ESTUDO DA EFICIÊNCIA DE ANTEPARAS TRANSVERSAIS NA ESTABILIDADE ELÁSTICA À TORÇÃO DE VIGAS OCAS DE PAREDES FINAS

COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA

ESTUDO DA EFICIÊNCIA DE ANTEPARAS TRANSVERSAIS NA ESTABILIDADE ELÁSTICA À TORÇÃO DE VIGAS OCAS DE PAREDES FINAS

IGOR PERFEITO VIVO

Relatório Parcial de Pesquisa apresentado à Faculdade de Engenharia de Sorocaba (FACENS) modalidade: Iniciação Científica (IC).

Orientador: Prof. Dr. Alaor Leandro Rosa

Sorocaba/SP 2015

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RESUMO Vivo, I. P. (2015): Estudo da Eficiência de Anteparas Transversais na Estabilidade Elástica à Torção de Vigas Ocas de Paredes Finas. Sorocaba 2015. Pesquisa de Iniciação Científica. Curso de Engenharia Mecânica, Faculdade de Engenharia de Sorocaba, 2015. O uso de vigas caixas em sistemas estruturais submetidos a esforços de torção, tais como em vigas principais de pontes rolantes, é predominante devido a sua capacidade de absorção e transmissão desses esforços. Porém, sobre tais esforços excêntricos surgem tensões oriundas da distorção da seção transversal e do empenamento que comprometem a estabilidade elástica à torção da viga, devendo ser consideradas no dimensionamento. Esses inconvenientes podem ser contornados com o uso de anteparas transversais à seção da viga que, além de permitir a estabilidade à torção, fazem com que a seção transversal trabalhe integralmente, distribuindo uniformemente as tensões nas almas principal e secundária da viga. Este trabalho de pesquisa estuda através de modelagem numérica computacional com o Método dos Elementos Finitos (MEF), a influência das anteparas transversais na estabilidade elástica à torção das vigas ocas de paredes finas aplicadas no projeto estrutural de aparelhos de elevação e transporte de cargas (máquinas de levantamento). É de particular interesse o estudo da influência do espaçamento das anteparas transversais na capacidade de distribuir o esforço de torção integralmente para a seção resistente, o estudo da eficiência do espaçamento das anteparas no combate à flambagem de placas devido à atuação de cargas excêntricas, como são as cargas transmitidas do carro guincho para as vigas principais de ponte rolantes siderúrgicas. A premissa de trabalho é obter resultados práticos que possam ser adotados como prática recomendada, no quesito estabilidade elástica à torção, para o dimensionamento dos elementos estruturais dos equipamentos de movimentação e elevação de cargas, bem como, servir como sugestão de cálculo para uma futura revisão da norma ABNT-NBR 8400 (1994): Cálculo de Equipamentos para Levantamento e Movimentação de Cargas. Palavras Chave: modelagem numérica, estabilidade elástica torção, vigas ocas de paredes finas, vigas caixa, diafragmas intermediários, espaçamento de diafragmas, distorção de viga oca, empenamento de viga oca, análise de viga oca.

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Sumário RESUMO .......................................................................................................................................1 1. Introdução ................................................................................................................................3 2. Objetivos ..................................................................................................................................6 3. Justificativa ...............................................................................................................................6 4. Metodologia e Ferramentas .....................................................................................................7 4.2 Aplicativo ANSYS ................................................................................................................7 4.3 Aplicativo SolidWorks .........................................................................................................7 5. Teoria da Torção.......................................................................................................................8 5.1 Torção em uma barra de seção circular .............................................................................8 5.2 Torção em uma barra seção não circular .........................................................................13 5.3 Torção uniforme ou torção livre de St. Venant ................................................................15 5.4 Torção em vigas ocas de paredes finas ............................................................................16 6. Método dos Elementos Finitos (MEF) ....................................................................................20 7. Bibliografia de Referência ......................................................................................................22

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1. Introdução Visto que são particularmente apropriadas para receber solicitações de torção (carga excêntrica ao eixo de simetria do plano da seção transversal (Figura 1) as vigas ocas de paredes finas (vigas caixas) são largamente utilizadas no projeto estrutural em aço, fundamentalmente, no projeto estrutural das máquinas para levantamento e movimentação de cargas (aparelhos de elevação de carga), tais quais: pontes rolantes siderúrgicas (Figura 2); pontes rolantes para pátio de sucatas; pórticos e pontes rolantes para usinas hidrelétricas (Figura 3), termoelétricas, barragens e eclusas de navegação; semi-pórticos; pórticos para manuseio de contêineres; descarregadores de navio entre outras.

Figura 1 – Viga caixa submetida à torção (carregamento excêntrico no plano da seção transversal) e seu desdobramento em flexão, torção pura e cisalhamento de St. Venant.

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Figura 2 – Ponte rolante siderúrgica (modelo computacional s/ carro)

Figura 3 – Pórtico rolante (modelo computacional s/ carro) Sua excelente rigidez à torção e distribuição de tensões ao longo do perímetro da viga caixa implica na utilização eficiente do material estrutural quando comparado com outras formas

5 construtivas de seções transversais. Entretanto, nas vigas caixas, ocorrem os inconvenientes da distorção) da seção transversal (Figura 4) e o empenamento (deslocamento da seção ao longo do eixo (Figura 5) que comprometem a estabilidade elástica à torção da viga.

Figura 4 – Distorção da seção transversal da viga caixa e surgimento de tensões de flexão transversais.

Figura 5 – Empenamento da seção transversal da viga caixa e distribuição de tensões de flexão transversais.

Para o cálculo estrutural de vigas ocas de paredes finas não basta, no caso de solicitação à torção, a teoria clássica de deflexão (torção livre de St. Venant) visto que, na prática, as regiões de apoio e/ou de restrição de deslocamentos da viga, como são as anteparas, tornam praticamente impossíveis o livre empenamento, o que requer a necessidade de se definir um espaçamento “ótimo” das mesmas. As fórmulas existentes para estimar o espaçamento das anteparas transversais, a fim de permitir o adequado fluxo de tensões oriundas da torção,

6 resultam em valores controversos e não podem ser adotadas como critério seguro para projetos. O espaçamento inadequado das anteparas pode ocasionar riscos de flambagem na alma da seção transversal da caixa, empenamento da antepara e concentração de tensões na alma da viga, devido à concentração de tensões na seção transversal. Como consequência, pode ocorrer plastificação localizada da seção transversal, nucleação e propagação de fraturas gerando riscos à vida humana oriundos do colapso do equipamento em ambientes de transitação e operação, riscos ambientais em caso de derramamento de metal líquido das pontes rolantes siderúrgicas ou ocasionando parada do equipamento com lucro cessante e, consequentemente, perda de produtividade. Neste contexto a presente pesquisa estuda, através de modelagem numérica com o Método dos Elementos Finitos (MEF) aplicado pelo software ANSYS, a influência dos parâmetros envolvendo as anteparas transversais na estabilidade elástica à torção das vigas ocas de paredes finas (vigas caixas).

2. Objetivos Objetiva-se, particularmente, o estudo da influência do espaçamento das anteparas transversais na capacidade de transmitir o esforço de torção integralmente para a seção resistente, sem a localização de tensões. Como consequência, é de interesse o estudo da eficiência do espaçamento das anteparas no combate à flambagem de placas devido à atuação de cargas excêntricas como são as transmitidas pelo contato roda-trilho do carro guincho para as vigas principais de ponte rolantes. A premissa de trabalho é obter resultados práticos que possam ser adotados como prática recomendada, no quesito estabilidade elástica à torção para os equipamentos de movimentação e elevação de cargas, bem como, servir como sugestão de cálculo para uma futura revisão da norma ABNT-NBR 8400 (1994): Cálculo de Equipamentos para Levantamento e Movimentação de Cargas.

3. Justificativa Este estudo permite apoiar a engenharia no desenvolvimento de técnicas de modelagem e critérios de cálculo como suporte para a execução de simulações experimentais, verificar através da análise computacional, conceitos e premissas para o dimensionamento de elementos a muito utilizados e comparar resultados de experiências, bem como desenvolver novas técnicas visando promover o constante aperfeiçoamento dos equipamentos elevação e movimentação de cargas.

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4. Metodologia e Ferramentas O estudo objeto deste projeto de pesquisa será viabilizado através da modelagem numérica computacional com o emprego do aplicativo ANSYS, da modelagem dimensional da estrutura feita no software SolidWorks, além de outros softwares acadêmicos de distribuição livre para apoio. Para tanto uma série de estudos paramétricos serão realizados para investigar a influência das anteparas transversais na estabilidade elástica à torção. Assim, parâmetros como vão, razão de aspecto da seção transversal e espaçamento dos diafragmas serão exaustivamente analisados e comparados com as especificações de projeto existentes.

4.2 Aplicativo ANSYS “As ferramentas de análise FEA (Finite Element Analysis – Análise de Elementos Finitos) do ANSYS, fornecem a capacidade de simular todo aspecto estrutural de um produto:   

Análise estatica linear que simplesmente fornece as tensões ou deformações; Análise modal que determina características vibratórias; Avançados fenômenos transitórios não lineares, envolvendo efeitos dinâmicos e comportamentos complexos.

A fidelidade de resultados é obtida através da ampla variedade de modelos de materiais disponíveis, da qualidade dos elementos da biblioteca, da robustez dos algorítmos de solução, e da capacidade de modelagem de todos os produtos – de simples componentes a complexas montagem com centenas de componentes interagindo através de contato ou movimentos relativos. As ferramentas FEA do ANSYS também oferecem facilidade de uso no auxílio de desenvolvedores de produtos focando na parte mais importante do processo de simulação: entender os resultados e o impacto das variações de design do modelo” adaptado do site ANSYS (2015) [6].

Figura 6. Logomarca do software ANSYS

4.3 Aplicativo SolidWorks O SolidWorks foi escolhido para a modelagem gráfica das estruturas analisadas neste estudo devido a sua interface gráfica de modelagem 3D simplificada, em comparação à do ANSYS, pelo fato de ser um software exclusivamente de modelagem, diminuindo assim o tempo de modificação ou de criação de novos modelos, flexibilizando a parametrização dos estudos.

8 Modelos criados em seu ambiente podem ser exportados para o software ANSYS, devido a compatibilidade entre ambos proporcionada por seus desenvolvedores.

Figura 7. Logomarca do Software SolidWorks

5. Teoria da Torção 5.1 Torção em uma barra de seção circular Tomando uma barra de seção transversal circular que está submetida a forças de torção T e T’ em suas extremidades A e B respectivamente, e considerando um plano transversal num ponto C qualquer, para o diagrama de corpo livre da parte BC devem aparecer forças de cisalhamento elementares dF perpendiculares ao raio da barra aplicados pela parte AC quando a barra é torsionada Para as condições de equilíbrio de BC o sistema dessas forças elementares dF devem ser equivalentes a um torque interno T, igual em magnitude a T’ porém com sentido oposto (Figura 7).

Figura 7. Barra AB de seção circular com torques T e T’ aplicados em suas extremidades. Indicando por 𝑟 as distâncias perpendiculares das forças elementares de cisalhamento dF em relação ao centro da barra, considerando que a soma dos momentos gerados pelas forças de cisalhamento seja igual à magnitude do torque T (Figura 8), pode-se afirmar que: Equação 1. 𝑇 = ∫ 𝑟 𝑑𝐹 Onde: 𝑟 é cada distância perpendicular de cada elemento dF em relação ao eixo longitudinal da barra.

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Figura 8. (a) Parte BC da barra sob a ação das forças elementares de cisalhamento dF (b) Soma das forças de cisalhamento dF resultando no torque T, contrário em sentido porém igual em intensidade ao torque T’. Temos que 𝑑𝐹 = 𝜏 𝑑𝐴, onde 𝜏 é a tensão de cisalhamento no elemento de área dA, portanto: Equação 1.1. Momento torsor T. 𝑇 = ∫ 𝑟 (𝜏 𝑑𝐴) Os efeitos de cisalhamento produzidos pela torção de uma barra de seção circular, podem ser melhor visualizados considerando-a envolta por tiras longitudinais distribuídas ao redor de sua superfície externa (Figura 9.a). Aplicando torques iguais em magnitude e opostos em sentido nas extremidades da barra com as tiras fixas, estas apresentarão deslizamento relativo entre si tanto na direção do eixo longitudinal quanto no plano transversal como resultado dos efeitos de deformação (Figura 9.b). Conforme BEER, F.P.; JOHNSON J.R.,E.R. (2006) [8] “Embora esse deslizamento não ocorra em uma barra com material homogêneo e coesivo, a tendência ao deslizamento existirá, mostrando que ocorrem tensões em planos longitudinais, bem como em planos perpendiculares ao eixo da barra” .

Figura 9. (a) Tiras dispostas ao longo do eixo de seção circular (b) Deformação e deslizamento relativo das tiras.

10 Os momentos torçores aplicados na barra geram tensões de cisalhamento 𝜏 nas faces perpendiculares ao eixo longitudinal da barra, porém, como exigido pelas condições de equilíbrio, devem existir tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo da barra (Figura 10).

Figura 10. Tensões de cisalhamento em um elemento isolado de uma tira qualquer. Observa-se novamente o comportamento da barra, desta vez em repouso (Figura 10.a). Isolase um disco que contém um elemento de formato cúbico destacado aleatoriamente para análise (Figura 11.b). Tal disco isolado estará no seguinte estado de deformação: haverá rotação relativa entre as seções transversais do disco de um ângulo 𝑑𝜑 em que 𝜑 mede a rotação da seção mn em relação à extremidade engastada B (Figura 11.c).

Figura 11 (a) Barra maciça (b) Elemento cúbico destacado na barra em repouso (c) Elemento deformado quando aplicado o momento de torção na extremidade A do eixo. Nota-se que o elemento cujos vértices de sua superfície externa do elemento são denominados abcd, e cujos lados eram verticais antes da deformação causada pela torção embora deformado, ainda possui os comprimentos de seus lados inalterados e somente os ângulos de seus vértices variam (Figura 12).

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Figura 12. Elemento em disco retirado da barra circular e deslocamentos causados pelos esforços de torção. O elemento está em estado de cisalhamento puro e a grandeza da deformação de cisalhamento 𝛾 é determinada pelo pequeno triângulo cac’: Equação 2. 𝛾=

𝑐′𝑐 𝑎𝑐′

Uma vez que c’c é um arco pequeno, de raio d/2 correspondente à diferença 𝑑𝜑 do ângulo de rotação de duas seções transversais adjacentes, c’c = (d/2) 𝑑𝜑 o que resulta:

Equação 2.1. 𝛾=

1 𝑑𝜑 𝑑 2 𝑑𝑥

Conforme TIMOSHENKO, S. (1948) [5], “Para um eixo solicitado a torção por um conjugado aplicado na extremidade, o ângulo de torção é proporcional ao seu comprimento e a quantidade 𝑑𝜑/𝑑𝑥 é constante. Ela representa o ângulo de torção por unidade de comprimento do eixo e será representada por:” Equação 2.2. Ângulo de torção por comprimento do eixo. 1 𝛾 = 𝜃𝑑 2 Da lei de Hooke temos: 𝛾 =

𝜏 𝐺

, portanto:

Equação 3. Tensão de cisalhamento para um elemento na superfície de uma barra cilíndrica. 1 𝜏 = 𝐺𝜃𝑑 2

12 Para um elemento que não esteja na superfície da barra, ou seja, qualquer elemento no interior de uma barra cilíndrica, admite-se a hipótese como propõe TIMOSHENKO, S. (1948) [5]” [...] far-se-á a hipótese de que não somente o contorno circular das seções transversais do eixo permanecem indeformadas, mas também que as próprias seções transversais permaneçam planas e girem como se fossem absolutamente rijas, isto é, todos os diâmetros da seção transversal permanecem retos e giram do mesmo ângulo.” Assim sendo, a análise feita para o elemento situado na superfície da barra circular é válida também para um elemento similar situado a um raio r qualquer. A espessura do elemento na direção radial é considerada muito pequena. Estes elementos estão, também num estado de cisalhamento puro e a tensão de cisalhamento em suas faces é: Equação 3.1 Tensão de cisalhamento para um elemento situado em um raio r qualquer. Onde G é o modulo de elasticidade transversal, 𝜃 o ângulo de torção e r o raio do elemento em relação ao eixo da barra. 𝜏 = 𝐺𝜃𝑟 Conclui-se, portanto, que as tensões de cislhamento em uma barra de seção transversal circular variam linearmente com o aumento da distância radial do eixo da barra (Figura 11).

Figura 11. Variação linear das tensões de cisalhamento ao longo do raio da barra. Do equilíbrio entre as partes AC e AB (Figura 7), conclui-se que as tensões de cisalhamento distribuídas na seção transversal são estaticamente equivalentes a um conjugado igual e oposto ao momento torsor T (Equação 1.1). Substituindo o valor de 𝜏 dado na Equação 3.1 na Equação 1.1 temos: Equação 4. 𝑟(𝜏 𝑑𝐴) = 𝐺𝜃𝑟2𝑑𝐴 O momento total T em relação ao eixo da peça é a soma dos momentos parciais relativos a cada elemento individual. Aplicando em toda a área da seção transversal da barra, temos: Equação 4.1. 𝑟=𝑑/2

𝑇=∫ 𝑟=0

𝑟=𝑑/2

𝐺𝜃𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝐺𝜃 ∫ 𝑟=0

𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝐺𝜃𝐼𝑝

13 Onde 𝐼𝑝 é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Tem-se que o 𝐼𝑝 de uma 4 seção circular é 𝐼𝑝 = 𝜋𝑑 ⁄32 , portanto: Equação 4.2. Equação da torção para uma barra de seção transversal circular. 𝑇 = 𝐺𝜃

𝜋𝑑 4 32

Isolando-se na Equação 4.2 o ângulo de torção, tem-se: Equação 5. Equação do ângulo de torção de uma barra circular. 𝜃=

𝑇 32 𝑇 = 4 𝐺 𝜋𝑑 𝐺𝐼𝑝

Nota-se que 𝜃 , ou seja, o ângulo de torção por unidade de comprimento do eixo, varia diretamente com o momento torsor aplicado e inversamente, com o módulo de elasticidade transversal G e o momento de inércia polar. Se a barra for de comprimento 𝑙, o ângulo total de torção será: Equação 5.1 Equação do ângulo total de torção. 𝜑 = 𝜃𝑙 =

𝑇∙𝑙 𝐺 ∙ 𝐼𝑝

5.2 Torção em uma barra seção não circular Como visto anteriormente, um elemento isolado em uma barra de seção circular submetida a esforços de torção, tende a manter suas superfícies planas e indeformadas. Porém a validade desta hipótese aplica-se somente em casos de axissimetria da barra, isto é, como definem BEER & JOHNSON (2006) [8]: “depende do fato de que sua aparência permanece a mesma quando ele é visto de uma posição fixa e girado sobre seu eixo por um ângulo arbitrário”. Uma barra de seção quadrada mantém o mesmo aspecto apenas quando rotacionada em 90° ou 180°. BEER & JOHNSON (2006) [8] também dizem que: “[...] pode-se mostrar que as diagonais da seção transversal quadrada da barra e as linhas que unem os pontos médios dos lados daquela seção, permanecem retas. No entanto, devido à falta de axissimetria da barra, qualquer outra linha traçada em sua seção transversal se deformará quando a barra for girada, e a própria seção transversal empenará ficando fora de seu plano original” (Figura 12).

Figura 12. Comportamento de barra circular e barra quadrada sob torção.

14 Considerando um pequeno elemento cúbico localizado em uma das arestas da seção transversal de uma barra quadrada submetida a momento torçor, orientado por três eixos coordenados paralelos às suas arestas (Figura 13 a), temos a face do elemento perpendicular ao eixo y como parte da superície livre da barra, e portanto, todas as tensões nesta face devem ser zero.

Figura 13. (a): Elemento cúbico em um canto de uma seção transversal qualquer da barra quadrada. (b): Tensões de cisalhamento aplicadas ao elemento cúbico isolado. Então:

Equação 6.1 Tensões de cisalhamento na face perpendicular ao eixo y em um elemento da aresta de uma barra quadrada submetida à torção. 𝜏𝑦𝑥 = 0

e

𝜏𝑦𝑧 = 0

Pela mesmo motivo , todas as tensões na face do elemento perpendicular ao eixo z devem ser zero, então: Equação 6.2 Tensões de cisalhamento na face perpendicular ao eixo z em um elemento da aresta de uma barra quadrada submetida à torção. 𝜏𝑧𝑦 = 0

e

𝜏𝑧𝑦 = 0

Conclui-se da primeira das Equações 6.1 e da primeira das Equações 6.2 que: Equação 6.3 Tensões de cisalhamento na face perpendicular ao eixo x em um elemento da aresta de uma barra quadrada submetida à torção. 𝜏𝑥𝑦 = 0

e

𝜏𝑥𝑧 = 0

Assim, ambas as componentes da tensão de cisalhamento na face do elemento perpendicular ao centro da barra são iguais a zero. Portanto, não há tensão de cisalhamento nos cantos da seção transversal da barra. Segundo experimento de BEER & JOHNSON (2006) [8]: “Ao se torcer um modelo de borracha de uma barra de seção transversal quadrada, pode-se verificar facilmente que não há deformações e, portanto, não há tensões ocorrendo ao longo das arestas da barra, enquanto

15 as maiores deformações, ou seja, as maiores tensões ocorrem ao longo do centro de cada uma das faces da barra” (Figura 14).

Figura 14. Localização dos elementos sob tensão máxima de cisalhamento. Tendo L como o comprimento da barra, a e b, respectivamente, o lado maior e o lado menor de sua seção transversal, e por T a intensidade dos momentos torçores aplicados à barra (Figura 15), encontra-se que a tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo da linha de centro da face de maior dimensão da barra e é igual a: Equação 7.1. Tensão máxima de cisalhamento em uma barra de lados desiguais: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑇 𝑐1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2

E seu ângulo de torção é: Equação 7.2. Ângulo de torção em uma barra de lados desiguais: ∅=

𝑇∙𝐿 𝑐2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 3 ∙ 𝐺

Os coeficientes C1 e C2 dependem da relação a/b, existindo tabelas para a determinação dos valores a serem substituidos nas equações 7.1 e 7.2.

Figura 15. Barra retangular submetida a momento torçor.

5.3 Torção uniforme ou torção livre de St. Venant O problema da torção uniforme, também conhecido como torção livre de Saint-Venant, – nome dado em homenagem a Barré de Saint-Venant, cientista francês que desenvolveu a teoria da torção em barra com seção genérica - trata-se, basicamente, do problema em que uma barra prismática de seção transversal constante é submetida a um conjugado de

16 momentos torçores em suas extremidades, onde o empenamento das seções transversais ocorre livremente e não varia ao longo da barra.

5.4 Torção em vigas ocas de paredes finas “A tensão uniforme (tensão de St. Venant) toma lugar em vigas ocas de paredes finas quando estas são retorcidas por torques em suas extremidades e as únicas tensões desenvolvidas são as tensões de cisalhamento em cada seção transversal. O cisalhamento é considerado uniforme através da espessura das paredes e o produto das tensões de cisalhamento e espessura a cada ponto é uma constante chamada fluxo de cisalhamento” ADEL (1969) [10]. ADEL (1969) [10] também diz que: “A fim de garantir a torção uniforme, certas suposições devem ser feitas: (i) (ii) (iii)

(iv)

Os membros devem ser contínuos; A seção transversal deve ser constante ao longo da viga; As seções transversais da viga são reforçadas por diafragmas rígidos curtamente espaçados entre si, para garantir que a seção transversal não distorça em seu plano; Ambas extremidades da viga devem ser completamente livres para o empenamento.

A princípio, a viga analisada neste estudo terá considerado o caso de torção uniforme, portanto a análise de rigidez à torção deve considerar as premissas citadas acima. No caso de barras de seção transversal circular, para determinar sua rigidez a torção, aplica-se o método convencional do cálculo do momento polar de inércia da barra e substitui-se o valor na Equação 5.1, de modo a encontrar o valor do ângulo de torção do elemento. Porém, para barras de seções diferentes das circulares, o cálculo do ângulo de torção através do momento polar de inércia mostra-se impreciso quando comparado com resultados de testes obtidos em laboratórios. Para determinar valores mais precisos de rigidez à torção na aplicação de barras de geometria variada, será desenvolvido o conceito de Resistência à Torção. BLODGETT (1976) [11] fornece a seguinte equação elementar de Resistência à Torção para um elemento fechado qualquer: Equação 8.1. Resistência à torção. 𝑅=

4[𝐴]2 𝑑 ∫ 𝑡𝑠 𝑠

Onde: R é a resistência à torção, A a área fechada dentro das dimensões médias, d s o comprimento de um segmento particular da seção e ts a espessura média do segmento a um ponto s. Tomando o perfil de viga oca de paredes finas utilizada na construção do modelo a ser analisado neste estudo, temos (Figura 16):

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Figura 16. Perfil da viga analisado e dimensões principais. Resolvendo a integral da Equação 8.1 para o perfil da Figura 16, temos que a resistência à torção da viga caixa analisada neste estudo é descrito pela Equação 8.2 abaixo: Equação 8.2. Resistência à torção de uma viga oca de paredes finas com construção similar à Figura16. 𝑅=

2 𝑏12 𝑑12 𝑏1 𝑑1 + 𝑡𝑏 𝑡𝑑

Uma vez definida a equação que rege a rigidez ou resistência à torção do elemento estudado, é necessário definir a equação do ângulo de torção do elemento, para verificar seu comportamento quando inserido o carregamento. Tomando o fluxo de cisalhamento, anteriormente conceituado como produto das tensões de cisalhamento e espessura a cada ponto, em uma seção transversal de paredes finas por q e o momento torçor nela aplicado por M, utilizando-se das suposições de torção uniforme acima, temos que: Equação 9.1. 𝑞 = 𝜏∙𝑡 Onde 𝜏 é a tensão de cisalhamento e t a espessura da parede. Pelas condições de equilíbrio, demonstra-se que: Equação 9.2. 𝑀 =𝜏∙𝑡∙𝜔 Onde 𝜔 é o dobro da área inclusa pela linha de centro da parede, considerando a seção transversal.

18 A deformação de cisalhamento 𝛾 é dada por: Equação 9.3. 𝛾=

𝜏 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = + 𝐺 𝜕𝑠 𝜕𝑧

Onde u e v são, respectivamente, os deslocamentos axial e tangencial. Da suposição (iii) segue que: Equação 9.4. 𝑣 =ℎ∙∅ Onde h é a distância do centro de torção à tangente a um ponto dado e ∅ é o ângulo de torção. Segue, da Equação 8.3 que: Equação 9.5. 𝜕𝑢 𝜏 = − ℎ ∙ ∅′ 𝜕𝑠 𝐺 Onde : ∅′ =

𝜕∅ 𝜕𝑧

Integrando a Equação 8.5 através de todo o perímetro, pode-se demonstrar que: Equação 9.6. Equação do ângulo de torção por unidade de comprimento em um elemento fechado qualquer. ∅′ =

𝑞 𝑑𝑠 ∙∫ 𝐺∙𝜏 𝑡

Até então foram desenvolvidas equações para os casos de torção uniforme, aplicadas à viga proposta neste estudo, porém, como afirmam LIMA, GUARDA & PINHEIRO (2007) [12]: “Em geral, os estudos sobre torção desconsideram a restrição ao empenamento, como nas hipóteses de Saint-Venant, mas, na prática, as próprias regiões de apoio (pilares ou outras vigas) tornam praticamente impossível o livre empenamento. Como conseqüência, surgem tensões normais (de coação) no eixo da peça e há uma certa redução da tensão cisalhante. [...]No caso de seções delgadas, entretanto, a influência do empenamento pode ser considerável, e devem ser utilizadas as hipóteses da flexo-torção de Vlassov para o dimensionamento”. Ainda, conforme ADEL (1969) [10]: “Em muitos problemas práticos, se torna impossível de garantir livre empenamento ou o formato constante da seção transversal em uma viga. Nestes casos, as equações não são mais livres e uma distribuição complexa de tensões longitudinais é desenvolvida e a aplicação da teoria de St. Venant pode nos conduzir a sérios erros”.

19 Devido às regiões de restrição ao empenamento localizadas nas vigas cabeceiras, apoios das vigas principais apoiadas nestas e das diversas anteparas transversais dispostas longitudinalmente na viga, o do método de Saint-Venant para o caso de torção em vigas principais de pontes rolantes torna-se impreciso, pois não considera o empenamento da seção transversal, importantes no dimensionamento deste tipo de viga. Como resultado, surgem deformações de torção da caixa, descritas por ABDELRAOUF, A.S. (1985) [13]: “Quando uma viga de paredes finas é submetida a momentos torçores em suas extremidades, pontos em seções transversais da viga move-se a diferentes taxas na direção axial. Assim, o plano de uma seção transversal não permanece plano, pois empena. O estado de tensões na viga será totalmente diferente daquele analisado na teoria de St. Venant, que estabelece que uma viga sobre momento torçor sofrerá apenas tensões de torção, ou cisalhamento. [...] Assim, a taxa longitudinal de torção da viga não será constante nas regiões de torque constante”. ADEL (1969) [10] simplifica as tensões produzidas pela torção em vigas ocas de paredes finas, separando-as em dois tipos, como segue abaixo: (i) (ii)

Distorção e rotação da seção transversal, a qual é resistida pelo quadro formado pelas abas e almas da viga; Deformação por empenamento da seção transversal, a qual é pricipalmente restringida por suportes.

(i)

(ii)

20 Tais tensões, devem ser consideradas nos cálculos de dimensionamento de vigas ocas de paredes finas. Segundo PARK, N.M et Al (2002) [3]: “ As tensões normais de distorção do empenamento devidas ao empenamento da seção transversal e as tensões de flexão transversal das paredes devido à distorção da seção transversal podem tornar-se significantes a menos que a distorção nas seções da caixa seja apropriadamente restringida”. Existem diversas publicações cujo objetivo em comum foi obter uma expressão matemática que pudesse descrever o comportamento de tais tensões desenvolvidas devido à restrição do empenamento da seção transversal durante a torção em vigas ocas de paredes finas, porém estes tiveram diversas aproximações analíticas foram, por diversos pontos de vista, tendo diversos resultados obtidos. Devido às divergências que os trabalhos que se propuseram a resolver este problema apresentaram em seus métodos matemáticos analíticos, por vezes negligenciando tensões consideradas mínimas para uma maior simplicidade na construção ou resolução de equações e por outras aproximando-se do problema de maneiras divergentes é que o presente trabalho apoia-se em um método diferente, cujos cálculos são realizados de maneira mais precisa e acurada quando comparados aos cálculos humanos, sendo estes realizados por computadores. Para analisar as tensões e deformações resultantes de tais condições construtivas e de carregamento, será utilizado neste trabalho o Método dos Elementos Finitos (MEF ou FEM - do inglês Finite Element Method). O objetivo da utilização deste método é observar de maneira empírica o comportamento de vigas ocas de paredes finas submetidas a esforços torsores e a influência de anteparas transversais neste tipo de viga. O presente método será utilizado pois possibilita a resolução eficiente e acurada de matrizes através de rotinas confiáveis, além de a facilitação do pré processamento dos diversos modelos que devem ser construídos para análise, incluindo geradores de malhas adaptativas e durante o pós processamento, estágios de revisão de soluções.

6. Método dos Elementos Finitos (MEF) SANTOS (2008) [9] defende a utilização do método dos elementos finitos dizendo que: “O Método dos Elementos Finitos é, sem dúvida a ferramenta numérica mais difundida e adequada para o cálculo estrutural da atualidade. Sua habilidade em modelar elementos sólidos, de superfície (cascas e placas) e de linha (barras gerais e simples) por um conjunto de equações natural e único, demonstra sua superioridade quando comparado a outras técnicas, como por exemplo, o Método dos Elementos de Contorno (MEC), e o Método das Diferenças Finitas (MDF). “O MEF foi idealizado para computadores, nos quais, uma estrutura elástica contínua (continuum) é dividida (discretizada) em pequenas porém finitas, pequenas subestruturas (elementos). Utilizando matrizes, o comportamento elástico contínuo de cada elemento é classificado em termos de material e propriedades geométricas do elemento, da distribuição de carregamento (estático, dinâmico e térmico) dentro do elemento, e cargas e deslocamentos nos nós do elemento. Os nós dos elementos são as entidades fundamentais que regem os elementos, é a partir deles onde os elementos se conectam uns com os outros, onde propriedades elásticas dos elementos são estabelecidas, onde as condições de contorno são atribuídas, e onde as forças ( de contato ou de corpo) serão ultimamente aplicadas. Um nó

21 possui graus de liberdade. Graus de liberdade são movimentos translacionais ou rotacionais que podem existir em um nó. No máximo, um nó pode possuir três graus translacionais e três graus rotacionais de liberdade. Uma vez que cada elemento no interior de uma estrutura é definido localmente em forma de matriz, os elementos são então globalmente montados (anexados) através de seus nós em comum, em um sistema global de matriz. Carregamentos aplicados e condições de contorno são então especificadas, e através de operações matriciais, os valores de todos os deslocamentos desconhecidos dos graus de liberdade, são determinados. Uma vez finalizado, é uma simples questão usar tais deslocamentos para determinar deformações e tensões através das equações constitutivas da elasticidade”. YOUNG & BUDYNAS (2001) [14]

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7. Bibliografia de Referência [1] ABNT-NBR 8400 (1994): Cálculo de Equipamentos para Levantamento e Movimentação de Cargas. [2] KOO, M.S., LEE, H.K. & KIM, D.H. (2004): A STUDY ON THE DETERMINATION OF DIAPHRAGM SPACING OF CURVED STEEL BOX GIRDERS, Steel Structures 4 (2004), 157-166. [3] PARK, N.M, CHOI, Y.J., YI, G..S & KANG, Y.J (2002): DISTORTIONAL ANALYSIS OF STEEL BOX GIRDERS, Steel Structures, 2 (2002), 51-58. [4] SCHINDLER, O. (1959): UNTERSUCHUNGEN AN GESCHWEISSTEN HÜTTENKRANEN, Westdeutscher Verlag / Köln und Opladen (1959) (FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN) [5] TIMOSHENKO, S. (1948): STRENGTH OF MATERIALS, D. Van Nostrand Company Inc. (1948) Second Edition – Tenth Printing. [6] ANSYS (2015): Disponível em http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Analysis (acessado em 05 de Junho de 2013). [7] SOLIDWORKS (2015): Disponível em http://www.3ds.com/products-services/solidworks/ (acessado em 06 de Junho de 2013). [8] BEER, F.P.; JOHNSON J.R.,E.R. (2006) – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Ed. Makron Books, São Paulo, 4ª edição. 2006. [9] SANTOS, A. P. F. (2008): APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DO MEF PARA BARRA GERAL LAMINADA TRIDIMENSIONAL PELA CONSIDERAÇÃO DA CINEMÁTICA DO EMPENAMENTO PARA SEÇÃO QUALQUER Dissertação (Mestrado-Programa de Pós Graduaçãoe Área de Concentração: Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 2008. [10] ADEL, A.M. (1969): TORSIONAL BEHAVIOUR OF SINGLE CELL BOX GIRDER BRIDGES. Master of Engineering, Mc Gill University Montreal, 1969. [11] BLODGETT, O. W. (1976): DESIGN OF WELDED STRUCTURES. The James F. Lincoln Arc Welding Foundation, Cleveland Ohio (1976). [12] LIMA, J. S.; GUARDA M. C. C.; PINHEIRO, L. M. (2007): TORÇÃO [Online] Disponível em http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/18%20Torcao.pdf (Acessado em 05 de Junho de 2015). [13] ABDELRAOUF, A.S. (1985): BEHAVIOUR OF THIN-WALLED STRUCTURES UNDER COMBINED LOADS. A Doctoral Thesis Submitted in partial fulfilment of the requirements for the award of the degree of Doctor of Philosophy of Loughborough University of Technology, 1985.

23 [14] YOUNG, W.C. & BUDYNAS, R.G. (2001): ROARK’S FORMULAS FOR STREES AND STRAIN (7th Edition). Mc Graw-Hill Professional, 2001.