Estudo da modelagem dinâmica de um circuito RLC

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Pato Branco Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica AS01PG - Análise de Sistemas Lineares

Estudo de um sistema de segunda ordem: Circuito RLC

Allan Gregori de Castro

22 de abril de 2015

1

1

Objetivo O objetivo deste trabalho é apresentar diferentes abordagens de modelagem de um circuito

de segunda ordem RLC. Dentre as abordagens possíveis serão apresentadas:

análise por

diagrama de blocos em software Simulink; análise por função de transferência; e análise por sistemas de equações em espaço de estados. As respostas da análise destes modelos é comparada à simulação no software PSIM.

2

Sistema a ser Analisado O circuito de segunda ordem RLC considerado está mostrado na gura 1. Com base nele

serão feitas simulações de seu comportamento nas seções seguintes.

L = 0, 5mH +

iL(t)

Vi (t)

C = 35µF

R = 10Ω −

− Figura 1:

2.1

+

+

Vo (t) −

Circuito do motor de indução trifásico.

Simulação do circuito no PSIM

A obtenção do comportamento dinâmico do circuito pode ser obtida com a simulação do circuito no software PSIM. A gura 2 apresenta o circuito da gura 1 esquematizado no software PSIM. O comportamento dinâmico da tensão de saída na entrada

Vi (t)

Vo (t) para uma degrau unitário de tensão

está mostrado na gura 3. O resultado da gura 3 será comparado aos re-

sultados obtidos pelas diferentes abordagens de modelagem do circuito das secções seguintes.

2

Figura 2: Circuito esquematizado no software PSIM para simulação da resposta ao degrau de tensão

Vi (t).

Resposta ao degrau do circuito RLC

Vi (t) Vo (t)

1.4

Tensão [V]

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

0

1

2

3

4 ·10−3

Tempo [s] Figura 3:

Comportamento dinâmico da tensão de saída conforme simulação no PSIM do

circuito RLC.

3

2.2

Equação dinâmica do Circuito

A tensão de saída do circuito

Vo (t)

é a variável de interesse da análise. Essa tensão pode

ser expressa por

Vo (t) = Vi (t) − VL (t) onde

VL (t)

é a tensão sobre o indutor

L.

Expandindo a tensão no indutor para

Vo (t) = Vi (t) − L Pela lei de Kircho das correntes, a corrente no resistor

iR (t) = Vo (t)/R

R

e

iC (t)

(1)

iL (t)

diL (t) . dt

(2)

pode ser expressa por

C. iC (t) = C.dVo (t)/dt,

é a corrente no capacitor

e a corrente no capacitor

L diLdt(t) ,

iR (t) + iC (t),

onde

iR (t)

é

Sendo a corrente no resistor então a o balanço de tensões

da equação 2 se torna

d Vo (t) = Vi (t) − L dt



dVo (t) Vo (t) +C R dt

 .

(3)

Assumindo a notação de derivada temporal pelo sobrescrito ( ˙ ) e organizando apropriadamente a equação 3 tem-se

1 1 1 ˙ Vo (t) + Vo (t) − Vi (t) = 0 V¨o (t) + RC LC LC

(4)

A equação dinâmica 4 da tensão de saída do circuito será estudada nas formas descrita nas seções seguintes.

2.3

Diagrama de Blocos

A equação 4 pode ser reescrita na forma

1 ˙ 1 1 V¨o (t) = − Vo (t) − Vo (t) + Vi (t) = 0 RC LC LC

(5)

A equação 5 pode ser facilmente implementada, para simulação, na forma de diagrama de blocos elementares no ambiente Simulink do na gura 4. Na gura 4 os blocos



To Workspace 

manipulação no

Tensão de Entrada

e

software

Tensão de saída

com a função de exportar os vetores

workspace

Vi (t)

Variable Name 

e

são blocos denominados

Vo (t),

respectivamente, para

do MATLAB. Na janela de parâmetros desses blocos é preciso

escolher o armazenamento da variável medida no formato 

MATLAB, conforme apresentado

array

e deve-se denir no campo

o nome com o qual a variável será salva.

Com base no diagrama da gura 4 é possível, então, plotar o comportamento da tensão de saída em função do tempo utilizando o comando

plot(tout,Vo) 4

a partir do e 

tout 

workspace ou script.

No comando,

V o é o nome denido do bloco  To Workspace 

é, por padrão, o nome do vetor de tempo de simulação do Simulink.

A resposta dinâmica da tensão de saída unitário de tensão de entrada

Vi (t)

Vo (t)

do circuito da gura 1 para um degrau

está apresentada na gura 5. É possível visualizar que se

trata da mesma dinâmica obtida através da simulação no software PSIM da gura 3.

Figura 4: Diagrama de blocos em Simulink representando a equação diferencial 5.

Resposta ao degrau do circuito RLC

Vi (t) Vo (t)

1.4 Tensão [V]

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

0

1

2

3

Tempo [s] Figura 5:

Resposta ao degrau do circuito RLC.

5

4 ·10−3

2.4

Função de Transferência do circuito RLC

Uma outra maneira de se estudar o comportamento dinâmico do sistema da gura 1 é analisando sua função de transferência. Para determinar a função de transferência

H(s) =

Vo (s) Vi (s)

(6)

do circuito, aplica-se a transformada de Laplace na equação 4, resultando

Vo (s)s2 +

1 1 1 Vo (s)s + Vo (s) − Vi (s) = 0 RC LC LC

para condições iniciais nulas de corrente no indutor (iL (t

0)).

Agrupando os termos com

Vo (s)

e estabelecendo

função de transferência

Vo (s) = H(s) = Vi (s)

(7)

= 0)) e tensão no capacitor (Vo (t = a razão Vo (s)/Vi (s) determina-se a

1 LC . 1 1 s2 + s+ RC LC

(8)

Uma função de transferência genérica de segunda ordem tem o formato

H(s) = onde

ζ

ωn2 , s2 + 2ζωn s + ωn2

é o coeciente de amortecimento do sistema,

do sistema.

ωn

(9)

é a frequência natural não amortecida

Comparando a função de transferência do circuito RLC (equação 8) com o

formato genérico da equação 9 determina-se

 1   ωn = √ r LC L   ζ = . 4R2 C

(10)

Aplicando os valores dos elementos do circuito da gura 1, o coeciente de amortecimento e a frequência natural não amortecida são

( ωn = 2390, 46 rad/s ζ = 0, 598. O valor do coeciente de amortecimento

(11)

ζ = 0, 598 indica que o sistema é subamortecido,

ou seja, com resposta ao degrau oscilatória e amortecida. A gura 6 apresenta a resposta ao degrau do circuito obtida através do comando

step do software MATLAB aplicada à função

de transferência da equação 8. Evidentemente, a resposta dinâmica da gura 6 é igual à da gura 5 por se tratar do mesmo circuito, porém, foram obtidas por meios diferentes.

6

Resposta ao degrau do circuito RLC 1.6 1.4

Tensão (V)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

−0.5

0

0.5

1 1.5 2 Tempo (seconds)

2.5

3

3.5

4 −3

x 10

Figura 6: Resposta ao degrau obtida a partir da função de transferência.

2.5

Representação em Espaço de Estados do circuito RLC

Nessa seção é determinado o modelo em espaço de estados do circuito RLC da gura 1 tomando como estados as variáveis corrente no indutor

iL (t)

e tensão no capacitor

Vo (t).

Primeiramente, aplica-se a lei de Kircho das tensões, obtendo-se

Vi (t) − L Assumindo a notação

i˙L (t)

como

diL (t) − Vo (t) = 0. dt

(12)

diL (t) tem-se a primeira equação diferencial dt

1 1 i˙L (t) = Vi (t) − Vo (t). L L Outra equação que relaciona as grandezas

iL (t)

e

Vo (t)

(13) pode ser obtida da equação que

governa a corrente no capacitor

ic (t) = C V˙o (t),

C sua capacitância. Através da lei de Kircho das correntes sabe-se que ic (t) = iL (t) − iR (t), em que iR (t) é a corrente no resistor R. Aplicando

onde

ic (t)

(14)

é a corrente no capacitor e

essa consideração na equação 14 tem-se

iL (t) − iR (t) = C V˙o (t). Sendo a corrente no resistor

iR (t) = 7

Vo (t) , R

(15)

(16)

a equação 14 pode ser reorganizada para

1 1 V˙o (t) = iL (t) − Vo (t). C RC

(17)

A partir das equações 13 e 17 estabelece-se o modelo em espaço de estados do circuito RLC da gura 1 como



i˙ L (t) V˙ o (t)



 =

0 1 C

     iL (t) 1/L − L1 . + .Vi (t). 1 Vo (t) 0 − RC

(18)

Um sistema de equações em espaço de estados invariante no tempo pode ser expressa no formato

˙ X(t) = A.X(t) + B.U (t)

(19)

Comparando a equação 18 com a equação 19 pode-se extrair que variáveis de estado

iL (t)

e

Vo (t), U (t)

é a grandeza escalar



0 −1/L A= 1/C 1/C e

 B=

1/L 0

X(t)

é o vetor das

Vi (t),

 (20)

 .

(21)

Pode-se encontrar numericamente a solução da equação 19 através do método de Euler. Para isso, primeiramente o vetor de derivadas dos estados é aproximado por

X(t + ∆t) − X(t) ˙ . X(t) = ∆t

(22)

∆t tendendo a zero, então a equação 22 seria X(t). Se o sistema for discretizado com período de amostragem X(t) = X(k∆t) com k inteiro, então a expressão aproximada da derivada passa

Se fosse tomado o limite da equação 22 com a denição de derivada de

∆t

tal que

a ser

Por uma questão de

X[(k + 1)∆t] − X[k∆t] ˙ . X[k∆t] = ∆t notação, será utilizado apenas X[k] para

(23) denotar

X[k∆t].

Dessa

forma

X[k + 1] − X[k] ˙ X[k] = . ∆t

(24)

Discretizando o sistema da equação 19 e aplicando a aproximação da equação 24 tem-se

X[k + 1] − X[k] = A.X[k] + B.U [k]. ∆t

(25)

Reorganizando a equação 25 apropriadamente tem-se

X[k + 1] = (I + ∆tA)X[k] + ∆tB.U [k]. Para simulação em MATLAB da equação 26 foi utilizado o seguinte código:

8

(26)

clear all; close all; clc; % Parâmetros de simulação tf = 5e-3; % Tempo de simulação dt = 1e-6; % Delta tempo nps= ceil(tf/dt); % número de passos em uma simulação t = 0:dt:(dt*nps); % vetor tempo discretizado % Parâmetros do circuito L = 5e-4; % Indutância [H] C = 35e-6; % Capacitância [C] R = 10; % Resistência [Ohms] Vi= heaviside(t-0); % Degrau de tensão no tempo 0 % Parâmetros do sistema Espaço de Estados I = eye(2); % Matriz identidade 2x2 A = [0 , -1/L ;... % Matriz A 1/C , -1/(R*C)]; B = [1/L ;... % Matriz/vetor coluna B 0 ]; U = Vi; % Entrada U % Inicialização de variáveis iL = zeros(1,length(nps)); % Vo = zeros(1,length(nps)); % X1 = [ 0 ;... % 0 ]; %

Vetor de corrente no indutor Vetor de tensão de saída Condição inicial do vetor coluna de estados

for k=1:1:(nps+1) % Espaço de estados - X2 = X(k+1) X1 = X(k) X2 = (I+dt*A)*X1 + dt*B*U(k); % Resultados iL(k)= X2(1);% iL - corrente no indutor [A] Vo(k)= X2(2);% Vo - tensão de saída [V] X1 = X2; % X1 da próx iteração é o X2 atual end figure(1) plot(t,Vo,'r','linewidth',2) A partir desse código pode-se obter a resposta dinâmica da tensão de saída do circuito

Vo (t),

tal como mostrado na gura 7.

9

Resposta ao degrau do circuito RLC

Vi (t) Vo (t)

1.4

Tensão [V]

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

0

1

2

3

4 ·10−3

Tempo [s] Figura 7:

Comportamento dinâmico de

Vo (t),

para um degrau unitário de tensão

Vi (t),

obtida pela resolução do sistema espaço de estados.

2.6

Outra representação em Espaço de Estados do circuito RLC

É possível modelar o comportamento dinâmico de outras variáveis do circuito RLC da gura 1. Nessa seção o interesse é encontrar uma representação em espaço de estados para a corrente no resistor

iR (t).

A tensão sobre o resistor é

Vo (t) = Vi (t) − Li˙L (t)

Vo (t) = iR (t)R.Pela

lei de Kircho das tensões sabe-se que

de forma que a tensão no resistor se torna

Vi (t) − Li˙L (t) = iR (t)R. Sendo a corrente no indutor a soma

iR (t) + iC (t),

então a partir da equação 27 tem-se

d (iR (t) + iC (t)) = iR (t)R. dt aplicando iC (t) = C V˙o (t) e a derivada, tem-se   ¨ ˙ Vi (t) − LiR (t) − L Vo (t)C = iR (t)R. Vi (t) − L

Na equação 28

Resgatando a informação de que

(27)

(28)

(29)

Vo (t) = iR (t)R, aplicando-a na equação 29 e manipulando

apropriadamente,


Vi (t) − Li˙R (t) − L i¨R (t)RC = iR (t)R.

(30)

Reorganizando a equação 30 tem-se

1 1 1 ˙ i¨R (t) + iR (t) + iR (t) − Vi (t) = 0. RC LC RLC 10

(31)

A equação que modela a dinâmica da corrente no resistor (equação 31) é uma equação diferencial de segunda ordem. Portanto, para colocá-la no formato de sistema em espaço de estados é preciso realizar um ajuste de variáveis. Para isso, dene-se uma variável intermediária

x1 (t)

tal que

i˙R (t) = x1 (t).

(32)

Com essa consideração é possível readequar a equação 31 para o formato

x˙1 (t) +

1 1 1 x1 (t) + iR (t) − Vi (t) = 0, RC LC RLC

que é uma equação de primeira ordem.

(33)

Agora, a partir das equações 32 e 33 é possível

escrever o modelo na forma espaço de estado, dado por



i˙ R (t) x˙ 1 (t)



    iR (t) 0 1 . + = 1 1 − RC x1 (t) − LC 

0 1 RLC

 .Vi (t).

(34)

Com base na equação 34 utiliza-se o mesmo procedimento da secção anterior para resolução de um sistema dinâmico em espaço de estados utilizando o método de Euler. Dessa forma, o comportamento dinâmico da corrente no resistor para um degrau de tensão

Vi (t)

está mostrada na gura 8. Resposta ao degrau do circuito RLC

iR (t)

0.14

Corrente [A]

0.12 0.1 8 · 10−2 6 · 10−2 4 · 10−2 2 · 10−2 0 −1

0

1

2

4 ·10−3

3

Tempo [s] Figura 8:

Comportamento dinâmico de iR (t), para degrau de tensão de entrada

Vi (t), obtida

pela resolução do sistema espaço de estados.

Analisando a gura 8 pode-se notar que o comportamento dinâmico de mesmo formato do comportamento da tensão

iR (t) = Vo (t)/R e R é uma constante.

Vo (t)

iR (t)

possui o

apresentado na gura 7, isso porque

Esse fato conrma a equivalência dos dois modelos, ou

11

seja, essa equiparação de resultados evidencia o fato de que um sistema pode ser modelado a partir de diferentes enfoques. É possível concluir então que embora as equações do sistema em espaço de estados sejam diferentes conforme a abordagem, os fenômenos não tem seu comportamento modicado.

12