cumulativo: é um valor lógico: para a probabilidade Poisson, use VERDADEIRO; FALSO para a função de probabilidade de massa Poisson, use FALSO. 0,000451783

P( X = 8 ) =

Com a calculadora HP-12C [ 1 g eX 1,8 CHS YX ]  [ 1,8 Enter 8 YX X ]  8 g 3[n!] X

 Resultado  0,00045178

X

1 [2ndF] [ln]  [Y ] 1,8 [+/-] [ =] [X] 1,8 [Y ] 8 [=] [  ] 8 [2ndF] [CE] [=]

 Resultado  0,00045178

Obs-1: as notações entre chaves, indicam teclas. X Obs-1: na tecla [ln] [LN]  está a base LN e ; na Tecla [CE]  esta n! . Observe que as duas formas de cálculos

1

8 192  200  p[x  8]    0,009  0,009   0,00042  e  8  



8

p (X  8) 

e -1,8 1,8   0,00045 8!

apresentam praticamente os mesmos valores, uma vez que as condições

para a aproximação n > 30 e p < 0,05 estão satisfeitas. Item b)

λ  n. p  500 . 0,009  4,5 k

p (X  k) 

0

e - λ λ  e - 4,5 4,5   p[x  0]   0,0111 k! 0! 0

Lembrando: 0! = 1, qualquer número exponenciado a 0 = 1, Y = 1. A distribuição de Poisson, além da utilização para o cálculo aproximado da distribuição binomial tem vasta aplicação em problemas de filas de espera; controle de estoques; controle de qualidade; programação de equipamentos etc.

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA FERREIRA, Wilson & TANAKA, Osvaldo K. Elementos de Estatística. São Paulo : McGraw-Hill, s/d. KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo : Makron Books, 1982. MEDEIROS DA SILVA, Ermes et alli. Estatística para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. v. 2, São Paulo : Atlas, 1995. 4 v. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo : Lapponi Treinamento, 2000. LARSON, Ron e FARBER, Betsy. Estatística aplicada. São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2004. LEVIN, Jack e FOX, James Alan. Estatística para ciências humanas. São Paulo : Pearson , 2004. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo : Atlas, 2001. SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1995.

1

Vide Medeiros e alli (1995). V.2 pp. 43-4

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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Quando a amostragem se faz SEM REPOSIÇÃO de cada ítem amostrado de uma população finita, não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que existe uma mudança sistemática na probabilidade de sucesso, à medida que os itens são retirados da população. A distribuição GEOMÉTRICA é a distribuição DISCRETA de probabilidade apropriada quando existir AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO em uma situação que se, não fosse por isso, seria um processo de Bernoulli. Sendo X o número dado de sucessos, N o número total de itens da população, XT o número total de "sucessos" na população, e n o número de itens na amostra, a fórmula para se determinar as probabilidades hipergeométricas é:  N  X T  X T     n  X  X  P( X | N, X T , n )   N  n   

EXEMPLO: De seis empregados, três estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro empregados são aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, a probabilidade de que exatamente dois estejam na companhia há cinco ou mais anos é:

P( X  2 | N  6 XT

 6  3  3   3  3  3! 3 !       4  2  2  2  2    2 !1 !2!1 !   3 , n  4)    6! 6  6     4! 2!  4 4

3 3   15

0 ,6 0

Bibliografia utilizada - Retirado de: KAZMIER, Leonard J.Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo : Makron Books, 1982. pp. 93-4. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Consideremos uma população com N elementos, dos quais r têm uma determinada característica (a retirada de um desses elementos corresponde ao sucesso). Retiramos dessa população, SEM REPOSIÇÃO, uma amostra de tamanho n. Seja X: número de sucessos na amostra (saída do elemento com a característica). Qual a P(X = k)? Podemos tirar

 N  amostras sem reposição. Os sucessos na amostra podem ocorrer de  r  maneiras de n  k     

N - r      n - k 

Assim,  r  N - r        k n k    P( X  k )   N     n 

Exemplo. (MORETTIN, 1999:119). Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas. (...) b) Qual a probabilidade de que 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 brancas?  r  N - r        k n k    P( X  k )   N     n 

 P ( X  3) 

 10   3

  40     13

 50    16

   

   

 0 , 293273

Adaptado por Paulo Vieira Neto,. Uma urna tem 6 bolas brancas e 14 pretas. Qual a probabilidade de que 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 brancas? N = 20  Total de bolas na urna: 20 n = 16  Total de bolas retiradas: 16 r = 6  Total de bolas, cálculo prob.: 6 [6 bolas brancas] k = 3  Para o Cálculo Probabilidade de sair [3] bolas brancas.

 N  r  r     n  k  k   P(X  K)  N   n 

7

 20  6  6   16  3  3      20   16   

P(X  3) 

 14   13    6 3    20   16   



14!



13!1!



6!



20! 16!4!



14x20 4845



280 4845

 P(X  3)  0,0578

 14

13! x1

6x5x4x3!



3!3!

14x13!



 14  6   13  3      20   16   

 20

3! x(3x2x1)



20x19x18x17x16!

 4845

16! x(4x3x2x1)

Bibliografia utilizada  Extraído de: MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica v.1. São Paulo : Makron Books, 1999 DISTRIBIÇÕES DISCRETAS Distribuição de Bernoulli (Lei dos Grandes Números) (...)

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA No caso da Distribuição Hipergeométrica, a idéia da amostragem é sem reposição, isto é, para eventos dependentes. Supondo-se um conjunto de N elementos, b dos quais apresentam uma certa característica (b < N). Serão extraídos n elementos (n < N) sem reposição. Caso isto ocorra, temos uma distribuição hipergeométrica:  b  N - b        x n x    P( X  x )   N     n 

Bibliografia utilizada  Extraído de: FERREIRA, Wilson & TANAKA, Osvaldo K. Elementos de Estatística. São Paulo : McGraw-Hill, s/d. Cálculo das Loterias  r  N - r        k n k    P( X  k )   N     n 

N = Total de números do jogo (ex.: Quina: 80) n = Total de números extraídos (ex.: Quina: 05) - [Sem reposição] r = Total de números apostados (ex.: Quina: 8, 7, 6 ou 5) k = Total de números com que se ganha (ex.: Quina. 5 = quina; 4 = quadra ou 3: terno) r k

r! = ---------------k!(r – k)!

PMega-sena = Dupla-sena = Quina = Lotomania =