Elementos de matemática para Física.

E. Inzaurralde

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1 Para la enseñanza media en el Uruguay Elementos de matemática para Física.

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1 ELEMENTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS. .................................................... 12 1.1 ALGO SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE ........................................................... 12 1.2 REGLAS SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS14 1.2.1 Reglas sobre propagación de incertidumbre...... 16 1.2.1.1 INCERTIDUMBRE EN SUMA Y RESTA. 17 1.2.1.2 INCERTIDUMBRE EN PRODUCTO Y COCIENTE................................................................. 18 1.3

RECTANGULOS DE ERROR ........................... 19

1.4 POTENCIAS DE DIEZ (NOTACION CIENTIFICA)..................................................................... 19 1.5

OPERACIONES CON POTENCIAS DE DIEZ22

1.6

TEOREMA DE PITÁGORAS............................ 25

1.7 Trigonometría; seno, coseno, tangente ............... 26 1.7.1 El círculo trigonométrico................................... 29 1.8

Teorema del coseno .............................................. 31

1.9 Teorema del seno.................................................. 33 1.9.1 Demostración .................................................... 34 1.10

Ecuación de la elipse ............................................ 37

1.11 APÉNDICE 0.- BREVES NOCIONES SOBRE CÁLCULO. ......................................................................... 40 1.11.1 Derivación .................................................... 40

2

1.11.2 1.11.3

INTEGRALES ............................................. 43 TÉCNICAS................................................... 45

1.12

DERIVADA DEL SENO ..................................... 46

1.13

LA DERIVADA DEL COSENO......................... 48

1.14

DERIVADA DE LA TANGENTE...................... 49

1.15

Identidades Trigonométricas ............................. 50

1.16 Solución de la ecuación diferencial de 2º orden y demostración de 8 identidades trigonométricas............... 53 1.17

APÉNDICE –1.- ELEMENTOS DE TENSORES 61 1.17.1 TENSORES DE SEGUNDO RANGO......... 67 1.17.2 PROPIEDADES DE LOS TENSORES ....... 72 1.17.3 Producto directo............................................ 73

1.18 Volviendo a insistir con los tensores, covariante, contravariante, antisimétrico, simétrico. Componentes independientes. ................................................................... 73 1.19 DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES MÉTRICOS EN UN CAMPO GRAVITATORIO CENTRAL .......................................................................... 81

2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS............................................... 83 2.1.1 Razón de cambio ............................................... 83 2.1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias................... 86 2.1.3 Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales..................................................................... 91 2.1.4 Problemas propuestos........................................ 92 2.1.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden ......... 92 2.1.6 Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables. ........................................................ 93

3

2.1.7 Problemas propuestos –..................................... 96 2.1.8 Ecuaciones diferenciales homogéneas............... 97 2.1.9 Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas ............................................... 98 2.1.10 Problemas propuestos – .............................. 103 2.1.11 Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior ...................................... 104 2.1.12 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.................................. 108 2.1.13 Oscilador Armónico simple........................ 110

3

ECUACIONES DIFERENCIALES(2). . 115

3.1 Definiciones......................................................... 115 3.1.1 Expresión diferencial....................................... 115 3.1.2 Ecuación diferencial ........................................ 115 3.1.3 Las incógnitas.................................................. 116 3.1.4 Orden de la ecuación diferencial ..................... 116 3.2 Principal clasificación de ecuaciones diferenciales según el tipo de derivadas. ............................................... 116 3.2.1 Método de separación de variables.................. 117 3.2.2 Método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes de 2do grado y 2do miembro nulo....................................................... 119 3.2.2.1 r1 y r2 reales y distintas........................... 121 3.2.2.2 r1 y r2 reales e iguales............................. 121 3.2.2.3 r1 y r2 complejos conjugados.................. 121 3.2.3 Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo.......................... 122 3.3 Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo. .......................... 125 3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2X2......................... 130

4

3.4.1 3.4.2

EL PENDULO ................................................ 130 SOLUCIONES DEL SISTEMA ..................... 134

................................ 137 3.4.3 SISTEMAS CON COEFICIENTES CONSTANTES ............................................................. 137 3.4.4 RAICES REALES DISTINTAS ..................... 139 3.4.5 RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS ....... 140 3.4.6 RAICES DOBLES .......................................... 143 3.5 DEFINICION DE PUNTO CRITICO ............. 147 3.5.1 EJEMPLO DE NODOS .................................. 148 3.5.2 EJEMPLO DE CENTROS .............................. 152 3.5.3 EJEMPLO DE ESPIRALES ........................... 155 3.5.4 EJEMPLO DE PUNTOS DE SILLA .............. 158

4

ESTABILIDAD Y PUNTOS CRÍTICOS 159

4.1

DEFINICION Y RESULTADOS PRINCIPALES 159 4.1.1 NODOS: ESTABLES, INESTABLES............ 163 4.1.2 SILLAS: INESTABLES ................................. 166

5

SERIES ............................................... 170 5.1.1 PRUEBAS DE CONVERGENCIA ................ 172 5.1.1.1 Prueba de Raabe..................................... 172 5.1.1.2 Prueba de Gauss..................................... 173 5.1.2 Series alternantes............................................. 173 5.1.2.1 Convergencia absoluta ........................... 174 5.1.2.2 Álgebra se series. ................................... 174 5.1.3 Series de funciones.......................................... 175 5.1.3.1 Convergencia uniforme.......................... 175 5.1.3.1.1 Prueba M de Weierstrass................... 176 5.1.4 Desarrollo de Taylor........................................ 177 5.1.5 Serie de Maclaurin........................................... 178

5

6

MAGNITUDES .................................... 179 6.1.1 MAGNITUD ................................................... 180 6.1.1.1 CLASIFICACION 1 .............................. 183 6.1.1.2 CLASIFICACION 2.-............................ 184

6.2 APÉNDICE- LA IMPORTANCIA DEL CALCULO VECTORIAL. .............................................. 187 6.2.1 SUMAS Y RESTAS DE VECTORES............ 189 6.2.1.1 CALCULO GRAFICO .......................... 189 6.2.1.2 B) CALCULO ANALITICO................. 193 6.2.1.3 METODO DE DESCOMPOSICION EN LOS EJES COORDENADOS .................................. 198 6.2.2 PRODUCTOS VECTORIALES ..................... 200 6.2.2.1 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 200 6.2.2.2 B) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.............................................................. 202 6.2.2.3 PRODUCTO VECTORIAL .................. 203 6.2.3 ALGO MAS SOBRE FUNCIONES CIRCULARES .............................................................. 205 6.3 MEDIDAS E INCERTIDUMBRE ................... 209 6.3.1 Propagación de errores. ................................... 212

7 PRIMEROS ELEMENTOS DE CÁLCULO OPERACIONAL......................................... 214 7.1 Funciones originales y representaciones .......... 214 7.1.1 Función original .............................................. 214 7.1.1.1 Ejemplo.................................................. 215 7.1.2 Representación (transformada de Laplace). .... 215 7.1.2.1 Ejemplo.................................................. 217 7.1.2.2 Segundo ejemplo.................................... 218 7.1.2.3 Otro ejemplo .......................................... 219 7.1.3 Propiedades de la transformación de Laplace . 219 7.1.3.1 Unicidad................................................. 220 7.1.3.2 Linealidad. ............................................. 220 7.1.3.2.1 Ejemplo. Linealidad .......................... 220

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7.1.3.2.2 Otro ejemplo ..................................... 221 7.1.3.3 Semejanza. ............................................. 222 7.1.3.3.1 Ejemplo ............................................. 222 7.1.3.4 Derivadas de la función original. ........... 223 7.1.3.4.1 Ejemplo ............................................. 223 7.1.3.4.2 Un segundo ejemplo.......................... 225 7.1.3.4.3 El oscilador armónico simple............ 228 7.1.3.4.4 Precesión del eje de rotación de la Tierra 229 7.1.3.5 Derivadas de la transformada de Laplace (representación). ....................................................... 231 7.1.3.5.1 Ejemplo. ............................................ 232 7.1.3.5.2 Segundo ejemplo............................... 233 7.1.3.6 Integración de la función original (teorema de). 234 7.1.3.6.1 Ejemplo ............................................. 234 7.1.3.6.2 Otro ejemplo ..................................... 235 7.1.3.7 Integración de la transformada de Laplace (representación). ....................................................... 236 7.1.3.7.1 Ejemplo ............................................. 236 7.1.3.8 Teorema del desplazamiento.................. 238 7.1.3.8.1 Ejemplo ............................................. 238 7.1.3.8.2 Oscilador amortiguado ...................... 239 7.1.3.9 Teorema del retardo (o sustitución). ...... 240 7.1.3.9.1 Ejemplo ............................................. 240 7.1.3.9.2 Ejemplo. Funciones dadas con gráficas. 241 7.1.3.9.3 Ejemplo gráficas ............................... 241 7.1.3.9.4 Funciones generalizadas.................... 243 7.1.3.9.4.1 Delta de Dirac, ........................... 243 7.1.3.10 Teorema de multiplicación (Convolución). 244 7.1.3.11 Convolución reiterada............................ 245 7.1.3.12 Primer toerema del desarrollo ................ 246 7.1.3.13 Determinación de la función original a partir de la transformada de Laplace (Transformada inversa) 246 7.1.3.13.1.............................................................. 247 7.1.3.13.2 Desarrollo en fracciones parciales. .. 247

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7.1.3.13.3.............................................................. 248 7.1.3.14 Transformada de Laplace para funciones periódicas. 249 7.1.3.15 Propiedad ............................................... 249 7.1.3.16 Teorema conjunto de semejanza-retardo. 249 7.1.3.17 Teorema de Efros................................... 251 7.1.3.18 El problema de Cauchy para las EDO lineales con coeficientes constantes. ......................... 251

8 VARIEDADES Y MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA TEÓRICA. ..................................... 257 8.1

Símbolos de Christoffel...................................... 258

8.2

Variables canónicas............................................ 259

8.3

Variables de configuración................................ 260

8.4

Vínculos............................................................... 261

8.5 Formulaciones hamiltoniana y lagrangiana de la mecánica............................................................................ 262 8.5.1 La formulación hamiltoniana...................... 266 8.5.1.1 Definición de cantidad de movimiento lineal 266 8.5.1.2 Coordenadas ignoradas o cíclicas .......... 266 8.5.1.3 Espacio de las fases................................ 267 8.5.1.4 La función hamiltoniana ........................ 268 8.5.1.5 Significado ............................................. 269 8.5.1.6 Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos ............................................................ 269 8.5.1.7 Las Ecuaciones de Hamilton.................. 270 8.6

Multiplicadores lagrangianos............................ 272

8.7

El método de los multiplicadores de Lagrange 273

8

8.8 Corchete de Dirac............................................... 273 8.8.1 Procedimiento Hamiltoniano Estándar ............ 274 8.8.2 Ejemplo de un lagrangiano lineal en la velocidad ...................................................................... 275 8.8.3 Procedimiento Hamiltoniano Generalizado..... 278 8.9

Transformadas de Legendre ............................. 280

8.10 Teorema de la función implícita ....................... 282 8.10.1 Ejemplos ..................................................... 283 8.10.2 Enunciado general ...................................... 284 8.11

Fibrado................................................................ 286

8.12

Los grupos de Lie ............................................... 287

9 SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS NUMÉRICOS. ......................... 290 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.1.8 9.1.9 9.1.10 9.1.11 9.1.12 9.1.13 9.1.14 9.1.15

Chua ................................................................ 290 Otro sistema cualquiera ................................... 292 Ecuaciones de Rossler ..................................... 293 Doble pozo ...................................................... 295 Ecuación no lineal ........................................... 299 Bajada en esquíes por los mogotes. ................. 301 Centros ............................................................ 304 Espirales .......................................................... 305 Intentando una función más compleja ............. 306 Oscilación de un péndulo............................ 310 Oscilaciones amortiguadas forzadas........... 312 Poincaré-Bendixon ..................................... 313 Tiro parabólico ........................................... 316 Tres cuerpos................................................ 317 Atractor de Van der Pol .............................. 319

10 GENERACIÓN DE DIFERENTES TIPOS DE FUNCIONES Y MODELOS ...... 331

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10.1.1 Oscilación compuesta por la superposición de cinco funciones seno de diferentes frecuencias, múltiplos de la inicial 331 10.1.2 Oscilación armónica con ruido agregado.... 332 10.1.3 Diente de sierra. Función obtenida a partir de la suma de armónicos..................................................... 333 10.1.4 Una onda cuadrada, obtenida a partir de la suma de 15 funciones senoidales. .................................. 334 10.1.5 La composición de una onda senoidal y otra cosenoidal perpendiculares, dando lugar a una elipse, pues tienen iguales frecuencias y ángulos de fase.................. 336 10.1.6 Simulaciones de campos eléctricos............. 338 10.1.7 Una curva extraña, llamada cardioide......... 340 10.1.8 Una posible curva característica de diodo .. 342 10.1.9 Una espiral.................................................. 345 10.1.10 La aplicación logística ................................ 346 10.1.11 Polinomio segundo grado ........................... 348 10.1.12 Sistema masa-resorte .................................. 349 10.1.13 Espacio con curvatura negativa, silla de montar. 352 10.1.14 Superficie paraboloide................................ 354 10.1.15 Una función exponencial ............................ 356 10.1.16 Una función de dos variables...................... 357 10.1.17 Polinomio grado 5 ...................................... 359 10.1.18 Función cuadrática. Un haz de curvas correspondientes a c=0. ................................................. 360 10.1.19 Atractor de Henon ...................................... 361 10.1.20 Pulsaciones. Composición de dos armónicos oscilando en el mismo plano. Iguales frecuencia, amplitudes y fases.......................................................... 363 10.1.21 Triángulo de Sierpinsky.............................. 365 10.1.22 Un sombrero ............................................... 366 ....................................................................................... 367 10.1.23 Curva característica de un transistor ........... 367 10.1.24 Trayectoria de un rayo de luz al pasar por las cercanías de un cuerpo masivo ...................................... 369 10.1.25 Construyendo un trompo. ........................... 370 10.1.26 Corte del espacio de Lobachevski .............. 371 10.1.27 Conductor óhmico ...................................... 373

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10.1.28 (otra vez) 10.1.29 10.1.30 10.1.31 10.1.32 10.1.33

Composición de armónicos perpendiculares 374 Universos curvos ........................................ 378 Campo carga puntual .................................. 380 Construyendo una circunferencia ............... 382 Cuerpo negro, trayectoria de luz en caja..... 385 Esferoide oblato.......................................... 388

11 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES................................................. 390

enrique inzaurral de

Firmado digitalmente por enrique inzaurralde Nombre de reconocimiento (DN): cn=enrique inzaurralde, o, ou, email=inzabar@gmail. com, c=UY Fecha: 2014.08.24 21:59:10 -03'00'

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1 Elementos matemáticos básicos. 1.1 ALGO SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE

Siempre que realizamos una medida, esta tiene una cierta precisión, dependiendo del instrumento de medición usado. Así, por ejemplo, si pretendemos medir la longitud del teclado de la computadora podemos, a ojo, estimar que mide unos 50 centímetros. Sin embargo, si lo medimos con una regla de un milímetro de apreciación, encontramos que la misma es de 49,20 cm. La primera es, obviamente, una medida más insegura que la segunda, puesto que fue realizada a ojo. Pero si realizáramos la misma medida con una regla cuya apreciación fuera de 1/10 de milímetro, el resultado seguramente seria más confiable aun que el obtenido con la regla al milímetro. Se dice entonces que la primera medición es más "insegura" que la segunda y esta a su vez lo es más que la tercera. O, que la primera tiene una incertidumbre mayor que la segunda y la segunda una incertidumbre mayor

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que la tercera. Concluimos entonces que; cuanto mas pequeña es la apreciación del instrumento con el que ejecutamos una medición, tanto más chica es su incertidumbre y, por lo tanto, tanto más precisa es la medida. En todo caso, también es cierto que la primera medición del largo del teclado de la computadora posee menos "cifras significativas" que la segunda y esta a su vez menos cifras significativas que la tercera. O sea, cuanto mas precisa es una medida realizada, tanto mas cifras significativas contendrá y mas pequeña será su incertidumbre. Estudios realizados en este siglo han demostrado que es imposible obtener medidas que posean una incertidumbre igual a cero, o dicho de otro modo, que contengan infinito número de cifras significativas. En consecuencia, TODAS las medidas, para ser correctamente expresadas deben especificar cual es su INCERTIDUMBRE. A veces, trabajar con la incertidumbre de las medidas puede resultar engorroso y, sobre todo cuando estamos en las etapas iniciales del aprendizaje de algunos fenómenos, hacernos perder de vista el valor de las leyes y principios que estamos comenzando a ejercitar. Por tal razón, es común que en lugar de trabajar con la incertidumbre de las mediciones en los primeros pasos del conocimiento de las leyes físicas, resulte mas practico utilizar el valor conceptual de las CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Para ello, es conveniente acostumbrarse a trabajar con ellas y memorizar las sencillas reglas a las cuales

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obedecen. El correcto trabajo con las cifras significativas nos da una justa noción del alcance de los conocimientos que estamos adquiriendo, su grado de seguridad y/o inseguridad y nos aporta un arma fundamental para poder entender y trabajar correctamente, en niveles superiores del conocimiento de los fenómenos físicos, con las incertidumbres.

1.2 REGLAS SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS Se puede definir como cifras significativas de una medida, a todas aquellas cifras que nos dan una información acerca del valor de una magnitud, independientemente de la unidad que estemos utilizando. Así, las cifras significativas (C.S.) se componen de dos grupos de dígitos. a) dígitos (o cifras) seguros- son todas aquellas cifras que se obtienen como resultado de "contar" divisiones del instrumento de medida. En el ejemplo del largo del teclado, los dígitos 4, 9 y 2 son dígitos seguros, puesto que eran mayores que la menor medida que podía realizar la regla (apreciación), o sea 1 mm. b) dígitos inseguros- en cualquier medida hay UNO solo, y es obtenido luego de estimar "a ojo"

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subdivisiones menores que la apreciación del instrumento usado. A veces, sin embargo, la cifra insegura es igual y hasta mayor que la apreciación del instrumento. Esto ocurre principalmente con las magnitudes eléctricas, donde el fabricante nos indica el grado de confiabilidad del instrumento de medida que, en algunos casos, es menor que la apreciación que figura en la escala visible. También sucede que LA cifra insegura de una medida puede ser mayor o igual a la apreciación cuando el operador que trabaja con el instrumento no es experiente. También sucede con instrumentos de medidas de longitud cuya apreciación es menor del 1/10 de milímetro, en esos casos el operador difícilmente pueda estimar 0,5/10 de milímetros y mucho menos 1/100 milímetros. NO SON CIFRAS SIGNIFICATIVAS LOS CEROS A LA IZQUIERDA EN CUALQUIER MEDIDA. Esto se debe a que tales ceros son eliminables con solo modificar la unidad que usamos para escribir el resultado de la medición. Por ejemplo, podríamos haber dicho que el largo del teclado es de 0.0004920 kilómetros. Sin embargo, los cuatro ceros a la izquierda del primer digito diferente de cero (el cuatro) eran perfectamente obviados con escribir que la medida es 49,20cm. PRODUCTO- Cuando multiplicamos dos o mas

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medidas, el resultado NO PUEDE tener más cifras significativas que el factor que tenga menos C.S.. DIVISION- El resultado de la división de dos medidas NO PUEDE tener más C.S. el dividendo, o el divisor, según cual sea el que tenga MENOS C.S.. SUMA- La cifra insegura en la suma debe estar ubicada en la misma posición (o una anterior) que la cifra insegura de la medida que la tenga más a la izquierda. RESTA- Igual que para la suma.

1.2.1 Reglas sobre propagación de incertidumbre Cuando realizamos una operación matemática, como por ejemplo las conocidas operaciones aritméticas (suma, resta, producto y cociente), utilizando mediciones realizadas, obviamente el resultado se ve afectado de incertidumbre, así como lo estaban las medidas originales. Es posible, es más, es necesario determinar el valor de dicha incertidumbre, a los efectos que nuestras conclusiones sean válidas. Para poder determinar dicho error existen muchos métodos, más o menos sofisticados, según el grado de veracidad que deban tener nuestros resultados. Así, cuando se trabaja en una investigación científica, es imprescindible

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utilizar los métodos más confiables de cálculo de propagación de incertidumbres, dado que las conclusiones experimentales tendrán más o menos validez, según cuán fiables sean los mismos. No obstante, en los períodos de aprendizaje elementales, cuando los resultados experimentales no tienen efectos críticos, es posible utilizar procedimientos simples que nos orienten en cuanto a concluir, tanto sobre la certeza de los mismos, cuanto mostrarnos la necesidad de su aplicación y, fundamentalmente, concientizarnos en que no existe conclusión científica posible ni válida, si no está acompañada de su rango de validez, o sea, de su incertidumbre. Existen entonces, un par de pautas sencillas, que nos permitirán deducir la incertidumbre derivada de realizar operaciones con mediciones que contienen un rango de incerteza. Dichas reglas son:

1.2.1.1 INCERTIDUMBRE EN SUMA Y RESTA. El resultado de una suma, o resta, de dos medidas tiene una incertidumbre absoluta igual a la suma de las incertidumbres absolutas de los términos. Llamamos incertidumbre absoluta , δM , de una medida , M , al error de la medición. Así, dadas dos medidas A y B que deban sumarse, y cuyas incertezas sean δA y δB , tendremos que la suma S = A + B , tendrá una incertidumbre (o error absoluto), δS = δA + δB . En el caso de una resta R = A − B , según la regla, se tendrá δR = δA + δB .

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Obsérvese cuidadosamente que las incertidumbres no se restan, sino que siempre se suman…

1.2.1.2 INCERTIDUMBRE EN PRODUCTO Y COCIENTE. El resultado de una multiplicación o una división de medidas con incertidumbre también tiene incertidumbre. Llamamos incertidumbre relativa de una medida M , al cociente entre la incertidumbre δM absoluta de dicha medida y la medida misma: . M Entonces, dado el producto P de dos medidas A y B, P = A. B , el mismo tiene una incertidumbre o δP δA δB error relativo, = + . La misma regla se P A B A cumple para el cociente C = , siendo B δC δA δB = + . C A B Con estas dos reglas simples de propagación de incertidumbres al realizar cálculos, es posible determinar la incertidumbre de una gran cantidad de magnitudes derivadas…

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1.3 RECTANGULOS DE ERROR Cuando trazamos una grafica de puntos, los valores de las medidas de las variables que aparecen en los ejes, tienen incertidumbres. Por eso, alrededor de cada punto debemos poner el rectángulo de incertidumbre correspondiente.

1.4 POTENCIAS DE DIEZ (NOTACION CIENTIFICA) Trabajar con la cantidad correcta de C.S. a veces presenta la dificultad siguiente. Por ejemplo en el experimento realizado en la sección de calor, al hacer la grafica m = f( t), hallamos la constante (que es el calor entregado al agua y si, por ejemplo, tomábamos para delta t el valor 57,5 C y para m el valor 200 gramos, al hacer el producto de ambas variables el resultado nos da 11500 Cg. Resulta que, según la regla para el producto de dos medidas, dado que ambos factores tienen 3 C.S., el resultado no puede tener más de 3 C.S.. Se nos plantea el siguiente problema, como hacer para expresar un número que en notación normal necesita 5 dígitos, en una notación que contenga "de hecho" cinco cifras, 19

pero en la cual aparezcan menos dígitos? La solución de este intríngulis nos la dan los matemáticos. Es la denominada notación científica. Para ello se utilizan potencias de base diez. En el ejemplo indicado, tendríamos que poder escribir 11,5*1000. Claro, aquí tenemos dos números 11,5 y 1000, el primero con tres C.S. y el segundo con cuatro C.S.. Pero resulta que 1000= 10*10*10, y, utilizando la potenciación, 10 × 10 × 10 = 10 3

Es decir, el numero 11500 se puede escribir de la siguiente manera 11,5*103. (1) ¿Que ventaja tiene esta forma de escritura? Que solamente aparecen 3 dígitos significativos (11,5), puesto que la potencia de diez no tiene cifras significativas, sino que simplemente nos están indicando que posiciones ocupan los dígitos 11,5 en una notación normal, con respecto a la unidad. Los números que se expresan utilizando notación científica constan de dos partes; el factor que multiplica a la potencia, o mantisa, que es el que contiene las C.S. y la potencia de diez. O sea, el numero expresado en (1) es de por sí un numero completamente definido. No es necesario hacer la operación indicada (multiplicación) en él, sino que se lee 11,5 por diez a la tres. Normalmente, por una cuestión de elegancia en la

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presentación de las medidas expresadas en potencias de diez, la mantisa que multiplica a la potencia se escribe con la coma ubicada de tal manera que dicho factor sea mayor o igual a 1 y menor que 10. Entonces, nuestra medida, correctamente expresada, debe quedar 1.15 × 10 4

Es importante entonces saber cómo se opera con notación científica. Pero primero, debemos saber qué indica el signo en el exponente. Cuando el exponente es positivo indica cuantas veces debemos multiplicar 10 por si mismo, para saber el "tamaño" del numero. Cuando el exponente es negativo indica que la potencia de diez va dividiendo a la mantisa. Por ejemplo, si tenemos el numero 3.4 × 10 − 5 =

3 .4 3 .4 = = 0.000034 5 10 100000

La primera es la expresión más correcta, dado que, como vimos al estudiar las C.S., los ceros a la izquierda no son dígitos significativos y, por lo tanto, son prescindibles, o sea, están demás.

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1.5 OPERACIONES CON POTENCIAS DE DIEZ

Para MULTIPLICAR dos medidas expresadas en notación científica se multiplica entre si a los factores de las potencias y se suman los exponentes. Ejemplos 2,1*103 * 3,3*105 = (2,1*3,3)*103 *105 = 6,9*108 2,1*103 * 3,3*10-5 = 6,9*10-2 2,1*10-3 * 3,3*10-5 = 6,9*10-8

Para DIVIDIR dos medidas expresadas en notación científica, se dividen los factores de las potencias y se restan los exponentes, al igual que en el caso anterior, respetando los signos de cada exponente. 3,3*105 /2,1*102 = 1,6*103 3,3*105/2,1*10-2 = 1,6*107 3,3*10-5 /2,1*10-2 = 1,6*10-3 3,3*10-5 /2,1*102 = 1,6*10-7

22

Para sumar medidas expresadas en notación científica, es necesario igualar los exponentes y el resultado de la suma tiene el mismo exponente. Ejemplos 3,3*105 + 2,1*104 = 3,3*105 + 0,21*105 = 3.5*105 3,3*105 + 2,1*106 = 0,33*106 + 2.1*106 = 2.4*106 3,3*10-5 + 2.1*10-4 = 0.33*10-4 + 2.1*10-4 = 2.4*10-4

Para restar medidas en notación científica la regla es igual. Si los exponentes son iguales inicialmente, no es necesario hacer ninguna modificación de los términos.

23

24

1.6 TEOREMA DE PITÁGORAS Ilustración 1

c a

b

α

Dado un triángulo de lados a, b, c, tales que cumplen la condición que, entre los lados a y b el ángulo formado es de 90º, se verifica la relación a 2 + b 2 = c 2 Ecuación 1.6-1 Este es el conocido teorema de Pitágoras. “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Demostración.

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x2 + y2 = r2. La figura que hemos obtenido es la siguiente: Es claro que la parte 25

exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Por tanto el área de ese cuadrado es (x + y)2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r2. Y el área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir: (x + y)2 = r2 + 4· xy/2 (1) Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Sustituímos en (1): x2 + 2xy + y2 = r2 + 2xy Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniendo así el resultado buscado: x2 + y2 = r2

1.7 Trigonometría; seno, coseno, tangente Ahora, pasemos a definir las líneas o funciones trigonométricas, partiendo del triángulo rectángulo 26

ya presentado. Estas funciones representan relaciones entre los lados de dichos triángulos y se encuentra que dependen no de los triángulos en sí, sino de los ángulos que los mismos definen. Para definirlas, podemos usar el mismo triángulo rectángulo de la figura 1 y definir las razones de lados referidas al ángulo α. Se llama seno del ángulo α, o simplemente seno de α, al cociente entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa del correspondiente triángulo rectángulo. Escrito con símbolos es catetoopuesto a senα = = hipotenusa c Ecuación 1.7-1

Se denomina coseno de α, al cociente entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa del triángulo catetoadyacente b = cos α = hipotenusa c Ecuación 1.7-2

Finalmente, llamamos tangente de α, al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo α. catetoopuesto a tan α = = catetoadyacente b Ecuación 1.7-3

Nótese que, a partir de las definiciones, se puede observar lo siguiente

27

a a senα tan α = = c = b b cos α c Ecuación 1.7-4

Obsérvese además que, por su propia definición, las tres líneas o razones trigonométricas, no tienen unidades, son adimensionales, dado que representan, en todos los casos, razones entre lados de un triángulo. Supongamos que medimos los lados en metros. Al dividir el cateto opuesto al ángulo alfa entre la hipotenusa, tenemos una medida expresada en metros dividida por otra, también expresada en metros. Por lo tanto, el cociente tiene unidades de metros divididos entre metros, lo que da como resultado, uno. Utilizando la notación de del análisis dimensional [senα ] = [L] = m = 1 [L] m Dado que la magnitud a la que pertenecen, tanto el cateto opuesto, cuanto la hipotenusa, es la longitud.

28

1.7.1 El círculo trigonométrico

y

yA A

senα

α R=1

O

x cosα

xA

Ilustración 2

Consideremos un círculo unitario, esto es, de radio uno, con centro O en el origen de un sistema de coordenadas x, O, y. En dicho círculo, tracemos un radio A (cuya longitud, obviamente, es uno). Ese radio A determina, con respecto al eje de abscisas, un ángulo α, medido en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. El extremo del radio A, o sea, el punto donde llega a la circunferencia, determina dos proyecciones sobre los ejes coordenados, yA en el eje de ordenadas, y xA en el eje de abscisas. Si ahora aplicamos las 29

definiciones de seno y coseno del ángulo α vistas arriba (ecuaciones 2 y 3) a este caso, tendremos y senα = A A xA cos α = A Ecuación 1.7-5

Si tomamos en consideración el hecho de que A=1, pues ese es el radio del círculo, podemos escribir las ecuaciones anteriores, sin perder absolutamente nada de información, de la siguiente manera senα = y A cos α = x A Ecuación 1.7-6

De esta forma, en semejante círculo, las coordenadas de los puntos de la circunferencia, con sus respectivos signos (recordemos que el centro de la circunferencia es el origen del sistema de coordenadas), representan los valores de las funciones seno y coseno directamente y, entonces, resulta bastante claro notar que el máximo valor posible para el seno de un ángulo está dado por la coordenada del punto de la circunferencia que pasa por el eje de ordenadas, y, o sea 1. El mínimo valor del seno es el opuesto, o sea, cuando el punto de la circunferencia ha dado ¾ de vuelta en sentido antihorario, a partir del eje de abscisas, o sea, el valor es -1. En los puntos en que la circunferencia toca el eje x, el valor del seno del ángulo correspondiente es 0, dado que esos puntos no levantan ninguna ordenada por estar sobre el eje x.

30

Situación diferente se presenta cuando analizamos los valores de la función coseno. Éste vale 1 cuando el punto de la circunferencia subtiende un ángulo α=0, o sea, cuando se encuentra sobre el eje x, pero cuando se encuentra en el polo opuesto, en el eje x, pero a la izquierda de O, el valor del coseno es -1. Sin embargo, el coseno del ángulo α se anula en los puntos en los cuales el círculo pasa por el eje de ordenadas, y, tanto a 90º a partir de la posición (1,0), cuanto a 270º a partir de dicha posición. Es más, los pares de puntos (x,y) de la circunferencia son los valores de los cosenos y senos de los ángulos respectivos, definidos por dichos puntos con respecto al eje de abscisas, cuando subtendemos los radios correspondientes a partir del origen del sistema de coordenadas.

1.8 Teorema del coseno El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras, para cualquier triángulo no rectángulo. Utilizado en geometría para resolver triángulos, en física tiene muchas aplicaciones, especialmente en la suma de magnitudes vectoriales, y sostiene que, dado cualquier triángulo de lados a, b, c, el cuadrado del lado c es igual a la suma del cuadrado del lado a, más el cuadrado del lado b, menos el doble producto del lado a por el lado b, por el coseno del ángulo formado por los lados a y b. Veamos.

31

β

c

a

h α

m n

b

b=m+n Ilustración 3

γ

Observemos la ilustración 3 y allí veremos un triángulo escaleno de lados a, b, c, y ángulos α, β, γ, opuestos a los lados respectivos. En ese triángulo hemos dibujado la altura h, medida desde el lado b hasta el vértice donde se encuentra el ángulo β (formado por los lados a y c). Tal altura, divide el triángulo original, en dos triángulos rectángulo.

Asimismo, como consecuencia de trazar la altura h, el lado b queda dividido en dos segmentos, m y n, que son los catetos respectivos de los dos triángulos ∆

rectángulos que quedan formados (el triángulo ahn ∆

y el triángulo chm ). Intentamos ahora calcular el cateto c, a partir de uno de los triángulos. ∆

Tomando el triángulo ahn , y usando el teorema de Pitágoras, se puede escribir c2 = h2 + m2 Ecuación 1.8-1

32

Ahora bien, de acuerdo a la construcción geométrica, el cateto m está relacionado con b, mediante m =b−n Mientras que, por el triángulo de la derecha, tenemos que n = a cos γ Por lo tanto, m = b − a cos γ Ecuación 1.8-2

Por otro lado, h 2 = a 2 − n 2 = a 2 − a 2 cos 2 γ Ecuación 1.8-3

Insertando las ecuaciones 9 y 10 en la 8, queda c 2 = a 2 − a 2 cos 2 γ + (b − a cos γ ) 2 Desarrollando el cuadrado del tercer término derecho c 2 = a 2 − a 2 cos 2 γ + b 2 + a 2 cos 2 γ − 2ab cos γ Que, simplificando, se reduce a c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ teorema del coseno Ecuación 1.8-4

1.9 Teorema del seno En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

33

Usualmente se presenta de la siguiente forma: Teorema del seno Si en ABC, de opuestos a los ángulos A, B respectivamente a, b, c, entonces

un triángulo las medidas los lados y C son

1.9.1 Demostración

Ilustración 4

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

34

Observemos la figura 4. Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro1 y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP. Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos en A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales. La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

1

(el circuncentro es el punto donde se cruzan las tres mediatrices de un triángulo; las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados, trazadas por el centro de los lados del triángulo)

35

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

36

1.10 Ecuación de la elipse Ilustración 5

P

b a F’

O

F

Q

En la figura tenemos una elipse de semieje mayor a y semieje menor b y dos puntos, P y Q, sobre el perímetro de ella. De acuerdo a la definición analítica de la elipse, la suma de las distancias FP + F ' P = FQ + F ' Q , pues, como recordamos, la elipse es el lugar geométrico de los puntos cuyas sumas de distancias a dos puntos llamados focos es siempre la misma. Si aplicamos geometría elemental, veremos que

37

2

FP = (OF ) 2 + b 2 2

F ' P = (OF ') 2 + b 2 y FP = F ' P además OF = OF ' Ecuación 1.10-1

Por otro lado

FP + F ' P = 2 FP =

(OF ) + b 2

2

+

(OF ') + b 2

2

= 2 (OF ) 2 + b 2

Ecuación 1.10-2

Con respecto al punto Q sabemos que FQ = a − OF F ' Q = a + OF ' Ecuación 1.10-3

Y, por lo tanto FQ + F ' Q = a − OF + a + OF ' Ecuación 1.10-4

Según la definición, las ecuaciones 2 y 4 deben ser iguales. Las distancias focales son iguales, por lo que OF = OF ' , luego FQ + F ' Q = 2a Ecuación 1.10-5

Tomando en cuenta la 5, igualamos la 2 y la 4, para encontrar

38

FQ + F ' Q = 2 FP implica

Ecuación 1.10-6

2 (OF ) 2 + b 2 = 2a Que, elevada al cuadrado nos da 2 4 (OF ) + b 2 = 4a 2 Ecuación 1.10-7 Simplificando y despejando el semieje menor b 2 = a 2 − (OF ) 2 Ecuación 1.10-8 Si llamamos e a la excentricidad de la elipse, definida como OF e= ⇒ OF = ea a la ecuación 8 es b 2 = a 2 − (ea) 2 = a 2 − e 2 a 2 = a 2 (1 − e) 2 Ecuación

[

]

1.10-9

Que es la ecuación de la elipse.

39

1.11 APÉNDICE 0.- BREVES NOCIONES SOBRE CÁLCULO. 1.11.1

Derivación y

x

Imaginemos un sistema de ejes perpendiculares. Supongamos que tenemos una función f(x)=y, que hace corresponder, a cada valor de la variable real x, el correspondiente valor y. Supongamos, además, que un trozo de tal función está representado en el diagrama que se muestra al costado. La curva que dibujan los valores correlativos de x e y es la representación gráfica de la función. En geometría, toda curva se compone, en realidad, de una sucesión de segmentos de recta, cada uno de los cuales forma un determinado ángulo α con el eje de abscisas, x..

Estos segmentos de recta tienen una longitud dl, y con tales segmentos es posible construir triángulos de catetos dx, dy e hipotenusas dl. dl

dy

De esta forma, los lados de tales triángulos

α

obedecen a la relación de Pitágoras dl 2 = dx 2 + dy 2

dx

40

A su vez, se verifican las líneas trigonométricas debido al carácter rectángulo del triángulo. Se denomina pendiente del segmento dl al cociente dy pendiente = dx que equivale a la tangente del ángulo formado por dl con dx, o sea, α. dy pendiente = tgα = dx Como la propia curva es la sucesión infinita de tales segmentos dl, se puede definir la derivada de la función y=f(x) en cada “punto” de la curva, como df ( x) dy y' = = dx dx Así, se interpreta la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa dicha función en un diagrama en el que se han representado los puntos correlativos de la variable dependiente (y) en función de los correspondientes valores de la variable independiente (x). La derivación es una técnica de cálculo muy utilizada en los parágrafos siguientes y existen varias propiedades que se verifican. 1) Derivada de la suma de dos funciones. Sean dos funciones f(x), g(x) y h(x) la suma de ambas. La derivada de la suma es la suma de las derivadas h’=f’+g’

41

2) Derivada del producto de dos funciones. Si h ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) ⇒ h' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x ) , o sea ( f ⋅ g )' = f '⋅ g + f ⋅ g ' 3) Derivada de función constante. Si f ( x) = C es una constante, entonces f ' ( x) = 0 4) Derivada de n n −1 monomio. f ( x) = ax ⇒ f ' = anx 5) Regla de la cadena (derivada de función de función. Si h = g ( f ( x)) ⇒ h' ( x) = g ' ( f ( x)) ⋅ f ' ( x) es la derivada de la función de función, o función compuesta. Utilizando la notación de Leibnitz, dg dg df = dx df dx 6) Segunda derivada. La segunda deriva de una función f(x) respecto a x se define como la derivada de la función f’(x), d2 f d  df  f ' ' ( x) = =   2 dx  dx  dx 7)Derivada del cociente de funciones. Sea f ( x) h( x ) = , entonces la derivada del cociente será g ( x) dg df g −f dh h' ( x) = = dx 2 dx . dx g

42

Una función puede depender de más de una variable. Si una función depende de dos variables, sea, por ejemplo z ( x, y ) Entonces, la derivada ∂z ∂y es la derivada parcial de z con respecto a y, manteniendo a la variable x como constante. Lo mismo se puede decir de la derivada parcial de z respecto de x. En tal caso, es y la que se mantiene constante. La diferencial total de tal función se calcula mediante ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y

1.11.2

INTEGRALES

El concepto de integral representa el cálculo inverso de la derivación. Sea la función y ( x) = ax + b cuya derivada es dy =a dx entonces, la integral ∫ a.dx = ax + b donde b es la constante de integración, que depende de los límites de integración, o de las condiciones

43

de límite del problema que se está resolviendo. Así, dy si llamamos f ( x) = dx se tiene que I ( x) = ∫ f ( x)dx donde I ( x) = y ( x) es la integral de f (x) . A la función f (x) se la denomina integrando de la integral. Geométricamente, la integral de la función f (x) representa el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje de abscisas. Por ejemplo, en la figura adjunta, el área pintada representa la integral de y(x) esto es x2

∫ y( x)dx = Área

x1

A tal integral, donde están aclarados los límites de integración, se la denomina integral definida, en contraposición con la integral indefinida, donde no se aclaran tales límites. Tal era el caso de la integral escrita líneas arriba. Por ejemplo, si se tiene la integral indefinida, x n+1 n x dx = +C ∫ n +1 La correspondiente integral definida, será

y

x1

44

x2

x

x2

∫x

n

dx =

x2

n +1

x1

1.11.3

− x1 n +1

n +1

TÉCNICAS

1) Integración por partes Esta técnica hace uso de la propiedad de las derivadas del producto. ∫ udv = uv − ∫ vdu siendo u y v dos funciones continuas y derivables. Sea, por ejemplo, la integral x ∫ xe dx eligiendo x=u e x dx = dv se tiene que x x x x x ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe − e + C 2) Diferencial perfecta Si en una integral podemos buscar que el diferencial de la función sea la diferencial de la variable independiente, mediante un cambio de variable adecuado, lo que estamos haciendo es buscar la diferencial perfecta. Tomemos por ejemplo la integral ∫ senx cos xdx Si en ella tomamos en cuenta que la derivada dsenx = cos x dx y sustituímos en la integral, encontramos 45

∫ senx cos xdx = ∫

senx ⋅ dsenx ⋅ dx sen 2 x = ∫ senx ⋅ dsenx = +C dx 2

Es conveniente que el lector se acostumbre a buscar integrales más complejas en las tablas de integrales.

1.12 DERIVADA DEL SENO Tomemos el cociente incremental sen ( x + ∆x ) − senx ∆x

(5)

asumiendo, naturalmente, de acuerdo a la definición de derivada, que la cantidad ∆x → 0 de acuerdo a la definición de derivada. Ahora, apliquemos al denominador, la identidad (1) , para obtener sen ( x + ∆x ) − senx = 2 sen (

x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x ∆x ) cos( ) = 2 sen cos( x + ) 2 2 2 2

que, aplicada a la ecuación (5) nos permite obtener

46

sen ( x + ∆x ) − senx =

2 sen

∆x ∆x cos( x + ) 2 2 ∆x

si, ahora tenemos en cuenta que, para ∆x → 0 , se ∆x ∆x cumple que sen = , y, sustituyendo este 2 2 resultado en la ecuación de arriba, ∆x ∆x 2 cos( x + ) sen ( x + ∆x ) − senx 2 = cos( x + ∆x ) = 2 ∆x ∆x 2 lo que queda reducido a sen ( x + ∆x ) − senx = cos x ∆x ∆x el segundo 2 término es un infinitésimo, o sea, prácticamente cero. Por lo tanto sen ( x + ∆x ) − senx lím = cos x (6) ∆x ∆x → 0

dado que en el argumento x +

O sea, hemos demostrado que la derivada del seno de x es el coseno del mismo ángulo x.

47

1.13 LA DERIVADA DEL COSENO Seguiremos el mismo procedimiento, escribiendo la cantidad cos( x + ∆x ) − cos x ∆x y la restricción ∆x → 0 , de acuerdo a la definición de derivada. Ahora aplicamos la identidad (3) y−x y+x cos x − cos y = 2 sen ( ) sen ( ) 2 2 y ahora x = x + ∆x , e y = x . Escribimos x − x − ∆x x + x + ∆x − ∆x ∆x 2 sen sen 2 sen sen ( x + ) cos( x + ∆x ) − cos x 2 2 2 2 = = ∆x ∆x ∆x Nuevamente se tiene, − ∆x ∆x =− , sen 2 2 de donde se puede escribir − ∆x 2( ) senx cos( x + ∆x ) − cos x 2 = = − senx ∆x ∆x donde nuevamente, hemos eliminado el término ∆x en el argumento del seno, debido a que es un 2 infinitésimo inapreciable frente al valor de x.

48

O sea, hemos demostrado que d ( cox ) = − senx . dx (7)

1.14 DERIVADA DE LA TANGENTE Ahora vamos a determinar la derivada de la función tangente sex d d (tgx ) = cos x dx dx Para hacerlo, recordamos cómo se determina la derivada del cociente entre dos funciones f ( x) d g ( x) f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x) = dx [g ( x )]2 Esto, aplicado a las funciones que tenemos, se transforma en d ( senx ) d (cos x ) cos x − senx d [tg ( x )] cos x cos x − ( − senx ) senx dx = dx = 2 dx cos x cos 2 x Aplicando la regla de signos d [tg ( x )] cos 2 x + sen 2 x = dx cos 2 x Finalmente, recordamos que sen 2 x + cos 2 x = 1

(8)

49

con lo que, obtenemos para la derivada de la tangente del ángulo x, con respecto al ángulo, la expresión d [tg ( x )] 1 = (9) dx cos 2 x También, podemos tomar la expresión (8) y operar, para tener d [tg ( x )] cos 2 x sen 2 x sen 2 x = + = 1 + dx cos 2 x cos 2 x cos 2 x senx que, recordando que tg ( x ) = , se transforma cos x inmediatamente en d (tgx ) = 1 + tg 2 x (10) dx Y hemos encontrado así las derivadas de las tres funciones circulares, seno, coseno y tangente.

1.15 Identidades Trigonométrica s

sen(theta) = a / c

csc(theta) = 1 / sen(theta) = c / a

50

cos(theta) = b / c

sec(theta) = 1 / cos(theta) = c / b

tan(theta) = sen(theta) / cos(theta) = a / b

cot(theta) = 1/ tan(theta) = b / a

sen(-x) = -sen(x) csc(-x) = -csc(x) cos(-x) = cos(x) sec(-x) = sec(x) tan(-x) = -tan(x) cot(-x) = -cot(x) sen^2(x) + cos^2(x) = 1

tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

cot^2(x) + 1 = csc^2(x)

sen(x y) = sen x cos y cos x sen y cos(x y) = cos x cosy sen x sen y tan(x y) = (tan x tan y) / (1 tan x tan y) sen(2x) = 2 sen x cos x cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = 2 cos^2(x) - 1 = 1 - 2 sen^2(x) tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x)) sen^2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x) cos^2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)

51

sen x - sen y = 2 sen( (x - y)/2 ) cos( (x + y)/2 ) (1) sen x + sen y =2 sen[(x + y)/2] cos [(x – y)]/2] (2) cos x - cos y = -2 sen( (x-y)/2 ) sen( (x + y)/2 )= 2 sen[(y-x)/2] sen[(x+y)/2] (3) cos x + cos y = 2 cos[(x+y)/2]cos[x-y)/2] (4)

Dado un triángulo abc, con ángulos A,B,C; a está opuesto a A; b opuesto a B; c opuesto a C, a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) (Ley del Seno) c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) b2 = a2 + c2 - 2ac cos(B) (Ley del Coseno) a2 = b2 + c2 - 2bc cos(A) (a - b)/(a + b) = tan 1/2(A-B) / tan 1/2(A+B) (Ley de la Tangente)

52

1.16 Solución de la ecuación diferencial de 2º orden y demostración de 8 identidades trigonométricas. La solución de la ecuación diferencial de 2º orden d2y +y=0 dx 2 Ecuación 1.16-1

da como resultado y = Asenx + B cos x Puesto que, si derivamos una vez esta función, obtenemos dy = A cos x − Bsenx dx Y, al derivar por segunda vez la función, el resultado es d2y = − Asenx − B cos x dx 2 Luego, sustituyendo en la ecuación 1 − Asenx − B cos x + Asenx + B cos x = 0 Lo que verifica la igualdad.

53

B

P y

Q x

A

O

Ilustración 6

Observemos la ilustración 1. Tenemos un círculo de radio unitario. Allí podemos ver que hay dos triángulos rectángulo, los definidos por los puntos AQB, con ángulo recto en Q, y APB, con ángulo recto en P. Recordando las definiciones de seno y coseno de un ángulo, aplicables directamente a triángulos rectángulo, podemos observar lo siguiente. seny − senx = BP cos x − cos y = AP Luego, si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo APB, tenemos

54

(seny − senx )2 + (cos x − cos y )2 = AB

2

Ecuación 1.16-2

Por otro lado, QA = 1 − cos( y − x) Y el cateto BQ es BQ = sen( y − x) Luego, aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras al triángulo AQB, tenemos que 2

AB = (1 − cos( y − x)) 2 + ( sen( y − x)) 2 Ecuación 1.16-3

Observando que las ecuaciones 2 y 3 pueden igualarse, obtenemos ( seny − senx) 2 + (cos x − cos y ) 2 = (1 − cos( y − x)) 2 + ( sen( y − x)) 2 Ecuación 1.16-4

Operamos separadamente los binomios, para mayor claridad, ( seny − senx) 2 = sen 2 y + sen 2 x − 2 ⋅ seny ⋅ senx

(cos x − cos y )2 = cos 2 x + cos 2 y − 2 ⋅ cos x ⋅ cos y [1 − cos( y − x )]2 = 1 + cos 2 ( y − x) − 2 ⋅ cos( y − x)

Si ahora sustituimos estos tres resultados en la ecuación 4 sen 2 y + sen 2 x − 2 ⋅ seny ⋅ senx + cos 2 x + cos 2 y − 2 ⋅ cos x ⋅ cos y =

= 1 + cos 2 ( y − x) − 2 ⋅ cos( y − x) + sen 2 ( y − x) Si despejamos de acá el 2º término del segundo miembro,

55

cos 2 ( y − x) = sen 2 y + sen 2 x − 2senxsey + cos 2 x + cos 2 y − 2 cos x cos y + + 2 cos( y − x) − sen 2 ( y − x) − 1 Dado que por el teorema de Pitágoras sen 2 y + cos 2 y = sen 2 x + cos 2 x = 1 Podemos escribir 2 cos ( y − x) + sen 2 ( y − x) = 1 + 1 − 2senxseny − 2 cos x cos y + 2 cos( y − x) − 1 El miembro izquierdo también es igual a 1, por la misma razón, por lo que podemos despejar así 2 senxseny + 2 cos x cos y = 2 cos( y − x) Lo que, finalmente nos proporciona la identidad trigonométrica cos( y − x) = senxseny + cos x cos y Ecuación 1.16-5

Luego, si x=-y cos 2 y = senysen(− y ) + cos(− y ) cos y Como seny=-sen(-y) y cos y =cos(-y), obtenemos cos 2 y = cos 2 y − sen 2 y Ecuación 1.16-6

Por otra parte cos( y + x) = cos x cos y − senxseny Ecuación 1.16-7

Ahora, usemos la igualdad siguiente cos( y − x) = sen(

Llamando z =

π

π

2

− y + x)

−y 2 sen( z + x) = senxseny + cos x cos y Como

56

z=

π

−y⇒ y=

π

−z 2 2 Y la igualdad anterior queda sen( z + x) = senxsen(

π

2

− z ) + cos x cos(

π 2

− z)

Pero, resulta que sen(

π

2

− z ) = cos z

y

π

− z ) = senz 2 Por lo tanto, sen( x + z ) = senx cos z + cos xsenz cos(

Ecuación 1.16-8

Consistentemente sen( x − z ) = senx cos z − cos xsenz Ecuación 1.16-9

Si x=z sen 2 x = senx cos x + cos xsenx = 2 senx cos x Ecuación 1.16-10

Intentaremos demostrar cuánto da el resultado de la suma de cosenos de dos ángulos. Para ello tomamos la ecuación 7, y allí despejamos cos x cos y cos x cos y = cos( x + y ) + senxseny Y volvemos a sustituir en 5 cos( y − x) = senysenx + cos( x + y ) + senxseny Luego

57

cos( y − x) − cos( y + x) 2 Si llamamos A=y-x B=y+x Entonces B− A x= 2 A+ B y= 2 Y se obtiene A+ B B− A cos A − cos B = 2 sen sen 2 2 senxseny =

Ecuación 1.16-11

Para determinar la suma del seno de dos ángulos, tomamos las ecuaciones 8 y 9. Ahora definimos A= x+z B= x−z Reescribiendo dichas ecuaciones con la nueva definición de las variables, y teniendo en cuenta que A− B z= 2 y A+ B x= 2 Encontramos

58

 A+ B  A− B  A+ B  A− B senA = sen  cos  sen  + cos   2   2   2   2  y  A+ B  A−B  A+ B  A− B senB = sen  cos  − cos  sen   2   2   2   2 

Sumando ambas ecuaciones  A+ B  A− B  A+ B  A− B senA + senB = sen  cos  + cos  sen  + ...  2   2   2   2   A+ B  A− B  A+ B  A− B ... + sen  cos  − cos  sen   2   2   2   2 

Donde se simplifican el segundo y cuarto términos del miembro derecho, entre sí, para dar  A+ B  A− B senA + senB = 2 sen  cos   2   2  Ecuación 1.16-12

Así, hemos demostrado las identidades trigonométricas cos( y − x) = senxseny + cos x cos y Ecuación 1.16-13

cos( y + x) = cos x cos y − senxseny Ecuación 1.16-14

cos 2 y = cos 2 y − sen 2 y Ecuación 1.16-15

sen( x + z ) = senx cos z + cos xsenz Ecuación 1.16-16

59

sen( x − z ) = senx cos z − cos xsenz Ecuación 1.16-17

sen 2 x = 2 senx cos x

Ecuación 1.16-18

cos A − cos B = 2 sen

A+ B B− A sen 2 2

Ecuación 1.16-19

 A+ B  A− B senA + senB = 2 sen  cos   2   2  Ecuación 1.16-20

60

1.17 APÉNDICE –1.- ELEMENTOS DE TENSORES Consideremos el vector posición en un

z

sistema de coordenadas cartesianas

zp

P tridimensional, S, en el que la posición yp

de P viene determinada por los valores xp

ϕ x

figura 1

(x p , y p , z p ) . Cuando pretendemos determinar

xp

el nuevo vector posición del punto P en sistema de referencia S’, rotado con respecto a S, las nuevas coordenadas serán

otro

P

figura 2

ϕ y’p

x’p ϕ

El ángulo de rotación ϕ determina las nuevas componentes imprimadas en relación con las componentes sin imprimar (las

a11 = cos ϕ ,

originales). Llamémosle

a12 = senϕ a 21 = − senϕ a = cos ϕ 61 22

( x' p , y ' p , z ' p ) . Las coordenadas en S están relacionadas con las coordenadas del mismo punto en S’, con la condición que la longitud del vector que une los centros con P permanezca constante. Las nuevas coordenadas están relacionadas con las anteriores mediante las relaciones x' p = x p cos ϕ + y p senϕ y ' p = − x p senϕ + y p cos ϕ

(1)

ver figuras 1 y 2.

62

a los coeficientes respectivos en las igualdades (1). De la figura 2, podemos ver que ∂x' a11 = ∂x ∂x' a12 = ∂y ∂y ' a 21 = − ∂x ∂y ' a 22 = ∂y (2) Se puede escribir entonces, si llamamos x1 = x, x 2 = y, x'1 = x' , x' 2 = y ' , que x'1 = a11 x1 + s12 x 2 x' 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 o, usando índices mudos x' i = ∑ aij x j j

(3) Tomando en consideración el conjunto de ecuaciones (2), ∂x' ∂x' x'1 = 1 x1 + 1 x 2 ∂x1 ∂x 2 (4) ∂x' 2 ∂x' x' 2 = x1 + 2 x 2 ∂x 2 ∂x1 (5) Las ecuaciones (4) y (5) representan la forma en que se transforman las coordenadas del vector 63

posición, al pasar de un sistema S a otro sistema S’ rotado con respecto a aquél. Los coeficientes a ij se llaman cosenos directores de los nuevos ejes de coordenadas, o sea, de la transformación. Se puede decir que a11 = cos ϕ = cos( x'1 , x1 )

a12 = senϕ = cos( x'1 , x 2 ) y similarmente para a 21 , a 22 . Los cosenos directores satisfacen la relación de ortogonalidad a ij aik = δ jk

donde δ jk es la función delta de Kronecker y su valor es 1⇔ j = k δ jk = . 0⇔ j≠k r Por tanto tenemos que el vector posición r se transforma, en un cambio del sistema de coordenadas S a otro S’, a través de la transformación de sus componentes, dejando invariante la longitud del vector mismo. Dichas componentes de vector experimentan la transformación ∂x' j x' j = ∑ xi i ∂x i (6) A cualquier magnitud que se transforma de acuerdo a la relación (6), se lo denomina vector r contravariante. Así, un vector A , cuyas componentes verifique la relación

64

∂x'i Aj j ∂x j (7) es un vector contravariante. Tomemos ahora el gradiente de potencial y analicemos cómo se transforma durante un cambio del sistema de coordenadas S al S’ rotado respecto del primero. Se sabe que el gradiente de un potencial ϕ es gradϕ = ∇ϕ (8) donde el operador nabla representa la suma de las derivadas parciales r ∂ r ∂ r ∂ ∇=i + j +k ∂z ∂x ∂y (9) en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Aplicar el operador nabla (gradiente) a una función escalar ϕ, significa hacer r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ∇ϕ = i + j +k ∂z ∂x ∂y (10) con lo que, evidentemente, se obtiene un vector. O sea, el gradiente de una función escalar, es un vector. Para calcular cómo se transforma esta nueva función en una transformación de coordenadas, por rotación del sistema S al sistema S’ rotado, primeramente llamemos x1 , x 2 , x3 a las coordenadas x, y, z . Tendremos entonces que, las componentes rotadas serán A'i = ∑

65

∂ϕ ∂ϕ ∂xi =∑ ∂x' j i ∂xi ∂x ' j (11) Vemos que las componentes del gradiente ya no se transforman igual que las componentes del vector r posición. De hecho, a todo vector B cuyas componentes se transformen, al pasar a un sistema coordenado rotado, mediante ∂x B' j = ∑ i Bi i ∂x ' j (12) le llamaremos vector covariante. Así, el gradiente de una función escalar (como lo es el potencial), es un vector covariante, en contraposición con el vector posición, que es contravariante. A partir de estas definiciones se puede generalizar para espacios con más de tres dimensiones (tal es el caso de los espacios relativistas, que cuentan con cuatro dimensiones) y las propias definiciones de contravariante y covariante también es viable hacerlo. De hecho, a un vector cuya ley de transformación de componentes durante las rotaciones obedece a la forma (7) se lo denomina tensor contravariante de rango 1, en cambio, a todo vector cuya ley de transformación de componentes durante las rotaciones obedece a la forma (12), se lo define como tensor covariante de rango 1. A partir de esto, un escalar es un tensor de rango 0. Por extensión se define el tensor covariante, contravariante y mixto de rango 2.

66

∂x'i ∂x' j kl A tensor contravariante k ∂x l kl ∂x de segundo rango (13) k l ∂x ∂x Bij = ∑ i Bkl tensor covariante de j kl ∂x ' ∂x ' segundo rango (14) i l ∂x' ∂x C ' ij = ∑ C lk tensor mixto de ∂x k ∂x' j segundo rango (15) Las ecuaciones (13-9, (14) y (15) definen los tensores de segundo rango. Obsérvese que no hay referencia alguna al número de dimensiones del espacio al que están referidos tales tensores. Tal vez conviene, aquí, hacer una pequeña digresión para favorecer la intuición y comprender mejor qué son los tensores. A'ij = ∑

1.17.1 TENSORES DE SEGUNDO RANGO Desde un punto de vista más operativo, los tensores suelen representarse por medio de matrices cuadradas. Por ejemplo, tomemos el caso de la ecuación fundamental de la dinámica de los cuerpos rígidos, que sostiene que r r τ = Iα (16) r donde τ es el torque aplicado a un cuerpo rígido, I , el momento de inercia del rígido al que se le

67

r aplica el torque y α , la aceleración angular que el rígido adquiere como consecuencia del torque aplicado. Para el caso de rígidos con distribución uniforme de masa (densidad constante) y forma simétrica, el momento de inercia I suele ser un escalar. Pero, cuando se trata de rígidos cuya densidad varía, y/o no presentan simetrías espaciales en su forma, el momento de inercia I es un tensor de segundo rango, cuyas 9 componentes (en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales) son I xx I xy I xz I = I yx I yy I yz I zx I zy I zz

(17) De esta forma, la ecuación (16) se expresa así τ x I xx I xy I xz α x τ y = I yx I yy I yz ⋅ α y τz I zx I zy I zz α z (18) que es una ecuación tensorial explícita. Ahora bien, ¿qué representan las componentes del tensor de inercia, I? Para imaginarlo, hagamos primero una analogía vectorial.

68

E

a r

1

a

Un vector se puede representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado. Pero existe otra analogía, es posible representarlo con un plano. Sea, en la figura 3, el r r vector a . Trazamos perpendicular a a el plano E, a una r distancia 1 del punto de aplicación de a . Cualquier a r vector posición r trazado desde O al plano E cumple la r condición de que su proyección a a es 1 . Así, el producto a escalar Figura 3 r r 1 a ⋅ r = ara = a = 1 a (19) Entonces el plano E queda definido por el producto r r a ⋅ r . O, más específicamente, a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 = 1

define al plano E, donde x1 , x 2 , x3 son las coordenadas espaciales y a1 , a 2 , a3 las r proyecciones de a sobre tales ejes coordenados. De esta manera, el plano E representa, r geométricamente, al vector a , o sea, tiene sus mismas propiedades. De la misma forma, un tensor simétrico de la forma (17) puede ser representado por una superficie curva, dada por la ecuación 2 2 2 S11 x1 + S 22 x 2 + S 33 x3 + 2S12 x1 x 2 + 2S 23 x 2 x3 + 2S 31 x3 x1 = 1 (20)

69

Las constantes S11 , S 22 , S 33 en los objetos físicos son positivas. En tales condiciones, la ecuación (20) representa un elipsoide, cuya orientación no depende del sistema coordenado elegido. Las propiedades del tensor están ligadas a las del rígido, o del medio que con él se esté representando. Al pasar a otro sistema de coordenadas, tanto las componentes del tensor, cuanto las propias coordenadas del cuerpo son modificadas, pero de tal manera que la ecuación (20) sigue siendo válida. El elipsoide de la (20) es la imagen geométrica de un tensor simétrico de segundo rango, el cual, si tomamos el tensor (17) tendrá componentes I xy = I yx , I xz = I zx , I yz = I zy . (21) De la misma manera que un segmento orientado, o un plano, son la imagen de un vector (de un tensor de primer rango). Si el elipsoide tiene semiejes a,b,c, y ellos se orientan de tal manera que los ejes de coordenadas coincidan con ellos, la ecuación del elipsoide se simplifica en 2 2 2 x3 x1 x2 + 2 + 2 =1 a2 b c (22) O sea, que para cada tensor simétrico, existen tales direcciones de los ejes de coordenadas para los cuales las componentes de tensor (20) o (22) se anulan. A tales direcciones se les denomina ejes principales del tensor, que queda representado por

70

S1

0

S= 0 0

S2 0

0

0 S3 (23) A los valores diagonales de (23) se los denomina valores principales del tensor y el tensor mismo ha quedado reducido a sus ejes principales. La ecuación del elipsoide, escrita en sus ejes principales es 2 2 2 S1 x1 + S 2 x 2 + S 3 x3 = 1 (24) Comparando (22) con (24) vemos que los valores de los ejes principales son 1 a= S1 b=

1

c=

1

S2 S3

(25) Básicamente, resolver un tensor en sus ejes principales se reduce al problema de los valores propios, pues se puede escribir la ecuación tensorial S − λE = 0 (26) donde S es el tensor cuyos ejes principales (o vectores principales) se quieren determinar; λ, son los valores propios, o principales, y E es el tensor unidad 71

1 0 0 E=0 1 0 0 0 1 (27)

1.17.2 PROPIEDADES DE LOS TENSORES Brevemente, enunciaremos algunas de las propiedades que poseen las magnitudes tensoriales. Si bien los tensores se representan, operativamente, mediante arreglos cuadrados de la forma (17) (para el caso de tensores de segundo rango en sistemas de tres coordenadas rectangulares), eso no implica que cualquier arreglo en forma de matriz cuadrada sea un tensor, sino, por el contrario, lo fundamental es que cada componente del arreglo obedezca a una regla de transformación de la forma (13), (14) o (15) para el caso de tensores de segundo rango. Contracción. La operación de contracción de dos índices en un tensor origina un nuevo tensor cuyo rango se ha disminuido en dos unidades. Se trata de una generalización del producto escalar de vectores. Se igualan dos índices, uno covariante y el otro contravariante y se suma respecto de ellos. Por ejemplo, si tenemos un tensor mixto de segunda clase (rango) B ij → Bii = B11 + B22 + B33 + B44 (en un sistema cuatridimensional)(28)

72

que es un escalar. En este caso, la contracción ha consistido, por tanto, en hallar la traza de la matriz, esto es, la suma de los elementos diagonales del tensor.

1.17.3

Producto directo

Si se multiplican dos tensores de segundo rango, se obtiene un tensor de cuarto rango Aij Bkl = C ijkl (29) Regla del cociente

Si se tienen dos tensores y desconocida, las relaciones C i Ai = B

y cierta cantidad C

C ij A j = Bi C ijkl Akl = Bij (30) etcétera, implican que, si ellas son consistentes en todos los sistemas de referencia, C es un tensor de la clase indicada en las ecuaciones (30).

1.18 Volviendo a insistir con los tensores, covariante, contravariante, antisimétrico, simétrico. Componentes independientes.

73

Así, como matrices, se escriben los componentes de un tensor de rango dos en un espacio cuatridimensional.  f 11  21 f µν F =  31 f  41  f  f 11 f Fµν =  12  f 13   f 14

f 12 f

22

f 32 f

42

f 13 f

23

f 33 f

f 21

f 31

f 22

f 32

f 23

f 33

f 24

f 34

43

f 14   f 24  f 34   f 44  f 41  f 42  f 43   f 44 

Tensor contravariante

Ecuación 1.18-1

Tensor covariante. Matriz transpuesta del anterior

Los tensores pueden ser simétricos o antisimétricos. Siempre hablando de tensores de rango dos, tendremos los siguientes casos. Si el tensor F µν es antisimétrico,

74

F µν

 0  12 −f =  13 − f  14 − f

Fµν

0 f =  12  f 13   f 14

f 12 0 − f 23 − f 24

− f 12 0 f 23 f 24

f 13 f 23 0 − f 34

− f 13 − f 23 0 f 34

f 14   f 24  f 34   0 

− f 14  − f 24  − f 34   0 

Ecuación 1.18-2

F µν = − Fµν Si es simétrico

F µν

 1  12 f =  13 f  14  f

Fµν

1 f =  12  f 13   f 14

f 12 1 f 23 f 24 f12 1 f 23 f 24

f 13 f 23 1 f 34 f 13 f 23 1 f 34

f 14   f 24  f 34   1  f 14  f 24  f 34   1 

Ecuación 1.18-3

F µν = Fµν Las 16 cantidades componentes del tensor contravariante de rango dos, en el espacio cuatridimensional (con la transformación del vector posición como prototipo) se calculan así. 75

A'i = ∑ i

∂x'i Aj ∂x j

Ecuación 1.18-4

Mientras que las componentes del tensor covariante (gradiente como prototipo) ∂x j j A'i = ∑ A Ecuación 1.18-5 i ∂x ' i

Por ejemplo, una rotación de coordenadas euclidianas tridimensionales es una matriz antisimétrica, de forma que la orientación final después de la rotación en torno a dos ejes depende del orden de las rotaciones. Nos planteamos el tensor de campo electromagnético en la Relatividad.

F µν

 0  − Ex = − E y  z  − E

Ex 0 − Bz By

Ey Bz 0 − Bx

Ez   − By Bx   0 

Ecuación 1.18-6

Porque F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ

Ecuación 1.18-7

Si definimos

76

x1 = ict x2 = x x3 = y

Ecuación 1.18-8

x4 = z Que nos da un elemento de longitud ds 2 = −c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 Ecuación 1.18-9 Y el potencial cuatridimensional r A = (ϕ , A) Ecuación 1.18-10

El tetravector densidad de corriente r j = (cρ , j ) Ecuación 1.18-11

Las componentes del tensor F µν son (usando la ecuación 7 para calcular las diferentes componentes, y asumiendo que es un tensor antisimétrico de rango dos en cuatro dimensiones, lo que nos habilita a tomar la matriz, ecuación 1, como guía para determinar las cantidades componentes del tensor)

77

f

12

f 13

∂A x ∂ϕ = Ex = − ic∂t ∂x ∂A y ∂ϕ = − = Ey ic∂t ∂y

f 14 = E z f

23

f

24

f 34

=

∂A y ∂A x − ∂x ∂y

∂A z ∂A x − ∂x ∂z z ∂A ∂A y = − ∂y ∂z =

Ecuación 1.18-12

Para poder conocer las cantidades f 23 , f 24 , f 34 tomamos en consideración la definición del potencial vectorial magnético. Como i r r ∂ B = ∇× A = ∂x Ax

j ∂ ∂y Ay

k  ∂A z ∂A y  ∂ + = i − ∂z ∂z   ∂y Az

 ∂A x ∂A z   ∂A y ∂A x   + k  j  − − ∂x   ∂x ∂y   ∂z

Ecuación 1.18-13

Se tiene

78

Bx =

∂A z ∂A y − ∂y ∂z

∂A x ∂A z − ∂z ∂x y ∂A ∂A x Bz = − ∂x ∂y By =

Ecuación 1.18-14

Observando estos resultados y los componentes de F µν , deducimos inmediatamente que f 24 = − B y f

23

= Bz

f 34 = B x Ecuación 1.18-15

Y entonces podemos escribir el tensor F µν así

F µν

 0  − Ex = − E y  z  − E

Ex 0 − Bz By

Ey Bz 0 − Bx

Ez   − By Bx   0 

Ecuación 1.18-16

Que es la ecuación 6. Para poder hacer una combinación entre Relatividad General y Mecánica Cuántica, significa que hay que cuantizar el espacio-tiempo. Esto

79

implica cuantizarlo a escalas submicroscópicas y es difícil plantearse la aplicación de la Relatividad General en semejantes escalas.

80

1.19 DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES MÉTRICOS EN UN CAMPO GRAVITATORIO CENTRAL     r d  m0 v  F=  2  dt  1− v    c2   x'+ vt ' x= v2 1− 2 c y = y' z = z' t '+ vx' 2 c t= v2 1− 2 c ∂ ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ ∂ ∂  ∂ = + = γ + vγ = γ  + v  ∂t ' ∂t ∂t ' ∂x ∂t ' ∂t ∂x ∂x   ∂t ∂ ∂ vγ ∂ ∂ ∂x ∂ ∂t v ∂ ∂ = γ+ =γ + 2  = + 2 ∂t c ∂x' ∂x ∂x' ∂t ∂x' ∂x  ∂x c ∂t 

81

∂x = vγ ∂t ' ∂x =γ ∂x' ∂t =γ ∂t ' ∂t vγ = ∂x' c 2 Tensor métrico vγ c2 g ij = 0 1 0 0 0 0 1 0 vγ 0 0 1 De acuerdo con él, Entonces 1

(x

y

0 0

1

0 0

z t) = 0 0

1 0

vγ

0 0

0 1

vγ x' c2 0 ⋅ y' 0 z' 1 t'

Matriz

de transformación de Lorentz

82

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

2.1.1 Razón de cambio La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t" La representación de estos cambios se denota por lo tanto usando el símbolo de incremento la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por

=

83

El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración

, La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

84

Problemas propuestos

El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que prediga la población en un tiempo "t" La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la razón de cambio La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio

85

2.1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

86

Encontramos integrando Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

87

Soluciones de una ecuación Constantes de integración

diferencial.

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

88

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0 La

solución

general

de

la

función

es

para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

89

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración

90

2.1.3 Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface la ecuación Demostrar que

91

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

2.1.4 Problemas propuestos Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales

2.1.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden

92

Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos

2.1.6 Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables. 1. cambios de masa 2. cambios temperatura 3. cambio población en el tiempo los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de ecuaciones de variables separables , para tal observación se be encontrar el incremento y la razón de cambio

La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se representa por

93

Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada por "k"

La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior

94

Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación

95

la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0

2.1.7 Problemas propuestos –

Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un tiempo de 3 min. Encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación y la mase cuando el tiempo sea de 2 min. La temperatura en un cuarto es de 3 grados centígrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7 grados centígrados, encontrar la ecuación diferencial represente la razón cambio El incremento poblacional es 3 veces la población inicial en 2 anos, si la población inicial es de 300 habitantes encontrar la ecuación que defina el crecimiento en el tiempo, el numero de habitantes cuando el tiempo sea de 10 anos La presión atmosférica "P" en un lugar, en función de la altura "h" sobre el nivel del mar. Cambia según la ley del interés compuestos suponiendo que

96

P=1000 gr/cm2 cuando h=0 y P= 670 gr/cm2 cuando h=3000 m hallar : a)- la presión "p" cuando h=2000 m b)- la presión "p" cuando h=5000 m

2.1.8 Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación lineal homogénea tiene la forma donde "P" y "Q" son funciones De "X" La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

97

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

2.1.9 Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas 1. Desleimiento continuo de una solución 2. Cinemática , oposición al movimiento 3. Circuitos eléctricos simples en serie Un tanque contiene una solución con una densidad de "s" si se la vacía la misma solución con una densidad "s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el comportamiento del problema

98

Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solución "s" en cualquier volumen esta dada por , supongamos que un volumen " " se vacía en el tanque. La cantidad de solución "s" esta dada por:

Podemos encontrar la razón de cambio

Por lo tanto –

99

En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer la 1.residencia en R (ohmios) del circuito 2. la inductancia Ecuación 1 : la siguiente ecuación emplearse en el caso de un circuito en serie combinación resistencia e inductancia

Ecuación 2 : la siguiente ecuación representa un circuito acumulador y resistencia

Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservación de la carga y energía (ley de kirchoff) La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo

100

La energía electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"

La capacitancía "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje "E" e inversamente proporcional a la carga "Q"

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Circuito en serie combinación resistencia "R" y un acumulador "C" Para ver el gráfico seleccione "Descargar" del menú superior

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Circuito en seria combinación resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L" Para ver el gráfico seleccione "Descargar" del menú superior

la

opción

101

Circuito en serie, combinación resistencia "R" y transformador "L" El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporción por la fricción (aire) Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representación del problema

Usando la solución general ecuaciones homogéneas con "t"=0 y "v"=0

102

2.1.10

Problemas propuestos –

Un circuito en serie contiene una resistencia de 100 ohm y un transformador con L=2 henrios Conectados a una fuente de 12 volts ¿Encuentre ecuación del circuito en función del tiempo? Un circuito en serie contiene un acumulador con capacitan cía de 100 uf y una resistencia de 200 ohm conectados a una fuente de 120 voltios , ¿encuentre la ecuación del circuito en función del tiempo? Un contenedor contiene un volumen de 10,000 litros contiene una solución "s" se añade agua limpia al contenedor ¿Cuánta agua debe hacerse correr para quitar al 50% de la solución "s"" Una pelota de béisbol con un peso de "1.4 N" deja el bat con una rapidez aproximada de 100 mi/hr con una inclinación de "60" grados respecto el eje

103

horizontal "x" si el viento ejerce una fuerza en oposición a b=0.033 N a. encontrar la ecuación que defina su movimiento en el función del tiempo b. graficar los resultados c. graficar los resultados sin considerar la fricción del viento

2.1.11 Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias Ejemplo –

104

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

105

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez Problemas propuestos – Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

106

107

2.1.12 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes Las ecuaciones tiene la forma

La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución

Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos

Sustituyendo en la forma general obtenemos que

108

Donde y= es una solución de la ecuación y "r" son las raíces de la función y distintas

Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma la solución será:

Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será

Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0

Usando la sustitución

y resolviendo para "r"

Sustituimos las condiciones iniciales en la solución

109

Encontrar la solución de la ecuación

Usando la sustitución encontramos

Resolviendo para "r" encontramos

Por lo tanto la solución general es:

2.1.13

Oscilador Armónico simple

110

Imagínese una masa "m" en una superficie sin fricción colgando de un resorte la observación del movimiento nos da la suposición que al aumenta la fuerza "F" de igual manera aumentara la longitud del resorte "X" lo anterior puede representarse como:

La fuerza es directamente proporcional a la longitud , para crear un igualdad podemos calcular la razón de cambio

Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos que

Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la ley 111

de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original . la razón de cambio nos indica que la función de fuerza en razón de la distancia F(x) tiene la forma y=mx+b una línea recta. De lo anterior podemos definir una ecuación diferencial que resuelva la oscilación de un resorte

La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleración por lo tanto

Aplicando la solución de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes encontramos:

112

Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"

Siendo A = amplitud del resorte posición alargamiento después de equilibrio y B=0

Es posible también escribir la solución de un problema de la forma anterior sin tener las condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase

=

La amplitud "X" puede definirse como

113

El Angulo de fase debe ser en radianes

114

3 Ecuaciones diferenciales(2). 3.1 Definiciones.

3.1.1 Expresión diferencial Es cualquier función o variable y sus diferenciales o derivadas. Genéricamente se representa de la siguiente manera: f ( x, y, z , dx, dy, dz ) Ecuación 3.1-1 ó bien: f ( x, y, z , x ′, y ′, z ′) Ejemplo: dy + x − 2y dt

3.1.2 Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene expresiones diferenciales. Recordamos que en la ecuación las expresiones que intervienen están unidas por un signo igual. La forma genérica de una ecuación diferencial es: f ( x, y, z , dx, dy, dz ) = 0 Ecuación 3.1-2 ó también: ′ ′ ′ f ( x, y , z , x , y , z ) = 0 Ecuación 3.1-3 Ejemplo:

115

dy + x − 2y = 0 dt

Ecuación 3.1-4

3.1.3 Las incógnitas Son aquellas funciones que participan en las ecuaciones diferenciales y son desconocidas, o sea que el fin de resolver las ecuaciones diferenciales es poder hallarlas. Es decir que las soluciones de la ecuación diferencial son funciones. Al resolver una ecuación diferencial buscamos una función, o un conjunto de funciones.

3.1.4 Orden de la ecuación diferencial El orden de la ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en dicha ecuación. Ejemplos: f ( x, y, y ′, y ′′′) = 0 es de tercer orden. xy + y ′ = 0 es de primer orden.

3.2 Principal clasificación de ecuaciones diferenciales según el tipo de derivadas. La ecuación diferencial ordinaria (EDO), de ella sólo forman parte derivadas totales, existiendo

116

métodos de resolución genérica según el tipo de EDO del que se trate. La ecuación diferencial en derivadas parciales es de mayor complejidad, y sus resoluciones suelen ser capítulos o tratados enormes. Cada caso es especial y tiene su método particular de resolución.

3.2.1 Método de separación de variables Ejemplo nro. 1: y′ = 0 Ecuación 3.2-1 o lo que es lo mismo: dy =0 Ecuación 3.2-2 dx Se pasan a un miembro todos los y dy, y al otro miembro todos los x dx, y luego se integran ambos. dy = 0.dx

∫ dy = ∫ 0dx

Ecuación 3.2-3

y + c1 = c 2 C1 y C2 son constantes de integración que, en los problemas prácticos, se suelen llamar condiciones iniciales o de borde, según el tipo de aplicación o pueden tener también otra denominación parecida. Ambas se engloban en una única constante C

117

y = c 2 − c1 = c Solución general: y=c

Ecuación 3.2-4

A esta solución general se la llama también familia de soluciones, conformada por una constante C arbitraria. En este caso, C es una familia simplemente infinita de soluciones o curvas, que para este caso corresponde a rectas paralelas al eje x del sistema cartesiano ortogonal. Ejemplo nro. 2:

y ′′ = 0 Será necesario aplicar el mismo método dos veces: dy' = 0.dx y' = C dy/dx = C dy = C.dx ∫ dy = ∫ Cdx

y+C1 = C.x+C2 y = C.x+C2-C1 Como no es posible englobar todas las constantes en una sola, como en el ejemplo nro. 1, resultan dos constantes arbitrarias C y k. Solución general: y=C.x+k

118

Esta solución corresponde a una familia infinita de curvas, que son todas las rectas del plano.

3.2.2 Método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes de 2do grado y 2do miembro nulo. La expresión formal de este tipo de ecuación es la siguiente: a0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = 0 ó

Ecuación 3.2-5 2

d y dy + a1 + a2 y = 0 2 dx dx Aquí x es la variable independiente, y es la variable dependiente, o función de x , y = y (x) . El grado de la ecuación diferencial: 2. Y su grado algebráico: 2. a0, a1 y a2 son los coeficientes constantes. a0

Si logramos calcular una solución y1 de la ecuación diferencial, se la llama solución particular.

119

Se utiliza la solución particular hallada por D'Alambert: y = e rx , siendo r una constante no arbitraria que se debe calcular. Derivando sucesivamente esta reemplazarla en la ecuación: y ′ = re rx y ′′ = r 2 e rx ó

función

para

Ecuación 3.2-6

dy = re rx dx d2y = r 2 e rx 2 dx

Se reemplaza en la ecuación y se opera de la siguiente manera: a 0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = 0

a 0 r 2 e rx + a1 re rx + a 2 e rx = 0

(

)

Ecuación 3.2-7

e rx a 0 r 2 + a1 r + a 2 = 0 Como erx es una expresión exponencial nunca se anula, por lo que el paréntesis debe igualarse a cero y para ello se calculan las raíces r1 y r2. Luego se estudian los casos de los resultados de las raíces r1 y r2:

120

3.2.2.1 r1 y r2 reales y distintas. El conjunto se soluciones particulares es {er1x,er2x}, siendo un conjunto linealmente independiente. Si hacemos la combinación lineal de ambas soluciones, formamos la solución general: y = C1 er1x + C2 er2x

Ecuación 3.2-8

que resulta ser una familia doblemente infinita de curvas, con C1 y C2 constantes arbitrarias.

3.2.2.2 r1 y r2 reales e iguales. Se puede demostrar que si erx es solución particular, también lo será x.erx quedando como solución general la combinación lineal de ambas soluciones particulares. y = C1 erx + C2 x erx

Ecuación 3.2-9

3.2.2.3 r1 y r2 complejos conjugados. Representaremos las raíces en forma binómica: r1 = α + βi

Ecuación 3.2-10

r2 = α – βi Se plantea la solución general y se opera: y = C1 eαx+ βxi + C2 eαx - βxi

Ecuación 3.2-11

121

y = eαx {C1 [cos(βx) + i sen(βx)] + C2 [cos(βx) - i sen(βx)]} αx y = e [(C1 + C2) cos(βx) + (C1 - C2) i sen(βx)] Los paréntesis resaltados son asignados a las letras A y B, quedando la solución general que se usa en la práctica: y = eαx [A cos(βx) + B sen(βx)]

Ecuación 3.2-12

A y B son constantes arbitrarias, resultantes de englobar a las constantes arbitrarias C1 y C2 de la siguiente manera: A = C1 + C2 B = i (C1 - C2) Recordemos que α y β son conocidos pues son los componentes de las raíces conjugadas r1 y r2.

3.2.3 Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo. Este tipo de ecuación toma la siguiente forma:

122

a 0 y ′′ + a1 y ′ + a 2 y = f ( x) ó d2y dy a 0 2 + a1 + a 2 y = f ( x) dx dx Expondremos el método de los coeficientes indeterminados y para hacerlo nos valdremos de un ejemplo: y" - 3 y' + 2 y = x Para empezar se halla la llamada solución de la homogénea o yh, que es cuando x=0, hallando una solución particular. Aplicamos, y = erx y' = r erx y" = r2 erx formamos la ecuación característica, r2 - 3 r + 2 = 0 r1 = 1 r2 = 2 resultando la solución de la homogénea: yh = C1 ex + C2 e2x Seguidamente se propone una función como solución particular. Las funciones que se pueden utilizar son: Polinómicas: P(x) Exponenciales: m.enx Trigonométricas: p.cos nx ó q.sen mx

123

Como la f(x) es polinómica, se toma como solución particular una P(x), que debe ser del mismo grado que la f(x): yp = ax + b yp'= a yp"= 0 Se reemplazan en la ecuación: y" - 3 y' + 2 y = x 0 - 3 a + 2 (ax + b) = x -3 a + 2ax + 2b = x 2ax + (2b - 3a) = x Para que se cumpla ésta última expresión se le asignan valores de la siguiente manera: 2a = 1 2b - 3a = 0 Se resuelve éste último sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, resultando: a=½ b=¾ Y la solución particular buscada resulta ser: yp = ½ x + ¾ La solución general yg será la combinación lineal de yh con yp. yg = yh + yp yg = C1 e + C2 e2x + ½ x + ¾ x

124

Más ejemplos, con segundo miembro no nulo polinómico, exponencial y trigonométrico.

3.3

Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo. Más ejemplos: polinomica - exponencial - trigonométrica y" - 5 y' + 6 y = x

Para empezar se halla la llamada solución de la homogénea o yh, que es cuando x=0, hallando una solución particular. Aplicamos lo estudiado en "2do miembro nulo", y = erx y' = r erx y" = r2 erx formamos la ecuación característica, r2 - 5 r + 6 = 0 r1 = 3 r2 = 2 resultando la solución de la homogénea: yh = C1 e3x + C2 e2x

125

Seguidamente se propone una función como otra solución particular. Las funciones que se pueden utilizar son: Polinómicas: P(x) Exponenciales: m.enx Trigonométricas: p.cos nx ó q.sen mx Como la f(x) es polinómica, se toma como solución particular una P(x), que debe ser del mismo grado que la f(x): yp = ax + b yp'= a yp"= 0 Se reemplazan en la ecuación: y" - 5 y' + 6 y = x 0 - 5 a + 6 (ax + b) = x -5 a + 6ax + 6b = x 6ax + 6b - 5a = x x (6a - 1) + (6b - 5a) = 0 Para que se cumpla ésta última expresión para todo x perteneciente a los reales, se le asignan valores de la siguiente manera: 6a - 1 = 0 6b - 5a = 0 Se resuelve éste último sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, resultando: a = 1/6 b = 5/36

126

Y la solución particular buscada resulta ser: yp = 1/6 x + 5/36 La solución general yg será la combinación lineal de yh con yp. yg = yh + yp yg = C1 e + C2 e3x + 1/6 x + 5/36 2x

Caso de segundo miembro función exponencial. y" - 5 y' + 6 y = ex La primer solución que se calcula es la de la homogénea, que ya fue realizada más arriba. Luego se procede con la solución particular, para lo cual se propone a: y = m enx Para facilitar las operaciones se toma n=1, pero la ecuación es totalmente resoluble para cualquier valor de m ó n. yp = m ex yp'= m ex yp"= m ex Reemplazando en la ecuación: m ex - 5 m ex + 6 m ex = ex Dividiendo todo por ex: m - 5 m + 6 m = ex m (1-5+6) = 1

127

m=½ Resultando: yp = ½ ex Y la solución general: yg = C1 e2x + C2 e3x + ½ ex Caso de segundo miembro función trigonométrica. Las funciones del segundo miembro que se estudian tienen soluciones particulares ya probadas: Función Solución particular f(x) = p cos nx yp = a cos nx + b sen nx f(x) = q sen mx yp = a sen mx + b cos mx Ejemplo de resolución: y" - 5 y' + 6 y = sen x Se proponen la solución particular correspondiente: yp = a sen x + b cos x yp' = a cos x - b sen x yp" = -a sen x - b cos x Reemplazando en la ecuación: -a sen x - b cos x - 5a cos x + 5b sen x + 6a sen x + 6b cos x = sen x (-a + 5b + 6a -1) sen x + (-b - 5a + 6b) cos x = 0 (5b + 5a -1) sen x + (- 5a + 5b) cos x = 0 Para que se cumpla la reciente ecuación para todo x perteneciente a los reales, surge la siguiente condición:

128

5b + 5a = 1 -5a + 5b = 0 Resolviendo la ecuación de dos por dos, resulta: a = 1/10 b = 1/10 La solución particular resulta ser: yp = 1/10 (sen x + cos x) Y la solución general, combinandola linealmente con la de la homogénea: yg = C1 e2x + C2 e3x + 1/10 (sen x + cos x)

Ejercicios y lny dx + (x - lny) dy = 0 Enviado por Alba de San Pedro de Antioquia probar con: y = erx y' = r erx erx ln erx dx + rx erx dx - r erx ln erx dx = 0 Simplificando, cancelando, operando, etc., como se indica a continuación: rx erx + rx erx - r2 xerx = 0 r + r - r2 = 0 2r - r2 = 0

129

r1 = 0 r2 = 2 Surgen dos soluciones y1 = e0x =1 y2 = e2x

3.4

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2X2

3.4.1 EL PENDULO

130

Para ilustrar este capítulo iniciamos con un ejemplo sencillo extraído de la mecánica : Movimiento pendular. Se suelta una partícula de masa sujetada al extremo de una varilla que forma un ángulo con la vertical, cómo se muestra en la figura :

Supongamos que la varilla es de longitud l . Si con x(t ) denotamos el ángulo que forma el péndulo con la vertical, el principio de conservación de la energía nos dice que

131

x ′′(t ) +

g sen[x(t )] = 0 , l

Ecuación 3.4-1

donde g es la aceleración gravitatoria, o aceleración de caída libre (o más correctamente, el módulo del vector campo gravitatorio). La ecuación 1.4-1 es una ecuación no lineal y sirve cómo modelo para estudiar uno de los fenómenos físicos más simples cual es el movimiento de un péndulo. La ecuación 1.4-1 no es de fácil tratamiento y es común linealizarla para darle un tratamiento sencillo. Si suponemos que el ángulo es muy pequeño entonces no cometemos un error muy grave si en 1.4-1 cambiamos transforma en x ′′(t ) +

g x(t ) = 0 . l

2

por

. Así 1.4-1 se

Ecuación 3.4-2

La solución general de 1.4-2 es

.

2

Ecuación 3.4-3

Dado que se puede demostrar que, para ángulos medidos en radianes, resulta que α ≅ senα .

α → 0,

132

Si

además

imponemos

las condiciones

iniciales y , que físicamente significa que en el tiempo el péndulo forma un ángulo con la vertical y que el movimiento del péndulo parte del reposo, la ecuación 1.4-3 toma la siguiente forma particular  g t x(t ) = α cos  l  

En

general,

Ecuación 3.4-4

una

ecuación

de

la

forma constituye el modelo de un gran número de fenómenos físicos, químicos y biológicos. Podemos escribir esta ecuación en forma de un sistema, así :

.

Ecuación 3.4-5

Los valores que determinan la posición y la velocidad de la partícula o la masa forman lo que se conoce como plano de fases . Más general que (1.1.4) es el sistema

133

Ecuación 3.4-6

Estos sistemas, en los que las funciones y no dependen de , son conocidos como sistemas autónomos . Las soluciones de 1.4-5 representan curvas de orientadas de acuerdo al incremento de y normalmente dibujamos con flechas los vectores para indicar el sentido del movimiento. De acuerdo con resultados bien conocidos sobre la existencia y la unicidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, bajo condiciones muy generales, por cada punto 1.4-5.

pasa una curva, solución de

3.4.2 SOLUCIONES DEL SISTEMA Consideremos el siguiente sistema homogéneo

Ecuación 3.4-7

134

La Teoría general de ecuaciones diferenciales nos dice que, si los coeficientes son continuos en un intervalo cerrado entonces existe una única solución dicho intervalo, que satisface la inicial

,

en condición

.

Las soluciones de 1.4-7

las representamos en

forma vectorial

. Es fácil convencerse

de que entonces

si

son soluciones de 1.4-7 es una solución de 1.4-7

cualquiera sean . Esta expresión es conocida cómo la solución general del sistema1.4-7. Esto es, el conjunto de soluciones de 1.4-7 forma un espacio vectorial. Si llamamos

podemos

observar

que

si

para

todo entonces constituye la forma general de la solución de1.4-7. En efecto: si suponemos que A es una solución de 1.4-7 135

debemos probar la existencia de

tales

. Para hacerlo es suficiente que observar que nuestra condición y la unicidad de la solución de 1.4-7 con condición inicial implican que el sistema

tiene una única solución (

).

Es importante observar que si son soluciones de 1.4-7 entonces la función es cero o diferente de cero para todo dice que

. En efecto, un cálculo sencillo nos

. Esto quiere decir que

la cual es cero, para el caso cero para todo .

,o diferente de

136

Hay algo más : si y sólo si son linealmente independientes. Además del sistema homogéneo 1.4-7 podemos considerar el sistema no homogéneo

. Ecuación 3.4-8

Es fácil ver que si son dos soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo y es una solución particular del sistema no homogéneo 1.4-8, entonces la solución general del sistema no homogéneo es de la forma

.

3.4.3 SISTEMAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Consideremos el sistema

137

.

Ecuación 3.4-9

Lo podemos escribir en la siguiente forma matricial:

. Ecuación 3.4-10

Si suponemos que una solución de 1.4-10 es de la forma

donde es un vector constante, vemos que 1.410 se transforma en

.

Ecuación 3.4-11

Resolver 1.4-11 equivale a hallar los valores propios y los vectores propios de la transformación lineal definida por la matriz

138

. Los valores propios se hallan calculando las raíces del polinomio característico de raíces de la ecuación .

3.4.4

. Esto es, las

Ecuación 3.4-12

RAICES REALES DISTINTAS

Supongamos que las raíces de

,

Ecuación 3.4-13

, son reales y distintas. Calculamos los vectores propios correspondientes a y los denotamos cómo y respectivamente. Es

claro

que

y

son

linealmente

independientes y entonces los vectores y serán dos soluciones linealmente independientes de 1.4-9. Por ejemplo : Consideremos el sistema 139

.

Ecuación 3.4-14

Las raíces de la ecuación 1.4-14 son y

y los vectores propios correspondientes

son sistema

y son

de

. Es así cómo las soluciones del las combinaciones lineales y

.

3.4.5 RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS

Supongamos que las raíces de

, Ecuación 3.4-15

, son complejas ejemplo,

conjugadas,

por .

Denotemos con propios

y

correspondientes

los vectores a

y

140

respectivamente. Como en el primer caso las soluciones, en este caso complejas, del sistema 1.4-7 serán :

a) b) correspondientes a Ahora, teniendo

, y en

respectivamente. cuenta que ,

vemos que

. Esta solución del sistema 1.4-7 es una solución compleja y estamos interesados en hallar soluciones reales. Observamos que tanto la parte real como la parte imaginaria del miembro derecho de la igualdad anterior, esto es y son soluciones reales del sistema 1.4-7 y además son linealmente independientes.

141

Nota : Es importante advertir que el análisis que se hizo con la solución (a) lo hubiéramos podido hacer con la solución (b). Por ejemplo : consideremos el siguiente sistema :

.

Ecuación 3.4-16

Los valores propios asociados al sistema 1.4-16, de acuerdo y

con

1.4-11

son

:

. Un vector propio asociado al

valor propio es, por ejemplo . Entonces la solución general de 1.4-16 es la combinación lineal de

y

142

.

3.4.6

RAICES DOBLES

Supongamos que

, Ecuación 3.4-17

tiene una raíz doble

. Sea, entonces,

el

vector propio asociado. Es claro que será una solución de1.4-9. Para hallar otra solución linealmente independiente intentamos buscarla de la siguiente forma : vectores determinar. Puesto

, donde los

son las incógnitas que hay que es un valor propio de

,

.

143

Eliminamos de la ecuación anterior el término la ecuación anterior se reduce a estudiar el siguiente sistema lineal

y

Ecuación 3.4-18

para todo

.

Para hallar las soluciones de1.4-18 es natural que satisfagan el siguiente sistema

Ecuación3.4-19 .

La primera ecuación 1.4-19 se cumple para . Ahora, en la segunda ecuación matricial del sistema 1.4-19 observamos que el operador lineal definido por la matriz no es invertible y por lo tanto el segundo sistema 1.4-19 podría no tener 144

solución única. En realidad tendrá infinitas soluciones. Lo usual en estos casos es darle un valor arbitrario a la primera componente de y luego de la segunda ecuación 1.4-19 hallar el valor de la segunda componente. En esta forma hallamos dos soluciones linealmente independientes del sistema, estas son :

y

.

Veamos el siguiente ejemplo: Consideremos el sistema

Ecuación 3.4-20

La matriz asociada al sistema 1.4-20

es

. Su ecuación característica

es

. La raíz (doble) es

y un vector propio asociado es, por ejemplo

, .

145

Una solución del sistema 1.4-20 es, entonces La otra solución es donde

.

, y

, y debe satisfacer la

siguiente ecuación , esto es, . Si, arbitrariamente, hacemos vemos que, entonces que, . Así encontramos que la otra solución que estamos buscando es

.

146

3.5 DEFINICION DE PUNTO CRITICO Consideremos de nuevo el sistema autónomo

.

Los puntos

Ecuación 3.5-1

tales que

Ecuación 3.5-2 son especiales puesto que por ellos pasa una curva Estos que sólo tiene un punto, el punto puntos son conocidos cómo puntos críticos del sistema y su estudio es el tema central de este capítulo. Desde el punto de vista físico tienen un significado importante, pues son aquellos puntos donde la velocidad y la aceleración de la partícula es cero, esto es, el punto es un punto de equilibrio del sistema. Los puntos que no son críticos son conocidos como puntos regulares

147

Siempre supondremos que los puntos críticos de 1.5-1 son aislados, ésto quiere decir que cada punto crítico tiene una vecindad que no contiene otros puntos críticos diferentes de él. Otra

manera

trayectorias 1.5-1, es

de

, considerar

interpretar el

las

soluciones de campo vectorial .

Entonces 1.5-1 nos dice que

representa el

vector tangente a la trayectoria

y

medirá la velocidad de la partícula en el tiempo

.

En este capítulo nos interesaremos, primordialmente, en estudiar el comportamiento de las trayectorias con respecto a sus puntos críticos, por ejemplo trayectorias periódicas, trayectorias que se acercan al punto crítico y luego se alejan de él y trayectorias que se acercan al punto crítico sin nunca llegar a él .

3.5.1

EJEMPLO DE NODOS

148

consideremos el siguiente ejemplo :

Ecuación 3.5-3

Es claro que el punto crítico de 1.5-3 es solución general de1.5-3 es

. La

.

Si entonces y esto nos dice que la trayectoria se encuentra en el

149

eje

. Además, si

la trayectoria se aleja

del punto crítico

y en sentido positivo . Si

cuando

, la trayectoria se

aleja, y en sentido negativo, cuando . También podemos decir que la trayectoria entra, o cuando

se acerca a

.

Si entonces . Esto nos dice que la trayectoria se encuentra en la recta

. Ahora, si

aleja de se aleja de

la trayectoria se

en el primer cuadrante y si en el tercer cuadrante.

Finalmente, si entonces y . en este caso la trayectoria estará en la parábola

.

150

De acuerdo con los signos, positivo o negativo, que tengan y obtenemos los cuatro posibles arcos de la parábola que definen las trayectorias y todas alejándose del punto

cuando

.

También, estas trayectorias se acercan a cuando . En este caso es importante observar que cualquiera que sea la trayectoria, el

cociente , cuando , existe. Esto nos dice que la trayectoria entra al punto crítico con pendiente finita. Este comentario tiene como propósito contrastar esta clase de puntos críticos con otros llamados espirales quienes se acercan al punto crítico sin pendiente definida.

151

3.5.2

EJEMPLO DE CENTROS

Los centros son puntos críticos en los cuales las trayectorias giran en torno a ellos, las trayectorias son cerradas y por lo tanto periódicas. Veamos un ejemplo :

152

Ecuación 3.5-4(2.3.1)

La solución general de 1.5-4, de acuerdo con 3.4.5, es

.

El punto crítico es

Ecuación 3.5-5

. De 1.5-4 deducimos que

y por lo tanto las soluciones satisfacen la relación , o sea, círculos. Pero no tenemos información sobre el sentido del

153

giro de la trayectoria. Es natural pensar que, por ejemplo, la solución que pasa por el punto y

debe ser la misma trayectoria.

Supongamos que

. esto implica

que en1.5-5

, entonces

,

Ecuación 3.5-6

que representa un círculo que gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

154

3.5.3

EJEMPLO DE ESPIRALES

Son puntos críticos para los cuales las trayectorias se acercan o se alejan de él sin una pendiente definida. Veamos un ejemplo :

.

Es claro que Así obtenemos

Ecuación 3.5-7

es el único punto crítico de1.5-7.

.

Ecuación 3.5-8

155

Ahora usamos coordenadas polares,

para obtener que . . Derivamos Además, a y obtenemos

y

con respecto

Ecuación 3.5-9

Remplazamos 1.5-8 en 1.5-9 y evaluamos obtener

para

156

Es decir entonces

:

. Ahora, si y nuestro punto crítico será un

centro. Si , vemos que crece cuando crece (en el sentido contrario de las agujas del reloj). Análogamente, si decrece. Esto es, tenemos espirales que se alejan o se acercan del punto crítico

.

157

3.5.4

EJEMPLO DE PUNTOS DE SILLA

Este es una especie de nodo de doble función : Sobre una recta hay dos trayectorias que se aproximan al punto crítico y sobre otra recta hay dos trayectorias que se alejan, cómo se indica en la figura :

Por ejemplo, consideremos el sistema el sistema

.

Ecuación 3.5-10

158

La solución general de 1.5-10 viene expresada como la combinación lineal de la solución general de1.5-10 es

y

. Esto es,

. Ecuación 3.5-11

Si, por ejemplo,

vemos que

. Esto

quiere decir que sobre la recta la trayectoria se aleja cuando . Análogamente, la trayectoria se aproxima al sobre la recta origen cuando 4

.

ESTABILIDAD Y PUNTOS CRÍTICOS

4.1 DEFINICION Y RESULTADOS PRINCIPALES

Es importante empezar con una definición precisa de lo que debemos entender por estabilidad de un punto crítico.

159

ESTABILIDAD : Sea del sistema

un punto crítico aislado

.

Decimos disco

que

es

Ecuación 4.1-1

estable

, disco de centro

otro disco

, con

si

para

y radio

todo , existe

, tal que si la

trayectoria se encuentra en el disco tiempo para todo

, entonces .

ESTABILIDAD que

en un

ASINTOTICA

:

Decimos

es asintóticamente estable si existe

tal que si entonces

para algún , cuando

.

Estudiaremos en este capítulo la teoría general de los puntos críticos de sistemas lineales y su estabilidad. Consideremos, de nuevo el sistema 160

Ecuación 4.1-2

Cómo habíamos visto en 3.4.3 las soluciones de 3.4-9 son de la forma

donde

es una raíz del polinomio característico

. Ecuación 4.1-3

161

Cómo suponemos que los puntos críticos, en este caso el punto será

, son aislados,

supondremos que . En términos de las raíces de 4.1-4 se presentan los siguientes casos : Primer Caso : son reales y distintas y del mismo signo. Entonces es un nodo inestable. Segundo Caso : son reales y distintas y de signo contrario. Entonces es un punto de silla inestable. Tercer caso : son complejas conjugadas, pero no imaginarias puras. Entonces es un punto espiral que puede ser asintóticamente estable o inestable. Cuarto Caso : son reales e iguales. es un nodo. Entonces Quinto caso : son imaginarias puras. Entonces es un centro.

162

4.1.1 NODOS: ESTABLES, INESTABLES

Supongamos primero que las raíces de

satisfacen la desigualdad . Entonces la solución general del sistema 2.1-2 es

Ecuación 4.1-5

donde

y

son los vectores propios

asociados a los valores propios

respectivamente. Es así cómo, . En el caso en que tenemos que2.1-5) se transforma

163

en

.

Si

Ecuación 4.1-6

el vector

por el vector

y puesto que

trayectoria entrará a cuando si caso

estará en la recta generada

la

con pendiente

. El mismo resultado tenemos . Un análisis similar hacemos para el .

164

Supongamos, finalmente, que caso

.

Dividimos por

.

. En este

Ecuación 4.1-7

y de 2.1-7 obtenemos :

Ecuación 4.1-8

165

Puesto que

y

la ayuda de 2.1-8, que Es claro que el punto asintóticamente estable. Si

, observamos, con con pendiente crítico

es

el análisis es similar al anterior. Acá

las trayectorias se alejan del punto crítico cual es un nodo inestable. 4.1.2

.

el

SILLAS: INESTABLES

Supongamos primero que las raíces de

satisfacen la desigualdad . Entonces la solución general de 3.4-9 tiene la forma

166

.

Si

la solución tiene la forma

y puesto que

tenemos que

por

. Si hacemos el la recta de pendiente mismo análisis, salvo que en este caso, debido a

que

, la trayectoria se aleja de

recta de pendiente

por la

.

167

Cuando acerca a

, es claro que la solución no se y puesto que

la ecuación

nos muestra que la trayectoria es asintótica a la recta de pendiente

cuando

entonces, que el punto crítico silla inestable.

. Puede verse es un punto de

168

169

5

SERIES

Las series infinitas representan la suma de un número infinito de términos. El primer problema es, ¿qué significado tiene la suma de un número infinito de términos? La respuesta es a través de las sumas parciales. Dada la suma de términos u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,... se define la suma parcial hasta el término i como i

si = ∑ u n

Ecuación 4.1-1

n =1

Esta suma contiene un número finito de términos y por ello no presenta dificultades. Si tenemos un número infinito de términos, o sea, i → ∞ puede darse el caso de que la suma parcial de los infinitos términos converja a un valor S, esto es lím(s i ) = S i→∞

Se dice que la serie

∞

∑u n =1

n

es convergente y su

valor es S. Una condición necesaria, pero no suficiente, para que esto ocurra es, obviamente, que el límite

170

lím(u n ) = 0

Ecuación 4.1-2.

n→∞ Si las sumas parciales s i no convergen a un valor S, sino que su límite en i → ∞ es también ∞ , se dice que la serie un es divergente. O sea, en estos casos lím(s n ) = ∞ Ecuación 4.1-3

n→∞ Existen también las series oscilantes (alternantes), como por ejemplo la serie ∞

∑ −1

n

= 1 − 1 + 1...

Ecuación

4.1-4

(serie

n =1

oscilante)

Cuya suma enésima es igual a 1, en caso de que n sea par, o -1, en caso de n impar. Tales series suelen considerarse divergentes. En el caso de una secuencia de números tales como a, ar , ar 2 , ar 3 ,..., ar n−1 serie geométrica Es una serie geométrica de razón r ( r ≥ 0 ). Cuya enésima suma es 1− rn sn = a Ecuación 4.1-5 1− r Que, para el caso de que r 1  u n +1  Para todo n ≥ N > 0 , entonces

Ecuación 4.1-8

∑u

i

converge.

i

172

En cambio, si  u  n n − 1 ≤ 1 , entonces  u n +1 

∑u

i

diverge.

i

Ecuación 4.1-9

En forma de límite la prueba de Raabe es  u  lím n  n − 1  = P   u n+1  

n→∞ Ecuación 4.1-10

Que diverge si P < 1 y converge si P > 1 , no habiendo prueba para P=1.

5.1.1.2 Prueba de Gauss Si un>0 para n finito y un h B ( n) = 1+ + 2 Ecuación 4.1-11 u n +1 n n Siendo B(n) una función acotada mientras n → ∞ , entonces ∑ u i converge si h>1 y diverge si h ≤ 1 . i

5.1.2 Series alternantes Para las series alternantes existe un criterio que permite determinar su convergencia/divergencia, es el criterio de Leibnitz.

173

∞

Dada la serie

∑ (− 1)

n +1

n =1

monótonamente para

a n , con an>0, si a n decrece

n → ∞, y

lím a n →∞

n

= 0,

entonces la serie converge. Una consecuencia interesante es que se puede conocer el error con que se puede tener el resultado de la suma enésima. Si llamamos S a la suma de la serie, tenemos S − s n = a n +1 − a n + 2 + a n +3 − a n + 4 ... = a n +1 − (a n+ 2 − a n +3 ) − (a n+ 4 − a n+5 ) o S − s n < a n+1

5.1.2.1 Convergencia absoluta Si, dada una serie alternante,

∑u

i

∑u

i

, tal que la serie

converge entonces se dice que la serie

∑ u es absolutamente convergente. En cambio, si ∑ u converge, pero ∑ u diverge, se dice que la serie ∑ u presenta convergencia alternante

i

i

i

i

condicional.

5.1.2.2 Álgebra se series. La determinación de la convergencia absoluta de una serie de infinitos términos es fundamental, pues

174

las series infinitas que verifican la convergencia absoluta pueden operarse aritméticamente, cumpliéndose las dos condiciones siguientes 1. Si una serie es absolutamente convergente, la suma de serie es independiente del orden en que se coloquen los términos. 2. La serie puede multiplicarse por otra serie absolutamente convergente y el límite del producto será el producto de los límites individuales de las series. La serie producto también es absolutamente convergente.

5.1.3 Series de funciones. Si la serie de términos u i se sustituye por una serie de funciones u i (x) , tal que tenemos s n ( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) Las sumas parciales s n (x) resultan ser funciones de la variable x y tenemos que ∞

∑u n =1

n

( x) =S ( x) = lím s n ( x). n →∞

Ecuación 4.1-12

5.1.3.1 Convergencia uniforme Si para cualquier valor ε>0 y muy pequeño (infinitésimo), existe un valor N independiente de x en un intervalo cerrado [a,b] ( a ≤ x ≤ b ), tal que S ( x) − s n ( x) < ε , ∀n ≥ N , entonces la serie es

175

uniformemente convergente cerrado [a,b].

en

el

intervalo

S(x)+ε S(x) S(x)-ε

sn(x)

ε ε

x=a

x=b

Ilustración 7

Esto se ilustra en la figura 1. En la resolución de las series se utiliza mucho la inducción completa, suponiendo que la solución es consistente para n términos de la serie y demostrando que lo es para n+1.

5.1.3.1.1 Prueba M de Weierstrass Se supone que queremos demostrar la convergencia uniforme a la serie ∞

∑ u (x) i

1

En el intervalo cerrado [a,b]. Entonces, debemos construir una serie de términos

176

∞

∑M

i

1

Tales que ∞

∀M i ∈ ∑ M i , se _ cumple, M i ≥ u i ( x) , ∀x ∈ [a, b] . 1 ∞

Entonces, si

∑M

i

es convergente, se verifica que

1 ∞

∑ u (x) es uniformemente convergente. i

1

5.1.4 Desarrollo de Taylor Este es una importante herramienta de cálculo de funciones, ya que representa el desarrollo de una función en términos de sus derivadas, en forma de una serie infinita, o de una serie finita y su remanente. La exigencia que le hacemos a la función f(x) que vamos a representar en forma de serie de potencias, es que tenga n derivadas y estas sean continuas. Así, podemos escribir la función f(x) como la serie ( x − a) 2 ( x − a) 3 f ( x) = f (a ) + ( x − a ) f ′(a ) + f ′′(a ) + f ′′′(a ) + ... 2! 3! ( x − a ) n −1 ( n −1) ... + f ( a ) + Rn (n − 1)! Ecuación 4.1-13

Donde Rn es el remanente, y las derivadas de la función f se calculan en el punto a. El remanente se puede determinar mediante

177

( x − a) n Rn = f n! siendo a ≤ ξ ≤ x.

(n)

(ξ ) Ecuación 4.1-14

5.1.5 Serie de Maclaurin Si la serie de Taylor se desarrolla alrededor del origen, a=0, la nueva serie obtenida es la serie de Maclaurin. ∞ x2 x3 x n ( n) xn ′ ′ ′ ′ ′ ′ f ( x) = f (0) + xf (0) + f (0) + f (0) + ... + f (0) = ∑ 2! 3! n! n = 0 n! Ecuación 4.1-15

La aplicación inmediata de las series de Taylor y Maclaurin es el desarrollo de funciones trascendentales en forma de series infinitas, como decíamos antes. Una segunda aplicación es el desarrollo del teorema binomial a potencias negativas y/o no enteras. x2 x3 (1 + x) m = 1 + mx + m(m − 1) + m(m − 1)(m − 2) + ... + Rn 2 6 con Rn =

xn (1 + ξ ) m− n m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) n!

De la aplicación directa de la 15.

178

3.5)MAGNITUDES 3.5.1) LA IMPORTANCIA DEL CALCULO VECTORIAL 3.5.1.1) SUMAS Y RESTAS DE VECTORES A) CALCULO GRAFICO B) CALCULO ANALÍTICO C) METODO DE DESCOMPOSICION EN LOS EJES COORDENADOS 3.5.1.2) PRODUCTOS VECTORIALES A) PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR B) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES C) PRODUCTO VECTORIAL 3.5.2)ALGO MAS SOBRE FUNCIONES CIRCULARES 3.5.3)MEDIDAS E INCERTIDUMBRE 3.5.3.1)Propagación de errores.

6 MAGNITUDES Como es sabido, las leyes físicas se expresan en forma de ecuaciones que nos permiten operar matemáticamente con las propiedades representadas por los símbolos que intervienen en las mismas. A las cualidades de objetos, o fenómenos, que son pasibles de tratamiento matemático se las denomina "magnitudes". O sea, que se puede definir 179

6.1.1

MAGNITUD

como "toda cualidad de los cuerpos y fenómenos naturales que es posible medir". Claro, pero, ¿qué es medir? Medir es "comparar" dos cualidades semejantes. Por ejemplo, podemos comparar el "esfuerzo" que debemos hacer para mantener levantada una radio, y el que realizamos cuando lo hacemos con una televisión. En tal caso, estamos comparando sus "pesos". Pero, también podemos comparar la "sensación térmica" que sentimos cuando nos introducimos en el agua de la playa, con respecto a la que sentíamos fuera de ella. En tal caso, afirmamos "el agua está fría", "la playa está caliente". Éstas son sensaciones térmicas. Ahora bien, en estos ejemplos nos estamos usando a nosotros mismos como "instrumento de comparación", o aparato de medida. Claramente, este "instrumento" que representa nuestro cuerpo es "subjetivo", es "variable", cambia y por lo tanto, como instrumento de medición no es confiable. Por ello, debemos buscar otros aparatos, o sistemas, más objetivos para realizar las comparaciones. Esto es, que no dependan de estados de ánimo, que cambien lo mínimo posible ellos mismos, para poder asegurarnos que todas las medidas que

180

realicemos con ellos tengan un "patrón" común. De esa manera, los números que hagamos corresponder a los objetos y fenómenos que estemos midiendo, serán más "confiables", representarán más fielmente al objeto o fenómeno medido, independiente del objeto medidor. Para eso, buscamos "patrones" de medición y, en base a ellos, construimos nuestros "instrumentos de medición" de las cualidades de los fenómenos. Intente el lector ejemplificar lo dicho, tomando como base las magnitudes que hemos intentado "medir" utilizando nuestro cuerpo, en los dos ejemplos citados. Una disgresión; la Mecánica Cuántica, más precisamente el Principio de Indeterminación de Werner Heisenberg, nos ilustra acerca de la imposibilidad sobre la independencia total entre el resultado de una medición y la propiedad medida. Esto es, todo instrumento de medición afecta invariablemente al fenómeno medido, modificándolo y, por ende, determinando las posteriores medidas que del mismo se hagan. Por ejemplo, si introducimos un termómetro en un recipiente con agua, con el fin de medir la temperatura de esta última, debemos esperar cierto tiempo hasta que ambos quedan en equilibrio térmico, o sea, hasta que el termómetro adquiere la misma temperatura que el agua con su recipiente. Pero, el aumento de temperatura del termómetro se debió a un pasaje de calor del agua hacia él y esto, como consecuencia, implica la pérdida de energía

181

interna del agua y su recipiente y, por lo tanto, disminución real de su temperatura. Ahora, una vez en equilibrio, el agua perdió energía y por tanto, disminuyó su temperatura, energía que recibió el termómetro y que provocó, entre otras cosas, la dilatación del mercurio. Es decir, siempre el instrumento de medida afecta al fenómeno medido de manera radical, de tal forma que, cuando estamos midiendo una propiedad de un proceso u objeto, debemos ser concientes que el resultado obtenido NO ES correspondiente al VERDADERO estado en el cual estaba, sino al que adquirió después de haber sido sometido al proceso de medición. Desde otro punto de vista, el propio principio de indeterminación (o principio de incertidumbre) dice que no es posible realizar, simultáneamente medidas de posición y velocidad, o de energía y tiempo, con una precisión infinita, sino que existe un valor mínimo del producto de las incertidumbres de estos pares de cantidades, por debajo del cual no es posible alcanzar mas precisión. Es como si la naturaleza no se "dejara" medir con infinita precisión, independientemente de lo sofisticados que sean nuestros instrumentos de medida. No existe forma de que podamos conocer la posición de un cuerpo con absoluta certeza (es decir, con incertidumbre cero), salvo que resignemos completamente la posibilidad de medir su velocidad, o sea, que si conocemos con absoluta precisión la ubicación de un objeto en el espacio, ignoraremos completamente si se está moviendo. Asimismo, si podemos determinar

182

totalmente la energía que conlleva el cuerpo, deberemos tomarnos un tiempo infinito en medirla. Volviendo a nuestro tema. Una vez definidas las magnitudes y la necesidad de su existencia, debemos asumir que las mismas se pueden clasificar de diversas maneras.

6.1.1.1 CLASIFICACION 1 Magnitudes extensivas.- Son aquellas propiedades de objetos, o sistemas, que dependen de la masa del mismo. Magnitudes intensivas.- Son propiedades de los objetos que dependen únicamente de características de la "sustancia" que lo compone, pero son independientes de la cantidad de material con el que contemos. Ejemplos de propiedades extensivas; volumen, masa, cantidad de movimiento, energía. Ejemplos de intensivas; densidad, índice de refracción, temperatura, magnetización, constante dieléctrica, resistividad, conductividad. Esta clasificación se refiere solamente a propiedades de los cuerpos, o sistemas de cuerpos, pero no a fenómenos, o procesos, donde interactúan varios sistemas.

183

6.1.1.2 CLASIFICACION 2.Magnitudes escalares y vectoriales. Esta clasificación se refiere a todo tipo de cualidad medible de la naturaleza. Magnitudes escalares. Son aquellas cuyas cantidades quedan determinadas completamente, indicando el número del resultado de la medición y la unidad correspondiente. Magnitudes vectoriales. Son las que, para obtener la absoluta determinación de sus cantidades, exigen que especifiquemos por lo menos tres características (a veces, cuatro) a) MODULO o INTENSIDAD. Es el número aritmético, resultado de la medición realizada, con su correspondiente unidad. b) DIRECCION o RECTA DE ACCION. Es la recta sobre la cual descansa la propiedad vectorial medida. c) SENTIDO. Es la orientación, dentro de la recta de acción, que asume la propiedad vectorial medida (Obviamente, una vez dada la dirección, el sentido puede tener sólo una de dos orientaciones) d) PUNTO DE APLICACION. Es el punto en el cual se aplica la magnitud vectorial, o sea, la localización en el espacio-tiempo del lugar sobre el cual está actuando la magnitud vectorial. Tales magnitudes se representan mediante vectores, que son segmentos de recta orientados, en el espacio cartesiano de tres dimensiones, y en el

184

espacio-tiempo tetradimensional, o espacio de Minkowski (fig. 1). Las magnitudes vectoriales pueden ser de varios tipos, a saber; b.1) vectores deslizantes. Son aquellos cuyo punto de aplicación puede deslizarse a lo largo de la recta de acción, tal es el caso de la fuerza.

recta de acción sentido

módulo

Punto de aplicación figura 3.1

b.2) Vectores libres. Tal es el caso de vectores como el de velocidad angular, momento cinético, etc. Estos vectores no tienen un punto de aplicación definido "a priori" en el espacio, sino que se adopta una convención para ubicarlos en cierta posición. Existe una segunda clasificación de vectores. b.3) Vectores polares. Son aquellos que, como la fuerza, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la cantidad de movimiento, tienen un comportamiento simétrico con respecto al eje de coordenadas "z", ante una inversión de las coordenadas, esto es, un comportamiento como el que presentan los objetos materiales visibles ante una reflexión especular (ver figura 2a). b.4) Vectores axiales. Estos tienen un comportamiento simétrico con 185 respecto al origen del sistema

espejo

espejo objeto imagen

objeto

imagen

a)vector polar

b)vector axial

figura 4.- reflexión especular de coordenadas frente a una inversión de las coordenadas de los mismos, o sea, invierten su sentido, o dicho de otro modo, colocados frente a un espejo aparecen invertidos, "patas para arriba". Tal es el caso de los vectores velocidad angular, momento cinético, etc. (ver figura 2b). Por este comportamiento de los vectores axiales es que, cuando observamos las ruedas de los autos en las películas, parece que giraran "para atrás". Sucede que la imagen del rodamiento de tales ruedas, que es lo que nos transmite la cinta de la película, invierte el sentido de los vectores giratorios (velocidad angular, momento cinético), al invertir las coordenadas (imagen en negativo) y, al sufrir una segunda inversión durante el pasaje de la cinta a la pantalla, no se recupera el sentido original, sino

186

que la composición de estos vectores da un giro antiparalelo. Al decir del profesor Washington Fernández, parece que el Universo distingue entre derecha e izquierda. Esta propiedad de antisimetría de los vectores axiales es sumamente importante por sus resultados en la Mecánica Cuántica. El espín, por ejemplo, es un vector de este tipo.

6.2 APÉNDICE- LA IMPORTANCIA DEL CALCULO VECTORIAL. El concepto de vectores en Física y Geometría es de una importancia crucial cuando de comprender el funcionamiento de los procesos se trata y a la hora de calcular también, pues la simpleza en cuanto a su operatividad nos ahorra mucho tiempo de tediosos cálculos aritméticos. Asimismo,la cantidad de magnitudes vectoriales que hay en Física, amerita manejar el concepto de que, si no se tiene un conocimiento por lo menos elemental de cálculo vectorial, no se sabe nada de Física. Como yapa, el concepto de vector nos introduce en el mundo de los tensores, fundamentales para comprender profundamente las más importantes teorías físicas de este siglo, no sólo desde el punto de vista físico, en cuanto al avance en el conocimiento de la naturaleza significaron, sino en tanto destrozaron

187

concepciones filosóficas enteras, atacando sus fundamentos y dando nuevas bases a otras concepciones del Universo. Eì propio determinismo científico se vio tambalear desde el Principio de Indeterminación de Werner Heisenberg y las más plausibles interpretaciones de la función de onda (o vector de estado). Aquí vamos a ver las tres formas de encarar el trabajo con vectores que se desarrollan actualmente en la enseñanza media en Uruguay y finalmente tomaré una breve posición al respecto.

188

6.2.1 SUMAS Y RESTAS DE VECTORES

6.2.1.1 CALCULO GRAFICO Podemos definir elementalmente un vector como un segmento de recta orientado, en el cual están presentes y definidas las cuatro características básicas de toda magnitud vectorial, a saber, punto de aplicación, recta de acción (o dirección), sentido y módulo (o intensidad). Así definido, lo representamos como se ve en la figura 1a, mediante una flecha. Ahora hay que hacerlo operable, esto es, hay que definir cómo se suman (y restan) y cómo se multiplican vectores. En los cursos secundarios, en el nivel más a elemental, sólo se ve la suma de vectores, en consecuencia es lo que haremos aquí, sumar y restar vectores. En la segunda parte,nos extenderemos a las posibles formas de multiplicación de vectores. En la figura 1b, tenemos representados dos desplazamientos de cierto móvil, A el desplazamiento A y el desplazamiento B, del mismo. b Si queremos conocer el figura 1 desplazamiento total del cuerpo,

189

B

debemos sumar los vectores A y B. Para ello podemos construir un paralelogramo, poniendo ambos vectores en el mismo punto de aplicación (condición sine qua non para poder sumar, o restar, vectores) y trazando la paralela a B‚ por la punta de flecha de A, luego una paralela a A‚ por la punta de flecha de B. Donde estos dos nuevos segmentos de recta se cortan, se obtiene el cuarto vértice del paralelogramo y es este vértice el que indica dónde va ubicada la punta de flecha del vector suma. . La diagonal S correspondiente del paralelogramo representa B al nuevo vector , suma de A A más B (fig.2). Pero figura 2 también podemos sumar usando la regla del polígono, figura 3. En tal caso, colocamos el vector B S en la punta de flecha del B vector A, y el segmento A que une el punto de figura 3 aplicación de A con la punta de flecha (sentido) de B, y que sirve para completar el polígono (en este caso, triángulo), es el vector suma, S. Para usar este método de suma de vectores (paralelogramo o polígono) se los debe dibujar a escala, o sea, con una medida tal que, la longitud de cada uno, multiplicada

190

por el mismo factor en cada caso, sea numéricamente igual al módulo de los vectores. De esta forma, los resultantes S‚ son, en la dos oportunidades, numéricamente iguales a la suma de A y B siempre que sus longitudes sean multiplicadas por el mismo factor de escala. Como dato interesante, cuando construimos eì paralelogramo, la diagonal que cruza al vector S‚ (figura 2) representa el vector R. O sea, para hallar la resta citada, nos basta con poner a ambos vectores en el mismo punto de aplicación y el segmentï que los une para formar el triángulo, constituye el vector resta, R. En todos los casos, para hallar el módulo¬, debemos recurrir al factor de escala que habíamos usado para trazar A y B‚ y, aplicando una simple regla de tres, determinamos el módulo de S y R. En las figuras, tenemos al vector que representa un desplazamiento de 60 metros, dibujado de 3,0 centímetros, luego el vector B, que representa 80 metros, mide 3 ≈ 60 x ≈ 80

de donde

x=

80 × 3cm = 4 .0 60cm

Ambos vectores forman un angulo de 60 grados, luego el vector suma, que mide 6,1 cm, representa el desplazamiento total del móvil, equivalente a 3-----60 x _ 6,1cmx 60m _ 122 m _ _

191

6,1---S 3cm Mientras que el vector R, cuya medida es 4,7 cm 3-----60 _ 4,7cm.60m _ 94 m 4,7---R R _ --------- _ 3cm A los efectos del trazado del paralelogramo es posible usar: a) regla y compás Para ello, una vez que tenemos los vectores A y B‚ dibujados en el mismo punto de aplicación, con el compás tomamos como radio la medida de A‚ y, apoyando en la punta de flecha de Btrazamos un arco de circunferencia. Luego, tomamos como radio del compás la medida de B‚ y, apoyando en la punta de flecha de A trazamos otro arco de cfa.. Donde se cortan ambos arcos, está el cuarto vértice del paralelogramo, o sea, la punta de flecha de la suma S. b) dos escuadras Apoyando uno de los catetos de una escuadra tal que coincida con A hacemos coincidir un cateto de la segunda escuadra con el cateto libre de la primera. El cateto libre de la segunda, cuando deslizamos esta escuadra por el "riel" que lemarca el cateto libre de la primera, se hace coincidir en la punta de flecha de B. Lograda esta posición de la segunda escuadra, trazamos un segmento de recta. Repetimos la operación, haciendo coincidir ahora un cateto de la primera escuadra con el vector B‚ y, cuando encontramos en el cateto libre de la segunda la punta de flecha de A,

192

trazamos otro segmento de recta con dicho cateto (al igual que en el primer caso). Donde se cruzan ambos segmentos de recta trazados, está la punta de flecha de S, o sea, el cuarto vértice del paralelogramo.

6.2.1.2 B) CALCULO ANALITICO Tomando como ejemplo los vectores A y B del caso anterior, podemos ver cómo se calcula S‚ analíticamente. El método del polígono nos ilustra que, entre A, B y S‚ se forma un triángulo (en este caso, escaleno). Podemos utilizar el teorema del coseno para resolverlo. Para ello, hagamos un breve repaso de matemáticas. Hagamos uso de la definición corriente de las funciones seno y coseno de un ángulo. Tomando el círculo trigonométrico, cuyo Y radio es unitario, tenemos y senα = cat. op./ hip. cosα = cat.ady./hip α X y, basándonos en la x relación de Pitágoras para los lados de un triángulo rectángulo, sen2 α + cos2 α = x2 + y2 = 1

(1)

que es la hipotenusa del triángulo formado, e igual al radio del círculo trigonométrico. Si ahora observamos los vectores

193

B.senα A, B y S

de la figura, podemos comprobar que las proyecciones de los vectores sobre los ejes coordenados X e Y, cumplen las relaciones geométricas

S B χ

β α

X

A figura 4

S.cosχ = A + B.cosα (2) B.cosα S.senχ = B.senα (3) Elevando al cuadrado las igualdades (2) y (3), encontramos S2 .cos2 χ = A2 + B2 .cos2 α + 2.A.B.cosα (4) S2 .sen2 χ = B2 .sen2 α

(5)

Si ahora sumamos las relaciones (4) y (5), obtenemos S2.cos2χ + S2.sen2χ = A2 + B2.cos2α + B2.sen2α + 2.A.B.cosα Tomando factores comunes en los términos que 194

contienen S y B , S2(cos2χ + sen2χ) = A2 + B2(cos2α + sen2α) + 2.A.B.cosα Haciendo uso de la expresión (1), notamos que nos queda S2 = A2 + B2 + 2.A.B.cosα

(6)

Esta formula (6) es el conocido teorema del coseno. O sea que, podemos hallar la suma S‚ de dos vectores A y B‚ analíticamente, utilizando este resultado de la geometría. Nótese que el ángulo "α", es el formado por la continuación del vector A‚ por su recta de acción, con el vector B. Asimismo, podemos utilizar, en lugar del ángulo "α" formado de la manera indicada, el ángulo "β", pues β = 180 - α (estamos usando el grado como unidad de ángulo) y en base a la relación entre líneas trigonométricas, cos β = - cos α. De donde, si usamos el ángulo "β", interno al triángulo entre los vectores de la figura 4, la fórmula (6) se transforma en

195

S2 = A2 + B2 - 2.A.B.cosβ (7). Nos queda aún por resolver el intríngulis para determinar el ángulo "χ" entre el vector suma S‚ y el vector A situado en el eje X. Dividiendo la (3) entre la (2), hallamos Bsenα tgχ = A + B cos α (8) Las fórmulas (6) y (8) nos permiten determinar completamente el vector suma S‚ de otros dos (A y B), sin necesidad de hacer el trazado geométrico de los mismos. Es posible usar las (7) y (8) con el mismo fin. Para determinar la resta podemos hacer uso del mismo triángulo, o formar el del dibujo 5. Ahora, aplicando nuevamente el teorema del coseno, hallamos (9) R2 = A2 +B2 - 2.A.B.cosα De la figura, el angulo χ, ahora es R hallado mediante Bsenα tgχ = B cos α − A

B α

(10)

A

figura 5 También podemos plantearnos calcular el ángulo χ mediante el uso directo del teorema del seno. Este

196

teorema geométrico establece que el cociente entre el seno de los ángulos de un triángulo y sus lados opuestos, es el mismo para los tres lados y ángulos de todo triángulo. Luego, de la figura 4 se deduce directamente que senβ senχ = S B De donde, B ⋅ senβ senχ = S Un caso particular y muy común se presenta cuando los vectores A y B‚ forman ángulo recto. En tal caso tenemos cosα=0 y, en consecuencia S2 = A2 + B2

(11)

la conocida fórmula pitagórica. Mientras que para el ángulo χ, lo determinamos con tgχ= B/A

(12)

En tanto que, para la resta hallamos el módulo también aplicando (11), siendo ahora el ángulo α hallado de igual forma (formulá 12), pero medido desde el eje X (sobre el cual descansa A) hacia abajo.

197

6.2.1.3 METODO DE DESCOMPOSICION EN LOS EJES COORDENADOS Una forma más completa, quizás, para calcular la suma y resta de vectores, es trabajar directamente con un sistema de referencia y hallar la suma algebraicamente, luego de descomponerlos en sus respectivas componentes. Supongamos nuevamente, que tenemos los vectores desplazamiento A y B, situados en un sistema de referencia XOY (lo imaginamos bidimensional para simplificar), en cuyo origen de coordenadas O se encuentra el cuerpo de referencia (figura 6). Por simplicidad suponemos, como antes, al vector A situado sobre el eje X, mientras el vector B, que también lo hacemos partir de O, forma un ángulo de 60º con dicho eje coordenado. Las componentes del vector A, en el marco de referencia dado son (xa , 0), mientras que para B tenemos (x b,yb ). Cumpliéndose las condiciones siguientes para los módulos S ra y rb ; ra = xa , rb2 = xb2 + yb2 (13) xb xa

xb B α A

198

figura 6 Utilizando trigonometría, obtenemos para las componentes del vector B, las siguientes expresiones xb = rb.cosα,

yb = rb.senα

(14)

Luego, la suma nos resulta en xs = xa + xb = ra + rb.cosα = A + B.cosα ys = 0 + yb = rb.senα = B.senα El nuevo vector suma, determinadas por (15) y (16)

(15)

(16) tiene

S = (A + B.cosα)i + (B.senα)j

componentes

(17)

donde i, j‚ son los vectores unitarios (o versores, cuyo módulo es 1) situados sobre los ejes X e Y, respectivamente. El módulo de S se halla, utilizando Pitágoras S2 = (A + B.cosα)2 + (B.senα)2 que, en el caso considerado da S2 = A2 + B2 .cos2α +2.A.B.cosα + B2sen2α

199

y que, juntando los términos que contienen A, y aplicando la ecuación (1) nos resulta en S2 = A2 + B2 + 2.A.B.cosα

(18)

la conocida fórmula del coseno (ec.(6)), como era de esperar. Nuevamente, el ángulo entre S‚ y el eje X lo determinamos mediante la fórmula (10). Para el caso de la resta, el resultado es similar a las ecuaciones (11) y (12). En todo caso, la demostración puede correr por cuenta del lector.

6.2.2 PRODUCTOS VECTORIALES

6.2.2.1 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Los vectores se pueden multiplicar entre sí y también por magnitudes escalares. De hecho, estamos acostumbrados a hacerlo, cuando multiplicamos la masa por la aceleración para calcular la fuerza aplicada sobre un cuerpo de masa "m", al que se le 200

produjo una aceleración. El resultado de tal multiplicación es otro vector (en el ejemplo, la fuerza), cuyo módulo es igual al producto del módulo del vector multiplicado por el escalar, siendo la dirección y sentido del resultado los mismos que los del primer vector, salvo en el caso en que el escalar sea negativo. En tal oportunidad sucederá que el sentido del producto será opuesto al del vector factor. Expresado en fórmulas E = c.A

(19)

dond c es el escalar que multiplica al vector A y E‚ es el vector resultado de dicha multiplicación. De acuerdo con lo dicho, el módulo deE será E = c.A

(20)

Ejemplos, el desplazamiento ∆r‚ en el M.R.U. de velocidad inicial nula, es ∆r = v,∆t aquí el vector multiplicado es la velocidad del móvil, el escalar es el tiempo, y el desplazamiento es el resultado de tal producto. El vector p‚ es precisamente la cantidad de movimiento (o momentum), y es nuevamente el escalar masa multiplicado por v, la velocidad del móvil. p = m.v

201

El impulso I = F.∆t, etc.

6.2.2.2 B) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Es posible multiplicar dos vectores de forma tal que el resultado sea una magnitud escalar. Tal producto recibe el nombre de "producto escalar" o "producto punto" entre vectores. Se obtiene multiplicando los módulos entre sí y por el coseno del ángulo que forman. Tomando nuevamente el ejemplo de la figura 4, donde consideraremos el producto de los vectores. Como el ángulo entre ambos es "α", tenemos c = A.B.cosα

(21)

donde "c" es el escalar resultado de la operación (21). Geométricamente, "c" representa la multiplicación de la longitud del vector A‚ (su módulo) por la proyección del módulo de B‚ sobre la recta de acción de A. Ejemplos. Trabajo de una fuerza (W), W= F.d.cosα, donde F es el módulo de la fuerza , d, el módulo del desplazamiento y α es el ángulo que forma el vector d‚ con la dirección (recta de acción) de F.

202

6.2.2.3 PRODUCTO VECTORIAL Se pueden multiplicar dos vectores, de tal forma de obtener un tercer vector. Á tal producto se lo denomina vectorial, o producto cruz. Se simboliza (tomando nuevamente los vectores A y B como factores) D=AxB

(22)

El módulo del vector resultado, D‚ en nuestro caso, se calcula multiplicando los módulos de los factores A y B‚ entre sí por el seno del ángulo que se forma entre ellos. Con símbolos, D = A.B.senα

(23).

Geométricamente, representa multiplicar el módulo de A‚ por la proyección del módulo de B‚ en la dirección perpendicular a la rectá de acción de A y significa el cálculo del área del paralelogramo de lados A y B. La dirección del vector producto, se obtiene utilizando la regla de la mano derecha. O sea, con los cuatro dedos alineados y el pulgar extendido perpendicularmente a la palma de la mano derecha, colocamos ésta de tal forma que los dedos coincidan con la dirección y sentido del vector B‚ y la palma queda mirando hacia el vector A. Entonces, el pulgar extendido (perpendicularmente) indica el sentido del vector D cuya

203

dirección pasa por el punto de aplicación O de los vectores en la recta B perpendicular al plano determinado por A y B, ver figura 7. Ejemplos de productos vectoriales. A Momento de fuerza,

α

D M = F.b.sen(α) figura 7 donde F‚ es la fuerza aplicada a un objeto que puede girar en torno a un eje y b‚ es la distancia del punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro. Cuando b‚ es perpendicular a F se le llama brazo de la fuerza. Momento Cinético (o cantidad de movimiento angular), L = m.r.v.sen(a) = r.p.sen(a) donde m es la masa de la particula que gira en torno a un eje, r‚ es su distancia al mismo y v‚ el vector de velocidad lineal de dicha particula; p, es la cantidad de movimiento lineal.

204

Fuerza magnética (o fuerza de Lorentz)

F= q.v.B.senα. (siendo "α"el ángulo entre los vectores. Siempre la fuerza magnética es perpendicular al plano formado por los vectores v y B).En el caso de no ser v‚ perpendicular a B‚ (α distinto de 90º ), la carga sigue una trayectoria helicoidal, con paso de rosca determinado por la componente v.cosα y el período de revolución de la hélice, determinado a su vez, por la cantidad de movimiento de la carga y por el módulo del campo magnético.

6.2.3 ALGO MAS SOBRE FUNCIONES CIRCULARES De acuerdo a las definiciones de las funciones sen α y cos α (utilizando las correspondientes funciones inversas arcsen α y arccos α), sabemos que d(sen α)/dα = cos α

y

d(cos α)/dα = -sen α. Esto implica que estas funciones son soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden 205

f''(x) + f(x) = 0, o, escrita en la notación de Leibnitz d2 f(x)/dx2 + f(x) = 0, puesto que d(senx)/dx = sen'x = f'(x) = cos x y d2(cosx)/dx2 = sen"x = d (senx)/dx = - senx luego, si f(x) = senx, entonces f'(x) = cosx, y f"(x) = -senx a su vez, si f(x) = cosx, entonces f'(x) = -senx, y f"(x) = cosx. Así, se puede escribir que Si f(x) = asenx + bcosx entonces f"(x) + f(x) = 0, dado que f"(x) = -asenx -bcosx f(x) = asenx + bcosx por lo que f"(x) + f(x) = 0.

206

Pero, en tal caso, f(0) = b (pues sen0 = 0 y cos0 = 1) y, f"(0) = -b, siendo f'(0)= a. Utilizando esta propiedad de las funciones seno y coseno de un ángulo, podemos ver que si f(x) = sen(x + y), f'(x) = cos(x + y), y f"(x) =-sen(x + y), o sea que f"(x) + f(x) = 0. Pero, f"(x) + f(x) = a.senx + b.cosx. De aquí que a.senx + b.cosx = sen(x + y)

(1)

Sin embargo, f(0) = b = sen(0 + y) = seny f'(0) = a = cos(0 + y) = cosy luego cosy.senx + seny.cosx = sen(x + y).

(2)

Si ahora tenemos

207

y = x, nos queda cosx.senx + senx.cosx = sen(2x) o sea, sen(2x) = 2.senx.cosx.

(3)

A su vez, si f(x) = cos(x + y), se tiene f'(x) = -sen(x + y) y f"(x) = - cos(x + y). Pero, como es f"(x) + f(x) = 0, entonces cos(x + y) = a.senx + b.cosx con a = f'(0) = -sen(0 + y) = -seny b = f(0) = cos(0 + y)= cosy. Por ello, cos(x + y) = cosy.cosx - seny.senx.

(4)

Asimismo, si y = x, cos(2x) = cos2 x - sen2 x

(5)

208

6.3 MEDIDAS E INCERTIDUMBRE Toda realización de una medida lleva consigo asociada una incertidumbre de la misma. Esto es, es imposible medir el estado de un sistema sin alterarlo. Cualquier medición que se realiza sobre un sistema físico implica que el instrumento detector interactúe con el mismo, lo que conlleva una modificación del propio sistema que se quiere medir y, por lo tanto, la introducción de cierta incertidumbre sobre cuál sería el estado de tal sistema sin la interacción con el instrumento de medición. Es por este motivo que ninguna medición puede contar con un número infinito de dígitos que la representen, sino que tal cantidad queda acotada por la propia incertidumbre que, en muchos casos, es determinada por el propio instrumento. Se habla entonces de cifras significativas de una medida, para referirse a la cantidad de tales dígitos que posee una medición. A los efectos prácticos, los dígitos o cifras significativas de cualquier medida constan de todas las cifras seguras, o sea, mayores que la apreciación del instrumento, más una cifra insegura que, en algunos casos, puede ser estimada “a ojo” por el experimentador. Llamamos apreciación de un instrumento de medida, a la menor medida que se puede realizar con él. Así, una regla milimetrada tiene una apreciación de 1 milímetro, pues la menor medida que ella puede realizar tiene ese tamaño. Un reloj con centésimas de segundo tiene una apreciación

209

de una centésima de segundo, pues medidas menores que esa no se pueden ejecutar con él. Se denomina estimación en una medición, a aquellas cantidades que, siendo menores que la apreciación del instrumento utilizado para medir, aún pueden ser establecidas “a ojo”. Nunca la estimación puede tener más de una cifra significativa, pues ella misma representa una cifra insegura. Son cifras seguras de una medición, aquellas cantidades mayores que la apreciación del instrumento de medida usado. Cifra insegura de la medida es la cifra estimada. Aún cuando en una medición no se haya estimado, la última cifra, de cualquier medida, es siempre insegura. Entonces, son cifras significativas de la medida, todos los dígitos a partir del primero diferente de cero, hasta la cifra insegura de la misma. La incertidumbre de una medición es, entonces, una cuantificación del grado de confianza que nos ofrece la medida hecha y, siempre, de algún modo, es una cantidad estimada en base a una serie de consideraciones que tienen que ver con a) el objeto a medir, en cuanto a la dificultad que ofrece al operador para ser medido, b) el instrumento de medición usado, pues su apreciación nos pone un límite para la cantidad de cifras seguras que podemos indicar en cualquier medición y,

210

c) el experimentador mismo, pues de su capacidad, idoneidad y experiencia, también depende el resultado de la medición hecha.

211

6.3.1 Propagación de errores. Tal vez el término usado no es el más feliz, pero se refiere a cómo se propagan las incertidumbres de las medidas hechas, cuando con ellas realizamos cálculos que nos permiten determinar nuevas magnitudes. Es necesario tener claro que, cuando calculamos una magnitud mediante operaciones aritméticas o de cálculo (esto es lo que se llama una medida indirecta), también estamos midiendo, por lo que se le debe aplicar los mismos criterios que a las mediciones directas. Así, la incertidumbre de las medidas se “propaga” a los resultados, obedeciendo ciertas reglas que, así como las propias mediciones, tienen un grado de “estimación”. Mediante cálculo diferencial se puede determinar la incertidumbre de diversas operaciones. Así, dadas dos magnitudes A y B y sus correspondientes incertidumbres, δA y δB, tenemos a) para la suma. Si S = A + B , δS = δA + δB b) para la resta, si R = A − B , δR = δA + δB c) para el producto. Si P = a.b dP db da dP = a.db + b.da de donde = + P b a a d) para la división. Si D = , entonces b dD da db = + D a b

212

e) para la potencia. Si dp na n np = na n −1 = = , da a a dp n.da = p a

p = a n , se tiene de

donde

f) para la raíz. Si r = n a , se tiene que 1

−1 dr = an = a da

1− n n

=

n

a n a = = n a1−n n a a

y

entonces, dr = n a 1−n da g) para la función seno. Si f = sena , df entonces, = cos a , de donde da df cos ada da df = cos ada , y, = = f sena tga df h) para el coseno. Si f = cos a , = sena , da df = tga.da de donde se tiene, f

213

7 Primeros elementos de Cálculo operacional 7.1 Funciones originales y representaciones El cálculo operacional, también conocido como análisis operativo, es una técnica mediante la cual los problemas en el análisis matemático, en particular, las ecuaciones diferenciales, se transforman en problemas algebraicos, por lo general el problema de resolver una ecuación polinómica.

7.1.1 Función original Es una función compleja, f (t ) , de argumento real t , que verifica las siguientes propiedades 1) f (t ) es localmente integrable. 2) Para todo t < 0 , f (t ) = 0 st 3) Lím f (t ) ≤ Me , donde M > 0 , s es un t → +∞

número real, s ∈ R , y cumple la condición s ≥ s 0 , siendo s 0 llamado el índice de incremento de f (t ) . La función unidad de Heaviside es la más simple función original,  1, ∀t > 0 η (t ) =   0, ∀t < 0 214

Para toda función ϕ (t ) que verifica 1) y 3), se cumple que ϕ (t ), t > 0 ϕ (t )η (t ) =  0, t < 0

7.1.1.1 Ejemplo f (t ) = b tη (t ), b > 0, b ≠ 1 La condición 1) se cumple, dado que la integral indefinida ∫ ϕ (t ) = ∫ b t dt existe y tiene solución en todo el dominio real. De hecho, la misma da b t +1 t ϕ ( t ) = b dt = +C . ∫ ∫ t +1 La condición 3) implica que Lím b t ≤ Me st . Para t → +∞

ello, si vamos a los órdenes de crecimiento de las funciones, a medida que la variable independiente tiende a infinito, dado que la función potencial tiene un orden menor de crecimiento que la función exponenial, la igualdad anterior es cierta. Por lo tanto, dado que la función η (t ) asegura el cumplimiento de la segunda condición para que la función dada sea una original, queda demostrado que lo es.

7.1.2 Representación (transformada de Laplace).

215

Se llama representación de la función original f (t ) a la función F ( p ) tal que verifica

F ( p) =

+∞

∫ f (t )e

− pt

dt

Ecuación 7.1-1

0

Definida en el semiplano determinado por la condición de que la parte real de p es Re p = s

para . s > s0 Donde p = s + iσ . F ( p ) es una función de argumento complejo, obviamente. Si F ( p ) es la representación de f (t ) , vamos a escribir L[ f (t )] = F ( p) O sea, de aquí en más vamos a usar esta notación, que va a significar en cada caso que (la función compleja de variable compleja) F ( p ) es la representación de la función (compleja de variable real) f (t ) , o su transformada de Laplace. Hay que notar que f (t ) puede ser divergente exponencialmente para t → ∞ , o sea que la +∞

integral

∫ f (t )dt

puede no existir. Pero, al existir

0

una constante s0 , tal que

e − s0t f (t ) ≤ M , una

constante positiva, para t → ∞ , que sea t > t 0 , la

216

transformada de Laplace existe para s > s0 y f (t ) es de orden exponencial. Como contraejemplo, 2 f (t ) = e t no verifica la condición e − s0t f (t ) ≤ M y entonces no es de orden exponencia, o sea, L[ f (t )] no existe.

7.1.2.1 Ejemplo Vamos a determinar F ( p ) para f (t ) = t . Tenemos ∞

∞

0

0

F ( p) = ∫ f (t )e − pt dt = ∫ te − pt dt Usando ∫ vdu = uv − ∫ udv Sea t=u⇒

du =1 dt

Sea dv e − pt = e − pt ⇒ v = ∫ e − pt dt = dt −p Entonces

217

∞

∫ te

− pt

0

te − pt dt = −p

− pt ∞

te = −p 0−

0

∞

0

∞

e − pt te − pt −∫ dt = −p −p 0 ∞

∞

+ 0

1 e − pt te − pt e − pt + =− − 2 p (− p ) 0 p p

(− 1) 1

p p

=

∞

0

∞

1 − pt e dt = p ∫0 e − pt =− p

∞

3  1  t +  = p0 

1 p2

Lo que nos da 1 L(t ) = 2 Ecuación 7.1-2 p La función F ( p ) , de argumento complejo p se llama la transformación de Laplace por la cual se obtiene la representación F ( p ) de la función compleja de variable real f (t ) .

7.1.2.2 Segundo ejemplo Si ∞

f (t ) = e ⇒ F ( p) = ∫ e e 2t

2t

− pt

dt = ∫ e t ( 2− p ) dt =

0 t ( 2− p ) ∞

e = 2− p

0

∞

0

Ecuación 7.1-3

1 1 = 0− = 2− p p−2 3

En la penúltima igualdad, el cero corresponde al término

te − pt , t → ∞ ., que si bien tiende a ∞ por t , tiende más p − pt rápidamente a cero por e , pues los órdenes de infinitésimo −

de la función exponencial son mayores que los órdenes de infinito de la función polinómica.

218

7.1.2.3 Otro ejemplo f (t ) = sen3t , hallar ∞

F ( p) = L(sen3t ) ⇒ F ( p) = ∫ sen3te − pt dt . 0

Sea senz =

e iz − e −iz 2i

e i 3t − e −i 3t Siendo z = 3t ⇒ sen3t = 2i Entonces e i 3t − e −i 3t − pt e i 3t − pt − e − i 3t − pt sen3t ⋅ e − pt = e = 2i 2i Luego ∞

∫ sen3t ⋅ e 0

− pt

e (3i − p )t − e −(3i + p )t e (3i − p )t e −(3i + p )t = + dt = ∫ (3i − p )2i (3i + p )2i 2i 0 ∞

e −( p −3i )t e −(3i + p )t = + (3i − p )2i (3i + p )2i

∞

  1 1  = = 0 −  + ( ) ( ) − + 2 i 3 i p 2 i 3 i p   0 2i (3i + p) + 2i (3i − p ) − 6 + 2ip − 6 − 2ip =− =− = 2 (2i ) (3i − p)(3i + p) − 4 (3i ) 2 − p 2 − 12 12 3 =− == = 2 2 − 4(−9 − p ) 4(9 + p ) 9 + p 2

[

]

7.1.3 Propiedades de la transformación de Laplace

219

∞

= 0

7.1.3.1 Unicidad. F ( p) =

+∞

∫ f (t )e

− pt

dt

es

única.

f 1 (t )

Si

y

0

f 2 (t ) tienen iguales representaciones F ( p ) , entonces son iguales. Si, L[ f 1 (t )] = F ( p), y, L[ f 2 (t )] = F ( p) ⇒ f 1 (t ) = . f 2 (t ), ∀t > 0

7.1.3.2 Linealidad. Dadas dos constantes complejas, α y β se cumple que la representación de la combinación lineal de las funciones complejas de variable real t es, a su vez, la combinación lineal de las representaciones, o sea, L[αf (t ) + βg (t )] = αF ( p) + βG ( p) , donde L[ f (t )] = F ( p) y L[g (t )] = G ( p ) .

7.1.3.2.1 Ejemplo. Linealidad Hallar la representación F ( p ) para la función f (t ) = 1 + t . ∞

La representación de f (t ) = t es F ( p) = ∫ te − pt dt y 0

1 . p2 Por otro lado, para la función f (t ) = 1 , la representación es

vimos en el ejemplo 1.1.2.1 que F ( p ) =

∞

F ( p) = ∫ e 0

− pt

e − pt dt = −p

∞

0

 1 1 = 0 −  −  =  p p

220

Ahora, aplicando la propiedad de linealidad, tendremos 1 1 1+ p F ( p) = + 2 = 2 . Ecuación 7.1-4 p p p

7.1.3.2.2 Otro ejemplo Determinar la función representación F ( p ) de la función original f (t ) = 2 sent − cos t . Aquí hacemos, ∞

F ( p ) = ∫ 2 sent ⋅ e − pt dt 0 ∞

G ( p ) = ∫ cos t ⋅ e − pt dt 0

Usamos e it − e −it e t (i − p ) − e −t (i + p ) sent = ⇒ sent ⋅ e − pt = 2i 2i it − it t (i − p ) e +e e + e −t ( i + p ) − pt cos t = ⇒ cos t ⋅ e = 2 2 Entonces ∞

∞ ∞  1 1  e t ( i − p ) e −t ( i + p )  F ( p) = 2 ∫ e t (i − p) dt − ∫ e −t (i + p)  = 2  +  = 2i  0 2 i i − p i + p  0 0 

=2

 1 1 1  1  i + p+i− p   = 2 − + (0 − 0) −  = 2i  i − p i + p 2 i ( i − p )( i + p )    

− 2i −2 2 = = 2 2 2 2i(i − p ) − (1 + p ) 1 + p 2 Mientras que, 2

221

∞

G ( p) = ∫ cos t ⋅ e 0

− pt

∞ ∞  1  t (i − p ) dt =  ∫ e dt + ∫ e −t ( i + p ) dt  = 2 0 0  ∞

1  e t (i− p ) e −t ( i + p )  1 − (i + p )e t (i − p ) + (i − p)e −t ( i + p ) =  + =  2  i − p − (i + p)  0 2 − 1+ p2

(

)

− i − p + i − p p 1 0 − = 2 2 − (1 + p )  1 + p 2 Finalmente, aplicando la linealidad 2 p 2− p F ( p) − G( p) = − = 2 2 1+ p 1+ p 1+ p2 =

Ecuación 7.1-5

O sea, si f (t ) = 2 sent − cos t ⇒ F ( p ) =

2− p 1+ p2

Es su representación.

7.1.3.3 Semejanza. Este es un teorema que sostiene que ∀α > 0 , 1  p constante, se tiene que L[ f (αt )] = F   . α α 

7.1.3.3.1 Ejemplo Determinemos la representación de f (t ) = e at . Para hacerlo usamos el resultado del ejemplo 1.1.2.3, 1 Si, f (t ) = e 2t ⇒ F ( p) = . Ecuación 7.1-6 p−2 Aplicando el teorema de semejanza, si

f (t ) = e t ⇒ F ( p) =

1 Por lo tanto, como p −1

222

∞

= 0

f (at ) = e at ,

1  p 1 1 1 a 1 F  = = = a  a  a p −1 a p − a p − a a

Ecuación 7.1-7

7.1.3.4 Derivadas de la función original. La principal aplicación de las transformadas de Laplace es la conversión de ecuaciones diferenciales a formas más simples, que pueden resolverse más fácilmente. Por ejemplo, la ecuaciones diferenciales acopladas con coeficientes constantes, se transforman en ecuaciones lineales simultáneas. Si tenemos una función compleja de variable real f (t ) dada, de manera que existen sus derivadas f ' (t ) , f ' ' (t ) ,…, f ( n ) (t ) y resulta que F ( p ) es su representación, o sea la función compleja de variable compleja p que se obtiene mediante la transformación de Laplace, o sea, L[ f (t )] = F ( p) entonces se cumplen las siguientes relaciones de las representaciones (de las transformadas laplacianas) L[ f ' (t )] = pF ( p ) − f (0) L[ f ' ' (t )] = p 2 F ( p ) − pf (0) − f ' (0)

L[ f ' ' ' (t )] = p 3 F ( p ) − p 2 f (0) − pf ' (0) − f ' ' (0) .......

[

L f

(n)

]

(t ) = p n F ( p) − p n −1 f (0) − p n −2 f ' (0) − ... − f

Ecuación 7.1-8

7.1.3.4.1 Ejemplo 223

( n −1)

(0)

Hallamos la representación de f (t ) = cos 2 t , o sea, intentaremos hallar F ( p ) función representación en el espacio complejo, de f (t ) dada. Para eso derivamos f (t ) respecto de la variable real t . d cos 2 t = 2 cos t (− sent ) dt Utilizando la derivada de la función de función.4 Si retenemos de las identidades trigonométricas que 2 sent cos t = sen(2t ) Podremos escribir la igualdad de arriba así d cos 2 t = − sen 2t dt Ahora vamos a la primera línea de la diferenciación del original L[ f ' (t )] = pF ( p) − f (0)

Esto nos dice que − sen2t se representa por pF ( p ) − f (0)

Pero la representación de − sen2t la obtenemos a partir del ejemplo 1.1.2.3, 2 2 L[sen 2t ] = ∴ L[− sen 2t ] = − 2 4+ p 4 + p2 Luego, podemos igualar 2 − = pF ( p ) − f (0) 4 + p2 Ahora bien, f (0) = cos 2 0 = 1 , de donde

4

f [g ( x )]' = f ' ( g ) ⋅ g ' ( x) 224

2 = pF ( p ) − 1 4 + p2 Despejando F ( p ) de la ecuación anterior 2 1− 4 + p2 1 2 F ( p) = = − = p p p (4 + p 2 ) −

(4 + p 2 ) − 2 2 + p2 = p(4 + p 2 ) p(4 + p 2 ) O sea que 2 + p2 L cos 2 t = Ecuación 7.1-9 p(4 + p 2 ) =

[

]

7.1.3.4.2 Un segundo ejemplo. Sea f (t ) = t cos ωt , determinaremos su transformada de Laplace (su representación en el espacio de representaciones). Primero calculamos f ' (t ) = cos ωt − tω cos ωt Del ejemplo 1.1.3.2.2 sabemos que L[cos t ] =

p 1 + p2

Por lo tanto, L[cos ωt ] =

p ω + p2 2

Para tsenωt expresamos e iz − e −iz e iωt − e −iωt senz = ⇒ senωt = 2i 2i

225

te iωt − te −iωt 2i Y, si llamamos h(t ) = tsenωt , entonces podemos llamar

Así tsenωt =

∞

H ( p) = ∫ tsenωt ⋅ e − pt dt 0

Queda ∞

∞

∞

te iωt − te −iωt − pt te iωt e − pt te −iωt e − pt e dt = ∫ dt − ∫ dt 2 i 2 i 2 i 0 0 0 Llamemos ∞ te iωt e − pt Α=∫ dt 2 i 0 H ( p) = ∫

∞

te −iωt e − pt dt 2i 0 Integramos Α por partes ∫ udv = uv − ∫ vdu Β=∫

Siendo dv = e −t ( p −iω ) ⇒ v = u = t ⇒ du = 1 Entonces

e −t ( p −iω ) − ( p − iω )

226

∞ ∞  e −t ( p −iω ) 1  te −t ( p −iω ) Α=  −∫ dt  = 2i  − ( p − iω ) 0 0 − ( p − iω )    ∞

1  te −t ( p −iω ) e − t ( p −iω ) =  − 2i  − ( p − iω ) 0 ( p − iω ) 2 

∞

 = 0  

 1 1 1 1 = − 0 − 0 + 2  2i  ( p − iω )  2i ( p − iω )2 Seguimos el mismo procedimiento para Β, para obtener 1 1 Β= 2i ( p + iω )2 Luego, juntamos 1 1 1 1 H ( p) = Α − Β = − 2 2i ( p − iω ) 2i ( p + iω )2 Finalmente, después de una serie de operaciones aritméticas algo tediosas llegamos a que 2ωp H ( p) = 2 2 p +ω2 Retomando, si f (t ) = t cos ωt , entonces f ' (t ) = cos ωt − tω cos ωt y como cos ωt ≡> p =

(

)

ω 2 + p2

Por el resultado de arriba, si 2ωp L[tsenωt ] = 2 2 p +ω2 Tendremos que 2ω 2 p L[ωtsenωt ] = 2 p2 + ω2

(

)

(

)

227

Luego, por diferenciación del original (por el teorema de derivadas del original) p 2ω 2 p − 2 ω +p p2 + ω 2 2

(

)

2

= pF ( p) − f (0)

Así, siendo f (t ) = t cos ωt ⇒ f (0) = 0 y, simplificando p en la ecuación de arriba, llegamos a 1 2ω 2 − ω 2 + p2 p2 + ω 2 Ecuación 7.1-10

(

)

2

= F ( p) =

p 2 + ω 2 − 2ω 2

(p

2

+ ω2

)

2

∴ L[t cos ωt ] =

p2 − ω 2

(p

2

7.1.3.4.3 El oscilador armónico simple. Este es un ejemplo físico. Tenemos una masa m oscilando por acción de un resorte de constante k. Consideramos el rozamiento inapreciable y obtenemos la segunda ley de Newton para el sistema d 2 x(t ) m + k ⋅ x(t ) = 0 . dt 2 Además x(0) = x0 x ′(0) = 0 Son las condiciones iniciales. Aplicamos la transformada de Laplace  d 2 x(t )  mL  + k ⋅ L{x(t )} = 0 2   dt  Y, usando la propiedad 1.1.3.4 (transformada de la derivada del original), dado que

228

+ ω2

)

2

L[ f ' (t )] = pF ( p ) − f (0)

L[ f ' ' (t )] = p 2 F ( p) − pf (0) − f ' (0

Al hacer mp 2 X ( p) − mpx(0) − mx ′(0) + k ⋅ X ( p) = 0 Y aplicando las condiciones iniciales mp 2 X ( p ) − mpx0 + k ⋅ X ( p ) = 0 Despejando para X ( p ) mpx0 X ( p) = ⇒ Si, mp 2 + k k ω0 2 ≡ , m p X ( p) = 2 x 2 0 p + ω0 Si vemos la ec. 1.1-13, observamos que p = L{cos ω 0 t} 2 2 p + ω0 Luego, x(t ) = x0 cos ω 0 t .

7.1.3.4.4 Precesión del eje de rotación de la Tierra Se asume que la Tierra es una esfera achatada en los polos, o sea, geométricamente es lo que se denomina un esferoide oblato. Las ecuaciones del movimiento de Euler dan

229

dx = − ay dt dy = ax dt Recordamos que tanto x como y son funciones que dependen del tiempo. En esta simplificación I − Ix a≡ z ωz Iz

x = ωx , y = ωy siendo r ω = (ω x , ω y , ω z ), velocidad _ angular I z = momento _ de _ inercia _ alrededor _ del _ eje _ z. I x = ídem _ alrededor _ del _ eje _ x I y = ídem _ alrededor _ del _ eje _ y. El eje z coincide con el eje de simetría de la Tierra, r que difiere del eje de rotación ω en 15 metros en los polos. Aplicando L[ f ' (t )] = pF ( p ) − f (0)

Se obtiene  dx  L   = pX ( p ) − x(0) = − aY ( p)  dt   dy  L   = pY ( p ) − y (0) = aX ( p )  dt 

Multimplicamos la de arriba por –ps y la de abajo por a

230

− p 2 X ( p ) + px(0) = paY ( p) apY ( p) − ay (0) = a 2 X ( p)

Sumamos miembro a miembro para obtener − ay (0) − p 2 X ( p ) + px(0) = a 2 X ( p )) ∴ X ( p) =

px (0) − ay (0) p a ⇔ X ( p ) = x (0) 2 − y ( 0) 2 2 2 2 a +p a +p a + p2

Por la ecuación 1.1-13 y por el ejemplo 1.1.2.3 p = L{cos at} 2 a + p2 a = L{senat} 2 a + p2 Luego x(t ) = x(0) cos at − y (0) senat Usando un procedimiento similar podemos llegar a que y (t ) = x(0) senat + y (0) cos at

7.1.3.5 Derivadas de la transformada de Laplace (representación). Para obtener la derivada de la representación el procedimiento es bastante más simple que el de obtención de la derivada del original. Simplemente se multiplica f (t ) por − t . O sea que F ' ( p) = L[− tf (t )] Ecuación 7.1-11 En general, para la derivada enésima de la representación, es cierto que L (−t ) n f (t ) = F ( n ) ( p ) Ecuación 7.1-12

[

]

231

7.1.3.5.1 Ejemplo. Aquí se determinará la transformada de Laplace, aplicando el procedimiento de las derivadas de la transformada, de la función original f (t ) = t 2 cos t . p La transformada de cos t es 2 , p +1 p L[cos t ] = 2 Ecuación 7.1-13 p +1 Aplicando la diferenciación de la transformada ′  p   2  = L[− t cos t ]  p + 1 Por otro lado ′  p  1 p2 +1 − p ⋅ 2 p p2 − 2 p2 +1 1− p2  2  = = = 2 2 2 p2 +1 p2 +1 p2 +1  p + 1 Luego, p2 −1 = L[t cos t ] 2 p2 +1 Aplicando por segunda vez la diferenciación de la representación ′  p2 −1  = L[− t (t cos t )] Ecuación 7.1-14  2 2   p + 1  Luego, operamos

(

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

232

)

′  p2 −1  2 p ( p 2 + 1) 2 − ( p 2 − 1)2( p 2 + 1)2 p = =  2 2  ( p 2 + 1) 4  p + 1 

(

=

)

− 2 p3 + 6 p

(p

2

)

+1

3

De donde, finalmente 2 p3 − 6 p L t 2 cos t = 3 p2 +1

[

]

(

)

Ecuación 7.1-15

7.1.3.5.2 Segundo ejemplo f (t ) = (t + 1) sen 2t Se tiene que (t + 1) sen 2t = tsen 2t + sen 2t Luego, sabemos que a 2 L[senat ] = 2 ∴ L[sen 2t ] = 2 2 p +a p +4 Por la derivada de la transformada ′  2   L[tsen 2t ] =  2  p + 4 Derivando ′  2  −1 ′ −2 4p  2  = 2 p 2 + 4 = −2 p 2 + 4 2 p = − p2 + 4  p + 4 Entonces, tenemos que 4p Ecuación 7.1-16 L[tsen2t ] = 2 p2 + 4 Y, como

[(

(

)

]

(

)

(

)

233

)

2

L[sen 2t ] =

2 p +4 Se tiene entonces que 2

L[(t + 1) sen2t ] = L[tsen2t + sen2t ] =

(p

4p 2

+4

)

2

+

2 p +4 2

Luego, haciendo algunas simplificaciones aritméticas simples, se llega a 2( p 2 + 2 p + 4) L[(t + 1) sen2t ] = 2 p2 + 4

(

)

Ecuación 7.1-17

7.1.3.6 Integración de la función original (teorema de). Si L[ f (t )] = F ( p) Entonces τ  F ( p) L  ∫ f (τ )dτ  = p 0 

Ecuación 7.1-18

Ecuación 7.1-19

7.1.3.6.1 Ejemplo Determinar la transformada de Laplace t

correspondiente a f (t ) = ∫ senτdτ 0

Como

234

L[sent ] =

1 1+ p2

Entonces t  1 1 1 L  ∫ senτdτ  = = 2 2 0  1 + p p p ( p + 1) Ecuación 7.1-20

7.1.3.6.2 Otro ejemplo Determinamos la representación de t

t

t

0

0

0

f (t ) = ∫ (τ + 1) cos ωτdτ = ∫ τ cos ωτdτ + ∫ cosωτdτ Por el ejemplo 1.1.3.4.2 sabemos que p2 −ω2 L[t cos ωt ] = 2 p2 + ω 2 Y del ejemplo 1.1.3.2.2. p L[cos ωt ] = 2 ω + p2 Y como τ  F ( p) L  ∫ f (τ )dτ  = p 0  Entonces

(

)

235

t  p2 − ω 2 L  ∫ (τ + 1) cos ωτdτ  = 2 2 0  p p +ω

(

=

p − ω + p(ω + p ) 2

2

2

(

p p2 + ω 2

2

)

2

=

)

2

+

p = p(ω + p 2 ) 2

p + p 2 − ω 2 + pω 2 3

(

p p2 + ω2

)

2

Ecuación 7.1-21

7.1.3.7 Integración de la transformada de Laplace (representación). ∞

Si

∫ F ( p)dp

converge, entonces

p ∞

 f (t )  L  = ∫ F ( p)dp  t  p Además, si f (t ) ≡> F ( p ) Y la integral ∞ f (t ) ∫0 t dt , converge ∞

Ecuación 7.1-22

∞

f (t ) ⇒∫ dt = ∫ F ( p)dp Ecuación 7.1-23 t 0 0 Este teorema se utiliza para calcular con facilidad integrales impropias, pues donde la primera integral converge, es posible calcular la segunda recorriendo el semieje positivo.

7.1.3.7.1 Ejemplo

236

Encontrar la transformada de f (t ) e t − 1 = t t Primero determinamos la transformada de e t − 1

(e L[e − 1] = ∫ ∞

t

t

∞

)

− 1 e − pt dt = ∫ e t − pt dt − ∫ e − pt dt = 0

0

e t − pt = 1− p

∞

0

e − pt − −p

∞

0

e −t ( p −1) =− p −1

∞

0

e − pt + p

∞

= 0

 1 1 1 = (0 + 0) −  − +  =  p − 1 p  p( p − 1) Luego, por integración de la representación ∞ ∞  e t − 1 ∞ 1 1 1 L dt = ∫ dp − ∫ dp = =∫ p −1 p  t  p p( p − 1) p p

= ln( p − 1) − ln( p) p

∞

= ln 1 − ln

∞

p −1 p p −1 = ln = ln − ln = p p p p

p −1 p −1 p = 0 − ln = ln p p p −1

Luego  e t − 1 p L  = ln p −1  t 

Ecuación 7.1-24

237

7.1.3.8

Teorema del desplazamiento

Si L[ f (t )] = F ( p) ⇒ ∀p 0 ∈ Complejos , se cumple que L e p0t f (t ) = F ( p − p 0 ) Ecuación 7.1-25

[

(e

p0 t

]

f (t ) se transforma como F ( p − p0 ) .

7.1.3.8.1 Ejemplo A)Hallaremos la transformada de Laplace de la función original f (t ) = e 2t sent . Como ya sabemos que

L[sent ] =

1 p +1

[

]

Ecuación 7.1-26

2

⇒ L e 2t sent =

1

( p − 2)

2

+1

=

1 p − 2p +5 2

B) f (t ) = e t cos(ut ) , AQUÍ TENEMOS p0 = 1 . NUEVAMENTE, DE LOS CÁLCULOS HECHOS EN EJEMPLOS ANTERIORES SABEMOS QUE L[cos(ut )] =

p p + u2 2

238

DE AQUÍ QUE

[

]

L e t cos ut =

p −1

( p − 1)2 + u 2

Ecuación 7.1-27.

7.1.3.8.2 Oscilador amortiguado Si agregamos un amortiguamiento al resorte oscilante, proporcional a la velocidad, la ecuación dinámica se transforma en d 2 x(t ) dx(t ) +b + k ⋅ x(t ) = 0 m 2 dt dt Si la masa parte del reposo en x(0) = x 0 , las condiciones iniciales serán x(0) = x0 x ′(0) = 0 Y la ecuación de la transformada es m p 2 X ( p ) − px0 + b[ pX ( p ) − x0 ] + kX ( p ) = 0 Para obtener mp + b X ( p) = x0 mp 2 + bp + k Si en el denominador hacemos 2 b k  b  k b2    + − p2 + p + =  s +  m m  2m   m 4m 2 

[

]

Para pequeños amortiguamientos b 2 < 4m , al segundo término, positivo, le llamamos ω1 y p+b m X ( p) = x0 2 p+b + ω1 2m

(

)

239

Y x(t ) = x0 tan ϕ =

ω0 2 =

ω 0 −(b 2 m )t (cos ω1t − ϕ ) e ω1

b , 2mω1

k m

7.1.3.9 Teorema del retardo (o sustitución). L[ f (t )] = F ( p ) ⇒ ∀τ > 0

se a cumple

Ecuación 7.1-28

L[ f (t − τ )] = e F ( p ) Este teorema es utilizado para determinar las transformadas de Laplace de funciones que, en distintos intervalos, se prefijan por distintas expresiones analíticas. − pτ

7.1.3.9.1 Ejemplo Determinación de la representación de f (t ) = sen(t − b)η (t − b 1 Para L[sent ⋅ η (t ) ] = 2 , entonces como p +1 L[ f (t − τ )] = e − pτ F ( p) , se tiene que

L[sen(t − b)η (t − b )] = e − pb

1 e − pb = p2 +1 p2 +1

Ecuación 7.1-29

240

7.1.3.9.2 Ejemplo. Funciones dadas con gráficas. (564)Dada la función Hallar la transformada De la figura surge que 0, t < 0  f (t ) = 1, t < 1 0, t > 1 

f(t)

1

0

1

t

Esto da que f (t ) = 1 ⋅ η (t ) − η (t − 1) Y por lo tanto, 1 e− p F ( p) = − p p Reescribiendo se concluye que 1 L[ f (t )] = 1 − e − p Ecuación 7.1-30 p

(

)

7.1.3.9.3 Ejemplo gráficas

241

f (t )

1 t 0

1

2

Intentaremos hallasr la transformada de Laplace de la función f (t ) graficada arriba. A partir de la inspección gráfica, tenemos que 0, t < 0 t , t > 0  f (t ) =  1 − (t − 1),1 < t < 2 0, t ≥ 2 Esto determina que ψ 1 = tη (t )

ψ 2 → t + ψ 2 = 1 − (t − 1) → ψ 2 = 1 − (t − 1) − t = 2 − 2t = 2(1 − t ) ∴ψ 2 = −2(t − 1)η (t − 1) ψ 3 → 1 − (t − 1) + ψ 3 = 0 ⇒ ψ 3 = (t − 1) − 1 = t − 2 ∴ ψ 3 = (t − 2)η (t − 2)) Luego, como

242

ψ 1 = L[tη (t )] =

1 p2

ψ 2 = L[− 2(t − 1)η (t − 1)] = −2 ψ 3 = L[(t − 2)η (t − 2 ))] =

e− p p2

e− p p2

Por lo tanto, 1 e− p e− p F ( p) = 2 − 2 2 + 2 p p p 1 − 2e − p + e −2 p F ( p) = p2

Ecuación 7.1-31

7.1.3.9.4 Funciones generalizadas 7.1.3.9.4.1 Delta de Dirac,

se define mediante  0, sit ≠ 0 1) δ (t ) =   ∞, sit = 0 Además,

Ecuación 7.1-32

β

2)

∫ δ (t ) f (dt ) = f (0)

Ecuación 7.1-33

α

El intervalo abierto, (α , β ) , contiene al punto 0 (t=0). Por otra parte, debe cumplirse que f (t ) → continua en t = 0 Análogamente, se define la función δ (t − τ ) , concentrada en τ . O sea, esta función traslada el origen, desde t = 0 hsta t = τ . 243

La función delta de Dirac, δ (t ) es la derivada de la función η (t ) , definida así  1, parat > 0  0, parat < 0 Luego, se tiene que η ′(t ) = δ (t ) η ′(t − τ ) = δ (t − τ ) Además, vale L[δ (t )] = 1

η (t ) = 

[

Ecuación 7.1-34

Ecuación 7.1-35

]

L δ m (t ) = p m , m ≥ 0, m ∈ Z Ecuación 7.1-36 L[δ (t − τ )] = e − pτ

7.1.3.10 Teorema de multiplicación (Convolución). El producto de transformadas de Laplace es la transformada de Laplace de la integral del producto. También se puede decir así, el producto de representaciones es la representación de la integral del producto, y se simboliza de la siguiente manera t

L[F ( p )Φ ( p )] = ∫ f (τ )ϕ (t − τ )dτ = f (t ) * ϕ (t ) 0

Ecuación 7.1-37

Por supuesto, se verifica la propiedad de que la representación del producto es también una representación, o sea, el producto de dos transforamdas de Laplace es también una transformada de Laplace. Significa, el producto de 244

dos funciones complejas, de variable compleja, es también una función compleja de variable compleja.

7.1.3.11

Convolución reiterada.

Dadas tres funciones f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) , la convolución de las dos primeras se transforma en t

L[F1 ( p) ⋅ F2 ( p )] = ∫ f 2 (τ 1 ) f 1 (t − τ 1 )dτ 1 0

Mientras que, al incluir a la tercera t t −τ 2   L[F1 ( p) ⋅ F2 ( p) ⋅ F3 ( p)] = ∫  ∫ f 2 (τ 1 ) f 1 (t − τ 1 − τ 2 )dτ 1  f 3 (τ 2 )dτ 2 =  0  0 t

= ∫ f 3 (τ 2 )dτ 2 0

t −τ 2

∫f

2

(τ 1 ) f 1 (t − τ 1 − τ 2 )dτ 1

0

Ecuación 7.1-38

Así, por ejemplo, si 1 F ( p) = = L[η (t )] p Entonces se va a poder escribir que t −τ 2 t −τ 2 t  F2 ( p ) ⋅ F3 ( p ) = L  ∫ f 3 (τ 2 )dτ 2 ∫ ∫ f 2 (τ 1 )η (t − τ 1 − τ 2 )dτ 1  p 0 0  0  Esta integración se realiza por el dominio t > τ 1 + τ 2 ∴η (t − τ 1 − τ 2 ) = 1 , de donde F2 ( p) ⋅ F3 ( p) = L ∫∫ f 3 (τ 2 ) f 2 (τ 1 )dτ 1 dτ 2 p τ 1 +τ 2 < t

Este resultado se puede usar para calcular el volumen de una esfera n-dimensional. 245

7.1.3.12 Primer toerema del desarrollo Si 1) F ( p ) es analítica en el entorno del ∞ y es F ( p ) = 0 en dicho entonrno, y 2) el desarrollo de Laurent en el entorno de ∞ es ∞ c F ( p) = ∑ kk k =1 p Entonces ∞ c f (t ) = ∑ k t k −1 k =1 (k − 1)! Es el original de F ( p ) y además converge ∀t . O sea, ∞ c  ∞ c L ∑ k t k −1  = ∑ kk Ecuación 7.1-39  k =1 (k − 1)!  k =1 p Si el segundo miembro tiene límite cero para p →∞.

7.1.3.13 Determinación de la función original a partir de la transformada de Laplace (Transformada inversa) Para determinar la función original f (t ) a partir de la representación conocida F ( p ) se utilizan los siguientes métodos.

246

7.1.3.13.1 Q( p) es una fracción racional, entonces D( p) se descompone en una suma de fracciones simples y se hallas los originales para cada fracción simple, utilizando las propiedades de la transformada.

Si F ( p) =

7.1.3.13.2 Desarrollo en fracciones parciales. Se desarrolla la función F ( p ) como fracciones parciales. Cuando F ( p ) , la transformada, tiene la forma Q( p) , donde Q( p ) y D( p ) son polinomios sin D( p ) factores comunes y Q( p ) es de menor grado que D( p ) , siendo además los factores de D( p ) todos lineales y distintos, entonces es posible escribir las fracciones parciales cn c1 c2 F ( p) = + + ... + Ecuación 7.1-40 p − a1 p − a 2 p − an Con los coeficientes ci independientes de p . En el caso de que cualquier raíz sea multiple, ocurriendo m veces, entonces F ( p ) se escribirá n c1,m c1,m −1 c1,1 ci ... F ( p) = + + + + ∑ m m −1 ( p − a1 ) i =2 p − ai ( p − a1 ) ( p − a1 ) Ecuación 7.1-41

247

Por último, si uno de los factores es cuadrático ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., el numerador ya no es una constante, sino que adquiere la forma ap + d . Ecuación 7.1-42 2 p + bp + c

7.1.3.13.3 Con el segundo teorema del desarrollo, que dice que para desterminadas condiciones en F ( p ) , la función

[

f (t ) = ∑ res F ( p )e p pk

t

]

Ecuación 7.1-43

Sirve de original para F ( p ) y donde la suma de los residuos se toma por todos los puntos singulares p k de la función F ( p ) . En particular, si Q( p) F ( p) = D( p) O sea, F ( p ) es una fracción racional, entonces la función l 1 d nk −1 n f (t ) = ∑ lím F ( p)e pt ( p − p k ) k nk −1 p → p k dp k =1 (n k 1)!

{

}

Ecuación 7.1-44

Es el original y donde p k son los polos de F ( p ) , de multiplicidad nk y la suma se toma sobre todos los polos de F ( p ) . En particular, si todos los polos de F ( p ) son simples, entonces la ecuación 44 se simplifica a

248

l

Q ( p k ) pk t e k =1 D ′( p k )

f (t ) = ∑

7.1.3.14 Transformada de Laplace para funciones periódicas. T

1 F ( p) = e − pt f (t )dt − pT ∫ 1− e 0

7.1.3.15

Ecuación 7.1-45

Propiedad

Si

L[ f (t )] = F ( p) a

⇒ L[t ⋅ η (t − a)] = F ( p) − ∫ f (t )e − pt dt 0

Ecuación 7.1-46

7.1.3.16 Teorema conjunto de semejanza-retardo. Si dada la función original, cuya transformada es conocida, y tenemos otra función original, relacionada con

249

 f (at − b), t > b  a la primera por la forma g (t ) =  b 0, t <  a Ecuación 7.1-47

Entonces esta segunda original tendrá como transformada de Laplace (o sea, su representación según la transformación de Laplace será) b 1 −a p  p  L[g (t )] = e F  Ecuación 7.1-48   a a Escrito esto simbólicamente,  f (at − b), t > b  a Sea L[ f (t )] = F ( p) y g (t ) =  b 0, t <  a b 1 − p ⇒ L[g (t )] = e a F  p  Ecuación 7.1-49  a a Si conocemos la transformada de una función original f (t ) , por ejemplo

L[ f ′(t )] = 1 − 2e − p + e −2 p

Ecuación 7.1-50

Aplicando el teorema de diferenciación de la transformada L[ f ′(t )] = pF ( p) − f (0) Ecuación 7.1-51 Esto significa que es cierto lo siguiente pF ( p) − f (0) = 1 − 2e − p + e −2 p Ecuación 7.1-52 Si la condición inicial f ( 0) = 0 Se tendrá que

250

F ( p) =

1 2e − p e −2 p − + p p P

7.1.3.17

Ecuación 7.1-53

Teorema de Efros.

Dada L[ f (t )] = F ( p) y sean Φ( p ) y q( p ) funciones analíticas tales que Φ( p )e −τq ( p ) = L{ϕ (t ,τ )} Ecuación 7.1-54 Entonces ∞  F [q ( p )]Φ ( p ) = L ∫ f (τ )ϕ (t ,τ )dτ  Ecuación 7.1-55 0 

7.1.3.18 El problema de Cauchy para las EDO lineales con coeficientes constantes. Una utilidad fundamental de la transformada de Laplace es que proporciona un método simple y poderoso para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes, conocido como problema de Cauchy. Dada la ecuación d 2 x(t ) dx(t ) a0 + a1 + a 2 x(t ) = f (t ) Ecuación 7.1-56 2 dt dt Siendo a 0 , a1 , a 2 constantes, y con la condición a0 ≠ 0 , siendo f (t ) una función que verifica las 251

propiedades de una función original (función compleja de variable real, localmente integrable, f (t ) = 0, ∀t < 0 , f (t ) ≤ Me st , t → ∞ ), se busca la solución de la ecuación 1.1-56, que satisface las condiciones iniciales x(0) = x0 Ecuación 7.1-57 x ′(0) = x1 . Suponemos L{x(t )} = X ( p )

L{ f (t )} = F ( p ) Aplicamos a los dos miembros de 1.1-56 la transformada de Laplace y la propiedad de linealidad de la transformación, se obtiene en lugar de ella, la ecuación operatoria a 0 p 2 + a1 p + a 2 X ( p ) − (a 0 px0 + a 0 x1 + a1 x0 ) = F ( p )

(

)

Ecuación 7.1-58

Luego, despejamos para tener X ( p) =

F ( p ) + a 0 px 0 + a 0 x1 + a1 x 0 a 0 p 2 + a1 p + a 2

Ecuación 7.1-59

Esta es la solución operatoria de la ecuación de Cauchy. Hallando X ( p ) estamos hallando x(t ) , que es la solución de la ecuación diferencial 1.1-56 con las condiciones iniciales 1.1-57. Como ejemplo, vamos a resolver la ecuación dx(t ) + x(t ) = e −t , x(0) = 1 dt Tenemos, L{x(t )} = X ( p ) ⇒ x ′(t ) = pX ( p) − x(0) = pX ( p) − 1 Paralelamente, 252

{ }

1 p +1

L e −t = Entonces

pX ( p ) − 1 + X ( p) =

1 1 X ( p)[ p + 1] − 1 = ⇒ p +1 p +1

1 1 + p + 1 ( p + 1)2 Haciendo la transformación inversa de Laplace, F ′( p ) = −tf (t ) Y como 1 = ( p + 1) −1 , p +1 1 = ( p + 2) − 2 2 ( p + 1) Y ′ ( p + 1) −1 = −( p + 2) − 2 Se tiene que ( p + 1) −1 = L e −t ⇒ X ( p) =

(

)

{ }

− ( p + 1) = L{− tf (t )} Entonces 1 1 X ( p) = + = L te −t + e −t = L e −t (t + 1) 2 p + 1 ( p + 1) −2

{

} {

}

Finalmente x(t ) = e −t (t + 1) Esto nos da una idea de que el procedimiento a aplicar para resolver la ecuación diferencial lineal 253

con coeficientes constantes y condiciones iniciales dadas, se resume de la siguiente manera.

Ecuación diferencial (en el espacio de las funciones originales)

Transformada de Laplace

Ecuación operatoria.

Solución de la ecuación diferencial.

Transformada inversa de Laplace

Solución de la ecuación operatoria.

Solución de la ecuación operatoria

254

Bibliografía 1) Funciones de variable compleja. Cálculo operacional. Teoría de la estabilidad.- M.L. Krasnov, A.I. Kiselev, G.I. Makárenko. Editorial MIR Moscú. 2) Ecuaciones diferenciales ordinarias.- M.L. Krasnov. Editorial MIR, Moscú. 3) Métodos matemáticos para físicos. George Arfken. Ed. Diana.

255

256

8 Variedades y matemáticas de la física teórica. Una variedad es un ente geométrico que localmente es parecido a Rn, un cuerpo de números, que puede ser real o no (complejo, racional, entero, natural), y por lo tanto es mapeable, o sea, que se pueden construir mapas locales euclídeos de la superficie (2-variedad), curva (3-variedad), o superficie tridimensional en un espacio tetradimensional, o enedimensional (3-variedad), en general, se puede construir mapas euclídeos locales de cualquier variedad n-dimensional. Como consecuencia, las variedades se construyen a partir de “parches”, que son estos mapas locales, que se “pegan” entre sí topológicamente, o sea, las funciones ndimensionales que definen los mapas de los parches deberán ser diferenciables y solaparse en los límites de cada parche, algo así como que deben cumplir condiciones de frontera para poder solaparse dichas funciones a los efectos de solapar los parches y poder así formar la variedad. Un ejemplo simple de eso sería una pelota de fútbol. Está constituida por parches pentagonales y hexagonales que se solapan, se cosen, para formar una esfera y juntos rellenan toda la superficie pues cumplen las condiciones de frontera. Cada parche presenta una geometría euclídea, donde la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°, para juntos poder formar una superficie

257

esférica, donde la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es mayor que 180°.

8.1 Símbolos de Christoffel Un vector se desplaza paralelamente cuando no se cambia su magnitud ni dirección. Cuando se desplaza paralelamente un vector en coordenadas cartesianas, las componentes de los vectores permanecen sin cambio alguno. En algunos sistemas de coordenadas esto no es así y al mover un vector paralelamente, de un punto a otro, sus componentes cambian. El símbolo de Christoffel se define para facilitar la descripción de los desplazamientos paralelos. Si un vector es paralelamente desplazado sobre un intervalo el cambio en sus componentes está determinado por el símbolo de Christoffel: Ecuación 8.1-1 En forma general, los símbolos de Christoffel se pueden obtener del tensor métrico, de tal forma que Ecuación 8.1-2

donde . La Ecuación 8.1-3 expresa el cambio en las componentes de un vector contravariante al ser desplazado paralelamente. Una expresión similar se puede 258

encontrar para el caso en que el vector sea covariante. Considerando el hecho que el producto interior de dos vectores es un invariante, se puede decir que Ecuación 8.1-4 sustituyendo de la Ecuación 8.1-3 y despejando

se obtiene que Ecuación 8.1-5

Es importante observar que y no son vectores debido a que no es un tensor. En coordenadas cartesianas es igual a cero pero no lo es en coordenadas polares. Un vector que es cero en un sistema de coordenadas no puede ser diferente de cero en otro sistema. El mismo argumento se aplica a los símbolos de Christoffel. En un sistema cartesiano éstos son iguales a cero, pero no lo son en coodenadas polares. [3] Ecuación 8.1-6

8.2 Variables canónicas Los sistemas físicos se pueden modelar mediante funciones que dependen de variables como espacio, tiempo, a las cuales se les puede llamar genéricamente variables canónicas porque, por

259

ejemplo, si tenemos un sistema de coordenadas esféricos, allí las coordenadas que nos permiten medir posiciones espaciales son el radio r, el ángulo cenital θ y el ángulo azimutal ϕ. Estas variables espaciales son tan útiles como lo pueden ser x,y,z en un sistema de ejes cartesianos. Así, en general, a las variables que usamos para ubicar a los cuerpos en el espacio les llamamos variables canónicas y se distinguen por la letra q, con subíndices, debido a que en un espacio de tres dimensiones, por ejemplo, necesitamos tres variables canónicas para determinar cualquier posición, q1 , q 2 , q3 . En un espacio de n dimensiones necesitaremos q1 , q 2 , q3 ,..., q n . No obstante, para las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de los sitemas físicos, no alcanza con estas variables, sino que además se agregan, como variables canónicas, las derivadas temporales de ellas, así q&1 , q& 2 , q& 3 ,..., q& n , y entonces los sistemas se modelan mediante funciones que dependen de q1 , q 2 , q 3 ,..., q n , q&1 , q& 2 , q& 3 ,..., q& n , t . Estas son las variables canónicas.

8.3 Variables de configuración Las variables de configuración son aquellas con respecto a las cuales se puede investigar la evolución de los sistemas físicos & & & & q1 , q 2 , q 3 ,..., q n , q1 , q 2 , q3 ,..., q n , t pueden ser perfectamente variables de configuración. Parte de 260

la comprensión del comportamiento de los sistemas se basa, además, en conocer las condiciones iniciales y son estas variables cuyas condiciones iniciales debemos tener la información para poder determinar el comportamiento del sistema físico durante el proceso y así predecir los valores de las variables y funciones que en él intervienen a lo largo del mismo, en cada punto o estado posible del sistema durante la evolución. En síntesis, las variables de configuración sirven, o más bien son necesarias, para determinar las condiciones iniciales del sistema, o condiciones de frontera y son aquellas variables que determinan la posición del sistema en cada instante, constituyendo el espacio de configuraciones, que es una variedad. No necesariamente una variable canónica tiene que ser una variable de configuración.

8.4 Vínculos Los sistemas físicos suelen describirse, o modelarse, mediante sistemas de ecuaciones (diferenciales). Pero la cantidad de variables, parámetros y funciones desconocidas puede ser, normalmente lo es, superior al número de ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones. Esto llevaría a una inconsistencia, haría que sea insoluble. Pero, como forma de complementar el sistema de ecuaciones, de manera que el número de ecuaciones sea igual al de incógnitas, están los vínculos, que no son otra cosa que ecuaciones (o funciones) que se cumplen a lo largo de los procesos físicos y determinan, por su parte,

261

simetrías de los sistemas, de acuerdo al teorema de Noether. Son estos vínculos que, en la medida que son funciones y se satisfacen durante los procesos, originan la aparición de los multiplicadores de Lagrange, λ , que multiplicados a las funciones determinan la posibilidad de obtener las soluciones de los sistemas, aún cuando ellos mismos no son determinantes de la evolución de los mismos.

8.5 Formulaciones hamiltoniana y lagrangiana de la mecánica. Se trata de formular las ecuaciones que rigen los sistemas mecánicos. El objeto de la mecánica es poder escribir las ecuaciones del movimiento, o sea, las ecuaciones que describen los movimientos de los sistemas físicos. Para ello, es necesario poder conocer las poxiciones, velocidades, aceleraciones de los mismos, en cualquier instante de tiempo. Éstas vienen dadas precisamente, por las funciones x(t ), v(t ), a (t ) , todas ellas expresadas como funciones del tiempo, aunque no necesariamente son funciones sólo del tiempo. Para poder lograr este objetivo es necesario partir de la determinación de estos valores desde determinados marcos o sistemas de referencia. Resulta que las leyes físicas y las leyes del movimiento consecuentemente, no son necesariamente iguales desde cualesquiera sistemas de referencia, pues distintos marcos proporcionan, en general, dferentes medidas de posición y lo mismo para el tiempo, el cual no tiene 262

la misma duración en diferentes sistemas, siendo estos cualesquiera. No obstante, es posible encontrar marcos de referencia donde, al dejar en reposo una partícula librada a sí misma, ésta se mantiene en reposo, a tales sistemas se los denomina inerciales, pues en ellos se verifica el principio de inercia, o sea cualquer partícula libre de cualquier interacción con otras partículas, mantiene su velocidad constante. En el caso más general, la ley del movimiento de cualquier sistema mecánico está determinada por la magnitud L(q, q& , t ) , esta función es el lagrangiano del sistema, y donde las variables q representan coordenadas espaciales en general, q& , las velocidades y t el tiempo. Esta función verifica t2

S = ∫ L(q, q& , t )dt t1

Ecuación 8.5-1

Siendo S la integral de acción. El principio de mínima acción sostiene que esta integral, durante el movimiento del sistema, siempre adopta un valor extremo (máximo o mínimo). Esta condición permite determinar las ecuaciones que permiten hallar las funciones q (t ), q& (t ) que la satisfacen. Supongamos que q (t ) es la función buscada. Esto significa que si sustituimos q (t ) por q(t ) + δq(t ) , donde δq (t ) es una función que se aparta escasamente de q (t ) , se cumplirá que t2

S ' = ∫ L(q + δq, q& + δq& , t )dt t1

263

La condición de que q (t ) verifique que S es un extremo (mínimo), hace que

δq(t1 ) = δq(t 2 ) = 0 Ecuación 8.5-2

Porque todas las funciones q (t ) deben tomar los mismos valores q(t1 ) y q(t 2 ) . Así, entonces, la variación de la integral es t2

t2

t2

t1

t1

t1

δS = S '− S = ∫ L(q + δq, q& + δq& , t )dt − ∫ L(q, q& , t )dt = δ ∫ L(q, q& , t )dt = 0 Diferenciando t2  ∂L ∂L  ∫t  ∂q δq + ∂q& δq& dt = 0 1

d (δq ) dt t2  ∂L ∂L d (δq )  ∫t  ∂q δq + ∂q& dt dt = 0 1

Como δq& =

Ecuación 8.5-3

Recordamos la integración por partes ∫ udv = uv − ∫ vdu En el segundo término tenemos

264

 t 2  ∂L  d (δq )  ∂L d (δq )   ∫t  ∂q& dt dt = t∫  ∂q& 1 1

t2

∂L d ∂L ⇒ du ≡ ∂q& dt ∂q& d (δq ) dv = dt ⇒ v = δq dt

u=

2 2  ∂L d (δq )  ∂L d ∂L d ∂L   dt = δ q − δ q dt = − ∫t  ∂q& dt  ∂q& ∫t dt ∂q& ∫t δq dt ∂q& dt t1 1 1 1

t2

t2

t

t

Pues el primer término se anula por la condición 1.6-2. Finalmente, la ecuación 1.6-3 queda t2  ∂L d ∂L  ∫t  ∂q δq − δq dt ∂q& dt = 0 1 Ecuación 8.5-4

 ∂L d ∂L  ∫t  ∂q − dt ∂q& δqdt = 0 1 Para que esta ecuación se anule para cualquier δq el integrando entre paréntesis debe anularse. Por lo tanto  ∂L d ∂L    = 0 − Ecuación 8.5-5  ∂q dt ∂q&  t2

ecuaciones de Lagrange

Es la ecuación buscada. Cuando se tienen varios grados de libertad, o sea varias variables qi, se obtienen varias ecuaciones de estas, una 265

correspondiente a cada grado de libertad o variable canónica que se tenga. Y son las famosas ecuaciones de Lagrange.

8.5.1 La formulación hamiltoniana 8.5.1.1 Definición de cantidad de movimiento lineal Se define el momento (cantidad de movimiento) lineal con respecto a la coordenada qj de una partícula de lagrangina L mediante pj =

∂L , ∂q& j

j = 1,2,3,..., n

Al n-vector se le llama vector cantidad de movimiento de la partícula.

8.5.1.2 Coordenadas ignoradas o cíclicas Si la lagrangiana L no depende explícitamente de la coordenada qj se dice que qj es ignorada o cíclica.

266

Si una determinada coordenada es cíclica, el momento lineal correspondiente es constante, y, al revés, si el momento es constante, la coordenada correspondiente es cíclica. Coordenada qj cíclica

qj ignorada qj es ignorada o cíclica.

8.5.1.3 Espacio de las fases Se define el espacio de las fases de un sistema de partículas como el espacio cuyos puntos son las 2n componentes es decir, las coordenadas generalizadas y las correspondientes componentes de momento lineal. Espacio fases =

267

Se define el Corchete de Poisson para dos funciones, f1 y f2, en las variables del espacio de las fases, y se representa por { f1 , f 2 } , a la siguiente combinación de derivaciones parciales:

Naturalmente, si una coordenada es ignorada, y como su componente de momento lineal es constante, el espacio fásico tendría dos componentes menos. En el caso de que hubiera m coordenadas ignoradas, las dimensiones del espacio de las fases sería, entonces, 2(n-m).

8.5.1.4 La función hamiltoniana Se define como hamiltoniana de un sistema de partículas de lagrangiana L a la función siguiente:

donde las pj son las correspondientes componentes de momento lineal.

268

8.5.1.5 Significado En un sistema sometido a un campo exterior de potencial V, sabemos que la lagrangiana es de la forma

por tanto, se tiene:

Es decir, la Hamiltoniana de un sistema sometido a un campo exterior constante, no dependiente del tiempo ni de la velocidad, es la energía total del sistema, suma de la energía cinética más la energía potencial. 8.5.1.6 Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos En un sistema holónomo esclerónomo, esto es, en un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo 269

expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas, su lagrangiano, naturalmente, no depende expresamente del tiempo, sino solamente, de sus coordenadas y velocidades generalizadas. Por tanto, al derivar con respecto al tiempo:

La invariancia de la Hamiltoniana se debe, en definitiva, a la uniformidad del tiempo, al hecho de que la lagrangiana no depende explicitamente del tiempo en estos sistemas. Como la Hamiltoniana de un sistema cerrado o sometido a un campo exterior constante es la energía total del sistema, se deduce, con esto, que la energía total de un sistema de este tipo es constante.

8.5.1.7 Las Ecuaciones de Hamilton Haciendo la diferencial del Hamiltoniano:

270

en definitiva, se tiene:

por tanto, al identificar se obtienen un conjunto de ecuaciones que se conocen como Ecuaciones de Hamilton:

(j=1,2,...,n) Si se trata de sistemas conservativos:

(j=1,2,...,n)

271

8.6 Multiplicadores lagrangianos En los problemas de optimización5, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. 5

Encontrar máximos y mínimos.

272

8.7 El método de los multiplicadores de Lagrange Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

lo que es equivalente a

8.8 Corchete de Dirac Cuando el método de los multiplicadores de Lagrange falla, o más bien, cuando existen dependencias lineales con la velocidad y este método no se puede aplicar, Paul Adrien Maurice Dirac generó este método para poder escribir las ecuaciones mecánicas lagrangianas en su forma hamiltoniana. El corchete de Dirac es una generalización del corchete de Poisson, desarrollado por Paul Dirac para tratar correctamente a sistemas con constricciones de segunda clase en Mecánica 273

Hamiltoniana y en Cuantización Canónica. Es una parte importante del desarrollo de Dirac de la Mecánica Hamiltoniana para manejar lagrangianas más generales. Más abstractamente, la 2-forma implícita desde el corchete de Dirac es la constricción de la forma simplética a la superficie ad hoc en el espacio fase. Este artículo supone familiaridad con los formalismos lagrangiano y hamiltoniano estándar y su conexión con la cuantización. Los detalles del formalismo hamiltoniano modificado de Dirac se resumen para colocar el corchete de Dirac en contexto.

8.8.1

Procedimiento Hamiltoniano Estándar

El desarrollo estándar de la Mecánica Hamiltoniana es insuficiente en varias situaciones específicas: 1. Cuando la lagrangiana es lineal en la velocidad de al menos una coordenada; en este caso, la definición del impulso canónico conduce a una constricción. Esta es la razón más frecuente por la cuál recurrir a corchetes de Dirac. Por ejemplo,

274

la lagrangiana (densidad) para cualquier fermión es de esta forma. 2. Cuando hay grados de libertad que deban fijarse. Cuando existen otras constricciones que uno quiera imponer en el espacio fase.

8.8.2

Ejemplo de un lagrangiano lineal en la velocidad

Un ejemplo típico en Mecánica Clásica, es el de la partícula con carga y masa fijo en el plano con un campo magnético intenso homogéneo y constante, apuntando en la dirección con intensidad . Con una selección de parámetros adecuada, el lagrangiano del sistema es:

donde es el potencial vectorial para el campo magnético ; es la velocidad de la luz en el vacío y es un potencial escalar externo arbitrario. Utilizamos

275

como nuestro potencial vectorial. Aquí, el sombrero indican vectores unitarios. Explícitamente, el lagrangiano se convierte en

que conduce a las ecuaciones de movimiento

Ahora, considere el límite correspondiente a un campo magnético muy grande. En este caso, se puede colocar el término masivo para encontrar una lagrangiana aproximada

y ecuaciones de movimiento de primer orden

276

Observe, que esta lagrangiana aproximada es lineal en las velocidades, que es una de las condiciones bajo las cuales se rompe el procedimiento estándar hamiltoniano. Si bien este ejemplo se ha motivado como una aproximación, la lagrangiana bajo consideración, es perfectamente admisible y conduce a ecuaciones de movimiento consistentes en el formalismo de Lagrange. Siguiendo el procedimiento hamiltoniano, el momento canónico asociado con las coordenadas

son inusuales, ya que no son invertibles a las velocidades. Una transformación de Legendre produce la hamiltoniana

Tenga en cuenta que esta hamiltoniana "principal" no depende de los momentos, lo que significa que las ecuaciones de movimiento de Hamilton son incompatibles; el procedimiento hamiltoniano ha fallado. A veces, se podría intentar solucionar el problema al expresar las coordenadas como momentos y a veces como coordenadas; sin 277

embargo, esta no es una solución general y rigurosa. Esta última observación obtiene el meollo del asunto: que la definición de los momentos canónicos implica una constricción sobre el espacio fase (entre momentos y coordenadas) nunca tomada en cuenta anteriormente.

8.8.3

Procedimiento Hamiltoniano Generalizado

En mecánica lagrangiana, si el sistema tiene constricciones holonómicas, entonces generalmente se agregan multiplicadores de Lagrange a la lagrangiana para tomarlas en cuenta. Los términos adicionales, desaparecen cuando se cumplen las constricciones, obligando así, a la trayectoria de acción estacionaria, a permanecer en la superficie de constricción. En este caso, acudiendo al formalismo hamiltoniano se introduce una constricción sobre el espacio fase en la mecánica hamiltoniana, pero la solución es similar. Antes de continuar, es útil entender las nociones de igualdad débil e igualdad fuerte. Dos funciones en el espacio fase y , son iguales débilmente ---lo que se denota como ---, si ellas son idénticas hasta que se cumplan las ecuaciones de movimiento, lo también denotado como on shell.

278

Si y son iguales on shell, entonces , y se dice que son fuertemente iguales. Es importante tener en cuenta, que para obtener la solución correcta, ninguna ecuación débil puede utilizarse antes de evaluar derivadas o corchetes de Poisson. El nuevo procedimiento funciona como sigue, al iniciar con una lagrangiana y definir los momentos canónicos de la forma habitual. Algunas de esas definiciones pueden ser no invertibles y dar en su lugar a constricciones en el espacio fase (como arriba). Las constricciones derivadas de esta manera o impuestas desde el inicio del problema se denominan constricciones primarias. Las constricciones, con la etiqueta , deben anularse débilmente,

.

A continuación, se encuentra la hamiltoniana principal , de la forma habitual a través de una transformación de Legendre, exactamente como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que la hamiltoniana siempre puede escribirse como una función de 's y de 's, aunque las velocidades no puedan ser invertidas en función de los momentos.

279

8.9 Transformadas de Legendre Se utiliza las transformadas de Legendre para pasar de la formulación lagrangiana de la mecánica a su correspondiente formulación hamiltoniana. También se utilizan para el desarrrollo de nuevas funciones en Termodinámica.

8.9.1 Definición Se dice que una función g es transformada de Legende de una función f si sus derivadas son la inversa la una de otra. Nótese que para dicha definición no es necesario nombrar sus variables, pero llamemos x a la variable de la primera función e y a la variable de la segunda. Forzando la condición6

6 En matemáticas se dice que dos funciones diferenciables f y g son una transformada de Legendre si cada una de sus primeras derivadas son función inversa de la otra:

Se dice entonces de f y g que están relacionadas por una transformada de Legendre. Son unívocas hasta una constante aditiva que normalmente se fija mediante el requisito adicional de que La transformada de Legendre es su propia inversa, y está relacionada a la integración por partes. Dicha transformada se puede generalizar a la transformada de Legendre-Fenchel. Una transformada de Legendre da como resultado una nueva función, en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de la función original respecto a esa variable. Reciben su

280

g queda determinada y es llamada la transformada de Legendre de la función f.

Veamos cómo podemos escribir explícitamente la forma de g. Derivando con respecto a x en la condición impuesta

vemos que la variable de la nueva función es la función derivada de la función original. Suponiendo aplicable el teorema de la función inversa podemos obtener su inversa

y despejando g de la primera ecuación podemos escribir esta por medio de la función f que se conocía ya y x(y), que sabemos como obtener

nombre debido a Adrien-Marie Legendre. Adrien-Marie Legendre; París, 18 de septiembre de 1752 Auteuil, Francia, 10 de enero de 1833)

281

Si f ( x) + g ( y ) = xy y df =y dx Tenemos df df f ( x) + g ( ) = x dx dx Según el teorema de la función inversa df ( x) dy[ f (x )]  df ( x)  = y⇒ =  dx dx  dx 

g ( y) = x

−1

⇔

dy dx 1 = = dx df df dx

df − f [x( y )] = x( y ) y − f [x( y )] dx

8.10 Teorema de la función implícita En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás. Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F

282

(x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x). Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de

8.10.1

entre las variables x e y:

Ejemplos

La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita . Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no existirá una función similar en un entorno del punto B. Antes de enunciar el teorema, considere la función

que definiremos:

La función admite como preimágenes todos los

vectores

ecuación

que

resuelven

la

. Por esto, no es 283

posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero sí en un entorno de

.

factible ).

(El

único

vector

en la preimagen es

Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:

Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:

8.10.2

Enunciado general El enunciado general es como sigue: Teorema (de la Función Implícita)

284

Sean una continuamente diferenciable y cualquier Considere

vector

función

tal que . y defina la matriz

jacobiana y sobre esta considere que la submatriz que define existen

los

es invertible. abiertos

Entonces y

con y tales que para cada existe un único tal que y lo que define una función que es continua y diferenciable y que además satisface

además

donde

.

La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo.

285

8.11 Fibrado En topología, un fibrado (o haz fibrado) es una función continua exhaustiva π, de un espacio topológico E a otro espacio topológico B, satisfaciendo otra condición que lo hace de una forma particularmente simple localmente. Introduciendo otro espacio topológico F, utilizamos la función de proyección de B x F → B como modelo. Por ejemplo en el caso de un fibrado vectorial, F es un espacio vectorial.

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. La base canónica (o base natural, o base estándar) n

deℜ

;

286

e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. n

- Son sistema generador de ℜ porque todo vector n

(a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1) Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemostener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.conjunto de vectoresde dicho espacio.

8.12 Los grupos de Lie En matemática, un grupo de Lie (nombrado así por Sophus Lie) es una variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones de grupo (multiplicación e inversión) son funcionesdiferenciables o analíticas, según el caso.

287

Los grupos de Lie son importantes en análisis matemático, física y geometría porque sirven para describir la simetría de estructuras analíticas. Fueron introducidos porSophus Lie en 1870 para estudiar simetrías de ecuaciones diferenciales.

El álgebra de Lie es anticonmutativa y obedece a la identidad de Jacobi (las conmutaciones de 3 elementos tomados 1 contra 2 y sumadas cíclicamente las tres, da cero. Las teorías de Yang-Mills son la versión no lineal de las ecuaciones de Maxwell, entendiendo por “no lineal” que las excitaciones del campo tipo partícula pueden interaccionar entre sí (algo imposible en el electromagnetismo). Para especificar una teoría de Yang-Mills se necesita especificar una conexión en un fibrado y una métrica en su espacio base (el espaciotiempo). El grupo de estructura del fibrado representa las simetrías “internas” del campo, es decir, las transformaciones geométricas que se pueden aplicar a las componentes del campo sin que cambie la física descrita por dicho campo. Se llama “internas” a estas simetrías porque no afectan a los puntos del espaciotiempo (como las transformaciones de Lorentz y Poincaré). A estas transformaciones geométricas “internas” se les llama transformaciones gauge y a las teorías de

288

Yang-Mills también se les llama teorías de campo gauge.

289

1.1 Sistemas de ecuaciones con métodos numéricos. 290 1.1.1 Chua....................................................... 290 1.1.2 Otro sistema cualquiera.......................... 292 1.1.3 Ecuaciones de Rossler ........................... 293 1.1.4 Doble pozo............................................. 295 1.1.5 Ecuación no lineal.................................. 299 1.1.6 Bajada en esquíes por los mogotes. ....... 301 1.1.7 Centros................................................... 304 1.1.8 Espirales................................................. 305 1.1.9 Intentando una función más compleja ... 306 1.1.10 Oscilación de un péndulo....................... 310 1.1.11 Oscilaciones amortiguadas forzadas ...... 312 1.1.12 Poincaré-Bendixon................................. 313 1.1.13 Tiro parabólico....................................... 316 1.1.14 Tres cuerpos........................................... 317 1.1.15 Atractor de Van der Pol ......................... 319

9 Sistemas de ecuaciones con métodos numéricos. 9.1.1 Chua function varargout=chua(~,y,str) k=10; R=10; b=1.5; a=2.25; L=0.10; deriv=zeros(4,1); M=eye(2); switch str

290

case'' fac1= k*y(2)-y(1)-(-b*y(1)-0.5*(ab)*(abs(y(1)+1)*abs(y(1)-1))); fac2= y(1) - y(2) + y(3); fac3= -(R*y(1) + L*y(3)); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; deriv(3)=fac3; varargout{1}=deriv; case 'mass' varargout(1)=M; end t0=0;tf=500;npoints=5000000; y0=[-0.5,0.5,0.1,0.1]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.0000001,'AbsTol', 0.0000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('chua',tspan,y0,options); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo %subplot(2,2,1) plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))

291

9.1.2 Otro sistema cualquiera function deriv=boludez1(t,y) fac=-exp(-3)*y(1)^2; deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac*y(1); deriv(2)=fac*y(2); deriv(3)=y(1); deriv(4)=y(2); t0=0;tf=12; y0=[10*cos(pi/4) 1 0 0];

292

[t,Y]=ode23('boludez1', [t0,tf], y0); plot(t,Y(:,2)) %dibujo

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

2

4

6

8

10

12

9.1.3 Ecuaciones de Rossler function varargout=ECSROSSLER(~,y,str) a=0.2; b=5.7; deriv=zeros(4,1); M=eye(2); switch str case'' fac1=-y(2)-y(3); fac2= y(1) + a*y(2); fac3= a + y(1)*y(3) - b*y(3); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; deriv(3)=fac3; varargout{1}=deriv; case 'mass'

293

varargout(1)=M; end

t0=-10;tf=100;npoints=10000; y0=[-0.5,2,0,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('ECSROSSLER',tspan,y0,option s); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))

294

9.1.4 Doble pozo function varargout=doblepozo(t,y,str) w=1; f=250; b=0.2; deriv=zeros(4,1); M=eye(3); switch str case'' fac1=y(2); fac2=y(3); fac3=-b*y(1)+ y(1) - y(1)^3 + f*cos(w*t); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; deriv(3)=fac3; varargout{1}=deriv; case 'mass' varargout(1)=M; end t0=0;tf=250;npoints=10000; y0=[0.02,0.03,0.02,0.01000000]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('doblepozo',tspan,y0,options ); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo subplot(2,2,1) hold on

295

plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'r') subplot(2,2,2) hold on plot(Y(:,1),Y(:,2),'k') hold on subplot(2,2,3) plot3(Y(:,1),Y(:,2),t,'r') hold on subplot(2,2,4) plot(Y(:,3),Y(:,4),'r') 5

20

5

x 10

20

15

15

10

10

5

5

0

x 10

0

-5 -4000

-2000

0

2000

-5 -4000

-2000

0

0

5

2000

1.5 2

1 0.5

1

0 0 2 6

x 10

-0.5 5000

0

0 -2 -5000

-1 -5

10 8

x 10

Con esta segunda opción de integración, t0=0;tf=1.6;npoints=1000; y0=[1,1,1,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto

296

options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('doblepozo',tspan,y0,options) ; %dibujo hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-r') %hold off t0=1.6;tf=3.2;npoints=1000; y0=[0.00000154600082,0.02300643632612,5.87885 066020598,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('doblepozo',tspan,y0,options) ; %dibujo hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-r') t0=3.2;tf=4.8;npoints=1000; y0=[0.28181426565145,2.79850705635921,3.49042 734714614,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', '');

297

%llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('doblepozo',tspan,y0,options) ; %dibujo hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-r') t0=4.9;tf=5.9;npoints=1000; y0=[-0.02208650856573,-0.28839430300900,0.09931492000702,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('doblepozo',tspan,y0,options) ; %dibujo hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-r')

Se obtiene la siguiente gráfica

298

6

2.5

x 10

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1 -5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

9.1.5 Ecuación no lineal function varargout=ecnolineal2(t,y,str) deriv=zeros(4,1); M=eye(4); fac1=-3*y(1)+4*y(2)+(sin(y(1)))^3y(2)^2; fac2= 2*y(1)+sin(y(2))+exp(y(2))*y(1)^2; deriv(1)=fac1; deriv(2)= fac2; varargout{1}=deriv;

t0=0;tf=100;npoints=2000; y0=[0.5,0.5,0.0,0.0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto

299

options=odeset('RelTol', 1e-10,'AbsTol', 1e10,'stats','');%,'InitialStep',0.2,'MaxSt ep',1e-15); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('ecnolineal2',tspan,y0,option s); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo %subplot(2,2,1) %hold on %plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,4),'-k') %subplot(2,2,2) %plot(t,Y(:,1),'-b') %subplot(2,2,3) hold on plot(Y(:,1),Y(:,2),'.b'), (xlabel('X')), (ylabel('Y')), title('trayectoria') %subplot(2,2,4) %plot(Y(:,1),V,'-r') trayectoria 0.6

0.5

0.4

Y

0.3

0.2

0.1

0

-0.1 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X

300

9.1.6 Bajada en esquíes por los mogotes. function varargout=esq6(~,y,~) a=0.25; b=0.5; p=2*pi/10; q=pi/2; g=9.8; c=0.2; deriv=zeros(4,1); %M=eye(4); fac1=-a+p*b*sin(p*y(1))*cos(q*y(2)); fac2= q*b*cos(p*y(1))*sin(q*y(2)); fac3= (g+p^2*b*cos(p*y(1))*cos(q*y(2))*y(3)^2 + 2*(p*q*b*sin(p*y(1)))*sin(q*y(2))*y(3)*y(4)+ q^2*b*cos(p*y(1))*cos(q*y(2))*y(4)^2)/(1 + (-a + p*b*sin(p*y(1))*cos(q*y(2)))^2 + (q*b*cos(p*y(1))*sin(q*y(2)))^2); deriv(3)=-fac3*fac1-c*y(3); deriv(4)= - fac3*fac2-c*y(4); deriv(1)= y(3); deriv(2)= y(4); varargout{1}=deriv; t0=-10;tf=10;npoints=1000; y0=[2,2.1,0.5,0.4]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica

301

[t,Y]=ode15s('esq6',tspan,y0,options); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo subplot(2,2,1) plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3)) subplot(2,2,2) plot(Y(:,1),Y(:,2)) subplot(2,2,3) plot(Y(:,1),Y(:,3)) subplot(2,2,4) plot(Y(:,2),Y(:,3))

t0=0;tf=8;npoints=10; y0=[-0.1,0.3,1.0,0.2]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=(t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf); %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 1e-5,'AbsTol', 1e-5, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica

302

[t,Y]=ode45('esq6',tspan,y0,options); %dibujo de la posicion del movil en funcion del tiempo %subplot(2,2,1) hold on %plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-k') %subplot(2,2,2) %plot(t,Y(:,1),'-b') %subplot(2,2,3) %hold on plot(Y(:,2),Y(:,1),'-g'), (xlabel('y')); (ylabel('x')); title('trayectoria esqui') %subplot(2,2,4) %plot(Y(:,3),Y(:,4),'-r')

Variando c de 0.2 a 10 cm, estas son las trayectorias obtenidas.

303

9.1.7 Centros function deriv=ejemplocentros(t,y) fac1=-y(2); fac2=y(1); deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; %deriv(3)=y(1); %deriv(4)=y(2); t0=-pi;tf=pi;npoints=10000; y0=[1, -1, 0, 0]; [t,Y]=ode23('ejemplocentros', [t0,tf], y0); plot(Y(:,1),Y(:,2)) %dibujo de la altura en funcion del tiempo

304

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

9.1.8 Espirales function deriv=espirales(~,y) a=0.25; fac1=a*y(1)-y(2); fac2=y(1)+a*y(2); deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; t0=0;tf=4*pi;npoints=1000; y0=[0.1,0.1, 0, 0]; tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); [t,Y]=ode23('espirales', [t0,tf], y0); plot(Y(:,1),Y(:,2))

305

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

9.1.9 Intentando una función más compleja function varargout=intJulia(t,y,str) a=1; b=sqrt(6); deriv=zeros(4,1); M=eye(3); switch str case'' fac1= sinh(y(1)); fac2= cosh(y(2)); fac3=a+i*b; fac4= (fac1 + fac2)^2 - fac3; deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; deriv(3)=fac4; varargout{1}=deriv;

306

case 'mass' varargout(1)=M; end t0=0;tf=10000;npoints=10000000; y0=[-0.5,0.2,0.1,0.1]; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.0000001,'AbsTol', 0.0000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('intJulia',tspan,y0,options) ; %dibujo subplot(2,2,1) plot3(t,Y(:,1),Y(:,2),'-r') subplot(2,2,2) plot(t,Y(:,2)) subplot(2,2,3) plot(Y(:,1),Y(:,2)) subplot(2,2,4) plot(Y(:,3),Y(:,1))

307

10 10

8 6

5

4 0 0

2

-2 -4

1

2 0

0

0

0.5

1

1.5

-5 -5000

0

5000

10000

10

0

8

-1

6

-2

4

-3

2

-4

0 -6

-4

-2

0

Otro intento. function varargout=Julia(t,y,str) deriv=zeros(4,1); M=eye(2); for j=1:100; a=0.01*j; % for l=1:10; % y(3)=0.3*l; % switch str % case'' %fac1=a*y(1)*y(2); fac1= (y(1)*exp(1i*a))^2+y(2); %fac3= y(1)*y(2) b*y(3); deriv(1)=fac1; %deriv(2)=fac2; %deriv(3)=fac3; varargout{1}=deriv; % case 'mass'

308

%

%varargout(1)=M; %end end

%l=1; end t0=-5;tf=10000;npoints=1e6; y0=[sqrt(1.5),sqrt(1.22),sqrt(2),0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 0.000001,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('Julia',tspan,y0,options); hold on %subplot(2,2,1) %plot3(imag(Y(:,2)),real(Y(:,2)),real(Y(: ,1))) %subplot(2,2,2) %plot(real(Y(:,2)),imag(Y(:,2)),'.r'),tit le('l1=1,l2=-1,Julia imag y real') subplot(2,2,3) plot(real(Y(:,1)),imag(Y(:,1))) subplot(2,2,4) plot(imag(Y(:,1)),real(Y(:,1)),'-b'), title('Julia')

309

Julia 0.8

1.6

0.6

1.4

0.4

1.2

0.2

1

0 0.8

9.1.10

1

1.2

1.4

1.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Oscilación de un péndulo

function varargout=oscpendulo(t,y,str) a=1; b=100; deriv=zeros(4,1); M=eye(4); fac1=y(2); fac2= -a*y(2)-b*sin(y(1)); deriv(1)=fac1; deriv(2)= fac2; varargout{1}=deriv; t0=0;tf=100;npoints=2000; y0=[5.5,5.5,0.0,0.0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto

310

options=odeset('RelTol', 1e-10,'AbsTol', 1e10,'stats','')%,'InitialStep',0.002,'MaxS tep',1e-5); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('oscpendulo',tspan,y0,options ); %dibujo de la altura del movil en funcion del tiempo %subplot(2,2,1) %hold on %plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,4),'-k') %subplot(2,2,2) %plot(t,Y(:,1),'-b') %subplot(2,2,3) hold on plot(Y(:,1),Y(:,2),'-r'), (xlabel('X')), (ylabel('Y')), title('oscilacion pendulo') %subplot(2,2,4) %plot(Y(:,1),V,'-r') oscilacion pendulo 10 8 6 4

Y

2 0 -2 -4 -6 -8 5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

X

311

9.1.11 Oscilaciones amortiguadas forzadas function varargout=oscamorfor(t,y,str) a=1.00; b=pi/3; m=1; f=1; c=pi/2; deriv=zeros(4,1); M=eye(4); fac1=y(2); fac2= -2*a*y(2)b^2*y(1)+(f/m)*cos(c*t); deriv(1)=fac1; deriv(2)= fac2; varargout{1}=deriv; %oscilacion armonica amortiguada forzada t0=0;tf=100;npoints=2000; y0=[0.5,0.5,0.0,0.0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 1e-10,'AbsTol', 1e10,'stats','');%,'InitialStep',0.002,'Max Step',1e-5); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('oscamorfor',tspan,y0,options ); %dibujo de la oscilacion subplot(2,2,1) hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),t,'-m') subplot(2,2,2)

312

plot(t,Y(:,1),'-b') subplot(2,2,3) hold on plot(Y(:,2),Y(:,1),'-m'), (xlabel('v')), (ylabel('x')), title('oscilacion pendulo') subplot(2,2,4) plot(Y(:,2),t,'-r')

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

-1 -0.5

0

0.5

1

-0.5

0

50

100

oscilacion pendulo 1

100

0.5 x

50 0

-0.5 -1

-0.5

0

0.5

0 -1

-0.5

0

0.5

v

9.1.12

Poincaré-Bendixon

function deriv=Poincare_Bendixon(t,y) fac1=-y(2)+y(1)*(1-(y(1).^2)+(y(2).^2)); fac2=y(1)+y(2)*(1-(y(1).^2)-(y(2).^2)); deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; t0=-100;tf=100;npoints=100000; y0=[0.1,0.4, 0, 0]; tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf];

313

options=odeset('RelTol', 1e-6,'AbsTol', 0.000001, 'Stats', ''); [t,Y]=ode23('Poincare_Bendixon', [t0,tf], y0); %subplot(2,2,1) hold on plot((Y(:,2)),(Y(:,1)),'-k')

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2 -1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Solución Poincaré-Bendixon t0=1; c=-1; k=1; if -1==c for j=1:1000; t=0.01*j*((-1).^j); f(k,1)=cos(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); f(k,2)=sin(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); k=k+1;

314

end c=c+1; plot(f(:,2),f(:,1),'.b') end if c==0 for j=1:1000; t=0.01*j*((-1).^j); f(k,1)=cos(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); f(k,2)=sin(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); k=k+1; end c=c+1; hold on plot(f(:,2),f(:,1),'.b') end if c==1 for j=1:1000; t=0.01*j*((-1).^j); f(k,1)=cos(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); f(k,2)=sin(t+t0)/(1+c*exp(-2*t)).^(1/2); k=k+1; end c=c+1; hold on plot(f(:,2),f(:,1),'.b') end

315

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

9.1.13

-1

0

1

2

3

4

5

Tiro parabólico

function deriv=tiropar(t,y) fac=-(0.001/1.0)*sqrt(y(1)^2+y(2)^2); deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac*y(1); deriv(2)=fac*y(2)-9.8; deriv(3)=y(1); deriv(4)=y(2); t0=0;tf=12.26;npoints=2000; y0=[100*cos(pi/4) 100*sin(pi/4) 0 0]; tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; options=odeset('RelTol', 1e-10,'AbsTol', 1e-10,'stats',''); [t,Y]=ode23('tiropar', tspan, y0,options); plot(t,Y(:,4)) %dibujo de la altura en funcion del tiempo

316

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

0

9.1.14

2

4

6

8

10

12

14

Tres cuerpos

function varargout=trescuerposB(t,y,str) deriv=zeros(5,1); M=eye(5); switch str case '' fac1=(y(1)^2+y(2)^2+y(3)^2)^0.5; fac2=(2*(-0.5*3^(4/3))+1/fac10.5*(y(4)^2+y(5)^2)+3*(y(1)^2)*0.5+(y(3)^ (2))/2)^(1/2); deriv(1)=2*y(5)-y(1)*(fac1^(-3)-3); deriv(2)=-2*y(4)-y(2)*fac1^(-3); deriv(3)= -y(3)*(1+fac1^(-3)); deriv(4)=y(4); deriv(5)=fac2; varargout{1}=deriv; case 'Mass' varargout(1)=M;

317

end t0=0;tf=0.69;npoints=1990; y0=[-3^-(1/3),0.0,0,0.05,0.05]'; tspan=[t0:(tf-t0)/npoints:tf]; options=odeset('RelTol', 1e6,'AbsTol',1e-6, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode45('trescuerposB',tspan,y0,optio ns); subplot(2,2,1) hold on plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-k') hold on subplot(2,2,2) plot(Y(:,4),Y(:,1),'-b'),title('diagrama de fase') subplot(2,2,3) hold on plot(Y(:,4),Y(:,1),'-r'), (xlabel('y')), (ylabel('x')), title('trayectoria satelite') subplot(2,2,4) plot(Y(:,2),Y(:,5),'-r'),title('diagrama de velocidades') diagrama de fase 0

0

-500

-0.5

-1000 -2

-1.5

-1

-0.5

0

-1 0.04

0.06

0.08

0.1

6

x 10 6

x

0

x 10

trayectoria satelite

diagrama de velocidades 0.25

-0.5

0.2

-1

0.15

-1.5 -2

0.1

0

200

400

600

0.05 -0.1

-0.05

0

y

318

9.1.15

Atractor de Van der Pol

function varargout=VanderPol(~,y,str) E=10; deriv=zeros(4,1); M=eye(3); switch str case'' deriv(1)=y(2); deriv(2)=-E*(y(1)^2-1)*y(2)-y(1); varargout{1}=deriv; case 'mass' varargout(1)=M; end t0=0;tf=800.0;npoints=8000; y0=[0.3,0.1,0,0]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 1e-10,'AbsTol', 1e-10, 'Stats', '');%,'InitialStep',0.0139,'MaxStep',1e14); %llamada a la funcion de integracion numerica [t,Y]=ode15s('VanderPol',tspan,y0,options ); %dibujo hold on plot(Y(:,1),Y(:,2),'-m') %hold off

319

1 ELEMENTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS. .................................................... 12 1.1 ALGO SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE ........................................................... 12 1.2 REGLAS SOBRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS14 1.2.1 Reglas sobre propagación de incertidumbre...... 16 1.3

RECTANGULOS DE ERROR ........................... 19

1.4 POTENCIAS DE DIEZ (NOTACION CIENTIFICA)..................................................................... 19 1.5

OPERACIONES CON POTENCIAS DE DIEZ22

1.6

TEOREMA DE PITÁGORAS............................ 25

1.7

Trigonometría; seno, coseno, tangente ............... 26

320

1.7.1 1.8

El círculo trigonométrico................................... 29 Teorema del coseno .............................................. 31

1.9 Teorema del seno.................................................. 33 1.9.1 Demostración .................................................... 34 1.10

Ecuación de la elipse ............................................ 37

1.11 APÉNDICE 0.- BREVES NOCIONES SOBRE CÁLCULO. ......................................................................... 40 1.11.1 Derivación .................................................... 40 1.11.2 INTEGRALES ............................................. 43 1.11.3 TÉCNICAS................................................... 45 1.12

DERIVADA DEL SENO ..................................... 46

1.13

LA DERIVADA DEL COSENO......................... 48

1.14

DERIVADA DE LA TANGENTE...................... 49

1.15

Identidades Trigonométricas ............................. 50

1.16 Solución de la ecuación diferencial de 2º orden y demostración de 8 identidades trigonométricas............... 53 1.17

APÉNDICE –1.- ELEMENTOS DE TENSORES 61 1.17.1 TENSORES DE SEGUNDO RANGO......... 67 1.17.2 PROPIEDADES DE LOS TENSORES ....... 72 1.17.3 Producto directo............................................ 73

1.18 Volviendo a insistir con los tensores, covariante, contravariante, antisimétrico, simétrico. Componentes independientes. ................................................................... 73

321

1.19 DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES MÉTRICOS EN UN CAMPO GRAVITATORIO CENTRAL .......................................................................... 81

2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS............................................... 83 2.1.1 Razón de cambio ............................................... 83 2.1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias................... 86 2.1.3 Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales..................................................................... 91 2.1.4 Problemas propuestos........................................ 92 2.1.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden ......... 92 2.1.6 Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables. ........................................................ 93 2.1.7 Problemas propuestos –..................................... 96 2.1.8 Ecuaciones diferenciales homogéneas............... 97 2.1.9 Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas ............................................... 98 2.1.10 Problemas propuestos – .............................. 103 2.1.11 Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior ...................................... 104 2.1.12 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.................................. 108 2.1.13 Oscilador Armónico simple........................ 110

3

ECUACIONES DIFERENCIALES(2). . 115

3.1 Definiciones......................................................... 115 3.1.1 Expresión diferencial....................................... 115 3.1.2 Ecuación diferencial ........................................ 115 3.1.3 Las incógnitas.................................................. 116 3.1.4 Orden de la ecuación diferencial ..................... 116 3.2 Principal clasificación de ecuaciones diferenciales según el tipo de derivadas. ............................................... 116 3.2.1 Método de separación de variables.................. 117

322

3.2.2 Método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes de 2do grado y 2do miembro nulo....................................................... 119 3.2.3 Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo.......................... 122 3.3 Método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden a coeficientes constantes completas homogéneas o de 2do miembro no nulo. .......................... 125 3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2X2......................... 130 3.4.1 EL PENDULO ................................................ 130 3.4.2 SOLUCIONES DEL SISTEMA ..................... 134 ................................ 137 3.4.3 SISTEMAS CON COEFICIENTES CONSTANTES ............................................................. 137 3.4.4 RAICES REALES DISTINTAS ..................... 139 3.4.5 RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS ....... 140 3.4.6 RAICES DOBLES .......................................... 143 3.5 DEFINICION DE PUNTO CRITICO ............. 147 3.5.1 EJEMPLO DE NODOS .................................. 148 3.5.2 EJEMPLO DE CENTROS .............................. 152 3.5.3 EJEMPLO DE ESPIRALES ........................... 155 3.5.4 EJEMPLO DE PUNTOS DE SILLA .............. 158

4

ESTABILIDAD Y PUNTOS CRÍTICOS 159

4.1

DEFINICION Y RESULTADOS PRINCIPALES 159 4.1.1 NODOS: ESTABLES, INESTABLES............ 163 4.1.2 SILLAS: INESTABLES ................................. 166

323

5

SERIES ............................................... 170 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5

6

PRUEBAS DE CONVERGENCIA ................ 172 Series alternantes............................................. 173 Series de funciones.......................................... 175 Desarrollo de Taylor........................................ 177 Serie de Maclaurin........................................... 178

MAGNITUDES .................................... 179 6.1.1

MAGNITUD ................................................... 180

EXISTE UNA SEGUNDA CLASIFICACIÓN DE VECTORES.......................................... 185 6.2 APÉNDICE- LA IMPORTANCIA DEL CALCULO VECTORIAL. .............................................. 187

AQUÍ VAMOS A VER LAS TRES FORMAS DE ENCARAR EL TRABAJO CON.......... 188 6.2.1

SUMAS Y RESTAS DE VECTORES............ 189

EN LAS FIGURAS, TENEMOS AL VECTOR QUE REPRESENTA UN DESPLAZAMIENTO DE 60 METROS, DIBUJADO DE 3,0 CENTÍMETROS, LUEGO EL VECTOR B, QUE REPRESENTA 80 METROS, MIDE ......................................... 191 MIENTRAS QUE EL VECTOR R, CUYA MEDIDA ES 4,7 CM................................... 192 SI AHORA OBSERVAMOS LOS VECTORES ................................................................... 193

324

ELEVANDO AL CUADRADO LAS IGUALDADES (2) Y (3), ENCONTRAMOS194 SI AHORA SUMAMOS LAS RELACIONES (4) Y (5), OBTENEMOS ............................. 194 S2.COS2χ + S2.SEN2χ = A2 + B2.COS2α + B2.SEN2α + 2.A.B.COSα α ........................... 194 S2(COS2χ + SEN2χ) = A2 + B2(COS2α + α ............................... 195 SEN2α) + 2.A.B.COSα HACIENDO USO DE LA EXPRESIÓN (1), NOTAMOS QUE NOS QUEDA.................. 195 PARA DETERMINAR LA RESTA PODEMOS HACER USO DEL MISMO TRIÁNGULO, O FORMAR EL DEL DIBUJO 5. AHORA, APLICANDO NUEVAMENTE EL TEOREMA DEL COSENO, HALLAMOS... 196 tgχ =

Bsenα B cos α − A

(10)

A . 196

EN TANTO QUE, PARA LA RESTA ......... 197 LUEGO, LA SUMA NOS RESULTA EN... 199

325

EL NUEVO VECTOR SUMA, TIENE COMPONENTES DETERMINADAS POR (15) Y (16) ......................................................... 199 EL MÓDULO DE S SE HALLA, UTILIZANDO PITÁGORAS .............................................. 199 α)2 + (B.SENα α)2............... 199 S2 = (A + B.COSα NUEVAMENTE, EL ÁNGULO ENTRE S‚ Y EL EJE X LO DETERMINAMOS MEDIANTE LA FÓRMULA (10). ................................... 200 PARA EL CASO DE LA RESTA, EL RESULTADO ES SIMILAR A LAS ......... 200 6.2.2

PRODUCTOS VECTORIALES ..................... 200

EJEMPLOS, EL DESPLAZAMIENTO ∆R‚ EN EL M.R.U. DE VELOCIDAD INICIAL NULA, ES .............................................................. 201 EL IMPULSO ............................................. 202 ES POSIBLE MULTIPLICAR DOS VECTORES DE FORMA TAL QUE EL RESULTADO SEA UNA MAGNITUD ESCALAR. TAL PRODUCTO RECIBE EL NOMBRE DE "PRODUCTO ESCALAR" O "PRODUCTO PUNTO" ENTRE VECTORES. SE OBTIENE

326

MULTIPLICANDO LOS MÓDULOS ENTRE SÍ Y POR EL COSENO DEL ÁNGULO QUE FORMAN. TOMANDO NUEVAMENTE EL EJEMPLO DE LA FIGURA 4, DONDE CONSIDERAREMOS EL PRODUCTO DE LOS VECTORES. COMO EL ÁNGULO ENTRE AMBOS ES "α α", TENEMOS......... 202 EJEMPLOS. TRABAJO DE UNA FUERZA (W), ............................................................ 202 SE PUEDEN MULTIPLICAR DOS VECTORES, DE TAL FORMA DE OBTENER ................................................................... 203 GEOMÉTRICAMENTE, REPRESENTA MULTIPLICAR EL MÓDULO DE.............. 203 FUERZA MAGNÉTICA (O FUERZA DE LORENTZ) ................................................. 205 6.2.3 ALGO MAS SOBRE FUNCIONES CIRCULARES .............................................................. 205

DE ACUERDO A LAS DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES SEN α .......................... 205 6.3 MEDIDAS E INCERTIDUMBRE ................... 209 6.3.1 Propagación de errores. ................................... 212

7 PRIMEROS ELEMENTOS DE CÁLCULO OPERACIONAL......................................... 214

327

7.1 Funciones originales y representaciones .......... 214 7.1.1 Función original .............................................. 214 7.1.2 Representación (transformada de Laplace). .... 215 7.1.3 Propiedades de la transformación de Laplace . 219

8 VARIEDADES Y MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA TEÓRICA. ..................................... 257 8.1

Símbolos de Christoffel...................................... 258

8.2

Variables canónicas............................................ 259

8.3

Variables de configuración................................ 260

8.4

Vínculos............................................................... 261

8.5 Formulaciones hamiltoniana y lagrangiana de la mecánica............................................................................ 262 8.5.1 La formulación hamiltoniana...................... 266 8.6

Multiplicadores lagrangianos............................ 272

8.7

El método de los multiplicadores de Lagrange 273

8.8 Corchete de Dirac............................................... 273 8.8.1 Procedimiento Hamiltoniano Estándar ............ 274 8.8.2 Ejemplo de un lagrangiano lineal en la velocidad ...................................................................... 275 8.8.3 Procedimiento Hamiltoniano Generalizado..... 278 8.9 Transformadas de Legendre ............................. 280 8.9.1 Definición........................................................ 280 8.10 Teorema de la función implícita ....................... 282 8.10.1 Ejemplos ..................................................... 283 8.10.2 Enunciado general ...................................... 284

328

8.11

Fibrado................................................................ 286

8.12

Los grupos de Lie ............................................... 287

9 SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS NUMÉRICOS. ......................... 290 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.1.8 9.1.9 9.1.10 9.1.11 9.1.12 9.1.13 9.1.14 9.1.15

Chua ................................................................ 290 Otro sistema cualquiera ................................... 292 Ecuaciones de Rossler ..................................... 293 Doble pozo ...................................................... 295 Ecuación no lineal ........................................... 299 Bajada en esquíes por los mogotes. ................. 301 Centros ............................................................ 304 Espirales .......................................................... 305 Intentando una función más compleja ............. 306 Oscilación de un péndulo............................ 310 Oscilaciones amortiguadas forzadas........... 312 Poincaré-Bendixon ..................................... 313 Tiro parabólico ........................................... 316 Tres cuerpos................................................ 317 Atractor de Van der Pol .............................. 319

10 GENERACIÓN DE DIFERENTES TIPOS DE FUNCIONES Y MODELOS ...... 332 10.1.1 Oscilación compuesta por la superposición de cinco funciones seno de diferentes frecuencias, múltiplos de la inicial 332 10.1.2 Oscilación armónica con ruido agregado.... 333 10.1.3 Diente de sierra. Función obtenida a partir de la suma de armónicos..................................................... 334 10.1.4 Una onda cuadrada, obtenida a partir de la suma de 15 funciones senoidales. .................................. 335 10.1.5 La composición de una onda senoidal y otra cosenoidal perpendiculares, dando lugar a una elipse, pues tienen iguales frecuencias y ángulos de fase.................. 337 10.1.6 Simulaciones de campos eléctricos............. 339 10.1.7 Una curva extraña, llamada cardioide......... 341

329

10.1.8 Una posible curva característica de diodo .. 343 10.1.9 Una espiral.................................................. 346 10.1.10 La aplicación logística ................................ 347 10.1.11 Polinomio segundo grado ........................... 349 10.1.12 Sistema masa-resorte .................................. 350 10.1.13 Espacio con curvatura negativa, silla de montar. 353 10.1.14 Superficie paraboloide................................ 355 10.1.15 Una función exponencial ............................ 357 10.1.16 Una función de dos variables...................... 358 10.1.17 Polinomio grado 5 ...................................... 360 10.1.18 Función cuadrática. Un haz de curvas correspondientes a c=0. ................................................. 361 10.1.19 Atractor de Henon ...................................... 362 10.1.20 Pulsaciones. Composición de dos armónicos oscilando en el mismo plano. Iguales frecuencia, amplitudes y fases.......................................................... 364 10.1.21 Triángulo de Sierpinsky.............................. 366 10.1.22 Un sombrero ............................................... 367

330

....................................................................................... 368 10.1.23 Curva característica de un transistor ........... 368 10.1.24 Trayectoria de un rayo de luz al pasar por las cercanías de un cuerpo masivo ...................................... 370 10.1.25 Construyendo un trompo. ........................... 371 10.1.26 Corte del espacio de Lobachevski .............. 372 10.1.27 Conductor óhmico ...................................... 374 10.1.28 Composición de armónicos perpendiculares (otra vez) 375 10.1.29 Universos curvos ........................................ 379 10.1.30 Campo carga puntual .................................. 381 10.1.31 Construyendo una circunferencia ............... 383

331

10.1.32 10.1.33

Cuerpo negro, trayectoria de luz en caja..... 386 Esferoide oblato.......................................... 389

11 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES................................................. 391

332

10 Generación de diferentes tipos de funciones y modelos

10.1.1 Oscilación compuesta por la superposición de cinco funciones seno de diferentes frecuencias, múltiplos de la inicial clear x=0; for i= 1 : 200; h(i)=x; x=0.02*i; c=0.05; q(i)=c*sin(1*pi*x); p(i)=(c/2)*cos(2*pi*x); r(i)=(c/2)*sin(3*pi*x+(pi/2)); s(i)=(c/2)*cos(4*pi*x+(pi/2)); t(i)=(c/2)*sin(5*pi*x+(pi/3)); w(i)=q(i)+p(i)+r(i)+s(i)+t(i)+(c/5)*cos(6 *pi*x+(pi/3))+(c/5)*sin(7*pi*x+(pi/4))+(c /5)*cos(8*pi*x+(pi/5))+(c/5)*sin(9*pi*x+( pi/6))+(c/5)*cos(10*pi*x+(pi/7)); %x=q(i); end %subplot(2,2,1) plot (h,w,'-r'),ylabel('y/m'), xlabel('t/s'), title('cinco senos ')

333

cinco senos 0.15

0.1

y/m

0.05

0

-0.05

-0.1

0

0.5

1

1.5

2 t/s

2.5

3

3.5

10.1.2 Oscilación armónica con ruido agregado function generadorruido clear t = (0:0.001:1); y = sin(2*pi*100*t)+0.5*randn(size(t)); plot(t(1:50),y(1:50));

334

4

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

10.1.3 Diente de sierra. Función obtenida a partir de la suma de armónicos. function dientesierra fs = 10; t = 0:1/fs:2; x = sawtooth(24*pi*t,0.9); plot(t,x), axis([0 2 -1 1]);

335

0.045

0.05

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

10.1.4 Una onda cuadrada, obtenida a partir de la suma de 15 funciones senoidales. clear x=0; for i= 1 : 200; h(i)=x; x=0.02*i; c=0.05;

336

1.8

2

q(i)=c*sin(1*pi*x); p(i)=(c/3)*sin(3*pi*x); r(i)=(c/5)*sin(5*pi*x); s(i)=(c/7)*sin(7*pi*x); t(i)=(c/9)*sin(9*pi*x); u(i)=(c/11)*sin(11*pi*x); v(i)=(c/13)*sin(13*pi*x); y(i)=(c/15)*sin(15*pi*x); z(i)=(c/17)*sin(17*pi*x); za(i)=(c/19)*sin(19*pi*x); zb(i)=(c/21)*sin(21*pi*x); zc(i)=(c/23)*sin(23*pi*x); zd(i)=(c/25)*sin(25*pi*x); ze(i)=(c/27)*sin(27*pi*x); zf(i)=(c/29)*sin(29*pi*x); w(i)=q(i)+p(i)+r(i)+s(i)+t(i)+u(i)+v(i)+y (i)+z(i)+za(i)+zb(i)+zc(i)+ze(i)+zd(i)+zf (i); %x=q(i); end %subplot(2,2,1) plot (h,w,'-r'),ylabel('y/m'), xlabel('t/s'), title('MAS ')

337

MAS 0.05 0.04 0.03 0.02

y/m

0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05

0

0.5

1

1.5

2 t/s

2.5

3

3.5

10.1.5 La composición de una onda senoidal y otra cosenoidal perpendiculares, dando lugar a una elipse, pues tienen iguales frecuencias y ángulos de fase. close all clear t=0;

338

4

fi=pi/4; for i= 1 : 100; h(i)=t; t=0.02*i; c=0.05; qa(i)=c*sin(2*pi*t+fi); %x=q(i); end subplot(2,2,1) plot (h,qa,'-r'),ylabel('y/m'), xlabel('t/s');%, title('MAS, masa 0.500kg');%, axis('equal'), %fill(real(f),imag(f),'g'); %clear t=0; fi=pi/4; for i= 1 : 100; h(i)=t; t=0.02*i; c=0.05; q(i)=-2*pi*c*cos(2*pi*t+fi); %x=q(i); end subplot(2,2,2) plot (q,h,'-r'),ylabel('v/m/s'), xlabel('t/s');%, title('MAS, masa 0.500kg');%, axis('equal'), %fill(real(f),imag(f),'g'); subplot(2,2,3) plot (qa,q,'-r'),ylabel('v/m/s'), xlabel('t/s')

339

0.05

2

v/m/s

y/m

1.5 0

1 0.5

-0.05

0

0.5

1 t/s

1.5

2

0 -0.4

-0.2

0 t/s

0.2

0.4

v/m/s

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.05

0 t/s

0.05

10.1.6 Simulaciones de campos eléctricos. Primero, dos cargas de signo opuesto close all for eta=-10:0.1:10; figure(gcf), chi=(0:0.5:2*pi); a=1;

340

0.4

x=a*sinh(eta)./(cosh(eta)-cos(chi)); y=a*sin(chi)./(cosh(eta)-cos(chi)); hold on plot (x,y,'.b'),axis([-5,5,-4,4]) end

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Segundo, dos cargas de igual signo close all for eta=-10:0.1:10; figure(gcf), chi=(0:0.05:2*pi); a=1; x=a*sinh(eta)./(cosh(eta)-cos(chi)); y=a*sin(chi)./(cosh(eta)-cos(chi));

341

hold on plot (x,y,'-b'),axis([-5,5,-4,4]) end

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

10.1.7 Una curva extraña, llamada cardioide clear k=1; a=pi/100; for j=1:200; g(j)=(a*j); f(k,1)=g(j);

342

%[X,Y]=meshgrid(real(f(k,1)),real(f(k,2)) ); [V(k,1)]=0.5*exp(i*g(j))*(10.5*exp(i*g(j))); g(j)=[V(k,1)]; k=k+1; end hold on plot (real(V),imag(V),'-r'), ylabel('imagz'), xlabel('realz'), title('cardioide')

343

cardioide 0.8 0.6 0.4

imagz

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

realz

10.1.8 Una posible curva característica de diodo clear x=0.1; for i= 1 : 10 h(i)=-x; q(i)=0.5*(exp(-0.1*x)-1); o(i)=q(i); x=x+1;

344

0.6

end hold on plot (h,q,'.b') x=0.1; for i= 1 : 30 h(i)=x; q(i)=0.5*(exp(0.1*x)-1); x=x+1; end hold on plot (h,q,'.r')

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -10

-5

0

5

10

15

20

25

345

30

Otro diodo clear a=1.6*10^(-19)/(1.38*10^(-23)*300); x=0.001; for i= 1 : 100 h(i)=-x; q(i)=0.05*(exp(-a*0.01*x)-1); o(i)=q(i); x=x+0.1; end hold on plot (h,q,'-b') x=0.001; for i= 1 : 100 h(i)=x; q(i)=0.05*(exp(a*0.01*x)-1); x=x+0.1; end hold on plot (h,q,'-r')

346

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5 -10

-8

-6

10.1.9

-4

-2

0

2

4

6

Una espiral

clear for n=1:10000; y(n)=exp(-0.01*n/4)*cos(0.01*n); x(n)=exp(-0.01*n/4)*sin(0.01*n); end plot(y,x,'.r')

347

8

10

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4 -0.5

0

10.1.10

0.5

1

La aplicación logística

clear c=0.1; k=1; for i= 1 : 200; p(i)=c; x=0.1; for j=1:1000; if j>500; h(j)=x; f(k,1)=c; f(k,2)=c*(1-x)*x; x=f(k,2);

348

k=k+1; %hold on %plot (f(:,1),f(:,2),'.g'), ylabel('f'), xlabel('c'), title('Feigenbaum logistica') else x= c*(1-x)*x; end end c=0.02*i; end %hold on plot (f(:,1),f(:,2),'.k'), ylabel('f'), xlabel('c'), title('aplicacion logistica')

349

aplicacion logistica 1 0.9 0.8 0.7

f

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.5

10.1.11

1

1.5

2 c

2.5

3

3.5

Polinomio segundo grado

clear x=0.2; c=3.25; for i= 1 : 8001; h(i)=x; f(i)=c*x-c*x^2; P(i)=(c-2*c*x)^2; x=x+0.0001; end

350

4

%hold on plot (h,P,'.k')

12

10

8

6

4

2

0 0.2

0.3

10.1.12

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Sistema masa-resorte

function varargout=masaresorte(t,y,str) a=0; b=1.0; w=0.707*1.1; m=1;

351

1

L=0.01; deriv=zeros(4,1); M=eye(4); switch str case'' fac1= y(2); fac2= 2*L*y(2)y(4)*y(1)+(y(3)/m)*cos(w*t)-a*y(1)^2b*y(1)^3; deriv(1)=fac1; deriv(2)=fac2; varargout{1}=deriv; case 'mass' varargout(1)=M; end t0=0;tf=5*2*pi/0.7777;npoints=16158; y0=[0.05,0,25.500,0.1]'; %vector de puntos en los que se desea resultados tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints-1):tf]; %modificacion de las opciones por defecto options=odeset('RelTol', 1e6,'AbsTol',1e-6, 'Stats', ''); %llamada a la funcion de integracion numerica

[t,Y]=ode23('masaresorte',tspan,y0,option s); hold on %subplot(2,2,3) plot3(Y(:,1),Y(:,2),t,'b'),xlabel('x'),ylabel('v'),zlabel('t')

352

elongacion-tiempo 20

5

10 0

0

-10 -20

0

20

40

60

-5

0

20

40

60

t

50

0 20

5

0 v

0 -20 -5

x

353

15

10

v

5

0

-5

-10

-15 -5

-4

-3

-2

-1

0 x

1

2

3

4

5

10.1.13 Espacio con curvatura negativa, silla de montar. clear %x=0.001; %y=0.001; m=1; for j=1:100; x(j)=100*j*(-1)^(j)/10000; H(j,1)=x(j); for k=1:100; y(k)=100*k*(-1)^(k)/10000; u(m,2)=y(k); u(m,1)=x(j);

354

[X,Y]=meshgrid(x(j),y(k)); [U(k)]=X.^2-Y.^2; u(m,3)=U(k); %g(k)=x(j)*y(j); %u(m,4)=g(k); m=m+1; end j=j+1; end %meshgrid(u(:,3)) %subplot(2,2,1) %u(:,1)=-12500:10:12500;u(:,2)=u(:,1); %[X,Y]=meshgrid(u(:,1),u(:,2)); %meshz(u); %pause %surfc(u) %shading %hidden %mesh(g(k)); %subplot(2,2,4) plot3(u(:,1),u(:,2),u(:,3),'.r'),xlabel(' x'),ylabel('y'),zlabel('u') %contour(U,100,r-) %pause %hold on %plot3(u(:,1),u(:,2),u(:,4),'.r') %subplot(2,2,2) %plot(u(:,1),u(:,3),'.r') %subplot(2,2,3) %plot(u(:,2),u(:,3),'.r') %subplot(2,2,4) %plot(u(:,1),u(:,2),'.r')

355

10.1.14

Superficie paraboloide

clear %x=0.001; %y=0.001; m=1; for j=1:100; x(j)=10*j*(-1)^(j); H(j,1)=x(j); for k=1:100;

356

y(k)=10*k*(-1)^(k); u(m,2)=y(k); u(m,1)=x(j); [X,Y]=meshgrid(x(j),y(k)); f(k)=X.^2+Y.^2; u(m,3)=f(k); %g(k)=x(j)*y(j); %u(m,4)=g(k); [U]=f(k); m=m+1; end j=j+1; end

357

10.1.15

Una función exponencial

clear a=2; for i=(1:10); x(i)=0.20*i; y(i)=a*exp(x(i)); end plot(x,y,'-r')

358

16

14

12

10

8

6

4

2 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

10.1.16 Una función de dos variables f = 4 x 2 − 2 xy + 2 y 2 clear for i=1:100 x(i)=0.20*i; for j=1:1000 y(j)=2.5*j^-0.25; q(i,j)=4*x(i)^22*x(i)*y(j)+2*y(j)^2; q(i,j)=q(i,j)^-(1/4); end end plot(x,q,'.r')

359

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

f = 4 x 3 ⋅ 2 xy + 2 y −3 clear for i=1:1000 x(i)=20*i; for j=1:1000 y(j)=2.5*j; q(i,j)=4*x(i)^3*x(i)*y(j)+2*y(j)^-3; q(i,j)=q(i,j)^-(1/4); end end

360

18

20

plot(x,q,'.r')

10.1.17

Polinomio grado 5

clear for i=1:100 x(i)=i y(i)= x(i)^2+4*x(i)+2*x(i)^3+2*x(i)^5; end

361

plot(x,y,'-r') 10

2.5

x 10

2

1.5

1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

10.1.18 Función cuadrática. Un haz de curvas correspondientes a c=0. clear x=0; c=0; i=1; j=1; while 0