Exercicio Sistemas Dinamicos 3

1. Encontre os pontos de equilíbrio e analise as estabilidades dos seguintes sistemas dinâmicos discretos x (k+1) = f(x(k)) : clear; y(1)=0; clc; i=0 x(1)=input ('entre com o valor de x: '); while i x2 – x – 2 = 0 f`(x) = 2x

=>

pontos de equilíbrio: x* = -1 x* = 2

p/ x* = -1 |f`(x)| = |-2| > 1 => ponto de equilíbrio instável p/ x* = 2 |f`(x)| = 4

> 1 => ponto de equilíbrio instável

f2(k) = (x2 – 2) 2 – 2 = x4 – 4 x2 + 4 – 2 = x4 – 4 x2 + 2 x = x 4 – 4 x2 + 2

=> x4 – 4 x2 – x+ 2 = 0

pontos fixos

x* = 5^(1/2)/2 – 1/2 ~= 0,6180

ponto fixo instável de período 2

x* = - 5^(1/2)/2 - 1/2 ~= - 1,6180

ponto fixo instável de período 2

i=1; x(1)=input ('entre com o valor de x: '); k = input ('entre com o número de iterações: '); while i F2(x) = F(F(x)) = sen2x sen2x = x

sen2x – x = 0

F2`(x) = 2.sen(x).cos(x)

pontos fixos de F2(x) = 0, pi, 2pi, 3pi, ... p/ x=0, pi, ... => F2`(x) = 0 -> ponto de equilíbrio estável

Gráficos de y = f(x) em função de x X0 = 2

clear; clc; i=1; x(i)=input ('entre com o valor de x: '); k=input ('entre com o número de iterações: '); while i

F(x) = 1/x

F2(x) = 1/(1/x) = x

F2`(x)= 1

-> todo x é ponto fixo com período par (nos períodos ímpares y = 1/x)

=> pontos fixos: -1 e 1

p/ x = -1 f´(x) = - 1

p/ x = 1

f`(x) = 1

x=x

X0 = - 2 (10 iterações)

X0 = - 0.1 (10 iterações)

-0.5

0 -1 -2 -3

-1

-4 -5 -6 -1.5

-7 -8 -9 -2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X0 = + 0.1 (10 iterações)

-10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X0 = 4 (10 iterações)

10

4

9 3.5

8 3

7 6

2.5

5

2

4

1.5

3 1

2

1.4 F(x) = (x2)1/3

0.5

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

clear; clc; i=1; x(i)=input ('entre com o valor de x: '); k=input ('entre com o número de iterações: '); while i x = 0

f´(x) = 2/3 x(-1/3) = 2 / 3x3

=>

x2/3 (1 – x1/3) = 0

x1/3 = 1

->

x=1

p/ x = 0

=> f´(x) = inf

p/ x = +1

=> f´(x) = 2/3

=> Pontos fixos: 0, 1 => foco instável) => foco estável

X0 = 0 (10 iterações)

clear; clc; x=input ('entre com o valor de x: '); i=0; while i

x2 + y2 – x = 0 (1)

x+y–1=y

=>

x–1=0

0

(2) em (1): y2 = 0 Ponto de equilíbrio: Df =

2

0

1

1

->

x = 1 (2) -1

-> y = 0

1

[ x, y ] = [ 1, 0] Ʌ =

1

0

0

2

0

-1

Como |ʎ22| > 1 então o sistema é instável

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

X0 = 1.1 e Y0 = 0 (6 iterações):

clear; clc; i=1; a=input ('entre com o valor inicial de x: '); b=input ('entre com o valor inicial de y: '); k=input ('entre com o número de iterações: '); x(i)=a; y(i)=b; while i f’(x) = 1

F2(k) = e(ex/2-1)/2– 1 – x = 0

-> ponto de equilíbrio = 0

Pelos gráficos 2,3,4 e 5 observa-se que “0” é foco estável (atrator). Pelos gráficos 6 e 7 observa-se que existe um foco instável próximo a 2.51286241 !!!!??? clear; clc; i=1; x(i)=input ('entre com o valor de x: '); k=input ('entre com o número de iterações: '); while i x=sym('x') >> solve(0.5 * exp(sin(x))-x) ans = 1.3159421797430208638231928604683 >> solve(0.5 * exp(sin(0.5 * exp(sin(x))))-x) ans = 1.3159421797430208638231928604683 >> solve(0.5 * exp(sin(0.5 * exp(sin(0.5 * exp(sin(x))))))-x) ans = 1.3159421797430208638231928604683

30

1.8 – f (x,y) = y - x2 2x + 3y Análise de estabilidade: Df =

Df(x)/dx

Df(x)/dy

Df(y)/dx

Df(y)/dy

=

2x

1

2

3

Nos pontos de equilíbrio: y – x2 = x

=>

x2 + x = y (1)

2x + 3y = y

=>

2y = -2x

=> y = –x (2)

(2) em (1): x2 + x = –x =>

x2 + 2x = 0

x (x+2) = 0

e

-> x = 0

x = -2

-> pontos fixos: (x,y) = (0,0) e (-2,2) P/ (x,y) = (0,0) => Df =

P/ (x,y) = (-2,2) => Df =

0

1

2

3

->

Ʌ =

-0,5616 0

–4

1

2

3

->

Ʌ =

0

3,5616

-4,2749

0

0

3,2749

Como |ʎ22| > 1 então os dois pontos fixos são instáveis clear; clc; i=1; a=input ('entre com o valor inicial de x: '); b=input ('entre com o valor inicial de y: '); k=input ('entre com o número de iterações: '); x(i)=a; y(i)=b; while i

x/5 = y

y = ln x (1)

=>

x = 5y (2)

(2) em (1): ln 5y = y

lnx – x/5 = 0

Nos exercícios a seguir, encontre um valor de µ que cause bifurcação ao sistema: 2.1 – f(x) = µ / x µ/x = x => µ = x2 => x = ±√µ neste ponto f(x) = 0 para qualquer x

->

µ = 0 é o ponto de bifurcação,

2.2 – f(x) = µ Ɛx/2 – 1 µ Ɛx/2 – 1 = x => µ Ɛx/2 = x + 1 [(x+1)/ µ] x/2 = ln (x+1) - ln µ

=>

=>

Ɛx/2 = (x + 1)/ µ

->

ln Ɛx/2 = ln

x = ½ (ln (x+1) - ln µ)

 Com µ < 0 implica que x e f(x) passam a não pertencer à dimensão dos

números reais.

2.3 – f(x) = µ . x 2/3

µ . x 2/3 = X ->

µ 2/5

µ = x. x 3/2

µ = x 5/2

->

x = µ 2/5