Paradigma de la programación orientada objetos
Leoncio Ibarra M. Email:
[email protected]
Los lenguajes de programación orientado objetos, han alcanzado un
nivel de desarrollo, aplicabilidad y accesibilidad universal que pareciera
debiera ser la materia obligada de todo estudiante, como hace un tiempo así
los creímos con relación a las matemáticas.
El paradigma de los lenguajes de programación orientados a objetos es
distinto al de las matemáticas. En matemáticas básicamente interesa definir
conjuntos y funciones, para luego estudiar algunas de sus propiedades. Un
apartado muy importante es el relativo a la teoría de ecuaciones, donde se
plantean varias funciones casi siempre del mismo tipo y el problema
consiste en encontrar sus incognitas o raices principalmente mediante una
fórmula compacta, y algunas veces mediante un algoritmo que aproxime a la
solución. Las raices son los valores que al ser evaluados por estas
funciones o ecuaciones se consigue las igualdades previstas. En esta
pretención se ha previlegiado las ecuaciones lineales o las ecs.
diferenciales pero que sean ordinarias y de primer orden, ya que las de
otro tipo de ecuaciones como: las ecs. exponenciales o trigonómetricas o
las ecuaciones en derivadas parciales o las de orden superior son
problemas, que en casí todos los casos, están sin solución analítica
exacta. En efecto, a sabiendas de la teoría de Galois, y aún en el caso más
sencillo: al pretender encontrar las "raices de la unidad", o sea las x
que cumplen x elevado a la n =1. En este caso, por ejemplo, se establece de
modo bicondicional los casos en que es posible encontrar de modo exacto
las raices de la unidad con operaciones con radicales, en los casos en que
NO, que son bastantes, no hay ni habrá métodos generales exactos, luego
sólo resta proponer en estos casos restantes algoritmos que aproximen a los
valores de las raices. Lógicamente, lo mismo pasa si nos remitimos a
encontrar las raices de las ecuaciones trigonometricas equivalentes,
utilizando la formula de Moivre.
Cfr. A HISTORICAL PERSPECTIVE ON THE PROBLEM OF REPRESENTING THE ROOTS OF
UNITY THROUGH RADICALS. J.Villa-Morales,
[email protected]; J.E. Macias-
Diaz 2,
[email protected]
En los lenguajes orientados a objetos, su interés es genérico y
centrado en definir:
clases, son "conjuntos" de objetos de ciertos atributos, donde los
atributos pueden ser valores primitivos o incluso objetos de la misma u
otra clase, donde los valores de los atributos pueden ser comunes o No a
todos los objetos de la clase,--el concepto de clase es mas general que el
de conjunto tradicional, ya que los elementos no siempre son simples
valores primitivos u objetos de ciertos atributos, sino que pueden ser
objetos "complejos" definidos incluso por otros objetos de ciertos
atributos del mismo tipo o no que el de la clase original--.
y definir métodos, son "funciones" con o sin parámetros, independientes o
NO de los objetos de la clase,--el concepto de método es mas general que el
de función tradicional ya que dispone de argumento interno y argumento
externo: el argumento interno son todos los valores donde se evalua y el
argumento externo en donde se aplica, por ejemplo, la velocidad final en
caida libre; su argumentos internos son la velocidad inicial y el tiempo
que dura la caida o la distancia recorrida; y su argumento externo es estar
en la tierra a nivel del mar. Los métodos pueden tener valor de retorno
nulo, o un objeto, o un atributo de un objeto, o un simple numero.Todos los
métodos se diseñan para hacer algo, digamos para definir o modificar los
atributos del objeto al cual se aplica el método, o para modificar los
atributos de los objetos en los cuales se evalua el método, o para hacer
algo relacionado con otros objetos o valores locales que no son sus
argumentos interno o externo--. Así al tener un problema, lo que hay que
hacer es elegir algunos objetos y métodos de ciertas clases para resolverlo
algorítmicamente, lo cual significa que hay que proponer una orquesta de
métodos, la cual a su vez puede incluir algunas composiciónes en cadena de
métodos y de argumentos, inportando o no que tan compleja sea la orquesta,
importando o no que los métodos sean concurrentes o en sincronía, de modo
que finálmente logremos resolver el problema. El problema estará resuelto
en términos de cierto criterio de optimización o paro.
En los lenguajes orientados a objetos siempre existe la posibilidad
de alguien proponga otra mejor orquesta o algoritmo que resuelva el mismo
problema en menor número de pasos o tiempo, y tambien siempre será posible
cambiar o ser mas exigente con el criterio de optimización o paro. Como ves
resolver un problema no necesariamente se reduce a encontrar soluciones a
determinadas ecuaciones, si no mas bien en decidir el modo como objetos y
métodos de diversas clases trabajen en equipo, para que al invocar o
proponer una o varias composiciónes de ellos quede resuelto nuestro
problema de interes. Esos objetos y métodos elegidos siempre están
disponibles para resolver cualquier otro problema, es decir, no fueron sólo
propuestos o diseñados solo para nuestro problema. Por lo tanto las clases
con sus objetos y métodos existen o fueron definidos para que realizarán o
se pudiera llevar a cabo ciertas tareas genéricas y simples, de manera que
con nuestra creatividad será posible al proponer multiples cadenas de
composición para que sea posible lograr tareas mas complejas, con
propósitos muy diversos. O sea es mas natural el recicaje de las ideas en
los lenguajes orientados a objetos, y la solución a los problemas es
constructiva y es posible ampliarla o mejorarla en cualquier momento
agregando una nueva clase que puede heredar los objetos y métodos de otra
clase y con la posibilidad además de definir nuevos métodos , incluso
sobrescribiendo los que ya teniamos.
Dogmas de la matemática formal y la necesidad de una matemática
computacional
Dejas de ser un fanático de la matemática: cuando al conocer otras
grandes manifestaciones del intelecto humano éstas logran impresionarte a
tal grado que no dudas en afirmar o concluir: "las matemáticas NO es el
prototipo de la única o mejor verdad lógica posible, ni tampoco es el mejor
entrenamiento disponible para el logro del desarrollo intelectual", o bien,
cuando te atreves a ubicar o concebir a la matemática como un simple
lenguaje o producto cultural, y no como un lenguaje o producto cultural
casi divino, entonces estarás en mejores condiciones de aprender y apreciar
el lado brillante y creativo de otras grandes proezas del (intelecto)
humano, por ejemplo, entre otras: la tecnología java, y también si eres
autocrítico muy probablemente te atreverás a descubir en la matemática su
lado oscuro o dogmático.
En lo que se refiere al lado oscuro o dogmático de la matemática, pongamos
algunos ejemplos, para evidenciarlo.
Como que no es natural haya un conjunto B que tenga por elemento a B
mismo?, si hasta es posible construir una funda con una funda incluida
igual a ella, sin embargo al considerar al conjunto C, cuyos elementos x
NO son elementos de x mismo, no sabemos decidir si C es o no elemento de C
mismo. Así tenemos la paradoja de Russell, que se resuelve postulando que C
no es conjunto, aunque algunos creyeron que la paradoja se originaba al
admitir la posibilidad de que un conjunto tuviera por elemento a si mismo,
asi se divulgó (equivocádamente) que era inadmisible que un conjunto
tuviera por elemento a si mismo. Otro "conjunto diabólico" es el conjunto U
de los todos los conjuntos ya que al aceptarlo como conjunto, U debe ser
elemento de si mismo, tan sólo por eso ya era incómodo para algunos; lo mas
grave de este natural conjunto universal es que se convierte en un "hoyo
negro" ya que U tendria mas elementos que su conjunto potencia P(U), pues
por definicion de U: P(U) es subconjunto propio de U, asi habria un
contraejemplo de que la cardinalidad de P(X) es mayor que la cardinalidad
de X. Muere el contraejemplo inadmisible, simplemente postulando U no es un
conjunto, aunque de nuevo algunos creyeron que la paradoja del super
"conjunto" U se originaba porque admite que U sea elemento de U mismo.
Como es que siempre es posible exista una función de eleccion, cuyo dominio
son los indices de una familia de conjuntos no vacios, ajenos y la imagen
bajo la funcion para cada indice es un elemento del conjunto
correspondiente de esa misma familia?; o sea estamos tratando de criticar
al axioma de elección, que en otras de sus versiones equivalente, reza así:
si tenemos una familia de conjuntos ajenos no vacios entonces siempre
existe otro conjunto donde cada uno de sus elementos fue tomado de uno y
solo uno de los conjuntos de esa misma familia, de tal suerte de que si los
elementos son distintos, entonces fueron tomados de conjuntos distintos de
esa misma familia. Nótese que aqui la familia de conjuntos puede ser
infinita, luego al axioma de elección le resulta fácil postular que siempre
tendremos el tiempo necesario para hacer lo que se menciona, o que alguien
tuvo el tiempo necesario para hacerlo; por otro lado se sabe que la
disponibilidad de un tiempo infinito es una vacilada por la que nadie
apuesta , o si?. Alguien puede replicar diciendo: si hemos aceptado los
limites de una funcion f(n), cuando n tiende a infinito, por que no esto
también?. Si se ve con cuidado los limites que involucran infinito, no
requieren de un proceso de tiempo infinito, simplemente afirman que cada
vez que se intente sera posible verificarlo algo para un numero
suficientemente grande. Lo cual no es análogo a lo que establece el axioma
de elección. Sin embargo el axioma de elección es seductor y pareciera no
debe de haber problema y hasta pareciera natural aceptarlo, pero si lo
analizamos con mas cuidado: una cosa es definir un conjunto "A" por
aquellos elementos que cumplen una propiedad P estática, fija, común, y
otra es que definir un conjunto B, en el que sus elementos cumplen una
propiedad Pz dinámica (no-estática), variable, no común, o sea si tenemos
dos elementos x,y de B, es porque x cumple Px, & y cumple Py, donde Px & Py
son propiedades radicalmente distintas, ya que definen sendos conjuntos
ajenos. O sea, queremos resaltar que al definir a B como el conjunto de las
x que cumplen una propiedad de algún otro conjunto de una familia, de tal
suerte, que de haber dos elementos de B distintos, entonces tambien la
propiedad que cumplen se refiere a conjuntos distintos, así queda claro que
la propiedad a verificar para cada elemento es prácticamente distinta, se
aprecia que si fuera la misma propiedad la definición sería mas normal y
tolerable, pero siendo distinta para cada elemento, nos queda la sensación
que se esta abusando de la definición o al menos del tiempo que es
requerido, es como postular que siempre habrá tiempo suficiente para hacer
cualquier cosa repetidas veces sin importar que cada vez lo que hay que
hacer no sea análogo o lo mismo, y además el conjunto postulamos existe No
es único, o sea, además de postular debe existir un tal conjunto B sin
saber con precisión como conseguirlo, y que requerirá infinito tiempo
conseguirlo, ya que hay que elegir un elto. de cada conjunto de una familia
infinita de conjuntos ajenos no vacios, tiene la posibilidad de que ese
conjunto B sea distinto cada vez que lo invoquemos. Así tenemos un axioma
de elección poco constructivo, demasiado dogmático o al menos demasiado
pretencioso, en cuanto que podamos disponer de infinito tiempo y pasos para
conseguir algo (no único), donde cada paso de elección nos lleva a tener
que verificar una propiedad de pertenencia distinta. Ni siquiera,-si se ve
con cuidado-, la definición formal de limite en cualquiera de sus
modalidades; así como la definición de conjunto infinito, son afirmaciones
tan pretenciosas, como lo es el axioma de elección. De hecho una
consecuencia de apariencia paradójica del axioma de elección o de una
versión debil de él es el teorema de Banach-Tarski que en palabras llanas
lo que dice:
Una esfera se puede dividir en un conjunto finito de partes disjuntas
(conjuntos no medibles según Lebesgue) que pueden ser rotadas,
trasladadas y vueltas a unir para dar lugar a dos esferas idénticas a la
original.
Cfr. http://francis.naukas.com/2010/11/19/la-paradoja-de-banach-tarski-y-el-
axioma-de-eleccion/
Aunque se pretende salvar el sentido lógico, de tal resultado alegando:
"Este resultado matemático puede resultar paradójico pero es importante
recordar que si un conjunto es no medible según Lebesgue, lo que quiere
decir que es un conjunto similar a un fractal, un conjunto muy intrincado y
difícil (si no imposible) de imaginar. Los conjuntos que no son medibles
según Lebesgue son "bestias" o "monstruos" más allá de lo que nuestra
imaginación (no matemática) puede alcanzar. "
En lo personal creo, que esta falta de claridad, es por apostarle demasiado
al concepto de conjunto, cuando sería mas fácil o imaginable recurrir a los
algoritmos o a otros recursos conceptuales alternativos. Por ejemplo el
concepto de clase en programación es con creces un concepto mas
evolucionado que el simple concepto de conjunto, lo mismo pasa si
comparamos el concepto de función con el de método, etc.
Si N es el conjunto de los nos. Naturales, y P(N) es el conjunto potencia,
y si c=card(R), siendo R el conjunto de los números reales, sabemos que
siendo alfcero=card(N), alfuno=card(P(N)), entonces usando los axiomas de
Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores
cumplen: alfceron, entonces: los problemas de decisión y los de
óptimización se complican convirtiéndose en así en problemas de tipo NPC y
NPH respectivamente, ante los cuales la matemática clásica a la fecha se ha
evidenciado como incompetente. Algunos matemáticos al abordar sólo
problemas de decisión y NO de optimización, no crean conciencia de la
necesidad de los algoritmos computacionales, y menos si sus problemas no
son del ámbito discreto o aleatorio, la mayoría de éstos ingenuamente
creen:
"si resolvemos primero el problema de decisión, ya el luego el de
optimización correspondiente será mas fácil abordarlo". Por eso insistimos:
una postura medieval de algunos matemáticos es cuando se empeñan en
reducirlo todo a una ecuación o un sistema de ecuaciones (lineales u
ordinarias), y se les ovida que aún aceptándolo, NO siempre será posible
encontrar las raices fácilmente con una formula o con la demostración de un
teorema, inevitablemente tendrán que elaborar un algoritmo de busqueda y de
aproximación, máxime si el problema de optimización se dá en el ambito
discreto y algunas de las variables involucradas son NO determinísticas.
Hay problemas que parecieran ser de decisión, pero son mas bien de
optimización, por ejemplo si queremos demostrar que en efecto existe un Xo
para el cual P(x) es cierta o falsa, es claramente un problema de decisión,
pero si mas bien queremos demostrar que NO existe un x para el cual P(x)
es cierta o falsa, es mas bien un problema de optimización. Muchos
problemas de este tipo traen de cabeza a la matemática. En palabras
llanas, casi siempre es mas fácil demostrar que existe algo que sea, pero
ya demostrar que NO existe algo sea: no siempre es fácil. Pongamos unos
ejemplos: el ultimo teorema de Fermat, o Hipótesis de Reimman, o que no
existe una sucesión mediante la cual sea posible generar a los numeros
primos.
NO queremos una matemática:
concentre o de prioridad a formular un modelo compacto, evitando formularlo
en términos iterativos, ya que de acuerdo con nuestra expriencia,
generalmente eso es a costa de que tal proceso de compactación implique no
sólo la reducción de reglas o relaciones iterativas, aplicación de
simplificaciones y factorizaciones, sino también someterse a un proceso
largo y tortuoso, provocando olvidemos o perdamos el rastro de los
conceptos originales, para al final si bien logramos presumir un modelo o
una fórmula si bien compacta y elegante a la vista, resulta de más difícil
implementación computacional que el modelo original no compacto, sin
simplificaciones, sin factorizaciones, con relaciones iterativas. Tal modo
de hacer las cosas, estuvo justificado cuando todo el cómputo era manual,
había que asumirlo a pesar del costo pedagógico.
Ahora requerimos de una matemática formule un modelo o la solución en
términos iterativos o de un algoritmo, fácilmente traducible a un lenguaje
de programacion. Algunos llaman a esta matemática armónica o heurística,
otros simplemente computacional.
Estamos luchando por una nueva generación de matemáticos, que además
de demostrar teoremas sobre la existencia y unicidad de la solución, sepan
como conseguirla, que se den cuenta de las limitaciones de la matemática
clásica y sepan reconocer si otras ciencias la han rebasado conceptual y
creativamente abordando los mismos o nuevos problemas. Queremos matemáticos
se atrevan a cuestionar la veracidad del siguiente slogan o dogma:
"la matemática clásica conceptualmente lo abarca casi todo, o casi todo se
deriva de ella; y lo que no se explicita o implemente algorítmicamente,
bueno, seguro alguien lo hará, ya que lo esencial ya esta dicho o puede ser
dicho o desarrollado sólo por la matemática clásica (será?)"
Es de todos sabido que los matemáticos formales no aceptan nada si
antes no lo demuestran, sin embargo la demostración debe partir de los
axiomas y/o de otros teoremas ya demostrados, luego los únicos dogmas de
las matemáticas son los axiomas, ya que esos no se demuestran; hasta aquí
parecería que todo esta en orden, no hay mas complicaciones o misterios: NO
habrá mas dogmas que los propios axiomas de la teoría matemática
correspondiente, sin embargo al paso del tiempo es facil descuidarse e ir
sumando o aceptando nuevos dogmas que NO son de la matemática pero sí de
los algunos matemáticos o de cualquiera que los acepte.
Dogmas de algunos los matemáticos o de cualquiera que los acepte.
"Cuando enseñes, no olvides también enseñar a dudar, incluso de
aquello que tu mismo enseñas." Jose Ortega y Gasset
Una señora bellísima, al acercarse a Albert Einstein, le planteó la
siguiente posibilidad:- Señor, con su inteligencia y mi belleza tendríamos
hijos perfectos; a lo cual Einstein contestó:- Señora, ¿no ha pensado en
la posibilidad, de que resulten mas bien de mi belleza y de su
inteligencia?
Un primer dogma:
"El mundo se puede modelar solo con variables continuas,
exactas,infinitas y deterministicas. O sea, creer que el mundo es posible
describirlo solo con la matemática clasica del siglo pasado o anterior."
Afortunadamente algunos matemáticos se percatan de existe otro mundo que
requiere para ser modelado mas bien con variables discontinuas,
aproximadas, finitas y NO deterministicas (aleatorias). O sea el que
describe la matemática NO clasica: discreta y computacional o sea la
matemática que admite abordar problemas NPC o NPH con el uso de la
programacion y la implementacion de metaheuristicas. O sea el dogma es
falso, si la realidad a la que nos referimos involucra muchas variables y
condiciones estocásticas o caóticas, ademas hay que estar seguros, si en
efecto queremos un modelo que reproduzca o prediga, o mas bien uno que
permita controlar o transformar la realidad de acuerdo a un criterio de
optimizacion adecuado, entonces a la fecha para este último caso: los
modelos matemáticos no clásicos mas recientes y computacionales ya están
compitiendo con los modelos clásicos.
Segundo dogma:
(2). "Todos los modelos o teoremas de las matematicás son valiosos
sin importar haya dos que sean contradictorios, ya que lo más importante
es que su origen es lógico, sin que importe mas."
Un ejemplo de ello son las geometrias no planas. Sin lugar a dudas las
verdades lógicas son importantes o bellas, pero actualmente tambien es
importante que se puede o no hacer con ellas en términos prácticos.
Tercer dogma:
"La matemática es la única posedora de las grandes ideas y la clave para el
desarrollo intelectual".
Es claramente falso. Basta estudiar algo de tecnología java para darse
cuenta que los mas gloriosos conceptos matemáticos como conjunto, función,
y vecindad, son solo simples propuestas, y no necesariamente las mas
adecuadas si se le compara con los conceptos de clase, método y la idea de
cercanía ya en un ambito discreto o computacional.
Cuarto dogma:
(4)."Las matemáticas son el lenguaje universal, o al menos el
lenguaje de las ciencias, o al menos el lenguaje de las física".
Que sea lenguaje universal es claramente falso, pues es mas universal la
musica o el lenguaje de señas por poner un contraejemplo. Que sea el
lenguaje de las ciencias, parece demasiada pretensión, y que sea el
lenguaje de la física,...bueno, en efecto las matemáticas le han servido a
la física como un lenguaje adecuado para formular sus leyes, pero la física
no ha podido ni explicar, ni controlar todo lo que ocurre en la naturaleza,
actualmente ya varios físicos prestigiados, han declarado que ante los
fenomenos complejos de la naturaleza es mejor alternativa recurrir a los
algoritmos computacionales y No a las formulaciones matemáticas
tradicionales. Consultar: la nueva ciencia de S. Wolfram 2002.
Algunos matemáticos quedan seducidos con sus modelos, les basta que sean
lógicos y bellos, si alguien alega que no tienen relación con la realidad,
su subconciente les dicta el quinto dogma:
Quinto dogma:
(5)."No es que el modelo matemático esté mal, lo que esta mal es la
realidad que pretendemos ajustar a él, además no necesitamos asociarle al
modelo matemático ninguna referencia real, su belleza logica justifica su
existencia".
Recuerdemos que hay al menos tres geometrias: la plana, la esferica, la
hiperbolica;cada una NO es suficiente, ni la mejor; son mas bien
aproximaciones de la realidad. También hay al menos dos teorías de
conjuntos, una que acepta la hipótesis del continuo y otra que NO lo
acepta. O sea las matemáticas no es la realidad son simples de modelos de
la realidad.
No restamos el valor de las matemáticas, como lenguajes formales, pero no
hay una sola matemática, cada rama es un sistema, que puede o no tener
coincidencias o traslapes con otros sistemas.
Sexto dogma:
(6). " Antes de estudiar las matemáticas discretas debes de estudiar
las clásicas o continuas, y por supuesto en el orden como lo marca la
tradición".
Repito como lo marca la tradición y no que así deba de ser. Otro colmo, es
el séptimo dogma:
Séptimo dogma:
(7)."Una ecuación matemática es mas importante que un algoritmo".
Es fácil percatarse que la naturaleza nos demuestra todo lo contrario. Por
ejemplo, si tu quieres un modelo de la hora del dia, por ejemplo, no vas a
recurrir a una ecuación matemática, para eso se inventaron los relojes; en
todo caso se puede afirmar que estos son implementaciones algorítmicas de
una idea matemática. O sea las matemáticas en el mejor de los casos son
buenas ideas, que de no implementarse algorítmicamente, son como las
promesas incumplidas. Afortunadamente actualmente hay ya muchos libros que
subrayan la importancia y trascendencia de los algoritmos, y del uso de la
computadora en el ámbito del estudio y del desarrollo de las matemáticas,
rompiendo con el paradigma: "si las matemáticas son o se pretenden fomales,
deben plantearse y desarrollarse sólo con estricto apego a la demostración
lógica inductiva o deductiva, sin requerir de manera esencial de algun
recurso algorítmico o computacional".
Cfr. The Princeton Companion to Mathematics es un libro, editado por
Timothy Gowers con editores June Barrow-Green & Imre Leader, y
publicado en 2008 por Princeton University Press (ISBN 978-0-691- 11880-
2). Ofrece una amplia visión de conjunto de las matemáticas, y se
caracteriza por la alta calidad de los contribuyentes. El libro fue el
ganador 2011 del Premio del Libro de Euler de la Asociación Matemática de
América, otorgado anualmente a "un libro excepcional sobre las
matemáticas". Tomado de:http://en.wikipedia.org/wiki/
The_Princeton_Companion_to_Mathematics.
En un plano mas conciliador, dejando de lado los dogmas o creencias, y
concentrando nuestra atención en el quehacer, mas que en la posturas
ideológicas, subrayaríamos lo siguiente:
se requiere gente para todo, hay quien se concentra en la definición de las
cosas: en el que son, o en el como deberian o podrian ser; otros en: como
lograr o implementar realmente que las cosas sean lo que son o lo que
dijimos deberian o podrian ser. La postura de la mayoría de los matemáticos
es lograr modelos que simplemente reproduzcan o predigan la realidad; la
postura de algunos pocos matemáticos es lograr modelos que permitan
realmente controlar o transformar la realidad de acuerdo un criterio de
optimización cada vez mas adecuado,...
Amemos a las matemáticas !, no estoy en contra de eso, en general amemos lo
que hagamos; indudablemte es difícil no aceptar o adoptar dogmas, pero
evitemos eso impida: ver cuando nuestro dogma es claramente obsoleto o
falso, y reconocer que los lenguajes de programación orientado objetos han
alcanzado un nivel de desarrollo, aplicabilidad y accesibilidad universal
que pareciera debiera ser la materia obligada de todo estudiante, como
algun día así lo creimos con relación a las matemáticas.
