Espaço Tensorial Generalizado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO: Uma Abordagem Moderna , por Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

LUCAS MÁXIMOALVES

ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO: Uma Abordagem Moderna ,

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

LUCAS MÁXIMOALVES

ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO: Uma Abordagem Moderna ,

Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná

Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Orientador: Prof. Dr.

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

Dedicatória

Dedico,

Agradecimentos Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer: À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

Epígrafe

“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)

Sumário Apresentação ....................................................................................................................... 18 Capítulo –I........................................................................................................................... 19 INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS NUMERICOS ........................................................... 19 1. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 19 1. 2 - Introdução................................................................................................................... 19 1. 3 - Revisão da Matemática Básica .................................................................................... 20 1.3.1 - Conjunto dos Números Naturais ( ) ........................................................................ 21 1.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros ( ).......................................................................... 24 1.3.3 - Conjunto dos Números Racionais ( ) ...................................................................... 29 A2.4 - Conjunto dos Números e Irracionais (I) e Reais (R).................................................. 33 1.3.4 - Conjunto dos Números Reais ( )............................................................................. 34 1.3.5 - Conjunto dos Números Complexos ( ).................................................................... 39 1. 4 - Exemplos e Aplicações ............................................................................................... 40 1. 5 - Exercícios e Problemas ............................................................................................... 41 Capítulo – II......................................................................................................................... 42 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS.................................................... 42 2. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 42 2. 2 – Introdução .................................................................................................................. 42 2. 3 – Os Números e seus Conjuntos em Geral ..................................................................... 43 2.3.1 - Adição ...................................................................................................................... 45 2.3.2 - Subtração .................................................................................................................. 45 2.3.3 - Multiplicação ............................................................................................................ 45 2.3.4 - Divisão ..................................................................................................................... 46 2.3.5 - Potenciação ............................................................................................................... 46 2.3.6 - Radiciação ................................................................................................................ 46 2.3.7 - Conclusão ................................................................................................................. 47 Capítulo – III ....................................................................................................................... 48 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS ESCALARES OU TENSORES DE ORDEM ZERO .................................................................................................................................. 48 3. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 48 3. 2 – Introdução .................................................................................................................. 48 3. 3 – Escalares ou Tensores de Ordem 0 ............................................................................. 49 3.3.1 - Definição de Escalar ................................................................................................. 49 3.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 0 .................................................................................. 49 3. 4 – Operações e Exemplos destas com Escalares ou Tensores de Ordem 0 ....................... 50 3.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 50 3.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 50 3.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 50 3.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 0 ....................................................................... 50 3.4.5 - Produto Escalar de Ordem 0...................................................................................... 51

3.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 0.................................................................................... 51 3.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 0................................................................................... 51 3. 5 – Cálculo com Escalares ou Tensores de Ordem 0 ......................................................... 52 3.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 0..................................................... 52 3.5.2 – Componente de um Tensor de Ordem 0 .................................................................... 52 3. 6 – Transformação de Coordenadas com Escalares ou Tensores de Ordem 0 .................... 53 3. 7 – Propriedades dos Escalares ou Tensores de Ordem 0 .................................................. 54 3. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 55 Capítulo – IV ....................................................................................................................... 56 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS VETORES OU TENSORES DE ORDEM UM ............................................................................................................................................ 56 4. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 56 4. 2 – Introdução .................................................................................................................. 56 4. 3 – Vetores ou Tensores de Ordem 1 ................................................................................ 57 4.3.1 - Definição de Vetor.................................................................................................... 57 4.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 1 .................................................................................. 58 4. 4 – Operações e Exemplos destas com Vetores ou Tensores de Ordem 1.......................... 59 4.4.1 - Adição ...................................................................................................................... 59 4.4.2 - Subtração .................................................................................................................. 59 4.4.3 - Multiplicação ............................................................................................................ 59 4.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 1 ....................................................................... 60 4.4.5- Produto Escalar de Ordem 1....................................................................................... 60 4.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 1..................................................................................... 61 4.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 1................................................................................... 62 4. 5 – Cálculo com Vetores ou Tensores de Ordem 1............................................................ 63 4.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 1 .................................................... 63 4.5.2 – Componente de Tensor de Ordem 1.......................................................................... 64 4. 6 – Transformação de Coordenadas com Vetores ou Tensores de Ordem 1....................... 65 4.6.1 – Exemplo 1 ................................................................................................................ 67 4.6.2 – Exemplo 2 ................................................................................................................ 68 4. 7 – Propriedades dos Vetores ou Tensores de Ordem 1..................................................... 70 4. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 72 Capítulo – V ........................................................................................................................ 73 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS MATRIZES OU TENSORES DE ORDEM DOIS ................................................................................................................................... 73 5. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 73 5. 2 – Introdução .................................................................................................................. 73 5. 3 – Matrizes ou Tensores de Ordem 2 .............................................................................. 74 5.3.1 - Definição de Matriz .................................................................................................. 74 5.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 2 .................................................................................. 75 5. 4 – Operações e Exemplos destas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ........................ 76 5.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 76

5.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 77 5.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 77 5.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 2 ....................................................................... 77 5.4.5 - Duplo Produto Escalar ou Produto de Ordem 2 ......................................................... 79 5.4.6 - Duplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 2........................................... 80 5.4.7 - Duplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 2....................................... 80 5. 5 – Cálculo com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 .......................................................... 82 5.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 2 .............................................. 82 5.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 2..................................................... 83 5.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 2 ................................................................... 84 5. 6 – Transformação de Coordenadas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ..................... 86 5.6.1 – Exemplo 1 ................................................................................................................ 88 5.6.2 – Exemplo 2 ................................................................................................................ 89 5. 7 – Propriedades dos Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ................................................... 91 5. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 93 Capítulo – VI ....................................................................................................................... 94 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS SUPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM TRÊS .................................................................................................................... 94 6. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 94 6. 2 – Introdução .................................................................................................................. 94 6. 3 – Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3 ...................................................................... 95 6.3.1- Definição de SuperMatriz .......................................................................................... 95 6.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 3 .................................................................................. 96 6. 4 – Operações e Exemplos destas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3................ 97 6.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 97 6.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 98 6.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 98 6.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 3 ...................................................................... 99 6.4.5 - Triplo Produto Escalar ou Produto Escalar de Ordem 3 ........................................... 101 6.4.6 - Triplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 3......................................... 101 6.4.7 - Triplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 3..................................... 102 6. 5 – Cálculo com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3 ............................................... 104 6.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 3 ............................................ 104 6.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 3 .................................................. 105 6.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 3 ................................................................. 107 6. 6 – Transformação de Coordenadas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3........... 110 6. 7 – Propriedades das Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3......................................... 113 6. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 115 Capítulo – VII.................................................................................................................... 116 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS HIPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM QUATRO ........................................................................................................... 116 7. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 116 7. 2 – Introdução ................................................................................................................ 116

7. 3 – Hipermatrizes Tensores de Ordem 4 ......................................................................... 117 7.3.1 - Definição de HiperMatriz........................................................................................ 117 7.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 4 ................................................................................ 117 7. 4 – Operações e Exemplos destas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4 .............. 118 7.4.1 - Adição: ................................................................................................................... 118 7.4.2 - Subtração:............................................................................................................... 119 7.4.3 - Multiplicação: ......................................................................................................... 119 7.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 4 .................................................................... 119 7.4.5 - Quadruplo Produto Escalar...................................................................................... 121 7.4.6 - Quadruplo Produto Vetorial .................................................................................... 121 7.4.7 - Quadruplo Produto Tensorial .................................................................................. 121 7. 5 – Cálculo com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4................................................ 122 7.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 4 .................................................. 122 7.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 4 ................................................................. 124 7. 6 – Transformação de Coordenadas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4........... 127 7. 7 – Propriedades das Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4 ......................................... 130 7. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 132 Capítulo – VIII................................................................................................................... 133 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS ULTRAMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM N......................................................................................................................... 133 8. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 133 8. 2 – Introdução ................................................................................................................ 133 8. 3 – Ultramatrizes Tensores de Ordem N......................................................................... 134 8.3.1 - Definição de UltraMatriz......................................................................................... 134 8.3.2 - Soma de Tensores de Ordem N ............................................................................... 134 8. 4 – Operações e Exemplos destas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N .............. 136 8.4.1 - Adição: ................................................................................................................... 136 8.4.2 - Subtração:............................................................................................................... 137 8.4.3 - Multiplicação: ......................................................................................................... 137 8.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem N.................................................................... 137 8.4.5 - N’tuplo Produto Escalar .......................................................................................... 139 8.4.6 - N’tuplo Produto Vetorial......................................................................................... 139 8.4.7 - N’tuplo Produto Tensorial....................................................................................... 139 8. 5 – Cálculo com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N................................................ 140 8.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem N ................................................. 141 8.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem N ................................................................ 141 8. 6 – Transformação de Coordenadas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N........... 142 8. 7 – Propriedades das Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N ......................................... 143 8. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 145 Capítulo – IX ..................................................................................................................... 146 GENERALIZAÇÃO DE FUNÇÕES, SEQUENCIAS, SERIES E TRANSFORMADAS .. 146 9. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 146 9. 2 - Introdução................................................................................................................. 146

9. 3 - Espaço Tensorial de Funções .................................................................................... 147 Apêndices .......................................................................................................................... 148

Lista de Figuras Figura - 2. 1. ........................................................................................................................ 45 Figura - 4. 1 ......................................................................................................................... 60 Figura - 4. 2 ......................................................................................................................... 65 Figura - 5. 1 ......................................................................................................................... 84 Figura - 5. 2 ......................................................................................................................... 86 Figura - 6. 1 ....................................................................................................................... 107 Figura - 6. 2 ....................................................................................................................... 110 Figura - 7. 1 ....................................................................................................................... 124 Figura - 7. 2 ....................................................................................................................... 127

Lista de Tabelas

Lista de Siglas

Lista de Símbolos

Resumo

Abstract

Apresentação Esta apostila de Espaço Tensorial e Funcional Generalizado é resultado da digitação das aulas do curso de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Matériais da Universidade Estadual de Ponta Grossa- UEPG, na disciplina de Mecânica do Contínuo, ministrado pelo professor Dr. Lucas Máximo Alves e de seus estudos pessoais anteriores, obtidos durante o seu doutorado no Programa de Pós-Graduação de Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.

Capítulo –I INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS NUMERICOS RESUMO Neste capítulo será visto alguns dos conjuntos numéricos usados na matemática.

1. 1 -Objetivos do capítulo i) Entender a origem e a natureza ii) Saber classificar os tipos de iii) Saber reconhecer a ordem ou o grau de

1. 2 - Introdução Os conjuntos numéricos

1. 3 - Revisão da Matemática Básica Nós sabemos que a matemática possui ‘varias divisões, entre elas temos , a Aritmética, a Álgebra, o Cálculo e a Análise e a Geometria. Em todas essas áreas precisamos definir operações com números. Desde a infância aprendemos na escola que existem diversos conjunto de números desde os naturais,

, Inteiros,

, Racionais,

, Reais,

, e Complexos,

desses conjuntos foi gerado a partir de operações e propriedades dessas operações.

. Cada um

1.3.1 - Conjunto dos Números Naturais ( ) Considere por exemplo o conjunto dos números naturais. Sejam a, b, c e d elementos pertencentes ao conjunto dos números naturais,

. Neste conjunto podemos

definir as seguintes operações e propriedades. A operação básica a ser definida nesse conjunto é a adição. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim:

i) Operação da Adição ou Soma Considere a operação de translação sobre uma semi-reta numerada, conforme mostrado na Figura - A2. 1

Figura - A2. 1. Operação de Adição e Subtração no conjunto dos Números Naturais,

a  b  c ; a, b, c 

(1. 1)

Esta operação possui as seguintes propriedades:

ii) Propriedades da Adição 1) Propriedade da Comutatividade Precisamos de uma propriedade chamada de comutativa. Essa é a primeira propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

ab ba  c

2) Propriedade da Associatividade Essa é a segunda propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

(1. 2)

 a  b  c  a  b  c 

(1. 3)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Adição Precisamos definir um elemento neutro da adição, que será o zero. Nessa propriedade define-se um elemento neutro como sendo aquele que quando operado com qualquer elemento do conjunto, não altera o valor da operação, ou seja:

(1. 4)

a0a

4) Propriedade do Elemento Simétrico Para poder reverter a operação da adição precisamos definir um elemento simétrico. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim: Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, a , aquele de igual valor ao elemento a 

, do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com seu

correspondente resulta no valor nulo: a   a   a  a  0

(1. 5)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da adição, que é a subtração. Logo, para poder reverter a operação da adição precisamos definir um elemento simétrico (ou inverso) para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a passagem do elemento simétrico para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do elemento neutro.

5) Propriedade da Completeza ou do Fechamento do Conjunto Sejam o elementos a, b 

, então qualquer operação entre os elementos a e b do

conjunto,

(1. 6)

a b  c

deve levar a um elemento que também pertence ao conjunto, isto c 

.

6) Operação com o Elemento Simétrico ou Operação Simétrica: Subtração Logo para um soma de a com um elemento b , temos:

a   b   a  b  d

(1. 7)

b   a   b  a   d

(1. 8)

ou ainda

Observe que nessa última operação acima podem se definir números que já não pertencem ao conjunto dos números naturais. Pois se a, b 

, e o elemento d 

pode ser

que o elemento d  . O que torna necessário definir um novo conjunto, para poder incluir o número  d , ou seja, o dos números inteiros,

, onde valores positivos e negativos devem ser

considerados conjuntamente com os naturais. Logo não vale aplicar a operação inversa na propriedade 6, ou seja:

a b  b a

(1. 9)

iii) Generalização de um Número Natural Portanto, todo número natural está representado, por um algarismo, seguido das seguintes operações simultâneas de neutralidade:

a:a 0

(1. 10)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação de adição (e sua respectiva operação inversa) com o elemento neutro, que no caso é o zero.

1.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros ( ) O conjunto dos números inteiros é definido a partir do momento em que a operação de subtração produz novos números que não estão contidos no conjunto dos números naturais. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 6. Considere por exemplo o conjunto dos números inteiros. Sejam a, b, c e d elementos pertencentes ao conjunto dos números inteiros,

. Neste conjunto podemos definir

as seguintes operações e propriedades. Seja a operação de translação sobre uma reta numerada, conforme mostrado na Figura - A2. 2. A operação básica a ser definida nesse conjunto é também a adição. Pois bem de forma análoga ao conjunto dos números naturais define-se as propriedades da subtração.

Figura - A2. 2. Operação de Adição e Subtração no conjunto dos Números Inteiros,

i) Operação da Multiplicação Considere a operação de multiplicação, conforme mostrado na Figura - A2. 3

Figura - A2. 3. Operação de Multiplicação no conjunto dos Números Inteiros,

A operação da multiplicação surgem como sendo a operação da adição operada várias vezes como segue:

a  a  a  a  ....  a  a.b  c b vezes

(1. 11)

ii) Propriedades da Multiplicação 1) Propriedade da Comutatividade Precisamos de uma propriedade chamada de comutativa. Essa é a primeira propriedade a ser definida, a qual se expressa como: a.b  b.a  c

(1. 12)

2) Propriedade da Associatividade Essa é a segunda propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

 a.b  .c  a.  b.c 

(1. 13)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação Precisamos definir um elemento neutro da multiplicação, que será o zero. Nessa propriedade define-se um elemento neutro como sendo aquele que quando operado com qualquer elemento do conjunto, não altera o valor da operação, ou seja:

(1. 14)

a.1  a

4) Propriedade do Elemento Inverso Para poder reverter a operação da multiplicação precisamos definir um elemento inverso. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim: Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, elemento a 

1 , aquele de igual valor ao a

, do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com seu

correspondente resulta no valor nulo: 1 a a.     1 a a

(1. 15)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Logo, para poder reverter a operação da multiplicação precisamos definir um elemento inverso para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a passagem do elemento inverso para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação Seja a operação conjugada entre os elementos a, b e c a.  b  c   a.b  a.c  e

(1. 16)

6) Propriedade da Completeza ou do Fechamento do Conjunto Sejam o elementos a, b  , então qualquer operação entre os elementos a e b do conjunto,

a

bc

(1. 17)

deve levar a um elemento que também pertence ao conjunto, isto c  .

7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Divisão Logo para um multiplicação de a com um elemento

1 , temos: b

1 a.    d b

(1. 18)

1 1 b.    a d

(1. 19)

ou ainda

8) Operações Conjugadas de Subtração e Divisão Nesta operação aplica-se as operações inversas utilizadas na propriedade 5.

 a  b .

1 a b    f c c c

(1. 20)

Observe que na operação (1. 19) podem se definir números que já não pertencem ao conjunto dos números inteiros. Pois se a, b  , e o elemento d  elemento

pode ser que o

1  . O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para poder d

incluir o número

1 , ou seja, o dos números fracionários, d

, onde valores inteiros e

fracionários devem ser considerados conjuntamente. Logo não vale aplicar a operação inversa na propriedade 7, ou seja:

a b  b a

(1. 21)

iii) Generalização de um Número Inteiro Portanto, todo número inteiro está representado, por um algarismo, seguido das seguintes operações simultâneas de neutralidade: a:

1.a  0 1

(1. 22)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação de adição e multiplicação (e suas respectivas operações inversas) com os elemento neutros, que no caso é o zero e a unidade respectivamente.

1.3.3 - Conjunto dos Números Racionais ( ) O conjunto dos números racionais ou fracionários é definido a partir do momento em que a operação de divisão produz novos números que não estão contidos no conjunto dos números inteiros. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 6. Considere por exemplo o conjunto dos números racionais ou fracionários. Sejam a, b, c e d elementos pertencentes ao conjunto dos números racionais,

. Neste conjunto

podemos definir as seguintes operações e propriedades. Seja a operação de divisão, conforme mostrado na Figura - A2. 4. A operação básica a ser definida nesse conjunto é também a multiplicação. Pois bem de forma análoga ao conjunto dos números inteiros define-se as propriedades de divisão.

Figura - A2. 4. Operação de Divisão no conjunto dos Números Racionais,

i) Operação de Potenciação Neste novo conjunto temos novas operações que podem ser feitas, como por exemplo: d c .c. c....  c  c  e onde c, d , e 

(1. 23)

d vezes

Ou

( a  a  ...  a). c .c....c  c d  e onde a, b, c, d , e  A   ( d 1)vezes b  vezes   a .b c  

(1. 24)

d vezes

a b  c mas a b  b a

(1. 25)

ii) Propriedades da Potenciação 1) Propriedade da Comutatividade Precisamos de uma propriedade chamada de comutativa. Essa é a primeira propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

a b c  a c b  d

(1. 26)

2) Propriedade da Associatividade Essa é a segunda propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

a  b

c



 a   c

b

(1. 27)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Potencição Precisamos definir um elemento neutro da potenciação, que será a unidade. Nessa propriedade define-se um elemento neutro como sendo aquele que quando operado com qualquer elemento do conjunto, não altera o valor da operação, ou seja:

a1  a

(1. 28)

4) Propriedade do Elemento Inverso Para poder reverter a operação da potenciação precisamos definir um elemento inverso. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim: Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, a 1  valor ao elemento a 

1 , aquele de igual a

, do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com

seu correspondente resulta no valor nulo:

1 a a.a 1  a.   1 a a

(1. 29)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da potenciação, que é a radiciação. Logo, para poder reverter a operação da potenciação precisamos definir um elemento inverso para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a passagem do elemento inverso para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação, Potenciação Seja a operação conjugada entre os elementos a, b e c

a b c   ab .a c  e

(1. 30)

6) Propriedade da Completeza ou do Fechamento do Conjunto Sejam o elementos a, b 

, então qualquer operação entre os elementos a e b do

conjunto,

(1. 31)

a b  c

deve levar a um elemento que também pertence ao conjunto, isto c 

.

7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Radiciação Logo para um potenciação de a com um elemento

1 , temos: b

1  

(1. 32)

a b   b a  d ou ainda 1  

1 d

b a   a b  e 

(1. 33)

8) Operações Conjugadas de Subtração, Divisão e Radiciação Nesta operação aplica-se as operações inversas utilizadas na propriedade 5.

a  b

c

c

 b  a   d c  e

(1. 34)

c

(1. 35)

 a   b     a  b 

c

c

 fc g

c

 b   a     b  a     f 

c

i

(1. 36)

a  b c   a b .a  c  d

(1. 37)

1 d

(1. 38)

e a  c b   a c .a  b 

ab 

1 d ab

(1. 39)

b a 

1 d ba

(1. 40)

e

Observe que na operação (1. 33) podem se definir números já não pertencem ao 1 conjunto dos números racionais. Pois se a,  b

elemento e  a b 

, e o elemento d 

pode ser que o

. O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para

poder incluir o número

1 , ou seja, o dos números racionais, d

, onde valores diretos e

inversos devem ser considerados conjuntamente com os inteiros. Logo não vale aplicar a operação inversa na propriedade 7, ou seja: 1  b1 b   a   a a  a  b  b          

(1. 41)

iii) Generalização de um Número Racional Portanto, todo número racional está representado, por um algarismo, seguido das seguintes operações simultâneas de neutralidade: a:

1. 1 a1  0 1

(1. 42)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação se adição, multiplicação e potenciação (e suas respectivas operações inversas) com os elementos neutros, que no caso é o zero e a unidade respectivamente.

9) Conjunto dos Números e Irracionais (I) e Reais (R) Neste novo conjunto aparecem operações que resultam em elementos fora do conjunto e assim vamos para o conjuntos dos número reais, R, onde novas operações e novas propriedades aparecem e assim sucessivamente até chegar ao conjunto dos números complexos, C.

1.3.4 - Conjunto dos Números Reais ( ) O conjunto dos números reais é definido a partir do momento em que a operação de radiciação produz novos números que não estão contidos no conjunto dos números racionais. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 7. Considere por exemplo o conjunto dos números reais. Sejam a, b, c e d elementos pertencentes ao conjunto dos números reais,

. Neste conjunto podemos definir as seguintes

operações e propriedades. Seja a operação de radiciação, conforme mostrado na Figura - A2. 5. A operação básica a ser definida nesse conjunto é também a potenciação. Pois bem de forma análoga ao conjunto dos números racionais define-se as propriedades de radiciação.

Figura - A2. 5. Operação de ... no conjunto dos Números Reais,

i) Operação de Logaritmo Neste novo conjunto temos novas operações que podem ser feitas, como por exemplo: d log e  d  c .c .c....  c  c  e onde c, d , e  c

(1. 43)

d vezes

Ou

( a  a  ...  a). c .c....c  c d  e onde a, b, c, d , e    ( d 1)vezes b  vezes   a .b c  

(1. 44)

d vezes

log c  b  log d  a a

b

(1. 45)

ii) Propriedades da Logaritmo 1) Propriedade da Comutatividade Precisamos de uma propriedade chamada de comutativa. Essa é a primeira propriedade a ser definida, a qual se expressa como: log  a  b   log  b  a   c

(1. 46)

2) Propriedade da Associatividade Essa é a segunda propriedade a ser definida, a qual se expressa como: log  a  b  c   log   a  b   c   log  a   b  c  

(1. 47)

3) Propriedade do Elemento Neutro do Logaritmo Precisamos definir um elemento neutro do logaritmo, que será a unidade. Nessa propriedade define-se um elemento neutro como sendo aquele que quando operado com qualquer elemento do conjunto, não altera o valor da operação, ou seja:

log c log1  log c

(1. 48)

log c .log a  log c

(1. 49)

a

a

a

e a

a

a

4) Propriedade do Elemento Inverso Para poder reverter a operação da logaritmo precisamos definir um elemento inverso. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim: 1 Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, log a 1   log a  log   , a

aquele de igual valor ao elemento a 

, do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma

que a soma com seu correspondente resulta no valor nulo: l og  a.a 1   log a  log a 1  log a  log a  0

(1. 50)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa do logaritmo, que é a exponenciação. Logo, para poder reverter a operação de logaritmo precisamos definir um elemento inverso para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a passagem do elemento inverso para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação, Potenciação Seja a operação conjugada entre os elementos a, b e c

a b c   ab .a c  e

(1. 51)

6) Propriedade da Completeza ou do Fechamento do Conjunto Sejam o elementos a, b 

, então qualquer operação entre os elementos a e b do

conjunto,

(1. 52)

a b  c deve levar a um elemento que também pertence ao conjunto, isto c 

.

7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Radiciação Logo para um logaritmo de a com um elemento

1 , temos: b

1  

(1. 53)

a b   b a  d ou ainda 1  

1 d

b a   a b  e 

(1. 54)

8) Operações Conjugadas de Subtração, Divisão e Radiciação Nesta operação aplica-se as operações inversas utilizadas na propriedade 5.

a  b

c

c

 b  a   d c  e

(1. 55)

c

(1. 56)

 a   b     a  b 

c

c

 fc g

c

 b   a     b  a     f 

c

i

(1. 57)

a bc   a b .a  c  d

(1. 58)

1 d

(1. 59)

e a  c b   a c .a  b 

ab 

e

1 d ab

(1. 60)

b a 

1 d ba

(1. 61)

Observe que na operação (1. 33) podem se definir números já não pertencem ao

1 conjunto dos números racionais. Pois se a,  b elemento e  a b 

, e o elemento d 

pode ser que o

. O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para

poder incluir o número

1 , ou seja, o dos números racionais, d

, onde valores diretos e

inversos devem ser considerados conjuntamente com os inteiros. Logo não vale aplicar a operação inversa na propriedade 7, ou seja: 1  b1 b   a   a  a  a    b  b     

(1. 62)

iii) Generalização de um Número Real Portanto, todo número real está representado, por um algarismo, seguido das seguintes operações simultâneas de neutralidade: a:

1. 1 a1  0 1

(1. 63)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação se adição, multiplicação e potenciação (e suas respectivas operações inversas) com os elementos neutros, que no caso é o zero e a unidade respectivamente.

1.3.5 - Conjunto dos Números Complexos ( )

Figura - A2. 6

(6. 1) Veja todas essas operações são feitas com escalares e não é necessário designar nem uma direção e nem um sentido para as grandezas associadas aos números.

1. 4 - Exemplos e Aplicações

1. 5 - Exercícios e Problemas

Capítulo – II GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS RESUMO Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial. As propriedades fundamentais dos tensores serão demonstradas preparando o estudante para a sua aplicação na teoria da elasticidade e na teoria da viscosidade.

2. 1 - Objetivos do capítulo i) Entender o conceito geral de tensor e suas propriedades. ii) Saber reconhecer um tensor. iii) Saber expressar um vetor e/ou um tensor em diferentes sistemas de coordenadas. iv) Saber realizar cálculos tensoriais.

2. 2 – Introdução À medida que o conhecimento tem científico avançado a estrutura matemática da representação dos números e das grandezas físicas têm se tornado cada vez mais complexas. Isto por causa da necessidade de expressar quantidades que levam em conta a topologia do espaço considerado. A matemática iniciou-se com os números e, evoluiu para definição de grandezas mais complexas como os vetores as matrizes e os tensores. Apresentamos nesse capítulo uma breve descrição da evolução da representação dos números, desde o conjunto dos números naturais até os complexos e, em seguida, mostramos como uma generalização

dos números, passando para os vetores e tensores pode ser descrita. Desta forma definiu-se os números como tensores de ordem zero, os vetores como tensores de ordem um e as matrizes como tensores de ordem dois e assim sucessivamente.

2. 3 – Os Números e seus Conjuntos em Geral Nós vimos no primeiro grau o aparecimento dos números como representação algébrica de quantidades ou grandezas físicas e matemáticas. Vimos também a definição de vários conjuntos que vão desde os Naturais até os Complexos. Esses conjuntos sugiram da necessidade de se definir novos números diferentes do conjunto em estudo, os quais sugiram a partir do resultado de operações que ultrapassam o conjunto previamente definido. Por exemplo: i)

O conjunto dos números naturais, N, sendo dado por:

N : 0,1,2,3,...

(2. 1)

a  b  c onde a  N ; b  N ;c  N

(2. 2)

Sabendo-se que:

O conjunto dos números inteiros, Z, surgiu quando se sentiu a necessidade de definir um novo número devido a seguinte operação de subtração:

a  (b)  c onde a  N ; b  N ;se a