Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC 18 a 20 de Abril de 2016 UNESP – Campus de Bauru
Estudo da estabilidade de um absorvedor de vibração do tipo amortecedor de massa sintonizado não linear Otávio D. Z. Boaventura* Depto de Eng. Mecânica, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail:
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Fábio R. Chavarette Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail:
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Resumo: Amortecedores de massa sintonizados (AMS) são dispositivos para controle passivo de vibrações em máquinas, prédios ou outras estruturas. Eles foram propostos por Frahm em 1909 e desde então vem sendo aprimorados. Neste trabalho, será estudado uma versão desse dispositivo considerando uma dependência cúbica do deslocamento na rigidez do elemento elástico acoplado à massa principal e conectada ao aparelho, ambos em paralelo com um amortecimento viscoso linear. O problema é modelado através de equações diferenciais ordinárias não lineares. Assim, para diversas combinações de constante elástica, são analisados os autovalores da matriz Jacobina correspondente e define-se se o sistema é estável ou não e qual a classificação desta condição segundo Lyapunov. Usando um algoritmo desenvolvido no software Octave são gerados diagramas de estabilidade e espaços de estado. A estrutura estudada se mostrou assintóticamente estável para a condição inicial proposta. Enquanto o AMS, apresentou alguns pontos de instabilidade quando a rigidez da estrutura é nula. Palavras-chave: Matemática Aplicada à Engenharia, Dinâmica não-linear, Caos, Controle de vibrações, Estabilidade, Simulação numérica. Eixo Temático: Matemática Aplicada à Engenharia
1 Introdução Absorvedores de vibrações são sistemas que buscam amenizar perturbações periódicas de natureza mecânica que podem danificar uma estrutura. O modelo de absorvedor que será estudado nesse trabalho é conhecido como Amortecedor de Massa Sintonizado (AMS ou TMD, em inglês). Classificado como passivo, pois, não necessita de energia externa para funcionar, ele se baseiam no princípio de que os movimentos de um corpo menor têm a capacidade de anular as vibrações de um outro corpo mais massivo. As oscilações do elemento maior são transmitidas para o menor por meio de um conjunto mola-amortecedor e, devido à diferença de fase, esse membro de conexão provoca forças de reações nos dois corpos e dissipa a energia da vibração, além de diminuir a amplitude do movimento [1,2]. O objetivo desse trabalho é realizar um estudo da estabilidade de um amortecedor de massa sintonizado através de um modelo simples não linear.
2 Análise e Simulação O problema é ilustrado na Figura 1 e o modelo matemático e apresentado na equação (1).
* Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
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Figura l: Modelo estudado. Sendo as equações que regem seu comportamento:
𝑚1 𝑥1̈ + 𝑐1 𝑥1̇ + 𝑐2 (𝑥1̇ − 𝑥2̇ ) + 𝑘𝑛𝑙1 𝑥13 + 𝑘𝑛𝑙2 (𝑥1 − 𝑥2 )3 = 0 { 𝑚2 𝑥2̈ + 𝑐2 (𝑥2̇ − 𝑥1̇ ) + 𝑘𝑛𝑙2 (𝑥2 − 𝑥1 )3 = 0
(1)
Os parâmetros usados para as simulações na Figura 2, são c1=c2= 2 Ns/m, m1= 1000 Kg, m2= 50 Kg, knl1 de 0 à 4000 e knl2 de 0 à 1000 e um deslocamento inicial da massa maior de 0,01m.
a)
c)
b)
d)
Figura 2: Diagrama de estabilidade da estrutura (a) do AMS (c) Espaço de estados para knl1=2000 e knl2=500 da estrutura (b) e do AMS (d)
3 Conclusão Nota-se no diagrama de estabilidade que, para a condição inicial testada, tanto a estrutura quanto o AMS são assintóticamente estáveis em praticamente toda a faixa valores de rigidez proposta, exceto quando a rigidez da estrutura é nula o AMS fica instável para alguns valores de sua rigidez.
4 Agradecimentos Os autores agradecem à FAPESP pelo apoio financeiro (Proc. No. 2015/10862-5 e Proc. No. 2014/16807-3) e ao laboratório de pesquisa SISPLEXOS por fornecer a infraestrutura necessária.
Referências [1] R. Viguié, G. Kerschen, “Nonlinear vibration absorber coupled to a nonlinear primary system: A tuning methodology” Journal of Sound and Vibration, 2009, Vol. 326(3), pp.780-793 [2] S. M Ávila. “Controle híbrido para atenuação de vibrações em edifícios”. Tese de Doutorado, PUC - Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002.
* Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
