Dualidad Onda-Partícula como Fenómeno Clásico José Garrigues Baixauli,
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Resumen La hipótesis de que tanto el universo como las partículas poseen cuatro dimensiones espaciales, junto con la cuantificación de espacio, nos permite aplicar las ecuaciones de la física clásica macroscópica a las partículas elementales, de forma que fenómenos puramente cuánticos como el entrelazamiento cuántico, el efecto túnel, etc. se pueden explicar desde la física clásica. En este trabajo se explica la dualidad onda-partícula como un único fenómeno, la partícula produce la perturbación del medio (átomos de espacio y tiempo), generando la onda, de la misma forma que se genera una onda en el agua. 1. Introducción. La relatividad restringida nos mostró que debemos considerar el espacio y el tiempo como una única entidad física, el espacio-tiempo. Dado que el universo tiene tres dimensiones espaciales físicas observables, es usual referirse al tiempo como la "cuarta dimensión" y al espacio-tiempo como "espacio de cuatro dimensiones". El segundo postulado de la relatividad restringida establece que la velocidad de la luz c en el vacío es una constante universal, independiente del movimiento del observador. En relatividad general, Einstein describe la gravitación mediante cuatro dimensiones, que resultan ser necesarias y suficientes, de forma que la gravedad es debida a la curvatura espacial. En relatividad general, toda energía es curvatura. La curvatura es un concepto fundamental utilizado tanto en relatividad general como en mecánica cuántica. La relatividad general supone que el espacio-tiempo es continuo. Sin embargo no hay ninguna evidencia experimental de ello. ¿Son el espacio y el tiempo continuos?, o solamente estamos convencidos de dicha continuidad como consecuencia del condicionamiento de la educación. En los últimos años, tanto físicos como matemáticos, se han preguntado si es posible que el espacio y el tiempo sean discretos Si pudiéramos analizar el espacio a escalas suficientemente pequeñas, ¿veríamos "átomos" de espacio, irreducibles pedazos de volumen que no se podrían descomponer en nada menor? [1]. La cuantificación del espacio-tiempo conserva la invariancia relativista [2], la causalidad y permite distinguir partículas elementales entre sí de un modo simple y natural. [3] El valor mínimo de volumen, longitud o área, se mide en unidades de Planck [1]. Las teorías relacionadas con la gravedad cuántica, tales como la teoría de
cuerdas y la relatividad doblemente especial, así como la física del agujero negro, predicen la existencia de una longitud mínima [4-5]. La relatividad general supone que el espacio-tiempo es continuo. Sin embargo no hay ninguna evidencia experimental de ello. ¿Son el espacio y el tiempo continuos?, o solamente estamos convencidos de dicha continuidad como consecuencia del condicionamiento de la educación. “El concepto familiar de un "continuo espacio-tiempo" implica que debe ser posible medir siempre las distancias cada vez más pequeñas sin ningún tipo de límite finito. Heisenberg, quien insistió en la expresión de leyes de la mecánica cuántica en términos de observables medibles, cuestionó ya la validez de este postulado [6]. De este modo se debe tratar el límite último de un la longitud mínima medible como una cantidad aún desconocida. En realidad, hemos aprendido ya a partir del desarrollo de la relatividad y de la mecánica cuántica, que la naturaleza puede imponer restricciones a nuestras mediciones, debido a dos constantes universales: la velocidad c, y el cuanto de acción h. “¿Podría la naturaleza imponer una tercera restricción, como resultado de la existencia de un constante universal cuántica de longitud y un quantum de tiempo universal constante a / c ? [3].” … una longitud mínima fundamental surge naturalmente en cualquier teoría cuántica en la presencia de efectos gravitatorios que representa una resolución limitada de espacio-tiempo. Como sólo hay una escala de longitud natural que se puede obtener mediante la combinación de gravedad (G), la mecánica cuántica (h) y la relatividad especial (c), esta longitud mínima se espera que aparezca en la escala de Planck [7]. T. Padmanabhan muestra que la longitud de Planck proporciona un límite inferior de longitud física adecuada en cualquier espacio-tiempo. [8,9] Es imposible construir un aparato que va a medir la longitud a escalas más pequeñas que la longitud de Planck. Existen estos efectos incluso en el espacio-tiempo plano a causa de las fluctuaciones del vacío de la gravedad [9]. Martin Tajmar propone un modelo en el que las unidades de Planck aparecen de forma natural por el supuesto de que el vacío cuántico puede ser gravitacionalmente polarizado [10]. Craig J. Hogan Propone un modelo cuántico que utiliza la longitud de Planck para describir los estados de posición de un cuerpo masivo en el espacio a grandes escalas [11].
Los resultados experimentales recientes al revisar el principio de incertidumbre de Heisenberg para el momento angular orbital de la luz, indican que la cota superior límite está cerca de la escala de Planck [12, 13]. La constante h de Planck, que representa el cuanto elemental de acción, tiene un papel importante en la mecánica cuántica. La longitud de Planck ha sido considerada como la distancia más corta que posee algún significado físico. La hipótesis cuántica de Planck, y que constituye el fundamento de la teoría cuántica es:
ℏ
(1)
donde E es la energía, ν es la frecuencia, ℏ es la constante reducida de Planck (h/2π), y ω es la frecuencia angular. Teniendo en cuenta la Ecuación de Einstein, resulta:
(2) Vemos así que la energía de una partícula es masa, y que la masa es frecuencia. La energía de la partícula y de la onda es equivalente. Actualmente se considera que la dualidad onda-partícula es un “concepto de la mecánica cuántica según el cual no hay diferencias fundamentales entre partículas y ondas: las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa”. 2. Dualidad Onda-Partícula. Supongamos que el universo está formado por átomos de cuatro dimensiones espaciales discretas y que las partículas tienen también cuatro dimensiones espaciales, con diámetro igual al radio de Planck rp. De las cuatro diemensiones 3 se observan cono y espacio (x, y y z) y la cuarta (u=ct) se observa como tiempo, son los átomos de espacio y tiempo que comenta Smolin. Para simplificar el dibujo, consideremos sólo tres dimensiones r(x,y) y u.
Figura 1. Un universo 3D plano se observa como 2D y t.
Figura 2. Rotaciones de la partícula o átomo de Planck 4D.
El atomo 4D podrá girar tanto en el espacio tridimensional como en la cuarta dimensión (u, Fig. 2), lo que da lugar a las siguientes combinaciones: •
0 rotaciones. Constituyen el espacio vacío
•
1 rotación espacial ωe. Neutrinos
•
1 rotación en la cuarta dimensión
•
2 rotaciones, una espacial ωe y otra en la cuarta dimensión Electrones y quarks de primera generación.
ωu. Fotones ωu.
Los átomos de espacio estáticos no se observan, es lo que denominamos espacio vacio. Los átomos que giran sobre si mismos los observamos como partículas elementales, tales como, electrones, fotones, quarks y neutrinos de primera generación, Supongamos que tenemos una partícula de masa m, el potencial del campo gravitatorio a la distancia r, será:
(3)
Siendo G la constante de gravitación, y en donde la velocidad v, vamos a suponer que coincide con la velocidad lineal de rotación del átomo de Planck, ecuación que tiene dos soluciones: Onda: Mientras el átomo de Planck da una vuelta en el espacio tridimensional ( e) da media vuelta en la cuarta dimensión ( u), por lo que la partícula está al revés ( 2 , lo que observamos como espin ½. Los átomos de espacio y tiempo están unidos por la fuerza de Planck, por lo que al girar uno de ellos, arrastrara a los átomos adyacentes, de forma que la velocidad lineal de rotación (Fig. 2), irá aumentando a medida que nos alejamos del átomo que gira, hasta alcanzar la velocidad c, de la luz a la distancia r, luego:
c ωeu r (4)
Figura 3. Representación bidimensional del electrón.
Suponiendo que el potencial del campo gravitatorio (Ec. 3) de una partícula de masa m, es igual al cuadrado de la velocidad lineal de rotación ( del átomo de Planck, ((Fig. 3 ), resulta
(5)
ω r
Figure 4. a) Espacio discreto y b) espacio continuo.
Sustituyendo en la Ec. (3) y teniendo en cuenta que el radio de Planck es: ! "⁄ # , resulta:
"
Siendo ℏ la constante reducida
%
"
"
"
(6)
de Planck y r, la distancia en la cuarta
dimensión, a la cual, los átomos de espacio y tiempo adyacentes giran a la velocidad de la luz, y que coincide con la longitud de onda de la partícula.
Por lo tanto, la energía (ℏ u ) de la rotación en la cuarta dimensión ( u) es lo que denominamos masa. Siendo el cuadrado de la velocidad lineal de rotación del átomo de Planck el potencial del campo gravitatorio. Los átomos de Planck al girar en el espacio tridimesional ( e) provocan la perturbación del medio y generan la onda. Por otra parte, la rotación en la cuarta dimensión dificulta el movimiento, y por lo tanto, disminuye la velocidad de traslación de las partículas con masa. El conjunto de átomos de Planck que giran constituyen la partículas elementales (electrones y quarks de primera generación y sus correspondientes antipartículas). La ecuación (6) corresponde a la energía que posee un fotón obtenido por la colisión de un electrón con un positrón. El choque anula la rotación en la cuarta dimensión quedando solamente la rotación en el espacio tridimensional. Dicha rotación, la observamos como frecuencia. Por lo tanto, al no existir la rotación en la cuarta dimensión, la velocidad de la partícula aumenta hasta alcanzar la velocidad de la luz, es decir, la partícula se convierte en un fotón. Los fotones carecen de masa debido a que no hay rotación del átomo de Planck en la cuarta dimensión, pero conservan la rotación en el espacio tridimensional, que es la causante de la perturbación del medio y por lo tanto de generar la onda que observamos, tanto en electrones como en fotones. 3. Desarrollo. Heisenberg señaló que la física debe tener una escala de longitud fundamental que, junto con la constante de Planck y la velocidad de la luz permitan la derivación de las masas de las partículas [13, 14]. La constante h de Planck, que representa el cuanto elemental de acción, tiene un papel importante en la mecánica cuántica. La longitud de Planck ha sido considerada como la distancia más corta que posea algún significado físico. La Ec. (6) se puede expresar en función de las condiciones de Planck, como:
=
=ℏ
=
ℏ
(7)
&
siendo: Ep la energía de Planck, mp la masa de Planck, ωp la rotación de Planck y
p
la longitud de onda de Planck sobre ℏ. Eliminando la constante
Planck de las ecuaciones (6) y (7), resulta:
' =
' = ().
= ' =
(8) (9)
'
(10)
Siendo ', la longitud de onda y '
la longitud de onda de Planck sobre h.
En cualquier caso, tenemos una ecuación y dos incógnitas, masa y rotación, masa y longitud de onda o rotación y longitud de onda. Por lo tanto, necesitamos una condición de contorno para poder calcular la masa, la rotación y la longitud de onda. 4. Partícula unitaria. La rotación de la partícula (átomo de Planck) va disminuyendo, por lo que su masa disminuye y su longitud de onda aumenta (Fig. 3). La condición de contorno se puede obtener haciendo su masa o energía igual a la unidad. Hacemos la energía correspondiente a la incertidumbre de Heisenberg igual a la unidad (Fig.5).
Figura 5. Energía en función de la longitud de onda. 1 ℏ
1
2 ,
2
=
Figura 6. Partícula unitaria
ℏ π -
ℏ . π -
1 /
(11)
siendo ru el radio que debería tener la partícula de Planck en tres dimensiones para que su energía fuera la unidad. 5. Cálculo de la masa y carga del electrón. Una vez calculado el radio que debería tener la partícula de Planck para que su energía sea la unidad, se puede aplicar esta condición al potencial del campo gravitatorio y obtener el valor de la masa En la Ec. (3) hacemos v = ecuaciones (5) y (8), resulta:
ωe ru / 4π, r = ru, y teniendo en cuenta las
G mu = (4π )5 Eu3 = 9,111 10-31 kg h c7
(12)
La carga será debida a la rotación (una de las tres posibles ) o periodo (Tu) en la cuarta dimensión, denominado tiempo en reposo o tiempo propio en la relatividad especial:
qu = La energía será:
1 ∂V4 D = 2π 2Tu cr 2 ∂r
E=
(13)
h h = 2π 2 Tu qu
(14)
Teniendo en cuenta la Ec. (5), resulta:
qu = 2π 2
h mu c 2
= 1,597 10−19 s
(15)
Basta multiplicar la carga unitaria qu por un amperio para obtener la carga del electrón en culombios. La carga se define como propiedad intrínseca de la materia. Fue Benjamín Franklin quien las denomino cargas positivas y negativas, y se miden arbitrariamente en culombios. Podemos expresar la carga como energía de la forma:
Eu = mu c 2 = 2π 2
h J qu
(16)
Con lo que tenemos calculado las magnitudes físicas (m,q,r,t) en reposo, propias de cualquier elemento de energía, en función de las constantes G, y c, lo que reafirma la idea de Heisenberg de la existencia de una longitud fundamental (rp), a partir de la cuál deriven las masas de todas las partículas. Los valores aceptados por el Comité de Información para Ciencia y Tecnología (CODATA) se muestran en la Tabla I [15].
Tabla I. Algunas constantes relevantes para el ajuste 2012 Nombre
Símbolo
Valor
Incertidumbre (ppb)
Masa del electrón
me
0.510 998 910(13) MeV/c2
25
Carga del electrón
qe
9.109 382 91(40) x 10-31 kg
50
1.602 176 565(35) x 10-19 C
25
6. Conclusión. Tal como indicó Heisenberg existe una escala de longitud fundamental que, junto con la constante de Planck y la velocidad de la luz permite calcular las masas y cargas de las partículas, esa escala es la longitud de Planck. La ecuación de campo de Einstein tiene una interpretación geométrica que indica, tal como creía Einstein, que la física es geometría. La geometría no sólo describe simplemente a la física, sino que toda la física se basa en la geometría. La geometría del espacio-tiempo a escala atómica explica y permite calcular las propiedades intrínsecas de las partículas. De acuerdo con Einstein: “Dios no juega a los dados”. Basta con que los átomos de espacio y tiempo giren en el espacio y en el tiempo o cuarta dimensión para deducir y calcular las propiedades de las partículas, tales como masa, carga, spin etc. Partícula: Al suponer que el espacio-tiempo es discreto con un diámetro igual a longitud de Planck (Fig. 1), es posible aplicar a las partículas las ecuaciones macroscópicas propias de la física clásica. En concreto, al aplicar el potencial del campo gravitatorio (Ec. (3)) y la velocidad de rotación (Ec. (4)), a la partícula, como si fuera un disco plano, permiten deducir que la energía (masa) de la partícula es debida a la rotación de la partícula (Ec. (5)), y la carga (EC. (14)) es debida al período de la partícula. Onda: El giro de un átomo de Planck, hace que los átomos adyacentes, unidos por la fuerza de Planck , giren también y perturban el medio provocando la onda que observamos. No solamente son equivalentes la energía de la partícula y de la onda, sino que además, la rotación de la partícula en la cuarta dimensión genera la masa y la carga del electrón. La hipótesis de que el espacio-tiempo es discreto, permite explicar ¿qué es la masa? y ¿qué es la carga? y además también permite calcular el valor de ambas constantes. El actual universo está formado por diferentes partículas, energía, y vacío de espacio-tiempo, todos estos elementos se originaron a partir de la energía del Big Bang. Se supone que inicialmente eran idénticos y continúan siendo idénticos. Tal como creía Einstein, la luz es una partícula y una onda a la vez. Einstein supuso que el electrón es la partícula más importante del Universo. Mientras da una vuelta en el espacio tridimensional, da media vuelta en la cuarta dimensión, lo que origina que observemos la partícula al revés, espín ½. La vieja intuición de que algo tiene que estar en "reposo absoluto" (el átomo de espacio y tiempo) era correcta.
“… es muy difícil incluso para los pensadores más osados abandonar las creencias que se han mantenido durante milenios.” Lee Smolin
Referencias [1] L. Smolin. Atoms of Space and Time. Scientific American. December 15 (2003) [2] A. Meessen. Space-Time Quantization, Elementary Particles and Dark Matter. (2011) [arxiv:1108.4883] [3] A. Meessen: Spacetime quantization, elementary particles and cosmology, Foundations of Physics 29, 281-316 (1999), [4] M. Maggiore, Quantum Groups, Gravity, and the Generalized Uncertainty Principle, Phys. Rev. D 49 (1994) 5182 [5] M. Maggiore, The algebraic structure of the generalized uncertainty principle, Phys. Lett. B 319 (1993) 83 [6] W. Heisenberg: Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, p. 48, 1930. [7] Martin, S., Piero, N. and Marcus, B., Physics on Smallest-An Introduction to Minimal Length Phenomenology, Arxiv: 1202.1500v2. [8] A. Farag Ali. Minimal Length in Quantum Gravity, Equivalence Principle and Holographic Entropy Bound. Class. Quantum Grav. 28 (2011) 065013 [9] S Jalalzadeh and B.Vakili. Quantization of the interior Schwarzschild black hole (2011) arXiv:1108.1337 [gr-qc] [10] A. Kempf, G. Mangano, R. B. Mann, Hilbert Space Representation of the Minimal Length Uncertainty Relation, Phys. Rev. D 52 (1995) 1108 [11] Stephen Hawking, El universo en una cascara de nuez, (2001) [12] Feynman, R., Física, Vol. 3 (Pearson Education, México, 1963). [13] W. Heisenberg, Die Leobachtbaren Grossen in der Theorie der Elemntarteilchen, Z Phys 120, 513 (1943). [14] W. Heisenberg, Quantum Theory of Fields and Elementary Particles. Rev Mod Phys, 29 269 (1957). [15] P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell, J. Phys. Chem. Ref. Data 41, 043109, 84 pages (2012)
