ESQUEMAS -FORMULARIOS

ESQUEMAS - FORMULARIOS

4

Pamer SAN MARCOS

ESQUEMAS - FORMULARIOS

ÍNDICE GENERAL RAZ. MATEMÁTICO

Criterios de la divisibilidad ................ 24

Razonamiento Lógico ........................ 8

Números Primos ............................... 25

Orden de información ....................... 9

MCD y MCM .................................... 26

Planteo de ecuaciones -

Números racionales Q - Tanto

Edades ............................................. 10

por ciento ....................................... 27

Operaciones matemáticas ................ 11

Interés Simple - Mezclas ................... 28

Sucesiones ...................................... 12 Series ............................................. 13

ÁLGEBRA

Ecuaciones diofánticas ....................... 14

Ecuaciones lineales .......................... 29

Análisis combinatorio ........................ 15

Principales productos notables .......... 30

Máximos y Mínimos .......................... 16

Ecuación cuadrática ......................... 31 Polinomios - Teoría de exponentes ..... 32

ARITMÉTICA

Sistema de Ecuaciones ..................... 33

Razón - Proporción - Promedios ........... 17

División de Polinomios - Factorización .... 34

Magnitudes proporcionales ............... 18

Teoría de Ecuaciones ......................... 35

Teoría de Conjuntos - Operaciones

Inecuaciones I ................................ 36

entre conjuntos ............................... 19

Inecuaciones II ............................... 37

Numeración ..................................... 20

Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38

Adición y Sustracción ....................... 22

Binomio de Newton .......................... 39

Multiplicación y División - Teoría

Logaritmos ...................................... 40

de la Divisibilidad ............................. 23

Números complejos .......................... 41

GEOMETRÍA Triángulos ....................................... 42 Congruencia de triángulos ................ 43 Cuadriláteros .................................. 44 Circunferencia ................................. 46 Proporcionalidad y semejanza

Reducción al primer cuadrante .......... 62 Circunferencia trigonométrica ........... 63 Identidades trigonométricas ............. 64 Identidades de ángulos compuestos ...... 65 Ángulos dobles y ángulos mitad I ...... 66

de triángulos .................................. 48

Ángulos mitad II y ángulo triple -

Relaciones métricas ......................... 49

Triángulos rectángulos notables ........ 67

Áreas triángulares ........................... 50 Áreas cuadrangulares Área circular ................................ 51 Geometría del espacio y poliedros regulares ........................................ 52

Transformaciones trigonométricas ...... 68 Funciones trigonométricas inversas ..... 69 Ecuaciones trigonométricas .............. 70 Resolución de triángulos .................. 71

Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ...... 53 Esfera y teorema de Pappus Guldin Polígonos y Poliedros regulares ......... 54

TRIGONOMETRÍA

FÍSICA Cinemática MRU - MRUV ................... 72 Caída libre - Movimiento

Sistemas angulares - Sector circular ..... 55

en dos dimensiones ......................... 74

Razones trigonométricas de

Movimiento circular - Fuerza

ángulos agudos ............................... 57

Estática .......................................... 75

Resolución de triángulos rectángulos .... 58 Geometría analítica .......................... 59 Ecuación de la recta ........................ 60 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal ................ 61

Dinámica - Rozamiento ..................... 76 Trabajo - Potencia mecánica Energía Mecánica ............................. 77 Hidrostática - Electrostática ............. 78

Electrodinámica ............................... 79

Estado gaseoso ............................... 89

Electromagnetismo - Física

Soluciones ...................................... 90

moderna ......................................... 80

Estequiometría ................................ 91

Movimiento armónico simple .............. 81

Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ...... 92 Electroquímica .................................. 93

QUÍMICA

Química Orgánica ............................. 94

Átomo ............................................ 82

Cíclicos y aromáticos ........................ 95

Características generales de los

Hidrocarburos ................................. 96

números cuánticos ........................... 83

Alquenos u olefinas - Alquinos

Configuración electrónica ................. 84

o acetilénicos .................................. 97

Tabla Periódica Actual ...................... 85

Alquenino - Oxigenados

Propiedades periódicas atómicas ....... 86

y nitrogenados ................................ 98

Enlace químico ................................. 87

Metalurgia y petróleo ....................... 99

Unidades químicas de masa .............. 88

Contaminación ambiental .................. 100

SAN MARCOS 2014 – I

Hermano (a)

8

Pedro: Fue Rodrigo Hugo: Pedro tiene razón

Reafirmación:

14 cuadrados

3 cuadrados

(1)(2)

V F V F

(1)(2)

Hace 3 días Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Dentro de 3 días

: -3 : -2 : -1 : 0 : +1 : +2 : +3

Relaciones temporales

s

a

b

s

15 15 15

4 9 2 3 5 7 8 1 6

:

Ejercicios con peleas

se repiten

3S=1+2+3+...9+a+b+c

c

s

Distribuciones mágicas Normales

: Horario : Antihorario

Unidas por un eje

:

Con correas cruzadas :

Con correas paralelas :

Juntas

RAZONAMIENTO LÓGICO

Juan: Carlos fue el culpable V F Carlos: Juan está mintiendo F V

Contradicción:

Principio de suposición

yo

Abuela materna

Madre

Abuela Abuelo paterna materno

Padre

Abuelo paterno

Relaciones de parentesco

Ejercicios con cerillos

15 15 15 15 15

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

Raz. Matemático

9

Lima Ingeniero

Hugo

Paco Tacna Médico

De forma directa:

1 2 3 x x A B x x x C x

Cuadro de descarte:

Luis Piura Profesor

Test de decisiones

C E D

B

A

Menor

Mayor

• A es mayor que B • B no es menor que C • C es mayor que D • D es menor que E

Creciente Decreciente

Lateral Izquierda Derecha Oeste Este Siniestra Diestra

Ordenamiento lineal

(ORDEN DE INFORMACIÓN)

H E

G D

Izquierda (horario)

A

B

Derecho (antihorario)

C

F

Ordenamiento circular

ESQUEMA - FORMULARIO

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

Lenguaje Literal (Enunciado)

Traducción

• A excede a B en 10 unidades • El doble, de un número disminuido en 3 unidades. • El doble de un número, disminuido em 3 unidades. • A es por dos veces B • A es dos veces más que B

Lenguaje Matemático (Ecuaciones) A – B = 10 2(x – 3) 2x – 3 A = 2B A = B + 2B A=3B

Con dos o más sujetos Pas Pre Fut a d e Daniella c b f Melanie • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a–c=d–d=e–f • La suma en aspa da el mismo resultado: a+b=c+d d+ f=b+e a +f=c+e Importante Caso 1: Año nacimiento + edad = año en curso • Si la persona ya cumplió años en el año en curso. Caso 2: Año nacimiento + edad = año en curso – 1 • Si la persona todavía no cumple años en el año en curso. Nota: Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

SAN MARCOS 2014 – I

10

Raz. Matemático

ESQUEMA - FORMULARIO

Máquina +

Adición Sustracción

X

División Materia prima Números

Producto terminado Resultado

Botones Operadores Proceso de producción Operación matemática

Definición

a*b = 3a + 5b + 4

2

Explícita ..........................................

Definición

2

a*b = 3(b *a ) + a

Implícita ..........................................

5

=m

m

=5

Se resuelve de adentro hacia .............. afuera ...............

Si x = x+1

Raz. Matemático

Se resuelve de adentro afuera hacia .............. ...............

11

SAN MARCOS 2014 – I

Se consideran 27 letras del abecedario (No se considera Ch, ni Ll)

Literales

SAN MARCOS 2014 – I

r

r

12

* Para una sucesión con una cantidad impar de término.

Producto de extremos *

q: razón aritmética

×q ×q ×q

Sucesión Geométrica

* para una cantidad impar de términos en la sucesión.

r: razón aritmética

r

Sucesiones aritmética (Lineal)

SUCESIONES

2 2

A+B=4 6

2

2

8 10 12

t1 t2 t3 t4 t5 C = 0 4; 10; 18; 28; 40; ...

De 2º Orden

Sucesiones Notables

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

13

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

ECUACIONES DIOFÁNTICAS MULTIPLICIDAD

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. Si N es múltiplo de n

1. n + n + n + ... + n = n

o



Si N = n ⇒ N= nk; k ∈ 

o

o

o

 n : se lee múltiplo de n

Ejemplo:

Ejemplo:

8 • 8+8+8=





Si N= 5 N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)



o o o 2. n+ n =n



Ejemplo: 





• 7 −7 = 7

2. Si N no es múltiplo de n 

N= n + rd ó N = n − re





14 − 14 = 14

•

  0 10 = 10    

o

Ejemplo: 



• 27 = 7    

Ejemplo:



•

3. k n= n; k ∈ Z

n donde: rd + re = rd : residuo por defecto re : residuo por exceso 

20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6 ) 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2 

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES o

Sea A x B = n



⇒ 20 =6 + 2 ⇒ 20 =6 − 4

Aplicación: 

o

o

o

o

Si A ≠n ⇒ B = n

Donde: 2 + 4 =6

Si B ≠n ⇒A = n Ejemplo: 



Si N = 9 + 3 ⇒ N =9 − 6

4x = 5

Si N = 12 −1 ⇒N = 12 + 11

4 ≠5⇒ x = 5





     15 + 15 + 15 + 15 = 15

•

Si N = 8 N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...} 



o



SAN MARCOS 2014 – I



14



Raz. Matemático

Raz. Matemático

15

P5 = 5! = 120

5 amigos en 5 asientos

Ejemplo:

Pn = n!

Permutación Lineal

• Multiplicativo (y): Para eventos de dependientes, simultáneos.

• Aditivo (o): Para eventos independientes

Principio de Conteo

n! = (n k)!

P52 =

5! = 20 3!

5 amigos en 2 asientos

Ejemplo:

Pnk

Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”

n! k!(n k)!

PR62; 3; 1 =

2

Ejemplo:

6! 2!3!1!

3

1

Pc(6) = 5!

6 amigos en una mesa circular

Ejemplo:

Pc(n) = (n − 1)!

n! a!b!c!... PRna; b; c; ... =

Permutación circular

• Cnk = Cnn−k

Propiedades:

Cnk =

Combinación (agrupar)

Permutación con repetición

Permutación (Ordenar)

ANÁLISIS COMBINATORIO

n! = 1×2×3×4×...n 0! = 1 n! = n(n 1)!

Factorial de un número

ESQUEMA - FORMULARIO

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Problemas sobre certeza

Expresiones algebraicas de 2do grado

Casos Casos Número de : + extraciones desfavorables favorables Lo que no quiero que salga

2

E(x) = Ax + Bx + C

Lo que pide el problema

A>0

EMÍN

A>0

EMÁX

X=

2A

Otras situaciones • Si: a + b = K K K (a.b)máx = . 2 2

• Si: a > 0 1 a+ >2 a

• Si: a × b = K

• Si: × ∈ = IR

(a+b)mín = K +

SAN MARCOS 2014 – I

K

16

2

x >0

Raz. Matemático

ESQUEMA - FORMULARIO

Aritmética

17

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

MAGNITUDES PROPORCIONALES DP

IP A IP B

A DP B Valor de A = Cte Valor de B

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A IP B

A DP B Constante f(x) = K x Valor de A

Constante

Propiedades Valor de B

• A IP B • A DP B

1 B 1 A IP B

• A DP B (C cte) Gráfica: Valor “A” Línea Recta

Valor de B

Valor de A

A IP C (B cte) AxC = cte B

a1

f(x) = k x

A DP

Gráfica: Valor “A” Hipérbola Equilátera

a1 a2

a2 b1 a1 b1

=

Valor “B” b2 a2 b2

b1

=k

SAN MARCOS 2014 – I

b2 Valor “B”

a1 . b1 = a2 . b2 = k

18

Aritmética

ESQUEMA - FORMULARIO

A = {a1; a2; a3;.......; an}  elementos

donde :

• Cardinal = n(A) = n

ai ≠ a j

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

i, j ∈  +

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Complemento ( (A)): No A

Unión (U): A o B A

B

A

Diferencia (–): Solo A A

B

Diferencia Simétrica (A):

Intersección (∩): A y B A

B

Sólo A o sólo B A

Aritmética

19

B

SAN MARCOS 2014 – I

4

3

2

20 2

5 14

2

Aritmética → 2435 = 73

73 ← Base 10

3 + + 10 70

4

2

2. Ruffini Ejemplo: 243(5)

Descomposición polinómica

abcdn = an + bn + c.n + d

3

3. Cambios de base: 3.1 De base "n" a base 10 1.

abcabc n = abc n ⋅ n + abc n

3

ababn = abn ⋅ n2 + abn

abab = ab.100 + ab

2. Descomposición por bloques:

abcde(n) = an + bn + cn + dn + e

4.

7 4

1

→n xy

– + = abc(n)_ xy(m) + Como

Si:

2

Base m

Divisiones Sucesivas

Base 10

Descomposición Polinómica

Base n

3.3. De base "n" a base "m" (n 10; m 10)

→ 243 = 465(7)

243 7 33 34 5 6

3.2. De base 10 a base "n" (Divisiones sucesivas) Ejemplo: 243 a base 7

≠

SAN MARCOS 2014 – I

≠

1. Descomposición polinómica:

NUMERACIÓN

ESQUEMA - FORMULARIO

ESQUEMA - FORMULARIO

Números capicúas

121; 3553; 27372; abccba

BASES SUCESIVAS 1a

1b

=a+b+c+d+e+x

1c

1d

1e

x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS (n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) = nk – 1   n k cifras

Aritmética

21

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

I. ADICIÓN

II. SUSTRACCIÓN

a + b + c +...+ z = S Sumandos

M–S=D

Suma total

Propiedades:

Progresión aritmética Sea:

•

2M = M + S + D

•

ab(n) – ba(n) = xy (n)

→ an = a1 + (n – 1)r

→ x +y=n –1

donde n ≥ 3 y a > b

an – a1 +1; r n: Número de términos

n → =

•

→ x +z=n –1

 an + a1  → Sn =  2 n;  

y=n–1

Sn: Suma de términos

donde: n ≥ 3; a > c

Sumas notables

• • •

n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

•

n(n + 1) (2n + 1) 6 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =

•

 n(n + 1)    2   •

•

abcd – dcba = xyzw

donde: a > d → x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético •

2

CA(N(b)) = 100...00   

k +1 cifras b

– N(b)

Si N tiene k cifras •

a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 = an – 1 a– 1

SAN MARCOS 2014 – I

abc(n) – cba(n) = xyz(n)

CA(abcd(n) ) =

(n – 1 – a) (n – 1 – b) (n – 1 – c) (n – d)n

22

Aritmética

ESQUEMA - FORMULARIO

o

*

A = B = B(k) Se dice: - A es múltiplo de B - A es divisible entre B - A dividido entre B da residuo cero o

o

o

o

o

o

*

n+n =n

*

n– n=n

*

o o o  o  n(k) = n = k =  nk   

*

(n)k = n

*

(n + a)(n + b)(n + c) = n + a.b.c

*

(n + r)k = n + r k

o

o

o

o

o

o

o

o

Aritmética

23

o

o

o

o

*

(n – r)k = n + r k , k: par

*

(n – r)k = n – rk , k: impar

*

o N = a O o  N = b  N = MCM(a,b, c) o N = c 

*

o  N = a + r O  o  N = b + r  N = MCM(a,b, c) + r  o N = c + r 

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

o

o

o

•

Por 2

abcde = 2 + e. Si e = 2 → abcde = 2

•

Por 4

abcde = 4 + de. Si de = 4 → abcde = 4

•

Por 8

abcde = 8 + cde. Si cde = 8 → abcde = 8

•

Por 5

abcde = 5 + e. Si e = 5 → abcde = 5

•

Por 25

abcde = 25 + de. Si de = 25 → abcde = 25

•

Por 125

abcde = 125+ cde. Si cde = 125 → abcde = 125

•

Por 3

abcde = 3 + a + b + c + d + e . Si E = 3 → abcde = 3

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

E

•

Por 9

o

abcde = 9 + a + b + c + d + e . Si E = 9 → abcde = 9 E

•

Por 11

o

o

o

abcde = 11 + e – d + c – b + a. Si E = 11 → abcde = 11  E +-+-+

•

Por 13

•

a b c d e f g h = 13 – 3a + b + 4c + 3d – e – 4f – 3g + h. Si E = 13 → abcdefgh = 13  31431431 E - + - + Por 7

o

o

o

o

o

o

+ b – 2c –  3d – e + 2f + 3g + h. Si E = 7 → abcdefgh = 7 a b c d e f g h = 7+ 3a  31 2312 31 E + - +

SAN MARCOS 2014 – I

24

Aritmética

ESQUEMA - FORMULARIO

•

Por 33

o

o

o

o

o

a b c d e = 33 + a + bc + de . Si E = 33 → abcde = 33 E

•

Por 99

o

a b c d e = 99+ a + bc + de. Si E = 99 → abcde = 99  E

o

o

o

•

+ b + c + d + e . Si E=(n – 1) → abcde(n) = (n – 1) P or n − 1 abcde(n) = (n − 1)+ a  en E base n

•

P or n + 1 a b c d e = (n + 1) + e – d + c – b + a. Si E=(n + 1) → abcde(n) = (n + 1) (n)  en +-+-+ E base n

•

o

o

o

Dada la descomposición canonica del número N: N = p1α1p2α2p3α3...pk αk ...D .C .

•

Su cantidad de divisores se calcula como: C DN = (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)...(αk + 1)

Además: CDN = CD

•

SIMPLES

+ CD

COMPUESTOS

La suma de divisores se calcula como: SD(N) =

Aritmética

p1α1 +1 – 1 p2α2 +1 – 1 p αk +1 – 1 × × ... × k p1 – 1 p2 – 1 pk – 1

25

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

•

La suma de inversas de divisores se calcula como: SID(N) =

•

SD(N) N

El producto de los divisores se calcula como: C D(N)

P D(N) = N

•

El esquema del algoritmo de Euclides: Cocientes

A

B

K

MCD (A;B)

O Residuos

•

Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

MCD(A;B)

•

A = p x k   ; donde: p y q son PESI  = k B = q x k  MCM =k x p x q (A;B) 

Siempre se cumple que: MCD(A;B) × MCM(A;B) = A × B

•

n× A n×B  n×k = MCM  ; m  m  m

SAN MARCOS 2014 – I

•

26

n× A n×B  n×k = MCD  ; m  m  m

Aritmética

ESQUEMA - FORMULARIO

Números enteros Z

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Fracción Clases de fracciones

• • • •

Propia Impropia Reductible Irreductible

• • • •

Común y ordinaria Decimal Homogénea Heterogénea

Variación porcentual

Operaciones con tanto por ciento Adición

 Aumento ó    disminución  = × 100% porcentual  Cantidad     inicial 

Variación

Sustracción

Aumentos y descuentos sucesivos

Aumento único Descuento único

Aritmética

Aplicaciones comerciales Pventa = Pcosto + ganancia

a×b  =  a + b + % 100  

Pventa = Pfijado – descuento Pventa = Pcosto – pérdida

a×b  =  a + b – % 100  

Pfijado = Pcosto + incremento

27

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

INTERÉS SIMPLE M=C+I

I=C M=C

r%

t

(1 + r%

t)

r% y t en las mismas unidades

Pmedio =

Grado

Costo total Peso total

alcohólico

Gaparente = Paparente

xL

Alcohol × 100% Total

Pventa = Pcosto + Ganancia

yL + b%

a%

=

zL + c%

(x+y+z) L = d%

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

SAN MARCOS 2014 – I

28

Aritmética

ESQUEMA - FORMULARIO

Álgebra

29

SAN MARCOS 2014 – I

SAN MARCOS 2014 – I

30

5

4

3

2

1

3

2

2

3

(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x+ab

(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b

3

(a ± b)3 = a 3 ± b3 ± 3ab(a ± b)

(a + b)(a2 – ab + b2) = a 3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a 3 – b 3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab

(a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a 2 + b2)

(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

10

9

8

7

6

2n

n m

)(x –x y +y

2m

4n

ARGAN’D

+y4m

2n 2m

) = x +x y

2m

3

3

2

2

2

GAUSS

a +b +c –3abc = (a+b+c)[a +b +c –(ab+bc+ca)]

3

(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(x 2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

n m

(x +x y +y

2n

• a2 + b 2 + c 2 = – 2(ab + ac + bc)

Si: a + b + c = 0. Se verifica que: • a3 + b3 + c 3 = 3abc

(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

ESQUEMA - FORMULARIO

Álgebra

ESQUEMA - FORMULARIO

ECUACIÓN CUADRÁTICA Análisis de las raíces

Forma

• Si: D > 0

ax 2 + bx + c = 0 ; a 0

Fórmula x=

2 raíces IR diferentes • Si: D = 0

b 2 – 4ac 2a

–b

2 raíces IR iguales • Si: D < 0

Discriminante

x1

x2

x1=x2

2 raíces CI conjugadas

D = b 2 – 4ac

Propiedades de las raíces x1+x2=– b a

Si: ax 2 + bx + c = 0

Recordar:

x1.x2= c a

x1–x2=?? Raíces recíprocas (inversas)

Raíces simétricas (opuestas) x;–x

suma:0 b=0 c=0

Una raíz nula

(x1+x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4x1.x2

x;1/x producto:1 a=c Dos raíces nulas

b=0;c=0

Reconstrucción de una ecuación cuadrática x 2 – Sx + P = 0 Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales) Si:

ax 2 + bx + c = 0 mx 2 + nx + p = 0

Álgebra

a b c = = m n p

31

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomio

Racional Entera

Polinomio Definición

Definición

Términos Semejantes

Grado Absoluto

Grado Relativo

Grado Relativo

Grado Absoluto

Clasificación Homogéneo

Ordenado

Idénticos

Completo

Idénticamente nulo

Recordar las definiciones an =

Recordar los teoremas am.an = am+n ;

a.a.a...a ; n∈  "n factores de a" 0

a =1

;

a≠0

am = am–n an

( an )m = ( am )n = am.n ;

(a.b)n = anbn

n

1 1 a –n = n =   a a m/n

a

n m

= a

n

;

an  a n n n  b  = n ; a.b = a. b   b

a≠0

na =

n m

b

= a

n n

a

;

b

nk mk

a

SAN MARCOS 2014 – I

32

nm

a = nm a

n

= am

Álgebra

ESQUEMA - FORMULARIO

SISTEMA DE ECUACIONES E1 : a1x + b1y = c1 E2 : a2x + b2y = c2

Por su Solución

tienen solución

Ecuación Compatible

soluciones finitas

Determinada a1 a2

≠

y

E2

b1

E1 (x0;y0)

b2

x y

E1

Indeterminada a1 a2

=

b1 b2

=

c2

Ecuación Incompatible a1 b = 1 a2 b2

Álgebra

E1

c1

x

E2

no tienen solución

E2

y

E1

E2 E1 // E2

c1 c2

x

33

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

FACTORIZACIÓN Criterios de factorización Criterio del aspa simple

Criterio del factor común y/o agrupación

Criterio del aspa doble especial

Criterio de las identidades

SAN MARCOS 2014 – I

Criterio del aspa doble

34

Criterio de los divisores binomios

Álgebra

ESQUEMA - FORMULARIO

*

Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

*

P(x) = an xn + an–1x n–1 + an–2 x n–2 + ... + a0 =0; an ≠ 0 , también se puede escribir

an(x – r1)(x – r2)(x – r3)...(x – rn) = 0 donde r1 ,r2 ,r3,...,rn raíces de la ecuación. *

Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2)n(x – r3)p = 0

*

Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p Teorema de Cardano - Viette r1 + r2 + r3 + ... + rn = –

an–1 an

r1.r2 + r1.r3 + ... + rn–1.rn = 



"Suma de raíces"

an–2 an "Suma de productos Binarios"



r1.r2.r3.....rn = (–1)n

a0 an "Producto de raíces"

*

Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b ,

*

Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es α + β i ,

la otra es a – b . entonces la otra es α – β i . *

P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2 xn–2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una

raíz positiva. *

P(–x) = an(–x)n + an–1(–x)n–1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra

35

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

TEOREMAS FUNDAMENTALES + T1: a 2n 0 ; ∀ a IR , n Z

Definiciones: Sea: { a ; b ; c } ∈ IR 1. “a” es no positivo 2. “a” es no negativo 3. a b

T2: a > b ⇒ a ± m > b ± m

a 0

T3: a > b ∧ m > 0

a< b ∨ a= b

4. a < b < c 5. a < b

a 0

a bm a/m > b/m

b b ∧ m < 0

b >a

am < bm a/m < b/m

T5: a < b

Importante: Sea: ax 2 + bx + c > 0 ; a>0 x IR

1/a > 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

b 2 – 4ac

SAN MARCOS 2014 – I

36

Álgebra

ESQUEMA - FORMULARIO

Inecuación.... Polinomial

a 0 ax+b > ax +bx+c < 0

De segundo grado

grado mayor o igual a 3

De grado superior Fraccionaria Irracional Exponencial Logarítmica Trigonométrica

A Se aplica el criterio de los puntos críticos. Importante: P(x) Si: Q(x) 0 Q(x)

Álgebra

A

P(x) > 0 Q(x) < n

b

> P(x) < 0 P(x)

> Q(x) 0,5

B 2n S1: Si: P(x) P(x) 0 S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos. Luego el C.S. es: S1 S2 C x y b >b x >y x y x>y Si: 0 logc b, si: c>1 ax > b ⇔  logc ax < logc b, si: 0 logc b, si: 0g(x)>0 loga f(x) > loga g(x)   Si 0B A +B A –B  CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2  A +B A –B CosA – CosB = –2Sen Sen  2 2 

SenA + SenB = 2Sen

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y)   2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y)  x > y 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y)  –2SenxSeny = Cos(x + y) – Cos(x – y) 

Observación: 2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)

Observación: CosB – CosA = 2Sen

A +B A –B Sen 2 2

Propiedades Sen(x – 120°) + Senx + Sen(x + 120°) = 0 Cos(x – 120°) + Cosx + Cos(x + 120°) = 0 3 2 3 Cos2(x – 120°) + Cos 2x + Cos 2(x + 120°) = 2

Sen2 (x – 120°) + Sen2 x + Sen2 (x + 120°) =

9 Sen4 (x – 120°) + Sen4 x + Sen4 (x + 120°) = 8 9 4 4 4 Cos (x – 120°) + Cos x + Cos (x + 120°) = 8

Si x + y + z = 180° y x z Cos Cos 2 2 2 y x z Cosx + Cosy + Cosz = 4Sen Sen Sen + 1 2 2 2

Senx + Seny + Senz = 4Cos

SAN MARCOS 2014 – I

68

Trigonometría

ESQUEMA - FORMULARIO

Función Inversa

Función Directa

Dominio (x)

Rango (y) – π ; π   2 2 

ArcSenx = y

Seny = x

[–1; 1]

ArcCosx = y

Cosy = x

[–1; 1]

ArcTanx = y

Tany = x

R

–

ArcCotx = y

Coty = x

R

0;π

ArcSecx = y

Secy = x

R – –1; 1

π 0; π  – 2

ArcCscx = y

Cscy = x

R – –1; 1

– π ; π  – 0  2 2  { }

0; π  π π ; 2 2

{}

Propiedades I) ArcSen(–x) = –ArcSenx   ArcCos(–x) = π – ArcCosx  ArcTan(–x) = –ArcTanx   ∀x ∈ D f ArcC ot(–x) = π – ArcCotx  ArcSec(–x) = π – ArcSecx   ArcCsc(–x) = –ArcCscx 

II) Sen(ArcSenx) = x   Cos(ArcCosx) = x  Tan(ArcTanx) = x   ∀x ∈ D f C ot(ArcCotx) = x  Sec(ArcSecx) = x   Csc(ArcCscx) = x 

III) ArcSen(Seny) = y   ArcCos(Cosy) = y  ArcTan(Tany) = y   ∀y ∈ D f ArcC ot(Coty) = y  ArcSec(Secy) = y   ArcCsc(Cscy) = y 

Trigonometría

69

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

TEMA 10

Solución general

Solución general

Solución general

Senθ = a

Cosθ = a

Tanθ = a

θG = Kπ + (–1)K Vp(θ)

θG = 2Kπ ± Vp(θ)

θG = Kπ + Vp(θ)

Vp = ArcCos(a)

Vp = ArcTan(a)

Vp = ArcSen(a)

Signos de la RT

Ángulos cuadrantales

(∀x ∈ Z) (2K − 1) π

π (4K + 1) 2 y

π (4K − 1) 2

Reducción al primer cuadrante (I)

Reducción al primer cuadrante (II)

R.T.(90° ó 270° ± θ) = ± Co R.T.(θ)

R.T.(360°k+α)=R.T.(α) R.T.(2Kπ+α)=R.T.(α)

R.T.(180° ó 360° ± θ)

x

R.T. (2Kπ) = R.T.(0) R.T. (4K + 1)

π π = R.T.   2 2

R.T. (2K – 1)π = R.T.(π) R.T. (4K – 1)

= ± R.T.(θ)

2Kπ

π 3π  = R.T.   2  2 

0 < θ < °90°

SAN MARCOS 2014 – I

70

Trigonometría

ESQUEMA - FORMULARIO

Ley de Senos

Ley de Senos

Ley de Senos

∆ABC : se cumple

∆ABC : se cumple

∆ABC : se cumple

a b c = = = 2R SenA SenB SenC R: circunradio

a = 2R SenA b = 2R SenB



SenA =

a b SenB = AB 2R 2R

SenC =

c R: circunradio 2R

c = 2R SenC

Ley de Senos

Ley de Senos

C

a

b bSenA A

R: circunradio

Ley de Cosenos ∆ABC : se cumple

H c - bCosA c

bCosA

Ley de Cosenos ∆ABC : se cumple

a2 = b2 + c 2 − 2bcCosA

b2 + c 2 − a2 CosA = 2bc

b2 = a2 + c2 − 2acCosB

2

c 2 = a2 + b2 − 2abCosC

Trigonometría

CosB =

2

2

a +c −b 2ac

B

Ley de Proyecciones ∆ABC : se cumple

aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosc + cCosB = a

a2 + b2 − c2 CosC = 2ab

71

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

Movimiento Rectilíneo Uniforme

d = v.t. Encuentro:

te =

Alcance:

d V1 + V2

ta =

d V1 – V2

Observación –

Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación Km  5  m ; si es necesario = h  18  s

–

Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro y tiempo de alcance son sólo para MRU.

–

Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los movimientos son simultáneos.

SAN MARCOS 2014 – I

72

Física

ESQUEMA - FORMULARIO

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

a=

V= Vi ± at f

Cambio de velocidad Tiempo

 V + Vf d= i  2

a=

 t 

= d Vt i ±

Vf − V t

1 2 at 2

2 V= Vi2 ± 2ad f

Observación –

Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar el signo (+); (–), respectivamente en las fórmulas.

–

No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoria recta y aceleración constante entonces será un MRUV.

–

Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistema internacional (S.I.)

Física

73

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

Elementos y ecuaciones del MVCL Donde: • v0: velocidad inicial (m/s). • vF: velocidad final (m/s). • g: aceleración de la gravedad (m/s2). • h: altura (m). • t: tiempo (s). 1.

h = v0t ±

2.

h=

1 gt2 2

3.

vF = v0 ± gt

4.

vF2 = v02 ± 2 gh

Propiedades movimiento completo (subida y bajada) •

En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero. (VC = 0)

•

En un mismo nivel la rapidez de subida es igual que la rapidez de bajada. (VB = VD)

•

; (VA = VE )

Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que el tiempo de bajada. t AB = tDE

;

tBC = t CD

;

t AC = t CE

Nota: * se deduce del punto "3" Vi t sub = t= baj g Hmáx =

SAN MARCOS 2014 – I

Vi2 2g

74

Física

ESQUEMA - FORMULARIO

FUERZA Medida de la interacción entre dos cuerpos A distancia Peso (W)

Por contacto Fuerza elástica FE = Kx

W = mg

 

•

Primera condición de equilibrio: ΣM = 0

•

Segunda condición de equilibrio: ΣM = 0

•

Otros: - Tensión - Reacción normal - Fricción

F

M

o

ANTIHORARIO

M

F

o

HORARIO

•

•

Física

75

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

Dinámica lineal

1° Realizar un DCL. 2° Descomponer las fuerzas en las ejes del movimiento y del equilibrio. 3° Aplicar la 2da ley de Newton en el eje de movimiento.

Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen la segunda ley. Donde: Fuerzas Fuerzas FR = Σ a favor de “a” – Σ en contra de “a”

(

) (

)

Dinámica Circular 1. Segunda Ley de Newton: Newton:



 a=

FR m



2. FR = (∑ F a favor de a ) – (∑ F en contra de a)

3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral. 4. Fcp = macp 5. acp =

V2 = W2R R

SAN MARCOS 2014 – I

76

Física

ESQUEMA - FORMULARIO

1.

WF = ± F⋅ ∆r

2.

WNeto = ΣWF

ó

(+) : acelerado WNeto = ± FR ⋅ ∆r  (–) : desacelerado

3. De la gráfica, se concluye F

0 x1

4.

A1

A3 A2

x2

W F = A1 – A2 + A3 x

 (+) : baja Wmg = ±mgh   (–) : sube

ENERGÍA MECÁNICA 1. EC =

1 mv 2 2

1 2 4. EPe = 2 kx 5. Si solo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica se conserva.

2. EP = EPe + EPg 3. EPg = mgh

Física

EMi = EMf

77

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

• PHidrostática = ρ L.g.h

• P= •

ρ=

m V

•

También: PH = γ . h

•

γ=w V

γ =ρ . g Prensa Hidraúlica

• E = ρ L g Vsumergido

F1

F2

h1

• E = Wreal – Waparente

h2

A1



A2

• E = ρ L gef . Vsumergido

  

F1 A h = 1 = 2 F2 A2 h1

gef = g – a

ELECTROSTÁTICA Electrización

Fuerza eléctrica

Cuantificación de la carga

Ley de Coulomb

Q =n⋅ e Frotamiento

Inducción

F=

Carga fundamental

Qf = –1, 6 × 10 –19 C = e

F = Eq

k = 9 × 10 9

µ = 10 –6

SAN MARCOS 2014 – I

d2

Nm2 C2 q1; q2: cargas d: distancia

Unidades Contacto

K q1 q2

m = 10 –3 c = 10 –2

78

Intensidad de campo eléctrico

E=

KQ Unidad : N/C d2

Física

ESQUEMA - FORMULARIO

I=

q t

R=

V I

R =ρ

L A

Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman

Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo: R1 Req =

Req =

R2

1 1 + R1 R2 R1 R2 R1 + R2

PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF

I1 + I2 = I3

∑ V = ∑ IR

En cualquier conexión o nudo la suma de todas las corrientes que entran debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen.

En cualquier circuito; la suma algebraica de los voltajes de las baterias es igual a la suma de las caidas de potencial (IR) de cada resistencia del circuito.

Potencia disipada en una resistencia P = VI = I2R =

Física

79

V2 R

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

Intensidad del campo magnético B=

Fuerza magnética sobre conductor de longitud "L"

µ0.Ι 2πD

F = ILB Sen θ Flujo magnético

Espira circular

φ = BAcosθ

La inducción magnética en el centro es: Bo =

Fuerza electromotriz inducida ( ε ) en una barra

µ oI 2R

ε = vBL Fuerza electromotriz inducida en una espira

Fuerza magnética

ε = –N

F = q v Bsenθ

SAN MARCOS 2014 – I

un

80

∆∅ ∆t

Física

ESQUEMA - FORMULARIO

•

x = ASen(wt)

•

V = WACos(wt)

•

•

2π T

•

w = 2πf =

•

f=

•

w=

•

amáx = w2A

1 2π

k m

a = – W 2 ASen(wt)

T = 2π

m k

•

a = w 2x

•

Vmáx = WA

Física

81

k m

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

ÁTOMO es

la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades sus partes son

sus partículas fundamentales son

zona extranuclear

núcleo contiene

contiene

protones y neutrones principalmente

solamente a los electrones

protón

neutrón

electrón

carga

carga

carga

positiva

nula

negativa

ubicados en el

ubicado en

núcleo

zona extranuclear

es

es

casi vacío

compacta

determina

determina

el volumen atómico

átomo neutro

ion

posee

representación

representación

la masa del átomo

en un

carga negativa

posee

carga positiva

A z

E

#nº = A – Z

se cumple que

A q+ Z

E

catión

#p+ = #e– = Z

A q– Z

E

anión

se cumple que

tipos de núclidos

#p+ = Z ≠ #e–

isótopos

isóbaros

isótonos

poseen igual

poseen igual

poseen igual

número atómico

número de masa

número de neutrones

27 3+ Al 13

13 10 14

ejemplo

ejemplo

ejemplo

33 2– 16 S

16 18 17

12 6

C

14 6

SAN MARCOS 2014 – I

C

40 20

Ca

40 18

Ar

82

11 5

B

ejemplo

especie #p+ #e– #n

14 6

C

Química

ESQUEMA - FORMULARIO

CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS Número cuántico

Determina para el electrón

orbital

Principal (n)

El nivel principal de energía

El tamaño o volumen

Secundario o azimutal (l)

El subnivel de energía

La forma geométrica

Magnético (ml)

El orbital o REEMPE

Su orientación espacial

Valores permitidos

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...∞ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ K L M N O P Q (Capas)

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1) ↓ ↓ ↓ ↓ s p d f

ml = l, ..., 0, ... +l o ml = +l, ..., 0, ... –l Antihorario

Spin Magnético (ms)

El sentido de rotación

no tiene significado

máximo valor

– 1 ms = +1/2

Horario –

– 1 ms = –1/2

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y l, un orbital con n, l y ml y un electrón queda definido con n, l, ml y ms.

Química

83

SAN MARCOS 2014 – I

ESQUEMA - FORMULARIO

CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA es el

ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear se basa en principio de exclusión de Pauli

principio de aufbau permite distribuir a través de los subniveles

distribuir a través de los orbitales de un subnivel para ello

según el orden creciente de la energía relativa (ER)

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo

ejemplo F: 1s 2s 2p 2

2

5

ejemplos

9

Er: 1

2 3 otros

S = 1s 2s 2p 3s 3p 2 2 6 2 3p5 4s2 3d3 23V = 1s 2s 2p 3s 2

2

6

permite

permite

2

4

16

según Kernel 2

4

2

3

S = [Ne] 3s 3p

16

V = [Ar] 4s 3d

23

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo ejemplos O:

g

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

1s 2s 2px 2py 2pz

Distribuir a través de un orbital estableciendo que en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números cuánticos iguales ejemplos He:

2

electrón

↑↓

1s

n

l

ml ms

1

0

0 ms

1

0

0 ms

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

S: [Ne]: 3s 3px 3py 3pz

16

si posee

será

Todos sus electrones apareados

será diamagnético

SAN MARCOS 2014 – I

uno o más electrones desapareados

84

paramagnético

Química

ESQUEMA - FORMULARIO

TABLA PERIÓDICA ACTUAL es un

instrumento del ordenamiento sistemático de los elementos en función de

sus números atómicos crecientes en

clasificación

grupos

periodos

Según las propiedades de los elementos como

según la

Conductividad eléctrica

distribución electrónica final

ordena a los elementos

horizontalmente

en columnas

poseen

poseen

igual número de niveles o capas

igual número de electrones de valencia

pueden ser

buena metal

propiedades químicas similares

regular

mala

mateloide no metal

-

Fe Cu Ag Pb Au

tradicionalmente

-

B Si Ge As Sb

para

elementos representativos finalizan

ejemplos

presentan

propiedades químicas diferentes

por bloques

-

C H O N S

en subniveles s y/o p elementos de transición finalizan

en subniveles d y/o f

existen 7 periodos y 16 grupos según IUPAC

existen 7 periodos y 18 grupos

Química

85

SAN MARCOS 2014 – I

SAN MARCOS 2014 – I

86

RA

relación Z inversa

en especies isoelectrónicas

se emplea al radio iónico que se define en forma análogaal radio atómico

para átomos ionizados

(g)

–

+ le

El1