Equação de Estado de Van der Waals

Equação de Estado de Van der Waals Do ponto de vista da Termodinâmica, gás ideal é aquele para o qual vale, para quaisquer valores de P e T, a equação de estado de Clapeyron: PiVi = nRT em que colocamos índices para enfatizar que as propriedades correspondentes estão associadas aos gases ideais. Do ponto de vista da Teoria Cinética, gás ideal é aquele cujas moléculas não interagem entre si e têm apenas energia cinética de translação. Os gases reais, para pressões não muito baixas e temperaturas não muito altas têm comportamento que se desvia do comportamento ideal. A mais conhecida equação de estado para gases reais é a equação de Van der Waals: 2  n  P + a     ( V − nb ) = nRT  V   

em que a e b, as chamadas constantes de Van der Waals, são parâmetros ajustáveis característicos de cada gás em particular.

A equação de estado de Van der Waals pode ser deduzida a partir da equação de estado de Clapeyron levando em conta as forças intermoleculares de atração e repulsão. Em média, as forças de atração se anulam mutuamente para as moléculas do interior da amostra gasosa, mas não para as moléculas que estão junto à parede do recipiente (Fig.14). Portanto, sobre as moléculas que estão na camada C1, junto à parede do recipiente, existem forças resultantes dirigidas para o interior da amostra gasosa. A pressão P da amostra de gás deve ser igual a pressão ideal Pi menos um termo de pressão π associado a estas forças: P = Pi − π O termo π deve ser proporcional ao número das moléculas por unidade de volume na camada C1 porque as forças resultantes sobre elas não se anulam. Contudo, o termo π deve ser proporcional também ao número de moléculas por

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unidade de volume da camada seguinte, C2, porque são as moléculas desta camada que exercem as forças sobre as moléculas da camada C1. Assim, podemos escrever:

n π~  V

2

em que n é o número de mols e V, o volume do recipiente que contém a amostra de gás. Pela expressão de cima resulta: n Pi = P + a   V

2

Por outro lado, cada molécula de uma amostra de gás real não dispõe de todo o volume do recipiente para seus movimentos porque não pode ocupar o volume já ocupado pelas outras moléculas. Os volumes próprios das moléculas estão associados às forças intermoleculares de repulsão. O volume V do recipiente deve ser igual ao volume Vi disponível para os movimentos das moléculas mais um termo ν associado ao volume excluído, isto é, o volume próprio das moléculas da amostra: V = Vi + ν

Gás

a (J m3 / mol2)

b (10−5 m3 / mol)

Hélio

He

0.0035

2,37

Neônio

Ne

0,0214

1,71

Criptônio

Kr

0,2351

3,98

Xenônio

Xe

0,4246

5,10

0,1358

3,22

Ar Hidrogênio

H2

0,0248

2,66

Oxigênio

O2

0,1378

3,18

Nitrogênio

N2

0,1409

3,91

Dióxido de Carbono

CO2

0,3640

4,27

Água

H2O

0,5507

3,04

Cloro

Cl2

0,6580

5,62

Metano

CH4

0,2280

4,28

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O termo ν pode ser escrito na forma ν = nb, em que n é o número de mols e b, o covolume, ou seja, o volume excluído por mol de moléculas. Assim: Vi = V − nb Substituindo Pi e Vi na equação de estado de Clapeyron, o resultado é a equação de estado de Van der Waals. A tabela acima mostra os valores das constantes a e b para alguns gases. Quanto menores forem os valores das constantes de Van der Waals, mais o comportamento do gás real correspondente se aproxima do comportamento de gás ideal. Pela tabela acima, podemos ver que os gases nobres hélio e neônio devem ter comportamento muito próximo do comportamento de gás ideal (como deveríamos esperar).

Constante a de Van der Waals Para uma amostra de uma dada substância, as mudanças da fase sólida para a fase líquida e da fase líquida para a fase gasosa ocorrem às custas do fornecimento de certas quantidades de energia. Estas quantidades de energia estão diretamente relacionadas às intensidades das forças intermoleculares nas fases sólida e líquida. A constante a de Van der Waals está associada às forças intermoleculares de atração e quanto mais alto o seu valor, maiores são os módulos destas forças. Como a energia interna está diretamente relacionada à temperatura, quanto maiores os módulos das forças intermoleculares mais altos são os pontos de fusão e de ebulição da substância em questão. Assim, por exemplo, um valor alto para a constante a de Van der Waals pode significar um alto ponto de ebulição.

A Fig.15 representa, no eixo horizontal, as temperaturas de ebulição de algumas substâncias e, no eixo vertical, os correspondentes valores da constante a de Van der Waals.

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Constante b de Van der Waals A constante b de Van der Waals está associada às forças intermoleculares de repulsão, que se tornam importantes quando as moléculas estão muito próximas umas das outras. Estas forças determinam o grau de dificuldade na compressão de uma substância nas fases de líquido ou de sólido. Indiretamente, as forças intermoleculares de repulsão determinam também o tamanho próprio das moléculas de um gás. Para estabelecer a relação entre o raio de uma molécula e o covolume, vamos considerar um modelo em que as moléculas são esferas rígidas de raio R. A distância de maior aproximação entre duas moléculas é 2R (Fig.16). Então, a metade do volume da região esférica de raio 2R deve ser igual ao volume excluído por molécula: v ex =

1 4 3 π ( 2R )  = 4v  2 3 

em que v é o volume de uma molécula. Escrevendo o número de Avogadro como NA, o volume excluído por mol de moléculas, representado pelo covolume b, resulta: b = 4vNA

A partir destas expressões, podemos escrever, para o raio das moléculas:

 3b R =   16π N A

  

1/ 3

Exemplo 1 Para o hélio, b = 2,37 x 10−5 m3 / mol. A expressão acima fornece:  3 ( 2,37 × 10 −5 m 3 / mol )  R=  23  16π ( 6,02 × 10 / mol ) 

1/ 3

o

= 1,33 × 10 −10 m = 1,33 A

O hélio é um gás nobre e, por isso, é constituído não por moléculas, mas por átomos. Portanto, o resultado acima é uma estimativa do raio atômico do hélio.

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Exemplo 2 A água na fase líquida tem densidade de 1,00 g/cm3 e massa molar de 18,0 g. Assim, o volume próprio de um mol de moléculas de água na fase líquida deve ser de 18,0 cm3. Por outro lado, a constante b de Van der Waals representa o volume excluído por mol de moléculas na fase gasosa e, para a água, tem o seguinte valor: b = 3,04 x 10−5 m3 / mol Desse modo, o volume próprio de um mol de moléculas de uma amostra de água na fase gasosa deve ser de 30,4 cm3. Podemos explicar essa diferença levando em conta o seguinte. As moléculas de água têm a forma de um V aberto, com o átomo de oxigênio no vértice e os átomos de hidrogênio nas extremidades dos braços. Na fase gasosa, as moléculas giram rapidamente ao redor de seus próprios centros de massa e, por isso, ocupam, efetivamente, um volume maior do que quando se encontram relativamente fixas em suas posições na fase líquida.

Exercício 1 Sem resolver a equação de Van der Waals, discuta se é uma amostra gasosa de oxigênio ou uma amostra gasosa de hidrogênio que tem a maior pressão para os mesmos valores de temperatura e volume.

Exercício 2 Considere algumas amostras de substâncias e, para cada uma delas, calcule o volume de um mol de moléculas na fase líquida e o volume próprio de um mol de moléculas na fase gasosa. Compare e discuta os resultados.

Exercício 3 Calcule o volume de uma amostra de um mol de vapor d’água a 100 oC e 1 atm admitindo comportamento ideal. Então, determine a temperatura para a qual essa amostra de vapor ocuparia esse volume, à mesma pressão, admitindo comportamento de Van der Waals.

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