Departamento de Engenharia Mecânica Laboratórios de Fluídos e Calor
T1 - Ensaio reológico a uma solução aquosa de um polímero
Autores:
Daniel Tavares (
[email protected]); Gonçalo Couto
Professor:
Paulo Coelho
(
[email protected]);
Porto, 9 de Outubro de 2014
Resumo Com este trabalho pretendeu-se analisar as propriedades reológicas de um uido não-Newtoniano. Trata-se de um uido que é uma solução aquosa do polímero CMC 7H4C (celulose carboximetílica de Hercules) tendo sido realizado um ensaio de corte simples estacionário e um oscilatório de baixa amplitude através do reómetro UM/MC 100 (PHYSICA).
1
Conteúdo 1 Nomenclatura
3
2 Introdução
3
3 Objectivo
4
4 Teoria
4
5 Dados recolhidos e sumário de resultados
5
5.1
5.2
Ensaio de corte simples estacionário . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5.1.1
Modelo de Carreau-Yakusa . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5.1.2
Modelo de lei de potência
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensaio oscilatório de pequena amplitude
. . . . . . . . . . . . .
5.2.1
Ensaio oscilatório por varrimento em amplitude
5.2.2
Ensaio oscilatório por varrimento em taxa de deformação (γ˙0 )
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 8 8 8
6 Discussão
10
7 Conclusão
10
8 Recomendações
11
9 Referências Bibliográ cas
11
10 Anexos
12
10.1 Ensaio oscilatório por varrimento em amplitude de deformação .
12
10.2 Respostas às questões colocados no protocolo
. . . . . . . . . .
14
10.2.1 Questão 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
10.2.2 Questão 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
10.2.3 Questão 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
10.2.4 Questão 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2
1 Nomenclatura • µ
[Pa.s] - Viscosidade dinâmica
• γ
- Amplitude de deformação;
• γ˙ [s−1 ] • η
0
- Taxa de deformação;
Parametro de resposta viscosa (na legenda dos grá cos este parâme-
tro aparece referenciado como "eta'");
• η
00
Parametro de resposta elástica (na legenda dos grá cos este parâ-
metro aparece referenciado como "eta");
• η∗
Módulo de viscosidade complexa (na legenda dos grá cos este pa-
râmetro aparece referenciado como "eta*"); 0
• G
00
Módulo de perda;
• G
Módulo de armazenamento;
• G∗
- Módulo complexo (na legenda dos grá cos este parâmetro aparece
referenciado como "G*")
•
n [rpm] - Velocidade de rotação do cilindro móvel do reómetro;
•
M [N.m] - Binário aplicado ao cilindro móvel;
2 Introdução Globalmente pode-se dividir os uidos em duas categorias: uidos Newtonianos e não-Newtonianos. Os uidos Newtonianos caracterizam-se por respeitarem a lei de Newton da viscosidade isto é, a tensão de corte é proporcional ao gradiente de velocidades sendo a constante de proporcionalidade a viscosidade dinâmica (equação 1)[2].
τxy = µ
du dy
(1)
Para caracterizar um uido newtoniano apenas é necessário medir a sua viscosidade. Esta ciência de medição é denominada de viscosimetria, sendo o aparelho de medida o viscosímetro. No caso dos uidos não-Newtonianos além da viscosidade é necessário medir as tensões normais e a resposta viscoelástica. Neste caso estamos no domínio da reologia, chamando-se o dispositivo de medição de reómetro [1]. Nas secções seguintes é apresentada uma breve introdução teórica ao tema, serão analisados e discutidos os respectivos resultados juntamente com os grá cos realizados. Em anexo, depois de apresentada uma breve conclusão, serão respondidas as questões propostas pelo professor.
3
3 Objectivo Este trabalho experimental tem como objectivo a determinação das características reológicas de um uído não-Newtoniano, criado com base numa solução aquosa de um polímero de elevado peso molecular.
Para tal são re-
alizados 2 tipos de ensaios: o de corte simples estacionário e o oscilatório de pequena amplitude. Deve ajustar-se os resultados do ensaio de corte simples estacionário ao modelo de Carreau-Yasuda e ao modelo lei de potência. Os dados do ensaio oscilatório devem ser trabalhados de modo a representar os diferentes parâmetros característicos em função da frequência angular de oscilação.
4 Teoria Existem uidos que não respeitam a lei de Newton da viscosidade sendo chamados de uidos não-Newtonianos.
Na gura seguinte é apresentado o
comportamento de alguns tipos destes uidos em comparação com os que respeitam a lei de Newton da viscosidade.
Figura 1: Variação da tensão de corte em função do gradiente de velocidades para alguns uidos[2]
Como já foi referido deve ajustar-se os resultados do ensaio de corte simples ao modelo de Carreau-Yasuda e ao modelo lei de potência.
O primeiro é
traduzido pela seguinte expressão[1]:
n−1 µ = µ∞ + (µ0 − µ∞ )[1 + (λγ) ˙ ] a a
4
(2)
µ∞ e µ0 as viscosidades dinâmicas à taxa de deformação in nita e nula, λ a constante de tempo, γ ˙ a taxa de deformação, n um expoente cujo afastamento
Sendo
de 1 é proporcional ao nível de pseudoplasticidade e a é o parâmetro proposto por Yasuda que quando toma o valor 2 dá origem ao modelo de Carreau. O modelo lei de potência, aplicável à região onde a curva de viscosidade segue uma lei de potência (linear em log-log) é descrito pela seguinte equação[2]:
µ = K γ˙ n−1
(3)
Sendo K o índice de consistência e n o índice de potência. O ensaio oscilatório de pequena amplitude é um método para medir a resposta viscoelástica de um uído. É imposta uma frequência de oscilação (ω ˙) e amplitude de deformação (γ˙0 ). Em seguida obtem-se os parâmetros amplitude de resposta em tensão (τ0 ) e ângulo de desfasamento (δ ). Os parâmetros 0 00 reológicos G', G , η e η são calculados através das equações apresentadas em seguida para cada valor de (ω ˙ ) visto o ensaio ser realizado numa região linear, independente da amplitude de deformação.
G0 =
τ0 cos(δ) γ0
(4)
G00 =
τ0 sin(δ) γ0
(5)
η0 =
τ0 sin(δ) γ0 ω˙ 0
τ0 cos(δ) γ0 ω˙ 0 √ |G∗ | = G02 + G002 p |η ∗ | = η 02 + Gη 002 η 00 =
(6)
(7) (8) (9)
5 Dados recolhidos e sumário de resultados 5.1
Ensaio de corte simples estacionário
Através da execução do ensaio de corte simples estacionário foi possível obter um conjunto de 25 pontos experimentais, 20 dos quais por Control Shear
Rate CSR -Controlo da Taxa de Deformação e 5 dois quais por Control Shear Stress CSS -Controlo da Tensão de Corte. Posteriormente reduziu-se a amostra para 24 pontos experimentais através da eliminação de valores aberrantes.
5
5.1.1 Modelo de Carreau-Yakusa Recorrendo ao addon Solver integrado no software Microsoft Excel foi possivel ajustar os parametros da equação correspondente ao modelo de CarreauYasuda:
n−1 µ = µ∞ + (µ0 − µ∞ )[1 + (λγ) ˙ ] a a
(10)
de forma a minimizar o erro absoluto entre a os valores experimentais e aqueles produzidos pelo modelo de Carreau-Yasuda. Posto isto, os parâmetros da equação 10 do modelo são apresentados na tabela 1 e na gura 2 representa-se o grá co viscosidade dinâmica vs taxa de deformação com os pontos experimentais e a curva de ajustamento fornecida pelo modelo.
Tabela 1:
Parâmetros da equação correspondente ao Modelo de Carreau-
Yakusa que otimizam a adequabilidade do mesmo aos dados experimentais.
λ
a
n
µ0
µ∞
0,002997745
0,269951908
0
1,029269189
0
Figura 2: Grá co de dispersão de valores experimentais de viscosidade dinâmica em função de taxas de deformação distintas com ajustamento pelo modelo de Carreau-Yasuda.
6
5.1.2 Modelo de lei de potência Através da analise dos dados experimentais (recorrendo à observação da gura 2) foi possível reduzir a amostra aos pontos que se encontravam na zona linear do grá co presente na gura 2. A amostra encontra-se discriminada na gura 3.
Figura 3: Grá co de dispersão de valores experimentais de viscosidade dinâmica em função de taxas de deformação (amostra restringida tendo em conta a linearidade.)
A regressão linear que melhor se ajusta aos dados experimentais, segundo método dos mínimos quadrados, apresentados é dada por:
ln(µ) = −0, 4983ln(γ) ˙ + 0, 02839
(11)
Tendo em conta que, segundo o modelo da lei de potência:
µ = K γ˙ n−1
(12)
Aplicando o logaritmo em ambos os membros da equação vem:
ln(µ) = ln(K) + ln(γ)(n ˙ − 1)
(13)
K = 1.0288
(14)
n = 0.5017
(15)
Pelo que:
7
5.2
Ensaio oscilatório de pequena amplitude
O presente ensaio processou-se de 2 formas distintas. Numa primeira fase realizou-se um ensaio por varrimento em amplitude (amplitude de deformação
γ0 )
e nalmente realizou-se um ensaio por varrimento em frequência (taxa de
deformação
γ˙ ).
O ensaio oscilatório de pequena amplitude tem que ser realizado na região 0 00 0 00 ∗ ∗ linear (grá co parametrso reológicos (G ,G ,|G |,η ,η ,|η |) vs amplitude de deformação), pois caso contrário não é possível relacionar a tensão de corte, taxa de deformação e viscosidade dinâmica do uido.
5.2.1 Ensaio oscilatório por varrimento em amplitude Selecionaram-se 4 taxas de deformação distintas em cada um dos 4 ensaios realizados, tendo-se variado a amplitude de deformação dentro de uma gama de nida. O objetivo deste ensaio residiu na determinação da zona linear do grá0 00 0 00 ∗ ∗ co amplitude de deformação vs parametros reólogicos (G ,G ,|G |,η ,η ,|η |) tendo-se concluído que tal acontecia para valores de amplitude de deformação inferiores a 1. Na secção 10.1 encontram-se discriminados os grá cos que apre0 00 0 00 ∗ ∗ sentam os diferentes parâmetros reológicos (G ,G ,|G |,η ,η ,|η |) em função da amplitude de deformação(γ0 ).
5.2.2 Ensaio oscilatório por varrimento em taxa de deformação (γ˙0 ) 0 00 0 00 ∗ ∗ Uma vez identi cada a zona linear dos parâmetros reólogicos(G ,G ,|G |,η ,η ,|η |)
foi possível determinar a relação entre os mesmos e a taxa de deformação através de 3 ensaios depilatórios por varrimento em taxa de deformação para os valores de amplitude de deformação de 0.5, 0.2 e 0.07. Na gura 4 é apresentada a relação entre os parâmetros reológicos e a taxa de deformação.
8
Figura 4: Parâmetros reológicos em função da taxa de deformação.
Em adição, determinou-se a relação entre o parâmetro
δ
(ângulo de des-
fasamento) e a taxa de deformação. A referida relação é apresenta na gura 5.
o
0
O ângulo de desfasamento é um indicador de elasticidade, variando entre
o
e 90 . Se
δ = 0o
então o uido possui elasticidade total. Se
δ = 90o
não possui elasticidade.
Figura 5: Parâmetro
δ
em função da taxa de deformação (γ ˙ ).
9
o uido
6 Discussão O ensaio de corte simples estacionário permitiu classi car o comportamento do uído com a taxa de deformação como espessante-regressivo dado que, como é observável na gura 2 a viscosidade dinâmica (µ)diminui com o aumento da taxa de deformação (γ ˙ ). Em adição, veri ca-se que para valores baixos de taxa de deformação (inferiores a 6 Hz) a viscosidade dinâmica tem valores praticamente constantes (visível na gura 2, mais concretamente referem-se os 3 primeiros pontos experimentais), a esta zona dá-se o nome de primeiro patamar newtoniano. Posteriormente, para valores de taxa de deformação acima dos 30 Hz, veri ca-se a existencia de uma zona linear no grá co da gura 2, nesta zona ajustou-se o modelo da lei de potência para descrever o comportamento do uído ( gura 3). O ensaio oscilatório de pequena amplitude (através da gura 4) permitiu concluir que o uido ensaiado tem uma componente viscosa superior à elástica ∗ uma vez o Módulo da viscosidade complexa (|η |) se aproxima da resposta 0 ∗ viscosa (η ), e o Módulo complexo (|G |) aproxima-se do Módulo da perda 00
(G ). Desta forma,
η
0
e
00
G
são os parâmetros reológicos que representam as
propriedades viscosas do uido.
o
O ângulo de desfasamento (δ ) com valores compreeendidos entre os 63
o
os 48
e
( gura 5) à medida que se avança na taxa de deformação traduz um
afastamento do uido em relação aos uidos newtonianos (δ
= 90o )
revelando
a natureza não-newtoniana do uido ensaiado. Em adição, este parâmetro permite de nir o comportamento do uido com a variação da taxa de deformação como viscoelástico.
7 Conclusão O uido é não newtoniano, apresentando um comportamento viscoelástico. Na descrição do comportamento do uido a componente viscosa é mais signi cativa do que a elástica. A viscosidade dinâmica do uído ensaiado em função da taxa de deformação, segundo o modelo de Carreau-Yakusa, é dado por:
−1 0.269951908 0.269951908 µ = 1.209269189 1 + (0.002997745γ) ˙
(16)
A zona linear do grá co viscosidade dinâmica vs taxa de deformação ( gura 2)pode ser descrita através do modelo da lei de potência segundo a equação seguinte:
µ = 1.0288γ˙ 0.5017
10
(17)
8 Recomendações Como trabalhos futuros achamos interessante repetir os ensaios mas com outra geometria do reómetro e comentar as diferenças. Outra sugestão seria realizar o ensaio de corte simples a elevadas velocidades de rotação, analisando uma eventual aproximação do uido ao comportamento de um uido elástico.
9 Referências Bibliográ cas 1 - Coelho, Paulo; Protocolo T2 Ensaio reológico a uma solução aquosa de um polímero; FEUP; 2014 2 - Munson et al; Fundamentals of uid mechanics; 6th edition; John Wiley & Sons
11
10 Anexos 10.1
Ensaio oscilatório por varrimento em amplitude de deformação
Figura 6: Parâmetros reológicos em função da amplitude de deformação para frequência de 1 Hz
Figura 7: Parâmetros reológicos em função da amplitude de deformação para frequência de 10 Hz
12
Figura 8: Parâmetros reológicos em função da amplitude de deformação para frequência de 20 Hz
Figura 9: Parâmetros reológicos em função da amplitude de deformação para frequência de 30 Hz
13
10.2
Respostas às questões colocados no protocolo
10.2.1 Questão 1 Com base em que resultados obtidos se pode a rmar que o uido testado possui elasticidade? No ensaio de corte simples estacionário (secção 5.1) veri cou-se, na gura 2, que a viscosidade dinâmica diminuía com o aumento da taxa de deformação, o que revela um comportamento elástico por parte do uido. No ensaio oscilatório simples de pequena amplitude por varrimento em taxa de deformação (secção 5.2.2) veri cou-se que o ângulo de desfasamento (δ ) era diferente de 90
o
o
(valor compreendido entre os 48
o
e os 63 ) pelo que
o comportamento do uido não é exclusivamente viscoso e apresenta por isso elasticidade.
10.2.2 Questão 2 Se com este reómetro e esta geometria, estiver a medir-se a viscosidade de um óleo (µ = 0.2P a.s)em controlo de taxa de deformação, sendo imposta a rotação máxima à amostra, a tensão de corte correspondente irá ou não exceder a tensão máxima admissível para este reómetro? Como se pode evitar as situações em que pode ser ultrapassada tensão máxima? Decorrente do conhecimento do reómetro e da geometria do instrumento (Z1-DIN) usado no ensaio sabe-se que:
γ˙ = 5.039 · n τ=
0.067 · M · 1000 Mmax
(18)
(19)
Pelo que a tensão de corte máxima que pode estar presente num ensaio, usando este reómetro, pode ser calculada recorrendo à equação 19 quando
M = Mmax
e tem o valor de:
τmax = 67P a
(20)
Por sua vez a velocidade de rotação (n) máxima admissivel para este reómetro é de 800 rpm o que implica que , por aplicação da equação 18:
γ˙ max = 4031s−1
(21)
O óleo em questão é um uido newtoniano, pelo que a sua viscosidade não varia com o gradiente de velocidade. Assim através da aplicação da equação 1 vem:
τ = µ · γ˙
(22)
τ = 0.2 · γ˙
(23)
14
Se a velocidade de rotação for a máxima,
γ˙ = 4031s−1 ,
a tensão de corte
correspondente é:
τ = 0.2 · 4031
(24)
τ = 806.2P a
(25)
τ = 806.2P a excede o valor máximo de tensão admissível no reómetro pelo que a velocidade de rotação máxima para este uído terá de ser ajustada para valores menores ou iguais ao valor obtido na equação
τmax = 0.2 · γ˙ max
(26)
τmax = 0.2 · γ˙ max
(27)
γ˙ max =
67 = 335Hz 0.2
(28)
Através da equação 18 conclui-se que:
nmax = 66.48rpm
(29)
Daqui se conclui que a velocidade de rotação do ensaio terá de ser sempre inferior a 66.48 rpm.
10.2.3 Questão 3 Representem novamente o grá co da curva de viscosidade versus taxa de deformação obtido experimentalmente e nele representem também, para a geometria em causa (cilindros concêntricos), o seguinte: a curva da viscosidade máxima que é possível medir; A curva de viscosidade mínima que é possível medir com uma incerteza de ±5%, admitindo como única fonte de erro a medição da tensão de corte que, de acordo com as especi cações, tem uma incerteza associada de ±0.67P a (±1% do valor máximo, ver anexo);A curva da incerteza da viscosidade medida, admitindo como única fonte de erro a medição da tensão de corte. Partindo da equação 1, conhece-se a relação entre a viscosidade dinâmica, a tensão de corte e a taxa de deformação, pelo que a incerteza relativa associada à viscosidade dinâmica quando calculada usando a equação 1 é dada por:
Uµ = µ
s
Uτ Uγ˙ ·1+ ·1 τ γ˙
(30)
Admitindo como única fonte de erro a medição da tensão de corte que, de acordo com as especi cações, tem uma incerteza associada de
Uτ = ±0, 67P a,
conclui-se através da equação 30 que:
Uµ Uτ = µ τ 15
(31)
A curva de viscosidade máxima que é possível obter determina-se quando a tensão de corte (τ ) assume o valor máximo (67 Pa) para os valores de taxa de deformação usados no ensaio de corte simples estacionário. A referida curva apresenta-se na gura 10.
Figura 10: Curva da viscosidade máxima possível de medir.
A curva de viscosidade mínima que é possível obter para uma incerteza relativa de
τ
±5%
na viscosidade dinâmica determina-se através do valor de
e dos valores de taxa de deformação usados no ensaio de cortes simples
estacionário. O valor de
τ
correspondente recorrendo à equação 31:
0.67 τ
(32)
τ = 13.4P a
(33)
0.05 =
A referida curva apresenta-se na gura 11.
16
Figura 11:
A curva de viscosidade mínima que é possível medir com uma
incerteza de
±5%
Finalmente a curva da incerteza da viscosidade medida, admitindo como única fonte de erro a medição da tensão de corte é apresentada na gura 12. A incerteza da viscosidade medida foi obtida através da equação 31 para os valores de tensão de corte experimentais calculados com recurso à equação 1.
Figura 12: Curva incerteza da viscosidade medida vs taxa de deformação.
17
10.2.4 Questão 4 Que fatores podem afetar o tempo que demora a amostra a atingir a temperatura estipulada para o ensaio? Se a temperatura indicada for superior à real, a viscosidade para a temperatura indicada será muito provavelmente superior ou inferior à medida? Entre os factores que afectam o intervalo de tempo até a amostra atingir a temperatura desejada podemos destacar: condições ambiente (pressão e temperatura), propriedades da amostra e as características do aparelho de ensaio, neste caso a geometria e o isolamento do reómetro. A viscosidade dinâmica varia com a temperatura. Em geral nos líquidos a viscosidade diminui com o aumento da temperatura (devido à redução da atracção molecular), nos gases passa-se o oposto. Neste caso, como estamos na presença de um uido líquido, se a temperatura indicada for superior a sua viscosidade será inferior.
18
