CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 14 (02): 2401.1-4 2016
ENTENDENDO OS MODOS DE OSCILAÇÃO DE DOIS PÊNDULOS COM MASSAS M1 E M2 ACOPLADOS POR UMA MOLA UNDERSTANDING THE TWO PENDULUMS OSCILLATION MODES WITH MASSES M1 AND M2 COUPLED BY A SPRING
Romualdo S. Silva Jr. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe/ DFI – UFS, São Cristóvão, SE, Brasil. E-mail:
[email protected] Em artigo publicado anteriormente ([2] Silva Jr, 2013), onde se considera o caso de dois pêndulos acoplados por uma mola de constante elástica k, determina-se os modos normais de oscilação dos mesmos para o caso de massas m1 e m2. No entanto, não é exposto em que situações os pêndulos oscilam no modo síncrono ou assíncrono, que é fundamental para o entendimento físico do fenômeno. Esse artigo foi escrito com o intuito de aperfeiçoar a compreensão deste problema bem interessante na física, o que deve ser útil para leitores futuros. Palavras-chave: pêndulos acoplados, massas diferentes, modos de oscilação, síncrono, assíncrono. In an article published previously ([2] Silva Jr, 2013), which considers the case of two pendulums coupled by a spring elastic constant k, it is determined the normal oscillation modes of the same ones in the case of masses m1 and m2. However, it is not exposed to situations that pendulums swing in synchronous or asynchronous mode, which is fundamental to the understanding of physical phenomena. This articles was written in order to improve the understanding of this very interesting problem in physics, which should be useful for future readers. Keywords: coupled pendulums different masses, oscillation modes, synchronous, asynchronous.
É sabido que problemas envolvendo pêndulos são bastante corriqueiros no ensino de física, em especial na área de mecânica clássica. No entanto, os conceitos de maior profundidade e seu respectivo tratamento matemático nem sempre são acessíveis a estudantes dessas disciplinas [1]. Desta forma, devemos enfatizar a importância do tratamento de problemas físicos de maneira mais aprofundada, evidenciando os fenômenos existentes, bem como de que forma acontecem. Em trabalho anterior [2] foi considerado um caso interessante de mecânica clássica, que resumidamente trata-se do cálculo dos modos normais de oscilação de dois pêndulos com massas m1 e m2, e fios desprezíveis, acoplados por uma mola de constante elástica k, visto que em literatura introdutória dessa temática só se havia feito tal cálculo considerando massas iguais dos pêndulos. Para tal, foi colocada uma breve introdução do formalismo hamiltoniano, que de modo geral é um formalismo bastante importante para o estudo de sistemas físicos e matemáticos [3,4]. Através deste formalismo, foi possível encontrar quais seriam as frequências de oscilação dos pêndulos quando considerado massas diferentes, que são [2]:
w1
g L
;
w2
g m1 m2 k , L m1m2
(1)
onde w1 é a frequência natural de oscilação dos pêndulos, mas por outro lado, w2 depende de cada massa dos pêndulos, ou seja, de m1 e m2. Durante a discussão do problema proposto, não fica claro, ou melhor, não é exposto em que situações os pêndulos oscilam em fase (modo síncrono) ou fora de fase (modo assíncrono), que é fundamental para o entendimento físico do fenômeno. Desta maneira, este texto tem o intuito de aperfeiçoar o entendimento de futuros leitores a respeito deste problema de física.
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Silva Jr.
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A fim de mostrar as condições em que os pêndulos oscilam no modo síncrono e assíncrono, consideremos as equações de movimento [2]:
g k k 2 1 1 L m m 1 1 g k k 1 2 2 L m m 2 2
(2)
Como a constante elástica da mola acopla ambas as equações, que devem ser solucionadas simultaneamente, podemos usar o método matricial e escrever a matriz:
g k 2 w L m1
k m2
k m1
.
x1
x2 g k 2 w L m2
0 0
(3)
Resolvendo a matriz, obtemos então as seguintes equações:
g k k 2 w x1 x2 0 m1 L m1 g k k 2 x w x2 0 m 1 L m 2 2
(4)
Como é mostrado na Fig. 1, os pêndulos oscilam ao longo da direção do eixo x, portando temos que encontrar a relação existente entre x1 e x2.
Figura 1: Esquema de dois pêndulos acoplados que oscilam na direção x.
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Entendendo os Modos de...
Para encontrar essa relação entre as posições dos dois pêndulos, iremos substituir primeiro a frequência
w1
(equação 1), que é a frequência natural de oscilação dos pêndulos, em uma das equações
(4), fica:
g k g 2 k x1 x2 0 m1 L m1 L Logo, encontramos que
x1 x2 ,
(5)
onde os pêndulos oscilam em fase, e portando no modo
síncrono, como pode ser observado na fig. 2.
Figura 2: gráfico qualitativo dos pêndulos oscilando no modo síncrono, onde a curva vermelha se refere ao pêndulo 1 e a curva azul ao pêndulo 2.
Nessa situação os pêndulos oscilam com amplitudes e frequências iguais. Note que para este caso os deslocamentos dos dois pêndulos são iguais em qualquer instante de tempo, bem como para t = 0; é como se a mola não existisse, ou seja, os dois pêndulos oscilam livremente. Substituindo
w2
(equação 1), que depende agora das duas massas dos pêndulos, teremos:
g k g ( m m ) k 2 1 m1m2 L m1 L Agora encontramos que
x1
2
k x1 x2 0 m 1
(6)
m2 x2 , desta maneira os pêndulos oscilam no modo assíncrono m1
(fig. 3), ou seja, oscilam em oposição de fase. Em outras palavras, significa que quando uma das ondas tem seu máximo, a outra tem o seu mínimo, oscilando com uma diferença de fase igual a π.
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Silva Jr.
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Figura 3: gráfico qualitativo dos pêndulos oscilando no modo assíncrono, onde a curva vermelha se refere ao pêndulo 1 e a curva azul ao pêndulo 2.
Observa-se agora que os deslocamentos dos pêndulos não são mais iguais, eles têm sentidos contrários, e com uma pequena diferença de amplitude entre os mesmos. Esta pequena variação de amplitude dos dois pêndulos depende diretamente da razão entre as massas de cada pêndulo, para ser mais exato, da razão m2
m1
. Veja que no instante inicial t = 0 a mola encontra-se esticada, puxando ambos os
pêndulos para o centro, depois de um certo tempo, a mola irá se comprimir empurrando os dois pêndulos para os lados em sentidos opostos e com amplitudes diferentes, devido à diferença entre as massas dos mesmos. Observamos que o trabalho [2] possibilita a resolução de problemas relacionados à mecânica clásica, utilizando o formalismo hamiltoniano, em especial ao problema proposto quando se considera dois pêndulos com massas diferentes acoplados por uma mola. Contudo, a análise desenvolvida nesse texto demonstra de maneira suscinta em que situações os pêndulos oscilam no modo síncrono e assíncrono, deixando assim mais claro e evidente para o leitor estas situações. Espera-se, ainda, que este texto seja útil para o desenvolvimento de trabalhos futuros. REFERÊNCIAS
[1] Arnold, F. J., et al. Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 4311 (2011). [2] Silva Jr, R. S., Lat. Am. J. Phys. Educ. 7, 118-121 (2013). [3] Monerat, G. A. et al, Revista Brasileira de Ensino de Física 28, 177-189 (2006). [4] Goldstein, H., Poole, C., Safko, J., Classical Mechanics, (3rd Edition, New York, 2000).
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