ESTABILIDADE DE SISTEMAS DIGITAIS

ESTABILIDADE DE SISTEMAS DIGITAIS UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Teoria de controle II Paulo Eduardo Sampaio Monteiro RA: 1489631 Ponta Grossa, 09 de abril de 2016

Objetivos Avaliar a faixa de valores K para que um sistema seja estável.

Atividade 1 Considerando o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência pulsada de malha aberta é : G(z) =

K(0.3679z + 0.2642) (z − 0.3679)(z − 1)

Determinando a função transferência em malha fechada do sistema em função do K. Encontramos a Equação 1. T (z) =

K(3679z + 2642) K(3679z + 2642) + 10000z 2 − 13679z + 3679

Utilizando o critério de JURY para encontrar a estabilidade do sistema. 1 Recorrendo a tabela de JURY, analisamos o seguinte: • Linha 1 é formada pelos coeficientes de D(z) • Linhas pares são formadas pela inversão do coeficiente da linha anterior • As linhas ímpares são calculadas fazendo: linhai = linha(i−2) − linha(i−1,jk.anterior) Aplicando o critério de JURY, a qual, o sistema será estável, se e somente se, |jn | < 1, K = 0.1; ...i(n−1) . Se a tabela termina ou se ocorre divisão por zero, em K < n, o sistema é instável.

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Pegando a expressão da 3a linda e fazendo uma inequação sendo menor que zero obtemos o seguinte intervalo: −5.17752 < K < 2.39251 Agora com a 5a linha : 0 < K < 2.39251 A intersecção entre as inequações é: 0 < K < 2.39251 Esses são os valores de K, os quais, garantem que o sistema seja estável.

Atividade 2 Considerando o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta e dada por: G(z) =

K(0.02268z + 0.02052) (z − 0.7408)(z − 1)

Determinando a função transferência em malha fechada do sistema em função do K. T (z) =

K(567z + 243) K(567z + 513) + 25000z 2 − 43520z + 18520

Novamente recorrendo ao critério de JURY e seguindo os passos descritos anteriormente na Atividade 1 temos os seguintes intervalos: 3o linha menor que zero temos o seguinte intervalo: −84.8343 < K < 12.6316 Agora com a 5a linha obtemos: K < −84.8343 , 0 < K < 12.6316 , K > 1611.85 A intersecção entre as inequações é: 0 < K < 12.6316 Sendo os valores de K = 0 e K = 12.6316 tornando o sistema marginalmente estável. 2

Figura 1: Diagrama de polos e zeros para K = 0 Plotando o diagrama de polos e zeros do sistema para K = 0. Pelo diagrama da Figura 1 observamos que os polos encontram-se dentro do círculo de raio unitário indicando uma estabilidade. Além disso observamos um dos polos na fronteira do círculo por se tratar de um sistema marginalmente estável. Agora testando valores de K para os casos: 1 Sistema estável 2 Sistema marginalmente estável 3 Sistema instável Caso 1 O sistema será estável para quaisquer valores dentro do intervalo de K. Logo assumindo um K = 1 (valor arbitrário dentro do intervalo) e inserindo uma entrada degrau.

Figura 2: Resposta ao degrau para K = 1

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Observamos pela Figura 2, que o sistema é estável e tem uma resposta a entrada degrau aceitável. Caso 2

Com uma entrada degrau ao sistema. Assumindo K = 12.6316.

Figura 3: Resposta ao degrau para K = 12.6316

Observamos pela Figura 3, que a resposta do sistema à uma entrada degrau é marginalmente estável, ou seja, não há amortecimento algum. Para qualquer valor acima de K = 12.6316 o sistema se tornará instável. Caso 3

Aplicando novamente uma entrada degrau ao sistema. Assumindo K = 13.

Figura 4: Resposta ao degrau para K = 13

Observamos que para um valor de K = 13 o sistema se torna instável, ou seja, a resposta está indo ao infinito. Assim não conseguimos saber o comportamento do sistema no futuro, logo, para valores de K > 12.6316 o sistema se torna instável.

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