Exame de Qualificação : Gás relativístico num Campo Gravitacional

Exame de Qualifica¸ca˜o: G´as relativ´ıstico num Campo Gravitacional Orientador: Gilberto M. Kremer Doutorando: Fernando C. Guesser Departamento de F´ısica, Universidade Federal do Paran´a Curitiba, Brazil

1

Sum´ ario 1 Resumo

3

2 Introdu¸ c˜ ao

4

3 Equa¸ c˜ ao de Boltzmann em campos gravitacionais

6

4 M´ etodo de Chapman-Enskog 4.1 Equa¸c˜oes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 G´as relativ´ıstico viscoso e condutor de calor . . . . . . . . . . . .

9 9 10

5 M´ etodos

14

6 Discuss˜ ao

14

7 Cronograma

14

8 Conclus˜ oes

15

A Apˆ endice: M´ etrica de Schwarzschild

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B Apˆ endice: Resolu¸ c˜ ao das integrais

17

C Apˆ endice: Fun¸ c˜ oes de Bessel Modificadas

18

2

1

Resumo

Um hist´orico da pesquisa em gases relativ´ısticos ´e apresentado, citando os principais eventos relacionados ao nosso projeto. O estado da arte ´e exposto atrav´es do estudo de um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional dentro da abordagem da equa¸c˜ao de Boltzmann relativ´ıstica, onde o modelo de Marle para o operador de colis˜ao da equa¸c˜ao de Boltzmann ´e utilizada. Os coeficientes de transporte de viscosidade volum´etrica e de cisalhamento e a condutividade t´ermica s˜ ao determinados pelo m´etodo de Chapman-Enskog. Mostramos que os coeficientes de transporte dependem do potencial gravitacional. As express˜oes para os coeficientes de transporte na presen¸ca de campos gravitacionais fracos nos limites n˜ao-relativ´ısticos (baixas temperaturas) e ultrarrelativ´ıstico (altas temperaturas) s˜ ao dadas. A proposta de trabalhos futuros aborda o uso de outros modelos de equa¸c˜ao para o operador de colis˜ao da equa¸c˜ao de Boltzmann, o uso de outras m´etricas isotr´ opicas e an´alise de campos gravitacionais em gases degenerados relativ´ısticos ou mistura de gases.

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2

Introdu¸c˜ ao

A pesquisa sobre gases relativ´ısticos usando a equa¸c˜ao de Boltzmann ´e um assunto antigo na literatura. O desenvolvimento da teoria cin´etica relativista come¸cou em 1911 quando J¨ uttner determinou uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio que era uma generaliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao de Maxwell [1] para um g´ as relativista. J¨ uttner tamb´em conseguiu em 1928 derivar uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para gases relativistas cujas part´ıculas obedeciam `as estat´ısticas de Fermi-Dirac e Bose-Einstein [2]. O passo seguinte para uma descri¸c˜ao estat´ıstica de um g´ as relativista consistiu na generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Boltzmann numa formula¸c˜ao covariante desenvolvida por Lichnerowicz e Marrot [3] na d´ecada de 1940. No come¸co dos anos de 1960 um r´ apido progresso foi conseguido na teoria cin´etica relativista, em particular quando Israel [4] e Kelly [5] estabeleceram uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao fora do equil´ıbrio e calcularam os coeficientes de transporte de um g´ as relativista usando o m´etodo de Chapman-Enskog. O resultado de que um g´ as relativista tinha uma viscosidade volum´etrica, ao contr´ario do g´ as monoatˆ omico n˜ao relativista, chamou a aten¸c˜ao de pesquisadores que trabalharam em diversas aplica¸c˜oes da teoria cin´etica relativista, tais como: o papel da press˜ao dinˆ amica nos processos irrevers´ıveis durante a expans˜ao do Universo, o efeito da viscosidade dos neutrinos na evolu¸c˜ao do Universo, o estudo da forma¸c˜ao de gal´axias, estrela de nˆeutrons, fus˜ao termonuclear controlada etc. Esses trabalhos pioneiros estimularam v´ arios artigos que estudaram os gases fora do equil´ıbrio usando a equa¸c˜ao de Boltzmann na relatividade especial. Entretanto existem poucos trabalhos sobre gases relativ´ısticos na presen¸ca de campos gravitacionais usando a equa¸c˜ao de Boltzmann. Os primeiros trabalhos s˜ ao de Chernikov [6, 7], que analizou fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio em algumas m´etricas espec´ıficas e Bernstein [8], que determinou a viscosidade volum´etrica para um g´ as relativ´ıstico numa m´etrica de Friedmann-RobertsonWalker. Alguns anos atr´as a influˆencia da gravidade no transporte de calor num g´ as rarefeito foi analizado nos trabalhos [9, 10] usando uma equa¸c˜ao de Boltzmann n˜ao relativ´ıstica, onde mostrou que um campo gravitacional paralelo ao gradiente de temperatura aumenta o transporte de calor na dire¸c˜ao do campo ou diminui no sentido oposto. Esse resultados est˜ ao relacionados com os obtidos por Tolman [11, 12] usando relatividade geral, que mostrou que um estado de equil´ıbrio de uma g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional pode ser obtido somente se um gradiente de temperatura for contrabalanceado por um gradiente de potencial gravitacional. Recentemente um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional usando a equa¸c˜ao de Boltzmann foi estudada no trabalho [13], onde a dependˆencia do fluxo de calor com a gravidade, a lei de Tolman, foi obtida. Nesse trabalho nenhuma m´etrica foi especificada, embora as componentes da m´etrica apare¸cam explicitamente na fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio, e a dependˆencia do campo gravitacional estava ligada ao s´ımbolo de Christoffel escrito numa aproxima¸c˜ao Newtoniana. O objetivo do trabalho ´e analisar um g´ as relativ´ıstico na m´etrica de Schwarzschild e outras m´etricas utilizando a equa¸c˜ao de Boltzmann na presen¸ca de cam4

pos gravitacionais. O modelo de Marle [14, 15] ou o modelo de Anderson e Witting [16] do termo de colis˜ao da equa¸c˜ao de Boltzmann ser´a usado e os coeficientes de transporte das viscosidades volum´etrica e de cisalhamento e condutividade t´ermica ser˜ao determinadas pelo m´etodo de Chapman-Enskog. Verificaremos os valores dos coeficientes de transporte na presen¸ca de um campo gravitacional nesses casos. Al´em disso, verificaremos o fluxo de calor e seus termos, pois num trabalho recente de Gilberto M. Kremer [17] foram obtidos dois termos relativ´ısticos, al´em do gradiente de temperatura. Um deles, causada pela in´ercia de energia, representa um fluxo de calor isot´ermico quando a mat´eria ´e acelerada e foi sugerida por Eckart [18]. O outro ´e proporcional ao gradiente de potencial gravitacional e foi proposto por Tolman [11, 12]. Nesse trabalho ele mostra que o estado de equil´ıbrio de um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional e sem acelera¸c˜ao pode ser obtido se o gradiente de temperatura contrabalancear o gradiente de potencial gravitacional. Podemos abordar o mesmo tema usando um g´ as degenerado, g´ as de Fermi e g´ as de Bose, onde os efeitos quˆ anticos s˜ ao considerados. Outra possibilidade interessante ´e tratar de mistura de gases relativ´ısticos onde rea¸c˜oes qu´ımicas ou nucleares podem ocorrer. Essa qualifica¸c˜ao est´ a estruturada da seguinte forma. Na se¸c˜ao 2 a equa¸c˜ao de Boltzmann, o modelo de Marle e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio na m´etrica de Schwarzschild s˜ ao introduzidas bem como as defini¸c˜oes e as equa¸c˜oes de balan¸co para o quadrifluxo de part´ıculas e o tensor momento-energia. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao fora do equil´ıbrio, obtidas pelo m´etodo de ChapmanEnskog, ´e o assunto da se¸c˜ao 3. Nessa se¸c˜ao as equa¸c˜oes de Euler de um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional s˜ ao obtidas e as equa¸c˜oes constitutivas com os respectivos coeficientes de transporte s˜ ao determinados para um g´ as relativ´ıstico viscoso e condutor de calor. Na se¸c˜ao 4 fundamentamos as principais aspira¸c˜oes do trabalho a ser realizado no doutorado e nos apˆendices introduzimos a m´etrica de Schwarzschild isotr´ opica, mostramos como calcular as integrais quando a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao depende dos componentes da m´etrica e alguns c´alculos s˜ ao expostos.

5

3

Equa¸c˜ ao de Boltzmann em campos gravitacionais

Vamos considerar um g´ as monoatˆ omico n˜ao-degenerado num espa¸co Riemanniano com elemento de linha ds2 = gµν dxµ dxν onde gµν ´e o tensor m´etrico. Uma part´ıcula com massa de repouso m ´e caracterizado pelas coordenadas (xµ ) = (x0 = ct, x) e pelo quadrimomento (pµ ) = (p0 , p), onde c denota a velocidade da luz. A constˆ ancia do m´odulo do quadrimomento gµν pµ pν = m2 c2 implica em i 0i p , onde p0 = p0 −g g00 p0 =

q

g00 m2 c2 + (g0i g0j − g00 gij ) pi pj .

(1)

As componentes da quadrivelocidade com U µ Uµ = c2 s˜ ao
U µ = Γc, Γv i ,

Γ= r

1 

g00 1 +

g0i v i g00 c

2

, −

(2)

v2 c2

  e num referencial com´ovel v = 0 produz U µ = √gc00 , 0 . Para uma m´etrica de Schwarzschild isotr´ opica (47) temos p0 √ p p0 = g0 m2 c2 + g1 |p|2 , p0 = g0   q √ c µ U = √ ,0 , −g = g0 g13 , g0

(3) (4)

onde g = det(gµν ). No espa¸co de fase gerado pelas coordenadas do espa¸co-tempo e do momento, o estado de um g´ as relativ´ıstico ´e caracterizado pela fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de uma part´ıcula f (xα , pα ) = f (x, p, t), tal que f (x, p, t)d3 x d3 p descreve o n´ umero de part´ıculas no elemento de volume d3 x sobre x e com momento numa faixa d3 p sobre p no instante t. A evolu¸c˜ao espa¸co-temporal da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma part´ıcula ´e descrita pela equa¸c˜ao de Boltzmann. Por simplicidade vamos usar uma equa¸c˜ao modelo? para a equa¸c˜ao de Boltzmann, que substitui o termo de colis˜ao Q(f, f ) da equa¸c˜ao de Boltzmann por um termo de colis˜ao J(f ). Duas importantes equa¸c˜oes modelo para gases relativ´ısticos foram porpostas por Marle [14, 15] e Anderson and Witting [16]. A equa¸c˜ao modelo de Marle ´e dada por J(f ) = −

m (f − f (0) ), τ

(5)

enquanto a equa¸c˜ao modelo de Anderson-Witting ´e dada por J(f ) = −

ULµ pµ (f − f (0) ). c2 τ 6

(6)

Nas equa¸c˜oes acima, τ representa um tempo livre m´edio e f (0) a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner. No modelo de Marle a decomposi¸c˜ao de Eckart para o quadrifluxo e o tensor energia-momento da part´ıcula ´e usado, enquanto no modelo de Anderson and Witting a decomposi¸c˜ao de Landau-Lifshitz para esses campos ´e utilizada. Note que em (48) a quadrivelocidade UL se refere `a decomposi¸c˜ao de Landau-Lifshitz. Os termos de colis˜ao das equa¸c˜oes modelo devem satisfazer as seguintes propriedades do termo de colis˜ao original da equa¸c˜ao de Boltzmann 1) Para o invariante de soma ψ = pµ , Q(f, f ) e J(f ) devem satisfazer a rela¸c˜ao Z Z d3 p d3 p = 0, hence ψJ(f ) = 0; (7) ψQ(f, f ) p0 p0 2) O H-teorema, ou equivalentemente a tendˆencia da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma part´ıcula se tornar uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio, deve possuir Z Z d3 p d3 p Q(f, f ) ln f ≤ 0, hence J(f ) ln f ≤ 0. (8) p0 p0 Para a prova dessas propriedades veja como referˆencia o livro [19]. Aqui vamos usar o modelo de Marle da equa¸c˜ao de Boltzmann, que na presen¸ca de campos gravitacionais fica pµ

 ∂f m (0) i µ ν ∂f . f − f − Γ p p = − µν ∂xµ ∂pi τ

(9)

Acima, Γiµν s˜ ao os s´ımbolos de Christoffel e f (0) a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner. Num referencial com´ovel a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de MaxwellJ¨ uttner torna-se ! p c m2 c2 + g1 |p|2 n (0) f = , (10) exp − 4πkT m2 cK2 (ζ) kT devido ` a (3)2 e (4)1 . A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner pode ser reescrita como f (0) =

τ n τp − UkT e 4πkT m2 cK2 (ζ)

(11)

Aqui n, T e k representam densidade do n´ umero de part´ıculas, temperatura e constante de Boltzmann, respectivamente. Al´em disso, K2 (ζ) ´e a fun¸c˜ao de Bessel modificada do segundo tipo (Apˆendice C)  n Z ∞
n−1/2 ζ Γ(1/2) dy, (12) Kn (ζ) = e−ζy y 2 − 1 2 Γ(n + 1/2) 1 7

que ´e uma fun¸ca˜o de ζ = mc2 /kT representando a raz˜ ao da energia de repouso da part´ıcula mc2 e a energia t´ermica do g´ as kT . O caso limite ζ ≫ 1 corresponde a um g´ as no regime n˜ao-relativ´ıstico em baixas temperaturas, enquanto ζ ≪ 1 refere-se a um g´ as ultrarrelativ´ıstico em altas temperaturas. O estado macrosc´ opico de um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional pode ser descrito pelos dois primeiros momentos da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao, o quadrifluxo de part´ıculas N µ e o tensor energia-momento T µν . Essas defini¸c˜oes em termos da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma part´ıcula s˜ ao dadas por Z Z √ √ d3 p d3 p , T µν = c pµ pν f −g . (13) N µ = c pµ f −g p0 p0 As respectivas equa¸c˜oes de balan¸co s˜ ao obtidas a partir da equa¸c˜ao de Boltzmann, N µ ;µ = 0, T µν ;µ = 0, (14) onde o ponto-v´ırgula denota uma derivada covariante. ´ comum na teoria termodinˆ E amica de fluidos relativ´ısticos decompor o quadrifluxo de part´ıculas e o tensor energia-momento em termos de quantidades que aparecem na teoria de dinˆ amica de fluidos n˜ao-relativ´ısticos, como densidade do n´ umero de part´ıculas n, energia por part´ıcula e, press˜ao hidrost´atica p, press˜ao fora do equil´ıbrio ̟, deviante de press˜ao Pµν (a parte de tra¸co nulo do tensor de press˜ao) e o fluxo de calor q µ . Para a equa¸c˜ao do modelo de Marle ´e usada a decomposi¸c˜ao de Eckart (veja por ex. [18, 19]) Nµ T

µν

=

nU µ ,

=

µν

P

(15) µν

− (p + ̟) ∆

en 1 + 2 (q µ U ν + q ν U µ ) + 2 U µ U ν , c c

(16)

onde ∆µν ´e o projetor

1 µ ν U U . (17) c2 A partir da inser¸c˜ao da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner (10) na defini¸c˜ao do tensor energia-momento (13)2 e integra¸c˜ao da equa¸c˜ao resultante obtem-se que a energia por part´ıcula e a press˜ao hidrost´atica   1 2 K3 e = mc , p = nkT, (18) − K2 ζ ∆µν = g µν −

respectivamente. A partir de agora n˜ao escreremos explicitamente a dependˆencia da fun¸c˜ao modificada de Bessel do segundo tipo em rela¸c˜ao ao parˆ ametro ζ. A equa¸c˜ao de Boltzmann numa m´etrica isotr´ opica de Schwarzschild (Apˆendice A) usando o modelo de Marle fica pµ

 1 ∂f ∂f f − f (0) . − Γiµν pµ pν i = − µ ∂x ∂p τ

8

(19)

4

M´ etodo de Chapman-Enskog

No m´etodo de Chapman-Enskog a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao ´e escrita como f = f (0) (1 + ϕ), onde ϕ – o desvio da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner – ´e considerado pequeno , isto ´e , |ϕ| < 1. Al´em disso, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner ´e inserida no lado esquerdo da equa¸c˜ao de Boltzmann (19) e a representa¸c˜ao f = f (0) (1 + ϕ) no lado direito. Fazendo as derivadas segue    ν  K3 ζ pν pτ Uτ ∂T p ∂n m 1 − + + f − f (0) = f (0) − τ n ∂xν T K2 kT ∂xν  j σ ν pi pν ∂Ui m c2 dg1 pi pj pk xl c2 i p p p − = − f (0) ϕ. − δ δ + g δ Γ ij kl 1 ij σν kT ∂xν 2kT dr U τ pτ r kT U τ pτ τ Assim, o desvio da distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner ϕ ´e determinada como uma fun¸c˜ao dos gradientes e derivadas das componentes da m´etrica.

4.1

Equa¸ c˜ oes de Euler

Um fluido relativ´ıstico na ausˆencia de gradientes de temperatura e quadrivelocidade representa um fluido Euleriano. A determina¸c˜ao das equa¸c˜oes de Euler √ procedem como segue. Primeiro a multiplica¸c˜ao de (20) por −gd3 p/p0 e integra¸c˜ao da equa¸c˜ao resultante leva a equa¸c˜ao de balan¸co da densidade do n´ umero de part´ıculas, ∂n + n U ν ;ν = 0. (20) Uν ∂xν √ Depois a multiplica¸c˜ao de (20) por pµ −gd3 p/p0 e subsequente integra¸c˜ao implica numa equa¸c˜ao que ´e usada para derivar as equa¸c˜oes de balan¸co para a densidade de energia e densidade de momento de um fluido Euleriano. A equa¸c˜ao de balan¸co da densidade de energia ´e obtida atrav´ as da proje¸c˜ao Uµ , produzindo n cv U ν

∂T + p U ν ;ν = 0, ∂xν

onde cv ´e a capacidade t´ermica por part´ıcula a um volume constante   ∂e K3 K2 cv = = k ζ2 + 5 ζ − 32 ζ 2 − 1 . ∂T K2 K2

(21)

(22)

A equa¸c˜ao de balan¸co da densidade de momento resulta da proje¸c˜ao ∆νµ : mn

∂p K3 ∂Φ 1 K3 µ ∂Ui U − − mn g νi i = 0, K2 ∂xµ ∂xi K2 1 − Φ2 /4c4 ∂x

(23)

onde introduzimos o potencial gravitacioanl Φ=−

GM , r

with

GM xj ∂Φ = δ . kj ∂xk r2 r

(24)

Notamos que (23) ´e uma fun¸c˜ao da raz˜ ao |Φ(R)|/c2 , que podemos estimar na superf´ıcie de alguns corpos: 9

1. Earth: M⊕ ≈ 5.97 × 1024 kg; R⊕ ≈ 6.38 × 106 m; |Φ(R⊕ )|/c2 ≈ 7 × 10−10 ; 2. Sun: M⊙ ≈ 1.99 × 1030 kg; R⊙ ≈ 6.96 × 108 m; |Φ(R⊙ )|/c2 ≈ 2.2 × 10−6 ; 3. White dwarf: M ≈ 1.02M⊙ ; R ≈ 5.4 × 106 m; |Φ(R)|/c2 ≈ 2.8 × 10−4 ; 4. Neutron star: M ≈ M⊙ ; R ≈ 2 × 104 m; |Φ(R)|/c2 ≈ 7.5 × 10−2 . As estimativas acima implicam que na maioria dos casos a aproxima¸c˜ao |Φ|/c2 ≪ 1 ´e v´ alida. Assim, a qua¸c˜ao de balan¸co da densidade de momento (23) no caso limite n˜ao relativ´ıstico ζ ≫ 1 e na presen¸ca de um campo gravitacional fraco fica   ∂Ui 5 ∂p mn 1 + + . . . Uµ µ − 2ζ ∂x ∂xi    Φ2 ∂Φ 5 + ... = 0. (25) 1 + 4 + ... −m n 1 + 2ζ 4c ∂xi Perceba que sem o termos sublinhados (25) reduz-se `a forma usual da segunda lei de Newton para um g´ as n˜ao-relativ´ıstico na presen¸ca de um campo gravitacional fraco.

4.2

G´ as relativ´ıstico viscoso e condutor de calor

Adaptar conforme nova vers˜ ao?

A partir do desvio da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Maxwell-J¨ uttner ϕ dada µν por (20) obtemos o tensor momento-energia fora do equil´ıbrio TNE atrav´es da integra¸c˜ao de Z √ d3 p µν . (26) TNE = c pµ pν f (0) ϕ −g p0 A partir dessa express˜ao final as equa¸c˜oes constitutivas para a press˜ao fora do equil´ıbrio ̟, para o fluxo de calor q µ e para a parte de tra¸co nulo do tensor press˜ao Pµν podem ser obtidas atrav´es das proje¸c˜oes 1 µν µν ̟ = − ∆µν TNE , q σ = ∆σµ Uν TNE , 3   1 µν . Pστ = ∆σµ ∆τν − ∆στ ∆µν TNE 3

(27) (28)

Vamos escrever as equa¸c˜oes constitutivas num referencial com´ovel onde as componentes do projetor se tornam ∆00 = 0,

∆ij = g ij = −

Nesse caso obtemos que ̟ = −η 10

∂Uj , ∂xj

1 ij δ . g1

(29)

(30)

ij

P = −µ i

q = −λδ

ij



"

ik jl

il jk

δ δ +δ δ




# 2 ij kl ∂Uk , − δ δ 3 ∂xl

 ∂T 1 ∂Φ T σ ∂Uj T . − 2U + 2 ∂xj c ∂xσ c 1 − Φ2 /4c4 ∂xj

(31)

(32)

As equa¸c˜oes (30) e (31) representam as equa¸c˜oes constitutivas de um fluido relativ´ıstico Newtoniano onde η e µ denotam os coeficientes de viscosidade volum´etrica e de cisalhamento, respectivamente. Suas express˜oes ficam " 2  K3 τ k2 p K3 2 K3 20 η= − 13 ζ −2 ζ + 3ζ 4  K K K |Φ| 2 2 2 3(cv )2 1 − 2c2 3 #  2 !  K3 K3 K3 2 2 ζ+ +2 ζ ζ2 . 4−ζ −5 (33) K2 K2 K2 µ= 

τp 1−

|Φ| 2c2

8

K3 . K2

(34)

A lei de Fourier generalizada ´e dada por (32) onde o coeficiente de condutividade t´ermica λ ´e expressado por   k K3 K2 τp (35) − 32 ζ . λ=  4 ζ ζ + 5 m K2 K2 |Φ| 1 − 2c 2

A lei de Fourier tem trˆes termos que s˜ ao

1 a dependˆencia usual do fluxo de calor em rela¸c˜ao ao gradiente de temperatura ∂T ∂xj ; 2 um termo relativ´ıstico proporcional `a − cT2 U σ Uj;σ que representa um fluxo de ´ um termo pequeno que calor isot´ermico quando a mat´eria ´e acelerada. E age na dire¸c˜ao oposta a` acelera¸c˜ao e ´e devido `a in´ercia de energia. Ela foi proposta por Eckart [18] dentro de uma teoria termodinˆ amica irrevers´ıvel; ∂Φ 3 o terceiro termo cT2 1−Φ12 /4c4 ∂x e proporcional ao gradiente de potencial graj ´ vitacional. Ele foi proposto por Tolman [12] e indica que na ausˆencia de acelera¸c˜ao o estado de equil´ıbrio de um g´ as relativ´ıstico num campo gravitacional pode ser obtido se o gradiente de temperatura for contrabalanceado por um gradiente de potencial gravitacional. Num campo gravitacional fraco a condi¸c˜ao de equil´ıbrio fica

g 1 ∇T = − 2 , T c que ´e a lei de Toman com g sendo o campo gravitacioanl. 11

(36)

Considerando que o campo de temperatura depende somente da coordenada radial T = T (r) e que n˜ao existe fluxo de calor e acelera¸c˜ao, segue da (32) que o campo de temperatura num campo gravitacional deve satisfazer a equa¸c˜ao diferencial 1 dT (r) 1 1 dΦ(r) =− 2 . (37) 2 4 T (r) dr c 1 − Φ(r) /4c dr

A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial acima para as condi¸c˜oes de contorno T (R) = 1 – onde R ´e o raio da fonte esf´erica – ´e    |Φ(R)| R 1 + 1 − |Φ(R)| 2c2 2c2 r  , T (r) =  (38) |Φ(R)| |Φ(R)| R 1 + 2c2 1 − 2c2 r

que ´e uma fun¸c˜ao decrescente de r para r > R. Num campo gravitacional fraco onde |Φ(R)|/c2 ´e uma quantidade pequena (38) pode ser expressada como T (r) = 1 −

|Φ(R)| c2



1−

R r



+

|Φ(R)2 | 2c2



1−

R r

2

+ ... .

(39)

Vale a pena chamar a aten¸c˜ao que se usamos a equa¸c˜ao de balan¸co da densidade de momento de um fluido Euleriano (23) para eliminar o termo de acelera¸c˜ao, obtemos que o fluxo de calor (32) torna-se   T K2 ∂p i ij ∂T . (40) − q = −λδ ∂xj nmc2 K3 ∂xj Podemos transformar a dependˆencia do gradiente de press˜ao em (40) na dependˆencia do gradiente de temperatura e do gradiente da densidade do n´ umero de part´ıculas atrav´es do uso da equa¸c˜ao de estado p = nkT e nessa nova descri¸c˜ao a presen¸ca do gradiente de potencial gravitacional desaparece. Isso indica que o termo relacionando com o gradiente de potencial gravitacinal em rela¸c˜ao ao fluxo de calor est´ a associado com o termo de acelera¸c˜ao. Entretanto, no trabalho [13] o termo de acelera¸c˜ao foi eliminado pelo uso da equa¸c˜ao de balan¸co do momento e a lei de Fourier tem uma dependˆencia em rela¸c˜ao ao campo gravitacional e da densidade do n´ umero de part´ıculas. Presumimos que a diferen¸ca dos resultados ´e devido ao fato de que o referido trabalho n˜ao depender da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio usando as componentes do tensor m´etrico. Vamos analizar os coeficientes de transporte dados por (33) – (35). Todos esses coeficientes dependem do potencial gravitacional atrav´es da componente
GM 4 e podemos inferir a partir de (33) – (35) do tensor m´etrico g1 (r) = 1 + 2c 2r que esses valores tornam-se maiores na presen¸ca de um campo gravitacional. O field. O aumento dos coeficientes de transpote devido ao campo gravitacional ´e pequena para objetos estelares que n˜ao s˜ ao t˜ ao compactos, isto ´e, para objetos estelares onde |Φ|/c2 ≪ 1. Na ausˆencia do potencial gravitacional o tensor m´etrico se reduz ao espa¸co-tempode Minkowski. Nesse caso g1 = 1 e as express˜oes para os coeficientes de transporte se reduzem `aqueles de Marle [15, 19]. 12

No caso limite de campos gravitacionais fracos |Φ|/c2 ≪ 1 e baixas temperaturas ζ ≫ 1 os coeficientes de transporte (33) – (35) tornam-se    5pτ 21 2|Φ| η = 2 1− + ... 1 + 2 + ... , (41) 6ζ 2ζ c    5 4|Φ| µ = pτ 1 + (42) + ... 1 + 2 + ... , 2ζ c    3 2|Φ| 5kpτ 1+ + ... 1 + 2 + ... , (43) λ= 2m 2ζ c As express˜oes acima correspondem a um g´ as n˜ao-relativ´ıstico num campo gravitacional fraco. Os coeficientes de transporte 33) – (35) no caso limite de campos gravitacionais fracos |Φ|/c2 ≪ 1 e altas temperaturas ζ ≪ 1 ficam        9 31 9 2|Φ| ζ pτ ζ 3 2 1+ + γ ζ + . . . 1 + 2 + . . . ,(44) + ln η= 54 12 2 2 2 c    ζ2 4|Φ| 4pτ 1+ (45) + ... 1 + 2 + ... , µ= ζ 8 c    ζ2 2|Φ| 4c2 pτ 1− + ... 1 + 2 + ... . (46) λ= Tζ 8 c Aqui as espress˜oes referem-se a um g´ as num campo gravitacioanl fraco e num regime ultrarrelativ´ıstico.

13

5

M´ etodos

Ser´a revisado o modelo de Anderson-Witting seguido da aplica¸c˜ao ao g´ as relativ´ıstico numa m´etrica de Schwarzschild isotr´ opica. Outras m´etricas, de preferˆencia isotr´ opicas (devido a` dificuldade de integrar casos n˜ao isotr´ opicos), podem ser testadas. Faremos o estudo de gases relativ´ısticos degenerados – g´ as de Fermi e g´ as de Bose – em campo gravitacional, onde ´e utilizada uma equa¸c˜ao quase-cl´assica da equa¸c˜ao de Boltzmann (a equa¸c˜ao de Uehling-Uhlenbeck [21]). Outro estudo promissor ´e o de mistura de gases relativ´ısticos onde rea¸c˜oes qu´ımicas ou nucleares podem ocorrer.

6

Discuss˜ ao

Os resultados que ser˜ao obtidos da aplica¸c˜ao do modelo de Anderson e Witting ao g´ as relativ´ıstico na m´etrica de Schwarzschild ser˜ao analisados e comparados aos obtidos pelo modelo de Marle. Iremos procurar na literatura m´etricas isotr´ opicas que poder˜ao trazer novas equa¸c˜oes constitutivas e novos valores para os coeficientes de transporte. O estudo de gases degenerados ou misturas de gases implicam mudan¸cas desde a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio de MaxwellJ¨ utner e provavelmente trar´ a mudan¸cas interessantes nas equa¸c˜oes constitutivas e nos coeficientes de transporte. Como dito, todas estas varia¸c˜oes ter˜ ao seus resultados analisados nos coeficientes de transporte viscosidade de cisalhamento e viscosidade volum´etrica presentes na lei de Navier-Stokes e de condutividade t´ermica na lei de Fourier, podemos tamb´em analisar o coeficiente de difus˜ ao na lei de Fick. Em tais leis novos termos devem surgir como vimos em trabalhos semelhantes na literatura.

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Cronograma

2013

2014

1o semestre Estudos sobre o modelo de Anderson e Witting na m´etrica de Schwarzschild. Reda¸c˜ao da tese e aplica¸c˜ao dos m´etodos.

14

2o semestre Estudos sobre gases degenerados e misturas. Estudos de outras m´etricas. Compila¸c˜ao dos resultados e reda¸c˜ao final da tese.

8

Conclus˜ oes

Nessa qualifica¸c˜ao revisamos um g´ as relativ´ıstico numa m´etrica de Schwarzschild usando a equa¸c˜ao de Boltzmann na presen¸ca de campos gravitacionais. Pretendemos estudar um g´ as relativ´ıstico em outras m´etricas ainda n˜ao abordadas na literatura. O modelo de Marle para o operador colis˜ao da equa¸c˜ao de Boltzmann foi revisado e o desvio da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em equil´ıbrio foi determinado a partir do m´etodo de Chapman-Enskog. Na tese de doutoramento abordaremos tamb´em o modelo de Anderson e Witting. Al´em dessa varia¸ca˜o analisaremos os mesmos resultados para um g´ as degenerado e ser´a necess´ario a utiliza¸c˜ao da estat´ıstica de Fermi-Dirac (g´ as de Fermi) e de Bose-Einstein (g´ as de Bose), onde teremos que utilizar uma equa¸c˜ao de Boltzmann quase cl´assica chamada equa¸c˜ao de Uehling-Uhlenbeck. Misturas de gases relativ´ısticos tamb´em ser˜ao utilizadas e os resultados confrontados com os dos casos anteriores. Esperamos encontrar mudan¸cas nas leis de Navier-Stokes, de Fourier e de Fick com o surgimento de novos termos inerentes ao campo gravitacional descrito por uma m´etrica isotr´ opica.

15

A

Apˆ endice: M´ etrica de Schwarzschild

A m´etrica de Schwarzschild ´e a solu¸c˜ao do campo Einstein para uma fonte simetricamente esf´erica sem rota¸c˜ao e sem carga do campo gravitacional com massa total M . Em termos de coordenadas esf´ericas (˘ r, θ, ϕ) ela ´e dada por  
2
1 2GM
d˘ dx0 − ds2 = 1 − 2 r2 − r˘2 dθ2 + sin2 θdφ2 . (47) 2GM c r˘ 1 − c2 r˘

onde G ´e a constante gravitacional. A m´etrica de Schwarzschild isotr´ opica (veja por ex. [20]) ´e obtida introduzindo uma nova coordenanda radial r2 = δij xi xj
GM 2 atrav´es da rela¸c˜ao r˘ = r 1 + 2c tal que (47) torna-se 2r ds2 = g0 (r) dx0

Acima introduzimos as abrevia¸c˜oes g0 (r) =

1−

1+


2

− g1 (r)δij dxi dxj .


GM 2 2c2 r
, GM 2 2c2 r

g1 (r) =

(48)

 4 GM 1+ 2 . 2c r

(49)

Para uma m´etrica isotr´ opica (48) o s´ımbolo de Cristoffel fica Γ000 = 0, i

Γ0ij = 0,

Γkij = 0 (i 6= j 6= k),

Γi0j = 0,

(50)

1 dg1 (r) xk 1 dg0 (r) xj δjk , Γ00i = δij , (51) 2g1 (r) dr r 2g0 (r) dr r 1 dg0 (r) xi 1 dg1 (r) xj , Γji i = − (i 6= j), (52) = 2g1 (r) dr r 2g1 (r) dr r

Γi j = Γi00

onde os ´ındices sublinhados n˜ao s˜ ao somados e
3  GM dg0 (r) dg1 (r) GM 2GM 1 − 2c 2GM 2r = 2 2 =− 2 2 1+ 2 .
3 , dr c r 1 + GM dr c r 2c r 2 2c r

16

(53)

B

Apˆ endice: Resolu¸c˜ ao das integrais

Para resolver a seguinte integrais Z=

√

−g

Z

1

e− kT U

λ

pλ

d3 p , p0

escolhemos um referencial com´ovel tal que a integral acima se reduz `a Z ∞ q √ d|p| e−cp0 /(kT g0 ) |p|2 Z = 4π g0 g13 , p0 0

(54)

(55)

atrav´es da introdu¸c˜ao de coordenadas esf´ericas d3 p = |p|2 sin θd|p|dθdϕ e pela integra¸c˜ao dos ˆ angulos 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Se usamos a rela¸c˜ao (3)2 e √ trocamos as vari´aveis de integra¸c˜ao atrav´es de p0 = mc y g0 temos que |p|2 =

m2 c 2 2 (y − 1), g1

mc y dy d|p| = √ , 2 g1 (y − 1) 12

(56)

e (55) se reduz ` a Z = 4πm2 c2

Z

∞ 1

1

e−ζy (y 2 − 1) 2 dy = 4πmkT K1 (ζ),

(57)

isto ´e, Z ´e dado em termos da fun¸c˜ao de Bessel modificada do segundo tipo. Para a resolu¸c˜ao da integral Z − 1 U λ pλ 3 √ e kT d p Z1 = −g , (58) U τ pτ p0 trocamos as vari´aveis e introduzimos √ p0 = mc g0 cosh t,

mc |p| = √ sinh t, g1

(59)

e obtemos Z1 = 4πm

Z

∞ 0

cosh2 t − 1 −ζ cosh t e dt = 4πm [K1 (ζ) − Ki1 (ζ)] , cosh t

(60)

gra¸cas ` a defini¸c˜ao Kin (ζ) =

Z

∞

Kin−1 (t)dt =

Z

0

ζ

∞

e−ζ cosh t dt. coshn t

Seguindo a mesma metodologia ´e f´acil obter Z 3 √ λ d p 1 = 4πm2 kT K2 (ζ)U µ , Z µ = −g pµ e− kT Uλ p p0 Z 1 U λ pλ 3 − kT √ d p K1 (ζ) µ µ µe = 4πm2 U , Z1 = −g p U τ pτ p0 ζ

e derivar as pr´ oximas express˜oes para Z µ1 ...µn and Z1µ1 ...µn . 17

(61)

(62) (63)

C

Apˆ endice: Fun¸c˜ oes de Bessel Modificadas

Para o desenvolvimento da teoria cin´etica relativ´ıstica iremos necessitar de algumas propriedades da fun¸c˜ao modificada de Bessel Kn (ζ) definida como  n Z ∞
n− 12 Γ(1/2) ζ dy, (64) e−ζy y 2 − 1 Kn (ζ) = 2 Γ(n + 1/2) 1 √ onde Γ(n+1) = nΓ(n) com Γ(1) = 1 e Γ(1/2) = π ´e a fun¸c˜ao gama. Uma outra forma de escrever a fun¸c˜ao Kn (ζ) ´e atrav´es da mudan¸ca de vari´avel y = cosh t:  n Z ∞ ζ Γ(1/2) Kn (ζ) = e−ζ cosh t sinh2n t dt. (65) 2 Γ(n + 1/2) 0 As seguintes rela¸c˜oes s˜ ao v´ alidas para Kn (ζ):   d Kn (ζ) Kn+1 (ζ) d − = , − (ζ n Kn (ζ)) = ζ n Kn−1 (ζ). n n dζ ζ ζ dζ

(66)

Destas rela¸c˜oes ´e f´acil obter a lei de recorrˆencia Kn+1 (ζ) − Kn−1 (ζ) =

2n Kn (ζ). ζ

Neste trabalho tamb´em necessitamos das seguintes defini¸c˜oes: Z ∞ −ζ cosh t Z ∞ e Kin−1 (t)dt = Kin (ζ) = dt, coshn t 0 ζ Ki0 (ζ) = K0 (ζ),

Ki−n (ζ) = (−1)n

18

dn K0 (ζ) . dζ n

(67)

(68)

(69)

Referˆ encias [1] J¨ uttner F, Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie, 1911 Ann. Physik und Chemie 34 856 [2] J¨ uttner F, Die relativistische Quantentheorie des idealen Gases, 1928 Zeitschr. Physik 47, 542 [3] Lichnerowicz A and Marrot R, Propri´et´es statistiques des ensembles de particules en relativit´e restreinte, 1940 C. R. Acad. Sci. 210 759 [4] Israel W, Relativistic kinetic theory of a simple gas, 1963 J. Math. Phys. 4 1163 [5] Kelly D C, 1963 The Kinetic Theory of a Relativistic Gas, unpublish report (Oxford: Miami University) [6] Chernikov N A, The relativistic gas in the gravitational field, 1963 Acta Phys. Pol. 23 629 [7] Chernikov N A, Equilibrium distribution of the relativistic gas, 1964 Acta Phys. Pol. 26 1069 [8] Bernstein J, 1988 Kinetic Theory in the Expanding Universe, (Cambridge: Cambridge University Press). [9] Doi T, Santos A and Tij M, Numerical study of the influence of gravity on the heat conductivity on the basis of kinetic theory 1999 Phys. Fluids 11 3553 [10] Tij M, Garz´o V and Santos A, On the influence of gravity on the thermal conductivity, in Rarefied Gas Dynamics, Brun R, Campargue R, Gatignol R, and Lengrand J-C, eds. 1999 (Toulouse: C´epadu`es) p 239 [11] Tolman R C, On the weight of heat and thermal equilibrium in general relativity, 1930 Phys. Rev. 35 904 [12] Tolman R C, Temperature equilibrium in a static gravitational field, 1930 Phys. Rev. 36 1791 [13] Sandoval-Villalbazo A, Garcia-Perciante A L and Brun-Battistini D, Tolman’s law in linear irreversible thermodynamics: a kinetic theory approach, 2012 Phys. Rev. D 86 084015 [14] Marle C, Sur l’´etablissement des ´equations de l’ hydrodynamique des fluides relativistes dissipatifs, I. L’´equation de Boltzmann relativiste, 1969 Ann. Inst. Henri Poincar´e 10 67 [15] Marle C, Sur l’´etablissement des ´equations de l’ hydrodynamique des fluides relativistes dissipatifs, II. M´ethodes de r´esolution approch´ee de l’´equation de Boltzmann relativiste, 1969 Ann. Inst. Henri Poincar´e 10 127 19

[16] J. L. Anderson and H. R. Witting, A relativistic relaxation-time model for the Boltzmann equation, 1974 Physica 74, 466 [17] G. M. Kremer, Relativistic gas in a Schwarzschild metric, 2013 arXiv:1212.5573 [18] Eckart C, The thermodynamics of irreversible processes, III. Relativistic theory of a simple fluid, 1940 Phys. Rev. 58, 919 [19] Cercignani C and Kremer G M, 2002 The Relativistic Boltzmann Equation: Theory and Applications (Basel: Birkh¨auser) [20] Adler R, Bazin M and Schiffer M, 1965 Introduction to General Relativity (New York: McGraw Hill) [21] E. A. Uehling, and G. E. Uhlenbeck, Transport phenomena in EinsteinBose and Fermic-Dirac gases., 1933 Phys. Rev. 43, 552

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